GENLİK MODÜLASYONU Mesaj sinyali m(t) nin taşıyıcı sinyal olan c(t) nin genliğini modüle etmesine genlik modülasyonu (GM) denir. Çeşitli genlik modülasyonu türleri vardır, bunlar: Çift yan bant modülasyonu, geleneksel genlik modülasyonu, tek yan bant modülasyonu ve artık yan bant modülasyonudur. 1. Çift Yan Bant Modülasyonu 1.1 Çift Yan Bant Modülasyonlu İşaretin Üretimi Bir çift yan bant modülasyonlu işaret, mesaj işareti m(t) ile taşıyıcı sinyal olan c(t) nin çarpılması ile elde edilir. Taşıyıcı işaret, c(t) = A c. cos (2πf c t) Şeklinde ifade edilir. Çift yan bant modülasyonlu işaret ise aşağıdaki biçimdedir. Hatırlatma! Fourier Dönüşümü Kuralları x ÇYB (t) = m(t). c(t) = A c. m(t). cos(2πf c t) f c f m Frekansta Kaydırma: Zaman alanında bir sinyal e jw ot ile çarpılırsa frekans alanında bu sinyal w o kadar kayar. x(t)e jw ot X(w w o ) İkililik: Fourier dönüşümü alındıktan sonra zaman yerine frekans, frekans yerine zaman yazılması ile elde edilen ifade aşağıdaki gibidir. X(t) = 2πx( w) Birim darbe fonksiyonunun Fourier dönüşümü: δ(t) 1 Çıkarım: Eğer birim darbe fonksiyonuna Fourier dönüşümünün ikililik kuralı uygulanırsa, 1 2πδ(w) Elde edilir. Şimdi bu sinyali e jw ot ile çarparsak, e jw ot. 1 2πδ(w w o ) Elde ederiz. Dolayısıyla e jw ot sinyalinin Fourier dönüşümünü bulmuş olduk. Sonuç: e jw ot 2πδ(w w o ) w = 2πf, w o = 2πf o alınır ve birim darbe fonksiyonun ölçekleme özelliği kullanılırsa; e j2πf ot δ(f f o ) elde edilir. 1
Elde edilen çift yan bant işaretinin frekans analizini yapalım. Zaman alanında yapılan çarpma işleminin frekans alanında konvolüsyon almak anlamına geldiğini öğrenmiştik. O halde x ÇYB (t) işaretinin Fourier dönüşümünü alarak frekans alanında konvolüsyon yapalım. cos(2πf c t) = ej2πf ct + e j2πf ct Olduğundan taşıyıcı işaretin Fourier dönüşümü; A c cos(2πf c t) A c 2 [δ(f f c) + δ(f f c )] Biçiminde olur. Mesaj işareti olan m(t) sinyalinin Fourier dönüşümü de M(f) olursa çift yan bant modülasyonlu işaretin frekans alanındaki ifadesini konvolüsyon yardımıyla aşağıdaki gibi elde edebiliriz. X ÇYB (f) = M(f) A c 2 [δ(f f c) + δ(f f c )] = A c 2 [M(f f c) + M(f f c )] Çift yan bant modülasyonu grafik üzerinde aşağıda özetlenmiştir. 2 Örnek: Modüle edici mesaj sinyali m(t) aşağıdaki gibi sinüzoidal formda verilmiş olsun. m(t) = a. cos(2πf m t) f m f c Çift yan bant genlik modülasyonu yapılması durumunda genlik spektrumu nasıl olur? Alt ve üst yan bant genlik spektrum grafiklerini ayrı ayrı çiziniz. Hatırlatma! cos(a). cos(b) = 1. [cos(a + B) + cos (A B)] 2 2
Çözüm: Çift yan modülasyonlu işaretin zaman alanındaki ifadesini yazalım, Bu işaretin Fourier dönüşümü alınırsa, x ÇYB (t) = A c. a. cos(2πf m t). cos(2πf c t) = A c. a 2 cos(2π(f c f m )t) + A c. a 2 cos (2π(f c + f m )t) X ÇYB (f) = A c. a 4 [δ(f f c + f m ) + δ(f+f c f m )] + A c. a 4 [δ(f f c f m ) + δ(f+f c + f m )] Şeklinde elde edilir. Spektrumlar aşağıda verilmiştir. (a) Çift yan bant modülasyonlu işaretin genlik spektrumu (b) Alt yan bantların genlik spektrumu (c) üst yan bantların genlik spektrumu 1.2 Çift Yan Bant Modülasyonlu İşaretin Çözümü (Demodülasyon) Alıcı tarafından alınan modülasyonlu işaretten tekrar mesaj sinyalinin elde edilmesine demodülasyon denir. ÇYB modülasyonlu işaretlerin demodülasyonunda alınan sinyal taşıcı sinyal ile çarpılır ve daha sonra elde edilen sinyal alçak geçiren filtreden geçirilerek mesaj işareti elde edilir. Alınan sinyal,alıcıda üretilen taşıyıcı sinyal ise a(t) = A c. m(t). cos(2πf c t + θ c ) c(t) = cos(2πf c t + θ) Olsun. Bu iki sinyalin çarpılması ile aşağıda verilen ifade elde edilir. 3
d(t) = a(t). c(t) = A c. m(t). cos(2πf c t + θ c ). cos(2πf c t + θ) = 1 2 A c. m(t). cos(θ c θ) + 1 2 A c. m(t). cos(4πf c t + θ c + θ) Eğer bu işaret alçak geçiren bir filtreden geçirilirse mesaj işareti elde edilir. m (t) = 1 2 A c. m(t). cos(θ c θ) Burada mesaj işaretinin yalnız olmadığına dikkat edelim. İfadedeki cos(θ c θ) çarpanı alıcıda üretilen taşıyıcı ile modülasyonlu işaretin içinde bulunan taşıyıcı işaretin eş zamanlı olmadığını gösterir. Örneğin faz farkının 45 olduğunu varsayarsak, mesaj işareti olması gerekenden 2 kat daha az genlikte olacaktır. Faz farkı 90 olursa cos(90) = 0 olduğundan mesaj işareti elde edilemez. Dolayısıyla eş zamanlı çözüm yapmak gerekmektedir. Aşağıdaki şekilde eş zamanlı demodülatörün blok şeması verilmiştir. 2. Geleneksel Genlik Modülasyonu 2.1 Geleneksel Genlik Modülasyonlu İşaretin Üretimi Burada modülasyonlu işaret, çift yan bant modülasyonlu işaret ile taşıyıcının toplanmasıyla elde edilir. Matematiksel ifadesi şöyledir: x GM (t) = A c [1 + m(t)] cos(2πf c t) * m(t) 1 koşulu sağlandığı sürece, A c [1 + m(t)] genliği daima pozitif olacaktır. Böylece bu işaretin çözümü kolaylaşacaktır. Geleneksel genlik modülasyonlu işaretin genlik spektrumunu elde edebilmemiz için zaman alanında verilen ifadenin Fourier dönüşümünü almamız gerekmektedir. x GM (t) = A c [1 + m a. m n (t)] cos(2πf c t) X GM (f) = F{m a. m n (t)} F{A c cos(2πf c t)} + F{A c cos(2πf c t)} = m a. M n (f) A c 2 [δ(f f c) + δ(f + f c )] + A c 2 [δ(f f c) + δ(f + f c )] X GM (f) = A c 2 [m a. M n (f)(f f c ) + m a. M n (f)(f + f c ) + δ(f f c ) + δ(f + f c )] * Çift yan bant ve geleneksel genlik modülasyonunda modülasyon işaretinin bant genişliği mesaj işaretinin bant genişliğinin iki katı kadardır. Aşağıda geleneksel genlik modülasyonunun zaman ve frekans alanındaki grafikleri verilmiştir. 4
Modülasyon İndeksi Mesaj sinyalini verilen biçimde yazıp modülasyon indeksini tanımlayalım. Burada, m(t): Mesaj sinyali m n (t): Normalize edilmiş mesaj sinyali m a : Modülasyon indeksi olarak tanımlanır. Mesaj sinyalinin normalize edilmesi, m(t) = m a. m n (t) m n (t) = m(t) maks m(t) Modülasyon indeksini yerine yazarak denklemi yeniden düzenlersek, Elde ederiz. x GM (t) = A c [1 + m a. m n (t)] cos(2πf c t) Uygun bir biçimde modülasyon ve demodülasyon yapmak için modülasyon indeksi aşağıda verilen koşulu sağlamalıdır. Modülasyon indeksinin bulunması Veya 0 m a 1 m a = min (m(t)) A c m a = maks(a c) min (A c ) maks(a c ) + min (A c ) 5
Modülasyon indeksinin aldığı değerlere bağlı olarak elde edilen modülasyon işaretler aşağıda özetlenmiştir. Modülasyon indeksinin 1 den büyük olması durumuna aşırı modülasyon denir. Bu istenmeyen bir durumdur çünkü tekrar mesaj işaretini elde etmek zordur. Örnek: Mesaj işaretinin normalize bir sinüzoidal işaret olduğunu varsayalım, m n (t) = cos(2πf m t) f m f c Modülasyon indeksi a olduğuna göre geleneksel genlik modülasyonlu işareti elde ederek spektrumunu çiziniz. Alt ve üst yan bantları belirtiniz. Çözüm: İlk önce geleneksel genlik modülasyonlu işareti yazıp düzenleyelim ardından Fourier dönüşümü alarak spektrumunu çizelim. x GM (t) = A c [1 + a. cos(2πf m t)] cos(2πf c t) = a. A c cos(2πf m t) cos(2πf c t) + A c cos(2πf c t) = a. A c 2 [cos(2π(f c f m )t) + cos(2π(f c + f m )t)] + A c cos(2πf c t) Şeklinde ifade edilir. Bu işaretin Fourier dönüşümü alınırsa, 6
X GM (f) = a. A c 4 [δ(f + f c f m ) + δ(f f c + f m ) + δ(f + f c + f m ) + δ(f f c f m )] + A c 2 [δ(f + f c) + δ(f f c )] Bulunur. Bulunan bu darbe fonksiyonlarının toplamı biçimindeki ifadenin grafiğini çizecek olursak genlik spektrumunu elde etmiş oluruz. Spektrum aşağıda verilmiştir. 2.2 Geleneksel Genlik Modülasyonlu İşaretin Demodülasyonu Geleneksel genlik modülasyonunun en büyük avantajı kolay bir biçimde demodülasyonunun yapılabilmesidir. Eş zamanlı çözüme gerek kalmadan geleneksel genlik modülasyonlu işaretten ses işareti kolaylıkla elde edilebilir. Zarf Dedektörü Aşağıda verilen devre zarf dedektörü olarak çalışmaktadır. Devrede bulunan diyot modülasyonlu işareti doğrultur, direnç ve kondansatör ise doğrultulmuş sinyali filtreleyerek ses işaretini oluşturur. Zarf dedektöründe kullanılan diyotlar germanyum diyotlardır. Kullanılan direnç ve kondansatör değeri ise aşağıdaki koşula göre belirlenir. 3. Tek Yan Bant Genlik Modülasyonu 1 f m RC 1 f c Geleneksel genlik modülasyonunda ve çift yan bant modülasyonunda hem alt yan bantlar hem de üst yan bantlar iletildiğinden bant genişliği fazladan kullanılır. Çünkü mesaj işareti alt yan bantta ve üst yan bantta aynı şekilde mevcuttur. Dolayısıyla yan bantlardan birinin iletilmesi haberleşme için yeterli olacaktır. Bu modülasyon türünde yan bantlardan birinin gönderilmesi esasına dayanır. Fakat bant genişlişliği ve enerjiden kazanç sağlanırken maaliyet ve karmaşıklıktan kaybedilir. 7
3.1 Tek Yan Bant İşaretinin Üretimi 3.1.1 Frekans Eleme Yöntemi Tek yan bant işaretini elde etmenin en kolay yöntemidir. Öncelikle çift yan bant işareti üretilir ardından yan bantlardan biri filtrelenerek alınır ve iletilir. Pratikte bu zor bir işlemdir çünkü yan bantlardan birini elde edebilmek için yapılması gereken bant geçiren filtre çok keskin kesim frekansı karakteristiğine sahip olmalıdır. (a) Çif Yan Bant ve Tek Yan Bant Modülasyonlu İşaretlerin Spektrumu (b) Bant Geçiren Filtre Kullanılarak Tek Yan Bant İşaretinin Üretimi 8
3.1.2 Faz Kaydırma Yöntemi Bu yöntemin blok şeması aşağıda verilmiştir. Bu yöntemde, hem mesaj işaretinin hem de taşıyıcı işaretin fazı 90 kaydırılır ve çarpılır bu işaret çift yan bant modülasyonlu işaret (mesaj işareti ile taşıyıcının çarpımı) ile toplanarak tek yan bant modülasyonlu işaret elde edilir. Tek yan bant genlik modülasyonunun matematiksel ifadesi aşağıdaki gibidir. x TYB (t) = m(t). cos(2πf c t) ± m (t). sin (2πf c t) Toplama işlemi yapıldığında alt yan bant eldilirken, çıkarma işlemi yapılması durumunda üst yan bantlar elde edilir. x ÜTYB (t) = m(t). cos(2πf c t) m (t). sin (2πf c t) x ATYB (t) = m(t). cos(2πf c t) + m (t). sin (2πf c t) Örnek: Mesaj işareti sinüzoidal formda olsun, m(t) = cos(2πf m t) Tek yan bant genlik modülasyonunu yaparak alt tek yan bant ve üst tek yan bant işaretini elde ediniz. Hatırlatma! cos(a ± B) = cos(a). cos(b) ± sin(a). sin (B) Çözüm: Mesaj işaretinin ve taşıyıcı işaretin fazını 90 kaydıralım Üst Tek Yan Bant İşareti Alt Tek Yan Bant İşareti cos(2πf m t) π/2 sin(2πf m t) cos(2πf c t) π/2 sin(2πf c t) x ÜTYB (t) = cos(2πf m t). cos(2πf c t) sin(2πf m t). sin(2πf c t) = cos (2π(f c f m )t) 9
x ATYB (t) = cos(2πf m t). cos(2πf c t) + sin(2πf m t). sin(2πf c t) = cos (2π(f c + f m )t) 3.2 Tek Yan Bant Genlik Modülasyonlu İşaretin Demodülasyonu Çift yan bant genlik modülasyonlu işaretin demodülasyonunda olduğu gibi bu işaretin demodülasyonunda da eş zamanlı çözüm yapılarak mesaj işareti elde edilir. Yani alıcı tarafından alınan modülasyonlu işaret tekrar bir taşıyıcı işaret ile çarpılıp alçak geçiren filtreden geçirilir. x ATYB (t) = m(t). cos(2πf c t) + m (t). sin (2πf c t) alarak işlem yapalım, Olur. Hatırlatma! d(t) = m(t). cos(2πf c t). cos(2πf c t) + m (t). sin(2πf c t). cos(2πf c t) cos(a). cos(b) = 1. [cos(a + B) + cos (A B)] 2 sin(a). cos(b) = 1. [sin(a + B) + sin (A B)] 2 d(t) = m(t) 2 [cos(0) + cos(2π2f ct)] + m (t) 2 [sin(0) + sin(2π2f ct)] d(t) = m(t) 2 + m(t) 2 cos(2π2f ct) + m (t) 2 sin(2π2f ct) Bu işaret alçak geçiren filtreden geçirilirse yüksek frekanslı bileşenler geçemeyeceğinden mesaj işareti tekrar elde edilir. y(t) = m(t) 2 10
4. Artık Yan Bant Genlik Modülasyonu Artık yan bant modülasyonu, çift yan bant modülasyonu ile tek yan bant modülasyonu arasında bir modülasyon türüdür. Çift yan bantta olduğu kadar bant genişliği kullanılmaz ve tek yan bantta olduğu gibi keskin kesim frekansı karakteristiğine sahip bir filtreye gerek yoktur. Bu işaretin üretilmesi için artık yan bant filtresi kullanılır. 4.1 Artık Yan Bant İşaretinin Üretimi AYB modülasyonlu işaretin üretimi için öncelikle çift yant modülasyonlu işaret üretilir ardından artık yan bant filtresinden geçirilerek modülasyonlu işaret elde edilir. 4.2 Artık Yan Bant İşaretinin Demodülasyonu AYB modüleli işaretten tekrar mesaj işaretinin elde edilebilmesi için eş zamanlı çözümün yapılması gerekmektedir. AYB Demodülatörü 11
AYB Filtre Karakteristiği AYB işaretinin eşzamanlı çözümü 12