Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 Numarası Adı Soyadı : CEVAP : ANAHTARI SINAV YÖNERGESİ İşaretlemelerinizde kurşun kalem kullanınız. Soru ve cevap kağıtlarına numaranızı ve isminizi mürekkepli kalem ile yazınız. Sınavın ilk 30 dakikasında sınıftan çıkılmayacaktır. Hesap makinesi kullanmak yasaktır. Sınav boyunca cep telefonlarınızı kapalı tutunuz. Cep telefonunuzun açık olması sınavınızın geçersiz sayılmasına neden olacaktır. Hesaplamalarınız için soru kağıdındaki boş yerleri kullanınız. Soru kağıtları zımbalanmıştır. Soru kağıtlarını birbirinden ayırmayınız. Değerlendirmede yanlış 1 doğruyu götürecektir. Toplam 0 adet soru vardır. Sınav süresi 10 dakikadır. Sınavda her türlü ders notunun kullanımı yasaktır. Başarılar dilerim. Doç. Dr. Emrah AKYAR. Bir sınavda 0,1, ve 3 ile puanlanan soru yer almaktadır. Öğrencilerin her bir sorudan aldıkları puanlar bir puan tablosuna yazılmaktadır. Eğer iki puan tablosunda aynı sorulara karşılık aynı puanlar varsa bu puan tabloları eş puan tablosu olsun. Örneğin, 3,,1,,0 ve 1,,1,,0 puan tabloları eş değildir çünkü ilk sorulardan alınan puanlar aynı değildir. Buna göre her zaman için en az iki öğrencinin puan tablosunun aynı olmasını garantilemek için sınıfta en az kaç öğrenci olmalıdır. A) 1 B) 13 C) D) 10 E) 10 3. basamaklı, basamakları farklı ve artan şekilde dizilmiş kaç farklı sayı vardır. Örneğin 3 istenen türde bir sayı iken, 3 istenen türden bir sayı değildir. A) B) C) 30 D) 1 E) SORULAR 1. 1 köşe noktası olan düzlemsel bir çizgenin tüm köşe noktalarının derecesi d dir. Bu çizgenin düzlemde belirlediği bölgelerin sayısı 0 olduğuna göre köşe noktaların derecesi d kaçtır? A) B) C) D) E) 8. ( ) ( + 0 1 A) 3 B) C) 101 D) 101 E) ( ) ) ( ) ( ) + + + ( ) + =? Dönem Sonu Sınavı 1 013 01 Bahar Dönemi
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01. ( 1 x + y + 3 ) ifadesinin açılımında x 3 y 3 ün katsayısı nedir? z A) 13 B) 0 C) 0 D) 18 E) 10 8. Konveks 13-gen in kaç köşegeni vardır? (Kenarlar köşegen sayılmaz) A) 1 B) C) D) E). K tam çizgesi için verilenlerden hangileri doğrudur? i. Düzlemseldir. ii. Tekparçadır. iii. Euler turu bulundurur. iv. Hamilton turu bulundurur. A) i,ii,iii,iv B) iii,iv C) ii,iii,iv D) i,iii E) ii,iii. Düzleme işaretlenmiş, herhangi üçü aynı doğru üzerinde olmayan en az kaç noktanın konveks zarfı her zaman beşgen olur? A) B) C) D) E) 8. 18 özdeş top, farklı kutuya her kutuda çift sayıda top olacak şekilde kaç farklı şekilde dağıtılabilir (kutulardan bazıları boş da kalabilir). A) 1330 B) 0 C) D) 80 E) 10. Düzgün 0 yüzlünün, 30 ayrıtı olduğuna göre kaç köşesi vardır? A) 1 B) 1 C) 10 D) 1 E) 1 Dönem Sonu Sınavı 013 01 Bahar Dönemi
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 11. Aşağıdaki iki kümeli tam çizgelerden hangisi düzlemseldir? A) K, B) K 3,3 C) K,3 D) K, E) K, 13. T çizgesi bir ağaç olsun. Aşağıda verilenlerden hangileri doğrudur? i. T iki kümeli bir çizgedir. ii. T tek parça bir çizgedir. iii. T bir döngü bulundurmaz. iv. T düzlemsel bir çizgedir. A) i,ii,iii,iv B) ii,iii,iv C) iii,iv D) i,iii E) ii,iii 1. Aşağıdakilerden hangisi Fermat ın Küçük Teoremi nin ifadesidir? A) n > için x n + y n = z n denkleminin tam sayılarda çözümü yoktur. B) π(n) n ln n C) Sonsuz tane asal sayı vardır. D) İkiden büyük her çift tamsayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir. E) p bir asal sayı ve a da herhangi bir tam sayı ise p a p a 1. Aşağıda kenarların maliyetleri ile birlikte verilen çizgeden Kruskal algoritması ile elde edilecek optimal ağacın minimum maliyeti nedir? b A) c B) C) 8 a D) 3 E) d e 1. 10 liranızı her gün 1 liraya şeker ya da liraya dondurma almak koşuluyla kaç farklı şekilde harcayabilirsiniz? A) B) C) 8 D) 11 E) Dönem Sonu Sınavı 3 013 01 Bahar Dönemi
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 1. S = {x x, 0 den küçük asal sayı} kümesinin rastgele seçilen bir X alt kümesi için X olma olasılığı nedir? A) 1/ B) 1/ C) 1/1 D) 0 E) 1/8 18. 3? (mod 3) A) 8 B) 1 C) 30 D) 1 E) 1. 0 Kökü göstermek üzere aşağıda verilen ağacın Prüfer Kodu nedir? A) 3,,,,, 8, 1, B) 1,, 1,, 3,, 3, 3 C) 1, 1,,, 1, 0,, 0 8 0 1 D) 1, 1, 1,,,, 3, 3 E) 1, 0, 1, 0,, 3,, 1. Aşağıdaki şekillerden hangisini çizdiğiniz bir çizginin üzerinden bir daha geçmeden ve elinizi kaldırmadan çizebilirsiniz? 0. Uzunluğu 0 olan bir döngüde kaç farklı mükemmel eşleme vardır? A) B) C) D) E) A) 0 B) 1 C) ( 10 ) = D) E) 10 = 10 Dönem Sonu Sınavı 013 01 Bahar Dönemi
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 1. Euler formülünden ÇÖZÜMLER v+ f = e+ 1+0 = e+ e = 30 kenar sayısı 30 elde edilir. El Sıkışma Teoreminden 1d = 30 yani d = olarak bulunur.. Her soru için farklı puan verilebileceğinden = 10 = 10 farklı puan tablosu var olabilir. O halde güvercin yuvası ilkesinden sınıfta 10 öğrenci varsa bu öğrencilerin en az ikisinin puan tablosu aynı 3. Sayının basamaklı olması istendiğinden en soldaki sayı 0 olamaz. Sayının basamaklarının artan sırada olması istendiğinden 0 istenen sayıların herhangi bir basamağında yer alamaz. Buna göre rakamdan tanesi seçilmelidir. Bu seçilen rakamlar da istenildiği şekilde sadece 1 türlü sıralanabildiğinden cevap. Binom Teoreminden. Multinomial Teoreme göre: ( 3, 3, 0 )( 1 x ( ) 1 =!!! = 8 = 1 3 3 = (+1) = ) 3 ( y ( ) k k k=0 ) 3 ( ) 3 0 =! z 3! 3! 0! 3 x 3 y 3 = 10x 3 y 3. 18 özdeş topu ikişer ikişer gruplandırırsak, (özdeş) grubumuz Bu grubu farklı kutuya, kutuların boş kalmasına da izin vererek ( ) + 1 = 1 ( ) 1 = 1! 3! 3! = 1 11 10! = 0! 3 1 8. Herhangi iki köşe noktası seçtiğimizde bunları birleştiren bir doğru parçası (yani ya bir köşegen ya da bir kenar) elde ederiz. Buna göre köşegen sayısı ( ) 13 13 = 13! 13 1 13 = 13 = 11!!. Derste bahsettiğimiz Mutlu son problemi ne göre (happy ending problem) cevap 10. Euler formülünden cevap hemen bulunabilir. f + v = e+ 0+ v = 30+ v = 1 11. K r,s iki kümeli tam çizgesinin düzlemsel olması için r nin 1 ya da olması gerekir. Bu durumda K, iki kümeli tam çizgesi düzlemsel 1. En küçük maliyetli kenarlardan başlayarak, döngü oluşmayacak şekilde kenarları çizecek olursak c b. K in düzlemsel olmadığını derste kanıtlamıştık. Diğer taraftan K in tüm köşe noktalarının derecesi olduğundan bir Euler turu bulundurur, tek parçadır ve Hamilton turu bulundurduğu da açıktır. d 8 e a Dönem Sonu Sınavı 013 01 Bahar Dönemi
Ayrık Hesaplama Yapıları A GRUBU 0.0.01 ağacını elde ederiz. Bu ağacın maliyeti de +++8 = 13. Ağacın tanımı gereği T tek parça ve döngü içermeyen bir çizgedir. T nin düzlemsel olduğu da açıktır. Ayrıca n köşe noktalı bir T ağacı K 1,n 1 iki kümeli tam çizgesi gibi de düşünülebileceğinden verilenlerin hepsi doğrudur. 1. Cevap: p bir asal sayı ve a da herhangi bir tam sayı ise p a p a. 1. n lira her gün ya 1 ya da lira harcanarak F n+1 farklı şekilde harcanabilir (ders notlarınıza bakınız). Buna göre cevap F 11 = 8 1. S = {, 3,,, 11, 13, 1, 1} Buna göre S = 8 olduğundan S kümesinin 8 = tane alt kümesi vardır. Bu alt kümelerden tanesi yi bulundurur (neden?). O 1. halde cevap 8 = 1 1. En küçük dereceli noktalardan başlayarak kenarları yazarsak 3 8 1 1 1 1 0 0 0 O hade Prüfer kodu 1, 1,,, 1, 0,, 0 0. Uzunluğu 0 olan bir döngüde 0 nokta vardır. Bu noktaları aşağıdaki gibi gösterelim. 1 3... 10 Buna göre 1 noktası sadece ve 0 ile eşlenebilir. 0 1 18... 11 şeklini bir çizge gibi düşünecek olursak, tüm noktaların dereceleri çift olduğundan bu çizgede bir Euler turu vardır. Yani bu şekil çizilen bir çizginin üzerinden bir daha geçilmeden ve kalem kaldırılmadan çizilebilir. 18. Önce 1 (mod 3) değerini hesaplayalım. Euclid Bölme Algoritmasından, 1 = = (3 ) = 1 3 yazılabileceğinden 1 1 (mod 3) Şimdi her iki tarafı 3 ile çarparsak, sonucuna ulaşılır. 3 1 3 1 8 (mod 3) Dönem Sonu Sınavı 013 01 Bahar Dönemi