5 ŞANS DEĞİŞKENLERİNİN ONKSİONLARININ DAĞILIMI Pk çok ld ıml v kllıl sdü dğşklr büük br kısmı br bşk sdüü dğşk d dğşklr oksolrı olblr B bölümd br d dh zl şs dğşk okso ol br şs dğşk olsılık d dğılım okso blmsı l lgllckr Dğr br dşl rssl dğşklr küms v blrı ork olsılık dğılımı d oğlğ vrlmşk =g gb rssl br dğşk olsılık dğılımı d oğlğ v j =g j j= k gb brd zl rssl dğşk ork olsılık dğılımı d oğlğ blm çlışckır Şs dğşklr oksolrıı dğılışı dğılış ors ml şmlrıd brsdr B mçl kllıl üç ml kk: Kümül dğılım okso kğ Mom ür okso kğ Trsormso kğ 5 Kümül Dğılım okso Tkğ Eğr şs dğşklr ork dğılımı vrlmş s j =g j olmk üzr k şs dğşklr ork dğılımı blrlblr İlk olrk =g şkld k br şs dğşk l lısı: Pr Prg olp b ol hr grçl dğr ç A : g şkld br küm l ımlblr Dğr br d l [ ] v [A ] ollrı dkr B drmd Pr Prg olsılığı ğr sürkl br şs dğşk s A küms üzrd ork olsılık okso grl l d kskl şs dğşk s ork olsılık okso oplmsı l ld dlr Bl brlk [g ] olı [ ] l ıml br dk ol l d d dlblr Brd hm hm d sıırlrı dğşk bğımlıdır Sürkl drm ç; Pr Prg Pr A Pr d d
zılblr Sürkl rssl dğşklrd olş br okso olsılık oğlğ ld m ollrıd br öc dğılım okso blp ürv lrk d d olsılık oğlğ lşmkır Örk: sürkl br şs dğşk ols = l ıml şs dğşk kümül dğılım okso v olsılık okso blz Çözüm: Pr Pr Pr olsılıklr sol ç ok bz lırk şs dğşk olsılık oğlk okso s d d d d d d Görüldüğü gb şs dğşk olsılık oğlk okso = mooo oldğ rlıklrı msl ğ k prçı oplmı olrk d dlmşr Torm: şs dğşklr olmk üzr ork olsılık oğlk oksolrı s v =g olrk ımlmış s Pr Prg Brd A g d A : d Eğr şs dğşklr sısı brd zl s k okso; Pr ; ; k k k ç ork kümül dğılım olrk ımlır Brd hr br k ç ; g ; ; g ; k k k k
ollrı dkr Brd dklğ sğıdk ol vrl g j oksolrı v vrl şs dğşklr gör ımlmışır ork dğılımı bldğ ç g ; ; g soç olrk k k k olıı olsılığı hsplblr v blrlblr k şs dğşklr ork dğılımıı blrlmk ç ıml b kk kümül dğılım okso kğ olrk dldırılır Örk: şs dğşk olsılık oğlğ; 6 0 l ımlmış s = ü olsılık oğlğ bl Çözüm: şs dğşk dğılım okso Pr Pr Pr 6 0 d l ımlmış s ld dlr şs dğşk ım rlığı 0<< ç 0<< olp olsılık oğlk okso g 0<< Kümül dğılım okso kğ Şs dğşk mksmm v mmm dğılımıı blmsıd b İk şs dğşk oplm v rklrıı dğılımıı blmsıd c Şs dğşklr çrpım v bölümlr dğılımıı blmsıd oldkç dlıdır 5 Şs Dğşk Mmm V Mksmm Dğılımı şs dğşklr ols B şs dğşklr üzrd m m v şkld k şs dğşk ımlsı Hr br dğr S l ıml br şs d örk zıı br oksodr B dl hr br S ç br grçl sıdır Brd br şs dğşkdr Dğr br dşl vrl br ç ıml m şs dğşk büüğüdür grçl sılrı
Amç v dğşklr dğılışıı blmsıdır Eğr lız v lız üm dğrlr br dğrd küçük d ş s dğrlr büüğü d b dğrd küçük d ş olcğı ç; Pr Pr ; ; zılblr Eğr büü şs dğşklr brbrd bğımsız s ; ; Pr Pr Eğr üm şs dğşklr ı kümül dğılım shp s blr Torm: Eğr brbrd bğımsız şs dğşklr s v m s: Eğr kümül dğılım okso dğılmış s ol brbrd bğımsız özdş olrk ımlır Çıkrım: Eğr olsılık oğlk okso v kümül dğılım okso ol brbrd bğımsız özdş dğılmış sürkl şs dğşklr s olrk ımlır krıd çıkllr bzr olrk Pr Pr ; ; Pr v ğr brbrd bğımsız s ; ; Pr Pr ğr özdş dğılmışlr s olrk ımlır
Torm: Eğr brbrd bğımsız şs dğşklr s v m s: Eğr kümül dğılım okso dğılmış s olrk ımlır ol brbrd bğımsız özdş Çıkrım: Eğr olsılık oğlk okso v kümül dğılım okso ol brbrd bğımsız özdş dğılmış sürkl şs dğşklr s olrk ımlır 5 İk Şs Dğşk Toplm V rklrıı Dğılımı Torm: Ork olsılık oğlk okso ols İk şs dğşk Z=+ v V=- ols B drmd ol sürkl şs dğşklr v v Z z z d z d V v vd v İsp: Sdc lk şlk sp dlckr Z z Pr Z z Pr z dd z d d z z d d Brd =- döüşümü pılmışır Şmd dz dz z d dz z Z z d dd
z d Çıkrım: Eğr v brbrd bğımsız sürkl şs dğşklr v Z=+ s Z z z z d z 5 DÖNÜŞTÜRME DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME TEKNİĞİ Şs dğşklr oksolrıı dğılımlrıı blrlmd kllılblck br dğr öm döüşürm rsormo d dğşk dğşrm chg o vrbls öm olrk dldırılır Şs dğşk d =g br döüşüm grçklşrldğd döüşüm özllklr şs dğşklr örk zlrı üzrdk ks dkk lımsı oldkç ömldr E g klşım A={: >0} v B={:=g bzı A}şklddr Brd şs dğşk olsılık oğlk okso sdc A küms ç pozr dğr drmlr ç 0 dğr lır Böl br küm dğılımı ım küms olrk dldırılır B rmoloj hrhg br g olm okso ç kskl v sürkl şs dğşklr olsılık oksolrı d glblr öm lk olrk k bol drm çısıd kskl v sürkl şs dğşklr ç rı rı l lıck dh sor çok bol drm clckr 5 Kskl Şs Dğşklr İç Döüşürm Tkğ Eğr olsılık kül okso ol br şs dğşk s şs dğşk =g şkldk br okso d br şs dğşkdr şs dğşk br okso oldğd olsılıksl dvrışlrı gör ımlblr Hrhg br A küms ç Pr A Prg A şlğd görüldüğü gb dğılımı v g oksolrı bğımlıdır =g şlğd g okso orjl örk zı A d şs dğşk örk zı B br döüşüm g : A B ımlr B okso rs okso ws B zıı l kümlrd A zıı l kümlr br döüşüm; w ımlr : B A Ko bs br örk üzrd çıklm çlışılckır şs dğşk Posso dğılımı; d
=0β! shp ols Şs dğşk ım küms: A={:=0β } br şs dğşk =4 olrk ımlsı Amç döüşürm kğ l şs dğşk olsılık kül okso blrlmsdr =4 şlğ dğşk dğşk döüşürmkdr v A zıd B={:=048 } zı br gçş ımlr B zı =4 şlğ döüşümü dkk lırk A zıdk hr br okı döüşürülms l ld dlr Ugl döüşümd dkk dlms grk k öml drm söz kosdr İlk A zıdk hr br ok B zıdk br v lız br ok döüşmkdr İkcs rs okso dkk lıdığıd B zıdk hr br ok A zıdk br v lız br ok döüşmkdr Dğr br dşl =4 döüşümü A v B zlrıı oklrı rsıd br br lşk olşrck şkld ımlmışır A zıı B zı lmlrı rsıd br br lşk olck şkld döüşür hr hg br = okso br br döüşüm dı vrlr Br br döüşümlrd dğşk dğşk k dğrl oksodr Vrl örk dkk lıdığıd =4 ç rs okso =/4 olp k dğrldr Problm =4 kskl şs dğşk ç h olsılık kül okso blmsıdır Kskl şs dğşk ç h=pr[=] A v B zlrı rsıd br br lşk oldğd = d 4= olı ck v ck =/4 olşğd or çıkblr B k ol dk ollrdır v ı olsılığ shprlr: 4 =048 Pr Pr 4 h 4! Eld dl soçlr şğıdk orm l özlmşr Torm: kskl şs dğşk v o olsılık kül okso olmk üzr br şs dğşk =g br br döüşümüü üzr ımlmış ols Döüşümü rs okso =w olmk üzr şs dğşk olsılık kül okso: h Pr w w Pr B Brd B={: h>0} B olsılık dğılımı Kolmogorov Aksomlrıı sğlmkdır Eğr şs dğşk kskl s A sılblr lmlıdır B drmd =g şs dğşk örk zı ol B={:=g A} d sılblr lmlıdır Soç olrk br kskl şs dğşkdr
Kskl şs dğşklr ç olsılık okso blmsı oldkç bsr pılmsı grk hr br B ç w dğr dğr blrlms v b dğrlr olsılıklrı oplmsıdır 5 Sürkl Şs Dğşklr İç Döüşürm Tkğ Sürkl şs dğşklr ç =g şkld br br döüşüm özllğ shp bs g okso pısı mooo oksolrdır B p oksolr ım şğıd vrlmşr Tım: v b grçl sılr g br okso ols >b olmk üzr g>gb s okso mooo r d <b olmk üzr g>gb s okso mooo zldır Eğr g döüşümü mooo s b döüşüm dğşk A zıd dğşk B zı br br v ördr Dğr br dşl hr br dğr ç sdc br k dğr krşılık glr v hr br zl br dğrd glr brbr rıc hr br B ç g= şlğ sğl br A vrdır ör Soç olrk g döüşümü v dğrlr şsz çlr olrk blrlr Eğr g mooo okso s rs okso w k dğrldr Dğr br dşl sdc v sdc =g s w= olr Ko bs br örk üzrd çıklm çlışılckır sürkl şs dğşk; 0 dğılımı shp ols Şs dğşk ım küms; A={:0<<} olp b rlık >0 şs dğşk =8 döüşümü l ımlmış ols B döüşüm A küms B={:0<<8} küms döüşürüp br br olrk ımlmışır Döüşümü br br olmsı d l 0<<b<8 şszlğ sğl hr v b sb ç <<b olı ck v ck b olı grçklşğd or çıkr Soç olr; Pr b Pr b d b şs dğşk gör ıml grl şs dğşk gör zılblms ç lk olrk rs okso d d ld dlrk Pr 6 w v dh sor drsl; b b 6 d
b 6 d Bl soç hr 0<<b<8 rlığı ç gçrl oldğd şs dğşk olsılık oğlk okso grl çdk grd grl lı okso şr: h 0 8 6 Ugl öm mmk blrl grl kosdk dğşk dğşrm ömd bşk br ş dğldr öm k şmd olşr: İlk olrk vrl döüşüm ç g A B döüşümü br br olp olmdığı korol dlr : görüü küms B blrlr v Trs okso =w v d/d ürv blrk g okso ld dlr öm şğıdk orm l özlmşr Torm: şs dğşk sürkl v olsılık oğlk okso oldğ vrsılsı =g döüşümüü A:{:>0} kümsd B={:h>0} küms rs okso =w ol br br döüşüm ımldığı vrsımı lıd ğr [dw/d] ürv B üzrd sürkl v sıırd rklı s şs dğşk olsılık oğlk okso: d h w w B d İsp: =g döüşümü br br döüşüm s mooo r d mooo zldır İlk olrk mooo r oldğ vrsılsı B drmd g koşl ck v ck w koşl l grçklşr v dğılım okso kllılrk Pr olsılık okso; h d d g Pr w w w d dw d d w w d d w w Brd mooo r okso söz kos oldğ ç [dw/d]>0 İkc olrk mooo zl oldğ vrsılsı B drmd g koşl ck v ck w koşl l grçklşr v dğılım okso kllılrk olsılık okso; g Pr w w Pr
d d w h d dw d d w w d d w w Brd mooo zl okso söz kos oldğ ç [dw/d]<0 Döüşüm ç hspl dw/d ürv döüşümü Jkob ı olrk dldırılır v gllkl J l gösrlr 5 MOMENT TÜRETEN ONKSİON TEKNİĞİ Ork oğlklrı olrk ımlmış şs dğşklr v vrl g j j= k oksolrı ç j =g j şs dğşklr ork dğılımıı blmsı problm çözümüd kllılblck ömlrd br d mom ür okso kğdr Mvc olmsı drmd lk olrk k şs dğşklr ork mom ür okso M kk E k k g g k k d d ımlır İgrl şlm gldık sor ld dl k prmrlr bğlı okso bl br ork dğılımı ork mom ür okso olrk or çıkmış s k ork dğılışı blrlmş olr çükü mom ür okso şszdr v dğılımı blrlr B mo k> ç sıırlı kllım shpr çükü sdc brkç ork mom ür okso ımkdır Mom ür okso kğ kllıldığı dlı drm brbrd bğımsız şs dğşklr oplmlrıı dğılımıı blmsıdır Brbrd Bğımsız Şs Dğşklr Toplmlrıı Dğılımı Torm: Eğr brbrd bğımsız şs dğşklr s v h>0 ç h<<h rlığıd hr br mom ür okso mvc s şs dğşk ç M ımlır E M İsp: M E h<<h
Eğr M E E M bl br dğılım mom ür okso s dğşk dğılımı blmşr Örk: Şs dğşk Z orlmsı 0 vrsı ol sdr orml şs dğşk s =Z olmk üzr şs dğşk dğılımıı blz Çözüm: M E şs z z dz Brd orml dğılımd oldğ hırlrk z dz M blr Eld dl mom ür okso α=/ β=β ol br gm dğılışı dğr br d l srbslk drcl k-kr dğılışıı mom ür okso oldğd şs dğşk srbslk drcl k-kr dğılımı gösrr
Bzı drmlrd küms ımlmsı v b bölg üzrd okso grl lımsı zor olblr B soçlr şğıdk orm l özlblr Torm : Şs dğşk kümül dğılım okso v = v örk zlrı χ v ols Eğr örk zı χ üzrd r okso s ç b Eğr örk zı χ üzrd zl br okso v sürkl br şs dğşk s; ç 75 BEKLEM ÜRETEN ONKSİON TEKNİĞİ ÖRNEK: Srçoğl B Çvk Mmksl ssk S: γ4γ broll dğşk s = + ++ M=? P = Q = 0 O dğr dğrlr ç o M = E[ ] p p q p q M = j p q p q ÖRNEK: rd J E Arşırmlr 759 s: β64 Torm 7γ ü ş gllms kılı: bğımsız rssl dğşklrs v = + + s M = j M ; M = E = E d d d d d
j M KURAL : M c = M c = E c ÖRNEK : rd JE Alışırmlr 760 s β64 bğımsız rssl dğşk orlmsı m sdr spmsı T ol orml dğılım ors = + + d br orml dğılm r B dğılımı orlm v sdr spmsı dr? ÇÖZÜM : HOGG CRAIG s: 9 Örk M N m M M N v M M M M N 7 DÖNÜŞTÜRME DEĞİŞKEN DEĞİŞTİRME TEKNİĞİ ÖRNEK: Kk: HOGGRVCRAIG ATIrodco o Mhmcl Sscs s:0 örk kskl olsılık oğlk okso şğıd k gb vrlmşr 000 00 0 0 0 /8 /8 /8 /8 /8 /8 =g = + + v =g = - bl 00 = 000 = /8
= 00 = /8 0 = 0 = /8 = 0 + 0=/8 0 = = /8 7 SÜREKLİ TESADÜİ DEĞİŞKENLER İÇİN Sürkl Tsdü Dğşklr İç = olsılığıı oğlk okso g=[w] w Є B k bol sdü dğşk s d w j olp w =j dr d Dğşk döüşürm sürkl drmd glblmk ç; = bçmd vrl okso ürv lıbldğ β 0 rlığıd k büü dğrlr ç rığıı d zldığıı böllkl =w l gösrl rs okso lgl büü dğrlr ç vroldğ v = 0 dışıd ürv lıbldğ vrscğız TEOREM 7 Sürkl rssl dğşk olsılık oğlğ k dğr ols = l gösrl okso Türv lıblors 0 rlığıd k büü dğrlrd r d zl br oksos b dğrlr ç = şlğ =w bçmd k br çözümü vrdır krşılık gl dğrlr ç = olsılık oğlğ şöl gösrlr 0 olmsı koşll g = [ w] [ w] Aks hld g = 0 dır KANIT Öc = r br okso oldğ drm kıllım = b w r okso wb
dk şkld d görüldüğü gb l b rsıd br dğr ldığıd d w l wb rsıd br dğr lmk zorddır P b = P [w wb] w b = w d b = [ w] w d dr Brd ümlvd = = w l dğşrdk Tım γ4 gör b ümlv w vr oldğ sürc olsılık oğlğ vrr b d şöl zblrz g = [w]w b wb w zl okso P b = P[wb w] w = = b w b d [w] w'd g = - b = - [w][w ] [w][w']d d = r br okso oldğ zm +w' = = d d d rı br dğr ldığıd = gb zl br okso oldğ zm w' rı dğr ldığı gör drm şöl brlşrp zblrz: ÖRNEK : g = [w ]w'
Srçoğl B Çvk Mmksl İssk s:8 sürkl sdü dğşk olsılık okso şöl ols blrz ÇÖZÜM: 0 0 ç = - şkld ımlmış ols olsılık oğlk okso g = [w] w' B = - = -/ A : { : 0 B: { : 0 d d g g o TEOREM 7 -/ -/ -/ -/ o c dgr dg rlr c v sürkl rssl dğşklr ork olsılık oğlğ v dk dğr ols = v = oksolrıı hm hm d gör ürv lıblors v d sğl büü v dğrlrd brbr döüşürm gösrors o zm = v = U oksolrıı b dğrlrd v ç = w = w soçlrıı vr çözümlr blmkdır Blr krşılık gl v dğrlr ç = v = ork olsılık oğlğ şöldr dğr dğrlr ç g =[w w ]j J d d d d d d d d dğr drmlrd g =0 dır Dlm k v rssl dğşklr ork dğılımı vrlmş ols bz = rssl dğşklr ork olsılık dğılımıı d olsılık oğlğ blmk sorz Eğr sb lrk l rsıd k lşk d sb lrk l rsıd k lşk z vrors l d l ork dğılımıı blmk ç kskl
k dğşklrl d pıklrımızı pblr dh sor d mrjl dğılımıı ld mk ç öck rssl dğşk dğrlr oplblrz Sürkl drmd öc; d g d d d g d Bçmlrd zıl döüşürm ormüllrl orm 7 kllıız ÖRNEK: rd JE s:50 örk7 v ork olsılık oğlğ o o dg ls o s olsılık oğlğ bl
ÇÖZÜM o o d d h g c v d d ; 0 0 / / / ÖRNEK: Br öc k örkk vrlr kllrk 7β orm glmsı = + v = ork oğlğ b mrjl oğlğ bl ÇÖZÜM: v v ç çözrsk = + = - blrz J Döüşürm brbr oldğd düzlmd k >o v >o bölgs düzlmd k >0 0< < bölgs krırsk orm 7β kllıp >0 0< < ç g = - - = - dğr drmlrd g =0 blrz b h o o d d g ÖRNEK: 7β orm glmsı kk:hoggrvcraig AT s:β07 örk:βγ
v k bğımsız sdr orml dğılım shp sdü dğşk = + v = / ork oğlğ b mrjl oğlğ blz ÇÖZÜM v J p
b mrjl oğlğ d d d = d = 0 - d = Cch dğılımıdır İk bğımsız sdr orml dğılım shp sdü dğşk orı cch dğılımı shpr BİR KESİKLİ ŞANS DEĞİŞKENİNİN ONKSİONLARININ DAĞILIMI ÖRNEK: Güd o s şkr r dldğ br sürç md gl mk rızlrı v dğr vşlmlr dl sdü dğşk olrk lımışır olsılık dğılımı; Dgr 0 0 Şrk r dlmş şkr ç o bşı γ00$ ödmkdr Şrk s gülük ml 00$ Gülük kâr U = olsılık oğlk okso bl Dgr o d d d P p p P P o o 9 / 9 / / 0 / 0 / / / Kİ-KARE DAĞILIMI Şs dğşk orlmlrı v vrslrı ol bğımsız orml şs dğşklr ols Brd
Şs dğşk dğılımı l lglor s Olrk ımldığıd şs dğşk ç zılblr Mom ür okso kğ kllılrk şs dğşk dğılışı blrlblr Şs dğşk br sdr orml dğılış shp oldğ ç B klı grl şs dğşklr brbrd bğımsız oldğ ç İgrllr çrpımı olrk d dlblr B grl dğr oldğd blr Eld dl mom ür okso prmrlr ol br gm dğılışıı Mom ür oksolrdır Gm dğılışıı b özl pısı k srbslk drcl k-kr dğılımı olrk dldırılır v dğşk; Şkld ımlır B oplmdk brbrd bğımsız krlr sısı srbslk drcs olrk d dlr v b olsılık dğılışıı k prmrs dıdır Torm : Orlmsı 0 vrsı ol br orml dğılımd lı şs örğ ols B drmd şs dğşk srbslk drcl br k-kr dğılımı shpr
Torm : Cochr orm ğr brbrd bğımsız srbslk drcl k-kr şs dğşklr s olrı oplmlrı br dğşk olp srbslk drcs olr Kümül okso Tkğ Kr Trsormso ; Torm : z br sdr orml şs dğşk ols =z drcl χ dğılımı shpr şs dğşk br srbslk İsp : = P[ ] = P[- smr dl = β P[0 ] = B drm Kümül okso Tkğ = 0 z dz = 0 d = 0 d = / 0 / hr k rı ürv lırk d = / / b α = ½ v = β ol br gm dğılımı olp ı zmd br srbslk drcl k-kr dğılımı özdşr Eğr g r okso s: V zl s:
şkld olp ğr g r okso s Azl okso s