Mekanik Titreşimler ve Kontrolü. Makine Mühendisliği Bölümü

Transkript

1 Meani Titreşiler ve Kontrolü Maine Mühendisliği Bölüü 7..8

2 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler Sistede yay ve ütle veya ütlesel atalet ile burula yay etisinin olduğu denge onuu etrafında bir te bağısız değişenin üçü hareetlerinin düşünüldüğü sistelerdir. Bir sistede sönü olaası bir abuldür. Gerçe sisteler herzaan sönü etisi içerirler. Titreşi hareeti sistee verilen başlangıç değerleri ile oluşatadır.

3 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler 3

4 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler 4

5 Serbest Titreşi Hareet denlei Yay serbest uzunluğu Serbest cisi diyagraı Stati çöe x s Stati denge onuu x x ( x + x) s Titreşi hareeti zaanın sıfır oldugu anda x gibi bir başlangıç hareeti ile başlıyorsa ve hareeti tahri eden başa herhangibir eti yosa serbest titreşi olara isilendiriletedir. Serbest titreşi bir sistein titreşiinin doğal odlarını veya doğal hareetini tanılar. x a g x ( x + x ) + g x + ( x + x ) g g F x a x s x( t) + x( t) s s 5

6 Dönen sisteler ve hareet denleleri Doğrusal hareet yapan sistelerin dışında döne hareeti yapan sisteler içinde hareet denleleri aynı yalaşılarla elde edilebilir. Burada ütle yerine ütlesel atalet oentleri ve doğrusal yerdeğiştire yerine açısal yerdeğiştireler söz onusu olur. t J J( t) + ( t) t 6

7 Sönüsüz te serbestli dereceli sistelerin çözüü Sönüsüz te serbestli dereceli sistein hareet denlei: x + x çözüü elde ediniz. x() t C e + C e t t (I) n t e cost i sint 7

8 Sönüsüz te serbestli dereceli sistelerin çözüü x( t) D cos t + D sin t n n (II) D ve D başlangıç şartlarından bulunuz. t için başlangıç şartları : x() x x() v Çözü: v x t t x t ( ) sinn + cos n n Bu çözü aynı zaanda aşağıdai şeilde gösterilebilir. x( t) Asin( t + ) n v nx A x +, tan n v 8

9 Sönüsüz te serbestli dereceli sistelerin çözüü Sistein titreşi genlileri sönü oladığından azaladan deva edecetir. Periyot Genli Başlangıç yerdeğiştiresi v Başlangıç hızı Faz Masiu hız (haronic oscillator) 9

10 Sönüsüz te serbestli dereceli sistelerin çözüü clear all ; %g ; %N/ wnsqrt(/);%rad/s x.;% initial displaceent v; %initial velocity t:.:5; xt(v/wn)*sin(wn.*t) + x*cos(wn.*t); plot(t,xt) xlabel('tie [s]') ylabel('x(t) []')

11 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler-eşdeğer ütle Şeil h notasından afsallı ütleli, yay sabitli ve L uzunlulu bir aine eleanının stati denge onuunu gösteretedir. yayı üzerine hangi ütle itarı eti etetedir? Eşdeğer sistein eşdeğer ütlesini hesaplaa için ineti enerji eşitliği ullanılabilir. T Ih x eq L 7 Ih IG + L + L I h :afsal notası G: ütle erezi G L L/ L h G eq x L /4 x x 4 x L L + 3 L 4 x eq T Ih L x x 48 3 L 7 eq 7 7

12 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler- Eşdeğer atalet oenti Dişli sistelerinde belli bir şaft eleanı üzerindei eşdeğer atalet oenti istenebilir. Şeildei sistede otor şaftındai eşdeğer atalet oentini hesaplayınız(şaftların ataletleri dişli ataletleri içinde düşünületedir.). Şaft Dişli J Şaft Motor N pinyon dişlinin diş sayısı ve N Dişli oranı n N N arşı dişlinin diş sayısı olsun. dir. Ayrıca dişlilerin atalet oentleri J ve J açısal döneler ve olsun. Topla ineti enerji Pinyon J t T J + J N n n N T J + J ( n ) ( J + n J ) J eq eq J J + n J J eq

13 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler- Eşdeğer atalet oenti Şeilde endüstriyel bir onveyör şeati olara gösteriliştir. Bu uygulaada onveyör her bir zaan periyodunda sabit bir d uzalığında fasılalı olara hareet etetedir. Her bir hareet aralığında ivelenesi ve yavaşlaası eşit büyülüte olan üçgen bir hız profili ullanılatadır. Konveyör bir adılaa otoru tarafından hareet ettiriletedir. p: (p>) hız oranına sahip bir dişli ünitesi gereli olduğunda ullanılabilecetir. Motor şaftındai eşdeğer atalet oentini hesaplayınız. Eşdeğer atalet oenti otor seçiinde de ullanılatadır.

14 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler- Eşdeğer atalet oenti Motorun ve sürücü dişlinin açısal hızı: Hareet ettirilen dişlinin ve onveyör silindirinin açısal hızı: Konveyör ve üzerinde hareet ettirilen cisilerin doğrusal hızı: Tü sistein ineti enerjisi aşagıdai şeilde yazılabilir: p v r p r J J g ( J g Jd J s ) ( c L ) r T ( J + J g) + ( J g + J d + J s ) + ( c + L) p p p p Jc Motor rotorunun olduğu yerde hissedilen eşdeğer atalet oenti c + g+ ( g + d + r s ) + ( c + L ) J J J J J J p p

15 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler- Eşdeğer atalet oenti Şeildei te lin robot olunu düşüneli. Kolun ütlesi ve ütle erezi afsaldan uzalığı L olan bir yerdedir. Kol dişli eanizası üzerinden T toru veren bir otor tarafından hareet ettiriletedir. ve L nin değerleri her bir uygulaada el tarafından taşınan faydalı yüe bağlı olara değişetedir. Dişli oranı N dir. Kolun hareetini ontrol ete için hareet denleine ihtiyacıız vardır. Motor, şaftlar ve dişli ataletlerine bağlı olara eşdeğer atalet oentini bulunuz.

16 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler- Eşdeğer atalet oenti Burada aaç otor şaftı etrafında hızı ile dönen te bir atalet olara sistei odelleetir. Bu şaft etrafındai eşdeğer ataleti bula için topla sistein ineti enerji ifadesini elde ete gereetedir ve şaft hızı bağlı olara yazılalıdır. Burada ütlesi L hızında hareet ettiriletedir. KE I + I + I + I + I + L N N N ( ) ( ) ( ) S G S G Ie I + IS + IG + IS + I + L 4 ( ) ( G ) Hareet denlei: Ieq T glsin N N N IeqN T glsin N

17 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler-eşdeğer yay Şeildei sistede ütlesinden dolayı çubuta stati çöe st oluşatadır. Eşdeğer yay sabitini ve doğal freansı bulunuz. E,I L st eq Eger, x () çubu ütlesi ihal x edilece adar üçüse ve () L uzunluğuna göre ütlesinin boyutları üçüse eşdeger siste oluşturulabilir. Çubuğun ucundai ütleden dolayı stati çöe : st 3 FL gl st 3EI 3EI 3 eq g 3EI 3 L st Doğal freans : f n eq 3EI g 3 L st 7

18 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler-eşdeğer yay Seri bağlı yay: Eğer eşdeğer yay nin çöesi çöelerin toplaına eşitse yaylar seri bağlı denir. eq L E,I x x eq Çubu gibi eşdeğer bir yayla yerdeğiştirebilir. Eşdeğer yay atsayısı: 3EI L + 3 eq eq 3EI 3EI + L 3 8

19 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler-eşdeğer yay Paralel bağlı yay: Eğer, () eşdeğer yay uvveti teil yayların uvvetlerinin toplaı ise ve ( ) yaylar aynı çöeye sahip ise yaylar paralel bağlı denir. t J + J eq t t t Eğer J disi açısı adar döndürülürse geri döndüre toru herbir şaftin geri döndüre torunun toplaına eşittir. T ( + ) eq t t ( + ) eq t t Her ii şaft J disini denge onuuna getireye çalışacatır. Dairesel bir şaftın geri döndüre toru 4 dg T t 3L eq d G d G + 3 L L 4 4 9

20 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler- Eşdeğer yay x

21 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler- Eşdeğer yay E,I Su depolaa ulesi yapısı te serbestli dereceli bir siste olara düşünülebilir.

22 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler- Eşdeğer yay Uça anadının freansı üzerinde yaıtın etisi problei Problein ele alınışı: Kanadın elasti çubu olara odellenesi Yaıtın uçta yerleşiş ütle olara alınası Kanadın ütlesinin ihal edilesi ve yaıt ullanıldıça siste freansının nasıl değiştiğine baılası

23 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler- Eşdeğer yay Şeildei telesopi yapıdai itfaiye aracında sepet ile itfaiyeci ağırlığı N dur. Düşey doğrultudai sepet titreşilerinin doğal freansını bulunuz. E. N/ 3 3 l l l 3 A A A c c 5 c 3

24 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler- Eşdeğer yay Sistein doğal freansını bula için çubuğun düşey doğrultudai eşdeğer yay atsayısını bulara te serbestli dereceli idealleştire yapılabilir. Bu aaçla () telesopi çubuğun ütlesinin ihal edildiğini abul ediyoruz () telesopi çubuğun eğile gösterediğini sadece esenel doğrultuda yerdeğiştirdiğini düşünüyoruz. Çubuğun herhangi bir O O esitine eti eden uvvet çubuğun ucuna uygulanan esenel yüe eşit olduğundan çubuğun esenel yay atsayısı: b d b b b b3 b i AE i l i i i,,3 4

25 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler- Eşdeğer yay b b b3 4 ( )(. ) 3 4 ( )(. ) 3 4 (5 )(. ) N/ 7 7 N/ N/ b b b b b3 7 Telesobi çubuğun düşey doğrultudai yay atsayısı d 7 cos (45 ) N/ b b cos ( ) + sin ( ) b cos ( ) + b sin ( ) b Taşıa sepetinin düşey doğrultudai doğal freans n d.473 rad/s 5

26 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler- Yerleştire duruu a cos a Yayın uzaa itarı J ( oentler) asin Denge onuu g L g cos g sin L g L a a sin ( sin )( cos ) L + ( gl + a ) sin, cos (üçü açılar için)

27 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler- Yerleştire duruu Denge onuu g asin L a cos a g L asin a Denge onuu a cos L a a ( sin )( cos ) L + a L gl a a sin ( sin )( cos ) L a gl + ( ) Mg ağırlı uvveti yay stati çöesi tarafından arşılanıyor. Denlede yer alıyor. g stati

28 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler Şeildei ütlenin ağırlısız bir çubula afsallandığı notası etrafında üçü açısal hareetler yaptığını düşüneli. 3 L 3 L sin 3 (yaydai uzaa itarı) Kütle açısal hareet yaptığı için afsal notasına göre ütlenin ütlesel atalet oenti ve açısal ivesinin oluşturduğu oenti dengeleyen dış oentler düşünülür: J J M yay ( oentler) F F yay L 3 sin M F ( L ) L sin ( L ) sin yay yay yay L 3 M F ( L ) L yay yay 3 3 8

29 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler L L 3 3 g L L 3 3 L L J ( oentler) Hareet denleini elde ediniz. 9

30 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler Şeildei siste O notasında afsallanış ağırlısız çubuğun A ve B uçlarına ve ütleleri bağlanıştır. Sistein hareet denleini B ucundai yerdeğiştireye bağlı olara elde ediniz. x a A l O l B x b l l x a A O B x b

31 Sönüsüz te serbestli dereceli sisteler Sistein hareet denleinin xb yerdeğiştiresine bağlı elde edilesi: J ( oentler) ( l + l ) l l x x x l l l b b b x x x ( l + l ) l l b b b l l l l ( l ) x + b xb l xb l l l herii taraf b b b l l l l, l ile çarpılırsa: l l l l ( + ) x x x a l l a l l ( + a) xb xb axb a a + a xb + + a xb a a

32 Çubu yapıların odelleelerdei abulleri,j x, J Kütle veya ütlesel atalet oenti verilere doğrusal veya açısal yerdeğiştire hareeti yapılıyorsa çubu atalet uvvetleri veya oentleri ele alınaca. E, I Çubu ütlesi ihal ediliyor faat elastili odülü ve esit atalet oenti veriliyorsa çubu yay eleanı olara düşünülece. L L Çubu ütlesi ihal ediliyor aynı zaanda rijit abul ediliyorsa sadece esafe yani uzunlu olara ele alınıyor deetir.

33 Ödev a-şeildei ol eanizasında J A ol ütlesi ise A pivot notasına göre ütle atalet oentidir. Eşdeğer ütle ve eşdeğer yay bulunuz ( x oordinat sisteine göre). eq A eq b-kol ütlesinini ve atalet oentinin ihal edildiği duruda sistein hareet denlein yazınız.