ELEKTROMANYETİK DALGA TEORİSİ DERS - 5

ELEKTROMANYETİK DALGA TEORİSİ DERS - 5 İletim Hatları İLETİM HATLARI İletim hatlarının tarihsel gelişimi iki iletkenli basit hatlarla (ilk telefon hatlarında olduğu gibi) başlamıştır. Mikrodalga enerjisinin iletimini gerçekleştirmek için kullanılan iletim hattı, kaynak ile yük arasında doğrudan bağlantı sağlayan bir devre elemanıdır. Boyutları ve elektriksel özellikleri yayılma (propagasyon) yönüne dik düzlem içinde değişmeyen iletim hatları üniform hat olarak adlandırılır. 1

İLETİM HATLARI Özellikle telefon haberleşmesinde yaşanan sıkıntılar nedeniyle önce koaksiyel kablolara, sonra da dalga kılavuzlarına geçilmiştir. İki iletkenli hatlar DC den en fazla birkaç yüz khz frekanslara kadar kullanılmaktadır. Oysa koaksiyel hatlar DC den birkaç yüz MHz lere dek kullanılabilmektedirler. Hatta, bir iki GHz frekanslarda kullanılabilen özel koaksiyel hatlar da vardır. İki iletkenli ve koaksiyel hatlar birer alçak geçiren filtre gibi davranırlar. Yani DC, den belli bir üst frekansa kadar işareti geçirir ve iletirler, bu frekansın üstündeki işaretler hızla söndürüldüğünden söz konusu frekanslarda iletim hattı olarak kullanılamazlar. İLETİM HATLARI Dalga kılavuzları bu ikisinden farklıdır, alçak frekansları geçirmez, birer üst geçiren filtre gibi davranırlar. Dalga kılavuzları değişik kesitlere sahip iletken yapılardır. En yaygın kullanılanları dikdörtgen ve dairesel kesitli olanlarıdır. Kesit boyutları daraldıkça kesim frekansları yükselir. Yani, ilettikleri en düşük frekansın değeri artar. Mikroşerit iletim hatları, iki metal şerit arasına dielektrik katman yerleştirilerek oluşturulur. Optik fiber hatlar ise, farklı kırılma indislerine sahip cam elyaf tipi maddenin eş merkezli olarak (koaksiyel hat gibi) yerleştirilmesi ile elde edilir. 2

İLETİM HATLARI Koaksiyel hat Fiberoptik hat Mikroşerit Dalga Kılavuzu İLETİM HATLARI Kolaylık açısından, devre bağlantılarını göstermek için, pek çok devre diyagramında paralel telli iletim hattı kullanılır 3

İletim Hattı Eşdeğeri ve İletim Hattı Denklemleri Alçak frekans devreleri ile çalışırken, çeşitli devre elemanlarını bağlamak için kullanılan bütün hatlar, üzerinde gerilim düşümü ve hat ile birleşik empedansı olmayan (toplu empedans devreleri) mükemmel iletkenden yapılmış teller olarak düşünülebilir. Tellerin uzunluğu işaretin dalga boyundan çok daha küçük olduğu sürece bu durum geçerlidir. Bu durumda, her hangi bir anda aynı tel üzerindeki her noktada akım ve gerilim aynıdır. İletim Hattı Eşdeğeri ve İletim Hattı Denklemleri Bilindiği gibi, evlere sağlanan elektrik, ülkeye bağlı olarak, 50 veya 60 Hz frekanslı yüksek güçlü sinüzoidal işaretlerden oluşur. Teller arasındaki izolatörün hava (ε ε 0 ) olduğu kabul edilirse, 50 Hz için dalga boyu,. =6000 km Şimdi bunu mikrodalga bölgesindeki bir frekans ile örneğin 50 GHz ile karşılaştıracak olursak dalga boyu,..=6 mm 4

Çıkarılması gereken sonuç nedir? Yeteri kadar yüksek frekanslarda, dalga boyunun uzunluğu ile iletim hattının iletkenlerinin uzunluğu aynı mertebelerdedir. Akım ve gerilim iletim hattının her noktasında aynı değere sahip olamayacağından, hat boyunca akım ve gerilim bir dalga olarak yayılırlar. Bundan dolayı iletkenlerin empedans özellikleri ihmal edilemez (dağılmış empedans devreleri) İletim Hattı Eşdeğeri ve İletim Hattı Denklemleri Bir kaynağın eşdeğer devresi, ideal bir AC gerilim kaynağının gerçek iç empedansıyla seri bağlanmasından ibarettir Kaynak açık devre ile sonlandırılırsa ( ) 5

İletim Hattı Eşdeğeri ve İletim Hattı Denklemleri Kaynak yüküne bağlandığında İletim Hattı Eşdeğeri ve İletim Hattı Denklemleri yükü kısa devre edilirse ( = 0), 6

İletim Hattının Giriş Empedans Hesabı İletim Hattının Giriş Empedans Hesabı Amaç, Z L yük empedansı ile sonlandırılmış bir iletim hattının kaynaktan görünen eşdeğer empedansını bulmaktır. Bunun için devre teorisi yöntemleri kullanılabilir. Bir uniform iletim hattı, boyutları ve elektriksel özellikleri iletim yönüne dik düzlem içinde değişmeyen, başka bir deyişle, sonsuz küçük uzunluktaki özdeş birim uzunluktaki hücrelerin kaskat bağlanmış hali olarak tanımlanabilen bir dağılmış devredir. Bir iletim hattını gerçekleştirmek için kullanılan iletkenler belirli bir seri dirence ve indüktansa sahiptir. İlave olarak, iletkenler arasında bir paralel kapasitans ve hatta iletkenler arasındaki dielektrik ortam mükemmel değilse, bir paralel kondüktans mevcuttur. Böylece bir iletim hattını dağılmış devre elemanları eşdeğeri ile şekil deki gibi göstermek mümkündür (genel kayıplı hat modeli). 7

İletim Hattının Giriş Empedans Hesabı (a) Voltage and current definitions. (b) Lumpedelement equivalent circuit. İletim Hattının Giriş Empedans Hesabı R İletim hattının birim uzunluğundaki direnç (Ω/m) L İletim hattının birim uzunluğundaki indüktansı (H/m) C İletim hattının birim uzunluğundaki kapasitansı (F/m) G İletim hattının birim uzunluğundaki kondüktansı (S/m) belirtmektedir. Her bir birim uzunluktaki hücrenin sonsuz küçük uzunluğu dz olmak üzere, dağılmış devrenin her bir hücresi, değeri R.dz, L.dz, C.dz ve G.dz olan empedans elemanlarına sahip olacaktır. 8

Kayıpsız İletim Hatları Pek çok durumda, iletim hattındaki rezistif etkileri ihmal etmek (R=0, G=0) mümkündür. Böyle bir yaklaşımda, sadece reaktif elemanlar mevcut olacağından ısı (omik) kaybı olmayacaktır. Kayıpsız iletim hattının birim hücresinin eşdeğer devresi şekilde gösterilmiştir. Kayıpsız İletim Hatları Şekildeki devreye göre, seri indüktans birim uzunluktaki hücrenin girişinden çıkışına gerilim değişimini belirler. Bu durumda devre denklemi, Kirchoffun gerilim kanunu ile; Birinci dereceden diferansiyel denklem 9

Kayıpsız İletim Hatları Paralel kapasitörden geçen akım birim uzunluktaki hücrenin girişinden çıkışına akımdaki değişimi belirler. Şekildeki devre için denklem, Böylece, uniform iletim hattındaki akım ve gerilimi tanımlayan bir çift kuple birinci mertebeden diferansiyel denklem elde edilir. Kayıpsız İletim Hatları Telgrafçı Denklemi Z- düzleminde bu denklemleri türevi tekrar alınırsa; 10

Kayıpsız İletim Hatları Bu denklemler matematiksel olarak, dalga denklemleridir ve birbirinden bağımsız olarak çözülebilirler. Gerilim denklemi için genel çözüm, Burada dalganın yayılma sabiti, Faz sabiti β ayrıca, Burada λ = v p /f iletim hattının iletkenlerini kuşatan dielektrik ortamdaki dalga boyudur ve dielektrik ortamdaki dalganın faz hızı, Kayıpsız İletim Hatları İletim hattındaki akım dağılımı, gerilim için elde edilen sonucun türevlenmesiyle, Bu iki eşitlikten; bulunur. Kayıpsız iletim hattının karakteristik empedansı 11

Kayıplı İletim Hatları Şekil de gösterilen birim uzunluktaki iletim hattının eşdeğer devresi kullanılarak, uniform kayıplı iletim hattı için çözüm çok basit bir prosedür ile bulunabilir. Kayıplı İletim Hatları Şekilde verilen alt devreye göre, seri empedans birim uzunluktaki hattın girişinden çıkışına gerilim değişimini belirler. Uygun devre denklemi, şeklinde yazılabilir. Bu denklemden gerilim için birinci mertebeden diferansiyel denklem, 12

Kayıplı İletim Hatları 25 Şekilde verilen alt devreye göre, paralel empedans birim uzunlukta ki hattın girişinden çıkışına akım değişimini belirler. Uygun devre denklemi, Kayıplı İletim Hatları 26 Kayıplı iletim hatları için Telgrafçılar Denklemi Daha önce yapıldığı gibi, bu denklemler z e göre türetilerek kuplajsız denklem takımı, Bu denklemler, kayıplı iletim hatları için kuplajsız ikinci mertebeden diferansiyel denklemlerdir ve yine dalga denklemleridir. 13

Kayıplı İletim Hatları 27 Gerilim denklemi için genel çözüm, Burada dalganın yayılma sabiti kompleks bir büyüklüktür. Yayılma sabiti γ nın α : reel bileşeni rezistif kayıplar nedeniyle işaretin zayıflamasını temsil eder. β : İmajiner bileşen, kayıpsız durumda olduğu gibi, işaretin yayılma özelliklerini tanımlar. Kayıplı İletim Hatları 28 Burada kayıplı iletim hattının karakteristik empedansı, Karakteristik empedans kompleks!! Karakteristik Empedans hat uzunluğundan bağımsızdır!!! 14

Kayıplı İletim Hatları Karakteristik empedans, iletkenlerin yapıldığı metale, iletkenleri kuşatan dielektrik ortama ve hat kesitinin geometrisine bağımlıdır. Diğer taraftan, karakteristik empedansı bir eşdeğer devrede iletim hattı yerine toplu empedansla yorumlamamaya dikkat edilmelidir. SONUÇ 30 V(z) ve I(z), ikinci mertebeden diferansiyel dalga denklemlerinin çözümleri olduğundan, sırayla, pozitif ve negatif yönde yürüyen kararlı voltaj dalgalarının genliklerini ifade eden V + ve V bilinmeyenlerinin belirlenmesi gerekir. Bu bilinmeyenleri belirlemek için, iletim hattına bağlı kaynak ve yükün etkisini dikkate alarak, iki sınır şartına ihtiyaç vardır. 15

İletim Hatları 31 Sınır şartlarını uygulamadan önce, sıfır referans noktasının kaynak yerine yük konumunda olmasını sağlamak için, uzay koordinat sisteminin referans noktasını kaydırmak uygun olacaktır. İletim hattı boyunca yükten kaynağa doğru giderken artış olması için, koordinatın pozitif yönünü de değiştirmek gerekir. Böylece, yükün konumunu sıfır referans noktası olarak kabul ederek, yeni koordinat değişkenini d = -z olarak alabiliriz. İletim Hatları 32 Buna göre, hat boyunca voltaj ve akım için yeni denklemler, şeklinde yazılabilir. Yük üzerinde, d=0 olacağından, her iki durumda da, Yük empedansı Z L verilmiş ise, yük sınır şartı; 16

İletim Hatları 33 Bu eşitlikten de, (yansıma katsayısı yansıyan dalga genliğinin gelen dalga genliğine oranı olarak tanımlandığından) voltaj yük yansıma katsayısı, Bu eşitlikleri iletim hattı denklemlerinde kullanacak olursak, İletim Hatları 34 Yükten d-uzaklıkta, hattın herhangi bir noktasındaki yansıma katsayısı genelleştirilmiş yansıma katsayısı olarak tanımlanır; Kayıpsız Kayıplı 17

Yansıma katsayı formülü ile hat denklemleri; İletim Hatları Yandaki basit devre verilen hat empedansının ve genelleştirilmiş yansıma katsayısının önemini göstermek için yeterlidir. 36 İletim hattı empedansı; d-konumunda hattı kestiğimizi düşünürsek, hattın yükle sonlandırılmış parçasının giriş empedansı, kesimden önce 0 noktadaki giriş empedansı ile aynıdır. d-konumunun sol tarafındaki hattın davranışı, kesim noktasına Z(d) eşdeğer empedansı yerleştirilmesi durumunda, aynıdır. Yeni yükün yansıma katsayısı Γ (d) ye eşittir ve 18

İletim Hatları 37 Eğer hattın toplam uzunluğu L ise, giriş empedansı hat empedansı formülünden, Giriş empedansı, bir yükle sonlandırılmış tüm hattı temsil eden bir eşdeğer empedanstır. + I in V in Z 0 Z L - Z in L İletim Hatları 38 Genelleştirilmiş yansıma katsayısının uygun ifadeleri kullanılarak, hat empedansı için değişik ifadeler türetilebilir: Kayıpsız Hat için: 19

39 Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları (Kısa Devre Sonlandırma) Kısa devre sonlandırma; Z L = 0 Γ= -1 jz jz V( z) V 0 e e 2jV0 sin z, V Z I( z) 0 jz e jz e 2 0 cos z 0 0 Z jz tan l (2.45) in V Z 0 Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları (Kısa Devre Sonlandırma) Kısa devre sonlandırma; Z L = 0 Γ= -1 Kısa devre sonlandırma durumu için yanda verilen denklem kullanılarak da giriş empedansı bulunabilir. Z L = 0 Zin jz0 tan l (2.45) 20

41 Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları (Kısa devre sonlandırma) jz jz V( z) V 0 e e 2jV0 sin z, I( z) 0 jz e jz e 2 0 cos z Z jz tan l (2.45) in V Z 0 0 0 V Z Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları (Özel Durumlar) 42 Açık devre sonlandırma; Z L = Γ= 1 jz jz V( z) V 0 e e 2V0 cos z, V 2 jv I z e e z Z Z ( ) 0 jz jz 0 sin (2.46) 0 0 Z cot in jz0 l 21

43 Yükle Sonlandırılmış İletim Hatları (Açık devre sonlandırma) jz jz V( z) V 0 e e 2V0 cos z, V 2 jv I z e e z Z Z ( ) 0 jz jz 0 sin (2.46) 0 0 Z cot in jz0 l Yarım dalga boyuna sahip iletim hatları Z 0 Z L Z in d=/2 d=/2 Z in =Z L Hattın boyu /2 nin katları olduğu zaman, girişten görünen empedans yük empedansıdır. 22

Çeyrek Dalga Dönüştürücü Z 0 Z 1 Z L Z in Z in = Z 1..... d=/4 d=/4 Z in = Yansıma olmaması için Z in =Z 0 olmalıdır. Z 0 = Z 1 =. 23