EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER

Transkript

1 EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Eşanlı denklem siseminde, Y den X e ve X den Y ye karşılıklı iki yönlü eki vardır. Y ile X arasındaki karşılıklı ilişki nedeniyle ek denklemli bir model kurulamaz. Bu yüzden birden çok denklemli eşanlı bir model kullanmak gerekecekir. Bir eşanlı modelde, birbirini karşılıklı olarak ekileyen veya karşılıklı olarak birlike bağımlı değişkenlerin her biri için yeni bir denklem yer alır. Y = f ( X ) () X = f ( Y ) (2)

2 İÇSEL DEĞİŞKEN: Sisemin bağımlı yani ayin edilen değişkenleridir. Bu değişkenlerin değerleri, modelin dışsal değişkenleri ve paramereleri arafından ayin edilirler. Sisemin içinde belirlenmekedir. Bir eşanlı modelde birbirini karşılıklı olarak ekileyen değişkenlere içsel değişken denir. Eşanlı modelde denklemlerin hem solunda hem de sağında aynı anda yer alan değişkenlerdir. DIŞSAL DEĞİŞKEN: Modelde ekileyici, belirleyici değişkenlerdir. Eşanlı modelde denklemlerin sadece sağında yer alan değişkenlerdir. Tam bağımsız ve gecikmeli içsel değişken olarak iki gruba ayrılırlar. Örnek.Talep Denklemi 2. Arz Denklemi Y = a0 ay 2 u Y2 = a0 ay bx u Y : Mikar Y 2 : Fiya X: Yağış Mikarı Yağış mikarı(x) Arz Mikarı Buğday Fiyaı Y Y 2 X 2

3 Örnek 2 Y=f(X)=a 0 a X u X=f(Y)=b 0 b Yb 2 Iu 2 Y= Para arzı X= Gelir Seviyesi I = Yaırım seviyesi Y X I GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ Y =f(x,x 2,X 3,...X k,u ) Y 2 =f(x,x 2,X 3,...X k,y,u 2 ) Y 3 =f(x,x 2,X 3,...X k,y,y 2,u 3 ) GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL Modelin ilk denkleminin sağında sadece dışsal X değişkeni yer alır. İkinci denklemin sağında dışsal değişkenler ve ilk denklemin ilk içsel değişkeni Y yer alır. Haa erimleri u ların birbirinden bağımsız oldukları varsayılır. Geri dönüşlü modellerin denklemleri eker eker basi EKKY ile çözülebilir. 3

4 GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ İLE EŞANLI DENKLEM SİSTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRMASI Y =a 0 a Y 2 a 3 Y 3 b X b 2 X 2 u Y 2 =a 3 a 4 Y a 5 Y 3 b 3 X 3 u 2 Y 3 =a 6 a 7 Y a 8 Y 2 b 4 X 2 b 5 X 3 u 3 Y =a 0 b X b 2 X 2 u Y 2 =a a 2 Y b 3 X 3 u 2 Y 3 =a 3 a 4 Y a 5 Y 2 b 4 X b 5 X 2 u 3 EŞANLI MODEL GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL Y Y 2 Y 3 Y Y 2 Y 3 X X 3 X X 2 X 3 X 2 Geri Dönüşlü Model Y =a 0 b X b 2 X 2 u Y 2 =a 20 a 2 Y b 2 X b 22 X 2 u 2 Y 3 =a 30 a 3 Y a 32 Y 2 b 3 X b 32 X 2 u 3 Y ler içsel, X ler dışsal değişkenlerdir. Farklı haa erimleri arasında ilişki yokur. Kov(u,u 2 )=kov(u,u 3 )=kov(u 2,u 3 )=0 Geri dönüşlü sisemin her bir denklemine ayrı ayrı Basi EKKY uygulanabilir. Geri dönüşlü sisemde içsel değişkenler arasında karşılıklı bağımlılık yokur. Geri dönüşlü modelin her denklemi ek yönlü sebep ilişkisi göserir, bu nedenle nedensel modeller olarak da adlandırılır. 4

5 YAPISAL MODEL Yapısal model eşanlı modellerin kendisi olup, değişkenler arasındaki ilişkilerin yapısını göseren denklemlerden meydana gelir. Yapısal denklemler içsel değişkenleri; Diğer içsel değişkenlerin Dışsal değişkenlerin ve Haa eriminin bir fonksiyonu olarak ifade ederler. EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Bir yapısal modelin maemaiksel olarak çözülebilmesi için gerekli şar: Yapısal modelin denklem sayısı = Yapısal modelin içsel değişken sayısı Y =a 2 Y 2 a 3 Y 3.a M Y M b X b 2 X 2..b k X k u Y 2 =a 2 Y a 23 Y 3.a 2M Y M b 2 X b 22 X 2..b 2k X k u 2 Y 3 =a 3 Y a 32 Y 2.a 3M Y M b 3 X b 32 X 2..b 3k X k u 3 M M M M M M M M M M Y M =a M Y a M2 Y 2.a MM Y M- b M X b M2 X 2..b Mk X k u M a= Y içsel değişkenlerinin yapısal kasayıları b= X dışsal değişkenlerinin yapısal kasayıları 5

6 EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER Y, Y 2,.Y M = İçsel (Karşılıklı Bağımlı Değişkenler) X, X 2,..,X K = Dışsal Değişkenler İçsel Değişkenler. Değerleri model içinde ayin edilir. 2. Sokasikir Dışsal Değişkenler. Değerleri model dışında ayin edilir. Önceden belli değişkenler. 2. Sokasik değildir. 3. İçsel değişkenlerin gecikmeli değerleri de (Y - ) dışsal değişken olarak kabul edilir (u haa erimi ookorelasyonsuz olduğunda geçerlidir.) 4. X, X -, Y - dışsal değişkenler grubundadır. Daralılmış Model Yapısal denklemlerden M içsel değişken için çözüm yapılarak daralılmış kalıp denklemleri ve buna bağlı daralılmış kalıp paramereleri elde edilebilir Bir daralılmış kalıp denklemi bir içsel değişkenin yalnızca dışsal değişkenlerin fonksiyonu olarak ifadesidir. Y = f(x,x 2,.,X k,v ) Y 2 = f(x,x 2,,X k,v 2 ) M M M M Genel Daralılmış Model Y M = f(x,x 2,,X k,v M ) Y i = π i X π i2 X 2.π ik X k i=,.. M Daralılmış modeldeki dışsal değişken kasayıları(π i ) kısa dönem çarpanlarıdır. 6

7 Yapısal ve Daralılmış Model Kavramları Değişken: Büyüklüğü değişebilen, yani değişik değerler alabilen bir kavramdır. Kasayı(=Paramere): Kasayı bir değişkenin önünde yer alan sabiir. Denklem ve Özdeşlikler: Tanım denklemleri (Özdeşlikler = Eşilikler) Davranış Denklemleri Denge Şarı Denklemleri Basi Makro Ekonomik Model C =a 0 a Y u Tükeim Fonksiyonu I =b 0 b Y b 2 Y - u 2 Y =C I G C, Y ve I üç içsel değişkendir. Y - ve G dışsal değişkenlerdir. Daralılmış Kalıp Denklemleri Yaırım fonksiyonu Gelir Eşiliği Denklemi C:Toplam ükeim harcaması Y:Milli Gelir I:Yaırım G:Devle(kamu)harcamaları C =f (Y -,G )=π π 2 Y - π 3 G v I =f (Y -,G )=π 4 π 5 Y - π 6 G v 2 Y =f (Y -,G )=π 7 π 8 Y - π 9 G v 3 7

8 Gelir eşiliği denkleminde ve 2 numaralı denklemler yerine konursa Y = C I G = ( a a Y u ) ( b b Y b Y u ) G Y a Y b Y = ( a b ) b Y G u u Y ( a b ) = ( a b ) b Y G ( u u ) ( a b ) b ( u u ) Y = Y G ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b a b π 7 π 8 π 9 v 3 Y = π π Y π G v C Daralılmış Kalıp Denklemleri C =f (Y -,G )=π π 2 Y - π 3 G v a a b a b b a Y = a b a b a u au 2 bu G a b a b π π 2 π 3 v I =f (Y -,G )=π 4 π 5 Y - π 6 G v 2 I b b a b a b ( a ) = Y a b a b b u bu 2 au 2 G a b a b π 4 π 5 π 6 v 2 Y =f (Y -,G )=π 7 π 8 Y - π 9 G v 3 a 0 b0 b2 Y = Y a b a b a b G u u 2 a b π 7 π 8 π 9 v 3 8

9 Daralılmış model kasayılarının yapısal paramerelerle elde edilişi : a a b ab ab π =, π = a b a b a b b a ba π =, π = a b a b b ( a ) b π =, π = a b a b a b b π =, π =, π = a b a b a b Yapısal model paramereleri (a,b) ve daralılmış paramereleri (Π) farklı anlamlıdır. model Yapısal paramere, ekonominin ek bir kesimindeki her bir yapısal denklemdeki, her bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki doğrudan ekisini göserir. Daralılmış kalıp paramereleri hem doğrudan hem de dolaylı ekileri göserir. Yapısal modelin herhangi bir denkleminde açıkca görülmeyen bir değişken o denklemin bağımlı değişkenini dolaylı olarak ekileyebilir. 9

10 π 5 daralılmış parameresine ilişkin doğrudan ve dolaylı ekileri bulalım C =a 0 a Y u I =b 0 b Y b 2 Y - u 2 Y =C I G I =f (Y -,G )=π 4 π 5 Y - π 6 G v 2 Birinci Kısım Eki I =b 0 b Y b 2 Y - u 2 π 5 Y - deki bir birimlik arışın yaırım üzerinde yapığı ekiyi ölçer İkinci Kısım Eki Y - I, I Y, Y C I üzerindeki doğrudan eki b2( a) a π 5 = = b2 a b a b π bb 2 5 = b2 a b Toplam Eki = Doğrudan Eki Dolaylı Eki Bir Malın Arz ve Talep Modeli Yapısal Model Talep Fonksiyonu: d Q = a0 ap u a < s Arz Fonksiyonu: = b b P u b 0 Q 0 2 > 0 Denge Şarı s d Q = Q = Q Daralılmış Kalıp Denklemleri: a 0 a P u =b 0 b P u 2 P yalnız bırakıldığında b0 a0 u2 u P = a b a b P nin eşiini alep veya arz denkleminde yerine koyarsak ab 0 a b Q = a b 0 au 2 b u a b π v π 2 v 2 0

11 EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI Eşanlı bir modelin herhangi bir denkleminin sağında yer alan içsel değişkenlerden bir veya bir kaçı o denklemdeki haa erimi ile ilişkili iseler, bu denkleme basi EKKY uygulandığı akirde TUTARSIZ ahminciler elde edilmekedir. C = b0 by u Y = C I 2 2 Eu ( ) = 0 Eu ( ) = σ Euu ( ) = 0, j 0 kov( I, u) = 0 ) kov( Y, u) 0 2) Örnek b ˆ kasayısı, anaküle b parameresinin uarsız ahmincisidir EKK / Varsayım-5 : Kov(u i, X i )=0 EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI.kov(Y,u ) 0 İspaı Kov (Y,u)=E{[Y-E(Y)][u-E(u)]} ; E(u)=0 b0 Y = b b 0 E(Y) = b I u b b b I () (2) 2 2 E(u ) σ kov(y,u) = = b b 0 () (2) = u Y E(Y) = b

12 EŞANLI MODELLERİN DENKLEM VE DEĞİŞKEN SAYISI Eşanlı bir modelde alınacak denklem sayısı, genelde modelin amacının ileriye yönelik ahmin mi yoksa belli paramerelerin en iyi ahminleri mi olduğuna bağlıdır. Eşanlı bir modelin içsel değişkenlerinin sayısı modelin denklem sayısına eşi olmalıdır. Dışsal değişken sayısı isenildiği kadar alınabilir. Ancak değişken sayısının çok fazla arması modeli karmaşık hale geirir. C: Tükeim Y: Gelir I :Yaırım G: Kamu harcamaları K: Sermaye soku C = a0 a Y u () I = I (2) EŞANLI MODEL I Y = C I G (3) C I = a0 ay u () = (2) b bk by u EŞANLI MODEL II Y = C I G (3) C = a0 ay u () = b0 bk by 2 u2 (2) = ( uk ) I (3) I K Y = C I G (4) EŞANLI MODEL III 2

13 Örnek Y = a ay a Y ay u Y = b a Y ay bx b X u Y = c ay b X u Y = d a Y b X u Y = e ay ay a Y u () (2) (3) (4) (5) Bu modeldeki içsel ve dışsal değişkenleri belirleyerek modelde Basi EKKY ile ahmin edilebilecek denklemler olup olmadığını espi ediniz. 3