Haliç Üniversitesi, Uygulamalı Matematik Bölümü Math 3 Lineer Cebir Dersi Final Sınavı 3 Araliık 7 Hazırlayan: Yamaç Pehlivan Başlama saati: : Bitiş Saati: 3:4 Toplam Süre: Dakika Lütfen adınızı ve soyadınızı aşağıdaki kutuya yazınız, verilen bilgileri dikkatle okuyunuz ve size söylendiğinde bu sayfayı çevirerek sınava başlayınız. Adınız Soyadınız ÇÖZÜMLER İmzanız Kod. Bu sınav iki kısımdan ve toplam 5 sorudan oluşmaktadır ve 7 sayfa uzunluğundadır. Lütfen soruları çözmeye başlamadan önce bunu kontrol ediniz.. İlk kısımda her biri 5 puan değerinde adet test sorusu bulunmaktadır. Bu soruların yanıtlarını 4. sayfada cevaplar için ayrılmış bölüme yazınız. Bu kısımdaki bir sorudan puan alabilmeniz için yanıtınızı açık ve okunaklı bir biçimde cevap bölümüne yazmanız gerekmektedir. Soru üzerinde işaretlenmiş bir yanıt veya sorunun kenarına yazılmış bilgiler değerlendirilmeyecektir. Bu kısmın toplam değeri 5 puandır. 3. İkinci kısımda her biri puandan oluşan 5 soru bulunmaktadır. Bu soruların yanıtlarını sorunun altında boş bırakılan kısma yazınız. Yanıtınız için ek kağıt kullanmanıza izin verilmeyecektir. Eğer yanıtınız bu boşluğa sığmayacak kadar uzunsa büyük ihtimalle doğru yolda değilsiniz demektir. 4. Bu sınavda hesap makinesi kullanmanıza izin verilmeyecektir. 5. Sınav sırasında, önceden kendi el yazınız ile hazırlamış olduğunuz çizgisiz A4 tipinde bir formül kağıdını kullanmanıza izin verilecektir. Her öğrenci sadece kendi formül kağıdını kullanabilir. 6. Sınavın ilk dakikasında ve son dakikasında sınıftan kimsenin çıkmasına izin verilmeyecektir. 7. Sınav süresi sona erdiğinde lütfen bu kitapçığı görevli kişiye teslim ediniz. Sınav soruları çözümleri ile birlikte sınavın bitiminde öğrencilere dağıtılacaktır. 8. Lütfen sınav sırasında diğer öğrencilerin dikkatini dağıtabilecek davranışlardan kaçınınız.
Math 3 Lineer Cebir Final Sınavı BİRİNCİ KISIM Bu kısımda her biri 5 puan değerinde adet test sorusu bulunmaktadır. Bu soruların yanıtlarını 4. sayfada cevaplar için ayrılan bölüme yazınız.. Euclidean iç çarpımına göre r = ve r = 4 vektörlerinin iç çarpımı nedir? a) b) 3 3 c) d) 7 e) 8. Aşağıdakilerden hangisi Euclidean iç çarpımına göre normalize bir vektör değildir? / 5 a) / cos θ / 5 b) sin θ c) /3 d) e) /6 3. Aşağıdaki matrislerden hangisi R 3 uzayında xz-düzlemine izdüşüm alma matrisidir? a) b) c) d) e) 4. P = ( ) matrisi R uzayında nasıl bir lineer dönüşüme karşılık gelir? a) x-eksenine göre yansıtır. b) y-eksenine göre yansıtır. c) x-eksenine izdüşüm alır. d) y-eksenine izdüşüm alır. e) Saatin tersi yönde 9 döndürür.
Math 3 Lineer Cebir Final Sınavı 3 5. R uzayını x yönünde kat genişlettiğimizi ve ardından y-eksenine göre yansıma işlemini yaptığımızı düşünelim. Bu dönüşüme karşılık gelen matris aşağıdakilerden hangisidir? a) b) c) d) e) 6. T : R R lineer donüşümünün { i, j } tabanı üzerine etkisi T ( i ) = i j ve T ( j ) = i olarak verildiğini düşünelim. Bu durumda T dönüşümü r = vektorünü aşağıda- kilerden hangisine götürür? a) i b) j c) i 3 j d) 3 i j e) 3 i j 7. R 3 vektör uzayında A = matrisi ile verilen lineer dönüşümün görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir? a) xy-düzlemi. b) x = y dogrusu. c) x-ekseni. d) y-ekseni. e) z ekseni. 8. A = 3 4 matrisinin determinantı aşağıdakilerden hangisidir? a) 4 b) c) d) 6 e) 6
Math 3 Lineer Cebir Final Sınavı 4 9. 3 7 A = 3 matrisinin a 3 elemanına ait kofaktör aşağıdakilerden hangisidir? a) 4 b) 4 c) 8 d) 8 e). A = 4 4 4 3 3 3 3 matrisinin determinantı aşağıdakilerden hangisidir? a) 4 b) 4 c) 3 d) 3 e) Cevaplar 3 4 5 6 7 8 9 A D A E C D B C B A
Math 3 Lineer Cebir Final Sınavı 5 İKİNCİ KISIM Bu kısımda her biri puan değerinde 5 adet soru bulunmaktadır. Şıklı olmayan sorularda kısmi puan verilmeyecektir. Şıklı sorularda ise kısmi puan şıkların başlarında belirtildiği şekilde verilecektir. Bu soruların yanıtlarını sorunun altında boş bırakılan kısma yazınız. Yanıtınız için ek kağıt kullanmanıza izin verilmeyecektir. Eğer yanıtınız bu boşluğa sığmayacak kadar uzunsa büyük ihtimalle doğru yolda değilsiniz demektir. Bu kısımdaki sorularda işlem hatasından %5 puan kırılacaktır. Sonucunuzu kontrol etmeyi unutmayınız.. R uzayında vektörleri arasında x r = y ve r, r = x y + x y x r = y şeklinde bir iç çarpım tanımlayabilir miyiz? Yanıtınızın nedenini açıklayınız. İpucu: İç çarpımın tanımını hatırlayınız. Yanıt: Bu bir iç çarpım olamaz. Bunun iki nedeni vardır. ) Çünkü iç çarpımın tanımı gereği r, r olmalıdır. Oysa bir x r = y vektörünün kendisiyle iç çapımını alırsak buluruz ki bu da her zaman pozitif değildir. r, r = xy ) İç çarpımın tanımı gereği sadece ve sadece r = olduğnda r, r = olmalıdır. Yani sadece vektörünün boyu sıfır olmalıdır. Oysa r, r = xy olduğu için, bilesenlerden sadece biri sıfır olduğunda da vektörün boyu sıfıra eşittir. Yani x r = veya r = y şeklindeki vektörlerin de boyu sıfırdır. Yanıtınızda bunlardan sadece birini belirtmeniz tam puan almanız için yeterlidir.
Math 3 Lineer Cebir Final Sınavı 6. Derecesi n ve n den küçük olan polinomların oluşturduğu vektör uzayında şöyle bir iç çarpım tanımlanmış olsun: p (t), p (t) = p (t)p (t)dt. Bu iç çarpıma göre p (t) = t ve p (t) = polinomlarinin arasındaki açıyı hesaplayınız. Yanıt: t, t =, = ( t t 3 dt = 3. dt = = ) = 3 t = 3, t = ( t tdt = ) = cos θ =, t t = 3 θ = 3
Math 3 Lineer Cebir Final Sınavı 7 3. R uzayında verilen r = ve r = matrislerinden başlayarak Gram-Schmidt yöntemi ile ortonormal iki vektör elde ediniz. Yanıt:. Adım: r = olduğu için ê = r r =.. Adım: olduğu için de buluruz. Kontrol: ê = r ê, r ê r ê, r ê ê, r = ( ) = r ê, r ê =. r ê, r ê = ê = = ê, ê = ( ) =
Math 3 Lineer Cebir Final Sınavı 8 4. T : R 3 R lineer dönüşümü uç boyutlu uzaydaki bir vektörü ( ) matrisi ile çarparak iki boyutlu bir vektöre dönüştüren lineer dönüşüm olsun. a) (5 puan) Bu lineer dönüşümün çekirdeği nedir? b) (5 puan) Bu çekirdek uzay kaç boyutludur? Yanıt: a) Bunu sıfıra eşitlersek ( ) x y = z x y z buluruz. Bunun çözümü x y = z = x = t y = t z = olduğundan bu lineer dönüşümün çekirdeğini t t olarak buluruz. Bu x = y doğrusudur. b) Bu çekirdek uzayı bir boyutludur.
Math 3 Lineer Cebir Final Sınavı 9 5. İki bilinmeyenli iki denklemden oluşan x + y = 7 x + y = 5 sistemini Cramer yöntemini kullanarak çözünüz. Yanıt: x = y = 7 5 7 5 = 9 3 = 3 = 3 3 =