tüdrgs/d mühndslk Clt:9, Sayı, 7- Şuat Yaısal olmayan lrszlğ sah sstmlr çn P v PI kontrolör tasarımı Nvra BAYHAN *, Mhmt Turan SÖYLEMEZ İTÜ Fn Blmlr Ensttüsü, ontrol v Otomasyon Mühndslğ Programı, 34469, Ayazağa, İstanul Özt Bu çalışmada, yaısal olmayan lrszlğ sah tk grşl-tk çıkışlı doğrusal zamanla dğşmyn sstmlr kaalı çvrmd dayanıklı kararlı kılan oransal (P) v oransal-ntgral (PI) kontrolörlrn tam r kümsn ulmak çn yn yöntmlr önrlmştr. Böyl r sstm dayanıklı kararlı kılan tüm oransal kontrolörlr hsalamak çn önrln yöntm, tmld Nyqust tormnn r gnllştrlmsn dayanır. Yaısal olmayan lrszlklr sah r sstmn Nyqust ğrs, tk r ğr olmayı rl ksn ölglr çmnd ksn r ğr als çmnddr. Bu ğr als, lrszlk dsklrndn oluşan r antın çndn gçr. Nomnal sstm kararlı yaan kazançlar l lrszlk antının rl ksn ksm yrlrndn ulunan lrszlk kazanç kümlrndn yararlanarak sstm kaalı çvrmd dayanıklı kararlı kılan kazançların hsaı hızlıca yaılalr. İk rl olnomun köklrnn hsaını grktrn u yöntmn r aramtr üzrnd hrhang r tarama yamayı grktrmmsndn dolayı ltratürdk yöntmlr üzrn avantajı da vardır. PI kontrolör aramtrlrnn kutusal koordnatlarda yazılmasıyla ulunan yn sstm çn rm dar taratılarak v u yöntmdn ld dln sonuçlardan da yararlanılarak dayanıklı kararlı yaan PI kontrolörlrn tam ölgs hsalanalr. Ayrıca yaısal olmayan lrszlk çrn sstm dayanıklı kararlı kılan PI kontrolörlr ulmak çn aramtr uzayı yaklaşımını kullanan gomtrk taanlı k yn yöntm d önrlmştr. Bu yöntmlr, lrszlk dsklrnn orjn çrms v çrmmsn gör k aşama çrrlr. Brnc yöntm, dayanıklı kararlı yaan PI kontrolörlrn tam ölgsn hsalayan yavaş r yöntmkn; dğr s dayanıklı kararlı yaan PI kontrolörlrn yaklaşık ölgsn vrn hızlı r yöntmdr. Anahtar lmlr: P v PI kontrol, dayanıklı kontrol, Nyqust torm, aramtr uzayı yaklaşımı. * Yazışmaların yaılacağı yazar: Nvra BAYHAN. nvra@stanul.du.tr; Tl: () 473 7 7/ 7784. Bu makal, rnc yazar tarafından İTÜ Fn Blmlr Ensttüsü, ontrol v Otomasyon Mühndslğ Programı nda tamamlanmış olan "Dayanıklı P v PI t kontrolör tasarımı" adlı doktora tzndn hazırlanmıştır. Makal mtn 7..8 tarhnd drgy ulaşmış, 7..8 tarhnd asım kararı alınmıştır. Makal l lgl tartışmalar 3.5. tarhn kadar drgy göndrlmldr.
N. Bayhan, M. T. Söylmz P and PI controllr dsgn for systms wth unstructurd uncrtanty Extndd astract In controllr dsgn, t s ssntal to achv stalty of th closd-loo systm and varous rformanc scfcatons. Frquncy doman crtra such as gan margn, has margn and H norms of th closd-loo transfr functons as wll as tm doman crtra such as sttlng tm, rs tm and ovrshoot can countd among mortant rformanc scfcatons. Most of th controllrs usd n th ractcal world ar low ordr controllrs such as P, PI and PID controllrs. It s ossl to s that mthods for fndng stalzng low ordr comnsators can consdrd n thr man catgors: mthods asd on Nyqust thorm, mthods asd on a gnralzd vrson of th Hrmt- Bhlr thorm, and mthods asd on aramtr sac and th conct of sngular frquncs. Roust stalzaton of contnuous tm sngl-nut sngl-outut (SISO) lnar tm nvarant (LTI) systms wth multlcatv uncrtants s consdrd n ths study. In artcular, t has n shown that all P and PI controllrs that roustly stalz a gvn uncrtan SISO LTI systm can found y utlzng a gnralzaton of th Nyqust thorm and th aramtr sac aroach, rsctvly. Th gnralzaton of Nyqust stalty crtron suggsts to dtrmn th numr of th unstal ols for gan ntrvals otand y calculatng th locaton and drcton of th crossng of th Nyqust lot wth th ral axs. A stal charactrstc olynomal, whos roots ar n th lft half lan, coms unstal f and only f at last on root crosss th magnary axs. Th aramtr valus of th root crossng form th stalty oundars n th aramtr sac, whch can classfd nto thr cass: th ral root oundary, whr a root crosss th magnary axs at th orgn (susttut s jw and w n th charactrstc olynomal), th nfnt root oundary, whr a root lavs th lft half lan at nfnty (for w ) and th comlx root oundary, whr a ar of conjugat comlx roots crosss th magnary axs (for < w < ). Ths stalty oundars srat rgons n whch th numr of closd loo systm unstal ols do not chang n th aramtr sac. Somtms, t s not ossl to rrsnt uncrtants n a systm modl wth aramtrc uncrtants. Such uncrtants ar usually ncasulatd n a norm oundd systm lock that acts on a nomnal systm n an addtv or multlcatv mannr. Although t s ossl to fnd roust controllrs that can stalz systms wth such uncrtants y th hl of H control thory, th rsultng comnsators ar usually of hgh ordr (at last as hgh as th ordr of th lant) and thrfor mractcal n many cass. Svral attmts xst to ut constrants on th ordr of H controllrs n th ltratur. Howvr, many of ths aroachs suffr from comutatonal ntractalty. In many ractcal cass drct dtrmnaton of th st of P and PI controllrs that rovd roust stalty of SISO LTI systms wth unstructurd uncrtanty s rqurd. To th st knowldg of authors, thr s no such drct mthods avalal n th ltratur for ths uros. Th man am of ths ar s to rovd such mthods. Nyqust lot of a systm wth multlcatv uncrtants s a famly of curvs rathr than a sngl curv and crosss th ral axs n sgmnts of th ral axs nstad of at sngl onts. Actually, th frquncy rsons of a systm wth unstructurd uncrtanty at a gvn frquncy s a dsk A nw mthod s roosd to dtrmn all stalzng P and PI controllrs for a gvn systm wth multlcatv uncrtanty. Th mthod s alcal to systms wth unstal or nonmnmum has transfr functons and/or wght functons. Proosd mthod nvolvs calculaton of roots of two ral olynomals and dos not rqur any sarch or grddng ovr a aramtr (for P control), and as a rsult offrs comutatonal advantags ovr xstng mthods n ltratur. Although t s assumd that th nomnal systm dos not hav any ols on th magnary axs n drvatons of formulatons, t s actually ossl to xtnd th rsults to covr such cass rathr asly. In ths study, two nw gomtrc mthods ar also roosd to fnd th st of PI controllrs that roustly stalz a gvn systm wth unstructurd uncrtanty. Th frst mthod gvs xact st of roustly stalzng PI controllrs; ut t s slow. An altrnatv mthod suggsts aroxmaton st of roustly stalzng PI controllrs; ut t s fastr than th frst on. ywords: P and PI control, roust control, Nyqust thorm, aramtr sac aroach. 8
Yaısal olmayan lrszlğ sah sstmlr çn P v PI kontrolör tasarımı rş ontrol sstmlrnn tasarlanmasında gnllkl sstmn kaalı çvrmd kararlı yaılması v sstm cvalarının stnln azı rformans krtrlrn sağlaması amaçlanır. Tasarımda sstm modllnmsndn ortaya çıkalck ölçüm hataları, yüksk drcl sstmlrn düşük drcl modllr l göstrlm v sstm dışı ozucuların varlığı sstmlrd yaısal olan v yaısal olmayan lrszlklrn oluşmasına v öylc stnn rformans krtrlrnn sağlanamamasına v özllkl kararsızlığa ndn olaldklr çn, unlara karşı sstmlr dayanıklı kararlı kılacak kontrolörlrn tasarlanması günümüzd oldukça önm kazanmaktadır. Zaman gckmsz sstmlr kaalı çvrmd kararlı yaacak P, PI v PID kontrolörlr g düşük drcl kontrolörlrn tasarımı çn ltratürdk yöntmlrdn üç tans çok kullanılır. Bunlardan lk, vrln rl katsayılı r olnomun kararlı olması çn lrl r ç çlk özllğnn sağlanmasının grk v ytr olduğunu fad dn Hrmt-Bhlr tormnn r gnllştrlmsdr. (Ho vd., 997; Ho vd., 999; Datta vd., ). Bu gnllştrm, sstm drcsn ağlı olarak üstl olarak artan sayıda şart fonksyonunun analzn grktrdğndn; hızlı sonuç vrn r yöntm dğldr. Bu ndnl knc r yöntm olarak Nyqust ğrsnn rl ksn kstğ yrlrn v yönlrnn ulunmasıyla Nyqust tormnn (Nyqust, 93) r gnllştrlmsn dayanan hızlı r yöntm Munro v dğrlr (999), Munro v dğrlr () l Söylmz v dğrlr (3) tarafından önrlmştr. Bu yöntm, Chyshv olnomları v lnr dönüşüm kullanılarak ayrık zamanlı sstmlr Bayhan v Söylmz (6) tarafından uyarlanmıştır. Nyqust tormnn r gnllştrlmsn dayanan u yöntmdn harktl dayanıklılığın r ölçütü olan stnln kazanç ayı v faz ayı çn kaalı çvrmd sstmn kararlılığını sağlayacak oransal kontrolörlrn hsaı l maksmum kazanç v faz aylarının hsaı, Bayhan v Söylmz (6a), Bayhan v Söylmz (7a) l Bayhan v Söylmz (7) tarafından yaılmıştır v ld dln sonuçlar ayrık zamanlı sstmlr d uyarlanmıştır (Bayhan v Söylmz, 6c). Üçüncü yöntm s tkl frkanslarda PID aramtr uzayının ayrıştırılmasına dayanan v özdğrlrn harktyl tanımlanan gçşlr üzrn kurulu ancak arama grktrn r yöntmdr. (Ackrmann vd., a; Bajcnca, ; Bajcnca, 6; an v Bozorg, 6). Dğr taraftan kararlılık sınır ğrsnn PI düzlmnd çzlmsn dayanan grafksl r yöntm s, Tan v dğrlr (6) tarafından tanıtılmıştır. Paramtrk lrszlklr sah r sstm modlndk u lrszlklr göstrmk ratkt hr zaman mümkün olmayalr. Böyl lrszlklr sah sstmlr dayanıklı kararlı yaacak kontrolörlr H kontrol tors yardımıyla ulunalr; ancak u şkld ulunan kontrolörlrn mrts, n az kontrol dlmk stnn sstmn mrts kadar olur vya son drc kırılgan kontrolörlr ulunalr (Ho vd., ). H kontrolörlrn mrtsn kısıtlandırmak çn azı çalışmalar yaılmıştır (Iwasak v Sklton, 995). Ancak u çalışmaların çoğunun crk açıdan tak dlms, zordur (Ho, ). Bu ndnl dayanıklı kararlılığı sağlayan oransal kontrolörlrn kümsn doğrudan ulmak çn Söylmz v Bayhan (8) tarafından yn r yöntm glştrlmştr. Bu yöntmdn ld dln sonuçlardan yararlanılarak PI kontrolör aramtrlrnn kutusal koordnatlarda yazılmasıyla ulunan yn sstm çn rm dar taratılarak dayanıklı kararlı yaan PI kontrolörlrn tam ölgs u çalışmada, hsalanmıştır. Paramtr uzayı yaklaşımı (Ackrmann vd., ), yaısal olmayan lrszlk çrn zaman gckmsz sstmlr kaalı çvrmd dayanıklı kararlı yaacak PI kontrolörlr ölgsnn ulunmasında kullanılalr. Yaısal olmayan lrszlklr kontrol sstmlrnd gnld çarım vya tolam çmnd göstrldğndn öyl sstmlrn Nyqust ğrs, tk r ğr olmayı rl ksn ölglr çmnd ksn ğr als çmnddr. Bu ğr als, lrszlk dsklrndn oluşan r antın çndn gçr (Skogstad v Postlthwat, 5). Bu çalışmada, aramtr uzayı yaklaşımından yararlanarak yaısal olmayan lrszlk çrn zaman gckmsz sstmlr dayanıklı kararlı kılalck tüm PI kontrolörlrn hsaı çn k yn 9
N. Bayhan, M. T. Söylmz yöntm önrlmştr. Brnc yöntm, lrszlk dsklrnn orjn çrms v çrmmsn gör k aşama çrn r yöntmdr. Blrszlk ölgsnn dışında kalan v kararsız kutu sayısının sıfır olduğu ölg, dayanıklı kararlı kılan PI kontrolörlr ölgsdr. Brnc yöntm altrnatf olarak hsaı kolaylaştırmak v şlm hızını arttırmak çn gomtrk taanlı crk r yöntm d u çalışmada önrlmştr. Hızlı sonuç vrn fakat tutuculuğa ndn olan u yöntmn dışında aramtr uzayında dayanıklı kararlı kılan PI kontrolörlrnn tam r kümsn ulmak çn Söylmz v Bayhan (8) tarafından vrln sonuçları kullanan knc r yöntm d u çalışmada önrlmştr. Yaklaşık olmayan ksn sonuç vrn u knc yöntmn rnc yöntm gör şlm yoğunluğu gnld fazladır. ararlılığı sağlayan kazanç kümsnn ulunması Zaman gckmsz sstmlr kaalı çvrmd kararlı kılalck oransal kontrolörlr kümsn ulmak çn, Nyqust tormnn r gnllştrlms üzrn kurulu olan Munro v dğrlr (999) tarafından glştrlmş analtk r hsa yöntmndn yararlanalrz. Şkl d tk grşl-tk çıkışlı r kontrol sstm görülmktdr. r + y Fs () - Şkl. aalı çvrm kontrol sstm Fs (), oransal kontrolördür. Şkl dk kontrol dlmk stnn sstmn transfr fonksyonu m m m n n N( s) ams + a s + + a s+ a ( s) n Ds s + s + + s+ s () çmnddr ( a, ) v m n olduğu varsayılır. () s nn çft v tk kuvvtlrn çrck çmd ayrıştırı; s jw yazarsak, j + j DN DNw o o DN o DN o ( w) + w D + Dow D + Dow () ( w ) ( w ) ( jw) X Y jw Z( w ) + Z( w ) (3) olarak ulunur. Burada Xw + ˆ DN DNw o o (4) Yw ˆ DN o DN o (5) Zw ˆ + o D Dw (6) çmnddr. D, D o, N v N o göstrmlr N ( w ) yrn ( ) D w, Do w, N w v o kullanılmış olu; Ds () v Ns () olnomlarının çft v tk kısımlarından oluşmaktadır. (3) dn ( jw) nn sanal kısmı, ( w ) jw w ( w ) { } Im Y (7) Z olarak yazılır. v ˆ w olarak tanımlayalım. Y(v) nn oztf rl köklrnn v, v,..., v γ olduğu kaul dlrs; jw nn Nyqust yr ğrs,,,..., γ çn w, w vya v w± da rl ksndn gçr. v v γ + v γ + olduğu göstrldğnd;,,..., γ + çn rl ksndn gçş noktaları, x X( v )/ Z( v ) olarak ulunur. j,,..., < x + çn x v x X ( v, j ) / Z ( v, j ) sağlanacak çmd ( x, v ) çftlrn (,,..., γ + çn), (, ) olarak yndn tanımlarsak; Munro v x v, j dğrlr (999) tarafından Nyqust tormnn r gnllştrlms olarak vrln aşağıdak torm fad tmk mümkün olur. Torm Uygun (ror) rasyonl transfr fonksyonu () l vrln doğrusal zamanla dğşmyn r sstm düşünlm. D(s) nn sanal ksnd hç r
Yaısal olmayan lrszlğ sah sstmlr çn P v PI kontrolör tasarımı kök sah olmadığını kaul dlm. Y( w ) v X ( w ), Z( w ) (4), (5) v (6) ağıntılarında tanımlandığı g olnomlar olsun. Ayrıca,,..., q çn ( x, v, j ) çftlr d, yukarıda tanımlandığı g olsun. Üstlk Y (v) nn aş katsayısı y l göstrlrkn; Y (v) nn n son sıfır olmayan katsayısı y l göstrlsn. O zaman vrln r k ˆ ( / x, / x) kazancı çn, kaalı çvrm sstmn kararsız kutularının sayısı + u u r t (8) t l vrlr. u, ( s) nn kararsız kutularının sayısıdır. Rl ksndn gçşlrn sayısı r d j olu; gçş yönü (9), j l () l ( ) Sgn( Y ( vj, )), < vj, < dj, Sgn ( y ), v j, Sgn( y), v j, s s s () olarak fad dllr. Burada Y l ( v), Y (v) nn v, j noktasındak sıfır olmayan rnc türvdr. () dak Sgn smolü, şart fonksyonunu göstrmktdr. (8) dn u olan kazanç aralıkları, kararlı kılan kazançları vrr. Yaısal olmayan lrszlk çrn sstmlr çn dayanıklı kararlılığı sağlayan kazançların ulunması Sürkl zamanlı doğrusal zamanla dğşmyn sstmlrdk yaısal olmayan lrszlklr göstrmk çn Şkl dk g r kaalı çvrm sstm l alını dayanıklı kararlı kılalck tüm kazançları ulmak amacıyla Torm, kullanılalr. Şkl d görüln ( s), () d vrln sstm göstrrkn; s rdn küçük ( ) H normuna sah tüm sstmlr göstrn yaısal olmayan lrszlklr çrn lokdur. Ayrıca W (s), ağırlık transfr fonksyonudur. F(s) dr. Şkl d kontrol dln sstm s () ˆ () s + Ws () () l göstrllr. Prolm, W ( s) T ( s) < koşulunu grçklyn ağırlıklı kaalı çvrm trans- fr fonksyonundak H kısıtlamasını sağlayan kazançları ulmak olarak da formül dllr. ( jw) nn Nyqust ğrs, r ğr als tanımladığı çn; rl ksn ölglr çmnd ksr. ( jw) nn vrln r * ( jw ) * w çn frkans cvaı, mrkzl v r ( jw) W ( jw) yarı çalı Şkl 3 dk g r dsktr (Skogstad v Postlthwat, 5). W(s) u v () s r F(s) u + (s) y - Şkl. Yaısal olmayan lrszlk çrn sstm
N. Bayhan, M. T. Söylmz r α α x β r ( jw * ) Im(s) R(s) ağıntısının v () nn (3) d yazılmasıyla X( w ) N w, ( w ) Z w D w (9) ulunur. (9) un w ya gör türv alınarak sıfıra ştlnr v düznlnrs, ( jw) * Şkl 3. Vrln w frkansı çn ( jw) nn frkans cvaı * w w frkansı çn R( s) olmak üzr; Şkl 3 dn ( jw) nn Nyqust ğrsnn rl ksn ksm yrlr, (3) dn yararlanarak ( w ) R( ( jw)) α ( w ), X( w ) β Z( w ) ˆ w ˆ a( w) ( ) ( ) ( ), r ( w) ( w) () w a w w (3) olarak ulunur. Şkl 3 v (7) dn Y( w ) w ˆ { jw } w Z w β Im (4) r w jw W jw (5) ld dlr. W( jw ), (3) nzr çmd X w Y w W( jw) + (6) Z w Z w W W jw W W olarak yazılalr. (3) v (6), (5) d yazılırsa r w ( X ( w ) + wy ( w )) ( XW( w ) + wyw( w )) (7) Z ( w ) Z W w ( ) 3 ( ) Rw Z N D D N 4 ˆ 4N D X Z Z X () ulunur. Bu son ağıntıda yr alan olnomların hs w nn fonksyonlarıdır v ayrıca D, N, Z v X sırasıyla D, N, Z v X olnomlarının w a gör rnc türvlrn göstrmktdr. () d sırasıyla N ˆ X Y X Y Y Z () w + w W + w W w W D ( w ) ˆ Z ( w ) Z ( w ) () W çmnddr. R ( w ) nn ngatf olmayan rl köklr, w k w k + sağlayarak w, w, w3, w4,, wt, wt çmnd sıralanmıştır. Hr r w k v w k kök çftn lşkn rl ksn ksm yrlr, k,,, t olmak üzr ˆ mn ( w ), ( w ) (3) k mn k k ˆ max ( w ), ( w ) (4) k max k k olarak tanımlanmıştır (Söylmz v Bayhan, 8). () s W () s trs d ndnsl s; ( + ) mn ˆ n ( ), ( t+ ) maxˆ a n ( + W ) t a W olarak tanımlayalrz. Burada (5) ld dlr. Burada tanımlanan a n Lm ( s), W Lm W (s) (6) s s N ( w ) w ˆ (8) D ( w ) çmnddr. Nyqust ğrsnn rl ksn ksm yrlrnn oluşturduğu
Yaısal olmayan lrszlğ sah sstmlr çn P v PI kontrolör tasarımı x ˆ ( ) (7) k k mn k max aralıklarına lşkn kazanç aralıkları k Sgn( k ) Sgn ( ) mn kmax k s mn kmax ˆ - Aks durumda k max kmn (8) olu unların rlşm, aşağıdak g tanımlıdır. (9) k [,,, t] k Lmma () d vrln yaısal olmayan lrszlklr çrn ( jw) nn Nyqust ğrs, rl ksn (7) d vrln x k aralıklarında ksr. Şkl 3 d vrln kaalı çvrm sstmn sağ yarı düzlmdk kutularının sayısının modl lrszlğyl dğşmsnn grk v ytr koşulu, olmasıdır. Lmma dn harktl, şu torm vrllr: Torm Şkl 3 d görüln ( s) sstmn kararlı kılan kazanç aralıkları, Torm dn ulunalr. () d vrln (s) sstmn dayanıklı kararlı kılacak kazanç küms, ˆ \ l ulunur (Söylmz v Bayhan, 8). (3) Paramtr uzayı yaklaşımıyla kararlı yaan PI kontrolörlrn lrlnms Şkl d vrln sstmd Fskontrolörünün () PI t olması durumunda; () s sstmn kaalı çvrmd kararlı yaacak PI kontrolör ölglr hsalamak amacıyla aramtr uzayı yaklaşımı (Ackrmann vd., ) kullanılalr. PI kontrolör yaısı Fs () + ( / s) (3) çmnddr. v, sırasıyla kontrolörün oransal v ntgral kazanç aramtrlrdr. aramtr uzayında kararsız kaalı çvrm kutu sayısı δ nın aynı kaldığı P-ölglrnn sınırlarına, kararlılık sınırları dnlr v aşağıdak torm l lrlnlr. Torm 3 Şkl dk () l vrln ( s) sstm PI kontrolör l kontrol dlmk stnldğnd; ulunan kararlılık sınırları aşağıdak g lrlnr: a.) w çn, a ( N() ) s; doğrusu r kararlılık sınırı olan rl kök sınırıdır..) w çn, () s sstm trs d ndnsls / a (3) m doğrusu, sonsuz kök sınırı dnln r kararlılık sınırıdır. c.) < w < çn, kararlılık sınırı X( w ) w Y( w ), (33) N + w N N + w N o dnklmlrndn ulunan aramtr uzayındak ğrs l tanımlanmış komlks kök sınırıdır. w ws tkl frkansı çn r nclm yamaya grk yoktur (Ackrmann vd., ). Yaısal olmayan lrszlk çrn sstmlrd dayanıklı PI kontrol Bu ölümd, yaısal olmayan lrszlk çrn Şkl dk kaalı çvrm sstm l alınarak dayanıklı kararlı kılalck tüm PI kontrolörlr ulmak çn k yn yöntm önrlmştr. Blrszlk ölgsnn ulunması (yöntm ) Bu yöntm, () dk s () sstmn, Torm 3 l vrln aramtr uzayı yaklaşımının uyarlanmasına dayanır. ( jw) nn vrln r w * o 3
N. Bayhan, M. T. Söylmz çn frkans cvaı, ε ( w) ( jw) W( jw) yarı çalı Şkl 3 dk g r dsk tanımlar. Torm 3 dn yararlanarak < w < çn, aramtr uzayında ğrs çzdrl kararlılık sınırlarını ld tmk amacıyla Şkl 3 tk sstmn kaalı çvrm karaktrstk olnomunda s jw yazılırsa ( ) + F( jw) ( jw) + W( jw) (34) ulunur. (34) d (3) n yazılmasıyla ulunan ( ) ( ) jw + jw + jw + W jw (35) dnklmndn yaısal olmayan lrszlk çrn r sstmn w çn kararlılık sınırının sstmn orjnd sıfırının olmaması koşuluyla doğrusu olduğu görülür. w çn nın - l + arasındak tüm rl sayıları fad tms d hsaa katılarak; (35), düzlmnd (trs d ndnsl sstms) ( ) ( W ) (36) arasında r ant tanımlar. jw y rl v sanal kısımlarına ayırı; θ :( π ) arasında dğştrrk jw y lşkn lrszlk dskndk noktaları, ( jw) ( jw) + j ( jw) + ε ( w) jθ (37) R I olarak aramtrlndrlrz. F(jw) üzrndk lrszlğ ulmak çn; F(jw) y lşkn ltk lrszlk dskndk noktalar, ( jw ) y lşkn lrszlk dskndk noktaların z düşürülmsyl (37) dn yararlanarak F( jw) ( jw) + j ( jw) j + ε ( w) θ R I (38) çmnd aramtrlndrllr. F(jw) y rl v sanal kısımlarına ayırarak ulunan F( jw) F ( jw) + jf ( jw) (39) R I ağıntısı l (38) n şlştrl θ :( π ) çn taranmasıyla; F(jw) y lşkn ltk lrszlk dsk ld dlr. (, ) d ortaya çıkan lrszlğ ulmak çn (3) d vrln PI kontrolörün transfr fonksyonunda s jw yazı, (39) l ştlrsk F, wf (4) R jw I jw ld dlr. O hald F(jw) dk lrszlk dskndn, (, ) dkn gçşt ld dln yn dskn -ksnn z düşümü aynı kalırkn; w w frkansı ka- -ksnn z düşümü dar ölçklnr. (37) d θ :( π ) arası dğrlr çn oluşturulan lrszlk dsklrndn < w < a tüm frkanslar çn, jw nn Nyqust ğrs trafına yaısal olmayan lrszlk çrn r ant koyulalr. (4) dan harktl < w < çn, düzlmnd kararlılık sınırındak lrsz ölg oluşturulalr. Bu ölgy lavtn düzlmnd P-ölglr lrlnrkn doğrusu l trs d ndnsl sstmlr çn (36) dan gln ant da dkkat alınmalıdır. jw y lşkn orjn çrmyn lrszlk dsklrnn düzlmndk z düşümlr olan ltk lrszlk dsklrnn ç kısımları l orjn çrn lrszlk dsklrnn düzlmndk z düşümlr olan ltk lrszlk dsklrnn dış kısımları alınarak lrszlk ölgs oluşturulur. Blrszlk ölgsnn dışında kalan v kararsız kutu sayısının sıfır olduğu fx düzlmndk ölg, sstm kaalı çvrmd dayanıklı kararlı kılacak PI kontrolörlrn ölgsdr. Brm darnn taranması yöntmyl dayanıklı PI kontrolörlrn hsaı (yöntm ) Dayanıklı kararlı kılan tüm PI kontrolörlr ulmak çn u ölümd önrln yöntm, Torm v Lmma n kullanılmasına dayanır. 4
Yaısal olmayan lrszlğ sah sstmlr çn P v PI kontrolör tasarımı Bu yöntm, dayanıklı kararlı kılan PI kontrolörlrn yaklaşık olmayan grçk ölgsn vrr; fakat yavaş r yöntmdr. Torm dn yararlanalmk çn PI kontrolör aramtrlrn kutusal koordnatlarda Cos θ, Sn θ (4) çmnd yazalrz. (4) n (3) d yazılması l ulunan Snθ Fs () Cosθ + s ağıntısından, θ :( π ) (4) Snθ F() s () s Cosθ + () s () s s ˆ ( s) (43) ld dlr. Burada θ, satln ulunan ( s ) sstm çn önc Torm kullanılarak kararlı kılan kazançlar ulunur v sonra vrln ağırlık fonksyonu çn Lmma v Torm kullanılarak lrszlk kazanç aralıkları ulunur. ( π ) θ : arasında dğştrlrk, dayanıklı kararlı kılan PI kontrolörlr ölgs v lrszlk ölglr lrlnr. Vrln yöntm altrnatf olarak hsaı kolaylaştırı hızı arttırmak çn gomtrk taanlı r yöntm d, aşağıda vrlmştr. Blrszlk antının üsttn çvrlnms (dörtgn yöntm) omtrk taanlı u yöntm, jw y lşkn lrszlk dsklrnn orjn çr ( W( jw ) > ) çrmmsn ( W( jw ) < ) gör k aşamalıdır. İlk aşama olan jw y lşkn lrszlk dsknn orjn çrmdğ durum çn lrszlk antını hızlı r şkld ld dlmk amacıyla jw y lşkn O mrkzl ε ( w ) yarı çalı lrszlk dsknn Şkl 4 dk g mümkün olan n sıkı sktör l çvrlnrk dsk tğt olan s 5 v s 6 noktalarından F(jw) düzlmndk F 5 v F 6 z düşüm noktalarının ld dlms v sonra F(jw) düzlmndk ltk lrszlk dsknn u noktalardan yararlanılarak ulunan Şkl 4. jw y lşkn orjn çrmyn r lrszlk dskn çn alan n küçük sktör v F(jw) düzlmn olan z düşümü 5
N. Bayhan, M. T. Söylmz FFFF 3 4 yamuğu l sıkıca çvrlnmsdr. F(jw) düzlmndn düzlmn gçmk çn (4) dan yararlanılır. < w < çn düzlmnd u şkld oluşturulmuş yamuklardan lrszlk antı ld dlr. Paramtr uzayı yaklaşımından harktl w l < w < çn v lav olarak trs d ndnsl sstm s w çn ulunan kararlılık sınırlarından v düzlmndk yamuklardan oluşmuş lrszlk antından yararlanarak sstmn dayanıklı kararlı olduğu PI kontrolörlr ölgs ulunur. Yukarıdak açıklamaları kullanarak Şkl 4 tk rrn şt olan M s 5 O vya M s 6 O dk üçgnlrndn ε arcsn w β ( jw) (44) 5( w) ˆ Ms5 6( w) ˆ Ms6 ( jw) ε( w) (45) ulunur. Şkl 4 dn s 5 v s 6 tğt noktaları j ( γ β ) F3 ( jw) (5) g( wcos ) β F ( jw) 4 ( g + ε ) w w Cosβ j ( γ β ) (5) yazılalr. FF 5 6 doğru arçasının hr zaman F(jw) y lşkn ltk lrszlk dsknn O ' mrkzndn gçtğ, Şkl 4 dn görüllr. FFFF 3 4 yamuğunu, düzlmn dönüştürmk çn (4) dan yararlanılır. Bu yöntmn knc aşaması olarak, jw y lşkn lrszlk dsknn orjn çrdğ durumu nclmk amacıyla O mrkzl ε ( w ) yarı çalı Şkl 5 tk g n gnl durumdak r lrszlk dskn l alalım. 5 5 j(8 + γ β ) s ( jw) ( w) (46) (8 ) 6 5 j + γ + β s jw w (47) olarak hsalanır. Burada γ ˆ ( jw) 8 (48) çmnd tanımlıdır. s 5 v s 6 noktalarının F(jw) düzlmn z düşürülmsyl ld dln F 5 v F 6 noktalarının orjn olan uzaklıkları F ( jw) F ( jw ) fadsn sağlar. Şkl 4 dk 5 6 FFFF 3 4 yamuğunun köş noktaları çn sırasıyla, F( jw) ( g + ε ) w w Cosβ j ( γ + β ) (49) j ( γ + β ) F ( jw) (5) g( wcos ) β Şkl 5. jw y lşkn orjn çrn r lrszlk dsk Şkl 5 dn, 9 γ ˆ ( jw) s ( jw) (53) s 7 ( jw) γ 8 7 (54) s jw ε w jw (55) 6
Yaısal olmayan lrszlğ sah sstmlr çn P v PI kontrolör tasarımı s jw jw + ε w (56) 9 olarak hsalanır. Böylc s 7 ( jw ) v s 9 ( jw ) noktaları çn sırasıyla s ( jw) s ( jw) γ 7 7 9 9 j( 8 ) (57) j s ( jw) s ( jw) γ (58) olarak yazılır. s 7 ( jw ), s 8 ( jw ), s 9 ( jw ) v s ( jw ) noktalarının F(jw) düzlmn z düşürülmsyl ld dln F 7 ( jw ), F 8 ( jw ), F 9 ( jw ) v F ( jw ) noktaları v FFFF 7 8 9 dörtgn, Şkl 6 da göstrlmştr. jw y lşkn lrszlk dsknn O mrkznn F(jw) düzlmndk z düşümü olan O, Şkl 6 da görüldüğü ' g dskn dışında olacaktır. c oluşturulan FFFF 7 8 9 dörtgn, ş knar dörtgn olacaktır. Bu amaçla Şkl 5 dk sss dk üçgn kullanılarak yaılan şlmlrl L L 7 8 9 89 78 ( w) ( w) ε ( w ) s ( jw ) 9 7 + 9 s ( jw) s ( jw) ε ( w ) s ( jw ) 7 7 + 9 s ( jw) s ( jw) 78 7 L89 w s9 jw (59) (6) L ( w) s ( jw) tanα (6) olarak hsalanır. Hsa kolaylığı açısından Şkl 5 dk s 9 ( jw ) noktası, orjn ötlnrs; lnmyn s ( jw ) v s 8 jw noktalarının yr 8 9 89 j ( + ) s ( jw) s ( jw) L ( w) α γ (6) 9 89 j ( α + γ ) s ( jw) s ( jw) L ( w) (63) Şkl 6. F( jw ) y lşkn orjn çrn ltk r lrszlk dsk FFFF 7 8 9 dörtgn, F(jw) y lşkn lrszlk dsknn çn tutuculuğu n aza ndrlck çmd yrlştrlmldr. Bu amaçla s 8 ( jw ) noktasının yr öyl sçlmldr k u noktanın z düşümü olan F 8 ( jw) / s 8 ( jw) noktasının F 9 ( jw ) noktasına olan uzaklığı f 89 ( w ) l u F 8 ( jw ) noktasının F 7 ( jw ) noktasına olan uzaklığı f 78 ( w ) n şt olması sağlanmalıdır. Böyl- olarak ulunur. Böylc lnmyn F 8 ( jw ) v F jw nn koordnatları da hsalanmış olur v Şkl 6 dak FFFF 7 8 9 ş knar dörtgn oluşturularak düzlmndk aşka r dörtgn dönüştürülür. Dayanıklı kararlı kılan ölgy lşkn yaklaşık sonuç vrn u yöntml aramtr uzayında kararlılık sınırlarını da kalayan lrszlk antlarını < w < aralığında ulmak çn jw nn orjn çrmyn lrszlk dsklrn lşkn olan FFFF 3 4 yamuklarının düzlmn z düşümü olan yamukların ç kısımları alınır v lav olarak jw nn orjn çrn lrszlk dsklrn lşkn olan FFFF 7 8 9 ş knar dörtgnlrnn düzlmn z düşümü olan dörtgnlrn dış kısımları alınır. Blrszlk ölgsnn dışında kalan v kararsız kutu sayısının sıfır olduğu ölg, sstm kaalı çvrmd dayanıklı kararlı yaan PI kontrolörlrn ölgsdr. Önrln üç 7
N. Bayhan, M. T. Söylmz yöntm lşkn sayısal r örnk aşağıda vrlmştr. Örnk sn ndnsl olan 3 6s + 4.75s + 55.5s+ 7 ( s) 4 3 s + s + 58s + 4s+ 96 (64) Orjn çrmyn ( jw ) y lşkn lrszlk dsklrnn - düzlmndk dönüşüklr olan ltk lrszlk dsklrnn oluşturduğu yöntm l ulunan lrszlk ölgsnn r kısmı, doğrusu v cvarındak P ölglrndk kararsız kutu sayısı, düzlm çn Şkl 8 d göstrlmştr. sstm l W() s (s+ ) /( s+ ) ağırlık transfr fonksyonunun oluşturduğu Şkl dk yaısal olmayan lrszlk çrn sstm, dayanıklı kararlı kılacak PI kontrolörlr ölgsn ulalım. Torm 3 l vrln aramtr uzayı yaklaşımıyla lrszlğn olmadığı durumda aramtr uzayında kararsız kaalı çvrm kutu sayısının aynı kaldığı P-ölglr, Şkl 7 d göstrlmştr. () s sstm, ksn ndnsl olduğundan; w çn r kararlılık sınırı yoktur. w çn, doğrusu r kararlılık sınırıdır. Ayrıca < w < çn (33) dn oluşturulan kararlılık sınırı vardır. Şkl 7 dk gölglndrlmş olan ölg, () s sstmn kararlı kılan PI kontrolörlr ölgsdr. Şkl 7. Blrszlğn olmadığı durum çn düzlmnd P-ölglr v kararsız kutu sayıları ( w 5 ) Şkl 8. Orjn çrmyn lrszlk dsklrndn oluşan v. yöntml ulunan düzlmndk lrszlk antı Orjn çrmyn ( jw ) y lşkn lrszlk dsklrndn oluşan Şkl 8 dk lrszlk ölgsnn üzrn lav olarak, ( jw ) nn orjn çrn lrszlk dsklrnn - düzlmndk z düşümlrnn dışında kalan ölglrdn oluşan lrszlk ölgsnn d klnmş çm, Şkl 9 dak g. yöntml ulunur. Şkl 9 da δ olan ölg, vrln ağırlık transfr fonksyonu çn sstm dayanıklı kararlı kılan PI kontrolörlrn ölgsdr. Orjn çrn v çrmyn ( jw ) y lşkn lrszlk dsklrnn çrdn v dışarıdan çvrlnmsn dayanan dörtgn yöntmnn kullanılmasıyla - düzlmnd oluşan lrszlk ölgs, Şkl da göstrlmştr. Şkl dak δ olan dayanıklı PI kontrolörlrnn ölgsnn, Şkl 9 dak grçk ölgy gör daha küçük olması, dörtgn yöntmnn tutucu olduğunun r göstrgsdr. 8
Yaısal olmayan lrszlğ sah sstmlr çn P v PI kontrolör tasarımı Şkl 9. düzlmnd. yöntml ulunan P-ölglr v lrszlk ölglr Pntum 4 CPU,.8 Hz şlmcl v 5 MB RAM sah r lgsayarda Mathmatca 5 yazılımı kullanılarak yaılan smülasyonda lrszlk ölgsnn hsalanması. yöntml 78.8 sany sürrkn;. yöntml 6.735 sany sürmüştür. Ayrıca dörtgn yöntm kullanılarak ulunan Şkl dak yaklaşık lrszlk ölgsnn ulunması,.385 sany sürmüştür. Dörtgn yöntmnn şlm hızının. v. yöntm kıyasla çok daha yüksk olduğu görülür. Şkl. düzlmnd dörtgn yöntmyl ulunan lrszlk ölglr Bu sstm dayanıklı kararlı kılan PI kontrolörlr ölgsn lrlmk çn. yöntm l ulunan lrszlk ölgs, gr rnkl taratılarak Şkl d göstrlmştr.. yöntml ulunan Şkl dk dayanıklı kararlı kılan ölg,. yöntml ulunan Şkl 9 dak ölgyl aynı olan grçk ölgdr. Şkl. düzlmnd. yöntml ulunan P-ölglr v lrszlk ölglr Sonuçlar Yaısal olmayan lrszlğ sah sstmlr kaalı çvrmd dayanıklı kararlı kılan P v PI kontrolörlr ulmak çn yn yöntmlr önrlmştr. Özllkl PI kontrolörlr ölgsn ulmak çn önrlmş. v. yöntmn grçk ölgy vrn yavaş yöntmlr olduğu; fakat dörtgn yöntmnn s yaklaşık ama hızlı r yöntm olduğu sayısal örnk l göstrlmştr. 9
N. Bayhan, M. T. Söylmz aynaklar Ackrmann, J., Blu, P., Bünt, T., üvnç, L., asaur, D., odt, M., Muhlr, M. v Odntal, D., (). Roust control th aramtr sac aroach, Srngr-Vrlag, 9-58, London Brln Hdlrg. Bajcnca, N., (). Th mthod of sngular frquncs for roust dsgn n an affn aramtr sac, Procdngs, 9th Mdtrranan Confrnc on Control and Automaton, Durovnk. Bajcnca, N., (6). Dsgn of roust PID controllrs usng dcoulng at sngular frquncs, Automatca, 4,, 943-949. Bayhan, N. v Söylmz, M. T., (6a). İstnn kazanç ayı v faz ayı krtrlrn sağlayan oransal kontrolörlrn hsalanması, Otomatk ontrol Türk Mll omts-otomatk ontrol Ulusal Tolantısı, 6-8 asım, s. 38-43, Ankara. Bayhan, N. v Söylmz, M. T., (6). Fast calculaton of all stalzng gans for dscrt tm systms, Istanul Unvrsty-Journal of Elctrcal and Elctroncs Engnrng, 6,, 9-6. Bayhan, N. v Söylmz, M. T., (6c). Ayrık zamanlı sstmlrd stnn kazanç ayı v faz ayı krtrlrn sağlayan oransal kontrolörlrn hsalanması çn r yöntm, Elktrk-Elktronk Blgsayar Mühndslğ Smozyumu, 6- Aralık, s. 59-63, Bursa. Bayhan, N. v Söylmz, M. T., (7a). Calculaton of maxmum achval has margn for on-loo stal systms usng roortonal controllrs, Procdngs, 5th IFAC Intl. WS Dcom-TT, 99-4, May 7-, İzmr. Bayhan, N. v Söylmz, M. T., (7). A nw tchnqu for calculaton of maxmum achval gan and has margns wth roortonal control, Procdngs, 5th IEEE Mdtrranan Confrnc on Control and Automaton, Par No. T9-9, Jun 7-9, Athns, rc. Datta, A., Ho, M.T. v Bhattacharyya, S.P., (). Structur and synthss of PID controllrs, Srngr, London, U. Ho, M.T., Datta, A. v Bhattacharyya, S.P., (997). Control systm dsgn usng low ordr controllrs: constant gan, PI and PID, Procdngs of th Amrcan Contol. Confrnc, 57-578. Ho, M.T., Datta, A. v Bhattacharyya, S.P., (999). nralzatons of th Hrmt-Bhlr thorm, Lnar Algra and Its Alcatons, 3, 35-53. Ho, M.T., Slva,.J., Datta, A. v Bhattacharyya, S.P., (). Roust and non-fragl PID controllr dsgn, Intrnatonal Journal Roust Nonlnar Control, 46-438, Boston. Ho, M.T., (). Synthss of H PID Controllrs, Procdngs, IEEE Confrnc on Dcson and Control, 55 6, Orlando, Florda, USA. Iwasak, T. v Sklton, R.E., (995). All fxd ordr H controllrs: Osrvr asd structur and covaranc ounds, IEEE Transactons on Automatc Control, 4, 5-56. an, F. v Bozorg, M., (6). Dsgn of dgtal PID controllrs usng th aramtr aroach, Intrnatonal Journal of Control, 79, 6, 64-69. Munro, N., Söylmz, M.T. v Bak, H., (999). Comutaton of D-stalzng low-ordr comnsators, Control Systms Cntr Rort 88, Umst, Manchstr. Munro, N., Söylmz, M.T. v Bak, H., (). Fast Calculaton Of Stalzng PID Controllrs For Uncrtan Paramtr Systms, Procdngs, IFAC, Rocond, Pragu, Czch Rulc. Nyqust, H., (93). Rgnraton thory, Bll Systm Tchncal Journal,, 6-47. Skogstad, S. v Postlthwat, L., (5). Multvaral Fdack Control, John Wly & Sons, Wst Sussx, England. Söylmz, M.T., Munro, N. v Bak, H., (3). Fast calculaton of stalzng PID controllrs, Automatca, 39,, -6. Söylmz, M.T. v Bayhan, N., (8). Calculaton of all H roust stalzng gans for SISO LTI systms, Procdngs, 7th IFAC World Congrss Of Th Intrnatonal Fdraton Of Automatc Control, July 6-, Soul, ora. Tan, N., aya, İ., Yroğlu, C. v Athrton, D.P., (6). Comutaton of stalzng PI and PID controllrs usng th stalty oundary locus, Acctd: Enrgy Convrson & Managmnt.