MONTE CARLO SİMÜLASYONU İLE İNŞAAT PROJELERİNDE SÜRE PLANLAMASI Simülasyon gerçek yaşamı taklit etme sürecidir. Simülasyon Çeşitleri Fiziksel simülasyon Bilgisayarlı simülasyon Bilgisayarlı simülasyon kullanım nedenleri Problemlerin/ sistemlerin karmaşık olması Sistemin bileşenleri arasındaki raslantısallık Simülasyonun ile problem/sistem analizinin yararları Kullanımın kolay, açık, güvenli, ve ucuz olması Farklı senaryolara gore sonuçların irdelenmesi Simülasyonun ile problem sistemin analizine ilişkin sınırlamalar Optimum çözüme ilişkin sonuç vermemesi Zaman alıcı olması Simülasyon ve raslantısallık ilkesi Sistemin girdileri ve raslantısallık Sistemin çıktıları ve raslantısallık Raslantısal sayı Raslantısal sayı 0 ile 1 arasında değişir Raslantısal Sayıların Üretilmesi Ticari Yazılımlar Mathlab, Ecel, Simul 8 ve Matcad Bireysel Yazılan Algoritmalar Visual Basic, Pascal, Fortran 1
Olasılık Dağılımları 1. Parçalı Olasılık Dağılımı pmd p() p() = P(X = ), P() 2
1.1 Binom Olasılık Dağılımı (BOD) n n P( X ) p (1 p), 0,1, 2,..., n n = deneme sayısı, p = gerçekleşme olasılığı X = n deneme sonunda gerçekleşme sayısı 1.2 Poisson Olasılık Dağılımı (POD) e P( X ),! 0,1, 2,... = ortalama gerçekleşme olasılığı, e = 2.71828 X = gerçekleşme sayısı 2. Sürekli Olasılık Dağılımları pdf p() P() P(a X b) f() a b 3
2.1 Uniform Olasılık Dağılımı (UOD) L: Alt sınır U: Üst sınır R: Raslantısal sayı RV: Raslantısal Değişken P() L U RV = R*(U-L) +L Örnek A noktasından B noktasına yürümek en az 10 dakika ve en fazla 15 dakika sürüyor. Bu süreci 10 defa simüle ediniz. Raslantısal Sayı (R) Raslantısal Değişken (RV) 0.981 14.905 0.997 14.987 0.111 10.554 0.083 10.416 0.250 11.250 0.074 10.371 0.863 14.313 0.144 10.718 0.104 10.519 0.053 10.267 16. 000 14. 000 12. 000 10. 000 8. 000 6. 000 4. 000 2. 000 0. 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4
2.2 Üçgensel Olasılık Dağılım (ÜOD) L: Alt sınır H: Üst sınır M: Mod değeri R: Raslantısal sayı RV: Raslantısal değişken P() L Mod Değeri U Raslantısal değişkenin, (RV), değerinin hesaplanmasında raslantısal sayının (R) değerine bağlı olarak iki farklı formül kullanılır. (Mod - L) Eğer, R ise (H - L) RV L (Mod - L) (H - L) R (Mod - L) Eğer, R ise (H - L) RV H (H - Mod) (H - L) ( 1 - R) Örnek 2. Bir kapının montajı genellikle 20 dakika sürüyor fakat 15 dakikada veya 30 dakikada montajının yapıldığı da oluyor. Bu montaj sürecini 10 defa simüle ediniz. Raslantısal Sayı (R) Raslantısal Değişken (RV) 30. 000 0.667 22.074 0.573 21.558 0.885 23.147 25. 000 20. 000 0.034 27.744 0.309 23.196 0.323 23.037 15. 000 10. 000 0.685 22.165 0.557 21.464 0.947 23.426 0.040 27.546 5. 000 0. 000 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5
2.3 Normal Olasılık Dağılımı (NOD) : Ortalama : Standard sapma R: Raslantısal sayı RV: Raslantısal değişken f ( ) 1 2 2 e 2 2 ( ) / 2, Normal dağılım, olasılık dağılımları içerisinde en önemli bir yere sahiptir. P() RV 2log R *( COS2 R)* Örnek: 10m2 lik bir duvarın sıvanması 10 dakikalık sapma ile 60 dakikada tamamlanıyor. 6
2.4 Eksponansiyel Olasılık Dağılım (EOD) : Ortalama R: Raslantısal sayı RV: Raslantısal değişken f ( ) 1 e P() X RV = - * log R Örnek: Bir buldozerin bozulması 100 saatlik bir ortalama ile eksponansiyel dağılımı sahiptir. 7
Örnek 1: Aşağıda şebeke diyagramı verine inşaat projesinin 45gün içerisinde tamamlanma olasılığını Monte Carlo simülasyonu analizini kullanarak bulunuz? Eylem C Eylem D UOD (18,22) UOF (10,15) 1 3 4 Eylem E UOD (10,12) 5 Eylem A UOD (8,9) Eylem B UOD (10,12) 2 a) Projede yer alan eylemlerin 10 defa simüle edilmesi ile projenin süre analizi SİMÜLASYON A B C D E PROJE SÜRESİ SAYISI UOD (8,9) UOD (10,12) UOF(18,22) UOD (10,15) UOD (10,12) 1 8.980792 11.52444 20.30089 13.65225 10.84401 45.0015 2 8.35608 10.80555 21.08711 10.03336 10.85721 41.97768 3 8.116124 10.30245 21.79366 13.00831 11.58469 46.38667 4 8.116364 11.40814 19.50877 12.52352 11.4785 43.52652 5 8.828799 11.12281 20.36612 12.77849 11.09908 44.2437 6 8.300174 11.34782 20.48865 11.85987 10.17038 42.5189 7 8.424708 10.89363 21.04323 11.25664 10.52058 42.82045 8 8.413528 11.60742 21.36296 13.87584 11.93788 47.17668 9 8.630698 10.53725 19.33926 13.9293 11.47797 44.74653 10 8.236901 10.22978 18.13199 14.19103 10.41757 43.07528 ORTLAMA PROJE SÜRESİ: 44.14739 STANDART SAPMA: 1.697842 P() =1.697 Z =45-44.14/1.697 = 44.14 8
Projenin 45 gün içerisinde tamamlanma olasılığı = %69 b) Projende yer alan eylemlerin 500 defa simüle edilmesi ile projenin süre analizi Projeye ait ortalama süre, 43.84488 Projeye ait standart sapma, 1.744166 Maksimum Proje süresi 48.59165 Minimum Proje süresi 46.96839 Projenin İstenen Tamamlanma Süresi 45 Projenin İstenen Sürede Tamamlanma Olasılığı 74.61% Frekans Aralığı Gözlem Sayısı (n) Toplam Ğözlem Sayısı (n) Gözlem Sayısı (%) Toplam Gözlem Sayısı (%) 30~40 0 0 0 0 40~42 3 3 0.60% 0.60% 42~44 93 90 18.00% 18.60% 44~46 252 159 31.80% 50.40% 46~47 433 181 36.20% 86.60% 47~48 488 55 11.00% 97.60% 48~49 498 10 2.00% 99.60% 49~50 500 2 0.40% 100.00% Toplam= 500 Toplam = 100% n= 500 9
200 150 159 181 100 90 50 0 55 0 3 10 2 30~40 40~42 42~44 44~46 46~47 47~48 48~49 49~50 1 97.60% 99.60% 100.00% 0.9 86.60% 0.8 0.7 0.6 0.5 50.40% 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.00% 0.60% 18.60% 30~40 40~42 42~44 44~46 46~47 47~48 48~49 49~50 10
11