Frekans Analiz Yöntemleri I Bode Eğrileri

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Frekans Analiz Yöntemleri I Bode Eğrileri"

Yonca Önder
10 yıl önce
İzleme sayısı:

1 Frekan Analiz Yöntemleri I Bode Eğrileri Prof.Dr. Galip Canever 1

2 Frekan cevabı analizi 1930 ve 1940 lı yıllarda Nyquit ve Bode tarafından geliştirilmiştir ve 1948 de Evan tarafından geliştirilen kök yer eğrilerinden öncedir. Frekan metodunun zaman tanım aralığındaki metodalara göre belirgin avantajları vardır: 1 Fizikel datalardan tranfer fonkiyonunun modellenmei Faz ilerletici kompanatör taarlarken kararlı hal hataının ve geçici cevap şartlarının karşılanmaı 3 Lineer olmayan itemlerin kararlılığının bulunmaında 4 Kök yer eğrii çizimindeki belirizliklere karşı

3 HP 35670A Dinamik Sinyal Analizörü fizikel itemden frekan Cevabı bilgilerini toplar.elde edilen bilgi analizde, taarımda veya Sitemin matematikel modelinin elde edilmeinde kullanılabilir. 3

4 Kararlı halde, lineer bir iteme inüoidal bir giriş uygulandığında item aynı frekanta bir inüoidal üretir. Bu çıkış cevabı giriş ile aynı frekanta olmaıyla beraber genlik ve faz açıı ile girişten farklılaşır. Bu farklılıklar frekanın fonkiyonudur. M Co t φ1 M φ İle göterilir. Sitemini inceleyelim 4

5 Sitemin girişi ft inüoidali ie kararlı hal çıkış fonkiyonu aynı frekanta olan xtdir. Giriş Çıkış 5

6 Kararlı hal çıkış inüoidali: M [ ] φ = M M φ φ 0 0 i i Dolayııyla itemin fonkiyonu: M M = 0 M i Sitemin fazı ie: φ = φ φ 0 i 6

7 Giriş Fonkiyonu: r t = ACo t BSint B r t = A B Co t tan 1 A M = A B tan 1 B φ = i i A A jb M i e j φ i 7

8 8 G B A C = Zorlanmış Çözüm ile Doğal Çözümü keirlere ayırma yöntemi ile elde edebiliriz. G j j B A C = 1 j K j K C =

9 9 φ φ φ φ j e M M j e M M c G i G i j G i j G i = Ter Lapla alındığında, G i G i t j t j G i e e M M t c φ φ φ φ = G i G i t Co M M t c φ φ = G G i M i M M φ φ φ = 0 0 G M G j G φ = j G j G =

10 Frekan Cevabının Çizilmei Bir G iteminin frekan yanıtı bir iki şekilde çizilebilir: Örnek: =jw için 1 Genlik ve fazın frekanın bir fonkiyonu cininden ayrı ayrı çizilmei Kutupal olarak genlik ve fazörün aynı eğri üzerinde çizilmei G G j 1 = 1 = j Sitemini analitik olarak ifade ediniz, frekan yanıtını genlik ve faözörü ayrı ayrı eğriler olarak ve aynı eğri olarak çiziniz. j G j = 4 10

11 Bu itemin genliği: G j = M = 1 Gj nın fazı ie: φ = tan 1 Bode eğrilerinde genelde genlik deibeldb cininden ifade edilir. Bir M kazancının deibel değeri 0logM dir. Ayrıca hem kazanç hemde frekan ekenleri logaritmiktir. Dolayııyla Bode eğrimizde genlik ; 0log Açı ie; φ M = = tan 1 0log, 1 log 4, log 4 Eken takımıyla çizilir. 11

12 1

13 Genlik ile açı kutupal olarak çizildiğinde ie M φ 1 = 4 tan 1 13

14 Logaritmik Çizimin Avantajları Elle hızlıca çizmek mümkün Genlik ve frekan için çok geniş ınırlar kolayca göterilebilir Çok karmaşık tranfer fonkiyonları kolayca çizilebilir ve çarpım veya bölüm halinde olan terimler baitçe grafikel toplama ve çıkarma ile daha kolay anlaşılabilir. Rakam katlandıkça db değeri 6dB artar. 14

15 15 Aimptotik Yaklaşımlar: Bode Eğrileri Logaritimik genlik ve faz frekan eğrilerinin logaritmik açıal hıza göre çizimleri düz çizgilerin toplamı yaklaşımı ile baitleştirilebilir n m n p p p z z z K G = Sitemini dikkate alalım. Bu itemin genlik frekan cevabı her bir terim genlik frekan cevaplarının çarpımıdır. j n m n p p p z z z K j G = Eğer herbir kutup ve ıfırın genlik cevabını biliyorak toplam genlik cevabını bulabiliriz.

16 Logaritmik olarak çalışırak toplam genlik ifadeini elde etmemiz kolaylaşır. Zira paydakiıfırlar çarpımlar toplanacak, paydadaki çarpımlar ie çıkartılacak. Deibel olarak yazacak olurak: 0logG j = 0logK 0log z 1 0log z... 0log m 0log p 1... j Eğer her bir terimi biliyorak cebrik toplamları ile onucu kolayca elde edebiliriz. Ayrıca her bir terimin düz çizgi yaklaşımını biliyorak bu düz çizgilerin toplanıp çıkartılmaı ile grafik kolayca çizilebilir. 16

17 G=a nın BodeÇizimi G j = j a = a1 j a G j a olur. Düşük frekanlarda, Deibel cininden genlik: 0log M=0log a M = G j ve abittir. Yükek frekanlarda, >>a G G j = j a = j a a 0 = 90 = a j a

18 Deibel cininden genlik: 0log M=0log a 0 log M = 0log a 0log = 0log a a<< Eğer db veya 0log M yi0log ya göre çizicek olurak, yukarıdaki denklem doğru denklemi olur: Eğrinin eğimi 0 dir. y=0x Her katlayan frekan 0log ve 6db artmaına ebep olur ve eğri 6dB/oktav lık eğim ile artar.burada oktav frekanın katlayanıdır,,4,8,16,

19 Düz eğri yaklaşımına aimptot denir. Düşük frekan yaklaşımına düşük frekan aimptotu, yükek frekan yaklaşımına yükek frekan aimptotu denir. a frekanına da köşe frekanı denir. a nın BodeGenlik Eğrii 19

20 Faz cevabını inceleyecek olurak: G j = j a = a1 j a İfadeine göre köşe frekanında=a açı 45 0 olmalıdır. G j = a aj Düşük frekanlarda G j a İfadeine göre açı O 0 olmalıdır. Yükek frekanlarda G j a a 0 = 90 = 90 0 İfadeine göre açı 9O 0 olmalıdır. 0

21 a nın BodeFaz Eğrii 1

23 3

24 G G=1/a nın Bode Çizimi = 1 a = a 1 a Bu tranfer fonkiyonu 0log1/a düşük frekan aimptotuna ahiptir. Bode eğrii köe frekanı, a rad/ ya ulaşıncaya kadar abittir. Yükek frekanlarda: 1 G = a 1 a j = a 1 j a = 1 a a = 90 4

25 db olarak, 1 0 log M = 0 log 0 log = 0 a a G= in Bode Çizimi log G= adece yükek frekan aimptotuna ahiptir. =j, 0log genliğindedir. Böylece Bode eğrii 6dB/oktav0dB/dekad lık eğimli ve =1 de 0dB den geçen bir doğrudur. Fazı ie abit 90 0 dir G=1/ in Bode Çizimi G=1/ Bode eğrii -6dB/oktav0dB/dekad lık eğimli ve =1 de 0dB den geçen bir doğrudur. Fazı ie abit dir 5

26 G= 6

27 G=1/ 7

28 8

29 9

30 Örnek: G = K 3 1 Bode eğriini çiziniz? İlk olarak köşe frekanları:-1, -, -3. Genlik eğrii en küçük köşe frekanından 1 dekad önce başlamalı ve en yükek köşe frekanından 1 dekad onraına kadar devam etmelidir. Öyleye 0.1 rad ile 100 rad araı uygun bir eçimdir. =0.1 değeri bütün a ifadeleri için düşük frekantır=0 böylece 3K G j0.1 = = 15K 0.11 K genlik eğriini yukarı veya aşağı kaydır 30

31 31

32 3

33 Bode eğrii =0.1 değerinde, 0log15=3.5dB değeri ile başlıyor. Paydadaki teriminden dolayı hemen -6dB/oktav lık eğimle düşüşe geçiyor. =1 değerinde, 1terimi bir - 6dB/oktav lık eğim daha ekiliyor ve eğri toplam -1dB/oktav lık eğim ile düşüşüne devam ediyor. Daha onra = değerinde, terimi bir -6dB/oktav lık eğim daha ekiliyor ve eğri toplam -18dB/oktav lık eğime ahip oluyor. =3 değerinde, 3terimi bir 6dB/oktav lık pozitif eğim ekliyor ve eğrinin toplam eğimi - 1dB/oktav oluyor ve bundan onra başka köşe frekanı olmadığı için eğri bu eğimle devam eder. Bode faz eğriide benzer şekilde elde edilebilir, köşe frekanının 1 dekad öncei ve 1 dekad onraında kırılmaların olmaı biraz daha dikkat gerektirir. 33

34 34

35 35

36 G= ζ n n in Bode Çizimi İkinci derece itemlerin Bode eğrilerinin çizimlerini inceleyeceğiz. G = ζ n Birinci derece itemlerin akine ikinci derece itemlerde ζ nin bazı değerleri için gerçek frekan cevabı ile aimptotik yaklaşımdaki frekan cevabı araındaki fark ihmal edilebilecek eviyeden büyük olabilir. Düşük frekanlarda, Düşük frekanlarda genlik ie, n n n G = 0 0log M = 0log G j = 0logn 0 36

37 Yükek frekanlarda, G G j = Yükek frekanlarda genlik ie, 0log M = 0log G j = 0log Eğim 40dB/oktav yada 40dB/dekad = 40log Dikkat edilecek olura = n iken düşük ve yükek frekan aimptotları aynıdır. Dolayııyla n ikinci derece itemin köşe frekanıdır. 37

38 38

39 Faz ı ie düşük frekanlarda 0 derece, yükek frekanlarda ie 180 derecedir. Doğal frekanta açı: G j = ζ = jζ = n için onuç n n n j n j ζ olduğundan doğal frekantaki açı Dolayııyla 0.1 n ile 10 n araında açı 90 0 /dekad ile yükelir. G= n / ζ n n in Bode Çizimi n Genlik eğrii doğal frekanta kırılır ve -1dB/oktav 40dB/dekad lık eğim ile azalır. Faz düşük frekanlarda 0 derecedir ve 0.1 n ile 10 n araında açı /dekad açı ile azalır ve 10 n den onra -180 decede kalır. 39

40 nin değişen ζ değerleri için Bode Genlik Eğrileri 40

41 nin değişen ζ değerleri için Bode Faz Eğrileri 41

42 nin değişen ζ değerleri için Bode Genlik Eğrileri 4

43 nin değişen ζ değerleri için Bode Faz Eğrileri 43

44 Örnek: 3 G = 5 Bode eğriini çiziniz? G nin düşük frekan değeri =0 alınarak 3/50 yada 4.44dB olarak bulunur. Bode eğrii bu değer ile başlar ve ilk köşe frekanı - ye kadar bu değer ile devam eder. deki kutup -0dB/dekad lık bir eğimle bir onraki köşe frekanı -3 e kadar devam eder. -3 deki ıfır, 0dB/dekad lık bir pozitif eğim oluşturur ki net eğim bu noktadan onra 0 olur. 5 rad/ de ie ikinci derece terim devreye girer ve 40dB/dekad lık bir pozitif eğim oluşturarak onuza kadar devam eder. 44

45 45

46 46

47 47

48 48

Benzer belgeler

Ders #9. Otomatik Kontrol. Kararlılık (Stability) Prof.Dr.Galip Cansever. 26 February 2007 Otomatik Kontrol. Prof.Dr.

Ders #9. Otomatik Kontrol. Kararlılık (Stability) Prof.Dr.Galip Cansever. 26 February 2007 Otomatik Kontrol. Prof.Dr. Der #9 Otomatik Kontrol Kararlılık (Stability) 1 Kararlılık, geçici rejim cevabı ve ürekli hal hataı gibi kontrol taarımcıının üç temel unurundan en önemli olanıdır. Lineer zamanla değişmeyen itemlerin