DEPREME DAYANİKLİ YAPI TASARIMINDA DÜZELTİLMİŞ BANG-BANG KONTROL ALGORİTMASININ UYGULANMASI Hasan ALLI, Oğuz YAKUT* Uepreme dayanıklı yapı tasarımı için geliştirilen biıçok kontrol sisteminde kararlılık ve gürbüzlük özelliğinden Mayı. yıllarca l ÜR (Lineer Quadrjtik Regulator) kullanılmıştır. AiKak. yakılar sırmılusyın. laboratuvar deneyleri ve tam-olçeklı uygularnalaıda; litıeşim yenliklerinin zaman düzlemindeki tepelerin dıışıııulmesı, lınt'cr geıi-heslemelı kontrol kanunları ile zor olduğu yorulmuştur Ayrıca, bu hır kontrol tasarımında kontrol değişkenleri üzeıındekı sınırlamalar genellikle dikkate jlınmazlaı Diğer taraftan, biıçok alanda başarı ile uygulanan ve hanq-bang kontrol kanunu olarak adlandırılan bir başka optimum kontrol kanunu, depreme dayanıklı yapı tasaıımında yeterince yerini alamamıştır. Bu çalışmanın amacı, yapıların aktif kontrolü için optimum bang-bang kontrol prensibine dayanan uygulanabilir hır kontrol kanunu alınmaktır. Sayısal uygulama için 1999 Üüzce-Bolıı depreminin Dû/cc kaydının doğu-bntı ivme bileşeni dinamik etki olarak kullanılmışın LÜR ve dti7eltilınış bang-bang kontrol kanunu uygulanan yapının cevapları gralıksui olarak yunulmuş ve birbirleri ile koışılaştırılmıştır Anahtar sözcükler: Depıeme dayanıklı yapılar. Bangbang kontrol LOR Control Algorithm was used for oarthquake-iesis- ' nit structural design in many years, because ol good stability properties t lowever, it is seen Irom simulations, lab experiment and full scale applications that it is difficult to decrease am/etude peaks of vibrations in the timedomain by using linear-feedback control tows. //) addition, limitations on control sates are not considered in thaïe types Ucontiolleis On the otlicrhand. one of the optimal control law so called hang-hang control, which is successively applied in many areas, is not sufficiently consideredon tlic eartliquake-resislant structural design The ıra of tins study, an applicable control law based on the optimal bang-bang control pnnciplc is developed for the active con<rol of sti uclures For numerical applications. Uio east and west acceleration component ol Uùzœ record ol 1999 Düzco-Bolu earthquake has been used as a dynamic effect. The responses of the applied control laws are presented in the graphical foim and their effectiveness are compared with each other. GİRİŞ tuz yılı aşkın süredir yapıların korunmasında, rüzgar ve sismik yer hareketi gibi çevresel yüklerin etkisini minimuma indirmek için birçok aktif kontrol sistemleri geliştirilmiştir. Aktif kontrol sistemleri, sistemi denedeyen ve belli zaman aralıklarında deprem titreşimlerini algılayıp, bu titreşimlerin şiddetine göre hesaplar yapan bir kontrol ünitesine sahiptir. Kontrol mekanizması deprem titreşimlerini alır almaz en kısa zamanda gerekli hesaplamaları yaptıktan sonra biran önce tahrik elemanlarını gerektiği şekilde harekete geçirmelidir. Gecikme sonucu sistemde birikecek olan hata sistemi kararsızlığa doğru sürükler. Bunun için mümkün olan en uygun çözüm elde edilmelidir. Bu çalışmada aktif tendonlu sekiz katlı bir binaya aktif kontrol algoritmalarından LQR ve bang-bang kontrol algoritmaları uygulanmış ve binanın dinamik davranışı incelenmiştir. Bang-bang kontrol algoritmasında kontrol kuvveti düzeltilerek gerçek sisteme uygunluğu sağlanmış ve elde edilen sonuçlar grafiksel olarak irdelenmiştir. Deprem ivmesi için örnek olarak Düzce deprem dataları ve integrasyon için MATLAB paket programında geliştirilen Runge-Kutta yöntemi kullanılmıştır. Kasım-1999 tarihinde meydana gelen Düzce depreminde elde edilen yer ivmesi grafiği Şekil 1 ' de görülmektedir. Zaman (sn) Şekil 1. Kasım-1999 Düzce Depremi Yer ivmesi Keywords Earthquake-resistant structures. Bang-bang control. * Fırat Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Makina Mühendisliği Bölümü BİNANIN DİNAMİK MODELLENMESİ Viskoz sönümlü sekiz katlı bir binanın, yatay yer hareketi etkisindeki deformasyon yapmış halinin idealleştirilmiş modeli Şekil 2' de görülmektedir. 24
(3) şeklinde olup, 0 : (NxN) boyudu sıfır matrisi, I : (NxN) boyudu birim matrisi göstermektedir. LQR KONTROL ALGORİTMASININ YAPI DAVRANIŞINA ETKİSİ H Şekil 2. N Katlı Bir Binanın İdealleştirmiş Modeli. Rijit kat döşemelerine sahip N kadı bir binanın yatay yer hareketi etkisindeki hareketini temsil eden denklemler matris formda; Alli ve diğerleri (1999), 8 katlı binanın 8. katma yerleştirilen aktif küde sistemini kullanarak, kayanjdpli kontrol algoritması ile aktif kontrol uygulamasını sağlamışlardır. Şekil.3'de aynı binanın tabanına yerleştirilmiş bir tahrik elemanına tendonların bağlı olduğu sistem görülmektedir ve bu binaya aktif kontrol metotlarından LQR kontrol algoritması uygulanacaktır. (1) bağıntısıyla ifade edilebilir (Chopra, 1995; Celep ve diğerleri 1992). Burada M, C ve K matrisleri (NxN) boyudu olup, sistemin sırasıyla küde, sönüm ve rijitlik matrislerini temsil etmektedir. (Nxl) boyutunda olan y, y ve y vektörleri sistemin, sırasıyla bağıl ivme, hız ve yer değiştirme vektörleridir. H Mävektörü, (Nxl) boyutlu deprem etkisi yerleşim vektörüdür. Burada ä, tüm terimleri 1 olan (Nxl) boyutlu deprem doğrultu vektörüdür, a (t) ise, göz önüne alman depremin ivme kaydıdır. Sistemin davranışını temsil eden (1) bağıntısı durum uzayı vektörü kavramı kullanılarak; (2) şeklinde birinci mertebe matris diferansiyel denklem olarak da ifade edilebilir. A. ve D 2 uygun boyudu sabit matrislerdir. (2) denklemi, parametreleri zamanla değişmeyen lineer sistemin hareketini durum uzayı formunda ifade etmektedir. Burada ; Şekil 3. Aktif Kontrollü Sekiz Katlı Binanın Modeli Sistemin hareketini temsil eden durum denklemi, şeklinde elde edilir. (4) (5) 25
G -M vektörü, (Nxl) boyutlu deprem etkisi yerleşim vektörüdür. Burada, (Nxr) boyudu kontrol kuvveti doğrultu vektörüdür. Sistemin hareket denklemini elde ettikten sonra, şimdi amacımız (6) (8) denkleminin çözümünden elde edilir[4]. Çözüm için R~1 ve (2Nx2N) boyutunda birim matris olarak alınmıştır. Örnek binanın küde ve rijitlik özellikleri ise Tablo 1' de verilmiştir. ile tanımlanan sistemin performans indeksini minimum yapan optimum kontrol kuvveti u(t) yi bulmaktır. Görüldüğü gibi fde hem z(t), yani sistemin davranışını temsil eden durum değişkenleri vektörü; hem de u(t), yani gerekli enerji miktarını gösteren kontrol kuvvederi vektörü bulunmaktadır. Ayrıca denklem (6)' de, : (2Nx2N) boyudu ağırlık matrisini, R : Harcanacak olan kontrol enerjisinin sistem enerjisine göre önemini ifade eden pozitif katsayı matrisini gösterir, ve R matrisleri hata (durum değişkenleri) ve enerji (kontrol kuvvetleri) arasındaki önemi ifade eder. Performans indeksi minimize edilerek aktif kontrol kuvveti; şeklinde elde edilebilir. Bu ifadede ki P Riccati matrisi, (7) Tablo 1. Sekiz Katlı Binaya Ait Kütle ve Rijitlik Özellikleri. Kat sayısı 1 2 3 4 5 6 7 8 Kütle değeri (ton) 535 535 523 523 523 517 517 517 Kontrol metodunun Rijitlik değeri (kn/m) 3426000 3426000 * 1615000 1615000 1615000 473400 473400 473400 etkinliğini açıkça görmek amacıyla yapının tüm kadarı için modal sönüm oranı, = 0.01 gibi küçük bir değer seçilmiştir. Şekil 4' de deprem hareketi sırasında sekizinci katta oluşan kontrollü ve kontrolsüz deplasmanların zamanla değişimi görülmektedir. LQR kontrolünün uygulandığı bu çözümde sekizinci katın yer değiştirmesinde önemli bir azalma olduğu görülmektedir. Şekil 5' de ise deprem Şekil 4. Sekizinci Katın Kontrollü ve Kontrolsüz Deplasmanı. Şekil 5. Kontrol Durumunda Kontrol Elemanında Oluşan Kuvvet. 26
Makale hareketi esnasında tahrik elemanının uyguladığı kontrol kuvvetinin zamanla değişimi görülmektedir. BANG-BANG KONTROL ALGORİTMASININ YAPI DAVRANIŞINA ETKİSİ Eğer gibi bir sınırlayıcı olduğunu kabul edelim. / için ±değerini alıyorsa, buna bangbang kontrol denir. Aşağıda verilen, performans indeksini ve (9) (10) şar darı altında minimize etmek için Hamilton fonksiyonu (11) elde edilir. etmek yerine, denklem (14) de verilen Lyapunov fonksiyonunun minimize edilmesiyle en iyimsi Bang- Bang kontrolü elde edilebilir (Wu ve diğerleri, 1996). İlk olarak (14) durum değişkeninin quadratik bir fonksiyonu tanımlanır. Burada S Lyapunov matris, (15) nolu denklemin çözümünden türetilir. (15) Durum değişken matrisi^ kararlı ve ağırlık matrisi simetrik ve pozitif yarı tanımlı matris ise S çözüm matrisi de aynı zamanda simetrik ve pozitiftir. Böylece fonksiyonu açık sistemin bir Lyapunov fonksiyonudur. Lyapunov fonksiyonunun zamana göre türevi, (11) (16) Maksimum prensibini uygulayarak Hamilton fonksiyonu, kontrol değişkeni u ve durum değişkeni z ye göre kısmi türevleri alındığında kontrol kuvveti (12) ve yardımcı durum (co-state) denklemleri (13) elde edilir. Burada (12) (13) yardımcı durum vektörüdür ve aynı zamanda Lagrange çarpanıdır. (11) denkleminin yine X ya göre kısmi türevi alınırsa sistemin durum denklemi (10) elde edilir. Kontrol kuvvetinde dışında olması gerekir. Bu algoritma gerçek sistemlerde uygulandığında, kontrol işlemcisi (13) denklemini çözmek zorunda kalacaktır ki, bu durumda gittikçe artan bir zaman gecikmesi oluşacaktır. (13) denkleminin nümerik çözümü esnasında biriken bu hata sistemi kararsızlığa götürebilir. EN İYİMSİ BANG-BANG KONTROL KANUNU Denklem (9) da ki performans indeksini minimize Mühendis ve Makina - Cilt: 42 Sayı. 503 olur. Durum denklemi (16) denkleminde yerine konursa (17) elde edilir. Buradan kontrol kuvveti, (18) biçiminde alınırsa, minimum olacaktır. (18) denklemi ile verilen bu kontrol kanununa en iyimsi bangbang kontrol kanunu adı verilir. Böylece (13) denkleminin çözümünden kaçınılmış olur. En iyimsi bang-bang kontrol kanununun binaya uygulanması sonucu 8. katın deplasman cevabı Şekil 6' da görülmektedir. u(t) kontrol kuvvetinde ki sgn fonksiyonu işaret fonksiyonudur. Fakat bu kontrol yönteminin en önemli dezavantajı, kontrol girişinin sürekli olmaması ve kontrol sinyallerinin Şekil 7' den de görüldüğü gibi çok sık bir şekilde yön değiştirmesidir (chattering). Gerçek sistemlerde tahrik elemanları, dinamik davranışlarındaki zaman gecikmesinden dolayı bu ani işaret değişimini yakalamaları mümkün değildir. Bu ise arzu edilmeyen 27
Şekil 6. Sekizinci Kalın Kontrollü ve Kontrolsüz Deplasmanı. Şekil 7. Kontrol Durumunda Kontrol Elemanında Oluşun Kuvvet. bir durumdur. Bundan dolayı bu de2avantajı gidermek için, kontrol kuvvetinin düzeltilmesi gerekir. DÜZELTİLMİŞ BANG-BANG KONTROL KANUNU 6.a. Fonksiyonun Seriye Açılması olarak verilen genel bir mutlak değer fonksiyonu olarak bulunur (Wu ve diğerleri, 1996). Böylece \x(t)\ süreksiz fonksiyonu (23) şarü altında (22) denklemi kullanılarak uygun hale getirilebilir. 6.b. Düzeltilmiş Bang-Bang Kontrol Kanunu (18) denkleminde V(t) = DfSz(t) yazıldığı zaman en iyimsi bang-bang kontrol kuvveti oluşur. (24) (19) biçiminde açılabilir [6]. Burada (24) denkleminde (22) denklemi yerine yazılırsa düzeltilmiş bang-bang kontrol kuvveti (20) tanımı yapıldıktan sonra mudak değer fonksiyonu (25) (21) olarak elde edilir (Wu ve diğerleri, 199$). Burada, şeklinde yazılabilir. Mac Laurin serisi fonksiyonuna uygulanırsa [6], (26) (22) ve elde edilir. Eğer şartı sağlanırsa, (27) (23) olarak bulunur. Böylece denklem (25) de verilen kontrol kuvveti gerekli olan uygulanabilir kontrolü sağlamış olur. 28
Şekil 8. Sekizinci Katın Kontrollü ve Kontrolsüz Deplasmanı. Şekil 9. Kontrol Durumunda Kontrol Elemanında Oluşan Kuvvet. Deprem hareketi esnasında bu kontrol kanununun kullanılması ile elde edilen binanın 8. katının deplasman cevabı Şekil 8' de görülmektedir. Kontrol kuvvetindeki değişimi daha iyi görebilmek için ilk 8 saniyedeki etki Şekil 9' da gösterilmiştir. Koyu çizgilerle görülen grafik eğrisi düzeltilmiş bang-bang kontrol kuvvetini göstermektedir. İnce çizgilerle belirtilen ise en iyimsi bang-bang kontrol kuvvetine ait eğridir. Şekil 9' dan da görüleceği gibi düzeltilmiş bang-bang kontrol kanunu ile tahrik elemanının daha kolay izleyebileceği kontrol kuvveti yörüngesi elde edilmiş olur. SONUÇ Bu çalışmada örnek olarak ele alınan 8 katlı binaya LQR kontrol algoritması ile bang bang kontrol algoritması uygulanmıştır. Elde edilen grafiklerden bang bang kontrol algoritmasının titreşimleri daha iyi sönümlediği görülmüştür. Ayrıca, tahrik elemanını maksimum kapasitesini dikkate aldığı için, pratik uygulama için daha uygundur. Ancak bang bang kontrol algoritmasında ani işaret değişimi gösteren kontrol kuvveti eğrisinin tahrik elemanı tarafından takip edilmesi mümkün olmadığından, düzeltilmiş bang bang kontrol yöntemi ile sistem için daha uygun bir algoritma elde edilmiştir. Bu yöntemle elde edilen grafiklerden de görüldüğü gibi tahrik elemanının rahatça takip edebileceği bir kontrol kuvveti eğrisi elde edilmiş ve buna karşılık performansta hiçbir azalma görülmemiştir. Bu çalışmada binanın hareket denklemi elde edilerek binaya yer hareketi için 1999 Düzce-Bolu depremi ivmesi uygulanmıştır. Integrasyon için MATLAB paket programında geliştirilen Runge-Kutte yöntemi kullanılmış ve sonuçlar grafiksel olarak irdelenmiştir. KAYNAKÇA, 1. Chopra, A.K., Dynamics of Structures. Prentice Halley, New Jersey, USA, 1995. 2. Z. Celep ve N. Kumbasar, Yapı Dinamiği ve Deprem Mühendisliğine Giriş. İTÜ İnşaat Fakültesi, İstanbul, 1992. 3. AUi, H., "Yapıların Titreşim İzolasyonunda Kayan-Kipli Kontrolün Uygulanması", 9. Ulusal Makina Teorisi Sempozyumu, sy. 373-381, Gaziantep, 1999. 4. Kwakernak, H. ve Sivan, R., Linear Optimal Control Systems. Wiley, New York NY, 1972. 5. Wu, Z. ve Soong, T.T., "Modified Bang-Bang Control Law for Structural Control Implementation", Journal of Engineering Mechanics, Member, ASCE, 1996 6. Alpman, B.V., Yüksek Matematik Dersleri. İ.T.Ü. Makina Fakültesi, İstanbul, 1953. Mühendis ve Makina - Cilt- 42 Sayı: 503 29