BÖLÜM 3 SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL

Transkript

1 BÖLÜM SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL. Blgsyrl türe.. Bölümüş rk tblolrıyl türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç türe.. Eşt rlıklı er oktlrı ç er oktlrıd türe.. Yüksek mertebede türeler. Syısl tegrl.. Trpez krlı.. Romberg tegrsyo.. Br er set ç Romberg tegrsyo..5 Smpso krlı..6 İtegrl ormüller rklı br yold elde edlmes..7 Gss kdrtürü..8 Çok-ktlı tegrller

2 Bölüm - Syısl türe e tegrl - BÖLÜM SAYISAL TÜREV VE İNTEGRAL. Blgsyrl türe Br () oksyo oktsıdk türe d d ( ) ( ) lm (.) şeklde tımlır. Ayı türe blgsyr yrdımıyl yklşık olrk d d ( ) ( ) (.) şeklde esplblr. Türe blgsyrl espl değer gerçeğe e kdr ykı oldğ g büyüklükte seçldğe bğlıdır. Türedek t küçüldükçe öce zlck ck br süre sor yrltm tlrı öeml olmy bşlyıc rtmy bşlycktır. Örek ( ) e s '( ) ( s cos ) olp b oktdk gerçek değer ' (. 9) oksyo.9 dk değer celeyelm. Foksyo türe e dr. Aşğıdk tblod EXCEL progrmıyl ypılmış esplm soçlrı yer lmktdır. Brd türe syısl esbıd ler rk ormülü kllılmış olp ger rk ormülü ygldığıd bezer soc elde etmek mümküdür. d ( ' () Ht Ht orı.5. ## E-.5 / ## E-...5 / ## E-..5 / 8 ## E-..5 / ## E-..5 / 8 ## E / ## E / 89 ## E / 6556 ## E-6 8. t..5 / 588 ## E / 9 ## E / 55 ## E-7.5 / ## E / 7868 ## E-7.5 / ## E-.5 / ## E-.5 / ## E- -. d.5 / ## E-.5 / ## E ###) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

3 Bölüm - Syısl türe e tegrl - Brd büyüklüğüü lk değer.5 lımış kc üçücü e dördücü değerler br öcek değerler yrısı beşc e ltıcı değerler br öcek değerler dörtte br e d sork değerler de br öcek değer 8 de br olrk lımıştır. B tbloy göre küçüldükçe bekledğ gb türedek t öce zlmkt ck bell br değerde (.5/9) sor rtmktdır. B değere kdr tdk küçülme orı yklşık olrk küçülme orı crıddır. Syısl türe b şeklde brc derecede bölümüş rklrl esplmsı sırsıd orty çık tlrı bell orlrd değşmes tesdü değldr. B d koly görmek ç yere lrk Tylor ser çılımıı ( ) ( ) ( ) ( ξ ) ' '' / şeklde yzlım. Brdk soc term t term olp <ξ < dır. B de () ç çözülürse ( ) ' ( ) ( ) ''( ξ ) (.) brdk lk term syısl türe ç kllıl ler rk ormülü oldğ kc term se syısl türe lıırke ypıl t oldğ söyleeblr. Görüldüğü gb t term le ortılıdır. Mertebe çısıd düşüülürse t O() mertebesdedr. Ykrıdk celemeler (-) Tylor sers ç tekrrlırs ( ) ' ( ) ( ) ''( ξ ) (.5) Brd - < ξ < olp b ldek t term öcekyle özdeş oldğ söyleemez. Şmd yı Tylor çılımlrı br üst mertebede terme kdr sırsıyl ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ξ ) 6 ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ξ ) 6 şeklde yzılıp ye brc türe b delerde sırsıyl ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ) ξ 6 ( ) ( ) '( ) ''( ) '''( ) ξ 6 şeklde çeklerek b k de de rtmetk ortlmsı lıırs ( ) ' ( ) ( ) ''' ( ξ ) (.6) 6 elde edlr. Brd sğdk lk term türe merkez rklrl syısl yklşımıı de etmektedr. İkc term de tyı belrtmekte olp t O( ) mertebesdedr. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

4 Bölüm - Syısl türe e tegrl - B celeme soc türe merkez rk ormülsyo d y oldğ göstermektedr. Ntekm ykrıdk örek oksyo ç merkez rklrl lı türeler ç bl tlr şğıd tblolmış olp syısl türe lmk ç yı mktrd esp ypılmsı krşılık küçüle lerle brlkte tı d çbk küçüldüğü görülmektedr. Öreğ k kt küçüldüğüde t kt küçülmekte kt küçülürke t 6 kt küçülmekte sekz kt küçülürke t 6 kt küçülmektedr. d d ( ' () Ht Ht orı.5 # # # # # / # # # # # / # # # # # / 8 # # # # # / # # # # # / 8 # # # # # E / # # # # # E / 89 # # # # # E-.6.5 / 6556 # # # # # E / 588 # # # # #.658 #.7E / 9 # # # # #.658 # -.9E-8..5 / 55 # # # # #.658 # -.9E-7.5 / # # # # #.658 #.9E-6.5 / 7868 # # # # #.65 #..5 / # # # # #.65 # -..5 / # # # # #.66 # / # # # # #.699 #.5.5 / # # # # #.9688 #.9.5 / # # # # #.75 # # t d Bütü b celemeler terpolsyo yprke er oktlrıı terpolsyo oktsı blrı ort bölgesde yer lck bçmde seçlmes yg oldğ ımstmktdır. Elde edle soçlr yrıc türe ç ortlm değer teoreme de ymktdır: ( b) ( ) b ' ( ξ) < ξ < b () türe değer - ler rk yklşımı e oktlrı rsıdk - ger rk yklşımı - e oktlrı rsıdk - merkez rk yklşımı - e oktlrı rsıdk br oktd ermektedr. Foksyo oktsı crıd orml br değşm göstermedkçe türe espldığı oktlr sırsıyl / -/ e oktsı ykıdır. Ykrıdk celemeler ç seçle örekte ble br oksyo kllılmış olp b oksyo değer stele oktlrd esplblmektedr. Geel olrk türe doğr esplblmes ç oksyo brbre ykı oktlrdk değerlerde yrrlılmsı gerektğ soc orty çıkmıştır. Ack prtktek syısl problemlerde çoğ zm er oktlrı brbre b kdr ykı değldr. B bkımd brc mertebede rklrl ypıl türe esplmlrı o kdr doğr soç ermeyecektr. O lde prtktek syısl türe esplmlrıd d yüksek mertebede rk ormülsyolrıı kllılmsı gerekr. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

5 Bölüm - Syısl türe e tegrl M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı -.. Bölümüş rk tblolrıyl türe Syısl türe lmı br yol terpolsyod oldğ gb er sete polomsl yklşıml ydrlmş ol br oksyo türede yrrlmktır. B er eşt rlıkl dğılmışs bst rklr ks lde bölümüş rklr yrdımıyl ypmk mümküdür. Br oksyo c derecede bölümüş rklr polomyl ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( )( ) [ ] ( ) Ht Ht P (.7) şeklde de edlebleceğ d öce gösterlmşt. Bölümüş rk polom türe lırk ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( ) k k k P..... ' (.8) elde edlr. P () oksyodk t term de ( )( ) ( ) ( )! ) ( ) ( ξ Ht (.9) şeklde olp türedek tyı blmk ç b so de türe lmk gerekr. Ack b de türede orty çıkck ol [ ] ) ( ) ( ξ d d term ξ büyüklüğüü e bğlı olmsı edeyle türe lımsıı mksız kılr. Bl brlkte büyüklüğü şeklde er oktlrıd br le çkışık lıırs türedek t ( ) ( ) Ht < < ξ ξ! ) ( ) ( (.) şeklde elde edleblr. Görüldüğü gb türe oktsı er oktsıyl çkışık olmsı y terpolsyo oksyo b oktd () oksyo ymsı rğme t sıır değldr. Bl brlkte er oktsıdk türe tsı r oktdkde d küçük olcktır. Örek: Br öcek örekte ele lı ( ) e s oksyo çeştl oktlrıdk değerler e bölümüş rklrı şğıdk tblod yer lmktdır. Htırlırs brc derecede bölümüş rklr [ ] şeklde ler doğr esplmkt olp tblod brc bölümüş rk sütd yer l değerler zlrıd bldklrı oktlrıdk () türeler ç ypılmış tmlerdr.

6 Bölüm - Syısl türe e tegrl -5 Foksyo gerçek türe şğıdk şekllerde sürekl eğrlerle belrtlmş olp lk grkte türeler brc rklrl espl değerler de yty doğr prçlrıyl belrtlmştr. Doğr prçlrı b türeler esplmsıd kllıl değerler le sıırldırılmıştır. Y öreğ. e.5 er oktlrı rsıdk brc rkl espl ().8 türe değer belrtle k değer rsıd br yty doğr prçsıyl gösterlmştr. [ ] [... ] [... ] [... ] e ' () ' ' ' (.8) deklem lk k term kllılrk türeler kc mertebede br yklşıml ( ) [ ] [ ][( ) ( )] P ' (.) şeklde elde edleblr. B de kc derecede bölümüş rklrı esplmsıd kllıl k ç oktsıd değerler ( ) [ ] [ ][ ] P P ' ( ) [ ] [ ][( ) ( )] ' ol br doğr prçsıı deklemdr. Çeştl rlıklr ç elde edle doğr prçlrı ykrıdk kc eğrde oksyo gerçek brc türe eğrsyle brlkte gösterlmştr. (.8) deklem üç term lıdığı tktrde türe ç P ' ( ) [ ] [ ][( ) ( )] [ ][( )( ) ( )( ) ( )( )] (.) elde edlr. Dört er oktsıı kllıldığı b bğıtı kc derecede br polom olp oktlrı rsıd M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

7 Bölüm - Syısl türe e tegrl M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı -6 ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ] P ' e oktlrı rsıd d ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) [ ] [ ] ( )( ) ( )( ) ( )( ) [ ] P ' şekl lır. B oksyolr d geçerl oldklrı rlık ç esplrk üçücü şeklde gerçek türe oksyo t eğryle krşılştırılmıştır. Üç term kllılmsı lde syısl türeler gerçek türe değerlere e kdr ykı oldğ dkkt çekcdr. Şyet ler rk kllrk br er set so oktlrı crıd türe esplmk sterse terpolsyod oldğ gb polom dereces düşürmek gerekecektr. B sor gderme yol türe oktsı e ykı (lersde ey gersde) oktlrı sırlyrk şlem ypmktır... Eşt rlıklı er oktlrı ç türe Ver oktlrıı eşt rlıklı dğılmsı lde bölümüş rklr yere bst rklr kllrk türe lmk mümküdür. Bst rklr kll br terpolsyo polom ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) Ht s s s s s s s Ht s P!!! (.) şeklde yzılblr. Brd s ; ( ) ( ) ( ) s Ht < < ξ ξ! (.) dır. (.) desde türe lırk () () () ( ) k k l l l s d ds ds s dp d s dp s P! ' (.5) elde edlr. Brd t term ye blmeye br büyüklük çermekte olp (.) t term türe ck er oktlrıdk ( s) türeler ç ( ) ( ) ( ) Ht < < ξ ξ (.6) şeklde esplblr.

8 Bölüm - Syısl türe e tegrl -7.. Eşt rlıklı er oktlrı ç er oktlrıd türe Türe er oktlrıd esplmsı stedğ tktrde s olp bst rk ormülü d d bstleşr: '( ) ( ) (.7) B drmd t mertebes de seçle mertebeye bkrk br sork term yrdımıyl kolylıkl tespt etmek mümküdür. Öreğ ykrıdk bğıtıd sdece lk term lırk türe esplırs ' ( ) "( ξ ) olp t O() mertebesde k term lımsı lde ' ( ) '''( ξ ) olp t O(²) mertebesdedr. det term lımsı lde se tı O( ) mertebesde olcğı söyleeblr... Yüksek mertebede türeler İkc ey d yüksek mertebede türeler esplmk stedğde orml olrk (.8) ey (.5) bğıtılrıı türeler kllılblr. Ack b yoll elde edlecek türe ormüller yl krmşık e blgsyr yglmsı zor olcktır. Brd d prtk br yötem koly lşılmsı çısıd eşt rlıklı okt dğılımı l ç celeecektr. B mçl şeklde tıml eşt rlıklı üç er oktsıı ele llım e b üç okt yrdımıyl ( ) türe esplmy çlışlım. Ekse tkımı oktsı çeklerek ormülsyo d bst br le getrleblr. Böylece değerler sırsıyl e olr. () oksyo br yklşım olrk b üç oktd br P() prbolü geçrlrse prbolü P () türe de oksyo () türe yklşımı olr. Türe değer oktsıd rmkt olp b türe er oktlrıdk oksyo değerlere ( ) P '( ) A B C ' (.8) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

9 Bölüm - Syısl türe e tegrl -8 şeklde bğlblr. Brd A B e C blmeye ktsyılrdır. Ayrıc P() prbolü ç ( ) '( ) P b c P b yzılblr. Şmd P() oksyo üç rklı drm ç P () t (.8) bğıtısıı celeyelm.. Drm: P() yklşım oksyo değer bütü oktlrd yı olp P( ) '( ) b c P b büyüklükler (.8) de kllılrk A B C. Drm: P() yklşım oksyo leer br değşme göstermekte olp P( ) '( ) b c P b büyüklükler (.8) de kllılrk A ( ) B C. Drm: P()² yklşım oksyo prbolk br değşme göstermekte olp ( ) P b c '( ) P b büyüklükler (.8) de kllılrk A B C elde edle üç deklem mtrs ormd yzılırs A B C Brdk üçücü deklemde A C B blg kllılrk kc deklemde A C Ve brc deklemde B elde edlr. Bl ktsyılr kllılrk (.8) bğıtısı ' ( ) ( ) ' (.9) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

10 Bölüm - Syısl türe e tegrl -9 şekle gelr. B bğıtı bekledğ gb türe ç merkez bölümüş rklr ormülüdür. Bezer şlemler kc türe ç de ypılblr. ( ) ( ) '' P'' A B C (.) P( ) b c ''( ) Ykrıdk drmlr tekrr celeerek P P( ) P( ) ( ) b c P'' ( ) b c P'' A B C A ( ) B C ( ) P ( ) b c P'' A B C deklemler mtrs ormd yzılırs blr. Brdk kc deklemde A B C A C b blg kllılrk üçücü deklemde A C brc deklemde B e b ktsyılr kllılrk kc türe ç ' ' ( ) (.) elde edlr. B esplmdk tı O(²) mertebesde oldğ gösterleblr. Herg br oktsı ç d zl okt kllrk bezer şlemler ypılırs oldğ gösterleblr. 6 6 ' ' ( ) O( ) ' ' ' ( ) O( ) 6 ' ' ( ) O( ) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

11 Bölüm - Syısl türe e tegrl -. Syısl tegrl Belrl tegrl k sıır oktsı rsıd br eğr ltıd ekseyle rsıd kl l olrk blr. Syısl tegrl tekkler de geel olrk b ss üzere otrr. e b gb k sıır rsıd kl bölge küçük şertlere yrılır e b şertler llrı toplrk tegrl değer elde edlr... Trpez krlı Br () eğrs le ekse rsıd kl l küçük şert bölgelere yrıldığıd eğr şert kestğ kısımdk prçsı değşk yklşımlr ypmk mümküdür. Öreğ şert br dkdörtge şeklde kbl edlp dkdörtge üst köşelerde brs ey üst kerıı ort oktsı eğr le çkıştırılblr. - D y br yklşım eğr prçsı yere şert kerlrıı eğry kestğ k okt rsıd yer l br doğr prçsı lrk şert bölgey br dk ymk şeklde kbl etmektr. B yklşım eğr brc derecede br terpolsyo polom le temsl edlmes lmı gelr. - B drmd e oktlrı rsıdk tegrl değer şeklde esplblr. ( ) d ( ) Trpez krlıı tsıı blmk ç terpolsyo polomlrıd yrrlılblr. B mçl e oktlrı rsıd brc-derecede Newto-Gregory terpolsyo polom tırlırs ( ) P ( ) s t Brd s e t s ( s ) ' ' ( ξ) () oksyo k okt rsıdk tegrl P () tegre ederek blblrz. s ( ) d P ( ) d ( s ) d ( s ) ds s Ht term de tegre edlerek ( ) t s s s ( s ) ' ' ( ξ) d ' ' ( ξ) s ( s ) ds ' ' ( ξ) ' ' ( ξ) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

12 Bölüm - Syısl türe e tegrl - blr. t ' ' ( ξ) O( ) e b gb k okt rsıd br oksyo tegrl b rlık olmk üzere det küçük rlığ yrılıp er br rlıkt trpez krlı yglrk b ( ) d ( / )( ) ( / / ) şeklde lıblr. B drmd t d lokl tlrı toplmı eşt olcktır. t ' [ ' ' ( ξ ) ' ' ( ξ ) ' ( ξ )] Brd ξ ler erbr o dsle belrtle rlığı çersdek br oktdır. Şyet () oksyo [b] rlığıd sürekl se b rlıkt öyle br ξ oktsı rdır k b oktd (ξ ) ler toplmı (ξ) ye eşttr. Ayrıc b- olp b göre t ' ' ' b ( ξ) ' ( ξ) O( ) elde edlr. Görüldüğü gb lokl tlr O( ) mertebesde ke toplm t O( ) mertebesdedr. Örek: Tblod değerler erle oksyo.8 le. oktlrı rsıd tegre edz. () () b ( ) d. ( 6. 5 / / ). 99 Tblodk değerler slıd ()e oksyod üretlmş olp tegrl gerçek değer b. ( ).. 8 d e d e e olrk blblr. B drmd trpez krlı göre ypıl tegrsyo toplm tsı.8 olmktdır. Ayı t syısl olrk tm edlrse: M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

13 Bölüm - Syısl türe e tegrl - t t ( ) ' ' ( ξ). 8 ξ. 8 e. {( e ) ( )} (. 598) (. ).. 8 { } blr... Eşt rlıklı olmy er oktlrı l Özellkle deeysel çlışmlrd elde edle er oktlrı eşt rlıklı değldr. B lde de trpez krlıı yglmk mümküdür. Örek: b ( ) d ( ) Br kt prol lıı erlmş okt koordtlrıı kllrk trpez krlı yrdımıyl esplyıız. Brd örek olrk şğıd şekl görüle SD 78 prol lımış olp b prol erlmş okt koordtlrı şğıdk tblod soldk sütlrd yer lmktdır İtegrl ç k rklı yol zlemş olp brcsde doğrd prol koordtlrı kllılrk tegrl b y y y d ( ) ( ) şeklde esplmıştır. İkcsde se prol oktlrıı koordtlrı ç c c HK ( cos θ ) c HK d sθ dθ değşke döüşümü yglrk tegrl ( θ) ( θ) ( ) c ( ) ( ) s y d y θ θdθ θ θ b b şeklde esplmıştır. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

14 Bölüm - Syısl türe e tegrl - SD78 rol cord p.5965 y Trpez tegrl cos θ sθ θ y( θ )*s θ Trpez tegrl HK İk soç rsıdk rklılık lk tegrlde ücm kerı crıd trpez yklşımıd meyd gele kyıplrd kyklmktdır. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

15 Bölüm - Syısl türe e tegrl -.. Romberg ekstrpolsyo Trpez krlı le lı tegrldek tyı Romberg ekstrpolsyo yötemyle zltmk mümküdür. Trpez yötemde t O( ) mertebesde olp br değeryle ypıl tegrl le / lırk ypıl kc br tegrl soçlrı brleştrlerek tegrl ç d y br tm ypılblr: D D D D z y doğr doğr doğr tm tegrl tegrl tegrl B yötem ble br () oksyo ç yglırke öce key br değer ç tegrl lıır. Sor değer yrısı lırk ye br tegrl esbı ypılır. B k tegrl soc ykrıdk bğıtıd kllılrk tegrl ç t mertebes O( ) ol d y br tm elde edlr. Ypıl b şlemler br tblod yerleştrlerek rdrd d y tegrl tmler ypılblr. Her br ekstrpolsyo tı O( ) O( 6 ) O( 8 )... şeklde zlmsıı sğlr. Ykısmy bkılrk tegrl ç optmm br değer blblr. Adım zlğ yrıy drldğ er br şmd oksyo bzı oktlrdk değer br öcek şmd bldğde b oktlrd tekrr esp ypmy gerek yoktr. Örek: ()e - oksyo. e b.5 oktlrı rsıdk tegrl Romberg yötem kllrk esplyıız. Bşlgıçtk dım zlğ (b-)/.65 olrk lıız. b İtegrl ç lk tm ( ) ( ) ( ) ( ) d / b / / 5 65 e e e /.66 İkc tmde dım zlğ.65/.5 lıırs ( ) d elde edlr. Ardrd ypıl b k tegrl Romberg ormülüde kllılrk b ( ) d ( ) blr. Aşğıdk tblod rdrd bölümüş dım zlklrı ç elde edle tegrl soçlrı yer lmktdır. Değşk dım zlklrı ç elde edle tegrl soçlrı e blr yrdımıyl ypıl çeştl seyedek tmler küçük tblod özetlemştr. Herbr seyede tmler br öcek seyede tm edle soçlrd reketle esplmktdır. Kllıl üsler de tblo ltıd gösterlmştr. b M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

16 Bölüm - Syısl türe e tegrl -5 e ² () ² () ² () ² () Itegrl Itegrl Ye tm Itegrl Ye tm Itegrl. tm. tm. tm Itegrl Ye tm Br er set ç Romberg ekstrpolsyo Ykrıd ble br oksyo ç ygl Romberg yötem blmeye br oksyo t tblolmış er oktlrı ç de yglmk mümküdür. Ack er oktlrıı eşt rlıklı olmsı gerekr. Ayrıc oksyo blmedğde dım zlğ yrıy drerek r oktlrd er değer elde etmek mümkü olmycktır. B bkımd tmler b de değer kye ktlrk ypılcktır. Örek: Tblodk er oktlrıı kllrk.8 e. oktlrı rsıdk tegrl ç yleştrlmş br tm ypıız. B er d öce trpez krlıı yglmsı ç kllılmış olp. dım zlğyl tegrl soc.99 olrk blmştr.. e.8 dım zlklrı ç kllıl er oktlrı e elde edle tegrl soçlrı tblod erlmştr. ()...8 İtegrl. Tm. Tm İtegrl e. dım zlklrı ç bl tegrl soçlrı kllılrk d y br tm M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

17 Bölüm - Syısl türe e tegrl -6 b ( ) d ( ) şeklde e. e.8 dım zlklrı ç bl tegrl soçlrı kllılrk d y br tm b ( ) d ( ) şeklde elde edlr. B k tm değer kllılrk d y br tm b ( ) d ( ) olrk elde edleblr. Verle tblo değerler ()e oksyo t oldğ e tegrl tm değer.9 oldğ tırlırs ypıl e so tm espl tegrl değerlerde e lk tm değerlerde d doğr oldğ görülür...5 Smpso krllrı Trpez yötemde oksyo leer polomlrl temsl edlmektedr. Foksyo br kdrtk ey kübk terpolsyo polomyl yklşılmsı lde tegrsyo d sss soç ermes bekler. Smpso krllrı b ss dymktdır. Smpso krllrı / krlı e /8 krlı olrk blmektedr. Smpso / krlı kc derecede Newto-Gregory ler rk polom tegre edlerek elde edleblr. Eşt rlığıyl sırlmış e oktlrı ç Newto-Gregory ormülü ( ) s s ( ) s şeklde olp rlığıd tegre edlerek ( ) s s ( ) d s d ( ) s s s ds s s s [ ] 6 s ( ) ( ) d ( ) [ ] M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

18 Bölüm - Syısl türe e tegrl -7 elde edlr. İterpolsyo polom tsı tegre edlerek Smpso / krlı ç t d 9 ( ξ) 5 ( ) Ht < ξ < şeklde tm edleblr. Smpso / krlıd rdrd üç okt kllılmsı rdrd k şert üzerde tegrl lımsı olrk d yormlblr. B göre b yötem yglmsı ç tegrl rlığıı eşt rlıklı çt syıd lt-bölgeye yrılmış olmsı gerekldr. Smpso /8 krlı d bezer şeklde üçücü derecede Newto-Gregory ler rk polom tegre edlerek elde edleblr. B ç rdrd dört okty tyç rdır: d P d 8 ( ) ( ) ( ) Yötem tsı ç blblr. 8 ( ξ) 5 ( ) Ht < ξ < Smpso /8 krlıd rdrd dört okt kllılmsı rdrd üç şert üzerde tegrl lımsı olrk d yormlblr. B göre b yötem yglmsı ç de tegrl rlığıı eşt rlıklı üçle bölüeblr syıd lt-bölgeye yrılmış olmsı gerekldr. Görüldüğü gb /8 krlıı tsı / krlı göre d zldır. B rğme bzı llerde /8 krlıı kllmk gerekeblr. Şyet er setdek şert syısı çt değlse lk bkışt / krlıı kllılmsı mümkü değlmş gb düşüüleblr. Oys tegrl yg br kısmı /8 krlı le esplıp kl kısmıd / krlı yglblr. Örek: ()e - oksyo. e.6 oktlrı rsıd sırsıyl trpez krlı Smpso / e /8 krllrıyl tegre edz. Soçlrı krşılştırıız. Aşğıdk tblod lk üç sütd okt ç e () değerler dördücü süt el ltıd okt le trpez krlı kllılrk espl tegrl değer yer lmktdır. Dördücü e beşc sütlrd Smpso / e /8 krllrıyl esplmış lokl tegrller e sütlrı e ltlrıd d blrı toplmlrı y tegrl soçlrı yer lmktdır. D sork sütlrd sırsıyl 6 e 8 okt le ypıl bezer esplmlrı soçlrı yer erlmştr. Hesplmlrı soçlrı yrıc lttk küçük tblod özetlemştr. Verle oksyo MATLAB le esplmış gerçek değer olp b değer kllılrk elde edle t değerler de yı tblod gösterlmştr. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

19 Bölüm - Syısl türe e tegrl -8 e şert. şert. 6 şert. 8 şert. () / /8 () / /8 () / /8 () / / tegrl Trpez Smpso / Smpso /8 tegrl t tegrl t tegrl t İtegrl ormüller rklı br yold elde edlmes D öce terpolsyo ç kllıl blmeye ktsyılrı ty yötem bezer tegrl ç de kllılblr. Brd yötem tıtmk ç e bst ormüller ele lırk e oktlrı rsıd () oksyo tegrl ç sdece ( ) e ( ) oksyo değerler kllıldığı ( ) d A ( ) B ( ) bçmde br ormül elde edlmeye çlışılcktır. Brd A e B ty edlecek ol ktsyılrdır. ( ) e ( ) oktlrıd geçe brc derecede br polom ( ) P( ) b şeklde tr edleblr. Ekse tkımıı bşlgıç oktsı ( - ) olck bçmde kydırılırs şlemlerde kolylık sğlblr. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

20 Bölüm - Syısl türe e tegrl -9 B drmd k rklı l söz kos olblr: Brc l: P() b P ( ) d ( ) d A P( ) B P( ) A B İkc l: P() b B k deklem mtrs bçmde yzılırs P ( ) d ( ) d A P( ) B P( ) A B A B / İkc deklemde B / İlk deklemde AB A -/ / Böylece ( ) d [ ( ) ( )] elde edlr. B bğıtı bldğmz trpez krlıdır. Üç oktlı br ormül ç - - e oktlrı lıır e b üç oktd ( ) b c P şeklde br prbolü geçtğ rsyılırs r ormül ( ) d A ( ) B ( ) C ( ) şeklde olp Brc l: P() c b P ( ) d ( ) d A P( ) B P( ) C P( ) A B C İkc l: P() b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P d d A P B P C P A B C Üçücü l: P() b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P d d A P B P C P A B C M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

21 Bölüm - Syısl türe e tegrl - B deklemler mtrs bçmde yzılırs A B C / İkc deklemde A C Üçücü deklemde A C / İlk deklemde B / Böylece ( ) d [ ( ) ( ) ( )] elde edlr. B bğıtı d bldğmz Smpso / krlıdır...7 Gss kdrtürü Öcek bölümlerde geçe tegrl ormüller eşt rlıklı oktlr ç geçerl d. Üç terml üç prmetrel e so ormülde de eşt rlıklı oktlrdk oksyo değerler ğırlık ktörleryle çrpılrk tegrl elde edlebleceğ görüldü. Üç prmetrel b çözümü kc derecede br polom (dereces prmetre syısıd br eksk) tegrle eşdeğer oldğ blmektedr. Gss eşt rlıklı bell oktlrd oksyo değerler kllılmsı zorllğ ortd kldırılmsı lde prmetre syısıı üçte ltıy çıkcğı düşücesyle rklı br yötem gelştrmştr. B yötemde oksyo değerler ğırlık ktörler yıd oksyo değerler espldığı oktlrı koordtlrı d le prmetreler olmktdır. Altı prmetrel br yklşım gerçekte 5 c derecede br polom tegrle eşdeğer olp d yüksek mertebede br yklşım lmı gelmektedr. B presbe dy yötemler Gss kdrtür ormüller olrk blmektedr. B yötemler stele değerlerde () oksyo blmsı gerektğde ck () oksyo çık bçmde blmes lde kllılblr. Brd örek olrk bst lde dört blmeye prmetre çere k-terml br ormül çıkrtılcktır: () t dt ( t ) b ( t ) Yötem öcek bölümde z edle blmeye prmetreler ty yötemyle yıdır. İşlemler bstleştrmek ç bşlgıç oktsı göre smetrk br tegrl rlığı (- le rsıd) lıck e tegrl değşke t le belrtlecektr. Formülsyo. derecede erg br polom ç geçerl olcktır. () t t t dt t bt () t t t dt t bt M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

22 Bölüm - Syısl türe e tegrl - () t t t dt t bt () t dt b Üçücü eştlğ t le çrpıp brcde çıkrtrk ( t bt ) t ( t bt ) b ( t t t ) b t ( t t )( t ) t B eştlğ geçerl olblmes ç seçeekler t t ey t t b t olmkl brlkte blrd sdece socs geçerldr. B göre t t bt b t b b t bt t t. 577 Böylece () t dt (. 577) (. 577) elde edlr. B k oksyo değer erg br kübk polom t- le t rsıdk tegrlde kllılmsı lde tegrl tm (ect) değer ereceğ göstermek mümküdür. t t t t Geel br kübk polom ( ) İtegre edlerek () t dt ( t t t ) dt t t t t ( ) ( ) ( ) ( ) elde edlr. Ayı tegrl ykrıd gelştrle ormülsyol esplırs ( t) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

23 Bölüm - Syısl türe e tegrl - ( t) () t dt w ( t) w ( t) şeklde ye yı soç elde edlr. Şmd tegrl sıırlrıı e değl de e b gb oldğ geel br l dkkte lıırs Gss kdrtürü prmetrelerde yrrlblmek ç e sıır değerler br değşke döüşümüyle e b sıır değerlere döüştürülmes gerekr. Şyet ( b ) t b d ( b ) dt t t b değşke döüşümü kllılırs ( ) b d ( b ) ( b ) t b dt elde edlr. Örek: π / I s d tegrl Gss kdrtürler kllrk esplyıız. İk terml Gss ormülüü kllılblmes ç tegrl değşke sıır değerler e olck bçmde döüştürülmes gerekmektedr. Ntekm ykrıdk değşke döüşümü yglırs ( b ) t b ( π / ) t Böylece erle tegrl π / π π ( t ) d dt I π / s d π π s ( t ) dt şekle gelr. Gss ormülü döüştürülmüş tegrl değer tegrdı t / e t / oktlrıdk değerler ğırlıklı br toplmı olrk err. Ntekm olp π π π π ( t ) π. 566π π π ( t ) π. 9π M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

24 Bölüm - Syısl türe e tegrl - I π / s d π [ s(. 566π) s(. 9π) ] elde edlr. Verle tegrl tm değer I π / / s d π [ cos ] [ ] olp Gss kdrtürü le ypıl tı mktrı.5 tür. Gss yötem değer tegrl ç sdece k oktd oksyo değer esplmsıı yeterl olmsıdır. Ye sdece k oktd oksyo değer esplmsıı gerekl kıl trpez krlı le tegrl esplmış olsydı I π / s d s s { π / } π π. 785 elde edlrd. Vey Smpso / krlı yglsydı I π / s d π / π [ s( ) s( π / ) s( π / ) ] (. 88 ). 8 blrd. Görüldüğü gb er k yötem tsı d Gss yötemde d zldır. Gss yötem k termde d zlsı ç de gelştrleblr. det okt ç ormül geel olrk () t dt w ( t ) şeklde yzılır. B ormül dereces - e d küçük ol polomlr ç tm (ect) dır. Ykrıd -okt ç z edle yötem okt ç geelleştrlerek w t k w t k w t k k k 5 k şeklde dekleml br deklem sstem elde edlr. B yötem çok şkr olmkl brlkte elde edle deklem sstem çözümü o kdr bst değldr. Ack Legedre polomlrı kllrk d koly br yklşım orty koymk mümküdür. Verle br değer ç t ler c derecede br Legedre polom köklerdr. Legedre polomlrı ( ) L ( ) ( ) L ( ) L ( ) ( ) L ( ) L şeklde br rekürsyo ormülüyle tımlmktdır. Brd L () ç L ( ) L ( ) L ( ) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

25 Bölüm - Syısl türe e tegrl - elde edlebleceğ görülmektedr. L () polom kökü ± / ±. 577 olp b kökler tm olrk k-terml ormüldek t değerlerdr. Sork polomlr ç rekürsyo bğıtısıd L L ( ) ( ) 5 5 b. elde etmek mümküdür. 8 Legedre polomlrıı kökler o-leer deklem kökler blmk ç kllıl stdrt yötemlerle elde edleblr. B kökler br kez elde edldkte sor ykrıd k-oktlı Gss kdrtürü ç yzıl deklemler bezerler yzılrk ğırlık ktörler ç kolylıkl çözüleblr. Aşğıdk tblod 5 c dereceye kdr Legedre polomlrı kökler yer lmktdır. B ktsyılrl 9 c dereceye kdr polomlrı krşılığı ol Gss kdrtürler yglmk mümküdür. Tblod lgl Gss kdrtürlere t ğırlık ktörler de slmştr. t w geçerllk dereces Brd Legedre polomlrıı bzı özellkler özetlemekte yrr rdır:. Legedre polomlrı ortogoldr. Y: L ( ) L ( ) m dt > m m B ss br çok bşk öeml oksyolrı d özellğdr. Öreğ cos( )... oksyolrı ç de cos ( m ) cos( ) dt > m m olp b drm b oksyo [π] rlığıd ortogol oldğ lmı gelmektedr.. c derecede erg br polom Legedre polomlrıı toplmı olrk yzılblr: P ( ) c L ( ) M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

26 Bölüm - Syısl türe e tegrl -5. L () polom det kökü [-] rlığıd yer lır. B özellkler yrdımıyl Gss kdrtürüü - c e d küçük derecedek polomlr ç tm (ect) oldğ göstermek mümküdür. Örek: Dört terml Gss ormülüü kllrk ()e - rsıd tegre edz. Soçlrı değerledrz. oksyo. e.6 oktlrı Hesplck tegrl I. 6 e. d olp ( b ) t b (. 6. ) t. 6.. t. b. 6. d dt dt. dt ( t.. ) değşke döüşümü le I. e dt. w ( t ) elde edlr. Gss kdrtürüü lk term t -.86 w. 785 (.. ) ( ) t ( ) t e. 87 w t. olp dğer termlere t esp soçlrı d şğıdk tblod erlmştr. t -.86 w w *. t w w *.75 t.998 w w *.8 t.86 w w *.9 Itegrl.688 İtegrl tm soc d öce olrk erlmşt. B göre terml Gss ormülü le elde edle soçtk t. olp Smpso / ormülüyle 6 rlıkt e trpez krlı le 8 rlıkt elde edle tegrl soçlrıd d z tlıdır. Örek: y R.m yrıçplı dre lıı çeştl yötemlerle esplyıız. Dre deklem olp brd y y R R d y S R R y d R R R d blr. Vey ( b ) t b ( [ ]) R R t RR Rt d Rdt M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

27 Bölüm - Syısl türe e tegrl -6 değşke döüşümü le S R R t Rdt R t dt elde edlr. B tegrl t le rsıdk eşt rlıklı 9 değer kllılrk trpez Smpso / e Smpso /8 ormülleryle yrı yrı esplmış olp soçlr şğıdk tblod slmştr. R. p.5965 S t (t) Trpez Smpso / Smpso / S Ht Değşk term syısıyl Gss kdrtürler kllrk elde edle soçlr şğıdk tblod yer lmktdır. Ayı tblod yrıc dre sdece pozt çeyreğde S R R d şeklde esplmış tegrl soçlrı d yer erlmştr. B tegrl ( b ) t b ( R ) t R R R ( t ) d dt değşke döüşümü socd S R R R ( t ) dt R ( t ) dt şekle gelmektedr. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

28 Bölüm - Syısl türe e tegrl -7 R. p.59 S R < < R < < R t w (t) w * (t) S / t (t) w * (t) S Görüldüğü gb tegrl rlığı küçültülüce Gss kdrtürler d y soçlr ermştr. B göre erle tegrl öce S R R R d R ( / R ) d R d / R şeklde boytsz olr yzıp d sor d N det rlıkt S N R S S d şeklde yzrk esplmy çlışlım. ( b ) t b ( ) t m t m d m dt değşke döüşümü le S m ( m t ) dt m w ( t ) elde edlr. Aşğıdk tblod k- e üç-terml Gss kdrtürler kllılrk 8 rlık syısıyl tegrl esplmıştır. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

29 Bölüm - Syısl türe e tegrl -8 R.. S.565 p.597 m (t) (t) S (t) (t) (t) S S Ht Çok-ktlı tegrller Bzı drmlrd k-ktlı ey d çok ktlı tegrller syısl esbı gerekeblr. b d c d b c ( y ) dy d ( y ) d dy tegrl dkkte llım. Brdk tegrl bölges b yc yd doğrlrıyl sıırlmış br dkdörtgesel bölgedr. Ack er zm dkdörtgesel bölge olmyblr. B tp tegrller syısl olrk esplırke br doğrltdk değşke sbt değerler ç dğer doğrltd tegrl esplır. Öcek prgrlrd z edle tegrl yötemler çok-ktlı tegrllere kolylıkl dpte edleblr. Herg br tegrl ormülü bğımsız değşke çeştl değerlerde esplmış oksyo değerler leer br kombsyodr. Dğer br deyşle br kdrtür ormülü çeştl oksyoel değerler ğırlıklı br toplmıdır. B göre k-ktlı br tegrlde çtek tegrl dıştk tegrl değşke sbt br değer ç oksyo değerler ğırlıklı br toplmı olrk esplblr. B şeklde espl toplmlrı d sor dğer doğrltd ğırlıklı toplmlrı esplrk tegrl değer elde edlr. Şyet br oksyo değerler sdece düğüm oktlrıd blyors esplmlr b oktlrl kısıtlı olcktır. B gb drmlrd Newto-Cotes ormülsyo kllılmsı yg olr. Çoğ zm bütü doğrltlrd yı ormülsyo kllılmsı yg olmktdır. Örek: Tblod erle oksyo değerler (.5. y. y.6) koordtlrıyl sıırlı dkdörtgesel bölge çde tegre edz. M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

30 Bölüm - Syısl türe e tegrl -9 B örekte y doğrltsd Smpso / ormülü kllılcktır. Ack doğrltsd rlık syısı çt olmdığıd Smpso / kllılmyck olp b doğrltd trpez krlı kllılcktır. Ntekm y sbt....5 e.6 değerler ç doğrltsd tegrller trpez krlıyl I y (. 5 y ) (. y) (. y ) (. 5 y ) * şeklde esplmış olp soçlr tblod er br süt ltıd yer lmktdır. B değerler y doğrltsd Smpso / krlıyl I y y [ I I I ] [ I I ] I. 6 şeklde tegre edlmş olp tegrl soc e sğdk ücrede yer lmktdır. \ y Smpso / B örektek tegrl gerçek ltk çözümü.59 olp elde edle syısl çözümü tsı büyüktür. B ede doğrltsdk dım zlğ büyük olmsıdır. D yüksek mertebede polomlr kllrk çözüm sssyet rttırmk mümküdür. Ykrıdk örek de göstermştr k çt ktlı tegrl ğırlıklı oksyo değerler çt ktlı br toplmı drgemştr. Ypıl esplmlrı şğıdk bçmde göstereblrz: m ( y ) d dy w trpez y [( ) ( ) ( )] B ormülü sembolk olrk y ( y ) d dy M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

31 Bölüm - Syısl türe e tegrl M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı - şeklde de göstermek mümküdür. Brd mtrs çersdek büyüklükler oksyo değerleryle çrpılck ğırlık ktörler belrtmektedr. Ağırlık ktörler brer doğrltdk tegrllere t ğırlık ktörler kombsyodr. Bşk Newto-Cotes ormülsyolrıı kombsyolrı d bezer şeklde de edleblr. B tp göstermler elle esplr ç çok yg olp d yüksek boytl tegrller ç de yglblr. Çok ktlı tegrller ç ykrıdk bçmde ypıl düzelemeler blgsyr progrmlrı ç d yg le getrmek mümküdür. B mçl tek değşkel br ümerk tegrl ormülü ele lıırs ( ) ( ) d D öce de gösterlmştr k b tp ormüller bell derecedek polomlr ç tm (ect) ypılblr. Ykrıdk ormülü s derecese kdrk polomlr ç geçerl oldğ rsylım. Şmd ( ) ( ) k k k z y dz dy d z y şekldek br çok ktlı tegrl ormülüü dkkte llım. B ormülü y e z değşkeler ç yzılmış s derecese kdrk bütü polomlr ç tm (ect) oldğ göstermek styorz. B tp polomlr α β γ büyüklükler egt olmy e toplmlrı s büyüklüğüe eşt ey d küçük tm syılr olmk üzere α y β z γ bçmdek termler leer br kombsyodr. ( ) γ β α z y z y oksyo ç tegrl γ β α γ β α dz z dy y d dz dy d z y I şeklde br boytl tegrller çrpımı le getrleblr. Her br tegrl ğırlık ktörler e oksyo değerler csde yzılrk γ β α k k k z y I B toplmlrı çrpımıı çılımıı sıl olcğıı d bst br l ç kolylıkl göstereblrz: ( )( ) ( ) ( ) ( ) I B göre

32 Bölüm - Syısl türe e tegrl - I k k α y β z γ k elde edlr. B bğıtı çokl tegrl ç bşlgıçt öerle ğırlıklı toplm ormülüü geçerlğ göstermektedr. B ormülü ç çe üç dögü kllrk blgsyr ç kolylıkl progrmlmk mümküdür. ğırlık ktsyılrı erg br ümerk tegrsyo ormülüde elde edleblr. Örek: I y z e d dy dz tegrl doğrltsd üç-terml Gss kdrtürü y e z doğrltlrıd d k-terml Gss kdrtürü kllrk esplyıız. Öcelkle y e z ç ( b ) b ( [ ]) y y ( ) dy d ( ) ( ) b b z z ( ) dy d değşke döüşümler yprk tegrl I ( )( ) e dd d 6 şekle getrelm. İk- e üç-oktlı Gss ormüller sırsıyl ( ) ( ) (. ) ( ) (. ) d ( ) ( / ) (. ) ( / ) ( ) ( / ) (. ) d şeklde olp ykrıdk tegrl b göre düzeleerek I b e 6 k yzılblr. Brd k ( )( ) k b b 5/ 9 b 8/ 9 dır. B göre tegrl bzı termler yzılırs M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı

33 Bölüm - Syısl türe e tegrl I (. 577 )(. 577 ) e (. 577 )(. 577 ) e (. 577 )(. 577 ) e (. 577 )(. 577 ) e (. 577 )(. 577 ) e (. 577 )(. 577 ) e 9 B tegrl soc I olrk ltk soc d I ( e e ) şeklde elde edleblr. 776 M.A. Yüksele HM5 Uyglmlı Syısl Yötemler Ders Notlrı