Yrd. Doç. Dr. Fatih TOSUNOĞLU Erzurum Teknik Üniversitesi Mühendislik Fakültesi İnşaat Mühendisliği Bölümü 1
DERS İÇERİĞİ TEMEL KAVRAMLAR VE AKIŞKANLARIN ÖZELLİKLERİ Temel Kavramlar, Akışkanların Özellikleri AKIŞKANLARIN STATİĞİ Bir Noktadaki Basınç, Basıncın Derinlikle Değişimi Manometreler, Pascal Kanunu Düzlemsel Yüzeylere Etki Eden Basınç Kuvvetleri, Yüzen Cisimlerin Stabilitesi AKIŞKANLARIN KİNEMATİĞİ Akışkan Parçaları ve Kontrol Hacimleri Euler Bakış Açısı, Akım Çizgisi, Akım Borusu, Bir, İki ve Üç Boyutlu Akımlar İDEAL AKIŞKANLARIN BİR BOYUTLU AKIMLARI Temel Denklemler, Süreklilik Denklemi Enerji Denklemi (Bernoulli Denklemi), Enerji Yüksekliği İmpuls-Momentum Denklemi GERÇEK AKIŞKANLARIN BİR BOYUTLU AKIMLARI Süreklilik, Enerji ve İmpuls Denklemleri Laminar ve Türbülanslı Akımlar Türbülansın Yarattığı Sürtünme ve Türbülans Viskozitesi İDEAL AKIŞKANLARIN İKİ BOYUTLU AKIMLARI Süreklilik, Enerji ve İmpuls Denklemleri, Potansiyel Akımlar BOYUT ANALİZİ HİDROLİK BENZEŞİM VE MODELLEME Boyut Analizi, Hidrolik Benzeşim ve Modelleme 2
YARARLANILAN KAYNAKLAR AKIŞKANLAR MEKANİĞİ VE HİDROLİK, Literatür Yayınları Mehmet Berkün, AKIŞKANLAR MEKANİĞİ TEMELLERİ ve UYGULAMALARI, Yunus A. Çengel, John M. Cimbala, İzmir Güven Kitabevi AKIŞKANLAR MEKANİĞİNE GİRİŞ, Young, Munson, Okiishi, Huebsch, Nobel Yayın AKIŞKANLAR MEKANİĞİ, Salih Kırkgöz, Kare Yayınları AKIŞKANLAR MEKANİĞİ, F. White, Literatür Yayınları AKIŞKANLAR MEKANİĞİ ve HİDROLİK PROBLEMLERİ, Nusret Şekerdağ, Nobel Yayın 3
DERS İŞLEYİŞİ Slaytlarla anlatım 4
DERS İŞLEYİŞİ 5
DERS İŞLEYİŞİ Derse gelenler hesap makinesiz sınıfa alınmayacak.. 6
DERSE BENDEN SONRA GELEN ARKADAŞ LÜTFEN SINIFA GİRMESİN!!! SONRAKİ DERSE GELSİN 7
DERS SÜRESİNCE CEP TELEFONLARINIZI SESSİZ KONUMA ALINIZ 8
LÜTFEN DERSE TURİST GİBİ GELMEYİN 9
1. GİRİŞ 10
BİRİM SİSTEMLERİ Fizik ve mekanikte C.G.S. ve M.K.S. birim sistemlerinin kullanıldığı bilinmektedir. Bir taraftan bu birim sistemleri kullanılırken diğer taraftan dünya yeni bir birim sistemi olan SI (Systeme International) birim sistemine geçmiş bulunmaktadır. Büyüklük MKS Birim Sistemi SI Birim Sistemi Birim Sistemleri Arasında Geçiş Uzunluk m m Kuvvet kg N (=kg.m/s 2 ) 1 kg = 9,81 N Zaman s s Kütle kg.s 2 /m kg Basınç kg/m 2 Pa (=N/m 2 ) 1 kg/m 2 = 9,81 Pa Moment kg.m N.m 1 kg.m = 9,81 N.m Enerji kg.m J (=N.m)! kg.m = 9,81 J Güç kg.m/s W(=J/s) 1 kg.m/s = 9,81 W Özgül Kütle (Yoğunluk) (ρ) kg.s/m 4 kg/m 3 Özgül Ağırlık (γ) kg/m N/m 3 Dinamik Viskozite (μ) kg.s/m 2 N.s/m 2 (Pa.s) Kinematik Viskozite (υ) m 2 /s m 2 /s
BİRİM SİSTEMLERİ SI birim sisteminin yanında İngiliz Birim Sistemi (BG) de günümüzde kullanılmaktadır. İngiliz Birim Sisteminde Uzunluk Birimi foot (ft), zaman birimi saniye (s) ve kütle nin birimi libre-kütle(pound-mass, lbm) dir. 1 lbm= 0.45359 kg 1 foot= 0.3048 m 12
1.1 Temel Kavramlar Mekanik, bir cismin bir cisme göre hareketini, zamana bağlı olarak hareketi doğuran sebeplerle birlikte inceleyen bilim dalıdır. Bir cisim bir cisme göre, zamanla konumunu değiştirmiyorsa dengededir denir. Mekanik, katı cisimler mekaniği ve akışkanlar mekaniği diye iki sınıfa ayrılır. Madde katı, sıvı ve gaz olmak üzere üç temel halde bulunmaktadır. Sıvı ve gaz halindeki madde akışkan olarak nitelendirilir. Diğer bir tanımı ise, kayma gerilmesi altında sürekli şekil değiştiren maddeye akışkan denir. 13
20. yüzyılın başlarından itibaren kimya, petrol ve havacılık endüstrisinin gelişimi ile birlikte, akışkan hareketinin daha kapsamlı incelenmesi ihtiyacı karşısında; klasik hidrodinamiğin temel teorik yaklaşımları gerçek akışkan hareketine uyarlanarak, hidroliğin deney teknikleri ile de birleştirilmek suretiyle Akışkanlar Mekaniği adı altındaki temel mühendislik bilim dalı ortaya çıkmıştır. Akışkanlar Mekaniği, duran ve hareket halindeki akışkanların davranışını inceleyen bilim dalıdır.
Akışkanlar mekaniği kapsamındaki konular genelde üç ana başlık altında toplanabilir: a. Duran akışkanların mekaniğinin incelendiği akışkanların statiği (hidrostatik) b. Hareketteki akışkanlarda, hızlar ve bunlarla bağlantılı olarak akımın geometrik özelliklerini inceleyen akışkanların kinematiği (hidrokinematik) c. Hareket halindeki akışkanlarda, hızlar, ivmeler ve akışkana gelen kuvvetler arasındaki ilişkilerin incelendiği akışkanların dinamiği (hidrodinamik)
Klasik Hidrodinamik, akışkanı sürtünmesiz (yani ideal akışkan) kabul eden matematiksel bir araştırma alanı olarak gelişmeye başlamıştır. Ancak, akışkanın gerçek özelliklerini dikkate almayan bu tür yaklaşımlar uygulamada yetersiz kaldığından; mühendisler, özellikle su akımları üzerinde deneysel çalışmalara yönelmişler ve mühendislik uygulamalarında kullanılmak üzere bazı deneysel (ampirik) formüller geliştirmişlerdir. Bu kapsamdaki çalışmalar Hidrolik adı altında gelişimini sürdürmektedir.
1.2. Akışkanın Tanımı Tekrar akışkan tanımını yaparsak, herhangi büyüklükte bir kayma gerilmesi üzerine etkidiği zaman sürekli deforme olan (şekil değiştiren) malzeme akışkan tanımlanır. Bir yüzeyin birim alanına etkiyen kuvvetin dik bileşenine normal gerilme, teğetsel bileşenine de kayma gerilmesi verilir (Şekil 1.1). Durgun akışkanlarda normal gerilme basınç olarak adlandırılır. Katı ve sıvı arasındaki fark, maddelerin şeklini değiştirmek üzere uygulanan kayma gerilmesine yada teğetsel gerilmeye (τ) karşı gösterdikleri direnç ile anlaşılır. Katı, uygulanan kayma gerilmesine bir miktar şekil değiştirerek direnebilir. Tam tersine sıvı, kayma gerilmesi ne kadar küçük olursa olsun sürekli olarak şekil değiştirir. Akışkan, en küçük gerilmenin etkisi altında bile sürekli ve sınırsız şekil değiştiren maddedir.
Tekrar akışkan tanımını yaparsak, herhangi büyüklükte bir kayma gerilmesi üzerine etkidiği zaman sürekli deforme olan (şekil değiştiren) malzeme akışkan tanımlanır. Bir yüzeyin birim alanına etkiyen kuvvetin dik bileşenine normal gerilme, teğetsel bileşenine de kayma gerilmesi verilir (Şekil 1.1). Şekil 1.1. Bir akışkan eleman yüzeyinde normal ve kayma gerilmesi
KATI VE AKIŞKAN ARASINDAKİ FARKLAR a. Katılarda, moleküller arasındaki çekme kuvvetleri büyük olduğundan kayma gerilmesi altında belirli ölçüde şekil değiştirirler. Sıvılarda moleküler bağ kuvvetleri çok daha zayıf olduğundan, gayet küçük kayma gerilmeleri altında bile sürekli olarak şekil değişikliğine maruz kalırlar.
KATI VE AKIŞKAN ARASINDAKİ FARKLAR b. Katılar, dış kuvvetler altında bünyelerine elastik enerji depo ederler ve kuvvetlerin kalkması durumunda ilk biçimlerine dönüş yaparlar. Akışkanlar ise moleküler bağların zayıflığından, kuvvetlerin kalkması ile ilk durumlarına geri dönüş yapamazlar. Şekil 1.2. Kayma gerilmesi altında katı ve akışkanın açısal deformasyonu
Sıvı-Gaz Karşılaştırılması Gazlar sıkışabilen akışkandır. Sıvılar, çok büyük basınçlar altında sıkışabilmelerine rağmen mühendislik problemlerinin çoğunda sıkıştırılamaz kabul edilir. Sıvılar belirli bir hacmi işgal etmelerine ve serbest yüzeye sahip olmalarına rağmen, gazlar bulundukları kabın her tarafını işgal edecek şekilde yayılmaktadırlar. Gazlar serbest yüzey oluşturamaz. Şekil 1.3. Gazlar, sıvılardan farklı olarak, serbest yüzey oluşturamaz ve genişleyerek mevcut hacmin tamamını doldurur.
1.3. Akışkanların Özellikleri 1.3.1. Yoğunluk Akışkanın birim hacmin kütlesi yoğunluk (özgül kütle) olarak adlandırılır. ρ (Rho) ile gösterilir. ρ = m / V (kg/m 3 ) (1.1) Yoğunluk değeri farklı akışkanlar arasında önemli farklılıklar gösterir. Sıvılarda, basınç ve sıcaklık değişimi, yoğunluk üzerinde sadece küçük bir etkiye sahiptir. Sıcaklıktaki büyük değişimin suyun yoğunluğunda sebep olduğu küçük değişim Şekil 1.4 te gösterilmiştir.
Şekil 1.4. Sıcaklığın fonksiyonu olarak suyun yoğunluğunun değişimi Sıvıların aksine, gazın yoğunluğu hem basınç hem de sıcaklıktan önemli ölçüde etkilenir. Suyun standart şartlardaki (+4 0 C ve 760 mm civa atmosfer basıncında) yoğunluğu ρ su = 1000 kg/m 3 = 1 t/m 3 dür.
Yoğunluğun tersi özgül hacim υ ise (birim kütlenin hacmi) dir. Yani V m m kg 3 1 ( / ) (1.2) Bazen bir maddenin yoğunluğu, iyi bilinen bir maddenin yoğunluğuna göre verilir. Bu durumda yoğunluk yerine bağıl yoğunluk deyimi kullanılır ve bir maddenin yoğunluğunun, belirli bir sıcaklıktaki standart bir maddenin yoğunluğuna oranı (genellikle +4 o C deki yoğunluğu ρ su = 1000 kg/m 3 olan su) olarak tanımlanır. Bir maddenin bağıl yoğunluğu boyutsuzdur. / (Sıvılar için) b su 3 b / hava (Gazlar için, hava =1,2 kg/m ) (1.3)
Akışkanın birim hacminin ağırlığı özgül ağırlık olarak adlandırılır. γ (gamma) ile gösterilir..g (N/m 3 ) (1.4) Burada g yerel yerçekimi ivmesidir. Suyun standart şartlardaki özgül ağırlığı γ su = 9810 N/m 3 = 9,81 kn/m 3 1.3.2. Özgül Ağırlık
Gazlar Sıvılar Tablo 1.1. Bazı akışkanların yoğunluk ve özgül ağırlık değerleri Akışkan Sıcaklık 0 C Yoğunluk kg / m 3 Özgül Ağırlık N / m 3 Su 4.0 1000 9810 Civa 20.0 13600 133416 Benzin 15.6 680 6671 Etil Alkol 20.0 789 7740 Hava 15.0 1.23 12.0 Oksijen 20.0 1.33 13.0 Hidrojen 20.0 0.0838 0.822 Metan 20.0 0.667 6.54
Örnek 1.1. : Hacmi 0,45 m 3 olan bir akışkanın kütlesi 405 kg dır. Bu akışkanın yoğunluğunu, birim hacim ağırlığını ve bağıl yoğunluğunu bulunuz. 27
m V 405 0,45 3 900 kg/m * g 900*9,81 3 8829 N/m b su 900 1000 0,90
1.4. İdeal Gaz Kanunu Sıvılarla karşılaştırıldığında, gazların daha çok sıkıştırılabilir olduğu görülür. Gaz yoğunluğundaki değişim, basınç ve sıcaklıktaki değişimle aşağıdaki bağıntı ile doğrudan bağlıdır. p RT. (1.5) şeklinde ifade edilir. Burada p (PA) mutlak basınç, R gaz sabiti, T (K) mutlak sıcaklık, ρ (kg/m 3 ) yoğunluktur. Bu eşitlik yaygın olarak ideal gaz kanunu veya ideal gaz için hal kanunu olarak adlandırılır. R gaz sabiti her gaz için farklıdır. Mutlak sıcaklık (K) olarak aşağıdaki gibi elde edilir o (1.6) T( K) T( C) 273
Örnek 30
31
1.5. Akışkanların Sıkıştırılabilirliği Bir akış, akış boyunca yoğunluğun değişme miktarına göre sıkıştırılabilir veya sıkıştırılamaz olarak sınıflandırılabilir. Sıkıştırılamazlık bir yaklaşımdır ve yoğunluk akış boyunca her yerde yaklaşık sabit kalıyorsa, akışın sıkıştırılamaz olduğu söylenebilir. Bu yüzden akış (ya da akışkan) sıkıştırılamaz kabul ediliyorsa, akışkanın hacmi, hareketi boyunca değişmez. Bütün akışkanlar basınç altında sıkışırlar, bünyelerine elastik enerji depo ederler ve basıncın kalkmasıyla tekrar ilk hacimlerine geri dönerler. Birçok durumda akışkanlar sıkıştırılamaz kabul edilebildiği halde, ani ve yüksek basınç değişimlerinde akışkanların sıkışabilirliği önem kazanmaktadır.
Hacim değişim miktarı, bir akışkandan diğerine farklılık gösterir. Akışkanlar basınca karşı elastik katılar gibi davranırlar. Gazlarda sıkışabilirlik en fazla, katılarda ise en azdır. Bunun sebebi moleküller arası boşluklardır. Akışkanların sıkıştırılabilirliklerini karakterize etmekte yaygın olarak kullanılan özellik Bulk modülü, E v dir. Bulk modülü şöyle tanımlanır : (sonlu değişimler cinsinden) E V p V V (1.7) Burada V başlangıçtaki hacim, Δp ve ΔV ise basınç ve hacimdeki değişmedir. Eksi işareti, basınç artışının hacimde küçülmeye sebep olduğunu gösterir.
Elastisite katsayısının değeri sabit değildir. 1 1 ifadesinin diferansiyeli alınarak gerekli düzenlemeler yapılırsa E V p (1.8) E V dp d / (1.9) elde edilir. E su = 2.15x 10 9 Pa (=N/m 2 ) E hava = 1.42 x 10 9 Pa 1 atm= 101325 Pa 101,33x10 3 Pa
Akışkan sıkışabildiğine göre yoğunluğu değişecektir ve sıkıştıkça yoğunluğu artacaktır. Bununla birlikte mühendisliğin bir çok probleminde normal koşullar altında suyun sıkışmaz bir madde olduğu bazı özel problemler (su darbesi vb.) dışında yapmak mümkün olmaktadır. Bir sıvının sıkışabilme özelliği şekildeki silindir piston deneyi ile açıklanabilir. Şekilde görüldüğü gibi pistona uygulanan F kuvvetinin artmasıyla ilk hacmi V 1 olan sıvının hacmi azalarak V olur.
Pistona uygulanan P basıncının V/V 1 ile değişimi çizildiğinde gerilme birim hacim deformasyon eğrisi elde edilir. Bu eğrinin herhangi bir noktasındaki teğetinin eğimi o noktadaki elastisite modülünü verir. E V dp dv / V 1
Örnek 1.2 : Deniz seviyesinde deniz suyunun yoğunluğu 1026 kg/m 3 tür. 2000 m derinlikte 20231400 N/m 2 basınç altında deniz suyu yoğunluğunu bulunuz. (E = 2,15x10 9 N/m 2 ). (1 atm = 101,33x10 3 N/m 2 ) 37
Deniz seviyesinde normal atmosferik koşullar altında atmosfer basıncı P atm = 101,33x10 3 N/m 2 E = 2,15x10 9 N/m 2 ise su yüzeyi ile 2000 m derinlik arasındaki basınç farkı p p p atm E p V V V V m V V m m m V 0 20231400 101330 m m m V 0 V V 0 0 0 1 V V 0 p 20130070 9 E 2,15x10 2 20130070 N/m 0, 0094 V m 0 m 0. V. 0 m 1 V 1026 0,0094 1 1035,7 kg/m 3
Örnek 1.3 : Suyun yoğunluğunu % 3 oranında artırmak için gerekli basınç artışını hesaplayınız. Suyun elastisite modülünü 2 x 10 9 alınız. 39
E V dp d / d 0,03 için dp E V d dp E V * d dp 9 2 7 2 2.10 *3.10 6.10 N/m
1.2.4. Viskozite (μ) (Viscosity) (Akmazlık) Yoğunluk ve özgül hacim özellikleri, akışkanın «ağırlığının» bir ölçüsüdür. Bu özelliklerin akışkanın davranışını tek başlarına karakterize etmeye yeterli olmadıkları açıktır. İki akışkan (su ve yağ gibi) hemen hemen aynı yoğunluğa sahip olmalarına rağmen akarken tamamen farklı davranış gösterirler. Akışkanın akıcılığını (yani akışkan ne kadar kolayca akar) tarif etmek için ek bir özelliğe ihtiyaç olduğu açıkça bellidir.
Temas halindeki iki katı cisim birbirlerine göre bağıl bir hareket yaptıklarında temas yüzeyinde harekete zıt yönde bir sürtünme kuvveti meydana gelir. Örneğin, bir masayı hareket ettirmek için sürtünme kuvvetini yenmeye yetecek, yeterli büyüklükte bir kuvveti yatay yönde masaya uygulamamız gerekir. Masayı hareket ettirmek için gerekli olan kuvvetin büyüklüğü, masa ile yer arasındaki sürtünme katsayısına bağlıdır. Benzer durum, bir akışkanın bir katıya veya iki akışkanın birbirlerine göre hareketlerinde de söz konusudur. Hava içerisinde nispeten rahat hareket ederiz, ancak suda böyle değildir. Hatta yağ içerisinde hareket daha zordur. Akışkanların kayma gerilmelerine veya açısal deformasyonlara, yani akmaya karşı direnç gösterme özelliğine viskozite özelliği denir. Akışkanlık ile zıt anlam taşımaktadır.
Akışkan akımında kayma (yani sürtünme) kuvvetleri, moleküller arasındaki kohezyon ve momentum alışverişinden kaynaklanır. Sıvılarda viskozitenin esas nedeni kohezyon kuvvetleri olup, sıcaklığa bağlı olarak kohezyonu zayıflaması ile birlikte viskozite özelliğinde zayıflama görülür. Diğer taraftan, gazlarda viskozite moleküler momentum transferinden kaynaklandığından, sıcaklığa bağlı moleküler aktivitenin artmasıyla gazların viskozitesinde artış olmaktadır. Normal basınçlarda viskozite basınçtan bağımsızdır. Bütün akışkanlar viskozite özelliğine sahiptirler.
Akışkanların kayma gerilmelerine karşı gösterdiği direnç son derece küçüktür. Kayma gerilmesi etkisi ile su açısal deformasyona uğrar. Küçük değerdeki bir kayma gerilmesinin etkisi altında bile akışkan sürekli olarak şekil değiştirir. Açısal deformasyon miktarı kayma gerilmesi ile orantılıdır. Viskozite şekilde görülen bir deney ile belirlenebilir.
Şekildeki gibi birbirinden uzak olmayan Y mesafeli iki paralel levha arası viskoz bir akışkan ile dolu olsun. Alt yüzeyi sabit, A alanlı üst levha ise bir F kuvveti altında U hızıyla hareket ettirilsin. Y nin küçük olması halinde akışkan hızının sıfır ile U arasında doğrusal olarak değiştiği kabul edilebilir.
Yapılan deneyler, F kuvvetinin A ve U ile doğru, Y ile ters orantılı olduğunu göstermiştir. F AU Y Veya hareketli plaka ile sıvı ara yüzündeki kayma gerilmesi ise F U A Y Olup orantı sabiti olarak μ kullanılırsa kayma gerilmesi
(1.10) Şeklinde elde edilir. (1.11) denklemi diferansiyel formda yazılabilir:. U Y. du dy (1.11) (1.11) ifadesine Newton un viskozite kanunu denir. Burada hız gradyanı du/dy akışkanın açısal deformasyon (kayma) hızını, μ ise akışkanın viskozite özelliğini temsil etmekte ve viskozite katsayısı, mutlak viskozite, kuvvet birimi içerdiğinden dinamik viskozite veya kısaca viskozite adıyla anılmaktadır (N.s/m 2 =Pa.s). τ ile du/dy arasındaki bu doğrusal ilişkiye uyan akışkanlara Newtoniyen akışkanlar denir. Newtoniyen olmayan akışkanlarda bu değişim doğrusal değildir (kan, duvar boyaları, çamur vb.).
μ büyük ise akışkan çok viskoz, μ küçük ise akışkan az viskoz özelliktedir. Sıvılarda μ sıcaklıkla azalır. Zira sıvılarda kayma gerilmesi oluşmasına asıl neden, molekülleri birbirine göre hep aynı konumda tutmaya çalışan moleküller arası kohezyon kuvvetidir. Bu kuvvetin büyük olması kayma gerilmesine gösterilen direncin (viskozitenin) büyük olması demektir. Sıcaklığın artması ile kohezyon kuvveti azaldığından, sıvılarda viskozite sıcaklıkla azalmaktadır. Gazlarda μ sıcaklıkla artar. Zira sıcaklıkla gazların moleküler hareketi artmakta, böylece akım tabakaları arasında daha büyük kayma gerilmesi yaratılmakta böylece akışkanın viskozitesi artmaktadır.
Viskozite Sıvılar Gazlar Sıcaklık
Sıvılarda ve gazlarda viskozite basınçla çok az değişir. İnşaat mühendisliği uygulamalarında kullanılan basınç aralıklarında, akışkanların viskoziteleri sabit kabul edilir. Dinamik viskozitenin birimi kg/s.m veya buna eşdeğer olan N.s/m 2 (yada Pa, paskal, basınç olmak üzere Pa.s) dir. Viskozitenin yoğunluğa bölünmesiyle Kinematik viskosite (m 2 /s) elde edilir : v (1.12)
τ ile du/dy arasındaki bu doğrusal ilişkiye uyan akışkanlara Newtoniyen akışkanlar denir. Newtoniyen olmayan akışkanlarda bu değişim doğrusal değildir (kan, duvar boyaları, çamur vb.). 51
Akışkanlar, genel olarak aşağıdaki Newtoniyen denklemine uyarlar: du n 1 n=1 ise m = μ Newtoniyen Akışkan m( ) dy n 1 ise non- Newtoniyen Akışkan
Akışkanlar viskozitelerine göre ideal ve gerçek akışkanlar olarak ikiye ayrılır. İdeal akışkanlar, şekil değiştirmeye karşı direnci ve dolayısıyla viskozite katsayısı sıfır olan, molekülleri arasında sürtünme kuvveti oluşmayan ve en küçük kayma gerilmesi altında şekil değiştirme hızı sonsuz olan akışkandır. Gerçek akışkanların viskozite katsayıları sıfırdan farklıdır ve bunlar şekil değiştirmeye karşı direnç gösterir. Aslında doğadaki akışkanların tümü gerçek akışkandır. İdeal akışkan ise, olayın matematik modelinin kurulması sırasında önemli ölçüde basitleştirmeler yapılabilmesini sağlayan kuramsal bir kavramdır.
Örnek 1.4 : Paralel iki düzlem levha 3,5 mm aralıkla yerleştirilmiş olup aralarında dinamik viskozitesi 0,015 Pa.s olan newtoniyen bir akışkan vardır. Levhaların birisi sabit olup diğeri 2,38 m/s hızla hareket etmektedir. Buna göre levhalara etkiyen kayma gerilmesini hesaplayınız. 54
Çözüm
Örnek 1.5 : Sabit yatay bir yüzeyde oluşan bir akımda y(m): yüzeyden itibaren düşey mesafe olmak üzere hız dağılımı u= 0.68y-2y 2 olduğuna ve sıvının dinamik viskozitesi 9x10-5 N.s/m 2 olduğuna göre yüzeyde ve y= 0.17 m deki kayma gerilmesini bulunuz. 56
Çözüm du dy du 0,68 4y dy Yüzeyde y=0 için du dy 0, 68 rad/s 5 5 2 9x10 (0, 68) 6,12*10 N / m du y=0,17 m için 0, 68 4y 0, 68 4*0,17 0 olduğundan 0 dy
1.2.5. Yüzeysel Gerilim (σ) Bir sıvının yüzey katmanının esnek bir tabakaya benzer özellikler göstermesinden kaynaklanan etkiye verilen addır. Sıvı yüzeyinde birim uzunluğu gergin tutan kuvvete yüzey gerilimi denir. Bir gazla bir sıvının ya da birbiriyle karışmayan iki sıvının temas yüzeyi gerilmiş esnek bir zara benzer. Bu gerilim sıvının serbest yüzüne aitse buna yüzey gerilimi, iki sıvının sınır yüzeyine aitse ara yüzey gerilimi (yüzeyler arası gerilim) denir. Su üzerinde bir çelik iğnenin yüzmesi, çiğ damlalarının küreselliği, kapiler tüplerde sıvının yükselip alçalması, su yüzeyinde sinek vb. canlıların yürüyebilmeleri yüzey gerilmesinin sebep olduğu olaylardır.
1.2.6. Kılcallık (Kapilarite) Yüzey gerilmesiyle ilgili çok karşılaşılan bir olay, kılcal borularda sıvının yükselmesi veya alçalmasıdır. Şekil (1.2) de görüldüğü gibi, ucu açık küçük bir tüp suya daldırıldığında, tüp içindeki su seviyesi, tüpün dışındaki su seviyesinden daha yüksek olur. Bu durumda bir sıvı-gaz katı ortak yüzeyi vardır. Su molekülleri ile tüp yüzeyi arasında bir çekim kuvveti (yapışma, adezyon) vardır ve bu çekim kuvveti su molekülleri arasındaki çekim kuvvetini (kohezyon) yenebilecek büyüklüktedir ve bunu sonucu olarak su molekülleri tüp yüzeyine doğru çekilir. Bu durumda, katı yüzeyi ıslatıyor denir. Yüzeysel gerilmenin etkisi ile sıvıların atmosfere açık ince borularda yükselmesi veya alçalması olayına kılcallık (kapilerite) denir.
Şekil 1.2 a. Yüzeyi ıslatan bir sıvının yükselmesi b. Yüksekliğin hesaplanması için serbest cisim diyagramı c. Yüzeyi ıslatmayan sıvının alçalması 60
Tüp içindeki sıvı yüksekliği, h, yüzey gerilmesine, σ, tüp yarıçapına, R, sıvının özgül ağırlığına, γ, ve sıvı ile tüp arasındaki temas açısına, θ, bağlıdır. Şekil 1.2 deki serbest cisim diyagramından, yüzey gerilmesinden dolayı oluşan düşey kuvvetin 2π.R.σ.cosθ ve ağırlığın γ.π.r 2.h olduğu örülür ve denge şartı için bu iki kuvvetin eşit olması gerekir. Buna göre, 2.. R. h 2. R..cos (1.13) olur ve buradan yukseklik,h, asagidaki gibi elde edilir : h 2.cos. R (1.14) Temas açısı, sıvıya ve boru yüzeyine bağlıdır. Su, temiz bir cam yüzeyle temas halinde olduğunda θ 0 dir. Yükseklik tüp yarıçapıyla ters orantılıdır. Bundan dolayı bir sıvının kılcal etki nedeniyle tüp içinde yükselmesi, tüp yarıçapı azaldıkça artar. 61
Örnek 1.6: 0,8 mm yarıçapında temiz bir cam boru, içerisinde 20 0 C de su bulunan bir kaba daldırılmıştır. Suyun borudaki kılcal yükselmesini belirleyiniz. (Suyun 20 0 C de yüzey gerilimi 0,07132 N/m) 62
Çözüm h 2..cos 2.0, 07132.cos 0. 9810.0,8.10 0,018 m=1.8cm 3 su R