Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir

20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? Bu bölümde okuru Seçim Aksiyomu nun neden do al bir aksiyom oldu una ikna etmeye çal flaca z. Bu bölüm de okuru ikna etmezse hiçbir fley etmez! Ç k fl noktam z Bertrand Russell n çok bilinen sonsuz say - da çorap çifti örne i. Sonsuz say da çorap çiftimiz var ve her çorap çiftinden bir tane çorap seçece iz. Çorap yerine ayakkab çifti olsayd, örne in hep sol ayakkab y seçerek kolayca bir seçim yapabilirdik. Ama çorap çiftlerinin sa solu belli olmad ndan, sonsuz say daki çorap çiftinin her birinden bir tekini seçmekte zorlan r z. Sonlu say da çorap çifti olsa, sorun olmaz da, sonsuz say da çorap çiftinden birini hiçbir kurala ba l kalmaks z n seçim yapabilmek hiç de bariz de ildir. Russell n örne ini akl m zda tutup, bir baflka konuya geçelim. Ba lant y daha sonra kuraca z. Say labilir sonsuzlukta bir X kümemiz olsun. Say labilir sonsuzlukta oldu undan, X in elemanlar n x 0, x 1, x 2, x 3, x 4, olarak s raya dizebiliriz. fiimdi de her x n nin iki elemanl bir küme oldu unu varsayal m. Elemanlar, x n0 ve x n1 olsun. Demek ki,

218 20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? x 0 = {x 00, x 01 }, x 1 = {x 10, x 11 }, x 2 = {x 20, x 11 }, x 3 = {x 30, x 11 }, x n = {x n0, x n1 }, fiimdi bu x n kümelerinin bileflimini alal m: X = n=0 x n = {x 00, x 01 } {x 10, x 11 } {x n0, x n1 } = {x 00, x 01, x 10, x 11,, x n0, x n1, }. Görüldü ü gibi X say labilir sonsuzlukta bir kümedir, elemanlar n 0, 1, 2, 3 diye do al say larla sayabiliyoruz. Nitekim, y 2n+i = x ni olsun: y 0 = x 00, y 1 = x 01, y 2 = x 10, y 3 = x 11, y 4 = x 20, y 5 = x 21, y 6 = x 30, y 7 = x 31, y 2n = x n0, y 2n+1 = x n1, Burada bir teorem kan tlad k. Teorem 20.1. Her eleman iki elemanl bir küme olan say - labilir sonsuzlukta bir kümenin elemanlar n n bileflimi say labilir sonsuzlukta bir kümedir.

20. Seçim Aksiyomu Neden Do ald r? 219 fiimdi çorap sorununa geri dönelim. Yukardaki her x n bir çorap çiftini simgelesin. Çoraplar n teki x n0, di eri x n1. Çoraplar yukar daki gibi y 2n+i = x ni yöntemiyle numaraland ral m. fiimdi göstergeci çift olan çoraplar, yani y 0, y 2, y 4, y 6, çoraplar n seçelim Hani sonsuz tane çorap çiftinin her birinden bir tane seçemezdik? Seçtik iflte! Yukardaki kan t biraz yanl fl. Yanl fl n nerede oldu unu aç klayal m. x n iki elemanl bir küme (bir çorap çifti) olsun. x n nin iki eleman oldu undan bu iki elemandan birini seçip bu elemana x n0, di erine x n1 ad n verebiliriz. Ama tüm x n ler için böyle bir seçim ve kodlama yapmaya hakk m z yok. (En az ndan hakk - m z n olup olmad n bilmiyoruz.) Her x n kümesiyle {0, 1} kümesi aras nda tam iki eflleme vard r. x n nin elemanlardan birine x n0, di erine x n1 ad n vermek demek, bu iki efllemeden birini seçmek demektir. E er efllemelere ƒ n ve g n dersek, her {ƒ n, g n } kümesinden bir eleman seçtik Gene sonsuz bir kümeden yaz l bir kurala ba l kalmaks z n seçim yap yoruz Bu ancak Seçim Aksiyomu yla mümkündür. Yukardaki teorem ancak Seçim Aksiyomu nun yard m yla kan tlanabilir. Teoremin do rulu una inan yorsan z (en az ndan elemanlar 2 elemanl kümelerden oluflansay labilir sonsuzluktaki kümeler için) Seçim Aksiyomu na inanmal s n z.

21. Seçim Aksiyomu nun Yayg n Bir Kullan m 21.1. Eleman Seçmek Bir A kümesi verilmifl olsun ve A, bir biçimde, hiçbiri bofl olmayan ayr k altkümelere ayr lm fl olsun. A n n bu ayr k altkümelerine parça diyelim. Demek ki A, parçalara ayr lm fl bir küme. A a b bir parça bir baflka parça Örnek 21.1. A = olsun. A n n ayr k parçalar, i tamsay - lar için, [i, i + 1) aral klar olsun. Bu aral klar gerçekten ayr kt rlar ve bileflimleri A d r. 0 1 Örnek 21.2. Gene A = olsun. r için, r + = {r + q : q } i i+1

222 21. Seçim Aksiyomu nun Yayg n Bir Kullan m olsun. Herhangi iki r ve s gerçel say s için, ya r + = s + ya da (r + ) (s + ) = olur. (Okura al flt rma.) Demek ki nin r + biçimindeki altkümeleri yi ayr k parçalara böler. fiimdi bu iki örne i ayr ayr irdeleyelim: Birinci örnekte her [i, i+1) parças ndan kolayl kla bir say (tabir caizse, bir temsilci) seçebiliriz; örne in aral n en küçük say s (ve ayn zamanda tek tamsay s ) olan i yi seçebiliriz. Parçalardan teker teker seçti imiz bu say lar çok iyi bildi imiz kümesini olufltururlar., her parçay bir ve tek bir noktada, parçadan seçti imiz noktada keser. flte resim: 0 1 X, parçalar m z n kümesi olsun: X = {[i, i+1) : i }. Parçalardan seçilen say lar n oluflturdu u kümesinin flu iki özelli i vard r: (P) Her X için, kümesinin bir ve bir tek eleman vard r., bir anlamda, parçalar n temsilci meclisi; de her parçadan bir ve bir tane eleman (temsilci) var. Her parçan n en küçük eleman seçece imize, her parçan n orta noktas n da seçebilirdik, yani [i, i+1) parças ndan i + 1/2 noktas n da seçebilirdik. Bunlar, bir j tek say s için j/2 türünden yaz lan kesirli say lard r. fiimdi Z bu temsilcilerin kümesi olsun: Z = {j/2 : j ve j tek say }. O zaman, Z aynen yukardaki (P) özelli ini sa lar.

21. Seçim Aksiyomu nun Yayg n Bir Kullan m 223 (P) Her X için, Zkümesinin bir ve bir tek eleman vard r. fiimdi benzer fleyi ikinci örnekte yapmaya çal flal m. kinci örne in parçalar ndan birini ele alal m. Diyelim r + yü ele ald k. fiimdi bu parçadan bir eleman seçelim. rr+ oldu undan bu parçadan bal gibi r eleman n seçebiliriz. Buraya kadar bir sorun yok. Bu örnekte de birinci örnekte oldu u gibi her parçadan bir eleman seçtik. Yaln z ikisinin aras nda çok önemli bir fark var ve bu önemli fark Seçim Aksiyomu nun özünü oluflturuyor. Birinci örnekte X in bir eleman ndan seçilen eleman, n n en küçük eleman yd (yani n n tek tamsay s yd ). Biri size ve bir arkadafl n za y verse ve n n en küçük eleman n bulun dese, hata yapmad n z takdirde ikiniz de ayn eleman bulursunuz, çünkü n n bir ve bir tane en küçük eleman vard r. fiimdi gelelim ikinci örne e. Diyelim size ve bir arkadafl n za ikinci örnekteki X kümesinden bir eleman verildi ve bu eleman ndan bir eleman seçmeniz istendi. Yöntemimizi uygulayal m: eleman n n bir r için r + kümesine eflit oldu unu biliyoruz. Yukarda aç klad m z yöntem, dan, yani r + den r yi seçiyordu. Ama, birçok r için r + ye eflittir. Hatta dan hangi r eleman n seçerseniz seçin, = r + olur. Bu r lerden hangisini seçmeliyiz? Anlatt m z yöntemle, X in verilen bir eleman ndan sizin ve arkadafl n z n ayn eleman elde etme olas l oldukça düflüktür, o kadar düflüktür ki 0 a eflittir. Birinci örnekte X in her eleman ndan bir eleman seçme yöntemi verilmiflti ve bu yöntemi kim uygularsa uygulas n hep ayn eleman seçiliyordu. kincisinde böyle bir fley sözkonusu de il. kinci örnekte kümesi ancak r + biçiminde yaz larak verilmiflse, yani özel bir r eleman gözler önüne serilmiflse bu kümeden tek bir eleman (r yi) seçmesini biliyoruz. kinci örne imizi irdelemeye devam edelim. Birinci örnekte (P) özelli ini sa layan bir Z kümesi bulmufltuk. Bunu ikinci ör-

224 21. Seçim Aksiyomu nun Yayg n Bir Kullan m nekte yapmaya kalk flal m. X := {r + : r } olsun. X, aynen birinci örnekteki gibi yi parçalayan kümelerin kümesi. fiimdi nin öyle bir Z altkümesi bulal m ki, Z, X in her eleman n tek bir noktada kessin. flte bulmak istedi imiz Z nin resmi: Z Böyle bir Z bulmak çok zor de il, X in her eleman ndan bir say seçmek yeterli bunun için. X in hiçbir eleman boflküme olmad ndan, X in her eleman ndan bir say seçmek mümkündür. Ancak bu seçimlerle Z yi küme yapmak zordur, hatta Seçim Aksiyomu kullan lmaks z n, seçim nas l yap l rsa yap ls n, Z nin bir küme oldu u bu ikinci örnekte kan tlanamaz. Güçlük, X in her eleman n tek bir say da kesen bir Z toplulu u bulmakta de il, güçlük, o Z toplulu unu küme olarak bulabilmektir. Seçim Aksiyomu yla (P) yi sa layan bir Z bulmak çok kolayd r: ƒ, X in seçim fonksiyonu olsun. Seçim Aksiyomu, X in böyle bir fonksiyonunun oldu unu söylüyor. Demek ki ƒ fonksiyonu X ten ye gidiyor ve her Xiçin ƒ() özelli ini sa l yor. fiimdi Z = ƒ(x) olsun. Z bir kümedir. (Fonksiyonun tan m ndan dolay bir fonksiyonun imgesi her zaman bir kümedir, bkz. [S ]) Ayr ca Z, (P) özelli ini sa lar. Seçim Aksiyomu olmaks z n nin (P) özelli ini sa layan bir Z altkümesini bulamazd k. (Ama bunu bu ders notlar nda kan tlamam z mümkün de ildir.)

21. Seçim Aksiyomu nun Yayg n Bir Kullan m 225 Seçim Aksiyomu sayesinde, herhangi bir A kümesi ayr k altkümelere (parçalara) ayr lm flsa, A n n, her parçadan tek bir eleman içeren bir Z altkümesini bulabiliriz. Bunu aynen yukarda yapt m z gibi kan tlayabiliriz. Kan tlayal m, çünkü dikkatli olmam z gereken bir nokta var. Teorem 21.1 [ZFC]. A herhangi bir küme olsun. X(A) olsun. X üzerine, X ve X in de iflik her ve eleman için = varsay mlar n yapal m. O zaman öyle bir ZAvard r ki, her X için Z n n tek bir eleman vard r. Kan tta X in bir küme oldu unu kullanaca z. Yoksa teorem yanl fl olur. Teoremde yazd m z X (A) tümcesi, X, (A) n n bir altkümesi demektir, yani hem X in her eleman (A) n n bir eleman d r hem de X -üstüne basa basa söylüyoruz- bir kümedir. Ayr ca kan tta Seçim Aksiyomu nu kullanaca z. Aksi takdirde teoremi kan tlayamay z. Son bir not daha: Örneklerimizde X = A idi. Buna ihtiyac m z yok. Gerekirse, A yerine X alarak bu varsay m sa layabiliriz ama dedi imiz gibi gerek yok. Kan ta bafll yoruz ve bafllar bafllamaz da bitiriyoruz: Kan t: ƒ, X kümesinin bir seçim fonksiyonu olsun. Z = ƒ(x) olsun. Gerisi kolay. Seçim Aksiyomu nu kullanarak yukardaki teoremi kan tlad k. Yukardaki teoremi varsayarak (ZF de elbette) Seçim Aksiyomunu da kan tlayabiliriz. Teorem 21.2 [ZF]. Bir önceki teorem do ruysa Seçim Aksiyomu da do rudur.

226 21. Seçim Aksiyomu nun Yayg n Bir Kullan m Kan t: X, boflkümeyi içermeyen herhangi bir küme olsun. X in elemanlar X kümesinin altkümeleridir, yani X(X) dir. E er A = X olarak al rsak nerdeyse bir önceki teoremin varsay mlar na düflece iz; tek sorun, X in elemanlar n n birbirinden ayr k olmad durum. fiimdilik X in elemanlar n n birbirinden ayr k olduklar n varsay p X in bir seçim fonksiyonunu bulal m. A = X olsun. Bir önceki teoreme göre, A n n, her X için Z n n tek bir eleman vard r özelli ini sa layan bir Z altkümesi vard r. Her X için bu elemana ƒ() diyelim. fiimdi ƒ, X ten A ya giden ve her X için ƒ() koflulunu sa layan bir fonksiyondur, yani X in bir seçim fonksiyonudur. Evet, e er X in elemanlar ayr k olsalard, iflimiz bitmiflti. Gelgelelim, X in elemanlar birbirinden ayr k olmayabilirler. fiimdi, X in ayr k olmayan elemanlar n belki biraz yapay olarak ayr klaflt raca z. X in her eleman n {} eleman yla de ifltirece iz. ve ayr k olmasa da, ise {} ile {} kümeleri ayr kt rlar. Y = {{} : X} olsun. (ZF nin en basit aksiyomlar n kullanarak Y nin küme oldu unu kan tlamak zor de ildir. Bu ayr nt y okura b rak yoruz.) fiimdi Y, boflkümeyi içermiyor ve elemanlar ayr k kümeler. Varsay ma göre, Y nin bir seçim fonksiyonu vard r. Bu seçim fonksiyonuna g diyelim. Tabii ki, her X için, g({} ) {}, yani bir ƒ() için, g({} ) = (, ƒ()). flte bu ƒ, X in bir seçim fonksiyonudur. Al flt rma. Seçim Aksiyomu nun Elemanlar bofl olmayan ayr k kümeler olan her kümenin bir seçim fonksiyonu vard r önermesine eflde er oldu unu kan tlay n.

21. Seçim Aksiyomu nun Yayg n Bir Kullan m 227 21.2. Yanl fl Anlafl lmas n Bofl olmayan bir kümeden bir eleman seçmek için Seçim Aksiyomu na ihtiyaç yoktur Kimi zaman hangi eleman seçildi i bilinmese bile bofl olmayan bir kümenin bir eleman (bir anlamda) seçilebilir. Örne in, e er ikiz asallar san s do ruysa X kümesi çift tamsay lar kümesi 2 olsun, yanl flsa tek say lar kümesi 2 + 1 olsun. kiz asallar san s n n do ru olup olmad flimdilik bilinmedi inden X in 2 ye mi yoksa 2 + 1 e mi eflit oldu u da flimdilik bilinmemektedir. Ama her iki durumda da X in boflküme olmad belli. X ten bir eleman seçebilir miyiz? Bir anlamda evet! X ten x eleman n seçelim x i 4 ya da 5 olarak alabiliriz, ama hangisi oldu unu bilemeyiz. X in elemanlar n bilmiyorsak bile, X in boflküme olmad - n biliyorsak, X ten bir eleman seçmek zor de ildir. Bunun için Seçim Aksiyomu na ihtiyaç yoktur. Seçim Aksiyomu, sonsuz tane bofl olmayan küme oldu unda ve bu kümelerin hiçbiri boflküme olmad nda, bu kümelerin herbirinden birer eleman seçmeye yarar. Tabii burada iflin püf noktas, seçilen bu elemanlar toplulu unun bir küme oluflturmas d r. Sonlu say da kümeden birer eleman seçmek her zaman mümkündür, çünkü sonlu say da eleman her zaman bir küme oluflturur. (ZFC nin 4 ve 5 inci aksiyomlar ndan ç kar bu.) 21.3. Seçim Aksiyomu nun Bir Uygulamas Teorem 21.3. X, yar s ral bir küme olsun. Afla daki koflullar eflde erdir. a. X in bofl olmayan her altkümesinin maksimal bir eleman vard r. b. X in artan her (x n ) n dizisi bir zaman sonra sabitleflir. Kan t: (a b). (x n ) n, X in hiç azalmayan bir dizisi olsun, yani n m do al say lar için, x n x m olsun. x N, {x n : n }

228 21. Seçim Aksiyomu nun Yayg n Bir Kullan m kümesinin maksimal eleman olsun. O zaman her n m için, x n = x N olur, yani bu aflamadan sonra dizi sabitleflir. (b a). Y, X in bofl olmayan ama maksimal eleman olmayan bir altkümesi olsun. O zaman her y Y için, {t Y : y < t} olarak tan mlanan (y, ) kümesi bofl de ildir. Elemanlar bu (y, ) kümelerinden oluflan kümeye Z diyelim. Z nin bir seçim fonksiyonu vard r. Bu seçim fonksiyonuna ƒ diyelim. i : Y Z fonksiyonu da i(y) = (y, ) olarak tan mlans n. g = ƒ i olsun. Demek ki, her y Y için, g(y) (y, ), yani y < g(y). fiimdi Y den bir y 0 eleman seçelim ve y n yi tümevar mla, y n+1 = g(y n ) olarak tan mlayal m. (y n ) n dizisi hiçbir zaman sabitleflmez, bir çeliflki. Dikkat: Kan ttaki (y n ) n nin bir dizi oldu u, yani {y n : n } toplulu unun bir küme oldu unun kan t için bkz [S, Sonuç 3.23].