Düzce Üniversitesi Bilim ve Tenoloji Dergisi, 3 (2015) 414-431 Düzce Üniversitesi Bilim ve Tenoloji Dergisi Araştırma Maalesi Moment Taşıyan Çeli Çerçeveli Sistemlerin Titreşim Periyotları ve Deprem Yülerinin Belirlenmesi Üzerine Bir İrdeleme Ahmet Haan POLAT Mimarlı Bölümü, Sanat Tasarım ve Mimarlı Faültesi, Düzce Üniversitesi, Düzce, TÜRKİYE * haanpolat@duzce.edu.tr ÖZET Bilindiği gibi taşıyıcı sistemlerin yatay deprem uvvetlerinin bulunmasında en önemli parametre, sıfır sönüm oranında elasti sınırlar içerisinde alma aydı ile serbest titreşim periyotlarını ve özellile birinci doğal titreşim periyodunu bulmatır. Şayet modal periyotlar belirlenebilirse ve standartlaştırılmış bir ivme spetrumu mevcut ise, bu spetrum yardımı ile ivme değeri ve bu ivmeye bağlı olara da taban esme uvveti değeri bulunabilir. Ülemizde 2007 yılında yayınlanan ve halen yürürlüte olan Deprem Bölgelerinde Yapılaca Binalar Haında Yönetmelite (DBYBHY 2007) açılanan eşdeğer deprem yüü yönteminin ullanılması halinde haim doğal periyodun nasıl belirleneceği açılanmıştır. Bu yöntemde en büyü zorlu yatay fitif yüler altında fitif ötelenmeleri bulabilmetir. Bilgisayar ile hesap yapılmadığı durumda yalaşı bir ötelenme fonsiyonu ullanılara bulunaca ötelenme değerleri yardımı ile yalaşı olara doğal titreşim periyoduna ulaşılabilir. Diğer bir yalaşımda da, yalnız olonların elasti sınırdai yatay ötelenme rijitlilerini esas alara at ötelenme rijitlileri yardımı ile sistemin rijitli matrisini belirleyip, ütle matrisini de ullanara öz değerler yardımı ile modal titreşim periyotları belirlenebilir. Bu yöntemde moment taşıyan düğümlerde irişlerin dönme ve ötelenme rijitlileri tamamen ihmal edilir ve sistemin bir ayma irişi gibi davrandığı abul edilir. Bu çalışmada olon-iriş bağı rijit olan ve moment taşıyan, çapraz bağları bulunmayan, çeli çerçeve sistemlerde iriş uçlarındai rijitlilerin diate alınması ve alınmaması durumunda yatay yü taşıyıcı sistemin titreşim periyotlarında i değişim ve buna bağlı olara sisteme eti eden yatay yülerin değişiminin mertebeleri analiti olara incelenere sonuçlar ortaya oyulmuştur. Anahtar Kelimeler: Titreşim periyodu, çeli moment taşıyan çerçeve, deprem yüü, modal analiz, rijitli matrisi. A discussion on determination of periods and seismic loads of systems carrying moment with plane steel frame ABSTRACT As it is nown, the most important parameter in detection of the horizontal earthquae forces of carrier systems is finding the free vibration periods and especially first natural vibration period, provided that one stay within the elastic borders in the zero damping ratio. If modal periods can be determined and there is a standardized acceleration spectrum, the acceleration value can be found with the help of this spectrum, and the value of base shear force can be found based on the acceleration. Geliş: 12/05/2015, Düzeltme: 26/05/2015, Kabul: 11/07/2015 414
In the Regulations on the Buildings to be Erected on the Earthquae Zones (DBYBHY 2007), which was issued in 2007 in Turey and is still in effect, it is explained how to determine the dominant natural period in case of using the method of equivalent earthquae load. The biggest difficulty with this method is finding the fictive translations under the fictive loads. When the calculation is done without a computer, an approximate period of natural vibration can be found with the help of the translation values, which are found by using an approximate translation function. In another approach, the rigidity matrix of the system is defined with the help of floor translation rigidities by taing the rigidities that are in the elastic borders of the single colons and the modal vibration periods can be defined with the help of basic values by using the mass matrix. In this method, spin and translation rigidities of the beams are totally ignored in the nodes carrying moment and it is accepted that the system behaves lie a headed beam. In this study, the change in the vibration periods of the horizontal load carrying system in case of taing and not taing the rigidities in the beam tips of steel frame systems that have rigid post-beam bond, carry moment and have no cross bonds into consideration and, accordingly, the levels of the changes of the horizontal loads that affect the system are analyzed analytically and the results are presented Keywords: Vibration period, steel moment carrying frame, earthquae load, modal analysis, rigidity matrix. B I. GİRİŞ irço modern modern deprem yönetmeliğinde olduğu gibi ülemizde de halen ullanılmata olan DBYBHY 2007 de eşdeğer deprem yüü yöntemi ullanılması halinde binaların birinci doğal titreşim periyodunun belirlenmesi için aşağıda verilen formül 1 önerilmetedir. N N 2 1 i fi fi fi i=1 i=1 (1) T =2π m. F. Burada m ı =i inci atın ütlesi, δ fi =i inci atın fitif yatay ötelenmesi, F fi =i inci ata etiyen eşdeğer deprem yüüdür. American Society of Civil Engineering (ASCE 7-10) yönetmeliğinde, eşdeğer deprem yüü yöntemi ullanılması halinde birinci doğal titreşim periyodunun belirlenmesi için aşağıda verilen formül 2 önerilmetedir. x T a =C t.h n (2) Burada moment taşıyan çeli çerçeveler için C t =0.0724, h n =temel seviyesinden itibaren binanın toplam yüseliği olup moment taşıyan çeli çerçeveler için x=0.8 dir. Benzer şeilde Uniform Building Code (UBC-97) stati yatay deprem uvvetlerinin bulunmasında, birinci doğal titreşim periyodunun bulunmasını metot A olara tanımladığı yalaşı bir metot da aşağıdai formül 3 ile önermetedir. T=C. h t 3 4 n (3) Burada moment taşıyan çeli çerçeveler için C t =0.0853, h n =temel seviyesinden itibaren binanın toplam yüseliğidir. Uniform Building Code (UBC-97) metot A olara tanımladığı metottan başa formül 1 ile yapılan birinci doğal titreşim periyodu hesabını da metot B olara önermetedir. ASCE 7-415
10 ve UBC-97 tarafından önerilen formül 2 ve formül 3 moment taşıyan çeli çerçevelerin doğal titreşim periyotlarının bulunması için doğrudan ullanılabilece yalaşı ifadeler olmasına rağmen, formül 1 olduça hassas sonuçlar vermetedir. Formül 1 olduça hassas sonuçlar vermesine rağmen sonuçların hassaslığı doğru hesaplanmış at yatay ötelenmelerine ve at esme uvvetlerine bağlıdır. Bu değerlerin hassas bir şeilde hesaplanması zahmetli bir hesaplama süreci geretirdiğinden tasarımcılar tarafından genellile tercih edilmez. Bu çalışmada; formül 1 in prati uygulamasını gösterme için örne olara seçilen çerçeve üzerinde at yatay ötelenmelerinin ve at esme uvvetlerinin hesaplamaları yapılmış ve doğal titreşim periyodu belirlenmiştir. Formül 1 in ullanılmasında at yatay ötelenmelerine esas olan at yatay ötelenme rijitlileri ve at ütleleri ullanılara sistemin ayma irişi davranışı göstermesi hali için sistemin öz değerleri ve öz vetörleri bulunara modal titreşim periyodu hesaplanmıştır. Kayma irişi yalaşımı yerine sistemin eğilme rijitlilerini de diate alan yeni bir rijitli matrisi oluşturulara oluşturulan bu rijitli matrisi ve at ütleleri de göz önüne alınara sistemin öz değerleri ve öz vetörleri bulunup eğilme rijitlilerinin de göz önüne alındığı durum için modal periyotlar hesaplanmıştır. Her üç durum için hesaplanan doğal titreşim periyotları ve formül 2 ve formül 3 ullanılara bulunan doğal titreşim periyotları arşılaştırılmıştır. Bulunan periyot değerleri ve abul edilen ivme spetrumu da göz önüne alınara sistemin elasti deprem dayanım talepleri arşılaştırılmıştır. II. MATERYAL VE METOT A. MATERYAL Çalışmanın materyali, beş atlı, temel seviyesinden itibaren yüseliği 17.20m ve üç açılılı toplam genişliği 18.50m, genişli ve yüseli oranı 1.0755 olan moment taşıyan ve çapraz bağ içermeyen çeli çerçeve olara seçilmiştir. Seçilen taşıyıcı sistem Şeil 1 de görülmetedir. Sistemin iriş elemanlarının sabit yüleri, Şeil 2 de görüldüğü gibi 1-2 asları arasında tüm atlar boyunca G=11.77N/m, 2-3 ve 3-4 asları arasında G=9.81N/m, hareetli yüleri ise 1-2 asları arasında 1.,2.,3. ve 4. atlarında Q=6.28N/m 5.atında Q=3.14N/m,2-3 ve 3-4 asları arasında 1.,2.,3. ve atlarında Q=5.49N/m, 5. atında Q=2.75N/m değerindedir. Sistemin at seviyesinde ütleleri; elamanlarının birim boy ağırlıları, sabit yülerin tümü ve hareetli yülerin %30 u alınara hesaplanmış ve Tablo 1 de sunulmuştur. Sistemdei tüm elemanların eğilme esenleri uvvetli esenleridir. Elemanlara ait esit ve malzeme özellileri tablo 1 de verildiği gibidir. Sistemdei tüm elemanların eğilme esenleri uvvetli esenleridir. Elemanlara ait esit ve malzeme özellileri tablo 1 de verildiği gibidir. 416
Şeil 1. Sistem elemanları ve açılı boyutları Şeil 2. Sistem sabit ve hareetli yüleri Kesit Adı Tablo 1. Sistem elemanları esit özellileri ve at ütlesi değerleri Ixx m 4 Iyy m 4 HEA260 0.0001045 0.00003668 Elastisite modülü N/m 2 Kat no Kat ütlesi Ton 5 23.887 HEA300 0.0001826 0.0000631 4 26.978 HEB400 0.0005768 0.0001082 205939755 3 27.076 HEB450 0.0007989 0.0001172 2 27.193 HEB500 0.001072 0.0001262 1 27.448 B. METOT B.1. KOLON ELEMANIN YATAY ÖTELENME ve UÇ DÖNME RİJİTLİĞİ Kolon elemanın yatay ötelenme değeri moment alan teoremi yardımı ile Şeil 3 de gösterildiği gibi hesaplanmıştır. Alt ve üst uçlarında anastre ve moment taşıyabilen irişlere bağlı olan olon eleman için yatay ötelenme rijitliği Şeil 3 üzerinde ifade edilmiştir. Bu durumda olon ucundai yatay ötelenme mitarı formül 4 ile hesaplanır. Anastre ucun bir birim yatay ötelenmesine arşılı bu uçlarda 6EI/h 2 adar dönme rijitliği meydana gelir. Bu rijitli değerinin Δ yatay ötelenmesi ile çarpımı adar eleman uçlarında eğilme momenti meydana gelir. 417
Şeil 3. İi ucu anastre olonun bir ucunda bir birim elasti yatay ötelenmesine ve θ=1 radyan dönmesine arşılı uç deplasman sabitleri 3 F.h Δ= 12.E.I (4) Burada F= Yatay uvveti, h= olon yüseliğini, E.I= olon eğilme rijitliğini göstermetedir. B.2. KİRİŞ ELEMANIN EĞİLME RİJİTLİĞİ Kiriş elemanların eğilme rijitliği eleman uçlarından herhangi birine birim dönme (θ radyan)uygulanması durumunda elaman uçlarında meydana gelen eğilme momentleri ve esme uvveti şelinde oluşur. Bu tesirlere arşılı gelen uç sabitleri Şeil 4 de gösterilmiştir. Şeil 4. Bir ucunda birim deplasmana ve dönmeye serbest bir irişte iriş uçlarında birim deplasman sabitleri B.3. KAT KESME KUVVETLERİ Kat seviyesindei yatay esme uvveti ise abul edilen fitif taban uvvetinin sistemin yüseliği boyunca ters üçgen dağılım gösterdiği abulüne göre formül 5 ile hesaplanmıştır. i i F i =.V N i=1 W.h W.h i i (5) Burada W i = i inci atın ağırlığı, hi= i inci atın temel seviyesinden yüseliği, V= fitif taban esme uvveti ve F i = i inci atın fitif esme uvvetidir. III. SİSTEM PERİYOTLARININ HESAPLANMASI A. SİSTEM KAT KESME KUVVETLERİNİN BULUNMASI Sistem üzerine etiyen fitif toplam taban esme uvvetinin V t =1000N olduğu abul edilere at esme uvvetleri tablo 2 de hesaplanmıştır. 418
Tablo 2. Yatay fitif at esme uvvetleri Kat No W i (N) hi (m) w i.h i w i.h i /Σw i.h i F i (N) 5 234.335 17.20 4030.56 0.297 297.477 4 264.649 13.90 3678.625 0.272 271.503 3 265.612 10.60 2815.483 0.208 207.798 2 266.766 7.30 1947.395 0.144 143.728 1 269.269 4.00 1077.074 0.079 79.494 Σ= 13549.14 Σ= 1000 B. SİSTEMİN KAT SEVİYELERİNDEKİ YATAY ÖTELENMELERİNİN ve PERİYODUNUN BULUNMASI Sistemin at seviyelerindei yatay ötelenme mitarları formül 4 ve formül 5 yardımı ile hesaplanabilir. Hesaplama birinci at seviyesinden başlanara yapılırsa rölatif ötelenmeler hesaplanmış olur. Rölatif ötelenmeler toplanara en üst atın ötelenme değerine ulaşılır. Çalışmada incelenen taşıyıcı sistem için hesaplanan tüm at uvvetleri ve ötelenme değerleri Tablo 3 de verilmiştir. Tablo 3. Kat uvvetleri ve buna bağlı olara bulunan at ötelenmeleri Kat no Wi F i δ fi 2 Wi.δ fi F i.δ fi N N mm N.mm 2 N.mm 5 234.255 297.477 18.096 76710.325 5383.148 4 264.559 271.503 16.524 72235.844 4486.307 3 265.521 207.798 13.517 48513.141 2808.805 2 266.675 143.728 10.498 29389.76 1508.86 1 269.177 79.494 6.921 12893.627 550.1776 Σ= 239742.697 14737.298 Elde edilen bulgulara göre yapının doğal titreşim periyodu aşağıdai şeilde hesaplanmıştır. 239742.697 Tn 2. 0.256s (9810).14737.298 C. SİSTEMİN PERİYODUNUN KAYMA KİRİŞİ DAVRANIŞI KABULUNE GÖRE BULUNMASI Sistemin dinami davranış parametreleri olan at yatay ötelenme rijitlileri ve at ütleleri göz önüne alınara dinami analiz yöntemi ile periyot değeri belirlenebilmetedir. Yapı dinamiğinde serbest titreşim yapan ço serbestli dereceli sistemin titreşime esas olan öz değerleri, diğer bir tanımla açısal freansın aresi ve at ütlelerinin birbirlerine göre serbest hareetini temsil eden öz vetörleri aşağıda ifade edilen formüller yardımı ile hesaplanabilmetedir. 419
2 -ω m n 0 (6) (7) 2 det -ω m 0 Burada = sistemin rijitli matrisi, m=sistemin ütle matrisi, n sistemin öz vetör matrisi, ω=açısal hız değeridir. Çalışmada ele alınan taşıyıcı sisteme ait olonların toplam ötelenme rijitlileri Tablo 4 de görülmetedir. Tablo 4. Sistem olonlarının atlardai toplam ötelenme rijitlileri Kat no Kat yüseliği Ix 12EI/h 3 Σ12EI/h 3 As no m m 4 N/m N/m 1 0.0005768 39664.76 5 3.3 2 0.0007989 54937.90 3 0.0007989 54937.90 189205.32 4 0.0005768 39664.76 1 0.0005768 39664.76 4 3.3 2 0.0007989 54937.90 3 0.0007989 54937.90 189205.32 4 0.0005768 39664.76 1 0.0007989 54937.90 3 3.3 2 0.001072 73718.15 3 0.001072 73718.15 257312.09 4 0.0007989 54937.90 1 0.0007989 54937.90 2 3.3 2 0.001072 73718.15 3 0.001072 73718.15 257312.09 4 0.0007989 54937.90 1 0.0007989 30848.49 1 4 2 0.001072 41393.89 3 0.001072 41393.89 144484.76 4 0.0007989 30848.49 Elde edilen rijitli değerleri ullanılara oluşturulan ve sistemin en üst atından itibaren oluşturulan sisteme ait rijitli ve ütle matrisleri aşağıdai gibidir. 18.921 18.921 0 0 0 18.921 37.841 18.921 0 0 (N/m ) 0 0 25.731 51.462 25.731 0 0 0 25.731 40.179 4 =1x10 0 18.921 44.652 25.731 0 23.887 0 0 0 0 0 26.978 0 0 0 (Ton) m= 0 0 27.076 0 0 0 0 0 27.193 0 0 0 0 0 27.448 420
MATLAB programı ullanılara bulunan değerler açısal freans değerleri ve özvetörler olup, açısal freans değerinden sistemin her bir moduna arşılı gelen açısal hızlar ve periyotlar hesaplanmıştır. Rijitli ve ütle matrisleri ullanılara bulunan sisteme ait öz değerler ve özvetörler Tablo 5 ve 6 da sunulmuştur. Tablo 5. Sistemin serbest titreşim modlarına arşılı gelen öz değerleri ve periyot değerleri Mod no Açısal freans ω 2 Açısal hız ω Periyot rad 2 /s 2 rad/s s 1 601.520 24.526 0.256 2 4783.797 69.165 0.091 3 13370.459 115.631 0.054 4 21589.953 146.935 0.043 5 31656.274 177.922 0.035 Tablo 6. Sistemin serbest titreşim modlarına arşılı gelen öz vetörler Mod no Kat no 1 2 3 4 5 5 0.11366-0.11577 0.09773-0.07570 0.01618 4 0.10502-0.04585-0.06725 0.13063-0.04847 3 0.08739 0.05534-0.01040-0.06517 0.10567 2 0.06888 0.10189 0.01528-0.06109-0.13297 1 0.04600 0.09693 0.11300 0.08238 0.07325 Dinami analiz sonucunda sistemin doğal titreşim periyodu Tn=0.256s olara bulunmuştur. Dinami analiz sonucu bulunan bu değer, eşdeğer yatay yü yöntemi ile bulunan Tn doğal titreşim periyodu ile uyumludur. D. SİSTEMİN PERİYODUNUN ELAMAN ÖTELENME ve DÖNME RİJİTLİKLERİNİN RİJİTLİK MATRİSİNDE KULLANILMASI DURUMUNA GÖRE BULUNMASI Kayma irişi davranışında çerçeve sistem elemanlarının sadece olonlarının uçlarında bir birim yanal deformasyon yapması halinde gereli olan yatay uvveti veren rijitli değerleri ullanılara sistem rijitli matrisi bulunmuştur. Yani sadece düğümün yanal deformasyonu ve deformasyona arşı sadece olonların yanal ötelenme rijitlileri göz önüne alınmıştır. Bu yalaşımda ise ayma irişi davranışından farlı olara; düğümün yanal ötelenmesine ilave olara düğümde bir birim (θ=1radyan) açısal deformasyon veya açısal dönme olması durumu da göz önüne alınara bu dönme etisine arşı eleman uçlarında oluşan birim deplasman sabitleri de göz önüne alınmıştır. Yanal ötelenme ve düğümün açısal deformasyonunu da göz önüne alara oluşturulan matrisin oluşturulma mantığı Şeil 5 de sunulmuştur. Şeil 5 de i, j, oordinatları sırası ile m+1inci, m inci ve m-1 inci atların yatay ötelenme oordinatlarını, p,q,r sırası ile m+1 inci, m inci ve m-1 inci atların dönme rijitlilerini, q oordinatı ise m inci atta çerçevenin herhangi bir iç düğümündei birim dönme deformasyonunu ifade etmetedir. 421
Kat seviyesi m+1 i m m-1 j B p E A C q-1 q q+1 D r Kat m+1 m Şeil 5. Çerçeve sistem rijitli matrisinin oluşturulmasında ullanılan anahtar gösterim D.1. DÜĞÜM YATAY ÖTELENMESİNDEN DOLAYI RİJTİLİK MATRİSİ ELEMANLARI Şeil 5 de j oordinatına, diğer düğümlerde olmama aydı ile bir birim yanal ötelenme uygulandığı zaman m inci ve m+1 inci atlardai olonlar üst ve alt uçlarında şeil 3 de gösterildiği gibi deformasyon yapacatır. Bu sebeple j oordinatını bir birim yanal deplasmanından dolayı rijitli matrisinin i, j, oordinatlarında oluşaca yanal ötelenme rijitliği aşağıdai gibi yazılabilir. 12EI = + h (m inci at) (m+1inci at) 12EI h (8) jj 3 3 = - (m+1inci at) 12EI h ij 3 = - (m inci at) 12EI h j 3 (9) (10) Burada, 12EI Kolon uçlarındai yatay ötelenme rijitliğini (N/m) 3 h jj j oordinatının bir birim yanal deplasmanından dolayı j oordinatındai tüm olonların yatay ötelenme rijitlilerini ij j oordinatının bir birim yanal deplasmanından dolayı i oordinatındai tüm olonların yatay ötelenme rijitlilerini j j oordinatının bir birim yanal deplasmanından dolayı oordinatındai tüm olonların yatay ötelenme rijitlilerini göstermetedir. Stati denge gereği ij + jj + j =0 olmalıdır. Ayrıca diğer tüm oordinatlardai yatay ötelenme rijitlilerinin atısı sıfırdır. J oordinatının bir birim yanal deplasmanından dolayı p, q, r dönme oordinatlarındai rijitli matrisi elemanları aşağıdai gibi yazılabilir. 422
6EI 6EI = - AB AD qj 2 2 hab had 6EI = h AB pj 2 AB 6EI =- h AD rj 2 AD (11) (12) (13) Burada qj j düğümünün bir birim ötelenmesinden dolayı q oordinatında oluşan dönme rijitliği pj j düğümünün bir birim ötelenmesinden dolayı p oordinatında oluşan dönme rijitliği rj j düğümünün bir birim ötelenmesinden dolayı r oordinatında oluşan dönme rijitliği Stati denge gereği qj = pj +rj olup m+1 inci, m inci ve m-1 inci atlarda olon uçlarındai dönme rijitlileri sıfırdan farlıdır. D.2. DÜĞÜMÜN BİRİM DÖNMESİNDEN DOLAYI RİJİTLİK MATRİSİ ELEMANLARI Şeil 5 de q oordinatına bir birim dönme (θ=1radyan) uygulandığı zaman, rijitli matrisinde i, j, oordinatlarındai rijitli değerleri aşağıdai gibi yazılabilir. Bu oordinatlardai rijitliler düğüm notasına uygulanan birim dönme deformasyonundan dolayı olon alt ve üst uçlarında oluşan dönme rijitlileridir. 6EI 6EI = - AB AD jq 2 2 hab had 6EI =- h AB iq 2 AB = 6EI h AD q 2 AD (14) (15) (16) Burada, jq q düğümüne veya dönme oordinatına uygulanan bir birim dönmeden dolayı j oordinatındai ötelenme rijitliği iq q düğümüne veya dönme oordinatına uygulanan bir birim dönmeden dolayı i oordinatındai ötelenme rijitliği. q q düğümüne veya dönme oordinatına uygulanan bir birim dönmeden dolayı oordinatındai ötelenme rijitliği. Stati denge gereği jq + iq + q =0 olmalıdır. q oordinatına uygulanan bir birimli dönme deformasyonu düğüme bağlı iriş ve olon uçlarında yani q oordinat notasında ve düğüme bağlı irişlerin diğer uçlarında yani (q-1) ve (q+1) oordinatlarında rijitli matrisi elemanı olan dönme rijitlileri aşağıdai gibi yazılabilir. 423
4EI 4EI 4EI 4EI (17) AB AC AD AE qq = h AB L AC h AD L AE pq 2EI = h 2EI AB AB AD rq = h AD (q-1),q (q+1),q 2EI = L AE 2EI = L AE AC AC (18) (19) (20) (21) Burada qq q düğümüne veya dönme oordinatına uygulanan birim dönme deformasyonundan dolayı q oordinatındai tüm elemanların dönme rijitlilerini pq q düğümüne veya dönme oordinatına uygulanan birim dönme deformasyonundan dolayı p oordinatındai olon elemanın uç dönme rijitliğini rq q düğümüne veya dönme oordinatına uygulanan birim dönme deformasyonundan dolayı r oordinatındai olon elemanın uç dönme rijitliğini (q-1),q q düğümüne veya dönme oordinatına uygulanan birim dönme deformasyonundan dolayı (q-1) oordinatındai iriş elemanın uç dönme rijitliğini (q+1),q q düğümüne veya dönme oordinatına uygulanan birim dönme deformasyonundan dolayı (q+1) oordinatındai iriş elemanın uç dönme rijitliğini gösterir. Kiriş ve olon elemanların açılı, yüseli, atalet momenti ve elastisite modülleri göz önüne alınara yuarıda anlatılan rijitli değerleri Tablo 7 ve Tablo 8 da gösterilmiştir. Kesit Adı Tablo 7. Sistem iriş elemanları uç birim deplasman sabiti değerleri Kiriş Açılığı m L=5.5 L=6.0 L=7.0 L=5.5 L=6.0 L=7.0 Atalet Momenti m 4 4EI/L Nm 2EI/L Nm HEA260 0.0001045 15651.41 14347.13 12297.54 7825.707 4782.376 6148.77 HEA300 0.0001826 27348.79 25069.72 21488.33 13674.39 12534.86 10744.17 Tablo 8. Sistem olon elemanları uç birim deplasman sabiti değerleri 4EI/h Nm 2EI/h Nm 6EI/L 2 Kolon Yüseliği m h=3.3 h=4.0 h=3.3 h=4.0 h=3.3 h=4.0 h=3.3 h=4.0 Atalet Kesit Adı Momenti N 12EI/h 3 N/m m 4 HEA400 0.0005768 143983.02 118785.99 71991.51 59393.00 65446.83 44544.75 39664.74 22272.37 HEA450 0.0007989 199424.47 164525.19 99712.23 82262.59 90647.49 61696.94 54937.87 30848.47 HEA500 0.001072 267596.73 220767.30 133798.37 110383.65 121634.88 82787.74 73718.11 41393.87 424
Rijitli matrisinin urulmasında ullanılan serbestli notaları ve isimleri Şeil 6 da gösterilmiştir. U1 U6 U7 U8 U9 U2 U3 U4 U5 U10 U11 U12 U13 U14 U15 U16 U17 U18 U19 U20 U21 U22 U23 U24 U25 330 400 330 330 330 700 550 600 1 2 3 4 Şeil 6. Sistem düğüm deplasmanları ve dönmelerini gösteren serbestli numaraları Ayrıca sistemin rijitli matrisinde Şeil 6 da gösterilen serbestlilerin matris formu da aşağıdai gibidir................ 1,1 1,2 1,3 1,25 2,1 2,2 2,3 2,25 25,1 25,2 25,3 25,25 Matris formunda alt indistei iinci raam ilgili düğümdei serbestliği (bir birim dönme veya ötelenme etisini), iinci raam ise bu etiye arşılı o düğümdei rijitli veya uvvet değerini ifade etmetedir. Tablo 7 ve tablo 8 de verilen eleman uç deplasman sabitleri Şeil 6 da verilen rijitli matrisi formunda yerine oyulduğu zaman sistem elemanlarının ötelenme ve dönme rijitlilerini içeren matris elde edilir. Bu matris formunda olon elemanların esenel deformasyon rijitli sabitleri göz ardı edilmişlerdir. Sistem matrisine hem ötelenme hem de dönme rijitlilerinin dahil edilmesinin sebebi; sistemin titreşim periyoduna sadece, titreşim yaptığı doğrultudai rijitlileri değil, titreşim olmayan ötelenme ve dönme doğrultularındai rijitlilerin de tesir etmesi esasına dayanır. Oluşturulan sistem matrisi incelendiğinde; düğümün bir birim dönme etisinden dolayı olon uçlarındai ötelenme rijitliğinin ifade edildiği ısım ile düğümün bir birim yatay ötelenme etisinden dolayı düğümde meydana gelen dönme rijitliğinin ifade edildiği ısımdai değerlerin birbirine eşit ve transpozeleri olduğu olayca görülmetedir. Bu eşitli Betti-Maxwell arşılılılı teoremi gereğince 425
U1 ve U6 serbestlilerinin olduğu düğüm üzerinde 1,6 = 6,1 şelinde örnelenebilir. Sistemin rijitli matrisinin diğer ii ısmı ise düğümün bir birim yatay ötelenmesinde dolayı olon uçlarının yatay ötelenme rijitliği ve düğümün bir birim dönme etisinden dolayı düğümde birleşen elemanların dönme rijitlilerinin toplamı şelindedir. Bir taşıyıcı sistem herhangi bir doğrultuda titreşim yapabilir. Bu doğrultu taşıyıcı sistemin seçilen X,Y,Z esen taımına göre eği/açılı da olabilir. Faat hesaplamalarda basitliği sağlama için titreşimin belirli bir esen doğrultusunda olduğunu ve bu esen dışındai diğer esen doğrultularında titreşim olmadığını abul edebiliriz. Gelişigüzel doğrultulardai bir titreşim olayını, seçilen orta esen taımına izdüşürüp, her esende titreşimi ayrı ayrı incelediten sonra, sonuçlarını süperpoze etme suretiyle inceleye biliriz. Bu esas abul doğrultusunda, taşıyıcı sistemin ütleleri üzerine tesir eden atalet uvvetlerini yalnız bir doğrultuda eti ediyor olara abul edebiliriz. Oysa bir taşıyıcı sistemde titreşim yapmayan doğrultuda da, serbestli dereceleri tanımlanmış olabilir. Bu sebeple, titreşim yapan bir sistemin serbestli derecelerini, titreşim yapanlar ve titreşim yapmayanlar diye iiye ayırabiliriz. Sisteme ait matris formuna göre nümeri değerler ile oluşturulan gerçe matrisi formu aşağıdai şeildedir. 426
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,j 189.21-189.21 0.00 0.00 0.00-65.45-90.65-90.65-65.45-65.45-90.65-90.65-65.45 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 2,j -189.21 378.41-189.21 0.00 0.00 65.45 90.65 90.65 65.45 0.00 0.00 0.00 0.00-65.45-90.65-90.65-65.45 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 K3,j 0.00-189.21 446.52-257.31 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 65.45 90.65 90.65 65.45-25.20-30.99-30.99-25.20-90.65-121.63-121.63-90.65 0.00 0.00 0.00 0.00 K4,j 0.00 0.00-257.31 514.62-257.31 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 90.65 121.63 121.63 90.65 0.00 0.00 0.00 0.00-90.65-121.63-121.63-90.65 K5,j 0.00 0.00 0.00-257.31 401.80 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 90.65 121.63 121.63 90.65 28.95 38.85 38.85 28.95 K6,j -65.45 65.45 0.00 0.00 0.00 156.28 6.15 0.00 0.00 71.99 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 K7,j -90.65 90.65 0.00 0.00 0.00 6.15 227.37 7.83 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 K8,j -90.65 90.65 0.00 0.00 0.00 0.00 7.83 229.42 7.17 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 K9,j -65.45 65.45 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 7.17 158.33 0.00 0.00 0.00 71.99 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 10,j -65.45 0.00 65.45 0.00 0.00 71.99 0.00 0.00 0.00 309.45 10.74 0.00 0.00 71.99 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 11,j =10 3 x -90.65 0.00 90.65 0.00 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 10.74 447.69 13.67 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 12,j -90.65 0.00 90.65 0.00 0.00 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 13.67 451.27 12.53 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 13,j -65.45 0.00 65.45 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 71.99 0.00 0.00 12.53 313.04 0.00 0.00 0.00 71.99 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 14,j 0.00-65.45-25.20 90.65 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 71.99 0.00 0.00 0.00 364.90 10.74 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15,j 0.00-90.65-30.99 121.63 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 10.74 515.86 13.67 0.00 0.00 133.80 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 16,j 0.00-90.65-30.99 121.63 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 13.67 519.44 12.53 0.00 0.00 133.80 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 17,j 0.00-65.45-25.20 90.65 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 71.99 0.00 0.00 12.53 368.48 0.00 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 0.00 0.00 18,j 0.00 0.00-90.65 0.00 90.65 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 0.00 420.34 10.74 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 0.00 19,j 0.00 0.00-121.63 0.00 121.63 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 133.80 0.00 0.00 10.74 584.03 13.67 0.00 0.00 133.80 0.00 0.00 K20,j 0.00 0.00-121.63 0.00 121.63 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 133.80 0.00 0.00 13.67 587.61 25.07 0.00 0.00 133.80 0.00 K21,j 0.00 0.00-90.65 0.00 90.65 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 25.07 423.92 0.00 0.00 0.00 99.71 K22,j 0.00 0.00 0.00-90.65 28.95 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 0.00 385.44 10.74 0.00 0.00 K23,j 0.00 0.00 0.00-121.63 38.85 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 133.80 0.00 0.00 10.74 537.20 13.67 0.00 K24,j 0.00 0.00 0.00-121.63 38.85 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 133.80 0.00 0.00 13.67 540.78 12.53 K25,j 0.00 0.00 0.00-90.65 28.95 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 99.71 0.00 0.00 12.53 389.02 427
D.3. RİJİTLİK MATRİSİNİN İNDİRGENMESİ Her düğüm notasında, titreşim yapan serbestli derecelerini 1, 2, 3 n 1 ve titreşim yapmayan serbestli derecelerini de, iinci grupta toplayıp (n 1 +1),(n 1 +2) n şelinde numaralandırıp sistemin dış yülerini deformasyonlara bağlayan, F =.u rijitli denlemini aşağıdai gibi yazabiliriz. Yuarıda verilen 25x25 boyutundai rijitli matrisinin indirgenmesi F {u} = rd rr {u (nxn) 0} F (nx1) 0 dd dr (nx1) Burada, d d = Kolonların, düğümün birim yanal ötelenmeden dolayı ötelenme rijitliğini dr = Kolonların, düğümün birim açısal deformasyon /dönmesinden dolayı ötelenme rijitliğini rd = Düğümün, bir birim yanal ötelenmesinden dolayı dönme rijitliğini rr = Düğümün, bir birim açısal deformasyondan dolayı dönme rijitliğini {u} = Titreşim yapan serbestli derecelerindei deplasman olon vetörünü {u 0 } = Titreşim yapmayan serbestli derecelerindei olon vetörünü {F} = Titreşim yapan doğrultuda, ütlelerin sisteme yaptığı atalet uvvetleri olon vetörünü {F 0 } = Titreşim yapmayan doğrultuda, ütlelerin sisteme yaptığı atalet uvvetleri vetörünü ifade etmete olup, {F 0 } vetörünün tüm elemanları sıfır olup, rd, dr nin transpozesidir. F 0 vetörünün tüm elemanlarının sıfır olmasından faydalanılara indirgenmiş rijitli matrisi aşağıdai gibi yazılabilir. T -1 = - c dd rd rc rd İndirgenmiş rijitli matrisinin en büyü özelliği, yalnız titreşim yapan doğrultudai deformasyonları bunlara arşılı gelen uvvetlere bağladığı halde, titreşim yapmayan doğrultudai rijitlileri de temsil ediyor olmasıdır. 3 c =10 x 44.85-78.50 42.57-11.04 2.59-78.50 197.01-175.06 69.94-16.41 42.57-175.06 279.68-212.50 80.03 N/m -11.04 69.94-212.50 313.06-224.41 2.59-16.41 80.03-224.41 308.13 Sistemin indirgenmiş rijitli matrisi 23.887 0 0 0 0 0 26.978 0 0 0 m= 0 0 27.076 0 0 0 0 0 27.193 0 0 0 0 0 27.448 Sistem ütle matrisi (Ton) Yine MATLAB programı ullanılara indirgenmiş matrislerdei öz değerler ve öz vetörler bulunmuştur. Öz değerler yardımıyla da açısal hız ve periyoda ulaşılmıştır (Tablo 9 ve Tablo 10). Tablo 9. Sistemin serbest titreşim modlarına arşılı gelen öz değerleri ve periyot değerleri Mod no Açısal freans ω 2 Açısal hız ω Periyot rad 2 /s 2 rad/s s 1 71.421 8.451 0.743 2 843.025 29.035 0.216 3 3801.672 61.658 0.102 4 11675.429 108.053 0.058 428
5 25856.544 160.800 0.039 Tablo 10. Sistemin serbest titreşim modlarına arşılı gelen öz vetörler Kat no Mod No 1 2 3 4 5 5 0.130 0.121-0.086-0.049 0.018 4 0.110 0.003 0.095 0.112-0.059 3 0.083-0.089 0.068-0.082 0.104 2 0.051-0.110-0.077-0.044-0.119 1 0.021-0.062-0.103 0.116 0.090 IV. BULGULAR ve TARTIŞMA Oluşturulan çerçeve sistemim doğal titreşim periyotları farlı yöntemlere göre belirlenmiştir. Bu yöntemler ASCE/SEI 7-10, UBC-97, eşdeğer deprem yüü yöntemi, sadece olonların yatay ötelenme rijitliğini göz önüne alan ayma irişi modeli ve olonların yatay ötelenme diğer bir değimle atın yatay ötelenme rijitliğini ve at düğüm notalarının dönme rijitliğini de göz önüne alan ve indirgenmiş rijitli matrisi ullanılan yöntemdir. SAP2000 yazılımı ile bulunan sonuç ise bir referans değer olara abul edilmiş olup, sonuçların birbirlerine göre muayesesinde de temel alınmıştır. Tablo halinde sunulan sonuçlar incelendiğinde sonuçların birbirinden farlı olduları gözlemlenmetedir. Özellile ayma irişi modelinin dinami analiz sonucu ve eşdeğer deprem yüü ullanılara bulunan sonuçlar birbiri ile uyumludur. Faat ayma irişi modeli ile sistemin eğilme rijitlilerini de göz önüne alan modelin dinami çözümleri arasındai olduça belirgin bir far mevcuttur. Ülemizde ullanılan, Deprem Bölgelerinde Yapılaca Binalar Haında Yönetmeli içerisinde önerilmeyen ampiri yalaşımlar ıyaslama amaçlı olara değerlendirilmiştir. Bu ii ampiri yalaşımın sonuçları arasında da belirgin bir far bulunmamatadır. Tablo 11. Sistemin birinci doğal titreşim periyodunun farlı çözüm yöntemlerine göre değerleri ASCE/SE I 7-10 UBC-97 KAYMA KİRİŞİ YÖNTEMİ EŞDEĞER DEPREM YÜKÜ ÇÖZÜMÜ Periyot hesabı için uygulanan yöntem KAYMA KİRİŞİ YÖNTEMİ DİNAMİK ÇÖZÜMÜ Birinci moda ait temel titreşim periyodu s DÜĞÜM NOKTALARININ ÖTELENME ve DÖNME RİJİTLİKLERİNİ KAPSAYAN İNDİRGENMİŞ MATRİS YÖNTEMİ DİNAMİK ÇÖZÜMÜ SAP2000 0.7049 0.7204 0.2562 0.256 0.7435 0.7270 İndirgenmiş matris yöntemi ve diğer yöntemlerle bulunan ve Tablo 11 de verilen periyot değerleri içerisinde en büyü değer 0.7435 olup bu değere göre ıyaslama yapıldığında oranlar; 0.7435 / 0.7049 = 1.054; 0.7435 / 0.7204 = 1.032; 0.7435 / 0.256 = 2.902; 0.7435/0.727 = 1.022 şelinde ortaya çımatadır. Oranlar diate alındığında, ampiri yalaşımların ve SAP2000 referans değerinin, indirgenmiş rijitli matrisinin dinami çözümü ile olduça uyumlu olduğu, faat ayma irişi yalaşımının her ii çözüm yöntemi ile aralarında 429
2.9 at gibi büyü bir far olduğu gözlemlenmetedir. Kayma irişi yöntemi, uygulamada olaylığı baımından tercih edilen bir yöntem olmasına rağmen her ii çözümü de gerçeğe en yaın değerlerden olduça farlı sonuçlar vermetedir. Bu farlı sonuç yapılaca deprem yüü ve taban esme uvveti hesabında da olduça farlı sonuçlar verecetir. Bu farlılığı gösterme amacı ile ayma irişi modeli ve indirgenmiş matris yöntemine ait dinami analiz sonuçları ullanılara, DBYBHY 2007 içerisinde tanımlı olan deprem bölgeleri ve yerel zemin sınıfı göz önüne alınara sistemin maruz alabileceği elasti ivme spetrumu değerleri bulunmuş ve Tablo 12 ve Tablo 13 de sunulmuştur. Tablolar da verilen ivme değerleri incelendiğinde; ayma irişi yalaşımı ile yapılan çözümlemede bulunan elasti yani azaltılmamış deprem yüünün tüm deprem bölgeleri için Z1 zemin sınıfında 2.06 at, Z2 zemin türünde 1.64 at Z3 zemin türünde 1.19 olduğu anca Z4 zemin türü için oranın 1.0 olduğu gözlemlenmetedir. Tablo 12. Kayma irişi yalaşımı dinami çözümü elasti spetrum ivme değerleri (Tn=0.2562s) Deprem Bölgesi Zemin Sınıfı 1 2 3 4 Spetral ivme m/s 2 Z1 9.81 7.36 4.91 2.45 Z2 9.81 7.36 4.91 2.45 Z3 9.81 7.36 4.91 2.45 Z4 9.81 7.36 4.91 2.45 Tablo 13. İndirgenmiş rijitli matrisi yöntemi çözümü elasti spetrum ivme değerleri (Tn=0.7435s) Deprem Bölgesi Zemin Sınıfı 1 2 3 4 Spetral ivme m/s 2 Z1 4.75 3.56 2.37 1.19 Z2 5.98 4.48 2.99 1.49 Z3 8.27 6.20 4.13 2.07 Z4 9.81 7.36 4.91 2.45 Bu çalışmanın bir sonucu olara düğüm notalarında rijit bağlı diğer bir deyimle moment taşıyan çeli çerçeve sistemlerin birinci doğal titreşim periyodunun hesaplanmasında, ayma irişi yalaşımının; eşdeğer deprem yüü yöntemi ve dinami analiz çözümü ile bulunan değerlerinin gerçeçi olmadığı, hesaplanan periyoda bağlı olara elasti ivme spetrumu üzerinde gerçeğinden daha fazla ivme değerleri ile tasarım yapmaya zorladığı ve eonomi olmayan çözümlere götürebileceği sonucuna varılmıştır. Moment taşıyan çerçeve sistemler için elemanların yanal ötelenme ve dönme rijitlilerini de içeren sistem rijitli matrislerinin oluşturulup, oluşturulan bu matrisin indirgenere sistemin tüm serbestlilerini içeren yeni bir rijitli matrisi elde edilmesi ve dinami analiz yardımı ile sistemin periyot ve modal genlilerinin hesaplanması daha gerçeçi bir yalaşımdır. V. SONUÇ Çalışmada elde edilen bulgulara göre düğüm notalarında moment taşıyabilen ve çerçeve gözlerinde çapraz bağ içermeyen çeli çerçeve sistemlerin taban esme uvvetinin belirlenmesine esas teşil eden ayma irişi modeli gerçeçi bir model yalaşımı olmayıp sonuçları tartışmaya son derece açıtır. Kayma irişi modeli ile belirlenen periyot değeri ile bulunan taban esme uvvetinin daha üçü olması ve elasti ivme spetrumundan daha büyü uvvetler taşıması sebebi ile bu periyot esas alınara belirlenen eleman esitleri gereenden daha fazla büyü ve dolayısı ile eonomi esitler olmayacalardır. Tasarım aşamasında; ön 430
tasarım amaçlı olara ASCE7-10 ve UBC-97 de önerilen ampiri formüller ayma irişi modeline göre gerçeğe daha yaın sonuçlar vermete ve bu sebeple de hem sistemdei taban esme uvveti için gerçeğe yaın sonuçlar hem de eleman iç tesirlerinin de yine gerçeğe yaın sonuçlar olması sebebi ile sistem daha eonomi olara tasarlanabilmetedir. Formül 1 in ullanılması durumunda, atların fitif at esme uvvetleri altında bulunaca yatay ötelenme değerleri fi yalnızca at olonlarının yatay ötelenme rijitlileri ullanılara tablo 3 de sunulduğu gibi gerçeçi olmayan bir sonuca ulaşmatansa, güvenilir bir bilgisayar yazılımı ullanara bu fitif yüleri sistem düğüm notalarına eti ettirere daha gerçe fi değerleri ile formül 1 i ullanara hesap yapma veya sistemin serbest titreşim analizini yapma daha doğru sonuçlar verecetir. V. KAYNAKLAR [1] American Society of Civil Engineering, ASCE standart, minimum design loads for buildings and other structures (ASCE/SEI 7-10), American Society of Civil Engineers, Reston, Va, (2010). [2] International Conferance of Building Officals, Uniform Building Code (UBC), volume 2, Structural engineering design provisions, International Conference of Building Officials, Whittier, California, (1997). [3] A.K. Chopra, Dynamics of structures: theory and applications to earthquae engineering, Second edition, Prentice-Hall, Upper Saddle River, New Jersey (2001). [4] G.S. Pandit, S.P. Gupta, Structural Analysis: A matrix approach, Second edition, The McGraw-Hill Companies. [5] S. Tezcan, Çubu Sistemlerin Eletroni Hesap Mainaları ile Çözümü (Stiffness Matrisleri Metodu) İstanbul Teni Üniversitesi Kütüphanesi Eletroni Hesap Bilimleri Enstitüsü Yayınları, 12, Arı Kitabevi Matbaası, İstanbul-Türiye, (1970). [6] Anonim, Deprem Bölgelerinde Yapılaca Binalar Haında Yönetmeli, T.C. Resmi Gazete, 26454, (2007). [7] SAP2000, Static and Dynamic Finite Element Analysis of Structure Advanced 14.2.2.Computer and Structures, Inc 1995 University Avenue, Bereley, California, USA 94704. [8] MATLAB, R2009b The Language of Technical Computing, The Mathwors, Inc. 431