Bağımlı Kukla Değişkenler

Bağımlı Kukla Değişkenler Bağımlı değişken özünde iki değer alabiliyorsa yani bir özelliğin varlığı ya da yokluğu söz konusu ise bu durumda bağımlı kukla değişkenler söz konusudur. Bu durumdaki modelleri tahmin etmek için dört yaklaşım vardır: -Doğrusal Olasılık Modeli -Logit Modeli -Probit Modeli -Tobit Modeli 1

Doğrusal Olasılık Modeli Y i = b 1 + b 2 X i +u i Y i = 1 Eğer i. Birey istenen özelliğe sahipse 0 Diğer Durumlarda X i = Bağımsız değişken Bu modele olasılıklı model denmesinin nedeni, Y nin X için şartlı beklenen değerinin, Y nin X için şartlı olasılığına eşit olmasıdır. E(Y i X i )=Pr(Y i =1 X i ) 2

Doğrusal Olasılık Modeli E(u i ) = 0 E(Y i X i )= b 1 + b 2 X i Y i değişkeninin olasılık dağılımı: Y i Olasılık 0 1-P i 1 P i Toplam 1 E(Y i X i ) = SY i P i =0.(1-P i ) + 1.(P i ) = P i E(Y i X i )= b 1 + b 2 X i = P i 0 E(Y i X i ) 1 3

DOM Tahminindeki Sorunlar u i hata teriminin normal dağılmayışı: Normallik varsayımının sağlanmaması durumunda tahmin ediciler sapmasızlıklarını korurlar. Nokta tahminde normallik varsayımı gözardı edilir. Örnek hacmi sonsuza giderken EKK tahmincileri çoğunlukla normal dağılıma uyarlar DOM ile yapılan istatistiksel çıkarsamalar normallik varsayımı altındaki EKK sürecine uyarlar 4

u ların Binom Dağılımlı Olması EKKY varsayımlarından biri u değerlerinin dağılımının normal olmasıdır. Bu varsayım sayesinde katsayı tahminlerinin güven aralıkları hesaplanıp, test yapılabilmektedir. DOM de u lar normal dağılmaz, binom dağılımı gösterir: Y b b X u u Y b b X Y i i i 1 2 1 2 1 ve 0 değerini aldığında Y i =1 için i 1 2 i u 1 b b X u b b X Y i =0 için i 1 2 i i u lar normal değildir. İki değerli binom dağılımlıdır. Ancak büyük örneklerde DOM güven aralıkları ve hipotez testleri geçerlidir ve EKKY normal dağılım varsayımının sağlandığı 5 kabul edilmektedir.

u i hata teriminin değişen varyanslı olması: DOM de u lar eşit varyanslı değillerdir. Bunun için kesikli bir Y değişkeni varyansından hareketle Var ( Y) ( Y Y yerine u alınarak Var ( u) ( u Y ). P( 2 i Y i u) 2 ). P( u) ( u ). P( 2 i u i ) Y i u i İhtimal=P(u i ) 0 -b 1 -b 2 X (1-P i ) 1 1-b 1 -b 2 X P i Var(u ) ( b b X) (1 P ) (1 b b X) (P ) 2 2 i 1 2 i 1 2 i Var(u i) (b1 b2x)(1 b1 b2x) Var(u i) E(Y X i)[1 E(Y X i)] P i(1 P i) 6

u nun varyansı farklıdır. u nun varyansı Y nin X için şartlı beklenen değerine bağlıdır ve sonuçta u nun varyansı X in değerine bağlı olacak ve eşit olmayacaktır. u i hata teriminin değişen varyanslı olması: Var(u i ) = P i (1-P i ) DOM nin EKKY ile tahmininde ortaya çıkan farklı varyans problemine aşağıdaki dönüşümlü modeli tahmin ederek çözüm getirmek mümkündür: Y b1 b2xi ui v v v v i i i i vi E(Y X i)[1 E(Y X i)] P i(1 P i) 7

DOM de Farklı Varyansı Önleme E(Y X i) ler bilinmediğinden bunun yerine örnek tahmini ˆi değerleri hesaplanarak konarak ˆv ler kullanılır. v Y ˆ (1 Y ˆ ) i i i ifadesinde yerine 0 E(Y i X i ) 1 varsayımının yerine gelmeyişi DOM de Y nin şartlı olasılığını gösteren E(Y X) nın 0 ila 1 arasında bulunması şarttır. Y; 0 ve 1 değerini almaktadır.bu şart Y anakütle için geçerlidir. Anakütlenin tahmincisi olmayabilir. Yˆi için geçerli Tahmini şartlı olasılıklar 0 ile 1 olmayabilir: 8

0 E(Y i X i ) 1 0 ile 1 arasında mıdır? DOM, EKKY ile elde edildikten sonra Bunlardan bir kısmı 0 dan küçük, negatif değerli ise, bunlar için Yˆi 0 değerini alır. 1 den büyük değerli ise bunlar için nin 1 e eşit olduğu kabul edilir. Dönüştürmeden sonra EKKY tekrar uygulanır ve farklı varyansın kalktığı görülebilir. Yˆi u v eşit varyanslıdır. Bu yöntem TEKKY dir. 9

Doğrusal Olasılık Modeli D i = b 1 + b 2 M i +b 3 S i +u i D i = 1 Eğer i. Kadının bir işi varsa ya da iş arıyorsa 0 Diğer Durumlarda M i = 1 Eğer i. Kadın evliyse ve diğer durumlarda 0 S i = i.kadının yıl olarak aldığı eğitim 10

D i M i S i D i M i S i 1 0 16 1 0 10 1 1 14 1 1 14 1 1 16 0 1 10 0 0 9 0 1 12 1 0 12 1 0 13 0 1 12 1 0 14 1 0 14 1 1 12 1 0 10 0 1 7 0 0 12 0 1 11 1 0 8 0 1 12 1 0 11 1 1 10 1 0 14 1 0 15 0 1 12 0 1 10 1 1 13 0 1 11 0 1 9 1 1 12 Kadının İşgücüne Katılımı Modeli: D i = 1 i.kadının bir işi varsa ya da iş arıyorsa 0 Diğer Durumlarda M i = 1 i. Kadın evliyse 0 diğer durumlarda S i = i.kadının yıl olarak aldığı eğitim 11

Kadının İşgücüne Katılımı Modeli D i = b 1 + b 2 M i +b 3 S i +u i M i = 1 Kadın evliyse ;0 diğer durumlarda ; S i = i.kadının yıl olarak aldığı eğitim Dependent Variable: D I Included observations: 30 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C -0.284301 0.435743-0.652452 0.5196 M I -0.381780 0.153053-2.494430 0.0190 S I 0.093012 0.034598 2.688402 0.0121 R-squared 0.363455 Mean dependent var 0.600000 Adjusted R-squared 0.316304 S.D. dependent var 0.498273 S.E. of regression 0.412001 Akaike info criterion 1.159060 Sum squared resid 4.583121 Schwarz criterion 1.299179 Log likelihood -14.38590 F-statistic 7.708257 Durbin-Watson stat 2.550725 Prob(F-statistic) 0.002247 12

White Heteroskedasticity Test: F-statistic 1.759076 Probability 0.168742 Obs*R-squared 6.589061 Probability 0.043265 Dependent Variable: RESID^2 Included observations: 30 Variable Coefficient Std. Error t- Statistic Prob. C -0.390620 0.700490-0.557639 0.5821 MI -0.410659 0.315325-1.302336 0.2047 MI*SI 0.036202 0.026225 1.380429 0.1797 SI 0.132421 0.116635 1.135344 0.2670 SI^2-0.007102 0.004809-1.476822 0.1522 R-squared 0.219635 Mean dependent var 0.15277 Adjusted R-squared 0.094777 S.D. dependent var 0.16180 S.E. of regression 0.153942 Akaike info criterion -0.75347 Sum squared resid 0.592452 Schwarz criterion 0.51994 Log likelihood 16.30209 F-statistic 1.75907 Durbin-Watson stat 1.963424 Prob(F-statistic) 0.16874 13

DOM de Farklı Varyansı Önleme Dependent Variable: Included observations: 30 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. 1/ v M / v S/ v D v b v b M v b S v u v i 1 2 i 3 i i D / v -0.184154 0.316834-0.581231 0.5659-0.362893 0.135229-2.683551 0.0123 0.081678 0.022231 3.674022 0.0010 R-squared 0.872710 Mean dependent var 2.190469 Adjusted R-squared 0.863281 S.D. dependent var 2.514662 S.E. of regression 0.929809 Akaike info criterion 2.786965 Sum squared resid 23.34273 Schwarz criterion 2.927085 Log likelihood -38.80448 F-statistic 92.55700 Durbin-Watson stat 2.583787 Prob(F-statistic) 0.000000 14

UYGULAMA:Cep telefonunun kullanılıp kullanılmamasını ifade eden bağımlı kukla değişken 50 kişiye yapılan anket sonuncunda yaş ve aylık ortalama gelir ile açıklanmıştır.(y=1, cep telefonuna sahip ise, Y=0 cep telefonuna sahip değilse) Kişi Y X(Gelir) Z(Yaş) Kişi Y X(Gelir) Z(Yaş) 1 1 250 23 26 0 185 21 2 1 350 21 27 1 250 21 3 0 150 23 28 1 500 21 4 1 600 22 29 1 790 23 5 1 200 22 30 1 500 22 6 0 150 20 31 1 675 22 7 1 390 27 32 1 490 22 8 0 200 18 33 1 500 21 9 0 900 25 34 1 760 21 10 0 150 18 35 1 550 26 11 0 255 18 36 1 400 24 12 0 300 20 37 1 200 21 13 1 640 25 38 0 220 21 14 1 500 27 39 1 175 23 15 1 300 22 40 1 840 21 16 0 550 19 41 1 150 23 17 1 800 18 42 1 200 23 18 1 875 21 43 1 200 23 19 0 600 17 44 1 485 23 20 0 500 20 45 1 250 21 21 0 500 19 46 1 300 20 22 1 500 21 47 1 470 19 23 1 550 22 48 1 800 23 15 24 1 750 21 49 0 250 21 25 1 225 23 50 0 130 23

Y=1, cep telefonuna sahip ise, Y=0 cep telefonuna sahip değilse; X(Gelir); Z(Yaş) Dependent Variable: Y Method: Least Squares Included observations: 50 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C -1.373086 0.585035-2.347017 0.0232 X 0.000492 0.000259 1.900372 0.0635 Z 0.086130 0.026781 3.216041 0.0024 R-squared 0.2401 Mean dependent var 0.700 Adjusted R-squared 0.207770 S.D. dependent var0.462910 S.E. of regression 0.412024 Akaike info criterion1.122653 Sum squared resid 7.978889 Schwarz criterion 1.2373 Log likelihood -25.06633 F-statistic 7.425357 Durbin-Watson stat 1.552777 Prob(F-statistic)0.001577 16

White Heteroskedasticity Test: F-statistic 2.305076 Probability 0.060504 Obs*R-squared 10.37848 Probability 0.065195 Dependent Variable: RESID^2 Included observations: 50 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C 2.341377 2.147612 1.090224 0.2815 X -0.004404 0.001530-2.878146 0.0062 X^2 1.63E-06 6.58E-07 2.475147 0.0172 X*Z 0.000132 6.84E-05 1.927924 0.0603 Z -0.116457 0.191111-0.609369 0.5454 Z^2 0.001301 0.004396 0.295915 0.7687 R-squared 0.207570 Mean dependent var0.159578 Adjusted R-squared 0.117521 S.D. dependent var 0.225222 S.E. of regression 0.211574 Akaike info criterion -0.156314 Sum squared resid 1.969602 Schwarz criterion 0.073128 Log likelihood 9.907860 F-statistic 2.305076 17 Durbin-Watson stat 2.375111 Prob(F-statistic) 0.060504

Kişi Kişi Kişi Kişi 1 0.7308 16 0.5338 31 0.8536 46 0.4970 2 0.6077 17 0.5705 32 0.7627 47 0.4944 3 0.6817 18 0.8658 33 0.6815 48 1.0012 4 0.8167 19 0.3861 34 0.8093 49 0.5586 5 0.6201 20 0.5953 35 1.1367 50 0.6718 6 0.4233 21 0.5092 36 0.8907 7 1.1442 22 0.6815 37 0.5340 8 0.2756 23 0.7922 38 0.5438 9 1.2226 24 0.8044 39 0.6939 10 0.2510 25 0.7185 40 0.8486 11 0.3026 26 0.5266 41 0.6817 12 0.4970 27 0.5586 42 0.7062 13 1.0948 28 0.6815 43 0.7062 14 1.1982 29 0.9963 44 0.8463 15 0.6693 30 0.7676 45 0.5586 Y Y Y Y 18

Dependent Variable: Y / v Method: Least Squares Sample: 1 50 Included observations: 44 Excluded observations: 6 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. 1/ v -1.960127 0.591996-3.311048 0.0019 X / v 0.000468 0.000170 2.754280 0.0087 Z/ v 0.114551 0.028194 4.062939 0.0002 R-squared 0.899751 Mean dependent var 1.9024 Adjusted R-squared 0.894861 S.D. dependent var 2.504969 S.E. of regression 0.812241 Akaike info criterion2.487706 Sum squared resid 27.04915 Schwarz criterion 2.609356 Log likelihood -51.72954 F-statistic 183.9907 Durbin-Watson stat 1.728717 Prob(F-statistic) 0.000000 19

DOM e Alternatif Model Arama DOM ile ilgili sayılan sorunların hepsi bir şekilde aşılabilir Ancak, DOM, P i =E(Y=1 X) olasılığının X le doğrusal olarak arttığını varsayar. Yani X deki marjinal veya küçük bir artış hep sabittir. Gerçek hayatta ise bu beklenen bir durum değildir. DOM ile ilgili sorunlar şu iki özellik sayesinde aşılabilir: 1.X i arttıkça P i =E(Y=1 X) de artar ancak 0 ile 1 aralığının dışına çıkmaması gerekmektedir. 2.P i ile X i arasındaki ilişkinin doğrusal olmaması gerekmektedir. 20

DOM e Alternatif Model Arama Yukarıdaki iki özelliği taşıyan modelin şekli aşağıda verilmiştir: 1 P KDF - 0 + X Yukarıdaki eğri kümülatif dağılım fonksiyonuna benzemektedir. Bu fonksiyon kukla bağımlı değişkenli regresyon modellerinde kullanılabilir. 21

Logit Model Logistik Dağılım Fonksiyonu 1 1 P i =E(Y=1 X) (b 1 b2x i ) 1 e e Z 1 i Z b b X 1 2 kümülatif lojistik dağılım fonksiyonudur. Zi Zi 1 1 e 1 e 1 P 1 1 Zi 1 Zi 1 Zi e e e z Pi 1 1 e. z e Bahis yada olabilirlik oranı z z 1-Pi 1 e e Bu orana ev sahibi olma lehine fark oranı denir. Lojistik modelin her iki tarafının doğal log. alındığında Pi z L ln( ) ln i i ee 1 Pi L i fark oranı logaritması olup hem X, hem parametrelere göre doğrusaldır.z değişkeni - dan + a değişirken, P 0 ile 1 22 arasında değişir. i i

Logit Model Logit modelde olasılık 1 1 P i =E(Y=1 X) (b 1 b2x i ) 1 e e Z 1 i iken. DOM de P =E(Y=1 X) b b X i 1 2 i şeklindedir. 23

Logit Model Z i, - ile + arasında değerler alırken P i nin aldığı değerler ise 0 ile 1 arasında değişmektedir. Z i ile P i arasındaki ilişki doğrusal değildir. 24

Logit Modelin Özellikleri 1. P i, 0 dan 1 e kadar değer aldığında, Logitte - ile + arasında değer alır. P i =1 P i 1 1 ln ln ln = + 1 Pi 1 1 0 P i 0 0 P i =0 ln ln ln 1 Pi 1 0 1 = - 2. Logit, X e göre doğrusal iken olasılıklara göre değildir. 3. Logit modelin b 2 katsayısı şu şekilde yorumlanır: Bağımsız değişkendeki bir birimlik değişme karşısında logitteki değişmeyi gösterir. 4. Logit model tahmin edildikten sonra, X bağımsız değişkeninin belirli bir değeri için logitin gerçekleşme olasılığı hesaplanabilir. 25

Logit Model 1.00 F(Z) 0.75 p F( Z) 1 1 e Z 0.50 Z X 1 2 0.25 0.00-8 -6-4 -2 0 2 4 6 Z Bir olayın gerçekleşme olasılığının birden büyük olması durumundan kaçınmak için olasılığın Z nin S şeklinde bir fonksiyonu olduğunu varsaymaktır. Z açıklayıcı değişkenlerin 26 fonksiyonu olarak ifade edilebilir. 2

Logit Model 1.00 F(Z) 0.75 p F( Z) 1 1 e Z 0.50 0.25 Z X 1 2 0.00 Z -8-6 -4-2 0 2 4 6 Birçok fonksiyon S şeklinde fonksiyon özelliklere sahiptir ve yukarıda gösterildiği gibi bunlardan biri de lojistik fonksiyondur. Z + sonsuza gideren, e -Z sıfıra gitmekte, ve p 1 e gitmektedir. (fakat 1 i geçmemektedir.). Z sonsuza giderken, e -Z de sonsuza gitmekte ve p de sıfıra gitmektedir (fakat sıfırın 27 altına inmemektedir.). 3

Logit Modelin EKKY İle Tahmini 1.Adım: Pi ni Ni ihtimalleri hesaplanır. 2.Adım: L ln(p 1 P ) i i i fark oranı logaritmaları hesaplanır. L ln[n (N n )] i i i i 3.Adım: Li b1 b2xi ui orijinal lojistik modeli tahminlenir. Farklı varyans durumu söz konusu ise; orijinal lojistik modelin her iki tarafı da ile çarpılarak dönüşümlü lojistik model elde edilir. v i Li b1 b2xi ui i i i 28 i v N P (1 P )

Logit Modelin EKKY İle Tahmini Farklı varyans durumu söz konusu ise; orijinal lojistik modelin her iki tarafı da ile çarpılarak dönüşümlü lojistik model elde edilir. v i vi Li b1 vi b2 vixi viui L b v b X w Dönüşümlü veya Tartılı * * 1 i 2 i i v N P (1 P ) i i i i EKK Lojistik Modeli wi ui vi 29

Logistik Model Uygulaması 300 aileden oluşan küçük bir kasabada ailelerin, yıllık gelirleri (X i ) ve ev sahibi olanların sayısı (n i ) aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. X Milyon TL) Aile Sayısı= N i Ev Sahibi Olan Aile Sayısı=n i Nispi Frekanslar P i =n i /N i 12 20 5 0.25 16 25 6 0.24 20 35 10 0.28 26 45 15 0.33 30 50 25 0.50 40 34 18 0.53 50 30 20 0.66 60 26 16 0.61 70 20 15 0.75 80 15 10 0.67 SN i = 300 Sn i = 140 30

Logistik Model Uygulaması X i 1 12 16 20 26 30 40 50 60 70 80 N i 2 20 25 35 45 50 34 30 26 20 15 n i 3 5 6 10 15 25 18 20 16 15 10 P i 4=3/2 0.25 0.24 0.28 0.33 0.50 0.53 0.66 0.61 0.75 0.67 1-P i 5=1-4 0.75 0.76 0.72 0.67 0.50 0.47 0.34 0.39 0.25 0.33 P i /1- P i 6=4/5 0.33 0.31 0.39 0.49 1.00 1.13 1.94 1.56 3.00 2.03 L i 7=ln(6) -1.1086-1.1712-0.9416-0.7133 0.0000 0.1222 0.6626 0.4446 1.0986 0.7080 31

Logistik Model Uygulaması Dependent Variable: L Method: Least Squares Included observations: 10 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C -1.409706 0.215776-6.533192 0.0002 X 0.032669 0.004667 7.000011 0.0001 R-squared 0.859649 Mean dependent var -0.089870 Adjusted R-squared 0.842106 S.D. dependent var 0.835010 S.E. of regression 0.331799 Akaike info criterion 0.808280 Sum squared resid 0.880723 Schwarz criterion 0.868797 Log likelihood -2.041402 F-statistic 49.00015 Durbin-Watson stat 1.582165 Prob(F-statistic) 0.000113 32

v=n.p.(1-p) 8=2.4.5 3.75 4.56 7.05 9.95 12.50 8.47 6.73 6.18 3.75 3.31 Logistik Model Uygulaması v i 9= 8 1.9365 2.1354 2.6552 3.1543 3.5355 2.9103 2.5942 2.4859 1.9365 1.8193 L* 10=7.9-2.1468-2.5009-2.5001-2.4999 0.0000 0.3556 1.7189 1.1052 2.1274 1.2880 X* 11=1.9 23.2379 34.1666 53.1036 82.0134 106.0660 116.4130 129.7112 149.1576 135.5544 145.5472 33

Logistik Model Uygulaması L i* = -1.38056 v i + 0.03363 X i*, s= 0.8421 s(b i ): (0.2315) (0.00556), R 2 = 0.80 t= (-5.9617) (6.0424), d= 1.649, F= 36.95 Gelir bir birim arttığında, ev sahibi olma lehine fark oranının logaritması 0.033 artmaktadır. Bu fark oranına göre belli bir gelir seviyesinde ev sahibi olma olasılığı hesaplanabilir: X=40 iken vi 2.9103 X 116.4130 değerleri yukarıdaki denklemde yerine konduğunda L * =-0.10288 bulunur. ˆ ˆ P Anti L Anti Anti 1 Pˆ Pˆ 0.9022 1 Pˆ olabilirlik oranı * log log log( 0.10288) 0.9022 ˆ 0.4743 P 34

40 birim gelirli bir ailenin ev sahibi olma olasılığı %47.43 dür. Lojistik modelden, belli bir gelir seviyesinde gelirdeki bir birimlik artışın ev sahibi olma olasılığını ne ölçüde arttıracağı tahmin edilebilir: bˆ 2 (1 Pˆ) Pˆ formülünden yararlanılır. X=40 iken gelir 1 birim arttığında ev sahibi olma olasılığı [0.03363(1-0.4743)0.4743]=0.00838(%0.8) 35

UYGULAMA: Kasımpatı yaprak bitkilerini öldüren bir ilaçtan 1 Lt suya konan dozlar (X, Miligram), yaklaşık 50cl. lik bit grupları(n i ) üzerine sıkılmış ve ölen bit sayısı (n i ) aşağıdaki gibi tesbit edilmiştir: Doz(Litre başına mg) X Gruplardaki yaprak biti sayısı (N i ) Ölen (n i ) L i 2.6 50 6-1.99 3.8 48 16-0.69 5.1 46 24 0.09 7.7 49 42 1.79 10.2 50 44 1.99 Bu verilerle ilgili Logit tahmin modeli aşağıdaki gibidir: 36

Dependent Variable: LI Method: Least Squares Included observations: 5 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C -2.850133 0.602091-4.733723 0.0179 X 0.525044 0.092785 5.658686 0.0109 37

a) Katsayı tahminlerini yorumlayınız b) X=7.7 miligram doz seviyesinde ölüm ihtimali P yi hesaplayınız. P i Li ln( ) 2.85 0.525X 1 Pi P i Li ln( ) 2.85 0.525(7.7) 1.192 1 Pi P 1 P i ln( ) 1.1925 P i i 1 P 2.83 i P 0.739 i 38

Probit Model Bağımlı kukla değişkenli modellerden kümülatif lojistik fonksiyonundan farklı olarak, normal kümülatif dağılım fonksiyonunu kullanan PROBİT(NORMAL) vardır. F(z)= 0 Z 1 e 2 2 2 ( Z ) / 2 z P R O B İ T (NORMAL) MODEL Probit modeli şu şekilde tanımlayabiliriz: Herhangi bir i hanesinin ev sahibi olma veya olmama kararının gözlenemeyen bir fayda indeksi I i ye bağlı olduğunu varsayalım. 39

I i, bağımsız değişkenlere bağlıdır. Örneğin X i (gelir)değişkeni. I i = b 1 + b 2 X i Y=1 hane ev sahibi Y=0 hane ev sahibi değil. Her hane için I i nın belli bir değerinden itibaren ev sahibi olma durumu söz konusudur.i i değeri, I i * değerini aştığı zaman hane, ev sahibi olacak aksi durumda olmayacaktır. I i * I i ifadesi faydanın belli bir eşik değerinden sonra söz konusu olabileceğini gösterir. I i * başlangıç değeri de I i gibi gözlenemez. Ancak, aynı ortalama ve varyanslı normal dağıldığı varsayılarak I i değerleri yukarıdaki regresyon denkleminden tahmin edilir. Tahminciler bulunur. Normal dağılım varsayımıyla I * i ın I i den küçük veya eşit olma olasılığı aşağıdaki standartlaştırılmış normal KDF ile hesaplanabilir: (1) 40

P i =Pr(Y=1)=Pr(I i* I i )=F(I i ) 1 I i t 2 / 2 1 e dt 2 2 b 2 1 b2x i t / e 2 dt (2) =Standartlaştırılmış Normal KDF t N(0,1) =standartlaştırılmış normal değişken P i =Bir ev sahibi olma olasılığı. 41

Probit Model P i =F(I i ) 1 0 - + P i =F(I i ) P i 1 I i = b 1 + b 2 X i I i * <=I i verilmişken ev sahibi olma olasılığı P i ordinatta bulunur P i P i verilmişken, absiste I i bulunur. 0 - + I i =F -1 (P i ) 42

I i yı bulabilmek için 2 no lu ifadenin tersi alınmalıdır. I i = F -1 (I i )= F -1 (P i )=b 1 +b 2 X i =Probit model F -1 : normal kümülatif dağılım fonksiyonunun tersi. 43

1. P i = n i /N i hesaplanır. Probit Modelin Tahmin Aşamaları 2. I i = F -1 (P i )= normal eşdeğer sapma bulunur. 3. I i = b 1 + b 2 X i + u i EKK ile tahmin edilir. 4. İstenirse, I i yerine, (I i + 5)=probit değerleri alınarak, EKKY ile (13.19) tahmin edilir. 5. modelinin hata terimi u i farklı varyanslıdır. Bu sebepten dönüşümlü değerler alınarak TEKKY uygulanabilir:= 44

2 u P i ( 1 Pi ) N f i i f i = F -1 (P i ) ifadesine eşit standart normal yoğunluk fonksiyonudur. 6. Büyük örnekler için b i 'lerin güven aralıkları ve hipotez testleri uygulanarak, anakütlede durumun geçerliliği araştırılabilir. 7. Belirlilik katsayısı R 2, modelin fonksiyonel biçiminin iyi seçilip seçilmediği konusunda bize fikir vermez. 45

Probit Model Uygulaması P i 0.25 I i =F -1 (P i ) -0.6745 Probitler=Z i =(I i +5) 4.3255 X i 12 0.24-0.7063 4.2937 16 0.28-0.5828 4.4172 20 0.33-0.4399 4.5601 26 0.50 0.0000 5.0000 30 0.53 0.0752 5.0752 40 0.66 0.4124 5.4124 50 0.61 0.2793 5.2793 60 0.75 0.6745 5.6745 70 0.67 0.4399 5.4399 80 46

Probit Model Uygulaması I i = -0.8587 + 0.0200 X i, r 2 = 0.8628 r= 0.9289 s(b i ) (0.0028) s= 0.2 d= 1.59 t= (7.094) Z i = 4.1324 + 0.0201 X i, r 2 = 0.8621 r= 0.9285 s(b i ) (0.0028) s= 0.2 d= 1.5637 t= (7.071) 47

Wooldridge Example 17.1 inlf kidslt6 kidsge6 age educ exper nwifeinc expersq Obs: 753 1. inlf =1 işgücüne katılıyorsa 2. kidslt6 6 < yaşında küçük çocuk sayısı 3. kidsge6 6-18 yaşları arasındaki çocuk sayısı 4. age kadının yaşı 5. educ eğitim yılı 6. exper deneyim 7. nwifeinc (ailegeliri ücret*saat)/1000 8. expersq deneyimkare 48

Wooldridge Example 17.1-DİM Dependent Variable: INLF Method: Least Squares Included observations: 753 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. NWIFEINC -0.003405 0.001448-2.350840 0.0190 EDUC 0.037995 0.007376 5.151194 0.0000 EXPER 0.039492 0.005673 6.961866 0.0000 EXPERSQ -0.000596 0.000185-3.226959 0.0013 AGE -0.016091 0.002485-6.476014 0.0000 KIDSLT6-0.261810 0.033506-7.813888 0.0000 KIDSGE6 0.013012 0.013196 0.986077 0.3244 C 0.585519 0.154178 3.797683 0.0002 R-squared 0.264216 Mean dependent var 0.568393 Adjusted R-squared 0.257303 S.D. dependent var 0.495630 S.E. of regression 0.427133 Akaike info criterion 1.147124 Sum squared resid 135.9197 Schwarz criterion 1.196251 Log likelihood -423.8923 F-statistic 38.21795 Durbin-Watson stat 0.493840 Prob(F-statistic) 0.000000 49

Wooldridge Example 17.1-LOGİT Dependent Variable: INLF Method: ML - Binary Logit Included observations: 753 Variable Coefficient Std. Error z-statistic Prob. NWIFEINC -0.021345 0.008421-2.534621 0.0113 EDUC 0.221170 0.043440 5.091443 0.0000 EXPER 0.205870 0.032057 6.422002 0.0000 EXPERSQ -0.003154 0.001016-3.104093 0.0019 AGE -0.088024 0.014573-6.040235 0.0000 KIDSLT6-1.443354 0.203585-7.089695 0.0000 KIDSGE6 0.060112 0.074790 0.803750 0.4215 C 0.425452 0.860369 0.494500 0.6210 Mean dependent var 0.568393 S.D. dependent var 0.495630 S.E. of regression 0.425963 Akaike info criterion 1.088354 Sum squared resid 135.1762 Schwarz criterion 1.137481 Log likelihood -401.7652 Hannan-Quinn criter. 1.107280 Restr. log likelihood -514.8732 Avg. log likelihood -0.533553 LR statistic (7 df) 226.2161 McFadden R-squared 0.219681 Probability(LR stat) 0.000000 Obs with Dep=0 325 Total obs 753 Obs with Dep=1 428 50

Wooldridge Example 17.1-PROBİT Dependent Variable: INLF Method: ML - Binary Probit Included observations: 753 Variable Coefficient Std. Error z-statistic Prob. NWIFEINC -0.012024 0.004840-2.484327 0.0130 EDUC 0.130905 0.025254 5.183485 0.0000 EXPER 0.123348 0.018716 6.590348 0.0000 EXPERSQ -0.001887 0.000600-3.145205 0.0017 AGE -0.052853 0.008477-6.234656 0.0000 KIDSLT6-0.868329 0.118522-7.326288 0.0000 KIDSGE6 0.036005 0.043477 0.828142 0.4076 C 0.270077 0.508593 0.531027 0.5954 Mean dependent var 0.568393 S.D. dependent var 0.495630 S.E. of regression 0.425945 Akaike info criterion 1.087124 Sum squared resid 135.1646 Schwarz criterion 1.136251 Log likelihood -401.3022 Hannan-Quinn criter. 1.106050 Restr. log likelihood -514.8732 Avg. log likelihood -0.532938 LR statistic (7 df) 227.1420 McFadden R-squared 0.220581 Probability(LR stat) 0.000000 Obs with Dep=0 325 Total obs 753 Obs with Dep=1 428 51

UYGULAMA: Aşağıda bir okulun eğitimi ile ilgili verileri kullanarak Probit denklemini çıkartınız. GRADE: Yeni bir tekniğin uygulanması sonucu öğrencilerin başarısı PSI: Yeni Bir Ekonomi Öğretme Yöntemi GPA: Ortalama Derece TUCE: Sınav Öncesi Konu ile ilgili Bilgi SKoru 52

Dependent Variable: GRADE Method: ML - Binary Probit Included observations: 32 Convergence achieved after 5 iterations Variable Coefficient Std. Error z-statistic Prob. C -7.452320 2.542472-2.931131 0.0034 GPA 1.625810 0.693882 2.343063 0.0191 PSI 1.426332 0.595038 2.397045 0.0165 TUCE 0.051729 0.083890 0.616626 0.5375 53

Dependent Variable: GRADE Method: ML - Binary Logit Sample: 1 32 Variable Coefficient Std. Error z-statistic Prob. C -13.02135 4.931317-2.640541 0.0083 GPA 2.826113 1.262940 2.237726 0.0252 PSI 2.378688 1.064563 2.234426 0.0255 TUCE 0.095158 0.141554 0.672235 0.5014 54

D i M i S i D i M i S i 1 0 16 1 0 10 1 1 14 1 1 14 1 1 16 0 1 10 0 0 9 0 1 12 1 0 12 1 0 13 0 1 12 1 0 14 1 0 14 1 1 12 1 0 10 0 1 7 0 0 12 0 1 11 1 0 8 0 1 12 1 0 11 1 1 10 1 0 14 1 0 15 0 1 12 0 1 10 1 1 13 0 1 11 0 1 9 1 1 12 Kadının İşgücüne Katılımı Modeli: D i = 1 i.kadının bir işi varsa ya da iş arıyorsa 0 Diğer Durumlarda M i = 1 i. Kadın evliyse 0 diğer durumlarda S i = i.kadının yıl olarak aldığı eğitim 55

Logit Model Tahminleri Dependent Variable: DI Method: ML - Binary Logit Included observations: 30 Convergence achieved after 5 iterations Covariance matrix computed using second derivatives Variable Coefficient Std. Error z-statistic Prob. C -5.895933 3.324731-1.773356 0.0762 MI -2.586110 1.180162-2.191318 0.0284 SI 0.690368 0.315828 2.185899 0.0288 Mean dependent var 0.600000 S.D. dependent var 0.498273 S.E. of regression 0.399177 Akaike info criterion 1.085128 Sum squared resid 4.302237 Schwarz criterion 1.225248 Log likelihood -13.27693 Hannan-Quinn criter. 1.129954 Restr. log likelihood -20.19035 Avg. log likelihood -0.442564 LR statistic (2 df) 13.82685 McFadden R-squared 0.342412 Probability(LR stat) 0.000994 Obs with Dep=0 12 Total obs 30 Obs with Dep=1 18 56