1. Ulusal Karmaşık Dinamik Sistemler ve Uygulamaları Çalıştayı 12-13 Ekim 2012 TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi, Ankara Çatallanma & Kaos ve Matematiksel Sinir Bilimi Bildiri leri Kitabı
1. ULUSAL KARMAŞIK DİNAMİK SİSTEMLER VE UYGULAMALARI ÇALIŞTAYI BİLDİRİ ÖZETLERİ KİTABI TOBB ETÜ Matematik Bölümü, ANKARA 12-13 Ekim 2012 Editörler Enes Yılmaz Mehmet Onur Fen
i 1. Ulusal Karmaşık Dinamik Sistemler ve Uygulamaları Çalıştayı ÖNSÖZ Birinci Karmaşık Dinamik Sistemler ve Uygulamaları Çalıştayı nın bu seneki temaları, Çatallanma ve Kaos ve Matematiksel Sinir Bilimidir. Çalıştayın en önemli amacı, Matematik, Mühendislik, Tıp, Fizik, Biyoloji, v.b. bilim dallarında bu konular üzerine çalışan bilim insanlarını ve çalıştayın temalarına ilgi duyan lisansüstü öğrencilerini bir araya getirmektir. Bir diğer amacı ise, ülkemizde disiplinlerarası çalışmaların yapılmasına katkıda bulunmak ve bu alanlarda çalışan bilim insanlarının farkındalığının oluşmasını sağlamaktır. Çalıştay, bu yıl için ulusal nitelikte düzenlenmiştir fakat takip eden yıllarda uluslararası niteliğe dönüştürülecektir. Bu nedenle, bu yıl çalıştayın dili Türkce olarak belirlenmiştir. Çalıştayda, özellikle lisansüstü öğrencilerine yönelik 100 dakikalık dersler, tüm katılımcılara yönelik ise 45 dakikalık davetli konuşmacılar ve 30 ya da 20 dakikalık katılımcı konuşmaları yer almaktadır. Bu çalıştayda, modern bilimin en ilgi çeken konularından birisi olan karmaşık sistemlerin dinamiği üzerine odaklanılacaktır. Bu konunun çok fazla ilgi çekmesinin iki temel nedeni vardır. Birinci neden, henüz tam olarak kurgulanıp geliştirilmemiş olan düzensiz birçok hareketin tanımının ve çözüm metotlarının zorluğu ile ilişkisinden kaynaklanmaktadır. İkinci sebep ise, karmaşık dinamik sistemler bulgularının çok önemli olması ve birçok probleme uygulanabilir olmasıdır. Bu problemler sadece sinir bilimi, biyoloji, genetik, tıp ve kuantum fiziği gibi alanlardan değil mühendislik, deprem tahmini, sosyal bilimler gibi birçok farklı alandan da olabilmektedir. Buna ek olarak, elektrik/elektronik mühendisliği, makina mühendisliği, fizik, biyoloji, ekonomi, finans, bilgisayar bilimleri, deprem izleme vb. alanlarda dinamik sistemler perspektifinden matematiksel modelleme gerektiren problemlere ve onların analizlerine ilgi duymaktayız. Çalıştayın, yukarıda belirtilen araştırma sahalarında disiplinlerarası çalışma gerektiren konuları ele alan bir çalıştay olmasından dolayı, bu alanlarda çalışan ve bu toplantıyı bekleyen uzmanlar arasında güçlü bir işbirliği fırsatı ortaya çıkaracağını ümit etmekteyiz. Birinci Karmaşık Dinamik Sistemler ve Uygulamaları Çalıştayına TOBB Ekonomi ve Teknoloji Üniversitesi ve TÜBİTAK destek sağlamışlardır. Çalıştaya katılımlarından dolayı, davetli konuşmacılarımıza, özellikle çalıştayın temalarına ilgi duyan lisansüstü öğrencilerine ve bu çalıştayın düzenlenmesinde emeği geçen herkese teşekkür ederiz. Düzenleme Kurulu adına Doç. Dr. Hüseyin Merdan
1. Ulusal Karmaşık Dinamik Sistemler ve Uygulamaları Çalıştayı ii Bilim Kurulu Prof. Dr. Marat Akhmet Prof. Dr. Sabri Arık Prof. Dr. Hüseyin Bereketoğlu Prof. Dr. Tanıl Ergenç Prof. Dr. Semih Keskil Prof. Dr. Ömer Morgül Doç. Dr. Canan Çelik Karaaslanlı ODTÜ - Matematik Böl. Işık Üniversitesi - Enformasyon Teknol. Böl. Ankara Üniversitesi - Matematik Böl. Atılım Üniversitesi - Matematik Böl. Kırıkkale Üniversitesi - Tıp Fakültesi Bilkent Üniversitesi - Elektrik Elektronik Müh. Bahçeşehir Üniversitesi - Matematik Böl. Düzenleme Kurulu Doç. Dr. Hüseyin Merdan (Başkan) Dr. Enes Yılmaz (Başkan Yard.) Doç. Dr. Yusuf Alper Kılıç Doç. Dr. Erol Kurt Yrd. Doç. Dr. Murat Özbayoğlu Yrd. Doç. Dr. Konstantin Zheltukhin Şeyma Bilazeroğlu Sabahattin Çağ Mehmet Onur Fen Esra Karaoğlu Ardak Kashkynbayev Ayşegül Kıvılcım Mustafa Şaylı TOBB ETÜ - Matematik Böl. Adnan Menderes Üniv. - Matematik Böl. Hacettepe Üniversitesi - Tıp Fakültesi Gazi Üniversitesi - Elektrik Elektronik Müh. TOBB ETÜ - Bilgisayar Müh. ODTÜ - Matematik Böl. TOBB ETÜ - Matematik Bölümü ODTÜ - Matematik Böl. ODTÜ - Matematik Böl. TOBB ETÜ - Matematik Böl. ODTÜ - Matematik Böl. ODTÜ - Matematik Böl. ODTÜ - Matematik Böl.
İçindekiler Sayfa Önsöz Kurullar i ii Davetli Konuşmacıların Bildirileri 1 Gerçek Dünya Problemlerine Uygulamasıyla Kaos ve Çatallanma..... 2 Kaotik Sistemlerde Periyodik Yörünge Kararlılığı İçin Denetleyici Tasarımı 3 Yapay Sinir Ağlarının Doğrusal Olmayan Dinamik Analizi ve Hücresel Sinir Ağlarının Görüntü İşleme Uygulamaları................. 4 Nöronun Yapısı ve İşleyişi........................... 5 Nöron Popülasyonları ve Beyinde Bilgi İşleme................ 7 Sinir Sisteminin İşleyişi ile Davranış Arasındaki İlişkinin Aynası Olarak Dil 9 Çatallanma ve Kaos 11 Tıpta Kaos ve Kompleksite.......................... 12 Sonlu Toda Kafesinin Kompleks Çözümlerinin Yapılması.......... 13 Anharmonik Akım-Faz İlişkili Dışarıdan Şöntlü Josephson Tünel Eklemlerde Karmaşık Dinamik Davranışı...................... 14 Kaosun Kenetlenmesi.............................. 15 Zaman Serilerinde Kaos ve Forex Üzerine Uygulama............. 16 Gecikmeli Av-Avcı Modelinin Hopf Çatallanma Analizi........... 17 Süreksizlik Etkileri Altında Hopf Bifürkasyonu............... 18 R 3 te 2 Modlu Sistemlerin Yapısal Özellikleri ve Kararlılığı......... 19 Sprott G Kaotik Sisteminin Modellenmesi ve Elektronik Devre Gerçeklemesi 22 Modern Kriptolojik Sistemlerin Tasarlanmasında Kaotik Dinamiklerin Uygulamaları.................................. 24 Matematiksel Sinir Bilimi 25 Bilişsel Süreçleri Anlamada Matematiksel Sinir Bilimin Yeri........ 26 Geçici Hafızanın Nöral Ağlar Vasıtası İle Modellenmesi........... 27 Düşünüyorum Öyleyse Yapacağım: Gelecekle İlintili Nöronal Etkinliklerin İncelenmesinde Kullanılan İstatistiksel Yöntemlerde Evre Gecikmesinin Önemi................................... 28 Yapay Sinir Ağları ile Portföy Optimizasyonu................ 30 Ventral Striatal Yolun Karar Almaya Katkısı................. 31 Dopaminin Davranış Üstünde Etkisine İlişkin Striatum Modelleri..... 32 iii
1. Ulusal Karmaşık Dinamik Sistemler ve Uygulamaları Çalıştayı iv Matematiksel Sinir Biliminde Yeni Yaklaşımlar............... 34 Olfaktif Bulb Modelinin Hücresel Yapay Sinir Ağı ile Modellenmesi, Elektronik Tasarımı ve Gerçeklenmesi.................... 35 Programlanabilir Entegre Devreler ile Merkezi Desen Üreteç Tasarımları. 36 Katılımcı Listesi 38
DAVETLİ KONUŞMACILARIN BİLDİRİLERİ
Davetli Konuşmacı 1 Marat Akhmet 2 Gerçek Dünya Problemlerine Uygulamasıyla Kaos ve Çatallanma Marat Akhmet ODTÜ, Matematik Bölümü marat@metu.edu.tr Matematiksel kaos ve çatallanma teorisi kavramlarının mekanik, elektronik, biyoloji ve meteorolojideki süreçlerin karmaşıklığını nasıl modellediğini tanımlamaktayız. Dünya üzerindeki dinamiğin betimlenebilmesi için kaos fikrinin mutlaka ele alınması gerektiğini göstereceğiz. Sahip olduğumuz sonuçlar kaosun morfogenezi hakkındadır. Nitel ve nicel özelliklerini değiştirmeden, kaosun genişletilmesi için yeni bir yol sunmaktayız. Tartışılacak diğer bir konu ise zamanın bir parametre olarak ele alınması ile modellemenin geliştirilmesidir.
3 Davetli Konuşmacı 2 Ömer Morgül Kaotik Sistemlerde Periyodik Yörünge Kararlılığı İçin Denetleyici Tasarımı Ömer Morgül Bilkent Üniversitesi, Elektronik Mühendisliği Bölümü morgul@ee.bilkent.edu.tr Birçok fiziksel sisteme ilişkin matematiksel modellerin kaotik davranışlar sergilediği uzunca bir süredir bilinmektedir. Bunun bir sonucu olarak da bu tür sistemlerin ayrıntılı bir şekilde incelenmesi, özel olarak da denetlenmesi konuları son yıllarda önem kazanan çalışma ve uygulama alanları olarak göze çarpmaktadır. Disiplinlerarası olarak nitelenebilecek bu alanda fizik, matematik, biyoloji, mühendislik vb. gibi çok değişik alanlarda çalışan bilim insanlarının gerek teorik gerekse pratik alanlarda yaptıkları birçok çalışmalar bilimsel literatürde yer almaya devam etmektedir. Kaotik sistemleri diğer sistemlerden ayıran temel bir özellik, bu tür sistemlerin garip çekicilere (strange attractor) sahip olmalarıdır. Bu garip çekicilerin içinde genellikle yoğun (dense) bir şekilde periyodik yörüngeler yer alır ve bunların çoğu kararsızdır. Normal sistemlerde olduğu gibi kaotik sistemlerin denetlenmesinde de bir çok problem ele alınabilir. Bu çalışmada yukarıda anılan periyodik yörüngelerin kararlaştırılması problemi ele alınacaktır. Kaotik sistemlerin denetlenmesi ile ilgili kaynaklar için bkz [2]. Yukarıda açıklanan problemin çözümü için pek çok yöntem geliştirilmiştir, bkz [2]. Bu yöntemler arasında ilk kez K. Pyragas tarafından önerilen gecikmeli geri besleme kontrolü (DFB) basitlik, kolay uygulanabilirlik, vb özellikleri yüzünden araştırmacıların ilgilisini çekmiştir. Bu çalışmada DFC yönteminin ayrık zamanlı sistemlerde yukarıda bahsedilen probleme uygulanması ve bu yöntemin geliştirilmesi konuları ele alınacaktır. Uygun bir matematiksel dönüşümle ele alınan problem, kontrol edici ve ele alınan yörüngeye bağlı bir karakteristik polinomun kararlılığını sağlama problemine dönüştürülebilir. Buradan hareketle DFC yönteminin bazı dezavantajları gözlemlenebilir. Bu dezavantajların giderilmesi için değişik yöntemler önerilecek ve bu yöntemlere ilişkin kararlılık analizleri ele alınacaktır. KAYNAKLAR [1] Chen, G., Dong, X.: From Chaos to Order : Methodologies, Perspectives and Applications. World Scientific, Singapore (1999). [2] Fradkov, A. L., Evans, R. J.: Control of chaos : Methods and applications in engineering. Annual reviews in Control., 29, (2005), 33-56.
Davetli Konuşmacı 3 Sabri Arık 4 Yapay Sinir Ağlarının Doğrusal Olmayan Dinamik Analizi ve Hücresel Sinir Ağlarının Görüntü İşleme Uygulamaları Sabri Arık Işık Üniversitesi, Enformasyon Teknolojileri Bölümü ariks@isikun.edu.tr Bu sunumda aşağıdaki başlıklar üzerinde konuşulacaktır: 1. Matematiksel Sinirbilimi 2. Yapay Sinir Ağları 3. Hücresel Sinir Ağları 4. Lyapunov Kararlılık Teoremleri 5. Dinamik Sinirsel Ağların Kararlılığı 6. Robust Kararlılık 7. Hücresel Sinir Ağları Çok Fonksiyonlu Makinası-CNNUM 8. CNNUM Kullanarak Görüntü İşleme
5 Davetli Konuşmacı 4 Zühal Aktuna Nöronun Yapısı ve İşleyişi Zühal Aktuna Kırıkkale Üniversitesi, Tıp Fakültesi zuhalaktuna@gmail.com Santral sinir sisteminde fonksiyonların devamlılığı için beynin makro bölümleri arasında ve içindeki nöronlar arası özgün bağlantılar gereklidir. Birbiriyle yakından ilişkili birçok nöronal sistemin bileşiminden oluşan beyin dokusu, hücrelerarası nörotransmisyon mekanizmaları ile hem kendisinin hem de periferdeki nöronların aktivitelerini dinamik ve aslında oldukça karmaşık bir şekilde düzenlemektedir. Nöronların bu bilgi akışı fonksiyonlarında nöronal bağlantılar önemlidir ve bu bağlantıların büyüklüğü, şekli ve lokalizasyonu santral sinir sisteminin hücresel organizasyonunun temelini oluşturur. Nöronlar lokalizasyonlarına göre veya sentezleyip salıverdikleri nörotransmitterin tipine gore sınıflandırılırlar. Sitolojik olarak incelendiklerinde büyük nükleusa sahip, bol miktarda granüllü ve granülsüz endoplazmik retikulumu olan sekretuar kapasitesi yüksek hücre özelliklerine sahiptirler. Nöronlar ve uzantıları miktotübüllerden zengin yapılardır, ve iskelete destek görevlerinin yanında makromoleküllerin taşınmasından da sorumludurlar. SSS de nöronlar arası iletişim bölgeleri sinaps olarak tanımlanır. Sinapslarda sinaptik vezikül adı verilen organeller bulunmaktadır. Bu veziküllerde yer alan bir grup protein; transmitter depolanması, vezikülün nöron membranına taşınması ve yapışması ve transmitterin salıverilmesi, salıverilen transmitterin geri dönüşümü, yeniden depolanması gibi olaylardan sorumludur. Nöronun elektriksel uyarılabilirliği, nöronların çoğunda plazma membranında eksprese edilen iyon kanallarının modifikasyonu ile sağlanır. Na+, K+ ve Ca++ olmak üzere üç ana katyon ve Cl- anyonu akımları bu iyon kanalları aracılığı ile düzenlenir. Akson ve dendritlerde iyon geçirgenliğindeki hızlı değişiklikler ve presinaptik bölgelerden nörotransmitter salıverilmesi voltaja duyarlı iyon kanalları aracılığı ile gerçekleşir. Farklı moleküler yapıya sahip Na+, K+ ve Ca++ kanalları nöronlarda bu görevleri üstlenirler. Bir nöron tarafından sentezlenen, salıverilen ve hedef hücreye geçerek etkiyi oluşturan maddeler nörotransmitterlerdir. Santral nörotransmitterler amino asitler, aminler ve nöropeptidler olarak sınıflandırılırlar. Ancak pürinler, nitrik oksit ve araşidonik asit türevleri de sinaptik geçişte rolü olan maddeler arasında sayılabilir. Bir transmitterin elektrofizyolojik olarak gösterilebilen iki tür etkisi vardır: eksitasyon ve inhibisyon. Eksitasyonda, iyon kanalları pozitif yüklü iyonların hücre içine geçişine izin verecek şekilde açılır, depolarizasyon olur ve membranın elektriksel direncinde azalma meydana gelir. İnhibisyonda ise, seçici iyon hareketleri membran direnci de azalma ile birlikte hiperpolarizasyona neden olur. Transmitterler biyoelektriksel özellikler üzerinde fazla etki oluşturmadan da çevredeki devrelere verilen yanıtlar
Davetli Konuşmacı 4 Zühal Aktuna 6 için gerekli biyokimyasal mekanizmaları aktive veya inaktive edebilirler. Doğrudan eksitasyon ve inhibisyon yapabildikleri gibi eksitasyon ve inhibisyonu kolaylaştırıcı bir rol de alabilirler. Transmitterin etkilerinin modülatör etki olarak tanımlandığı bu gibi durumlarda, transmitter madde hedef nöronun klasik eksitatör veya inhibitör bir transmittere yanıtını arttırabilir veya baskılayabilir, ancak tek başına uygulandığında membran potansiyelini veya iyon iletkenliğini değiştirmez veya minimal düzeyde etkiler. Beyin ve omurilik sinapslarında birden fazla transmitter madde yer alabilir ve belirli bir sinapsta bir arada bulunan transmitterlerin frekansa bağlı olarak sinaptik aralığa birlikte salıverilme özellikleri olabilir. Salıverilen nörotransmitterler postsinaptik membranda kendilerine özgü efektör moleküllerle etkileşime girerek hücresel yanıtın oluşmasına aracılık ederler. Reseptörler bu yanıtın oluşmasında aracılık eden önemli bir grup makromoleküllerdir ve temel işlevleri de her bir nörotransmittere özgü en uygun ligandı bağlamak, yanıt olarak da onun düzenleyici sinyalini hedef hücrenin içine yaymaktır.
7 Davetli Konuşmacı 5 Mehmet Demirci Nöron Popülasyonları ve Beyinde Bilgi İşleme Mehmet Demirci Hacettepe Üniversitesi, Tıp Fakültesi mdemirci@hacettepe.edu.tr Nöronların hangi ilkeler çerçevesinde bir araya gelip işlevsel gruplar oluşturdukları ve bu grupların hangi ilkeler doğrultusunda işledikleri farklı ölçeklerde ele alınabilir. Bu spektrumun bir ucunda, en küçük ölçekte, sadece birkaç nörondan oluşan nitelik detektörleri, diğer ucunda, en geniş ölçekte ise yüz milyarlarca nörondan oluşan beyin bir bütün olarak yer alır. Küçük birimler bir araya gelerek daha büyük birimleri, onlar da bir araya gelerek daha da büyük birimleri oluştururlar. Bu hiyerarşik dizgede küçük birimler daha elementer, basit, serbestlik derecesi düşük stereotipik işlevleri, bunların bir araya gelmesi ile oluşan daha büyük birimler ise daha karmaşık ve yüksek serbestlik derecesine sahip bileşik işlevleri yürütürler. Bu dizgenin iki ucunda, en küçük ve en büyük ölçeklerde yer alan nöron grupları daha çok katı - yapısal ilişkilerle birbirlerine bağlı ve belli atanmış görevleri olan sabit gruplar iken, orta ölçeklerde daha çok geçici işlevsel koalisyonlar halinde gruplaşmalar görülür. Bu ara ölçeklerdeki nöronlar aynı anda veya farklı zamanlarda birden çok grubun üyesi olabilirler. Geçici koalisyon oluşumu birçok nöronun dinamik olarak katılıp ayrılmakta olduğu plastik bir örgütlenme gibi düşünülebilir. Nöron koalisyonlarında gruba aidiyetin en önemli işareti, başka bir deyişle, bir grubu diğer gruplardan ayırt eden işaret belli bir gruba ait nöronların o anda kendi aralarında senkron ve koheran deşarj yapıyor olmalarıdır. Geçici nöron koalisyonlarına üye nöronlar, o koalisyonun görevini yerine getirmek üzere aralarında sofistike işbölümleri yapmış, birbirlerinden çok farklı işler üstlenmiş nöronlar değildirler. Daha çok, o koalisyonun mega-görevinin minyatür bir kısmını yapan, aynı işin bir ucundan tutmuş ve toplu halde iken bir mega-nöron gibi davranan gruplardır. Grup içindeki nöronların davranışları birbirlerine oldukça yakındır ve bu davranış profilleri bir ortalama etrafında istatistiksel bir dağılım gösterir. Son aşamada grup davranışını bu dağılım içinde çoğunlukta olan nöronlar, ve genellikle de ortalama değer belirler. Sinir sistemi, duyu organları aracılığı ile fiziksel çevreden bilgi toplayan ve bu bilgiyi işleyerek organizma yararına bir motor eyleme dönüştüren bir sistemdir. Başka bir deyişle, en büyük ölçekte yer alan beyinin ana çerçeve işlevi organizmanın hareketini sağlamaktır. Çevreden bilgi toplama ve bu bilgileri işleme aşamaları motor eylemin hazırlık aşamalarıdır. Fiziksel çevre içinde yer değiştirme hareketinin başarıyla gerçekleşebilmesi için çevrenin özelliklerinin de bilinmesi gerekir. Beyin bu iki ana işlev için, yani çevrenin tanınması ve tanınan bu çevre içinde hareketin gerçekleşebilmesi için organize olmuştur. Beyinin arka lobları
Davetli Konuşmacı 5 Mehmet Demirci 8 çevreden ses, ışık, temas gibi fiziksel kanallar aracılığı ile bilgi alan duyu bölgelerinden, ön lobları ise alınan bu bilgiyi işleyerek en uygun eylemi kotaran motor bölgelerden ibarettir. Arka (duyu) bölgelerde nöron grupları, örneğin bir yatay çizgiyi veya bir ses tonunu tanıyan elementer küçük gruplardan başlayıp, dünyayı bir bütün olarak algılayan büyük anatomik bölgelere kadar uzanan küçükten büyüğe doğru bir hiyerarşi gösterir. Ön (motor) beyin bölgeleri ise, plan yapma, strateji kurma, karar verme gibi üst düzey davranışsal işlevlerle ilgili geniş anatomik bölgelerden başlayıp, bir eklemi büken tek bir kası aktive eden küçük bir motor nöron grubuna kadar uzanan, büyükten küçüğe doğru bir hiyerarşi gösterir.
9 Davetli Konuşmacı 6 Orhan Murat Koçak Sinir Sisteminin İşleyişi ile Davranış Arasındaki İlişkinin Aynası Olarak Dil Orhan Murat Koçak Kırıkkale Üniversitesi, Tıp Fakültesi orhanmuratkocak@gmail.com Bu konuşmada daha çok bir zihinsel süreç olarak dilin arkasındaki psikolojik ve biyolojik mekanizmalar üzerinde durulacaktır. Sunumun amacı, dil ile ilişkili biyolojik süreçler üzerinden beyin-davranış (brain-behavior) ilişkisine bakmaktır. Dil (language) en genel anlamıyla bilginin alınması ve sunulması sürecine olanak veren bir işaretler sistemidir. Daha dar kapsamda, bir organ, bir beceri, bir davranış ya da bir zihinsel süreç (mental faculty) olarak görülebilir. Dil gelişiminde ayağa kalkma, ellerin serbest kalması, ağız anatomisindeki bazı değişiklikler, alet kullanma ve sosyal örgütlenmenin bir arada yürüdüğü karmaşık bir sürecin rol oynadığı düşünülmektedir. Dilin dört bileşeni vardır. Bunlar (i) Semantik (anlam) (ii) Sintaks (gramer) (iii) Fonolojik (konuşmanın sessel komponenti) (iv) Pragmatik olarak sıralanabilir. Dil becerisinin sadece insana ait bir beceri olduğu öne sürülmüşse de çalışmalar bunun tersine işaret etmektedir. Yine de kantitatif olarak insanın dil becerisi konusunda diğer zihinsel alanlara göre çok daha büyük avantaja sahip olduğu söylenebilir. İnsandaki dil becerisi, bazı yazarlara göre, farklı bir bilinç halini -gerçek bilinci- (ne düşündüğünü düşünebilme) mümkün kılmıştır. Dilsel süreçlerle ilişkili beyin bölgeleri sadece dil üretim ve anlama sürecinde rol almamaktadır. Muhtemelen dil, evrimsel anlamda bazı zihinsel süreçlerin üzerine inşa edilmiştir. Bu süreçler arasında motor beceriler, tanıma ve bellek sayılabilir. Yine sinir sisteminin genel bazı işleyiş kuralları dil ile ilişkili bölgelerin dilsel süreçlere katılımında da yer almaktadır.
ÇATALLANMA VE KAOS
Çatallanma ve Kaos 12 Tıpta Kaos ve Kompleksite Yusuf Alper Kılıç Hacettepe Üniversitesi, Tıp Fakültesi yusufa@hacettepe.edu.tr Tıp bilimi, genel olarak bakıldığında önemli ilerlemeler kaydediliyor olmasına karşın, temel sorunların çözümünde bir durağanlık içindedir. Hastalıkların genetik temeli ile ilgili bilgilerde artış ve kök hücre tedavileri ile ilgili ilerlemeler umut verici olmakla birlikte, halen kanser, sepsis gibi önemli sağlık problemlerinin tedavisinde tekrarlanabilir, etkin ve zararsız bir tedavi geliştirilememiştir. Bunda karşı karşıya kalınan sorunların karmaşıklığı kadar, bu karmaşıklığı takdir edememenin de etkisi vardır. Tıp kaotik süreçlerin ve kompleksitenin en çok rastlandığı alandır. Buna karşın bilimsel metod olarak benimsenen ve kabul gören yaklaşım indirgemeci doğrusal araştırma yöntemleridir. Bu yaklaşımda kompleksite gözardı edilerek, kontrollü deneyler ve klinik çalışmalarla elde edilen verilerin bir araya getirilmesiyle tüm gerçeklerin ortaya çıkarılabileceği yanılgısı hakimdir. Kompleks süreci algılayabilecek bilgi ve deneyime sahip olan hekim, mühendislik matematiği konusunda yetersiz bilgisi nedeniyle biyoistatistik yöntemleri yegane bilimsel araç olarak benimsemiştir. Öte yandan kendi disiplini dahilinde matematik kavramları çok iyi bilen matematikçi ve mühendisler için ise tıpta kaos ve kompleksite ile ilgili çalışmalar biyolojik sinyallerin analizi düzeyini aşamamaktadır. Bu konuda hastalık durumları ve tedavi süreçlerinin modellenmesi ve bu süreçlerde gözlenen kompleksadaptif sistemlerin anlaşılması için her iki disiplinin bir araya gelerek çalışması gereklidir. Özellikle yoğun bakım gibi kararların zaman sınırlaması ve stres altında alındığı, ve çok değişkenli karar analizi gerektiren alanlarda bu çok daha önemlidir. Bu değişkenleri bir arada değerlendirebilen ve değişkenlerdeki değişkenliği de ölçebilen algoritma ve cihazların geliştirilmesi bu alanlarda büyük ilerleme sağlayacaktır. Gerek kaotik sistemleri modelleyebilmesi gerek birden fazla değişkeni, zaman içindeki değişkenlikleri açınsından da bir arada değerlendirebilmesi açısından bulanık mantık bu konuda önemli bir araştırma yöntemidir.
13 Çatallanma ve Kaos Sonlu Toda Kafesinin Kompleks Çözümlerinin Yapılması Gusein Guseinov Atılım Üniversitesi, Matematik Bölümü guseinov@atilim.edu.tr Toda kafesi lineer olmayan bir-boyutlu kristalin sade bir modeli olup en yakın komşu parçacıklarının etkileşim içinde bulunduğu bir parçacıklar zincirinin hareketini tasvir etmektedir. Bu konuşmada, ters spektral yöntem uygulanarak sonlu Toda kafesinin kompleks çözümleri inşa edilecektir.
Çatallanma ve Kaos 14 Anharmonik Akım-Faz İlişkili Dışarıdan Şöntlü Josephson Tünel Eklemlerde Karmaşık Dinamik Davranışı Mehmet Cantürk Turgut Özal Üniversitesi, Bilgisayar Mühendisliği Bölümü mcanturk@turgutozal.edu.tr Bu çalışmada, anharmonik akım-faz bağıntısının farklı induktans ve resistans değerleriyle dışarıdan şöntlenmiş Josephson devrelerine etkisi sistemin karmaşık dinamiği açısından incelenmiştir. Devre modeli oluşturulan sistemin zamana bağlı diferansiyel denklemleri, farklı kontrol parametreleri için çözülmüştür. Elde edilen bulgulara göre dallanma şemasında (bifurcation diagram) karmaşa sınırının, ikinci harmoniğin etkisiyle değiştiği gözlemlenmiştir. Bu sonuçlar gösterdiki, Josephson eklem devrelerinin tasarlanmasında anharmonik akım-faz bağıntısının önemli olduğu görülmüştür. Bu çalışma Iman N. Askerzade ile ortak yapılmıştır.
15 Çatallanma ve Kaos Kaosun Kenetlenmesi Mehmet Onur Fen ODTÜ, Matematik Bölümü ofen@metu.edu.tr Bu konuşmada, kaotik davranışların limit çemberleri tarafından yakalanması anlamına gelen kaosun kenetlenmesi isimli yeni bir olgu ele alınacaktır. Bu olgu sonucunda, eğer kaos büyüklüğü yeteri kadar küçük ise kaotik döngüler meydana gelmektedir. Aksi durumda, pertürbasyonların güçlü ve/veya limit çemberinin çapının küçük olması durumunda, oluşan kaos döngüsel olmak zorunda değildir. Çalışmamızda kaosun temel ve tek bileşeni olarak ele alınan hassas bağımlılığın yanı sıra, kaos genişlemesi için periyot-çiftlenmesi yolu ele alınmıştır. Elde edilen sonuçlar mühendislik bilimleri, beyin dalgaları ve biyomüzikoloji olgusu için yüksek öneme sahip olmakla birlikte, hidrodinamik için geliştirilebilirdir. Çalışmamızda elde edilen teorik sonuçlar simülasyonlarla desteklenmiştir ve bunun yanı sıra toroidal çekicilerle kaos kenetlenmesi, Chua osilatörleri ve kontrol problemleri ele alınmıştır. Ayrıca, Lyapunov fonksiyonları metodu kullanılarak kaotik çekicinin varlığı bir örnek üzerinden gösterilmiştir. Çalışmamız 111T320 no. lu Tübitak projesi tarafından desteklenmektedir. Bu çalışma Marat Akhmet ile ortak yapılmıştır. KAYNAKLAR [1] M. U. Akhmet, M. O. Fen, Entrainment of chaos, arxiv:1209.1765v1 [nlin.cd], (submitted). [2] M. U. Akhmet, M. O. Fen, Morphogenesis of chaos, arxiv:1205.1166v1 [nlin.cd], (submitted). [3] M. Farkas, Periodic Motions, Springer-Verlag, New York, (2010). [4] J. M. T. Thompson, H. B. Stewart, Nonlinear Dynamics And Chaos, John Wiley, (2002). [5] J. Hale, H. Koçak, Dynamics and Bifurcations, Springer-Verlag, New York, (1991). [6] T. Yoshizawa, Stability Theory and the Existence of Periodic Solutions and Almost Periodic Solutions, Springer-Verlag, New-York, Heidelberg, Berlin, (1975). [7] L. O. Chua, C. W. Wu, A. Huang, G. Zhong, A universal circuit for studying and generating chaos-part I: Routes to chaos, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications, 40, (1993), 732-744. [8] J. M. Gonzales-Miranda, Synchronization and Control of Chaos, Imperial College Press, London, (2004).
Çatallanma ve Kaos 16 Zaman Serilerinde Kaos ve Forex Üzerine Uygulama Şahika Gökmen Gazi Üniversitesi, Ekonometri Bölümü sahikagokmen@gazi.edu.tr Bu çalışmada, gelişen kaos analizi ve ekonomik yapılarda ortaya çıkan kaotik zaman serilerinin nasıl kestirilebileceği konusu işlenmiştir. Bilgisayarların gelişimine bağlı olarak, gün geçtikçe kaosun yapısı dikkati çekmekte ve bu sayede birçok bilimsel verinin davranış şekli gözlenmektedir. Ayrıca yapılan araştırmalar doğrultusunda buradaki çalışmada kaos ile günümüzün en büyük yatırım araçlarından biri olan Forex piyasası birlikte ele alınmıştır. Çalışmada ilk olarak Forex piyasası hakkında bilgi verilmiştir. Ayrıca burada yatırım yapmak için kullanılan bazı analizlerden kısaca bahsedilmiştir. Daha sonra ise kaotik yapının belirlenmesi için kullanılan bazı yöntemler ve kaotik yapıya sahip zaman serileri için uygulanabilecek modeller ele alınmıştır. Bu bakış içerisinde Forex piyasasından alınan EURUSD paritesine ilişkin veride kaotik yapının varlığı araştırılmıştır. Buradan elde edilen sonuca göre serinin doğrusal veya doğrusal olmayan yapısı da göz önüne alınarak seriye uygun model belirlenmiştir. Bu çalışma Reşat Kasap ile ortak yapılmıştır.
17 Çatallanma ve Kaos Gecikmeli Av-Avcı Modelinin Hopf Çatallanma Analizi Esra Karaoğlu TOBB ETÜ, Matematik Bölümü ekaraoglu@etu.edu.tr Bu sunumda, iki gecikmeli oran-bağımlı (ratio-dependent) bir av-avcı sisteminin kararlılık analizi üzerinde durulacaktır. İlk olarak Hopf Çatallanma Teoreminin ifadesi verilecek, daha sonra ele alınan sistemde gecikme parametresi çatallanma parametresi seçilerek Hopf çatallanma analizi anlatılacaktır. Center Manifold Teoremi ve normal form teorisinden faydalanılarak periyodik çözümlerin kararlılığı ve yönü hakkında bilgi verilecektir. Son olarak, teorik sonuçlar nümerik çalışmalarla desteklenecektir. Bu çalışma Hüseyin Merdan ile ortak yapılmıştır. KAYNAKLAR [1] N. D. Hassard, Y. H. Kazarinoff, Theory and Applications of Hopf Bifurcation, Cambridge University Press, Cambridge, (1981). [2] Linda J. S. Allen, An Introduction to Mathematical Biology, Pearson/Prentice Hall, (2007). [3] J. K. Hale, Theory of Functional Differential Equations, Springer-Verlag, Berlin, (1977). [4] R. Bellman, K. L. Cooke, Differential-Difference Equations, Academic Press, New York, (1963). [5] Y. Kuang, Delay Differential Equations with Application in Population Dynamics, Academic Press, New York (1993). [6] C. Çelik, The stability and Hopf bifurcation for a predator-prey system with time delay, Chaos, Solitons and Fractals, 37 (2008), 87-99. [7] C. Çelik, Hopf bifurcation of a ratio-dependent predator-prey system with time delay, Chaos, Solitons and Fractals, 42 (2009), 1474-1484. [8] S. R. Zhou, Y. F. Liu, G. Wang, The stability of predator-prey systems subject to the Allee effects, Theor Populat Biol., 67, (2005), 23-31. [9] J. Wei, S. Ruan, Stability and bifurcation in a neural network model with two delays, Physica D, 130, (1999), 255-272. [10] K. L. Cooke, Z. Grossman, Discrete delay, distributed delay and stability switches, J. Math. Anal. Appl., 86 (1982), 592-627.
Çatallanma ve Kaos 18 Süreksizlik Etkileri Altında Hopf Bifürkasyonu Duygu Aruğaslan Süleyman Demirel Üniversitesi, Matematik Bölümü duyguarugaslan@sdu.edu.tr Periyodik çözümlerin bifürkasyonu olarak da bilinen Hopf bifürkasyonu ile ilgili çalışmalar diferansiyel denklemlerin niteliksel teorisinde önemli yapı taşlarından birisidir. Adi diferansiyel denklemlerde Hopf bifürkasyon teorisi oldukça gelişmiş durumdadır. Ancak, birçok gerçek süreçte ortaya çıkan süreksizlikler bu teorinin süreksizlikleri olan diferansiyel denklemler için de geliştirilmesini harekete geçirmektedir. Doğadaki birçok problem süreksiz etkiler altında olduğundan bazı parametre değerlerinde sistemin periyodik çözümleri olup olmadığını ve bu çözümlerin parametreye bağlı olarak nasıl değiştiğini bilmek önemlidir. Düzgün sistemlerde Hopf bifürkasyonu doğrusallaştırılmış sistemin sanal eşlenik bir çift özdeğeri ile karakterize edilir, ama bu durum süreksizlikleri olan diferansiyel denklemler için geçerli değildir. Son zamanlarda, süreksizliklerin çoğu gerçek yaşam problemlerinin matematiksel modellenmesinde daha doğal, karmaşık ve zengin bir çatı oluşturduğundan böyle sistemlerin Hopf bifürkasyon özellikleri oldukça ilgi çekmektedir. Bu konuşmada, sıçramalı diferansiyel denklemler, sağ tarafı süreksiz diferansiyel denklemler ve uygulamalarla birlikte süreksizlikleri olan diferansiyel denklemlerde periyodik çözümlerin varlığını incelememize olanak sağlayan Hopf bifürkasyonunu ele alacağız. Temel amacımız, son çalışmalarla ilgili fikir alışverişinde bulunmak ve bu alanda çalışan ya da çalışmak isteyen genç araştırmacılara ve doktora öğrencilerine motivasyon sağlamaktır.