Matematik Ö retmen Adaylar n n Limit Kavram n Ö renmelerinde Yap land rmac Ö renme Ortam n n Etkisinin Belirlenmesi

- - Matematik Ö retmen Adaylar n n Limit Kavram n Ö renmelerinde Yap land rmac Ö renme Ortam n n Etkisinin Belirlenmesi Esra BUKOVA-GÜZEL* Özet Bu çal flman n amac limit kavram n n oluflturulmas na katk sa layacak, yap land rmac ö renme yaklafl m na uygun bir ö renme ortam tasarlamak, böylece ö rencilerin limit kavram n daha kolay ö renmelerini sa lamakt r. Araflt rma kontrol gruplu ön test-son test modeline dayal yar deneysel bir çal flmad r. Deney ve kontrol gruplar analiz-i dersini alan ö renciler aras ndan seçilmifltir. Limit kavram n n ö renilme düzeyinin ölçümünde çal flma yapraklar kullan lm flt r. Verilerin analizinden tasarlanan ortam n ve haz rlanan etkinliklerin, kavram n ö renilmesinde olumlu katk sa lad görülmüfltür. Deney grubu deneklerinin limit kavram ile günlük yaflam iliflkilendirmede daha baflar l olduklar ve limit kavram n anlamland rmada daha az s - k nt yaflad klar belirlenmifltir. Buna karfl l k delta-epsilon yaklafl m n kullanarak fonksiyonun bir noktas ndaki limitinin varl n göstermede deneklerin zorland klar gözlenmifltir. Bu çal flman n, matematiksel kavramlar n oluflturulmas için ö renme ortamlar tasarlan rken yol gösterece i düflünülmektedir. Anahtar Kelimeler Yap land rmac Ö renme Yaklafl m, Yap land rmac Ö renme Ortam Tasar m, Limit Kavram, Ö renme Etkinlikleri, Çal flma Yapraklar. *Dokuz Eylül Üniversitesi, Buca E itim Fakültesi, Ortaö retim Fen ve Matematik Alanlar E itimi Bölümü Matematik E itimi Anabilim Dal Ö retim Görevlisi. Kuram ve Uygulamada E itim Bilimleri / Educational Sciences: Theory & Practice 7 (3) Eylül / September 2007 1155-1198 2007 E itim Dan flmanl ve Araflt rmalar letiflim Hizmetleri Tic. Ltd. fiti.

Ö r. Gör. Dr. Esra BUKOVA-GÜZEL Dokuz Eylül Üniversitesi Buca E itim Fakültesi Ortaö retim Matematik E itimi Anabilim Dal Buca- zmir Elektronik Posta: esra.bukova@deu.edu.tr Yay n ve Di er Çal flmalar ndan Seçmeler Alkan, H. & Bukova-Güzel, E. (2005, Aral k). Ö retmen adaylar nda matematiksel düflünmenin geliflimi. Gazi Üniversitesi E itim Fakültesi Dergisi, 3, 221-236. Bukova-Güzel, E., & Alkan, H. (2005). Yeniden yap land r lan ilkö retim program pilot uygulamas n n de erlendirilmesi. Kuram ve Uygulamada E itim Bilimleri Dergisi 5 (2), 385-420. Bukova-Güzel, E. & Elçi, A. N. & Alkan H. (2006, Nisan). Yap land rmac ö renme ortam nda fonksiyon kavram n n ö renilmesine yönelik etkinlikler. E itimde Ça dafl Yönelimler-III: Yap land rmac l k ve E itime Yans malar Sempozyumu nda sunulan bildiri, Tevfik Fikret Lisesi Okullar, zmir. Bukova E. (2006). Ö rencilerin limit kavram n alg lamas nda ve di er kavramlarla iliflkilendirmesinde karfl laflt klar güçlükleri ortadan kald racak yeni bir program gelifltirme. Yay mlanmam fl doktora tezi, Dokuz Eylül Üniversitesi, E itim Bilimleri Enstitüsü. Bukova-Güzel, E. & Alkan H. (2006, June). Constructing limit concept by using 7E learning cycle model. Paper presented at the 3th International Conference on The Teaching of Mathematics at The Undergraduate Level, Istanbul, Turkey. Bukova-Güzel, E. & Elçi, A. N. & Alkan H. (2006, Eylül). Çok yönlü etkinlik yaklafl mlar ile matematiksel kavram oluflturma. VII. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik E itimi Kongresi nde sunulan bildiri, Gazi Üniversitesi, Ankara.

Matematik Ö retmen Adaylar n n Limit Kavram n Ö renmelerinde Yap land rmac Ö renme Ortam n n Etkisinin Belirlenmesi* Esra BUKOVA-GÜZEL Ülkemizde özellikle son y llarda Yap land rmac Ö renme Yaklafl m (YÖY) na büyük bir önem verilmifltir. Bu kan iki ana nedene dayanmaktad r. Bunlardan ilki ilkö retim ve ortaö retim ders programlar n n gelifltirilme çal flmalar nda program anlay fl olarak YÖY ün temel al nmas ikincisi de farkl alanlarda çal flan e itimcilerin YÖY ile ilgili yapt araflt rma say s n n artmas d r. Çal flman n bafl nda YÖY ü zihnimizde canland rmaya çal flal m. Bunun için somut bir modelden yola ç kal m. Seçti imiz model yap-boz olsun (Bukova, 2006). Burada amaç kendi içinde tutarl, anlaml ve biraz da estetik bir resim oluflturmakt r. Resmi oluflturabilmek için çok say da parça ve o parçalar n içine yerlefltirildi i bir ortam kullan lmal d r. Sonuçta parçalar n tek tek anlamlar n yitirdi i bir resmi ortaya ç karmak amaçlanmaktad r. Büyük olas l kla resme bakanlar tek tek parçalar görmeyecek ya da göremeyeceklerdir. Çünkü yeni bir yap ortaya ç km flt r ve görünen yaln zca odur. Tek tek parçalar n her biri ve yerlefltirildikleri ortam ödevini yapm fl birer araç olarak kalm fllard r (bk. fiekil 1). Kendisine verilen bir yapbozu tamamlamaya çal flan kimseler, tamamlama basamaklar süresince hep bir fley oluflturma amac na yönelik çal flmalar n sürdürürler ve onu oluflturduklar nda kendilerini baflar l sayarlar. Ayn yaklafl m n ö renme ortam nda ö renciler taraf ndan uygulanmas ve sonunda yeni bir yap oluflturuluncaya kadar sürdürülmesi de gerekmektedir. Burada sonuca daha kolay ulaflabilmek için ayn yapboz üzerinde de il ama baflka yap-bozlar ile denemeler yapm fl olmak önemli bir kazan m olarak düflünülebilir. En az ndan bireye * Bu çal flma Dokuz Eylül Üniversitesi E itim Bilimleri Enstitüsü nde Prof. Dr. Hüseyin ALKAN dan flmanl nda yap lan doktora tezinin bir bölümüdür.

1158 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER yeni deneyiminde yol gösterici olabilir. Burada bir fleyin alt n yeniden çizmekte yarar vard r. Yap-boz da bütün de iflik renkli ve de iflik flekilli parçalardan oluflmaktad r ama bütün parçalar n gelifligüzel bir araya getirilmesi de ildir. Bütünü oluflturmak için parçalar aras ndaki iliflkileri çok iyi kurmak ve uyumu do ru sa lamak gerekmektedir. Bir baflka deyiflle her parça komflu parçalar ile uygun ba lant lara sahiptir, e er bu uygunluk do ru kurulamaz ise oluflturulmas amaçlanan flekil ya da resim anlams z olur. Yap-bozu tamamlayan kimseler ona anlam da verebilirler. En az ndan ne yapt klar n, nas l yapt klar n ve ne elde ettiklerini net olarak ortaya koyabilirler, baflkalar na aç klayabilirler. Daha net deyimiyle onu tan rlar, ö renirler ve gerekti inde kullanabilirler. YÖY ün matematik ö renimine uygulanabilmesinin ana nedeni de buradad r. Çünkü matematiksel kavram ve bilgilerin birbiriyle olan iliflkileri çok net ve sistematik bir yap ya sahiptir. Onlar uygun ve anlaml bir biçimde bir araya getiremezseniz yeni bir yap kurgulayamazs n z. Dolay s ile yeni bir kavram ya da bilgiyi oluflturman z ve ö renmeniz mümkün olamaz. fiekil 1. Yap-boz oluflumu Yap-bozda oldu u gibi YÖY ün uygulan fl sürecinde gerçeklefltirilen yaklafl mlarla ö rencilerin yeni bir yap oluflturmalar ve oluflturduklar yap y anlaml ö renmeleri beklenmektedir. Marlowe & Page (1998) bu tür ö renmede, Bilginin sorgulanmas, yorumlanmas ve analiz edilmesi, Bireysel ön ö renmelerin ve düflünme ile yeni kavram ve düflünce gelifltirilmesi, Ön ö renmeler ve kazan lm fl deneyimler ile yenilerinin bütünlefltirilmesi

BUKOVA / Matematik Ö retmen Adaylar n n Limit Kavram n Ö renmelerinde... 1159 basamaklar n n ç k ld n ortaya koymaktad r. Benzer olarak biraz da görsel bir yaklafl mla Bhattacharya (2003) YÖY e göre ö renmeyi fiekil 2 deki ak flla belirlemektedir. fiekil 2. Bhattacharya n n Yap land rmac Yaklafl ma Göre Ö renmeye Bak fl. Yetkin bir biyolog ve e itimci olan Piaget gelifltirdi i ö renme kuram nda YÖY e dayanan biliflsel ö renmeyi, biyolojik bir yaklafl mla organizman n uyarlay c fonksiyonu olarak görmektedir. Buna göre ö renme, bireyin dünya ile iliflkilerinde baflar l olabilmesi için çeflitli yap lar infla etmesi ve bu yap larda de ifliklikler yapmas d r (Philips & Soltis den akt. Durmufl, 2005). Özet olarak söylemek gerekirse Piaget ö renmeyi, özümleme, düzenleme ve dengeleme süreçleri ile aç klamaktad r. Bireyler var olan bilgilerini, ön ö renmelerini ve bunlar n oluflturdu u biliflsel yap lar kullanarak yeni karfl laflt klar durumlar anlamland rmaya çal fl rlar. Bu süreçte birey sürekli bir denge durumuna ulaflma çabas içinde olur. Dengeyi sa lamak için var olan anlay fl n gelifltirebilir ya da de ifltirebilir. Von Glasersfeld taraf ndan ortaya at lan ve kökeni Piaget in biliflsel ö renme kuram na dayanan radikal YÖY ise bilginin oluflturulma düflüncesini geniflletmektedir (Matthews, 1998). Von Glasersfeld radikal YÖY ü iki ilke do rultusunda oluflturmufltur. Bunlardan ilki, bilginin pasif bir flekilde al namayaca ancak bireyler taraf ndan aktif bir flekilde oluflturulaca, ikincisi ise biliflsel geliflimin yaflam deneyimlerimizi anlaml hâle getirece idir (Bodner, Klobuchar & Geelan, 2001). Sosyal YÖY ise temelde Lev Vygotsky nin ö renme kuram na dayanmaktad r. Biliflsel geliflmeyi biyolojik geliflme ile aç klama e ili-

1160 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER minde olan Piaget nin aksine Vygotsky nin yaklafl m n n ana felsefesinde ö renmeye sosyokültürel çevrenin de eklenmesi vard r. Burada ö renme, etkileflimi gerektiren sosyal bir süreç olarak görülür. Ayn zamanda ö renmenin, sosyal, tarihsel ve kültürel bir çevrede olufltu u varsay l r. Böylece bireyin davran fllar dil ve araçlar kullan larak flekillenir ve geliflir (Otting & Zwaal, 2003). K saca söylemek gerekirse bu yaklafl mda bireyin ö renmesi, arkadafllar, ö retmenleri ve daha genifl kapsam yla yaflamla etkileflim yoluyla gerçekleflir. Tüm bu yaklafl mlara ba l olarak YÖY e uygun bir ö renme ortam n n düzenlenmesi ve öne ç kar lacak yönlerin iyi tasarlanmas önemlidir. Ö renme ortam ile ilgili olarak yap lan pek çok çal flman n (Brooks & Brooks, 1993; Eggen & Kauchak, 1997; Ernest, 1995; Jonasen, 1991; Honebein, 1996; Wilson & Cole, 1991 den akt. Murphy, 1997) incelenmesi ve ortak yanlar n derlenmesi sonucunda belli ölçütler belirlenebilir. Çal flmada YÖY e uygun bir ö renme ortam oluflturulurken özet olarak afla daki ölçütlerin öne ç kar lmas yararl bulunmufltur: Ö renme sürecinin her aflamas nda gerçek yaflamdan yararlanma yollar n n aranmas na uygun olmal d r. Yaflam problemlerini çözme yaklafl mlar üzerine odaklanmaya yönelimi kolaylaflt rmal d r. Çok yönlü gösterimler ve farkl bak fl aç lar ndan yararlanarak kavramlar aras iliflkileri anlaml hâle getirilebilme yollar bulacak yap da olmal d r. Ö rencilere çok yönlü bak fl aç lar n yorumlamada yard mc olacak araç gereç ile donat lm fl olmal d r. Ö renileceklerin, ö renci taraf ndan içsellefltirilmelerine ve bunun süreklili ine uygun olmal d r. Ortamda ö renenlerin sormalar na ve sorunlar n aç klamalar na de er verilmelidir. Ö renme sürecinin her aflamas nda ö renciler, önemli kuramlar üreten düflünürler olarak görülmelidir. Ö renme ortam gruplar n birlikte çal flmalar na uygun olmal d r. Üst düzey biliflsel becerilerinin gelifltirilmesi için gerekli ö renme etkinliklerinin yap lmas na uygun olmal d r.

BUKOVA / Matematik Ö retmen Adaylar n n Limit Kavram n Ö renmelerinde... 1161 Ortam, ö rencilerin kavram yan lg lar n ve hatalar n ortaya ç karmaya ve gidermeye uygun olmal d r. Ö rencilerin ö renme sürecini benimseyece i ve söz haklar n n oldu unu hissedece i yap da olmal d r. Kuflkusuz baflka çal flmalarla bu ölçütler gelifltirilebilir, geniflletilebilir ya da çal flman n ana amac do rultusunda azalt labilir. Genel anlaml bu yaklafl m n yan nda özelde YÖY ün matematiksel kavramlar n oluflturulmas nda da önemli katk lar sa lad n ortaya koyan pek çok çal flma vard r (Boaler, 1998; Bukova-Güzel & Alkan, 2004; Caprio, 1994; Durmufl, 2001; O Callaghan, 1998). Örnek olarak verilebilecek bir çal flmada, YÖY e uygun olarak düzenlenmifl ö renme ortam nda ö renim gören ö rencilerle geleneksel ö renme yaklafl m (GÖY) na göre düzenlenmifl ö renme ortam nda ö renim gören ö renciler karfl laflt r lmaktad r. Çal flman n sonunda YÖY e uygun düzenlenmifl ö renme ortam nda ö rencilerin, ö renmeye daha iyi güdülendikleri, daha heyecanla matematik ö renmek istedikleri, matemati i gerçek yaflama daha iyi uygulayabildikleri, karfl cinsle iletiflim kurmada daha baflar l olduklar ve problem çözmeye daha yatk n olduklar sonuçlar na ulafl lm flt r (Boaler, 1998). Caprio (1994) nun yürüttü ü benzer bir çal flmada ise ö rencilerin bafllang çta ayn akademik yeteneklere, ön ö renmelere sahip olmalar na ra men uygulama sürecinde ayn ölçme arac ile yapt ölçümler sonunda YÖY e dayal ö renim gören ö rencilerin, belirgin bir flekilde daha iyi notlar ald klar n, bilgilerinden daha emin ve çal flmak için daha istekli olduklar n, ö renmelerinde daha fazla sorumluluk üstlendiklerini belirlemifltir. Bir baflka çal flmada da GÖY e dayal cebir s n flar n n, YÖY e dayal bilgisayar a rl kl cebir s n flar na dönüfltürülmesi ile problem çözmede, modellemede, yorumlamada, matematiksel dönüflümlerde ve kavramlara iliflkin daha zengin anlay fl gelifltirmede baflar n n artt görülmüfltür (O Callaghan, 1998). Yap lan çal flmalar incelendi inde hâlâ YÖY ün farkl matematiksel kavramlar n oluflturulmas nda ne gibi katk lar sa layaca yönlü araflt rmalara gereksinim oldu u görülmektedir. Bu nedenle önemli ancak ö renciler taraf ndan ö renilmesi güç kavramlar belirlenerek bu kavramlar n ö renilmesinde YÖY ün etkileri araflt r lmal d r düflüncesi öne ç kmaktad r. Bilindi i gibi ilkö retim düzeyinin üzerinde matematik ö renenler, ö renimlerinin her aflamas nda iki temel kavram ile karfl lafl rlar.

1162 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER Bunlardan biri say kavram di eri ise fonksiyon kavram d r. Fonksiyon kavram n n uygulamada ve üst kavramlar n oluflturulmas nda kullan labilmesi için ona iliflkin limit, türev, süreklilik ve integral kavramlar n n da ö renilmesi gerekir. Öte yandan süreklilik, türev ve integral kavramlar n n do rudan do ruya limit kavram na ba l oldu u da bilinmektedir (Sanchez, 1996). Bir baflka deyiflle bireyin limit kavram n ö renme sürecindeki her türlü s k nt s giderilmeden süreklilik, türev ve integral kavramlar n oluflturmas ve ö renmesi düflünülemez. Bunun devam nda da fonksiyonun uygulamada kullan m zorlafl r. Benzer biçimde say kavram n n geniflletilmesi de limit ile do rudan ba lant l d r ve limit kavram nda oluflmufl her tür eksiklik say kavram - n n geniflletilmesini de engeller. Daha aç kças toplama, ç karma, çarpma ve bölme ifllemlerinin temel matematik çal flmalar nda üstlendi i görevi, daha üst düzey matematikte limit üstlenir denebilir. O nedenle matematikçiler limit kavram n matemati in beflinci ifllem i olarak adland r rlar (Bukova, 2006). Özet olarak bireyin limit kavram n ö renmesinde oluflan bir yan lg, ortaya ç kan her s k nt ya da zorluk, ileri aflamalarda oluflturulacak kavramlarda, birer matematiksel hatalar kümesine dönüflebilir. Bundan kaç nman n tek yolu, limit kavram n tam ve anlaml ö renmekten geçer. Matematikte bu denli önemli bir yer tutmas na karfl n yap lan araflt rmalar, ö rencilerin limit kavram n ö renmede büyük s k nt larla karfl laflt n ortaya koymaktad r (Hofe, 1997; Sanchez, 1996) Matematik e itimcilerinin çal flmalar limit kavram n n, ö renciler taraf ndan zor anlafl lan, ö retmenler taraf ndan ise ortaya konmas zor olan bir kavram oldu unu göstermektedir (Sanchez, 1996). Yap lan bir araflt rma, analiz derslerinde ö rencilerin genelde bir fonksiyonun bir noktadaki limitini sezgisel olarak anlamland rd klar n buna karfl l k özellikle limiti tam olarak tan mlamada zorluk yaflad klar n ortaya ç karm flt r (Francis, 1992). Yap lan di er bir araflt rmada ise limit kavram n n öz olarak ne anlama geldi inin bilinmedi i ve kavramsal anlamda ö renilmesinde s k nt lar n yafland n belirlenmifltir (Hofe, 1997). Ayn araflt rma ö rencilerin, limitin ne anlama geldi ini bilmeden limit ile ilgili ifllemleri yapabildiklerini de göstermektedir. Tall ve Schwarzenberger (1978), gerçek say lar n limit kavram n n gelifltirilmesi ile nas l iliflkili oldu unu keflfetmeye çal flm fllard r. Üniversite ilk dönem ö rencilerinden seçilen bir grup

BUKOVA / Matematik Ö retmen Adaylar n n Limit Kavram n Ö renmelerinde... 1163 ö renci ile yapt klar görüflmede ö rencilerin ön deneyimleri ile limit alma sürecinde karfl laflt klar biliflsel uyuflmazl klar nas l çözümlediklerini belirlemeye koyulmufllard r. Araflt rma sonucunda ö rencilerde biliflsel uyuflmazl k oldu unu görmüfllerdir. Örne in 1 ö rencilerin 0,333 ondal k say s n n rasyonel say s na eflit oldu- 3 unu ancak 0,999 say s n n ise 1 den az oldu unu ve 1 e ancak yaklafl k olarak eflit olabilece ine inand klar n ortaya ç karm fllard r. Baflka bir çal flmada, Graham & Ferini-Mundy (1989), ö rencilerin sürekli bir f fonksiyonunun x=a noktas ndaki limitini bulmada oldukça baflar l olduklar n, bunlarla ilgili basit bir limit problemi verildi inde uygun grafik gösterimleri yard m yla da problemleri çözebildiklerini belirtmifllerdir. S ralanan s k nt lar n nedenleri çok farkl olabilir. Ancak nedenlerin bilimsel olarak ortaya ç kar labilmesi için limit kavram n n oluflturulmas nda farkl ö renme yaklafl mlar n n ve ö renme ortamlar n n denenmesi gerekir. Bunu sa layabilmek için öncelikle ö rencilerin kavramsal anlay fllar n gelifltirici yönde etkinlikler üretilmesi, bu etkinliklerin günlük yaflam gerçeklerini içerecek flekilde düzenlemeleri, teknoloji donan ml, ö rencilerin birlikte çal flabilece i ve tart flabilece i ö renme ortam n n oluflturulmas gerekir. Bu do rultuda sunulan çal flman n amac limit kavram n n oluflturulmas na katk sa layacak bir yap land rmac ö renme ortam n tasarlamak ve bu ortam n ö rencilerin limit kavram n ö renmelerine olan etkisini belirlemektir. Yöntem Araflt rma kontrol gruplu ön test-son test modeline dayal yar deneysel bir çal flmad r. Verilerin derlenmesi, belirlenen kontrol ve deney gruplar ndan yap lm flt r. Kontrol grubuna geleneksel ö renme ortam nda limit kavram n n ö retimi yap l rken deney grubunda yap land rmac ö renme ortam nda limit kavram n n ö renme etkinlikleri yard m yla oluflturulmas ve ö renilmesi sa lanm flt r. Çal flma Grubu Araflt rman n çal flma grubu, 2005-2006 ö retim y l güz döneminde zmir li ndeki bir devlet üniversitesinde ortaö retim fen ve matematik alanlar e itimi bölümü matematik e itimi anabilim dal nda,

1164 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER analiz I dersini alan 60 ö retmen aday ndan oluflmaktad r. Analiz I- A da ö renim gören ö renciler deney grubu (k z=12, erkek=19), Analiz I-B de ö renim gören ö renciler ise kontrol grubu (k z=11, erkek=18) olarak seçilmifltir. Derse kay tl ö rencilerin tümü, Anadolu ö retmen lisesi mezunudurlar. Uygulamaya bafllamadan önce deney ve kontrol gruplar nda yer alan ö rencilerin, ÖSS puanlar, ÖSS matematik netleri aç s ndan efl düzeyde olup olmad klar t-testi ile belirlenmifltir (bk. Tablo 1, 2). Test sonucunda deney ve kontrol gruplar nda yer alan ö renciler aras nda çal flman n bafllang c nda istatistiksel olarak anlaml fark olmad yani iki grubun efl düzeyde olduklar görülmüfltür. Tablo 1 Deneklerin ÖSS puan ortalamalar na göre yap lan t-testi sonuçlar Gruplar Gözlem Say s Ortalama Standart sapma Önem Denetimi n ss Deney 31 370,25 3,02 p = 0,457 Kontrol 29 369,58 3,24 Fark Önemsiz Tablo 2 Deneklerin ÖSS matematik neti ortalamalar na göre yap lan t-testi sonuçlar Gruplar Gözlem Say s Ortalama Standart sapma Önem Denetimi n ss Deney 31 38,86 1,79 p = 0,154 Kontrol 29 9,73 2,44 Fark Önemsiz Veri Toplama Araçlar Araflt rman n verileri çal flma yapraklar yard m yla derlenmifltir. Bunun için önce ölçme amaçl limit kavram na yönelik çal flma yapraklar (LKÇY) haz rlanm flt r. LKÇY ler haz rlan rken limit kavram ile ilgili belirlenen kazan mlar göz önüne al nm flt r. Örnek olmas aç s ndan bu kazan mlardan ikisi Günlük yaflamdan seçilen olay ya da olgulardan yola ç karak yaklafl m tan mlay p örneklendirir. ve Sa dan ve soldan yaklafl mlar ve yaklafl m de erleri aras ndaki iliflkiyi belirler ve örnekler. fleklindedir. Çal flmada ortaya ç - kabilecek olas aksakl klar minimuma indirgeyebilmek için bir y l önce çal flman n denekler ile ayn düzeyde olan s n flarda pilot çal flmas yap lm flt r. Pilot çal flma süresince esas uygulamada olufltu-

BUKOVA / Matematik Ö retmen Adaylar n n Limit Kavram n Ö renmelerinde... 1165 rulmas düflünülen ö renme ortam, ö renme etkinlikleri ve ölçmede kullan lacak çal flma yapraklar denenmifltir. Bu ba lamda, elde edilen verilere ba l olarak baz çal flma yapraklar n n düzenlenmesi ve anlafl lmayan noktalar n tekrar ele al nmas sa lanm flt r. LKÇY nin haz rlanmas nda ana ilke olarak dört yönlü yaklafl m kullan lm flt r. Birinci grup çal flma yapraklar nda ö rencilerin limit kavram ile günlük yaflam iliflkilendirme becerilerinin ölçümü amaçlanm flt r. kinci tür çal flma yapraklar nda amaç, ö rencilerin limit kavram n farkl yönlerden ve farkl bak fl aç lar yla tan mlay p tan mlayamad n ölçmek olarak belirlenmifltir. Üçüncü tür çal flma yapraklar ö rencilerin limit kavram n n dayand ön kavramlar bilip bilmedi ini ve limit kavram n n kavram haritas n oluflturup oluflturamad n ölçme amac yla haz rlanm flt r. Son grup çal flma yapraklar nda, ö rencilerin limit kavram ile di er bilim dallar aras nda iliflki kurup kuramad n ölçme amaçlanm flt r. Özünde çal flma yapraklar nitel veri toplama araçlar olarak gelifltirilmifltir. Ancak ö rencilerin çal flma yapraklar nda yer alan sorular cevaplarken sergiledikleri yaklafl mlar n n okunmas, kodlanmas ve baz çal flma yapraklar n n dereceli puanlama anahtar yard m yla puanlanmas sonucunda veriler nicel veri hâline dönüfltürülmüfltür (Marzano, Pickering & McTighe, 1993). Böylece elde edilen verilerin analizi kolaylaflt r larak deney ve kontrol grubu deneklerin akademik baflar lar n n karfl laflt r lmas gerçeklefltirilebilmifltir. fllem Uygulama öncesi deneklere gerekli aç klamalar yap lm fl ve gönüllü olmalar sa lanmaya çal fl lm flt r. Deneysel çal flma 2005-2006 ö retim y l güz döneminde 8 haftal k bir sürede (45 dakikal k 72 ders saatinde) gerçeklefltirilmifltir. Bu ders saatleri içerisinde hem tasarlanan ö renme ortam n n gereklilikleri yerine getirilmifl hem de LKÇY her iki gruba da uygulanm flt r. Yap land rmac ö renme ortam n n tasarlanmas ve limit kavram n n oluflturulmas nda göz önüne al nan yaklafl mlar afla da verilmektedir. Yap land rmac Ö renme Ortam n n Tasarlanmas Esas Al nan YÖY Türleri: biliflsel, radikal ve sosyal YÖY. S n f Düzeni: Deneysel çal flma, ö rencilerin ve gruplar n etkilefliminde etkili bir oturma düzeni olan U-tipi s n f düzenine göre dü-

1166 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER zenlenmifl ve ö rencilerin gruplar hâlinde çal flmalar n olanakl k - lan bir özel ö retim yöntemleri s n f nda gerçeklefltirilmifltir. Düzenlenen ortamda ö rencilerin, dörder kiflilik küçük gruplar hâlinde çal flmalar sa lanm flt r. Sosyal Etkileflim: Birlikte çal flma gruplar ile deneklerin düflünce üretmeleri, tart flma ortam oluflturarak arkadafllar n n görüfllerini ö renmeleri, farkl görüflleri yorumlamalar, görüfl de ifliklikleri durumunda anlaflabilmeleri sa lanm flt r. Deneklerin grup çal flmas nda ulaflt klar sonuçlar, di er gruplarla birlikte tart flmalar sonucunda s n fta ortak düflünce üretimi sa lanmaya çal fl lm flt r. Kullan lan Ö retimsel Stratejiler: Etkinlik ve animasyonlardan yararlanma, limit kavram n n çoklu sunumlar ndan yararlanma, ö rencileri keflfetmeye yöneltme, birlikte çal flma, araflt rma yapma, tahmin etme, tart flma, s n fland rma, analiz etme, yorumlama ve düflünce üretme ö renme ortam n n temel stratejileri olarak al nm fllard r. Ortam Araç-Gereçleri: Deneysel çal flma süresince, bilgisayar, datashow ve tepegöz gibi ö retim teknolojilerinin kullan m ile ö renme ortam zenginlefltirilmeye çal fl lm fl, böylece ö rencilerin ilgisinin çekilmesine de katk sa lanm flt r. Ö retim teknolojilerinin yard - m yla ortaya konan ö renme etkinlikleri ve animasyonlar n sunumlar n n ard ndan, ö rencilerin matematik dilini do ru kullanarak kavram ve bilgileri ifade etmeleri ve matematiksel modellere ulaflmalar istenmifltir. Ö renme sürecinde, deneklerin temel bilgi ve kavramlar tam olarak ö renebilmesi için çeflitli yaz l kaynaklardan ve internetten al nm fl çal flmalardan da yararlanmalar sa lanm flt r. Ö renme Etkinlikleri: Ö renme ortam nda sunulan baz ö renme etkinlikleri, deneklerin günlük yaflamlar nda karfl laflabilece i olaylardan seçilmifl ve görsel olarak sunulmufltur. Bu tür etkinliklerin seçim amac ö rencilerin ö renmelerinde daha anlaml olaca düflüncesine dayand r lm flt r. Sunulan yaklafl mdan yararlanarak ö rencilerin limit kavram ile günlük yaflamlar aras nda iliflki kurmas istenmifltir. Benzer olarak ö rencilerin limit kavram ile matematiksel ön ö renmeleri aras nda sa lam iliflkiler kurabilmesini amaçlayan etkinlikler kullan lm flt r. Bu yolla matematiksel bütünlü ün sa lanmas na çal fl lm flt r. Limit kavram n n di er bilim dallar ile iliflkilendirilmesi etkinliklerinde amaç, ö rencilerin bilimler aras iliflki kurma al flkanl kazanmas na katk sa lamakt r. Bu ö renme etkinlikleri üç farkl kavram karikatürü ile desteklenerek ö rencile-

BUKOVA / Matematik Ö retmen Adaylar n n Limit Kavram n Ö renmelerinde... 1167 rin limit kavram n n kritik noktalar n keflfetmeleri ve literatürde belirtilen kavram yan lg lar n tart flmalar sa lanmaya çal fl lm flt r (bk. Ek 1 ö renme etkinlikleri örnekleri). Görev Paylafl m : Çal flmalar n tüm aflamalar nda ö retim elemanlar yol göstericilik görevini üstlenmifllerdir. Sunduklar ön etkinlikler d fl nda kalan sürelerde sürekli çal flma gruplar n gezerek tart flmalar na efllik etmifllerdir. Gruplar n daha çok düflünce üretmelerine yard mc olmaya çal flm fllar, üretilen düflüncelerin paylafl lmas n sa lama yönlü çaba harcam fllard r. Tart flmalara kat l m aflamalar nda sorulan sorular do rudan cevaplama yerine karfl sorular ile ö rencileri yönlendirmeyi ye lemifllerdir. Her ö rencinin ortaya att düflüncesinin dayanaklar n isteyerek ö rencileri inand r c olmaya yöneltmifllerdir. Bunlara ek olarak ö renme süreci boyunca ö rencileri ölçerek geri bildirimler vererek onlar yönlendirmeye çal flm fllard r. Ö renciler ise süreç boyunca araflt rma yapmaya ve de iflik düflünceler ortaya koymaya çal flm fllard r. Ürettikleri düflünceleri arkadafllar ile paylaflarak kendi anlay fllar n oluflturarak ö renmede aktif bir rol üstlenmeye çal flm fllard r. Ö renmeyi ö renme, iletiflim kurarak ö renme, birlikte çal flarak ö renme ve sorumluluk alma gibi becerilerini gelifltirme çabas içine girmifllerdir. Bunlara ek olarak verilen problemleri çözmeye, koflullar de ifltirerek ve sorular sorarak verilen problemi gelifltirmeye çal flm fllard r. Bu aflamada ö retmen taraf ndan yap lan matematiksel düflünmelerini gelifltirme ve matematiksel güçlerini kullanma yönlü yönlendirmelere uyum sa lama gayreti göstermifllerdir. Ölçme-De erlendirme: Deney ve kontrol gruplar n n limit kavram na yönelik ö renme düzeyleri karfl laflt r l rken çal flma yapraklar kullan lm flt r. Çal flma yapraklar na ek olarak farkl de iflkenleri ölçmek için pek çok ölçme-arac kullan lm flt r. Ancak bu ölçme araçlar ve de erlendirme biçimleri bu çal flman n kapsam na al nmam flt r. Limit Kavram n n Dayanaklar n n Oluflturulmas nda Göz Önüne Al nan Yaklafl mlar Limit kavram n n oluflturulmas yönünde etkinlikler gelifltirilirken bu alanda yap lan önceki çal flmalar genifl ölçüde taranm fl ve onlardan yararlan lma yollar aranm flt r. Örne in Li ve Tall (1992) n ça-

1168 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER l flmas nda öne ç kar lan, limit kavram n oluflturulmas ve ö retimi için kullan labilecek üç yaklafl m; Formüllere ba l, dinamik limit tan mlamalar, Bilgisayarla say sal fonksiyonel yaklafl mlar, Bilinen δ ε tan mlamas incelenmifltir. Limit kavram n n çoklu zekâ kuram na göre oluflturulmas yönünde yap lan araflt rmalara örnek olabilecek, ö rencilerin say sal, grafiksel, sembolik ve sözlü sunumlar n birlikte kullanmalar n n vurguland, teknolojinin keflfetme ve problem çözme için bir araç olarak kullanabilece inin ortaya kondu u Mcdonald (2005) n çal flmas analiz edilmifltir. Gözden geçirilen çal flmalar n birço u limit kavram n n oluflturulmas nda ö rencilerin yaflad s - k nt lar belirleme ve giderilme yollar n arama yönündedir. Örne- in bunlardan birinde ö rencilerin daha çok Fonksiyonun bir noktadaki limitinin hesaplarken Bir noktadaki limitin varl n gösterirken Limitin fonksiyonla iliflkisinin kurarken problem yaflad klar n vurgulamaktad r (Barbé, Bosch, Espinoza & Gascón, 2005). Bu çal flmada, önceden yap lm fl çal flmalardan da yararlanarak limit kavram oluflturma sürecinde yaklaflma, komfluluk, aral k, s n r ve yaklafl k de er kavramlar temel al nm flt r. Çal flma ve etkinlikler bu alt kavramlar üzerine kurgulanm flt r. Yap lan etkinlikler sonunda ö rencilerin afla da s ralanan kazan mlara ulaflmalar beklenmifltir: Günlük yaflamdan seçilen olay ya da olgulardan yola ç karak yaklafl m tan mlamak. Farkl say dizilerini kullanarak belli bir say ya yaklafl m aç klamak. Say ekseni üzerinde seçilen sonlu bir aral ktaki bir noktaya yaklafl m aç klamak ve örneklemek. Günlük yaflam örneklerinden yola ç karak yaklafl k de er tahmin etmek ve örneklendirmek. Farkl fonksiyon grafiklerini kullanarak yaklafl m ve yaklafl k de- eri tan mlamak ve örneklemek. Fonksiyon grafikleri üzerinde seçilen bir noktada, fonksiyonun yaklafl k de erinin olup olmad n belirlemek ve örneklemek. Sa dan ve soldan yaklafl mlar ile yaklafl m de erleri aras ndaki iliflkiyi belirlemek ve fark örneklemek.

BUKOVA / Matematik Ö retmen Adaylar n n Limit Kavram n Ö renmelerinde... 1169 Yaklafl m ve yaklafl k de er aras ndaki iliflkiyi görerek limit kavram n oluflturmak. Limit kavram n n bir noktaya ba l oldu unu görmek Bir fonksiyonun bir noktadaki soldan ve sa dan limitini örneklerle aç klamak. Fonksiyonun bir noktadaki limiti ile soldan ve sa dan limiti aras ndaki iliflkiyi belirtmek. Gerçek de erlikli bir fonksiyonun bir noktadaki limitini say sal de erler kullanarak tan mlamak ve örneklendirme (girdi-ç kt çizelgesi ile). Limit kavram n günlük yaflamdan örneklerle aç klamak, x in a ya yaklafl m durumunda limitin anlam n aç klamak ve yorumlamak. Fonksiyonun bir noktadaki limitinin varl ile o noktadaki tan ml l aras nda ba lant kurmak. Tan m kümesinin bir noktas nda fonksiyonun de eri ile limitini ay rt etmek. Verilen grafik ve çizelgeleri kullanarak fonksiyonun bir noktadaki limit de erini tahmin etmek. Limitin geometrik gösterimini yapmak ve limitin geometrik gösterimi ile δ ε gösterimi aras nda iliflki kurarak ikisi aras nda bir fonksiyon tanmlamak. Ölçme araçlar de erlendirilirken de bu beklentilerin ne ölçüde gerçekleflti i temel al nm fl ve karfl laflt rmalar ayn do rultularda yap lm flt r. Bulgular Araflt rmada LKÇY ile toplanan verilerin analizleri sonucu elde edilen bulgular çal flma yapraklar n n türüne göre afla da ç kar lm flt r. Birinci tür çal flma yapraklar ndan elde edilen bulgular Deneklerin limit kavram ile günlük yaflam aras nda iliflkiyi kurma becerisini ölçme amaçl çal flma yapraklar haz rlan rken iki farkl yönde geliflimin belirlenmesi hedeflenmifltir. Bunlardan biri deneklerin farkl günlük yaflam örnekleri ile yaklafl m tan mlama ve yorumlama becerilerinin ortaya ç kar lmas, di eri ise günlük yaflamdan seçtikleri farkl örnekler üzerinde limit kavram n n kritik noktalar n göstermede, aç klamada, yaklafl m n yönünü tan mlamada sergiledikleri yaklafl m n belirlenmesidir.

1170 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER Her iki grupta yer alan denekler, yaklafl ma günlük yaflamdan örnekler verebilmifllerdir. Ancak deney grubu deneklerinin verdi i anlaml örnek say s n n, kontrol grubu deneklerininkinden daha fazla oldu u görülmüfltür. Ayn zamanda deney grubu deneklerinin yaklafl m örneklerini yorumlamada daha baflar l olduklar belirlenmifltir (bk Tablo 3 ve Tablo 4). Tablo 3 Kontrol grubu deneklerinin günlük yaflam ile yaklafl m örnekleme ve yorumlama konulu çal flma yapra na yan tlar Deneklerin Yan tlar n H z s n r n n saatte (70/80/90 ) km oldu u bir yolda araban n h z n n (70/80/90 ) km ye yaklaflmas 8 Bir araban n yoldaki çukura sa dan ve soldan yaklaflmas 5 Kart limitinin belli bir de ere yaklaflmas 11 Bir flehirden di er bir flehre yolculu a ç kan birinin varaca yere yafllaflmas 2 Da c n n da n zirvesine yaklaflmas 1 S nava haz rlanan bir ö rencinin çal flt kça çal flmas gereken konular n azalmas, çok azalmas, s f ra yaklaflmas ama hiçbir zaman s f r olmamas. 1 Tablo 4 Deney grubu ö rencilerinin günlük yaflam ile yaklafl m örnekleme ve yorumlama konulu çal flma yapra na yan tlar Deneklerin Yan tlar n S cak sobaya yaklafl m 1 p üzerinde yürüyen iki akrobat n birbirine yaklafl m 1 Kedinin suya yaklafl m 1 Farenin kapandaki peynire yaklafl m 3 Yoldaki çukura, iki araban n sa dan ve soldan yaklafl m 5 H z s n r n n saatte 70 km oldu u bir yolda araban n h z n n 70 km ye yaklaflmas 7 Biri afla dan yukar öteki ise yukar dan afla hareket eden iki asansörün 1 üçüncü kata yaklafl m ki m knat s n ayn kutuplar n birbirine yaklaflt rma. 1 Türk filmlerinde olan iki kiflinin koflarak birbirine yaklafl m. 1 Koflarlar koflarlar yavafl çekimde oldu undan birbirlerine hiç kavuflamazlar Boyu masaya yetmeyen bir çocu un masan n üzerinde duran barda almaya çal flmas her defas nda daha çok yaklafl r 1 DEU matematik ö retmenli ine giren bir ö rencinin ÖSS puan n n 365 e yaklaflmas (ama üstten). Bir uçurumun karfl taraflar nda olan iki kiflinin, uçurum kenar na yaklafl m. 3 Her kiflinin kredi kart limitinin belli olmas ve o de ere yaklaflan 4 al flverifllerin yap lmas Kim 500 milyar ister yar flmas nda sorular bildikçe paran n artmas ve 1 500 milyara yaklaflmas (daha kimse kazanamad ).

BUKOVA / Matematik Ö retmen Adaylar n n Limit Kavram n Ö renmelerinde... 1171 Tablo 3 de yirmi dokuz denekten oluflan kontrol grubundan yirmi sekizinin yan tlar ndan derlenen bilgiler verilmifltir. Eksik olan bir kiflinin yan t o gün ya s n fta olmad için ya da çal flma yapra n geri iade etmedi i için derlenememifltir. Tablo 3 ve Tablo 4 ten görülebilece i gibi deney grubundaki dokuz, kontrol grubunda ise iki denek di erlerinden farkl yaklafl m sergilemifllerdir. Ancak genel anlam yla deneklerin yaklafl m ile günlük yaflam aras nda iliflki kurmada s k nt yaflamad klar ve seçtikleri örnekleri yorumlayabildikleri söylenebilir. Afla da sunulan örneklere bakarak deneklerin yaklafl m yorumlamada baflar l olduklar da düflünülebilir. H z s n r n n saatte 70 km oldu u bir yolda araban n h z n n 70 km ye yaklaflmas. Hem 70 den büyük hem de küçük de erler olabilir ama 77 olmamal yoksa ceza yer. ki m knat s n ayn kutuplar n birbirine yaklaflt rma. M knat slar birbirine çok yaklaflt r r z ama uygulad m z kuvvet yeterli de ilse m knat slar n oluflturdu u manyetik alana ancak çok yaklaflabiliriz. Türk filmlerinde olan iki kiflinin koflarak birbirine do ru yaklafl m koflarlar koflarlar yavafl çekimde oldu undan birbirlerine hiç kavuflamazlar tam çok yaklaflt lar kavuflacaklar deriz biri vurulur. Birinci tür çal flma yapraklar n n ikici boyutunda ise deneklerden günlük yaflamdan seçtikleri farkl örnekler üzerinde limit kavram - n n kritik noktalar n göstermede, aç klamada, yaklafl m n yönünü tan mlamada yaklafl m sergilemeleri istenmifltir. Yap lan çal flmada denekler, büyük ço unlukla, limit kavram n n kritik noktalar n ortaya koymak için farkl günlük yaflam örnekleri bulabilmifllerdir (bk. Tablo 5 ve Tablo 6). Tablo 5 Kontrol grubu deneklerinin günlük yaflam ile yaklafl m örnekleme ve yorumlama konulu çal flma yapra na yan tlar Deneklerin Yan tlar n Bir kiflinin çok iyi bir dostunu tan mas. Hiçbir zaman %100 tan yamaz. 1 Kredi kartlar n n limiti. 5 Gazlar n s cakl k azald kça hacmi azal r. Ama hiçbir zaman s f r olmaz. 3 Bir flehirden di er bir flehre hareket eden bir kifli her zaman kalan yolun 6 yar s n alarak hiçbir zaman gidece i yere ulaflamaz. Otobanda bir araban n h z s n r saatte 120 km dir. 4 Araç 120 km ye yaklafl k h zla hareket eder. Saatteki h z 100 km olan bir arac n yaklafl k 10 saat hareket etti inde 3 alaca yol 1000 km ye yaklafl r. Bir ayda tüketti imiz su miktar yaklafl k 5 birim küp ise ödeyece imiz 5 fatura yaklafl k 10 milyon lirad r. Ronaldinio nun aya ndan topu almaya çal flmam bir limittir. 1 Bir binan n boyunu göz karar hesaplamada bir limittir. 1 Binaya ne kadar yaklafl rsak gerçek boya o kadar yaklafl r z. Bir günde al nan kalori miktar ve a rl k de iflimi 1

1172 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER Tablo 6 Kontrol grubu deneklerinin günlük yaflam-yaklafl m çal flma yapra na verdikleri yan tlar Deneklerin Yan tlar n Kredi kartlar n n limiti. 9 Araban n h z s n r 8 Askeri liselere giriflte boy ve kilo s n r 7 ÖSS ile üniversiteye girifl puanlar n n s n r. 4 A dan B ye hareket eden bir kaplumba an n her defas nda kalan yolun 1 yar s n alarak B ye ulaflmas. Deney grubu deneklerinden biri bu çal flma yapra na yan t vermemifltir. Tablo 5 de derlenen deney grubu deneklerinin çal flma yapraklar na yazm fl olduklar aç klama ve yorumlamalardan ilginç birkaç örnek afla da verilmifltir. Otobanda bir araban n h z s n r saatte 120 km dir. Arac n h z artt kça h z 120 km ye ulafl r. Ancak her zaman 120 km olmayabilir. Bazen 120 km den az bazen fazla bazense eflit olur. Ama her defas nda ceza yememek için 120 nin, 12 komflulu unda hareket etmek gerekir. Benim, Ronaldinio nun aya ndan topu almaya çal flmam asl nda bir limittir. Her defas nda topu almak için topa çok yaklafl r m. Ama flu futbol yetene imle onun aya ndan topu almam çok zor. Her defas nda topa çok yaklafl r m ancak topu hiçbir zaman alamam. Ben topa yaklaflmam bir yaklafl m topu al alamamam da limittir. Bir binan n boyunu göz karar hesaplamada da asl nda limit kavram kullan l yor. Örne in binaya uzak olay m bu durumda binan n boyu için tahmini bir de er söylerim: binan n boyu flu kadar. Ancak binaya do ru biraz yaklaflt mda binan n boyuna iliflkin tahminin gerçek boya daha yak n olur. Binaya ne kadar yaklafl rsam tahminim binan n gerçek boyuna o kadar yaklafl r. Bu durumda binaya ne kadar yaklafl rsak gerçek boya o kadar yaklafl r z ancak hiçbir zaman ölçüm yapmadan gerçek boyunu bilemeyiz. Kontrol grubu deneklerinin de limit ile günlük yaflam aras nda bir ölçüde iliflki kurabildikleri görülmüfltür. Ancak verdikleri örnekler, genelde biri birine benzer yap ve kal pta olmufltur. Kontrol grubu deneklerinin örneklerini yorumlamada s k nt çekmedi i, buna karfl l k de iflik örnek bulmada zorland klar söylenebilir. Genel anlam yla kontrol grubu deneklerinin seçtikleri günlük yaflam örneklerinde limit bir s n r de er olarak ele al nm flt r. Bu türde bir günlük yaflam örne i fonksiyonun bir noktas ndaki limitini anlamland rma

BUKOVA / Matematik Ö retmen Adaylar n n Limit Kavram n Ö renmelerinde... 1173 aflamas nda s k nt yaratabilir. Çünkü bu durumda, o noktadaki limit de erinin sanki fonksiyonun alabilece i en büyük ya da en küçük de er olarak düflünülme tehlikesi do abilir. Afla da sunulan örnek yaklafl mlar bu düflünceyi pekifltirmektedir. Araban n h z s n r ile ilgili örne i iki türlü oluflturabiliriz. Birincisi arabalar n h z göstergesi 240 km yi gösteriyor olsun. Bunun anlam biz devaml 240 km lik h zla gidelim de ildir. 240 km lik h za çok yaklaflabiliriz ama devaml o h zla gidemeyiz. Bir de arabalar n, otobüslerin ya da traktörlerin belli yollardaki s n rlar var. Onlar da örnek olabilir. Herkesin kredi kart limiti bellidir. Dolay s yla kifli belirlenen s n r d fl nda al flverifl yapamaz. Örne in kredi kart n n limit 500 milyon ise yapaca al flverifllerin tutar bu fiyat geçemez. 500 milyona çok yaklafl r kimi zaman 50 milyonda olur ama asla geçemez. Askerî liselere girifl s nav nda erkekler için boy uzunlu u en az 175 cm, k zlar için ise 160 cm dir. Bu uzunluklar n alt nda olanlar s - navlara giremezler girseler bile geçemezler. Ancak boyu 180 cm olanlarda s nava girebilir. Her ikisinde de alt s n rlar belli boylar bu s - n rlara yaklaflabilir ama sa dan yaklaflmal. kinci tür çal flma yapraklar ndan elde edilen bulgular Deneklerin limit kavram n farkl yönlerden ve bak fl aç lar yla tan mlay p tan mlayamad n ölçme amac yla haz rlanm fl ikinci tür çal flma yapraklar, kendi içinde çok yönlü düflünülmüfltür. Bu çal flma yapraklar n n ilkinde deneklerden, yapabildikleri ölçüde, limit kavram n farkl yönleri ile tan mlamalar ikincisinde verilen bir modelde limiti tahmin etmeleri istenmifltir. Üçüncü çal flma yapra nda fonksiyon grafiklerini inceleyerek limitin varl n görmeleri beklenirken dördüncü çal flma yapra nda limitin formal tan m n kullanarak fonksiyonun bir noktas ndaki limitinin varl n ispat etme yaklafl mlar aranm flt r. Bu grup içinde yer alan son çal flma yapra nda deneklerin görsel yap dan hareketle limiti anlamland rma düzeylerinin belirlenmesi amaçlanm flt r. Deneklerin limit kavram n farkl yönleri ile tan mlamalar yönündeki ilk çal flma yapra na verdikleri yan tlar befl aflamal incelenmifltir (bk. Tablo 7). Ö renci yan tlar, bu aflamalar n her birindeki yaklafl mlar na göre puanlanarak ölçülmüfltür. Yap lan dereceli puanlama anahtar için bir örnek afla da verilmifltir.

1174 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER Tablo 7 Deneklerin limit kavram n farkl yönleri ile tan mlama çal flma yapra yaklafl mlar n de erlendirmeye yönelik dereceli puanlama anahtar Puanlar 10 20 30 De erlendi rme Ölçütü Verilenleri düzenleme s n fland r ma Matematik dilini do ru kullanma Görsel yap y oluflturma 40 Matematiksel modelin kurulma aflamas 50 Problemi gelifltirme ve geniflletme aflamas Limit kavram n farkl yönleri ile tan mlama Verilenlere göre limit kavram n sadece sözel olarak tan mlar. Limit Limit kavram n n sözel olarak tan mlar ayn zamanda bu tan m n matematik dilini kullanarak destekler. kavram n sözel olarak tan mlar bu sözlü tan m n matematik dilini kullanarak belirtir ve bunu analitik düzlemde görsel hale getirir. Limit kavram n sözel tan mlar, sözlü ifadeyi matematik dilini kullanarak belirtir, belirttiklerini geometrik yap ile destekler ve limitin formal tan m n yapar. Yapt tan mlamay yorumlar ve farkl tan mlamalara yönelir. Tan mlamay tart fl r anlamland r r, de iflik örneklemeler yapar ve farkl uyarlamalar düflünür. Tablo 8 Deneklerinin Limit Kavram n Farkl Yönleri le Tan mlama Çal flma Yapra ndaki Baflar lar na Yönelik Frekans Da l mlar Yap lanlar Deney Kontrol Grubu Grubu Limit kavram n sadece sözel olarak tan mlama. 31 28 Limit kavram n sözel olarak tan mlama ve daha sonra sözlü 31 28 ifadeyi matematik dilini kullanarak belirtme. Limit kavram n sözel olarak tan mlama, daha sonra sözlü ifadeyi 28 25 matematik dilini kullanarak belirtme ve belirttiklerini görsel yap ile destekleme. Limit kavram n sözel tan mlama, sonra sözlü ifadeyi 22 18 matematik dilini kullanarak belirtme, belirttiklerini görsel yap yla destekleme, limitin formal tan m yapma ve aç klama. Limit kavram n sözel tan mlama, sonra sözlü ifadeyi matematik 7 9 dilini kullanarak belirtme, belirttiklerini görsel yap yla destekleme, limitin formal tan m yapma ve bir örnekleme yapma Deneklerin, dereceli puanlama anahtar yard m yla belirlenen baflar l olan yaklafl mlar n n da l mlar Tablo 8 de verilmektedir. Örnek olmas aç s ndan 10 puan alan bir ö rencinin yan t ile 50 puan alan bir ö rencinin yan t afla da sunulmaktad r. 10 puan alan ö rencinin yan t : Limit deyince akl ma ilk gelen fley yaklafl md r. Bir fonksiyonda x de- eri bir de ere yaklafl rken fonksiyonda belli bir de ere yaklafl yorsa o

BUKOVA / Matematik Ö retmen Adaylar n n Limit Kavram n Ö renmelerinde... 1175 zaman limitten söz edilir. Fonksiyon incelenirken, x de eri söz konusu de ere sa dan ve soldan yaklaflt nda fonksiyon ayn de ere yaklafl yorsa fonksiyonun bu noktada limit vard r denir. 50 puan alan ö rencinin yan t : Bir f(x) fonksiyonu ve x=a noktas verilsin. x a ya sa dan ve soldan yaklaflt nda fonksiyon L gibi bir de ere yaklafl yorsa bu fonksiyonun x=a noktas nda limitinin var oldu unu ve L ye eflit oldu unu söyleriz. K saca göstermek gerekiyor ise x a iken f(x) L. Bir fonksiyonun x=a noktas ndaki limit de erini lim f(x) L ile de gösterebiliriz. Bu eflitlik bize x a n n bir komflulu unda hareket ediyor iken f(x) x a de L nin bir komflulu unda hareket ett ini gösterir. Görüldü ü gibi limitte komfluluk, yaklafl m ve yaklafl k de er önemlidir. Bunu bir grafik üzerinde gösterebiliriz. x in a noktas n n bir komflulu unda hareket etti ini x-a <δ ve f(x) in L nin bir komflulu unda hareket etti ini f(x)-l<ε ile gösterebiliriz. Bu da bizi limitin delta-epsilon tan m na götürür. Delta ve epsilon uzakl k belirttikleri için pozitif olmk zorundad rlar. E er epsilonu, deltan n bir fonksiyonu olarak (ya da deltay epsilonun bir fonksiyonu olarak) ifade edebiliyorsak o zaman x=a noktas nda fonksiyonun limitinin L oldu unu da kan tlam fl oluruz. Örne in ayl k harcad m z su miktar na ba l olarak ödeyece imiz faturan n ne kadar olaca n bulmak istersek ilk olarak ödeyece imiz para miktar n harcanan suyun bir fonksiyonu olarak yazabilmeliyiz. Bu durumda yaklafl k 10 birim küp su kulland m z düflünürsek, su harcanan su miktar x=10 nun bir komflulu unda hareket ederken ödenecek para miktar f(x) ise L=20 nin bir komflulu unda hareket edecektir.

1176 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER Deney ve kontrol grubu deneklerinin bu bölümden ald klar puanlar aras nda istatistiksel olarak anlaml bir fark bulunup bulunmad n belirlemek için elde edilen verilere t-testi uygulanm flt r. Yap lan analiz sonuçlar na göre iki grubun ald klar puanlar aras nda istatistiksel olarak anlaml farkl l k bulunmam flt r (bk. Tablo 9). Buna ra men gruplar aras nda da lma ve y lma fark oldu u görülmüfltür. Tablo 9 dan görülebilece i gibi kontrol grubu denekleri, deney grubu deneklerine göre daha çok uç noktalara do ru yay lma göstermektedirler. Tablo 9 Deneklerin limit kavram n farkl yönleri ile tan mlama çal flma yapra ndan ald klar puanlara göre yap lan t-testi sonuçlar Gruplar Gözlem Say s Ortalama Standart sapma Önem Denetimi n S.S. Deney 31 38,38 8,98 p = 0,580 Kontrol 29 36,89 11,6 Fark Önemsiz Deneklerin limit kavram n farkl yön ve bak fl aç lar yla tan mlay p tan mlayamad n ölçme amac yla haz rlanm fl ikinci çal flma yapra- nda deneklerden verilen say dizilerinin terimlerini inceleyerek bu say dizileri ile ilgili ç kar mlar yapmalar ve nedenlerini ortaya koymalar istenmifltir. Deneklerin yan tlar Tablo 10 ve Tablo 11 de sunulmaktad r. Buradan da görülebilece i gibi genel anlam ile deneklerin çal flma yapra na verdikleri yan tlar yeterli düzeydedir. Deneklerin büyük ço unlu u, sezgisel olarak ve ön ö renmelerini de kullanarak say dizilerinin limitlerini bulabilmifllerdir. Tablo 10 1 Deneklerin n say dizisi ile ilgili ç kar mlar n Say dizisi Deneklerin Verdikleri Deney Kontrol Yan tlar ve Nedenleri Grubu Grubu Bu say dizisinin terimleri git gide küçülüyor. Çünkü pay sabit payda sürekli art yor. Bu durumda gitgide s f ra yaklafl r ama hiçbir zaman s f r olmaz Bu say dizisi terim say s artt kça 0 a yaklafl r. Her terim bir önceki terimden küçük bu flekilde sonsuza kadar devam ediyor. Yani s f ra yaklafl yor ama hiçbir zaman s f r olam yor. 1 Bu say dizisinin genel terimini n dir. Bu durumda n sonsuza giderken limiti 0 a yaklafl r. Say dizisi bu flekilde devam ederek s f ra yaklafl r. 13 15 9 7 8 5 1 2

BUKOVA / Matematik Ö retmen Adaylar n n Limit Kavram n Ö renmelerinde... 1177 Tablo 11 Deneklerin n n+1 say dizisi ile ilgili ç kar mlar n Say dizisi Deneklerin Verdikleri Deney Kontrol Yan tlar ve Nedenleri Grubu Grubu 1 Bu say dizisinin terimleri ile 1 2 aras nda de iflir. Dizinin terim say s art kça 1 e yaklaflt görülüyor. Ancak hiçbir zaman 1 olamaz. Çünkü pay paydaya eflit olamaz. 1 Bu say dizisinin ilk terimi ve bundan 2 sonraki bütün terimleri ilk teriminden büyüktür. O halde bu say dizisi sürekli art yor diyebiliriz. Sürekli art yor ve 1 e yaklafl yor. Bu say dizisinin terim say s sonsuza giderken limiti 1 dir. n Bu say dizisinin genel terimini n+1 olarak düflünebiliriz. Bu durumda terim say s artarken n sonsuza yaklafl r. Bu ifadenin de pay ve paydas n n dereceleri ve katsay lar eflit oldu u için n sonsuza giderken limiti 1 e yaklafl r. Say dizisi bu flekilde devam ederek 1 e yaklafl r. 13 15 9 7 8 5 1 2 Deneklerin limit kavram n farkl yön ve bak fl aç lar yla tan mlay p tan mlayamad n ölçme amac yla haz rlanm fl çal flma yapraklar - n n üçüncüsünde deneklerden verilen fonksiyon grafiklerini inceleyerek fonksiyonlar n x=a noktas nda limitlerinin olup olmad n bulmalar istenmifltir. Çal flma yapra nda yer alan grafikler Ek 2 de verilmifltir. Her iki grupta yer alan denekler, grafi i verilen bir fonksiyonun belirlenen bir noktas nda limitini bulmada baflar l gözükmüfllerdir. Benzer yaklafl mla denekler, çal flma yapra nda yer alan önermeyi de grafiklerden hareketle uygun flekilde yan tlam fllard r. kinci tür çal flma yapraklar n n içinde yer alan bir di er çal flma yapra nda deneklerden limitin epsilon-delta tan m n kullanarak fonksiyonun bir noktas ndaki limitinin varl n göstermeleri istenmifltir (bk. Ek 3). Soruya verilen yan tlar dereceli puanlama anahta-

1178 KURAM VE UYGULAMADA E T M B L MLER r kullanarak de erlendirilmifl ve deneklerin limitin epsilon-delta tan m n kullanabilmelerine iliflkin alm fl olduklar puanlar belirlenmifltir (bk. Tablo 12). Çal flma yapra nda dört adet fonksiyon oldu- u için her fonksiyonda yap lan ifllemler yirmi befl puan üzerinden puanlanm fl ve maksimum toplam puan yüz olarak belirlenmifltir. Tüm yan tlar aras nda deneklerin en büyük s k nt y bu sorunun cevaplanmas nda yaflad klar görülmüfltür. Kontrol grubundaki deneklerin bu aflamada, deney grubu ö rencilerine oranla daha çok zorland klar belirlenmifltir. ki grup aras nda istatistiksel olarak anlaml farkl l k bulunup bulunmad araflt r lmak amac yla uygulanan t-testi sonucunda deney grubu deneklerinin lehine anlaml fark oldu u bulunmufltur (bk. Tablo 13). Tablo 12 Deneklerin limit kavram n farkl yönleri ile tan mlama çal flma yapra yaklafl mlar n de erlendirmeye yönelik dereceli puanlama anahtar Puanlar 5 10 15 De erlendi rme Ölçütü Bir fonksiyonun verilen bir noktada limitinin varl n Delta- Epsilon Yaklafl m ile Gösterme Verilenleri düzenleme s n fland r ma Verilenlere göre deltapsilon tan m n kendi sözcükleri ile ortaya koyar. Matematik dilini do ru kullanma Delta-epsilon tan m n ifade der ve bu tan m matematik dilini de kullanarak destekler. Görsel yap y oluflturma Delta-epsilon tan m n ifade eder, bu tan m matematik dilini de kullanarak anlamland r r ve grafiksel gösterimle görsel hale getirir. 20 Matematiksel modelin kurulma aflamas Delta-epsilon tan m n ifade eder, bu tan m matematik dilini de kullanarak anlamland r r, grafiksel gösterimle tan m destekler ve deltaepsilon tan m n verilen fonksiyonlara uyarlayarak bu fonksiyonlar için deltaepsilon aras ndaki iliflkiyi bulur ve modeller. 25 Problemi gelifltirme ve geniflletme aflamas Yapt modellemeyi yorumlar, tart fl r anlamland r r, de iflik örneklemeler yapar ve farkl uyarlamalar düflünür. Tablo 13 Deneklerin delta-epsilon yaklafl m çal flma yapra ndan ald klar puanlara göre yap lan t-testi sonuçlar Gruplar Gözlem Say s Ortalama Standart sapma Önem Denetimi n S.S. Deney 31 61,72 14,32 p = 0,027 Kontrol 29 51,16 12,00 Fark Önemli Her iki grupta yer alan ö rencilerin yan tlar titizlikle incelendi inde delta-epsilon yaklafl m nda ortak s k nt lar n n oldu u görülmüfltür. Denekler bu yaklafl m yeterince anlayamay nca uygulanmas nda da