İKİ DEĞİŞKENLİ OLASILIK Rassal bir deneme yapılmakta ve farklı iki olay ile ilgilenilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. B 1, B 2,,B j olayları bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcıdır. Örnek 1: Bir reklam şirketi bir diziyi izleyen kişi sayısının ne olacağı ve izleyenlerin bazı özellikleri ile ilgili olabilir. Yapılan alan araştırması sonucunda aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. İzlenme Gelir Düzeyi Toplam Sıklığı Yüksek Orta Düşük Düzenli 0.04 0.13 0.04 0.21 Ara Sıra 0.10 0.11 0.06 0.27 Hiç 0.13 0.17 0.22 0.52 Toplam 0.27 0.41 0.32 1.00 A Olayları: İzleme Sıklığı A 1 Olayı: Diziyi Düzenli İzleme A 2 Olayı: Diziyi Ara Sıra İzleme A 3 Olayı: Diziyi Hiç İzlememe B Olayları: Gelir Düzeyi B 1 Olayı: Yüksek Gelir Düzeyi B 2 Olayı: Orta Gelir Düzeyi B 3 Olayı: Düşük Gelir Düzeyi A i olayı üzerine odaklandığımızı kabul edelim., ve bağdaşmaz olaylardır. A i olayının olasılığı, bu üç bağdaşmaz olayın olasılıklarının birleşimidir. A 2 Olayının olasılığı (Diziyi Ara Sıra İzleme) ile ilgili olduğumuzu düşünelim. Bu durumda bu olayın gerçekleşme olasılığı (rassal olarak seçilen bir kişinin diziyi ara sıra izliyor olma olasılığı), aşağıdaki gibi bulunabilir: B 3 Olayının olasılığı (Düşük Gelir Düzeyi) ile ilgili olduğumuzu düşünelim. Bu durumda bu olayın gerçekleşme olasılığı (rassal olarak seçilen bir kişinin gelir düzeyinin düşük çıkma olasılığı), aşağıdaki gibi bulunabilir: Bulunan bu olasılıklara Kenar (Marjinal) Olasılıkları adı verilmektedir. A 1, A 2,,A i olayları ile B 1, B 2,,B j olayları, ayrı ayrı olarak bağdaşmaz ve bütünü kapsayıcı olduklarından kenar olasılıkları toplamı 1 e eşit olacaktır. 1
Çoğu zaman kenar olasılıklarından ziyade koşullu olasılıklar ile ilgiliyizdir. Örneğin rassal olarak seçilen bir ailenin gelir düzeyinin yüksek olduğu bilindiğine göre, diziyi sürekli izleme olasılığı nedir? Koşullu Olasılık Rassal olarak seçilen bir ailenin gelir düzeyi düşükken diziyi ara sıra izleme olasılığı nedir? Diziyi hiç izlememe ile düşük gelir düzeyine sahip olma olayları istatistiksel olarak birbirinden bağımsız mıdır? İki olay, ancak ve ancak aşağıdaki koşulun sağlanması halinde istatistiksel olarak bağımsızdır. Bu iki olay istatistiksel olarak bağımlıdırlar. 2
Örnek 2: Bir gazete okurlarına ekonomi sayfasını düzenli olarak okuyup okumadıklarını ve aynı zamanda düzenli olarak hisse senedi alıp almadıklarını sormuştur. Hisse Senedi Alımı Ekonomi Sayfasını Okuma Düzenli Ara Sıra Hiç Evet 0.18 0.10 0.04 Hayır 0.16 0.31 0.21 a Rassal olarak seçilen bir okurun ekonomi sayfasını hiç okumama olasılığı nedir? A Olayları: Hisse Senedi Alımı A 1 Olayı: Evet, alırım. A 2 Olayı: Hayır, almam. B Olayları: Ekonomi Sayfasını Okuma B 1 Olayı: Düzenli okurum. B 2 Olayı: Ara Sıra okurum. B 3 Olayı: Hiç okumam. b Rassal olarak seçilen bir okurun hisse senedi almış olma olasılığı nedir? Gazete okurları arasından rassal olarak seçilen bir kişinin hisse senedi alıyor olma olasılığı % 32 dir. nedir? c Ekonomi sayfasını hiç okumayan bir gazete okurunun hisse senedi alma olasılığı Ekonomi sayfasını hiç okumayan okurlar arasından rassal olarak seçilen bir kişinin hisse senedi alıyor olma olasılığı % 16 dır. nedir? d Hisse senedi alan bir okurun ekonomi sayfasını hiç okumamış olma olasılığı Hisse senedi alan okurlar arasından rassal olarak seçilen bir kişinin gazetenin ekonomi sayfasını hiç okumama olasılığı % 12.5 tir. e Hisse senedi almama ile ekonomi sayfasını hiç okumama olayları istatistiksel olarak bağımsız mıdır? 3
İki olay, ancak ve ancak aşağıdaki koşulun sağlanması halinde istatistiksel olarak bağımsızdır. Bu iki olay istatistiksel olarak bağımlıdırlar. Konu tekrarı örnekleri: Bir kasabada yapılan IQ testi sonucunda, teste katılan yetişkinlerin skorları çan eğrisi şeklinde dağılmakta, ortalama skor 100 ve standart sapmada 15 değerini almaktadır. a Teste katılan yetişkinlerin yüzde kaçının skoru 55 ve 145 aralığına düşmektedir? Hatırlanacağı üzere çan eğrisi şeklinde bir dağılım söz konusu olduğunda, bir veri setinde bulunan gözlem değerlerinin % 68 i, ortalamanın bir standart sapma sağında ve solunda yer alır. Diğer bir ifadeyle, veri setinde yer alan yetişkinlerin % 68 inin IQ skorları 85 ve 115 aralığındadır. Veri setinin çan eğrisi şeklinde dağıldığı varsayımı altında, veri setinde yer alan gözlem değerlerinin % 95 i, ortalamaya 2 standart sapma mesafededir. Yani, veri setinde yer alan yetişkinlerin % 95 inin IQ skorları 70 ve 130 aralığındadır. Veri setinin çan eğrisi şeklinde dağıldığı varsayımı altında, veri setinde yer alan gözlem değerlerinin % 99.7 si, ortalamaya 3 standart sapma mesafededir. Diğer bir ifadeyle, veri setinde yer alan yetişkinlerin % 99.7 sinin IQ skorları 55 ve 145 aralığındadır. 4
RASSAL DEĞİŞKENLER Bir rassal denemenin sonuçlarına göre belirlenen sayısal değerleri alan bir değişkendir. Kesikli (Discrete) Rassal Değişkenler Bir rassal değişken yalnızca sayılabilir değerler alabiliyorsa kesiklidir. - Bir saat içerisinde berbere gelen müşteri sayısı - Bir şirketin hesaplarında bulunan hata sayısı Sürekli (Continuous) Rassal Değişkenler Bir rassal değişken belirli bir aralıktaki bütün değerleri alabiliyorsa süreklidir. - Bir ailenin yıllık geliri - Türkiye nin petrol ithalat miktarı - Yeni bir parçanın takılmasıyla bozulması arasında geçen süre A Kesikli Rassal Değişkenler ve Olasılık Dağılımları A 1 Kesikli Rassal Değişkenlerin Beklenen Değeri Kesikli bir rassal değişkenin beklenen değeri, şu şekilde tanımlanır: Bir rassal değişkenin ortalamasına beklenen değer denir ve ile gösterilir. Ancak buradaki ortalama kavramının ilk derslerde gördüğümüz merkezi eğilim ölçülerinden olan aritmetik ortalamadan farklı olduğunun altını çizmek gerekmektedir. Örnek (1): Bir yayınevi basmış olduğu kitaplardaki hata sayısı ile ilgilenmektedir. Kitapların incelenmesi sonucunda kitap sayfalarının % 81 inde hiç hata olmadığı, % 17 sinde 1 hata ve % 2 sinde de 2 hata olduğu tespit edilmiştir. Rassal olarak seçilmiş bir sayfadaki hata sayısını X rassal değişkeni ile gösterirsek, bu rassal değişkenin alabileceği değerlerin { } olduğu görülür. Bir sayfada oluşabilecek yanlış sayısının aritmetik ortalaması 1 olarak elde edilir. Ancak bu değer, mevcut rassal değişkenin dağılımını tam olarak temsil etmemektedir. Zira sayfaların % 81 inde hiç hata oluşmamış ve %2 sinde de 2 hata oluşmuştur. Rassal olarak 5
seçilen bir sayfada hata ile karşılaşma olasılığı, ortalama olarak, beklenen değer ile şu şekilde hesaplanabilir: Rassal olarak sayfalar sürekli incelendiğinde sayfa başına ortalama 0.21 hata bulmayı bekleyebiliriz. A 2 Kesikli Rassal Değişkenin Standart Sapması Kesikli rassal bir değişkenin varyansı ve standart sapması da hesaplanabilir: [( ) ] Kitap sayfalarındaki hata örneğimize geri dönecek olursak, aynı değerler için varyans ve standart sapmayı hesaplayalım: Standart sapma, varyansın pozitif karekökü olacaktır: A 3 Ortak Dağılımlı Kesikli Rassal Değişkenler X ve Y kesikli iki rassal değişken olsun. Bunların Ortak Olasılık Fonksiyonu, X in belirli bir x değerini, Y nin de belirli bir y değerini aynı anda olma olasılığını, x ve y ni bir fonksiyonu olarak gösterir. Örnek (2): X rassal değişkeni tüketicilerin belirli bir şehirde yiyecek satan yerlerden hoşnutluğunu, Y değişkeni de bu şehirde ikamet etme süresini temsil etsin. X rassal değişkeni, düşük hoşnutluk düzeyinden yüksek hoşnutluk düzeyine doğru { } değerlerini alsın. Y rassal değişkeni de, şayet kişi bu şehirde 6 yıldan daha az süredir ikamet ediyorsa 1, 6 yıldan daha uzun süredir ikamet ediyorsa 2 değerini alsın. Tablo (1): İkamet Süresi ve Memnuniyet Düzeyi İkamet Memnuniyet Düzeyi (X) Süresi (Y) 1 2 3 4 Toplam 1 0.04 0.14 0.23 0.07 0.48 2 0.07 0.17 0.23 0.05 0.52 Toplam 0.11 0.31 0.46 0.12 1.00 6
Rassal olarak seçilen bir tüketicinin bu şehirde 6 yıldan fazla süredir oturuyor olma ve lokantalardan hiç memnun olmama olasılığı, aşağıdaki gibi ifade edilebilir: Marjinal Olasılık Fonksiyonu Rassal değişken X in olasılık dağılım fonksiyonuna denir ve olanaklı bütün değerlerin ortak olasılıklarının toplamı ile elde edilir: Memnuniyetin tam (en yüksek) olma olasılığı, ikamet süresi değişkeni ile kesiştiği iki değerin toplamı ile elde edilir: Rassal olarak seçilen bir kişinin bu şehirde 6 yıldan az süredir oturuyor olma olasılığı da memnuniyet düzeyi değişkeninin bütün kesişim değerlerinin toplamı ile bulunur: Koşullu Olasılık Fonksiyonları X rassal değişkeni için x değeri belirlenmişken, Y rassal değişkeninin y değerini alma olasılığını y değerinin bir fonksiyonu olarak ifade eder. 7 Tablo (1) deki verilerden hareketle tüketici hoşnutluğu 2 değerini almışken oturma süresinin 1 değerini alma olasılığı, aşağıdaki gibi hesaplanabilir: Tüketicinin oturma süresinin 6 yıldan fazla olduğu bilindiğine göre, hoşnutluk düzeyinin 4 değerini alma olasılığı nedir? Bağımsızlık X ve Y rassal değişkenlerin ortak olasılık fonksiyonları, ancak ve ancak, marjinal olasılık fonksiyonlarının çarpımına eşitse X ve Y rassal değişkenleri bağımsızdır denir.
A 4 Ortak Varyans (Covariance) X ve Y rassal değişkenlerinin istatistiksel olarak bağımlı iki rassal değişken olduğunu düşünelim. Bu iki değişken arasındaki ilişkinin gücü ve özellikleri bizim için önemlidir. Farklı iki rassal değişken arasındaki ilişkiler çok farklı formlarda olabilir (kübik, conveks, konkav, parabol vs ). Bu durumda basitlik adına, iki rassal değişken arasındaki doğrusal ilişki ile ilgilenelim. Örneğin X in düşük bir değeri, ortalama olarak, Y nin düşük bir değerine; X in yüksek bir değeri, Y nin yüksek bir değerine öyle bir denk gelebilir ki bir serpilme diyagramı çizilse aralarında bir doğru çizilebilir. Rassal değişken X in ortalaması ve rassal değişken Y nin ortalaması olsun. ( X) çarpımını ele alalım. Şayet X in düşük değerleri Y nin düşük değerlerine; X in yüksek değerleri, Y nin yüksek değerlerine karşılık geliyorsa bu çarpım işleminin değerinin pozitif olması beklenir. Tersine X in düşük değerleri Y nin yüksek değerlerine; X in yüksek değerleri, Y nin düşük değerlerine karşılık geliyorsa, bu çarpımın beklenen değeri negatif olur. ( X) çarpımının beklenen değeri 0 oluyorsa, X ve Y rassal değişkenleri arasında doğrusal bir ilişki yoktur yorumunu yapabiliriz. Demek ki anakütledeki doğrusal ilişkinin bir ölçüsü olarak ( X) çarpımının beklenen değerini incelemeliyiz. ( )( ] Örnek bir uygulama olarak tüketici memnuniyeti ile ikamet süresi arasındaki ortak varyansı tablo (1) deki verilerden hareketle hesaplayalım. Öncelikle iki rassal değişkenin beklenen değerini (ortalamalarını) hesaplayalım: Ortak varyansın negatif bir değer almasının anlamı, bu şehirde ikamet süresi arttıkça lokantalardan memnuniyet düzeyinin düşmesidir. 8