7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

Transkript

1 7. BÖLÜM DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

2 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Bir V ektör uzyıı bir bşk W ektör uzyı döüştüre foksiyolr şu şekilde gösterilir: : V W Burd kullıl termioloji foksiyolrl yıdır. Öreği, V ektör uzyı foksiyouu tım kümesi deir. Eğer ektörü, V ektör uzyıı elemı e w ektörü de W ektör uzyıı elemı ise w w ektörü, foksiyou içi ektörüü görütüsüdür. V uzyıd tımlı tüm ektörlerie foksiyouu tım kümesi, w şeklide tımlmış w ektörlerie de görütü kümesi deir.

3 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER

4 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Örek: tımlmıştır: de tımlı herhgi bir, ), b) w, ektörü içi : şu şekilde ektörüü görütü kümesii,, ektörüü tım kümesii buluuz.

5 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Çözüm: ), içi,,, 3,3 b) Eğer,,, olur. ise Bu deklem sistemii tek çözümü 3 e 4 tım kümesi 3,4 tür. tür. Bu durumd, i R deki

6 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER ım: Doğrusl Döüşüm V e W birer ektör uzyı olmk üzere, : V W foksiyou şğıdki özellikleri her bir u e içi sğldığıd V ektör uzyıı W ektör uzyı döüştüre bir doğrusl döüşümü tımlr:. (u+)=(u)+() b. (cu)=c(u), tüm c içi.

7 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER (cu)=c(u) (u+)= (u)+() (u) u+ c(u) () u (u) u cu Yukrıdki iki koşul birleştirilerek, (cu+d)=c(u)+d() şeklide doğrusl olm koşulu olrk ifde edilebilir.

8 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Örek:, ektörlere u 0 ekleye bir döüşüm olsu. Bu döüşüm doğrusl mıdır? Çözüm: (u)=u+ u 0 ()=+ u 0 olup, V uzyıd e W uzyıd (u+)= u++ u 0 (u)+ ()= u+ u u 0 olur e doğrusllık şrtı sğlmz.

9 Sıfır Döüşü-Biri Döüşü eorem: İki ektör uzyı V e W içi, : V W döüşümü şğıdki gibi tımlmıştır: 0, tüm V içi Bu durumd bir doğrusl döüşümdür e sıfır döüşümü olrk dldırılır. eorem: Bir ektör uzyı V içi : V V döüşümü şğıdki gibi tımlmıştır:, tüm V içi Bu durumd bir doğrusl döüşümdür e V uzyıı birim döüşümü olrk dldırılır

10 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Doğrusl Döüşümü Özellikleri: : V W e u ile, V de tımlı birer ektör olmk üzere, doğrusl döüşüm şu özellikleri sğlmktdır:. 0 0 İspt: ( ) ( ) İspt: 3. u u İspt: u u u 4. Eğer c c c ise, c c c

11 Bir Mtris ile ıl Doğrusl Döüşü Bir A mtrisi, bir x ektörüyle çrpıldığıd bu işlem x i bir bşk ektör Ax e döüştürür. İşlemi girdisi x ektörü, çıktısı Ax ektörüdür. Bu döüşüm işlemii mtığı foksiyolrl yıdır. Fkt burd mç tüm x ektörlerideki değişimi görmektir. Her bir x ektörü, A mtrisi ile çrpılrk slıd x ektörüü tımlı olduğu tüm uzy döüştürülmüş olur.

12 Bir Mtris ile ıl Doğrusl Döüşü Boyutlu m ol bir A mtrisi ele lısı. Aşğıdki gibi tıml bir foksiyou, de A m e bir doğrusl döüşümdür. Burd m boyutlu bir mtrisle çrpım kurlı dikkte lırk uzyıdki ektörler boyutlu, m boyutlu ektörlerle temsil edilmektedir. m uzyıdki ektörler de m boyutlu sıfır mtrisi de m e sıfır döüşümüü, boyutlu birim mtris de de e birim döüşümü tımlmktdır.

13 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER eorem: Bir A mtrisii boyutu m olmk üzere, erile bir ektörü içi, A A şeklide tıml bir döüşümü de m e tımlı bir doğrusl döüşümdür.

14 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER İspt: u, e c bir skler olmk üzere, mtris çrpımlrı ile ilgili özellikler kullılrk; e olur. u u u u A A A u A u A u c c c u c

15 Bir Mtris ile ıl Doğrusl Döüşü m m m m m m u u u de bir ektör de bir ektör

16 Bir Mtris ile ıl Doğrusl Döüşü y d m m m m u u u Burd i u ler j leri doğrusl birer foksiyoudur.

17 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Örek: Bir doğrusl döüşüm m :, A şeklide tımlmıştır. Bu göre şğıdki mtrisler içi doğrusl döüşümü boyutlrıı buluuz. 0 ) A 3 0 b) 4 3 A 5 0 c) 0 0 A 3 0 0

18 DOĞRUSAL DÖNÜŞÜMLER Çözüm: ) Mtrisi boyutu 3 3 olduğu içi bu döüşüm 0 u A 3 0 u 4 3 u 3 3 te 3 e tımlıdır. 3 R te bir ektör 3 R te bir ektör b)mtrisi boyutu 3 olduğu içi bu döüşüm c)mtrisi boyutu 4 olduğu içi bu döüşüm de 4 de 3 e tımlıdır. e tımlıdır.

19 Örek: Doğrusl döüşüm tımlmy bzı foksiyolr. f x si x, de ye doğrusl bir döüşüm değildir.. Öreği, Çükü si x x si x si x si 3 si si 3 b. f x x, de ye doğrusl bir döüşüm değildir. Çükü x c. f x x Çükü f Burd x x x, de ye doğrusl bir döüşüm değildir. x x x x f x f x x x x x Böylece f x x f x f. x

20 Mtrislerle ıl Doğrusl Döüşüler A mtrisii boyutu m olsu. Aşğıdki gibi tıml foksiyou de A m ye doğrusl bir döüşümdür.

21 Bir Noktı Döüşümü Aşğıdki A mtrisi ile tıml : döüşümü A cos si si cos de tımlı tüm ektörleri, orijie göre st yöüü tersie θ çısı kdr dödürme özelliğie shiptir.

22 İspt: doğrusl bir döüşümdür. x, y koorditlr kullılrk ektörü x, y r cos, rsi ektörü de de tımlı olsu. Kutupsl şeklide ifde edilebilir. Burd r, ektörüü uzuluğu e α ise pozitif x-eksei ile ektörü rsıdki st yöüü tersi ol çıdır. Doğrusl döüşüm, ektörüe uygulrk, A cos si cos si si x cos y si r cos cos r si r cos cos r si si r si cos r cos si r cos r si elde edilir.

23 () ektörüü uzuluğu ektörü ile yıdır. Pozitif x-eksei ile () rsıdki çı θ+α olduğu içi () döüşümü şğıdki şekilde de görüldüğü gibi ektörüü θ çısı kdr st yöüde dödürülmesii sğlr.

24 Bir Noktı İzdüşümü Aşğıdki A mtrisi ile gösterile 3 3 : döüşümüe A te izdüşüm deir. Eğer x, y, z x, y,0 3 te bir ektör ise 3 te dır. Bir bşk deyişle, döüşümü tımlı her bir ektörü xy-düzlemie dik izdüşümüü lmktdır.

25

26 Mtrisi rspozu M m M,, m : foksiyou, boyutu m ol A mtrisii trspozu ty bir foksiyo olsu. A A Burd doğrusl bir döüşümdür. İspt: A e B boyutlrı m ol iki mtris olsu. A B A B A B AB e ca ca ca ca olur. Böylece, M m, de M, m ye doğursl bir döüşümdür.

27 Doğrusl Döüşüü Çekirdeği e Görütüsü Herhgi bir doğrusl döüşüm : V W içi V deki sıfır ektörü W dki sıfır ektörüe tmktdır. Bir bşk ifdeyle 0 0. Burd kl gele ilk soru 0 koşuluu sğly bşk ektörlerii buluup bulumdığıdır. Bu ypıdki tüm bileşeleri tmmı i çekirdeği deir. ım: Bir Doğrusl Döüşümü Çekirdeği : V W bir doğrusl döüşüm olsu. V de 0 koşuluu sğly tüm ektörleri kümesie i çekirdeği deir e ker() ile gösterilir.

28 Örek: Boyutu 3 ol bir A mtrisii trspozu ty : M M döüşümüü çekirdeğii buluuz. 3,,3 Verile bu doğrusl döüşüm içi M 3, de 3 boyutlu sıfır mtrisi trspozu M,3 te yie sıfır mtrisi ol yege mtristir. Böylece i çekirdeği M 3, de yer l sıfır mtrisidir.

29 Örek:. : V W sıfır döüşümüü çekirdeği V de oluşmktdır. Çükü V deki tüm ektörleri, 0 koşuluu sğlmktdır. Böylece ker()=v olur. b. : V W birim döüşümüü çekirdeği sdece sıfır ker 0 ektörüde oluşmktdır.

30 Örek: x, y, z x, y,0 ile gösterile izdüşüm çekirdeğii buluuz. 3 3 : ü 3 Bu doğrusl döüşüm te bir ektör ol (x,y,z) yi xy-ekseideki (x,y,0) ektörüe iz düşürmektedir. Bu durumd çekirdek, z-ekseide yer l tüm ektörlerde oluşmktdır. ker 0,0, z : z bir reelsyidir

31 eorem: Çekirdek V i bir lt uzyıdır : V W doğrusl döüşümüü çekirdeği, V tım kümesii bir lt uzyıdır. İspt: ker() i, V i boş olmy bir ltkümesi olduğu bilimektedir. Bu durumd ker() i V i lt uzyı olduğu, ektörleri toplmı e skler çrpımı ltıd kplılığı ile isptlbilir. u e, i çekirdeğide yer l iki ektör u u 0 0 soucu elde olsu. O hlde 0 edilir ki bu u+ i çekirdekte yer ldığıı göstermektedir. cu c u c0 Ayı zmd c bir skler olmk üzere 0 dır. cu d çekirdekte yer lmktdır.

32 m eorem: :, x Ax ile erile doğrusl bir döüşüm olsu. Bu durumd i çekirdeği Ax 0 deklem sistemii çözüm uzyı eşittir.

33 Doğrusl Döüşüü Görütüsü Çekirdek, bir doğrusl döüşümle lklı iki kritik lt uzyd bir tesidir. Diğeri ise görütüdür e rge() ile gösterilir. : V W döüşümüü görütüsü, V deki ektörleri görütüleye W dki tüm w ektörlerii kümesidir. rge :, V 'de yer lmktdir

34 eorem: i görütüsü W u lt uzyıdır. : V W doğrusl döüşümüü görütüsü, W u lt uzyıdır. İspt: i görütüsü boş küme değildir. Çükü 0 0 ile, görütüü sıfır ektörüü içerdiği lşılmktdır. Vektör toplmı ltıd kplılığıı göstermek içi, u e i görütüsüde yer l iki ektör olsu. u e, V de yer ldıklrı içi u+ de V de yer lır. Böylece u u toplmı i görütüsüdedir. Skler çrpım ltıd kplılığı göstermek içi u, i görütüsüde yer l bir ektör e c bir skler olsu. u, V de yer ldığı içi cu d V de yer lır. Böylece cu cu, i görütüsüde yer lır.

35 Not: : V W doğrusl döüşümüü çekirdeği e görütüsü sırsıyl V e W u lt uzylrıdır. ım Kümesi Çekirdek Görütü

36 eorem: m :, x Ax ile erile doğrusl bir döüşüm olsu. A mtrisii sütu uzyı, i görütüsüe eşittir.

37 Doğrusl Döüşüü Rkıı e Boşluğuu ıı : V W bir doğrusl döüşüm olsu. i çekirdeğii boyutu boşluk deir e ullity ile gösterilir. i görütüsüü boyutu rk deir e rk ile gösterilir.

38 eorem: Rk e boşluğu toplmı : V W, -boyutlu ektör uzyı V de W ektör uzyı tımlı doğrusl bir döüşüm olsu. Bu durumd görütü e çekirdeği boyutlrıı toplmı, tım kümesii boyutu eşittir. y d rk() + ullity() = boyut(görütü) + boyut(çekirdek) = boyut(tım kümesi)

39 İspt: döüşümü, boyutu m ol bir A mtrisi ile tımlsı. A mtrisii rkı r olmk üzere, rk() = boyut( i görütüsü) = boyut(sütu uzyı) = rk(a) = r Ayı zmd, ullity() = boyut( i çekirdeği) = boyut( Ax 0 ı çözüm uzyı) = r Böylece, rk() + ullity() = r + ( r) =

40 Bire Bir e Örte Doğrusl Döüşüler Bu bölümde ceplmsı gereke ilk soru: doğrusl bir döüşümü tım kümeside yer l e kdr ektörü sıfır ektörüe tdığıdır. Eğer sıfır ektörü sdece 0 ol ektörü ise, bire birdir. : V W foksiyou, şğıdki şekilde de gösterildiği gibi görütü kümeside yer l her bir w ektörüü ö görütüsü tek bir ektörde oluştuğu durumlrd bire birdir. Ayı zmd bu dek olrk, sdece e sdece V de yer l tüm u e içi u ile u = geçerli ise bire birdir.

41 Bire bir Bire bir değil

42 eorem: Bire bir doğrusl döüşümler : V W doğrusl bir döüşüm olsu. sdece e sdece ker 0 ise bire birdir. İspt: i bire bir olduğu rsyılsı. O hlde 0 ı tek çözümü 0 dır. Bu durumd ker 0 olur. ers mtıkl, 0 u olsu. doğrusl bir döüşüm olduğu içi, u u 0 ker e Bu göre u, i çekirdeğide yer lmktdır e 0 eşit olmlıdır. Bu durumd u = e de bire bir olmlıdır. Bir : V W foksiyou, W dki her elem V de bir ö görütüye ship olduğud örtedir. Bir bşk deyişle, W üzerie W, i görütüsüe eşit olduğud örtedir.

43 eorem: Örte Doğrusl Döüşümler : V W doğrusl bir döüşüm e W u boyutu solu olsu. Bu durumd, rkı W u boyutu eşit olduğud örtedir. eorem: Bire bir e Örte Doğrusl Döüşümler : V W doğrusl bir döüşüm, V e W d -boyutlu ektör uzylrı olsu. Bu durumd sdece e sdece örte olduğud bire birdir. İspt: Eğer bire bir ise, ker 0 e boyutker 0 0 durumd, boyut( i görütüsü) = - boyut ker boyutw Souç olrk, örtedir. Bezer şekilde eğer örtese, boyut( i görütüsü) = boyut W Böylece bire birdir. dır. Bu

44 Örek: m :, Ax x ile erile doğrusl bir döüşüm olsu. Bu göre i boşluğuu e rkıı bulrk i bire bir mi örte mi olduğuu belirleyiiz. ) A b) A c) 0 0 A d) A

45 m : Boyut(tk) Boyut(görütü) Rk() Boyut(Çekirdek) Boşluk() Birebir Örte 3 ) : Eet Eet b) : 3 0 Eet Hyır 3 c) : 3 Hyır Eet 3 d) : 3 3 Hyır Hyır