İNJEKTİF MODÜLLERE GİRİŞ Ali Pancar Burcu Nişancı Türkmen
Ali PANCAR Burcu NİŞANCI TÜRKMEN İNJEKTİF MODÜLLERE GİRİŞ ISBN 978-605-364-896-3 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. 2014, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 1. Baskı: Aralık 2014, Ankara Yayın-Proje Yönetmeni: Ayşegül Eroğlu Dizgi-Grafik Tasarım: Gamze Dumlupınar Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı Baskı: Sonçağ Yayıncılık Matbaacılık Reklam San Tic. Ltd.Şti İstanbul Cad. İstanbul Çarşısı 48/48 İskitler - Ankara (0312 341 36 67) (0535 292 34 31) Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 25931 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi 0312 430 67 50-430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24-434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet:www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net
İçindekiler 1 GİRİŞ 1 1.1 Modüller................................ 1 1.2 İzomorfizma Teoremleri ve Sıfırlayanlar.............. 19 1.3 Modüllerde Zincir Koşulları..................... 25 1.4 Modüllerin Homomorfizmalar Grubu................ 32 1.5 Alıştırmalar.............................. 38 2 İNJEKTİF MODÜLLER 41 2.1 İnjektif Modüller........................... 41 2.2 Bölünebilir Modüller......................... 51 2.3 Gömülme Teoremi ve İnjektif Bürüm................ 58 2.4 Parçalanamaz İnjektif Modüller ve Asal İdealler.......... 81 2.5 Alıştırmalar.............................. 95 3 İNJEKTİF MODÜLLER VE YARI-BASİT HALKALAR 99 3.1 Yarı-Basit Modüller ve Halkalar................... 99
iv İÇİNDEKİLER 3.2 İnjektif Modüllerin Endomorfizma Halkaları............ 107 3.3 Bir Modülün Desteği......................... 119 3.4 Sonlu Gömülen Modüller...................... 121 3.5 Artinian Halkalar ve Jacobson Radikali.............. 131 3.6 Alıştırmalar.............................. 137 4 İNJEKTİF MODÜLLER VE NOETHERİAN HALKALAR 141 4.1 Noetherian Halkaların Karakterizasyonları............. 141 4.2 Bazı Önemli Sonuçlar........................ 194 4.3 Alıştırmalar.............................. 209
ÖNSÖZ Vektör uzaylarının, halkaların ve abel grublarının bir genellemesi olan modül teori alanında son yıllarda yapılan makalelerde ve Continuous and Discrete Modules, Extending Modules, Cyclic Modules and The Structure of Rings adlı kitaplarda E.Matlis in Injective modules over Noetherian rings adlı çalışmasıyla anlam kazanan injektif modüllere ve genellemelerine önemli ölçüde yer verilmektedir. 1972 yılında D.W.Sharpe ve P.Vamos un yayımlamış oldukları Injective Modules adlı eser günümüzde yapılan çalışmalara ışık tutmaktadır. Bu kitabı yazmaktaki temel amacımız injektif modüllerin temel özellikleri ve önemli halkaların injektif modüller yardımıyla karakterizasyonları hakkında bilgi ve birikim sahibi olunmasına yardımcı olmak ve günümüz çalışmalarına katkıda bulunmaktır. Bu kitabın birinci bölümünde modüllerin temel özelliklerine sadece özet niteliğinde ve diğer bölümlerde kullanılacak ölçüde yer verilmiştir. Okuyucuların temel kavramlara yabancı olmadıkları kabul edilmiştir. İkinci bölümde injektif modüller tanıtılmış ve bir modülün injektif bürümünün inşasına ulaşılmıştır. Değişmeli Noetherian halkalar üzerinde parçalanamaz injektif modüller karakterize edilmiştir. Tüm modülleri injektif olan halkaların yarı-basit olduğu üçüncü bölümde gösterilmiştir. Ayrıca bu bölümde Artinian halkaların Noetherian olduğu ispatlanmıştır. Dördüncü bölümde ise, injektif modüller yardımıyla Noetherian halkaların önemli ve kullanışlı bir karakterizasyonu elde edilmiştir. Her bölümün sonunda alıştırmalar yer almaktadır. Bu alıştırmalardan bir kısmı sıradan olmakla birlikte diğer kısmı da sonuçların genelleştirmesi niteliğindedir.
vi İÇİNDEKİLER Bu teorik kaynak kitabımızın anlaşılırlığını kolaylaştırmak için gerek konu anlatımında gerekse ispatlar yapılırken açık bir dil kullanılmıştır. Büyük emek harcanarak hazırlanan bu kitabın siz değerli okuyucular tarafından beğeniyle karşılanacağını umuyoruz. Ali PANCAR Burcu NİŞANCI TÜRKMEN
Bölüm 1 GİRİŞ 1.1 Modüller (R, +,.) cebirsel yapı olsun. (R, +) abel grup ve (R,.) yarı-grup olmak üzere r, s, k R keyfi elemanları için r(s + k) = rs + rk ve (r + s)k = rk + sk eşitlikleri gerçekleniyorsa (R, +,.) yapısına halka denir. n 1 tamsayı olmak üzere nz ve rasyonel sayılar kümesi Q alışılmış toplama ve çarpma işlemlerine göre birer halka yapısına sahiptir. R bir halka olmak üzere n n tipindeki matrislerin M(n, R) kümesi, matrislerin toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halkadır. (R, +) abel grubunun birim elemanına R halkasının sıfırı denir ve 0 R ile gösterilir. Her r R için ra = ar = r olacak şekilde a R elemanı mevcut ise, a elemanına R halkasının birim elemanı denir ve a = 1 R ile gösterilir. Bu
2 BÖLÜM 1. GİRİŞ durumda R halkasına birimli halka denir. Eğer 1 R = 0 R ise, halka sadece 0 R elemanına sahip olup halkaya aşikar halka denir. Ayrıca r, s R keyfi elemanları için rs = sr eşitliği gerçekleniyorsa R halkasına değişmeli halka denir. Aksi belirtilmedikçe R halkası denildiğinde birimli (R, +,.) halkası anlaşılacaktır. Z tamsayılar halkası birimli ve değişmeli, 2Z çift tamsayılar halkası birimli olmayan değişmeli bir halkadır. Matris halkaları, değişmeli olmayan birimli halkalar için önemli bir örnek teşkil etmektedir. R bir halka ve I R olsun. I, R halkasının bir alt grubu ve a, b I keyfi elemanları için ab I ise, I alt grubuna R halkasının alt halkası ve her r R, her a I için ra I (ar I) ise, I alt halkasına R halkasının sol (sağ) ideali denir. Her sol (sağ) ideal alt halkadır fakat tersi genellikle doğru değildir. I = { n r n Z; r, r Q} 0 r kümesi M(2, R) halkasının alt halkasıdır, fakat sol yada sağ ideali değildir. I, R halkasının hem sol hem de sağ ideali ise, I alt halkasına R nin ideali denir. R ve 0, R halkasının idealleridir. Bu ideallere R halkasının aşikar idealleri denir. R halkası değişmeli ise, her sol (sağ) ideal bir ideal yapısına sahiptir. R halkasının kendisinden farklı sol (sağ) ideallerine öz sol (sağ) ideal denir. M(2, R) halkasında I = { a b a b a, b R} kümesi, M(2, R) halkasının sol ideali olmasına rağmen sağ ideali değildir. Sağ ideal olup sol ideal olmayan alt halka örneği benzer şekilde verilebilir.
1.1. MODÜLLER 3 R halkasında keyfi alınan sol (sağ) ideallerin arakesiti de bir sol (sağ) idealdir. I 1 I 2... I n.., R halkasının sol (sağ) ideallerinin bir zinciri ise, I = i=1 alt kümesi de R halkasının bir sol (sağ) idealidir. R halka ve r R sıfırdan farklı bir eleman olsun. r r = 1 R (rr = 1 R ) olacak şekilde r R (r R) elemanı mevcut ise, r R elemanına sol (sağ) terslenebilir eleman denir. r r = 1 R ve rr = 1 R ise, r = r olup r R ye terslenebilir eleman ve r R elemanına da r R elemanının tersi denir, genellikle r = r 1 ile gösterilir. Sıfırdan farklı her elemanı terslenebilir olan bir R halkasına bölme halkası denir. I, R halkasının sol (sağ) ideali olsun. I sol (sağ) terslenebilir eleman içeriyorsa, I = R dir. R halka ve 0 R r R olsun. rs = 0 R (sr = 0 R ) olacak şekilde R halkasının sıfırdan farklı bir s R elemanı mevcut ise, r R elemanına sol (sağ) sıfır bölen eleman denir. R halkası sol (sağ) sıfır bölen içermiyorsa R halkasına sol (sağ) sıfır bölensiz halka denir. Sol ve sağ sıfır bölensiz halkaya sıfır bölensiz halka denir. Birimli ve sıfır bölensiz bir R halkasına bölge denir. n asal olmayan bir tamsayı olmak üzere Z n halkası ve bir matris halkası sıfır bölen elemana sahiptir. R birimli ve değişmeli halka olsun. R halkasının sıfırdan farklı öz ideali yoksa R halkasına cisim denir. Her cisim bölme halkasıdır. Değişmeli bölme halkası cisimdir. n 2 tamsayı olmak üzere M(n, R) halkasının determinantı sıfırdan farklı olan elemanlarının kümesi GL(n, R) cisim olmayan bölme halkasıdır. Ayrıca R cisim iken matrisler halkası M(n, R) öz ideale sahip değildir. R değişmeli bölge ve = S R olsun. r, s S keyfi elemanları için rs S
4 BÖLÜM 1. GİRİŞ ise, S kümesine R halkasının çarpımsal kapalı alt kümesi denir. S, R nin bir çarpımsal kapalı alt kümesi ve 0 R R S olsun. (r, s), (u, v) R S keyfi elemanları için (r, s) (u, v) rv us = 0 R ile tanımlı bağıntısı R S üzerinde bir denklik bağıntısıdır. Buradan (r, s) R S elemanının denklik sınıfını r s ile gösterelim ve R S nin tüm denklik sınıflarının kümesi R S olsun. Bu takdirde r s, u v R S keyfi elemanları için (1) r s = u v olması için gerek ve yeter koşul en az bir a S için a(rv us) = 0 R olmasıdır, ve (2) a S keyfi elemanı için ar as = r s dir, (3) r s + u v = rv+su sv (4) r s. u v = ru sv ile tanımlı işlemlerine göre R S değişmeli bölgedir. Burada R S halkasına R halkasının S alt kümesine göre yerelleştirme halkası denir. 1 R S olsun. Bu takdirde r R için r r 1 R ile tanımlı R R S dönüşümü alınırsa R R S olduğu görülür. Eğer S = {1 R } ise, R = R S olduğu açıktır. I, R halkasının ideali olmak üzere I S = { r s r I ve s S} kümesi R S yerelleştirme halkasının idealidir ve R S değişmeli bölgesinin her ideali bu formdadır. I S = ise I S, R S değişmeli bölgesinin öz idealidir. Eğer S = R {0 R } alınırsa R S cisimdir ve R S cismine R halkasının kesir cismi denir. Z değişmeli bölgesinin kesir cismi Q rasyonel sayılar cismidir.
1.1. MODÜLLER 5 R halka ve (M, +) abel grup olsun. r R ve m M olmak üzere, r.m ile tanımlı. : R M M fonksiyonu r, s R ve m, n M keyfi elemanları için (1) r.(m + n) = r.m + r.n (2) (r + s).m = r.m + s.m (3) (r.s).m = r.(s.m) koşullarını gerçekliyorsa M ye sol R-modül denir. R birimli olmak üzere, eğer her m M için 1 R.m = m oluyorsa M sol R-modülüne üniter sol R-modül denir. Benzer şekilde üniter sağ R-modül tanımı da yapılabilir. R bir halka ve I, R halkasının sol ideali olsun. Bu taktirde I üniter sol R- modül yapısına sahiptir. Özel olarak, I = R alınırsa R halkası sol R-modüldür. Dolayısıyla modüller halkaların bir genellemesidir. Ayrıca F bir cisim olmak üzere her F -vektör uzayı bir F -modüldür. Bu kitapta modül denildiğinde üniter sol R-modüller kastedilecektir ve bir M R-modülü için, r R ve m M olmak üzere r.m yazılışı yerine rm kullanılacaktır. Ayrıca M modülünün sıfırı 0 ile gösterilecektir. M modül olmak üzere N, M abel grubunun bir alt grubu olsun. r R ve n N keyfi elemanları için rn N oluyorsa, N ye M modülünün alt modülü denir ve N M ile gösterilir. 0 ve M modülünün kendisi M nin alt modülleridir. Bu alt modüllere M modülünün aşikar alt modülleri denir. N, M modülünün kendisinden farklı bir alt modülü ise, N alt modülüne M modülünün öz alt modülü denir ve N M ile gösterilir. Ayrıca N M modüller ise, M modülüne N modülünün genişlemesi denir. Her modül kendisinin bir genişlemesidir. M bir R modülü olmak üzere A, R halkasının bir sol ideali ve K M modü-