Akışkanların Dinamiği

Akışkanların Dinamiği

Akışkanların Dinamiğinde Kullanılan Temel Prensipler Gaz ve sıvı akımıyla ilgili bütün problemlerin çözümü kütlenin korunumu, enerjinin korunumu ve momentumun korunumu prensibe dayanır.

Akışkanların Dinamiğinde Kullanılan Temel Prensipler Kütlenin korunumu prensibinin akışkanların akımına uygulanmasıyla süreklilik denklemi elde edilir. Enerjinin korunumu prensibinin akışkan akımına uygulanması sonucunda enerji denklemleri elde edilir.

Akışkanların Dinamiğinde Kullanılan Temel Prensipler Momentumun korunumu prensibinin bir kontrol hacminden geçen akıma uygulanması suretiyle hareketli akışkanlar tarafından etki ettirilen kuvvetlerin çözümüne ait hareket denklemleri elde edilir.

Kütlenin Korunumu Kütle enerji gibi korunan bir özelliktir ve bir akışkan akımı esnasında vardan yok veya yoktan var edilemez. Bir akışkan akımı esnasında sistemin kütlesinin sabit kalması gerektiğinden, kapalı sistemlerde kütlenin korunumu ilkesi tam olarak uygulanır.

Kütlesel ve Hacimsel Debiler Bir en-kesitten birim zamanda geçen akışkan hacmine hacimsel debi denir. 3 Q Vort A V. A m / s

Kütlesel ve Hacimsel Debiler Bir en-kesit alanından birim zamanda akan kütle miktarına kütlesel debi denir. Q. V. A. Q kg / s k

Kütlenin Korunumu İlkesi Bir kontrol hacmi için kütlenin ilkesi: korunumu Δt zaman aralığında kontrol hacmine giren veya çıkan net kütle miktarı, Δt süresinde kontrol hacmi içerisindeki net kütle değişimine (artışa veya azalmaya) eşittir şeklinde ifade edilir.

Kütlenin Korunumu İlkesi Yani, kütlenin korunumu ilkesi m giren m çıkan = Δm (kg) şeklinde yazılabilir.

Kütlenin Korunumu İlkesi Kütlenin korunumu ilkesi, birim zamandaki geçişler ve değişim cinsinden (Q k ) giren (Q k ) çıkan = dm/dt (kg/s) şeklinde de yazılabilir.

Kararlı Akış Prosesleri İçin Kütle Dengesi Bir kararlı akış prosesinde, kontrol hacmi içerisindeki kütle miktarı zamanla değişmez. Bu durumda, kütlenin korunumu ilkesi gereği kontrol hacmine giren toplam kütle miktarı, kontrol hacmini terk eden toplam kütle miktarına eşit olmalıdır.

Kararlı Akış Prosesleri İçin Kütle Dengesi Birden fazla giriş ve çıkışı olan genel bir kararlı akış sistemi için kütlenin korunumu ilkesi Σ (Q k ) giren = Σ (Q k ) çıkan (kg/s) şeklinde yazılabilir.

Örnek 5.1. Geniş bir tanka A ve B girişlerinden su ve yağ pompalanmakta ve elde edilen homojen karışım 40 cm çaplı C borusundan çıkmaktadır. Tanka giren yağın debisi 0.3 m 3 /s ve suyun debisi 0. m 3 /s dir. Akışkanları sıkışmaz kabul ederek C den çıkan homojen karışımın yoğunluğunu ve hızını hesaplayınız. (A, B ve C kesitleri aynı yataydadır ve üç kesitte de basınç aynıdır.) 3 800 kg / m yağ

Qg Q ç Q Q Q A. Q. Q. Q yag yag su su k B C C k yag. Qyag su. Qsu 800*0.3 1000*0. 880 kg/m Q 0.5 C 3 Q V A C C* C V C Q A C C V C 0.5 * 0.4 4 3.98 m/s

Örnek 5.. Şekildeki silindirik tank 1 ve 3 nolu borular tarafından doldurulmakta ve nolu boru tarafından boşaltılmaktadır. a. Şayet tanktaki su seviyesi sabit ise nolu borudaki hızı bulunuz. b. Şayet tanktaki su seviyesi değişiyorsa ve nolu borudaki hız 8 m/s ise su seviyesinin değişim hızını bulunuz. dh dt

Q Q Q 1 3 Q g Q 1 6* *0.06 0.0169 Q3 0.015 4 3 Q 0.0319 m /s V Q 0.0319 V 5.01 m/s A * 0.09 Q * 0.09 V Q 8* 0.0509 m /s A 4 d Q d * 1.00 c dt 0.0319 0.0509 * h dt 4 0.019 dh 0.785 dh dt dt 0.04 m/s b. 3 4

Örnek 5.3. 0.914 m çapında, 1.19 m yüksekliğinde ve üst yüzeyi atmosfere açık silindirik bir tank başlangıçta su ile doludur. Tankın taban kenarında bulunan boşaltma tapası çekiliyor ve 1.7 cm çapındaki bir su jeti dışarı fışkırıyor. Su jetinin ortalama hızı V gh bağıntısıyla verilmektedir. Tank içindeki su seviyesinin tabandan itibaren 0.609 m yüksekliğe düşmesi için geçecek olan süreyi belirleyiniz.

Q Q k giren k çıkan dm dt m.. A. h. gh. A dt D D jet tank jet tank d. A. h. dt dh gh tank Qk. V. A. gh. Ajet çıkan A jet * çıkan D jet 4 Suyun yoğunluğunun sabit olduğu göz önüne alınırsa, herhangi bir anda tank içerisindeki suyun kütlesi A tank * D 4 tank *. gh. D 4 jet *. D 4 dt tank dh

t = 0 da h = h 0 ve t = t de h = h sınır şartlarında integral alınır t 0 dt D tank Djet. g h h 0 dh h h h D g D 0 tank t. jet t 1.19 m 0.609 m 0.914. 9.81 0.017 t 757sn 1.6dakika

Enerji Denklemi (Bernoulli Denklemi) Bernoulli denklemi, basınç, hız ve yükseklik arasındaki ilişkiyi temsil eden yaklaşık bir bağıntıdır ve net sürtünme kuvvetlerinin ihmal edilebilir olduğu daimi, sıkıştırılamaz akış bölgelerinde geçerlidir. Bu denklemin, basitliğine rağmen, akışkanlar mekaniğinde çok güçlü bir araç olduğu kanıtlanmıştır.

Bernoulli denkleminin türetilmesinde ana yaklaşım, viskoz etkilerin atalet, yerçekimi ve basınç etkilerine oranla ihmal edilebilir derecede küçük olduğudur. Bernoulli denklemi sadece net viskoz kuvvetlerin atalet, yerçekimi ve basınç kuvvetlerine oranla ihmal edilebilecek derecede küçük olduğu viskoz olmayan akış bölgelerinde geçerli olan temsili bi denklemdir. Bu tür bölgeler, katı cismin çeperlerine çok yakın bölgelerin (sınır tabaka) ve cisimlerin hemen aşağı akımın (akışın art izleri) dışında görülür. 3

Şekilde gösterildiği gibi bir akışkan parçasının karşılaştırma düzleminden yüksekliği (z) sebebiyle bir potansiyel enerjisi, hızı (u) sebebiyle bir kinetik enerjisi vardır. 4

mg ağırlığındaki bir parçanın bu enerjilerini aşağıdaki şekilde verebiliriz. u Potansiyel Enerjisi mg. z Kinetik Enerjisi m Akış halindeki akışkan, basınç dolayısıyla da bir iş yapar. Bir kesitte basınç kuvvet yaratır ve bunun etkisi ile akışkan akarken kesit ileriye doğru hareket ederek iş yapılır. Eğer AB kesitinde basınç p ve kesit alanı A ise: AB üzerine etki eden kuvvet pa. Akım borusunda mg ağırlığındaki akışkan parçasının akışı ile AB kesiti A B konumunu alır. AB'yi geçen hacim mg g m olur ve bundan dolayı 5

AA' uzaklığı m/ A Yapılan iş=kuvvet x AA' pa x( m / A) Birim ağırlık başına düşen iş= p/ g olarak bulunur. (p / ρg) terimi akış işi veya basınç enerjisi olarak isimlendirilir. Bu enerji, akışkanın basınç altında akış halindeki enerjisidir. Enerjinin korunumu ilkesine göre enerjilerin toplamı sabit olmalıdır. Buna göre enerjiler toplanırsa (potansiyel, kinetik ve birim ağırlık başına düşen iş), p u z g g sabit yazabiliriz. Bu denklemde (p/ ρg) basınç yüksekliği, (u /g) hız yüksekliği, (z) yer yüksekliği veya geometrik kot olarak isimlendirilir. Akım çizgisi üzerindeki iki noktaya yukarıdaki denklem uygulanırsa, 6

1 1 z1 z 1g g g g p u p u bulunur. İdeal akışkan akışında bir kesit üzerindeki noktasal hızlar birbirine eşittir ve kesit ortalama hızı ile aynıdır (u = V). Sıkışmayan akışkan kabulü ile, akışkanın yoğunluğu (ρ) değişmediği için ρ 1 =ρ =ρ yazılarak, 1 1 z1 z p V p V g g g g olur veya, akışkanın özgül ağırlığı γ = ρg olarak yerine konulursa, 1 1 z1 z p V p V g g 7

yazılabilir. Bu denklem Bernoulli Denklemi dir. Bu denklemden şu esas kanun çıkarılır: Yalnız ağırlık kütlesel kuvvetlerin tesiri altında hareket eden ideal bir akışkanın permenant hareketinde, bir akım çizgisinin her noktasında, hız, basınç ve yersel yüksekliklerin toplamı sabittir. 8

Enerji Yüksekliği Bernoulli denkleminde (V /g) büyüklüğüne hız yüksekliği, (p / γ) büyüklüğüne basınç yüksekliği, (z) yüksekliğine de geometrik kot adı verilir. (p / γ) + z terimine piyezometre yüksekliği denir. 9

30

1-1 kesiti için, H p1 V1 1 z1 g yazılabilir. Bu şekilde tanımlanan H 1 büyüklüğü 1-1 kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın toplam enerjisi olmaktadır. Burada enerji, yükseklik cinsinden ifade edildiği için, H 1 e Enerji Yüksekliği adı verilir. Buna toplam yük de denir. Benzer şekilde H de - kesitinden birim zamanda geçen birim ağırlıktaki akışkanın toplam enerjisidir. Enerji çizgisinden (V /g) kadar aşağıda çizilen çizgiye Piyezometre Çizgisi denir. Bernoulli denklemi bize şunu söylemektedir: 1-1 kesitinden geçen akışkanın enerjisi ne ise, - kesitinden geöen akışkanın enerjisi odur. Yani bu iki kesit arasında enerji kaybı olmamaktadır. Bu husus akışkanın bir ideal akışkan olması halinde doğrudur. Gerçek akışkan halinde h k sürtünme dolayısıyla ısıya çevrilen enerjiyi (yükseklik cinsinden) göstermek üzere, 31

H 1 = H + h k olmalıdır. h k ya sürtünme dolayısıyla ısıya çevrilen enerji veya kısaca yük kaybı veya sürtünme kaybı denir. 3

Örnek 5.4. Şekildeki borudan yoğunluğu 5 kg/m 3 olan CO akmaktadır. 1 nolu kesitte basınç 160 kpa olduğuna göre nolu kesitteki basıncı ve akımın debisini hesaplayınız. 87 kg / m manometre 3

Civayla karşılaştırma düzlemi arasındaki mesafeye a diyelim. p. g.( a h) p. g. h. g. a 1 CO man CO p. g. h p. g. h 1 CO man p1 p. g. h 160000 p 87 5.9,81.0,1 p 159194 Pa man CO

1 1 z1 z p V p V g g V1 0 160000 159194 V 0 ( a h) ( a h) g Q 160000 159194 V V 18m/s. g g CO. 0,08 V. A 3 18. Q 0,09 m /s 4

Örnek 5.5: Bir borudan akan suyun debisi Q = 0 lt/s dir. A noktasındaki basınç 0,4 atm olarak ölçüldüğüne göre, a. V A ve V B değerlerini bulunuz. b. P B değerini bulunuz. (A ve B noktalarını borunun ekseninden geçen akım çizgisi üzerinde olan noktalar olarak kabul ediyoruz.) 36

Örnek 5.5: Q = V A A A = V B A B (Süreklilik denklemi) (1 atm = 10,33 m su yüksekliği basıncı) V D D 4 4 A A B VA V 4Q 4.0, 00 D 0,3 B A 0,8 m / s D A 0,30 VB VA 0,1 0,63 m / s D B 0,0 37

Örnek 5.5: VA pa VB pb za g g p B 0, 8 0,63 0, 4.10, 33 0.10 g g z B p B 4,5 m p 4, 5 x9,81 41, 69 kn / m B 3 38

Örnek 5.6. Şekilde gösterilen tanklardaki su seviyeleri sabit tutulduğuna göre h A yüksekliğini hesaplayınız.

V4 7,67 m/s Q 1 1 z1 z p V p V g g 4 4 4 V 0 0 ha 0 0 V gh g 3 3 4 4 z3 z4 p V p V g g p p 0, V 0 3 4 3 p p 0, V 0 1 1 4 V 0 0 3 0 0 g.(0,06) 3 V. A 7,67. 0,017 m /s 4 A

Q Q V. A V. A 4 4 4.(0,03) 0,017 V. V 30,699m/s 30,7 m/s 4 V gh 30,7 g. h h 48,04 m A A A

Örnek 5.7: Bir savak üzerinden birim boydan debi q = 5 m 3 /s dir. Savak üzerindeki yük kayıplarını ihmal edilerek h 1 ve V 1 değerlerini bulunuz.

Süreklilik denkleminden, q = h 1 V 1 ise 5 = h 1 V 1 0 ile 1 arasında Bernoulli denklemi uygulanarak, V0 p0 V1 p1 z0 z1 g g V 0, p p, z 10 m, z h değerleri yerine konursa, 0 0 1 0 1 1 10 V1 g h 1 bulunur. (a) ve (b) denklemlerinden, h 1 = 0,36 m ve V 1 = 13,9 m/s elde edilir. 1,74 h1 10 0 h 1 (a) (b) yazılarak

Örnek 5.8. Şekildeki Φ00 mm çaplı sifon borusu ile sabit seviyeli bir hazneden atmosfere su akıtılmaktadır. Akımı sürtünmesiz kabul ederek a. Akımın debisini b. A noktasındaki basıncı bulunuz.

1 1 z1 z p V p V g g p p 0, V 0, z 5m, z 0 1 1 1 V 0 0 5 0 0 g V.9,81.5 9,9 m/s Q.(0,) 3 V. A 9,9. 0,311 m /s 4

1 1 A A z1 p V p V g g z A VA p1 0, V1 0, 5m, z1 0m, za m g p A 0 0 0 5 p A 7m p 7.9810 68670 Pa A