Ders #9. Otomatik Kontrol. Kararlılık (Stability) Prof.Dr.Galip Cansever. 26 February 2007 Otomatik Kontrol. Prof.Dr.

Transkript

1 Der #9 Otomatik Kontrol Kararlılık (Stability) 1

2 Kararlılık, geçici rejim cevabı ve ürekli hal hataı gibi kontrol taarımcıının üç temel unurundan en önemli olanıdır. Lineer zamanla değişmeyen itemlerin doğal cevabı zamanla ıfıra gidiyora item kararlıdır denir. c( t) = c ( t) c ( t) zor Sitem toplam cevabı doğal(öz) ve zorlanmış çözümün toplamı olduğu için kararlı itemlerde doğal çözüm zamanla ıfıra ulaşacağı için toplam cevap zorlanmış cevap olur. Lineer zamanla değişmeyen itemlerin doğal cevabı zamanla onuza gidiyora item kararızdır denir. Lineer zamanla değişmeyen itemlerin doğal cevabı zamanla azalmıyora ve artmıyora item marjinal kararlıdır denir. Sabit veya oilayonlu cevap üretiler. Parametre değişimine duyarlı oldukları için kararız kabul edilirler. öz 2

3 Fizikel olarak, doğal cevabı ınırız olan kararız itemler kendilerine, etrafındaki araç gereçlere veya inanlara zarar verebilirler. Lineer itemlerde kararlılık itemin kendi özelliğidir. Kararlı bir lineer itemin denge noktaına bir bozucu etki teir edere, item zamanla kendiliğinden denge noktaına döner. Kararlılığın bir diğer tanımıda;itemin girişine uygulanan bütün ınırlı giriş işaretleri için çıkışta ınırlı kalıyora item kararlıdır denir.(bibo) Lineer zamanla değişmeyen itemlerde, item kutupları ol yarı düzlemde ie kararlı, diğer durumlarda ie kararızdır. denir. 3

4 = σ ± jω Kararlı Bölge - düzlemi Kararız Bölge Kararlı Bölge Kararız Bölge 4

5 5

6 A F B C D G Top A ve F noktalarında iken küçük bir kuvvet uygulanıra, A ve F noktalarına bir daha dönemez. Bu durumda A ve F noktaları kararız noktalardır. Top E ve G noktalarında iken küçük bir kuvvet uygulanıra, E ve G noktalarına alınım yaparak geri döner. Bu durumda E ve G noktaları kararlı noktalardır. Top B ve D noktaları araında iken küçük bir kuvvet uygulanıra, yeni noktaında kalır. C gibi böyle noktalara nötr kararlı denir. E 6

7 7 Örnek: ) ( 1 ) ( ) ( ) ( G G R C = 2) 1)( ( 3 1 2) 1)( ( 3 = = 1 =-2.672, 2,3 =-.164±j1.47 KARARLI!

8 8 Örnek: ) ( 1 ) ( ) ( ) ( G G R C = 2) 1)( ( 7 1 2) 1)( ( 7 = = 1 =-3.87, 2,3 =.43±j1.55 KARARSIZ!

9 Sağ yarı düzlemdeki kutuplar ya ütel artımla yada ütel artan inüoidal doğal cevap oluşturur ki doğal cevap zamanla onuza kadar artar. Ayrıca, imajiner eken üzerinde katlı kök vara At n co( ω t φ) şeklinde bir cevap üretir ki buda zamanla onuza gider ve item bu durumda yine kararızdır. Demek ki bir itemin kararız olmaı için en az bir kutbunun ağ yarı düzlemde yada imajiner eken üzerinde katlı kökünün olmaı yeterlidir. İmajiner eken üzerinde bir kök vara item cevabı oilayonludur. Bu tip itemlere marjinal kararlı itemler denir. 9

10 Yukarıdaki itemin kararlılığnı belirlemek üzere kapalı döngü kutuplarına ihtiyacımız var. Kapalı döngü tranfer fonkiyonunu oluşturduğumuzda; Elde ederiz ki bu polinomun köklerini ancak bilgiayar yardımı ile bulabiliriz. 1

11 Lineer zamanla değişmeyen itemlerin kararlılıklarını belileyebileceğimiz başka kriter ve teoremlere ihtiyacımız var. Bunlardan bir tanei Hurwitz tetidir. Eğer bir kapalı döngü tranfer fonkiyonunun bütün kutupları ol yar düzlemde ie, bu itemim paydaındaki polinomunu, yani karakteritik denklemini, (a i ) şeklinde çarpanlara ayırabiliriz. a i ler pozitif yada pozitif gerçel kııma ahip karmaşık ayılardır. Böylece buradan (a i ) lerin çarpımlarının bütün katayıları pozitif olan polinom oluşturmaı gerektiğini öyleyebiliriz. Ayrıca bütün katayılar var olmalıdır. Buradan bir itemin kararız olduğunu öylemek için katayıların işaretlerinden bir taneinin negatif olmaının yeterli olduğunu belirtebiliriz. Eğer in kuvvetlerinden biri ekik ie item ya kararızdır yada marjinal kararlıdır. 11

12 Toparlayacak olurak Hurwitz teti der ki: Kararlı bir itemin karakteritik polinomunun bütün katayıları var olmalı ve pozitif olmalıdır. Bu tet itemin kararlılığı için gerekli fakat yeterli değildir. Routh-Hurwitz Kriteri Bu yöntemle kapalı döngü item kutuplarını çözmeden item kararlılığı hakkında bilgi ahibi oluruz. Ayrıca itemin kaç tane ol yarı düzlemde, kaç tane ağ yarı düzlemde ve kaç tane imajiner eken üzerinde kutbu olduğunu bulabiliriz. Bu method a Routh Hurwitz kriteri adı verilir, 195. Bu methot iki adımdan oluşur: 1. Routh tablounu oluşturmak 2. Tabloyu yorumlamak 12

13 Routh Tabloonun Oluşturulmaı: İlk kolona nin en yükek dereceiden başlayarak ıncı kuvvetine kadar dereceleri yazılır. Daha onra il atıra en yükek derecenin katayıı ve birer atlayarak diğer derecelerin katayıları yazılır. İkinci atıra en yükek ikinci derecenin katayıı ve birer atlayarak diğer derecelerin katayıları yazılır. 13

14 14

15 Örnek: Kapalı döngü itemi için Routh tablounu oluşturun. 1 C( ) G( ) ( 2)( 3)( 5) = = = R( ) 1 G( ) 1 1 ( 2)( 3)( 5)

16 = = = = = = 16

17 RouthTabloonunYorumlanmaı: Routh-Hurwitz kriteri derki; birinci kolondaki işaret değişim ayıı kadar itemin ağ yarı düzlemde kökü vardır. Bir önceki örneği düşünecek olurak; birin kolon elemanları: İşaret değişimi İşaret değişimi 2 kere işaret değiştirdiğine göre itemin ağ yarı düzlemde iki kökü vardır. Sitemin ağ yarı düzlemde en az bir kökünün olmaı kararız olmaı için yeterli idi, böylece item kararızdır diyebiliriz. 17

18 Routh-Hurwitz Kriterinde Özel Durumlar İki özel durum olabilir: 1. Satırlardan herhangi birinin ilk elamanının ıfır olmaı 2. Satırlardan birinin tamamen ıfır olmaı 1. Satırlardan herhangi birinin ilk elamanının ıfır olmaı: Satrılardan birinin ilk elemanınım ıfır olmaı durumunda bir onraki atırın elemanlarını bulunurken ıfıra bölüm problemi ortaya çıkar. Sıfıra bölümü önlemek için ıfır yerine ε yazarız. 18

19 Örnek: 1 T ( ) = Yukarıdaki kapalı döngü tranfer fonkiyonunun kararlılığını Routh tablou oluşturarak belirleyiniz. ε 7/2 6ε 7 ε 42ε 49 6ε 12ε

20 2 ε () da olabilir (-) de olabilir Görüldüğü gibi ε pozitif de eçile negatifte eçile item kararızdır ve iki defa işaret değiştiği için ağ yarı düzlemde iki kutup vardır.

21 2. Satırlardan Birinin Tamamen Sıfır Olmaı: Bu durumda, bir önceki atıra gidip yardımcı polinom oluştururuz. Polinom ilgili atırın in derecei ile başlar ve birer atlayarak devam eder. Sonra polinomun ye göre türevini alırız. Bu katayıları tamamı ıfır olan atırda kullanırız. 21

22 Örnek: 1 T ( ) = Yukarıdaki kapalı döngü tranfer fonkiyonunun kararlılığını Routh tablou oluşturarak belirleyiniz

23 Görüldüğü gibi üçüncü ıranın tamamı ıfır. Bu durumda, bir önceki atıra gidip yardımcı polinom oluştururuz. Polinom ilgili atırın in derecei ile bşlar ve birer atlayarak devam eder. 4 2 P( ) = 6 8 Sonra polinomun ye göre türevini alırız. dp( ) = d Bu katayıları tamamı ıfır olan atırda kullanırız. 23

24 /3 8 24

25 Genelleştirecek olurak Routh tablounda bir atırın tamamen ıfır olmaı, polinomda tamamen tek ayılı derecelerin yada çift ayılı derecelerin olmaından kaynaklanır. Örnek: Çift ayı derecelerin kökleri orjine göre imetriktir. Bu imetri: A) Reel imetrik olabilir B)İmajiner Simetrik olabilir C)Dört bölgeli olabilir. Sıfır atırı bize kökleri orjine göre imetrik olan çit ayı dereceli polinomun varlığını öyler. 25

26 Örnek: T ( 2 ) = Yukarıdaki kapalı döngü tranfer fonkiyonunun kararlılığını Routh tablou oluşturarak belirleyiniz

27 Polinomu oluşturacak olurak: 4 2 P( ) = 3 2 Ve Türevi dp( ) = d / /3 4 27

28 4 den a kadar işaret değişimi olmadığı için ağ yarı düzlemde kutup yoktur. Eğer ağ yarı düzlemde kutup yoka imetrii de olamayağından ol yarı düzlemde yoktur. Buradan 4 kökün jω ekeni üzerinde olduğunu anlarız. Diğer kutuplar 8 den 4 e kadar olan kutuplardır. Bu iki kuvvet araında iki işaret değişimi olmuştur ki bunun manaı ağ yarı düzlemde iki kök mevcuttur. Sonuç olarak tranfer fonkiyonunun iki ağ yarı dülemde, iki ol yarı düzlemde ve 4 imajiner eken üzerinde kutbu vardır. Sağ yarı düzlemde en az bir kutbun olmaı itemin karaız olduğunu öylemek için yeterli idi, doalyııyla item kararızdır. 28

29 29

30 Örnek: Sitemi kararlı, marjinal kararlı ve kararız yapacak K değerlerini bulunuz. (K nın dan büyük olduğunu varayalım) Kapalı döngü TF: T ) = ( K 77 K 1386 K K K 3

31 Eğer K <1386 ie birinci utundaki tüm elemanlar pozitif olur ve item kararlıdır diyebiliriz, itemin üç kutbu da ol yarı düzlemdedir. Eğer K >1386 ie 1 deki birinci ütundaki ilk eleman negatif olur. İlk ütunda iki defa işaret değişimi görünür ki kutuplardan iki tanei ağ yarı düzlemdedir ve item kararızdır. Eğer K =1386 ie 1 deki tüm elemanlar olur. Polinomu oluşturacak olurak: P( ) = Ve Türevi dp( ) d = 36 2 li terimden onra işaret değişimi olmadığı için çift polinomun iki kökü jω ekeni üzerindedir. 2 li terimin üzerinde işaret değişimi olmadığı için diğer kök ol yarı düzlemdedir. Sitem marjinal kararlıdır. 31

32 The FANUC Robot M- 4 can bec configured for 4- or 5-axi of motion. 32

33 Örnek: Polinomunu çarpanlarına ayırınız. Routh tablounu oluşturalım: P( ) = 2 1 dp( ) d = 2 33

34 P( ) = 2 1 Orjinal polinomun çarpanıdır. Dolayııyla diğer çarpan: = ( 1)( 3 2) = ( j3.1623)( j3.1623)( 1.5 j4.213)( 1.5 j4.213) 34

35 ÖZET Lineer kapalı döngü itemlerin kararlılıkları kutuplarının düzlemindeki konumları ile belirlenebilir. Eğer kutuplardan herhangi biri ağ yarı düzlemde ie geçici rejim cevabı monoton olarak artar veya artan genlikle oilayon oluşturur. Böyle itemler kararız itemler olarak adlandırılır. Kararız itemler, çalıştırıldığında çıkış zamanla artış göterir. Eğer herhangi bir doyum fonkiyonu uygulanmadıya veya mekanikel ınırlandırma getirilmediye fizikel item mekanikel haar görebilir. Dolayııyla kapalı döngü itemlerinin kutuplarının ağ ayrı düzlemde olmaından kaçınılır. Eğer itemin bütün kutuplari jw ekeninin ol tarafında yer alıyora her türlü geçici rejim önümle denge noktaına ulaşır. 35

36 Kararlılık itemin kendi özelliğidir, item kararlı veya kararız olun item giriş fonkiyonundan bu özelliği bağımızdır. Sitem girişi itemin kararlı veya kararız olmaını etkileyemez ama çözümde kendini göterir. Matematikel olarak, jw ekeni üzerindeki kutuplar oilayona ebebiyet verirler ve bu oilayonların genlikleri zamanla ne artar ne de azalır. Pratikte, yani gürültülü ortamda, gürültünün eviyeine göre oilayonun genliği artış göterir. Dolayııyla, kontrol itemi jw ekeni üzerinde kutup içermemelidir. 36