MATRİS DEPLASMAN YÖNTEMİ

Transkript

1 SAARYA ÜNİVERSİTESİ M İNŞAAT MÜHENİSİĞİ BÖÜMÜ epartment of Civil Engineering İNM YAI STATIĞI II MATRİS EASMAN YÖNTEMİ Y.OÇ.R. MUSTAA UTANİS tanis@saarya.ed.tr Saarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim alı 9.. R.MUSTAA UTANİS SIE Stati Çözümleme lasi Metodlar Matris Metotları Virtel İş vvet Metod Açı metod Moment ağıtma iret Metod Sonl Elemanlar afes Çerçeve 9.. irect Stiffness Method R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

2 Matris eplasman Yöntemi [ irect Stiffness Method iret Rijitli Yöntemi] nde Yapıya yglanan vvetler (yüler-dış vvetler) biliniyor ve yapının rijitliği belli ise, yapının yapacağı deplasman hesaplanabilir: vvet Rijitli x eplasman eplasman(rijitli) - x vvet 9.. Nedir? Biliniyor R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE Matris eplasman Yöntemi irect Stiffness Method iret Rijitli Yöntemi Stiffness (Rijitli-irengenli) nedir? Rijitli: deformasyon (veya yerdeğiştirme) ile ilgili bir avramdır. x x y y 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

3 Rijitli Terimleri Boytl zayda (düzlem), bir çb elemanın serbestli derecesi vardır. Her bir serbestliğe ait rijitli terimleri: i,,,,, ve j,,,,, olma üzere ij iğer bütün sebestli derecelerinde deplasmanlar sıfır olma oşlyla; çbğn j serbestli derecesinde birim deplasman olştrma için, i serbestli derecesinde yglanması gereen vvete eşittir. 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE Rijitli Nasıl eğişir? ij ORCE (MOMENT) REUIRE AT.O.. i TO HO A UNIT EECTION AT.O.. j, WHIE HOING A OTHER.O.. IS ZERO Eleman rijitliği Yapı sisteminin geometrisine Malzeme özellilerine (E, I) Eleman sınır şartlarına (sabit veya hareetli mesnet, vs... ) bağlıdır. 9.. Uyglanan IŞ YÜERE bağlı değildir. [] matrisi are, simetri bir matristir [ ij ji ] [] matrisinin diyagonal terimleri (yani ij için) her zaman pozitiftir: ij ij için R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

4 Mavemet Bilgisi, Esenel vvet * δ Yay δ AE δ AE δ AE Birimi, vvet/boy N/m Esenel eformasyon 9.. br deplasman yapaca vvet R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 7 Mavemet Bilgisi Açı Yöntemi, Tablolar 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 8

5 Açı Yöntemi, Tablolar 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9 Açı Yöntemi, Tablolar 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

6 Açı Yöntemi, Tablolar 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE Birim eplasmanlar 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

7 Rijitli Matrisi Sembolleri N T M N T M δ θ δ θ δ N T θ M δ N 9.. ij iğer bütün sebestli derecelerinde deplasmanlar sıfır olma oşlyla; çbğn j serbestli derecesinde birim deplasman olştrma için, i serbestli derecesinde yglanması gereen vvete eşittir. θ T M δ: Esenel deformasyon : Çb esenine di yerdeğiştirme θ: önme R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE Rijitli atsayıları 9.. [ [ [ [ [ [ i i i i i i EA EA ],,,,, (i,) olma üzere EI EI EI EI ] [,,,,, ] EI EI EI EI ] [,,,,, ] EA EA ],,,,, EI EI EI EI ] [,,,,, ] EI EI EI EI ] [,,,,, ] E, A, I, R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

8 Rijitli atsayıları Matris ormda [ ] ij EA EA EI EI EI EI EI EI EI EI EA EA EI EI EI EI EI EI EI EI x 9.. E, A, I, R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE Eleman Serbestli dereceleri - Boytl eleman (Çb eleman) olara modellenebilen sabit enesitli, doğr esenli, yapı elemanları: Çerçeve iriş afes.o.:,,,,,.o.:,,,,, 9...O.:,,,,, R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

9 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 7 iriş Elemana ait Rijitli Matrisi (Çerçeve olarata modellenebilir) [ ] EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI EI ij x 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 8 afes Elemana ait Rijitli Matrisi [ ] EA EA EA EA ij x

10 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9 Global ve Yerel (ocal) Esenler X Y Z i j y x 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE Transformasyon (önüşüm) Matrisleri xx cosαy sinα y -X sinαy cosα zz λ x Cosα ; λ y Sinα λ λ λ λ Z Y X z y x x y y x [] λ λ λ λ r x y y x [r] : N na ait oordinat dönüşümü

11 [ T] Transformasyon (önüşüm) Matrisleri Elemana ait oordinat dönüşümü: r [R] r Açı ormda α: Global X eseni ile TSY 9.. oal oordinatlarda deplasmanlar R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE Global oordinatlara göre Eleman ç vvetleri ve deplasmanları 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

12 Global Eleman Rijitli Matrisi (Çerç) [ i ] [T i ] T [ i ] [T i ] veya [ global ] [T i ] T [ loal ] [T i ] CCos θ ve SSinθ olma üzere 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE Global Eleman Rijitli Matrisi (rş) [ i ] [T i ] T [ i ] [T i ] veya [ global ] [T i ] T [ loal ] [T i ] CCos θ ve SSinθ olma üzere 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

13 Global Eleman Rijitli Matrisi (afes) [ i ] [T i ] T [ i ] [T i ] veya [ global ] [T i ] T [ loal ] [T i ] CCos θ ve SSinθ olma üzere Sin o Cos o Sin9 o Cos9 o 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE Global Eleman Rijitli Matrisi (Ç) [ i ] [T i ] T [ i ] [T i ] veya [ global ] [T i ] T [ loal ] [T i ] CCos θ ve SSinθ olma üzere 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

14 Özet 9.. Ş ana adar yapılan çalışmalarla neler yapılabilir?. üğüm notaları ve elemanlar belirlenere sistem idealize edilir.. Elemanların geometri ve yapısal özellileri belirlenir (A i, E i, I i ). Her elemanın loal esenlerdei rijitli matrisi rlr [ loal ] veya [ i ]. Seçilen bir global esen taımına göre her elemanın transformasyon matrisi hesaplanır [T i ]. Transformasyon matrisi yardımıyla loal rijitli matrisleri global esenler cinsinden elde edilir [ i ] [T i ] T [ i ] [T i ] R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 7 Bndan sonra ne yapılaca? 9.. [Assembly of the Global Stiffness Matrix ] Elemanların global rijitli matrisleri toplanara sistemin global rijitli matrisi blnr [] [,,..., i ] üğüm notalarından eti eden global vvet vetörü rlr [] Yine düğüm notalarındai bilinmeyen deplasmanlar vetörü [] olma üzere denge eşitlileri rlr [] [] [] üğüm notalarındai sınır şartları diate alınara denge eşitlileri sayısı bilinmeyen deplasman sayısına indirgenir. ineer olan b denge eşitlileri çözülere deplasmanlar blnr [][] - [] Uygnl şartlarından yararlanılara elemanların global iç vvetleri elde edilir R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 8

15 TANIMAR {d} : loal oordinatlarda deplasman vetörü {}: global oordinatlarda deplasman vetörü {q} : loal oordinatlarda yü-vvet vetörü {} : Global oordinatlarda yü-vvet vetörü [ ] : da eleman rijitli matrisi [] : G da eleman rijitli matrisi [] : sistem rijitli matrisi [G] 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9 TANIMAR {d}[t]{} {q}[ ]{d} {q}[t]{} {q}[ ] [T]{} [T]{}[ ] [T]{} {}[T] - [ ] [T]{} [T] - [T] T (ortogonal matris özelliği) {}[T] T [ ] [T]{} 9.. [][T] T [ ] [T] {}[]{} R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

16 w 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE S.. Toplam serbestli: 9 inemati serbestli: 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

17 Eleman Rijitli Matrisleri olştrlr 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE Sistem Global 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

18 Çözüm Aşamaları Yapı sistemi ayrılaştırılır. Bilinen deplasmanları ( ) ve bilinmeyenleri ( ) belirleyiniz. Eleman rijitli matrislerini olştrnz. [] global direngenli matrisini olştrnz. dir. aat [] ayrılaştırılmalıdır. Satır işlemleri yapara { },{ } ve { },{ } şelinde [] yı yeniden düzenle ise (genellile) 9.. : nown U: nnown R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE [ ] - denleminin çözümü ile bilinmeyen deplasmanlar blnr. denlemi ile mesnet tepileri belirlenir. Eleman vvetleri ise q T denlemi ile elde edilir. 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

19 YÜ VETÖRÜ w (a) Süperpozisyon ralı m w w w w (b) w w w (c) w w 9.. (a) Açılı yüü ile yülenmiş eleman (b) Açılı yüünün eleman çlarındai eşdeğer vvetlerle ifadesi [yü vetöründe llanılaca] (c) Gerçe yü ve bnn eleman çlarında meydana getirdiği mesnet tepisianastreli vvetleri R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 7 Stiffness by efinition vs irect Stiffness X X : bilinmeyen :bilinen completed :bilinen : bilinmeyen Zero Unless Settlement Occrs Mesnet tepileri 9.. 8

20 SAARYA ÜNİVERSİTESİ M İNŞAAT MÜHENİSİĞİ BÖÜMÜ epartment of Civil Engineering İNM YAI STATIĞI II MATRİS EASMAN YÖNTEMİ Örneler-Uyglamalar -iriş Y.OÇ.R. MUSTAA UTANİS tanis@saarya.ed.tr Saarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim alı 9.. R.MUSTAA UTANİS SIE 9 ÖRNE ba w / ab M ab w / w /, M ba w / 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

21 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE ÖRNE / w EI 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE / w EI G wl ise (genellile)

22 w ( w ( w ( w Eleman Uç vvetleri / 8 / 8) ( / / 8) ( / ) w / 8 / 8) ( / ) w ) w / 8 / 9.. q q q q, ab ba M M ba,, w / 8 w / w / 8 / w / w / / / 8 w / 8 w / w / 8 ab w w R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE w w / 8 ÖRNE d d y d y d d x x d 9.. M M ab bc 9,, M M ba cb 9,, ab 9, bc, ba 9 cb iat: d inemati serbestliğinde: Uyglanan vvet(!) ΣM 9-- Nm TSY R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

23 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE d d d d d d EI G 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9,, 7, 8,.8 / 9 EI EI d , , 9, 9,,,, M q M q M q q q q d EI d d d d d

24 ÖRNE SORU: Çerçeve Yandai şeilde verilen çerçeve sisteminin mesnet tepilerini blnz. EGa Ix mm A mm 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 7 Eleman rijitli parametreleri ve S 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 8

25 Eleman Rijitli, (direngenli) Matrisi, loal 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9 irengenli matrisi: Eleman θ o 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

26 θ-9 o veya θ7 o Y X 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE önüşüm matrisi T T T R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

27 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

28 Sistem Global irengenli (Rijitli) Matrisi R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

29 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 7 GOBA BÜYÜÜER ] [ { } [] - mesnet tepileri Eleman vvetleri: q T 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 8 nol eleman ç vvetleri

30 nol eleman ç vvetleri 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9 Eleman Eleman 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

31 9.. Moment iyagramı esme vveti iyagramı R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE ÖRNE SORU: AES 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

32 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

33 ORNE SORU: AES θ.87 θ. θ. 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE EEMAN GOBA RİJİTİ MATRİSİ 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

34 birleştirme R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 7 * R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 8

35 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9 SAARYA ÜNİVERSİTESİ M İNŞAAT MÜHENİSİĞİ BÖÜMÜ epartment of Civil Engineering İNM YAI STATIĞI II MATRİS EASMAN YÖNTEMİ Örneler-Uyglamalar -iriş Y.OÇ.R. MUSTAA UTANİS tanis@saarya.ed.tr Saarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim alı 9.. R.MUSTAA UTANİS SIE 7

36 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 7 ÖRNE / w ba / w ab / w M ba, / w M ab 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 7 ÖRNE / w EI

37 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 7 / w EI G wl ise (genellile) 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 7 Eleman Uç vvetleri / ) ( / 8) / ( / 8 ) / ( 8) / ( / 8 ) ( / 8) / ( 8 / w w w w w w w / / / 8 / / / 8 / / 8 / 8 / / 8 8 /,,, w w M q w w w M q w w w q w w w q w ba ab ba ab

38 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 7 ÖRNE,,, 9 9, 9, 9, cb bc cb bc ba ab ba ab M M M M d d d d d d y x y x iat: d inemati serbestliğinde: Uyglanan vvet(!) ΣM 9-- Nm TSY 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 7 d d d d d d EI G

39 9.. d q q q, d 9 d.8 / EI EI 7,, 8 9,, 9, d, d, d, EI 9 8.7, q 7 9, q M M 9 q R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 77 M d SAARYA ÜNİVERSİTESİ M İNŞAAT MÜHENİSİĞİ BÖÜMÜ epartment of Civil Engineering İNM YAI STATIĞI II MATRİS EASMAN YÖNTEMİ Örneler-Uyglamalar - Y.OÇ.R. MUSTAA UTANİS tanis@saarya.ed.tr Saarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim alı 9.. R.MUSTAA UTANİS SIE 78

40 ÖRNE SORU Yandai şeilde verilen çerçeve sisteminin mesnet tepilerini blnz. EGa Ix mm A mm 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 79 Eleman rijitli parametreleri ve S 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 8

41 Eleman Rijitli, (direngenli) Matrisi, loal 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 8 irengenli matrisi: Eleman θ o 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 8

42 θ-9 o veya θ7 o Y X 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 8 önüşüm matrisi T T T R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 8

43 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 8

44 Sistem Global irengenli (Rijitli) Matrisi R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 88

45 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 89 GOBA BÜYÜÜER ] [ { } [] - mesnet tepileri Eleman vvetleri: q T 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9 nol eleman ç vvetleri

46 nol eleman ç vvetleri 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9 Eleman Eleman 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9

47 9.. Moment iyagramı esme vveti iyagramı R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9 SAARYA ÜNİVERSİTESİ M İNŞAAT MÜHENİSİĞİ BÖÜMÜ epartment of Civil Engineering İNM YAI STATIĞI II MATRİS EASMAN YÖNTEMİ Örneler-Uyglamalar - Y.OÇ.R. MUSTAA UTANİS tanis@saarya.ed.tr Saarya Üniversitesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü Yapı Anabilim alı 9.. R.MUSTAA UTANİS SIE 9

48 Assemblage of Strctral (Global) Stiffness Sistem Global irengenli Olştrma 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9 Bilgisayar rog. için Eleman Yerleştirme Şeması 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 9

49 Bilgisayar rog. için Eleman Yerleştirme Şeması N. S tanımla I X Y θ Eleman Birleştirme Şeması E N var: N inemati serbestlileri Eleman N tanımla E İ J y x Eleman var: Elemanların i ve j cnn bağlantıları 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 97 Bilgisayar rog. için Eleman Yerleştirme Şeması E Elemanlar ---> E Elemanlar ---> 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE 98

50 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE

51 E Elemanlar No ---> 9.. R. MUSTAA UTANİS SAÜ İNŞ.MÜH. BÖÜMÜ SIE