EŞANLI DENKLEM MODELLERİ Eşanlı denklem modelleri, tek denklemli modeller ile açıklanamayan iktisadi olayları açıklamak için kullanılan model türlerinden birisidir. Çift yönlü neden-sonuç ilişkisi söz konusu olduğunda ilişkinin bağımsız regresyon modelleri ile incelenmesi doğru olmayacaktır. Bu durumda değişkenler arasındaki ilişkileri tanımlayan bir denklem sisteminin oluşturulması ve bu sistemin incelenmesi gerekecektir. Oluşturulacak sistemde birbirini karşılıklı olarak etkileyen değişkenlerin herbirinin bağımlı değişken olduğu farklı denklemler yer alıcaktır. Eşanlı denklem sistemlerinde yeralan denklemlerden biri ve ya birden fazlası için inceleme yapılabilmektedir. Bu kapsamda, US nin önemli veri tabanlarından NLSY79 dan; 14-21 yaşları arasındaki 540 genç kız ve erkekten elde edilen panel anket verileri ile aşağıdaki modeller arasında çift yönlü ilişki var mı, yok mu incelenecektir. Modellerde yer alan değişkenler S(okula gitme yılları), ASVABC(aritmatik mantık:arithmetic reasoning,kelime bilgisi ve paragraf anlama verilerinin birleşimi), SM(years of chooling of respondent s mother) olarak tanımlanmaktadır. S = β 1 + β 2 ASVABC + β 3 SM + u s ASVABC = α 1 + α 2 S + u A S=f(ASVABC,SM) ASVABC=f(S) 1
Eşanlı denklemli bir modelin herhangi bir denkleminin tahmin edilebilmesi için, bu denklemin eksik belirlenmiş olmaması, tam ve ya aşırı belirlenmiş olması gerekir. Bu sebepten, eşanlı modelleri tahminden önce, denklemlerinin teker teker belirlenme durumu araştırılmalıdır. Belirlenme durumu araştırılırken kullanılan ilk şart boy şartıdır. Bu gerekli bir şarttır fakat tek başına yetersizdir. Eğer boy şartı sağlandıysa rank şartının araştırılmasına geçilebilir. BOY ŞARTI: M = Modeldeki içsel değişken sayısı (veya denklem sayısı) m = Belirlenme durumu araştırılan denklemdeki içsel değişken sayısı K = Modeldeki toplam dışsal değişken sayısı k = Belirlenme durumu araştırılan denklemdeki dışsal değişken sayısı olmak üzere; 1. K-k=m-1 ise denklem tam belirlenmiştir. 2. K-k>m-1 ise denklem aşırı belirlenmiştir. 3. K-k<m-1 ise denklem eksik belirlenmiştir. Yukarıdaki 3 durum söz konusudur. Modelimizde İçsel Değişkenler: S, ASVABC Dışsal Değişkenler: SM Olarak belirlenmiştir. S = β 1 + β 2 ASVABC + β 3 SM + u s modelimiz için; K= 1 k=1 m=2 1-1 2-1 olduğu için model eksik belirlenmiştir, çözümü yoktur, denklemin katsayıları tahmin edilemez. Bu model için boy şartı sağlanamadığından, rank şartını araştırmaya gerek yoktur. 2
ASVABC = α 1 + α 2 S + u A modelimiz için; K=1 k=0 m=2 1-0=2-1 olup, denklem için boy şartı gerçekleşmiştir ve ikinci şart olan rank şartına geçilebilir. RANK ŞARTI: Modelin bir denkleminin belirlenebilmesi için, bu denklemden dışlanan içsel ve dışsal tüm değişkenlerin katsayılarından oluşan matrisin rankı M-1 e eşit olmalıdır. Rankın M-1 e eşit olması; (M-1)(M-1) boyundaki determinantın sıfırdan farklı olması ile eşdeğerdir. Öncelikle yapısal model hataya eşitlenerek yeniden yazılmalıdır: S - β 1 - β 2 ASVABC - β 3 SM = u s ASVABC - α 1 - α 2 S = u A DEĞİŞKENLER DENKLEMLER S ASVABC SM 1.Denklem 1 - β 2 - β 3 2.Denklem - α 2 1 0 2.denklemin belirlenme durumunu araştırdığımız için, yapısal katsayılar tablosunda 2.denklemin satırı ile bu satırdaki sıfırdan farklı sütünlar(1 ve 2) çizilir. Böylece 2.denklemde bulunmayan fakat 1.denklemde yer alan SM in katsayısına ulaşılır. İlgili determinant sıfırdan farklı olduğundan, 2.modelimiz belirlenmiştir. Boy şartıda 1=1 şeklinde olduğundan 2.denklemimiz tam belirlenmiştir. Modellerin eşanlı denklem sistemi olup olmadığını öğrenebilmek için modele Hausman ın eşanlılık testi uygulanabilir. Bunun için öncelikle modelde yer alan içsel ve dışsal değişkenler belirlenmelidir. Testin ikinci aşamasında belirlenen bu değişkenler orjinal modele yerleştirilir. Bulunan hata terimi değişkeninin katsayısına ait t-testi ile eşanlılık olup olmadığı tespit edilir. Bu modelde yer alan; İçsel Değişkenler: S, ASVABC 3
Dışsal Değişkenler: SM Buradan hareketle indirgenmiş kalıp denklemleri, fonksiyonel şekli, ve tahminleri aşağıdaki gibidir: S=f(SM) ASVABC=f(SM) S = π 1 + π 2 SM + v 1 ASVABC = π 3 + π 4 SM + v 2 S = π 1 + π 2 SM + v 1 S = 9,0607 + 0,4000SM 4
S=f(SM) ASVABC=f(SM) S = π 1 + π 2 SM + v 1 ASVABC = π 3 + π 4 SM + v 2 S = 9,0607 + 0,4000SM ASVABC = 34,529 + 1,4420SM Tahminlenen indirgenmiş katsayılı bu iki model üzerinden devam edilir. S = π 1 + π 2 SM + v 1 Buradan içsel değişkenelere ait tahmini değerler ve indirgenmiş kalıp denklemlerinin artıkları ile yeniden tahminleme yapılır. ASVABC = α 1 + α 2 STAH + α 3 SHATA+ u A 5
Ho: Cov(S, u)=0, eşanlılık yoktur. H 1 : Cov(S, u) 0, eşanlılık vardır. değeri t tab değerinden büyük olduğu için; H 0 hipotezi reddedilir ve eşanlılık vardır. Modelin eşanlı olduğuna karar verdikten sonra yapılması gereken işlem dışsallık testidir yani modelde yer alan içsel değişkenlerin gerçekte de içsel mi yoksa dışsal mı olduğu tespit edilmelidir. Bu aşamada Hausman ın Dışsallık testi kullanılabilir. Bu test için incelenen değişkenin tüm dışsal değişkenlerle (S = π 1 + π 2 SM + v 1 ) oluşturulmuş indirgenmiş kalıp denklemleri oluşturulur. Daha sonra diğer bir içsel değişkenin modeline, içsel değişkenin bulunan tahmini değeri, yeni bir değişken olarak eklenir. Şimdi yeni modeli oluşturalım: ASVABC=f(S,STAH) ASVABC = α 1 + α 2 STAH+ α 3 S + u A 6
H 0 : α 2 =0 değişken dışsaldır. H 1 : α 2 0 değişken dışsal değildir. değeri t tab değerinden büyük olduğu için; H 0 hipotezi reddedilir, katsayı istatistiksel olarak anlamlıdır, S değişkeninin içsel değişken olduğuna karar verilir. S değişkeninin Stah katsayısının prob una bakıyorız, 0, 005 den küçük H 0 hipotezi reddedilir. Yapılan testlerin sonucunda modelin eşanlı olduğuna ve içsel değişkenin doğru belirlendiğine karar verilmiştir. Bu aşamadan sonra yapılacak şey modelin tahmin edilmesidir ancak eşanlı denklem modellerinin tahmin edilebilmesi için her bir denklemin ayrı ayrı belirlenmiş olması gerekmektedir. İKİ AŞAMALI EKK YÖNTEMİ İki aşamalı EKK yöntemi, incelenecek denklemlerin en küçük kareler yöntemiyle iki kere tahmin edilmesidir. Tahmin edilecek denklem(asvabc = α 1 + α 2 S + u A ) ile sistemde yer alan dışsal değişken alet değişken olarak yazıldığında tahminlenen model aşağıdaki gibidir: 7
Modeldeki sabit terim anlamsız çıktığı için, modeli sabit terimsiz ifade etmek daha doğru olacaktır. Elde ettiğimiz model; ASVABC = α 2 S + u A şeklindedir. İKİ AŞAMALI EKKY nde instrument list ile tahminleme süreci; S f ( SM ) Sˆ ASVABC f ( Sˆ) şeklinde gerçekleşir ve böylece, ASVABC = α 1 + α 2 S + u A ASVABC = 1,8679 + 3,6047S + u A yapısal parametre sonuçları elde edilir. 8
9