SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLER
Sürekli Rassal Değişkenler Sürekli Rassal Değişken: Değerleriölçümyadatartımla elde edilen, bir başka anlatımla sayımla elde edilemeyen, değişkene sürekli rassal değişken denir. Sürekli rassal değişkenin değerleri aralıklar halinde tanımlanır. Bu aralığa tanım aralığı adı verilmektedir. Örneğin; Bir kişinin boy uzunluğu, Sınavda bir sorunun çözülme süresi, A bileşiğinin içindeki bir bileşenin yüzdesi, Bir şişe sütün ağırlığı. 2
Sürekli Olasılık Dağılımı Sürekli Olasılık Dağılımı: Sürekli bir rassal değişkenin olasılık dağılımı iki önemli özelliğe sahiptir: 1. Bir aralıkta herhangi bir değer alan x inolasılığı 0 1 arasındadır. 2. x in aldığı tüm değerlerin olasılıkları toplamı 1 dir (%100). 3
Sürekli Olasılık Dağılımı Sürekli bir rassal değişkenin olasılık dağılım eğrisine, olasılık yoğunluk fonksiyonu da denmektedir. Sürekli bir rassal değişkenin bir aralıkta aldığı varsayılan değerlerin olasılığı, bir aralığın iki limiti arasında ve eğri altındaki alandır. Şekildeki a ve b arasındaki taralı alan, X in a ve b arasında olma olasılığını [P(a x b) ] vermektedir. 4
Sürekli Olasılık Dağılımı Örneğin; bir üniversitede öğrenim gören 5000 öğrencinin ağırlıkları (X) kg cinsinden aşağıda verilmektedir. 5
Sürekli Olasılık Dağılımı Bu gruptan rassal seçilen bir öğrencinin ağırlığının 65 68 kg arasında olması olasılığı [P(65 x 68) ] ağırlıkların dağılım eğrisi altındaki alan olarak gösterilmektedir. 6
Sürekli Olasılık Dağılımı Sürekli bir olasılık dağılımında olasılık, her zaman bir aralık için hesaplanmaktadır. X gibi bir sürekli rassal değişkenin alabileceği tek bir değerin olasılığı her zaman sıfırdır. Çünkü; verilen bir noktanın alanı sıfırdır. Örneğin; rassal seçilen bir öğrencinin ağırlığının 67kgolmaolasılığı sıfırdır ve; P ( x = 67) = 0, biçiminde gösterilir. 7
Sürekli Olasılık Dağılımı aveb,xsüreklirassaldeğişkeninin aldığı iki değer olmak üzere, bu değerlere ilişkin olasılıklar; P(a)=0 ve P(b)=0dir. O halde sürekli bir rassal değişken için; P (a x b)=p(a<x<b) yazılabilir. Bir başka ifadeyle, verilen sınır değerlerine eşitlik (olasılık değeri sıfır olduğundan) sonucu değiştirmemektedir. 8
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: X, sürekli bir rassal değişken olmak üzere; P a x b f x dx b a özelliğini gerçekleyen f(x) e X in olasılık yoğunluk fonksiyonu adı verilmektedir. 9
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki özellikleri sağlar: Tanım aralığı dışında fonksiyonun değeri sıfırdır. Olasılık değeri, eğri altında kalan alan hesabından bulunur. P b a x b f x dx 0 x 1 f dx A a 10
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Örnek 1: Xrassaldeğişkeninin verilen olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre aşağıdaki olasılıkları hesaplayınız. f(x) = 2x 0 x 1 0 diğer durumlarda a) P(0.5 x 1)=? b) P(x 3/4 ) =? c) P(x 1/5 ) =? 11
Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Örnek 2: X rassal değişkeninin olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlansın. Buna göre; a) P(x 3)=? b) P(2 x 4)=? c) P(2 x 4)=? f(x) = x/15 x=1,2,3,4,5 0 diğer durumlarda 12
Beklenen Değer ve Varyans Beklenen Değer: Sürekli bir rassal değişkenin beklenen değeri; E( X ) x f ( x) dx (- x ), şeklinde hesaplanmaktadır. g(x), X rassal değişkeninin bir fonksiyonu ise beklenen değer; E g( x) g x f ( x) dx, şeklinde hesaplanmaktadır. 13
Beklenen Değer ve Varyans Varyans: Ölçülen değerlerin ortalamadan sapmalarının karelerinin beklenen değeri X sürekli rassal değişkeninin varyansını verir. Var(X) = σ 2 = E[(X-μ) 2 ] Var(X) = σ 2 = E(X 2 ) [E(X)] 2 14
Beklenen Değer ve Varyans Örnek 3: Xrassaldeğişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibi olduğuna göre; a) X in beklenen değerini ve varyansını bulunuz. b) Y=2X+3 olduğuna göre Y nin beklenen değerini ve varyansını bulunuz. f(x) = 3x 2 0 x 1 0 diğer durumlarda 15
SÜREKLİ RASSAL DEĞİŞKENLERİN OLASILIK DAĞILIMI
Normal Dağılım: Sürekli rassal değişkenlerin uyduğu olasılık dağılımlarından en önemlisidir. * Normaldağılım * Üssel dağılım *Gamadağılımı *Betadağılımı Günlük yaşamda karşılaşılan pek çok değişken normal dağılır. Örneğin; insanların boy uzunlukları, ağırlıkları, sınav sonuçları, paketlerin ağırlıkları, bir şişedeki sütün miktarı, ampul - pil gibi nesnelerin ömrünün hep (yaklaşık) normal dağıldığı kabul edilir. 17
Normal olasılık dağılımı ya da normal eğri (curve), çan biçiminde bir şekille gösterilmektedir. Bu eğrinin ortalaması μ ve standart sapması σ dır. Normal dağılım gösterensüreklibirrassaldeğişkene, normal rassal değişken denir. 18
Normal dağılımın taşımak zorunda olduğu üç önemli özellik vardır: 1. Normal dağılım eğrisi altındaki toplam alan 1.0 ya da %100 dür. 2. Bir normal dağılım eğrisi ortalamaya göre simetrik olup, eğri altındaki toplam alanın yarısı ortalamanın sağında, yarısıysa solunda yer alır. 19
3. Bir normal eğrinin iki ucu yatay eksene asimptottur, yani sonsuza gitmektedir. Bir normal dağılım eğrisi hiçbir zaman yatay eksene dokunmamakla birlikte; (μ,-3σ) danküçükve(μ,+3σ) danbüyük aralıkta eğri altında kalan alanın sıfır olduğudüşünülmektedir. Normal dağılımın parametreleri; μ (ortalama) ve σ (standart sapma) dır. Bu parametrelerden μ, yatay eksen üzerinde bir normal dağılımın merkezini belirtirken, σ da dağılımın yayılımını ifade etmektedir. 20
Normal olasılık dağılımına uyan X rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu; f ( x) 1 e 2 1 2 x 2 şeklindedir. Genelde bu eşitlik yerine, bu eşitlik kullanılarak oluşturulan standart normal dağılım tabloları kullanılmaktadır. 21
22
23
Standart Normal Dağılım: Standart normal dağılım, normal dağılımın μ = 0veσ = 1olduğuözelbir durumudur. Standart normal dağılımda rassal değişken z ile gösterilmektedir. Standart normal dağılımın birimi olan z değerlerine standart birimler ya da standart skorlar denir. -Standart normal dağılım eğrisi- 24
z değerleri: Yatay eksen üzerindeki bir noktanın z değeri, ortalamayla o nokta arasındaki uzaklığın standart sapma cinsinden değeridir. Örneğin; z = 2 nin anlamı, sağ tarafta o noktanın ortalamaya iki standart sapma (+2σ) uzaklıkta olduğudur. Aynı şekilde z = - 2 nin anlamıysa sol tarafta yine iki standart sapma (-2σ) uzaklıkta olduğudur. Standart normal eğri altında, iki nokta arasındaki alan z değerinin bu aralık içerisindeki değerleri alabilme olasılığıdır. 25
Örnek 4: Standart normal eğri altında; z = 0 ile z = 1.95 arasındaki alanı bulunuz. 26
Örnek 5: Standart normal eğri altındaki z = - 2.17 den z = 0 a kadar olan alanı bulunuz. 27
Örnek 6: Standart normal eğri altında kalan; a) z = 2.32 nin sağındaki alanı bulunuz. b) z = - 1.54 ün solundaki alanı bulunuz. 28
Örnek 7: Standart normal eğri altındaki aşağıda verilen olasılıkları bulunuz. a) P ( 1.19 < z < 2.12 ) =? b) P (-1.56 < z < 2.31 ) =? c) P ( z > -0.75 ) =? 29
Örnek 8: Standart normal eğri için aşağıda verilen olasılıkları bulunuz. a) P (0 < z < 5.67 ) =? b) P (z < -5.35 ) =? 30
NORMAL DAĞILIMIN STANDARTLAŞTIRILMASI
Normal Dağılımın Standartlaştırılması: Gerçek uygulamalarda, sürekli bir rassal değişken standart normal olmayan, sıfırdan farklı ortalama ve birden farklı standart sapma değeriyle, normal dağılım göstermektedir. Böylesi durumlarda tablonun kullanılabilmesi için, normal dağılım gösteren sürekli bir rassal değişkenin (x), standart normal dağılımlı bir değişkene (z) çevrilmesi gerekmektedir. Bu dönüştürmeye standartlaştırma adı verilmektedir. 32
x normal dağılım gösteren sürekli rassal bir değişkenin herhangi bir değerinin z değeri cinsinden ifadesinde z x formülünden yararlanılmaktadır. Burada μ ve σ, sırasıyla ilgili normal dağılımının ortalama ve standart sapmasıdır. 33
Örneğin; x sürekli rassal değişkeni μ =50veσ =10olanbirnormal dağılım göstermektedir. Buna göre, aşağıdaki x değerlerini standart normal dağılım gösterenzdeğerlerine dönüştürünüz. x 55 50 a) x = 55, z z 0.50 10 Şekilden de görüleceği gibi x rassal değişkenin dağılımıyla z rassal değişkenin dağılımı arasında, standart sapmalar açısından fark yoktur. x dağılımında x noktası ortalamanın 0.5σ sağında iken, z = 0.5 değeri yine μ=0 ve σ=1 olan z standart normal dağılımında ortalamanın 0.5σ sağındadır. 34
b) x = 35, z x 35 50 10 z 1.50 35
Örnek 9: x sürekli rassal değişkeni 25 ortalama (μ) ve 4 standart sapmayla (σ) normaldağılmaktadır. Aşağıda verilen noktalar arasındaki alanı bulunuz. a) x = 25 ve x = 32 arası b) x = 18 ve x = 34 arası 36
Örnek 9: (a) (b) 37
Örnek 10: Xrassaldeğişkeni, 40 ortalama ve 5 standart sapmayla normal dağılım göstermektedir. Aşağıdaki olasılıkları normal dağılım için bulunuz. a)p(x>55) b)p(x<49) 38
Örnek 11: Bir ülkede aile başına düşen gelir, 44.483 $ ortalama ve 10.500 $ standart sapmayla normal dağılım göstermektedir. Bu ülkeden rassal seçilen bir ailenin 30.000 50.000 $ arasında gelire sahip olma olasılığını bulunuz. 39
Örnek 12: Oyuncak üreten bir firmada, bir işçinin, bir oyuncağı tamamlama süresi; 55 dakika ortalama ve 4 dakika standart sapmayla normal dağılmaktadır. İşyerinin saat 17:00 de kapandığı bilindiğine göre, saat 16:00 da montaja başlayan bir işçinin kapanış saatine kadar işi tamamlama olasılığını bulunuz. 40
Örnek 13: Meşrubat üreten bir firmada, üretilen sodaların 12 cl olması gerekmektedir. Ancak otomatik makinelerce yapılan şişelemede, şişe içerisindekisodamiktarı bazen 12 cl den çok ya da az olabilmektedir. Firmaca üretilen sodaların incelenmesinde şişe içindeki soda miktarının 12 cl ortalama ve 0.015 cl standart sapmayla normal dağıldığı bulunmuştur. a) Rassal seçilen bir şişe içerisindekisodamiktarının 11.97 ile 11.99 cl arasında olma olasılığı nedir? b) Şişelerin 12.02 ile 12.07 cl arasında, soda bulundurma yüzdesi nedir? 41
Örnek 13: (a) (b) 42
Örnek 14: Standart normal eğri altında 0 ile bir z değeri arasında kalan alan 0.4251 dir. Bu alanın üst sınırı olan pozitif z değerini bulunuz. 43
Örnek 15: Standart normal dağılım eğrisi altında, sağ uçtaki (kuyruk) 0.005 alanını belirleyen z değerini bulunuz. 44
Örnek 16: Bir firma tarafından üretilen hesap makinelerinin ömürleri 54 ay ortalama ve 8 ay standart sapmayla normal dağılmaktadır. Firma yetkilileri satışları artırmak için bir garanti süresi uygulamak istemektedir. Ancak garanti kapsamında değiştirilecek hesap makinesinin, toplam satışın %1 inden daha fazla olması da istenmemektedir. Garanti uygulanacak bu süreyi bulunuz. 45
Örnek 17: Bir Fen Lisesinin, öğrenci seçmek amacıyla, geçen yıllarda uyguladığı sınav sonuçlarının 904 puan ortalama ve 153 puan standart sapmayla normal dağıldığı ve bu liseye her yıl yapılan sınav sonucunda ilk % 10 a giren öğrencilerin kaydını yaptırdığı bilinmektedir. Bu sınava hazırlanan bir öğrencinin (puanların geçen yıllarla aynı olacağı varsayımı altında) bu liseye girebilmesi için en az kaç puan alması gerekir? 46
Binom Dağılımına Normal Dağılım Yaklaşımı: Binom deneyinde, n denemede x başarılı sonuç elde etme olasılığı, binom formülüyle hesaplanmaktadır. n deneme sayısının çok büyük olması durumunda, binom formülüyle olasılık hesaplamakoldukçagüçolduğundan, böylesi durumlarda normal dağılımdan yararlanarak, yaklaşıkolasılıklar elde edilebilmektedir. *p=0.50olması durumunda binom dağılımı da simetrik olduğundan, yine simetrik bir dağılım olannormaldağılıma çok benzeyecektir. 47
(n.p>5)veya(n.q>5)olması durumunda, binom dağılımına yaklaşım amacıyla, normal dağılım kullanılabilmektedir. Örneğin; n = 12 ve p = 0.5 ( n. p > 5 ) için binom dağılımının biçimi, normal dağılma çok yakın olmaktadır. 48
Örnek 18: Bir araştırmaya göre Ankara da yaşayan erişkinlerin % 50 sinin en az bir kredi kartı bulunmaktadır. Bu gruptan rassal seçilen 30 erişkinden 19 tanesinde en az bir kredi kartı bulunması olasılığı nedir? 49
Örnek 18: Binom dağılımı kesikli rassal değişkenlere, normal dağılım sürekli değişkenlere uygulanır. Bu nedenle binom dağılımının normaldağılıma yaklaşımını sağlamak amacıyla süreklilik düzeltmesi yapılmaktadır. Süreklilik için Düzeltme Faktörü Binom dağılımının normal dağılıma yaklaşımını sağlamak için n denemede x başarılı sonuç sayısına ± 0.5 değeri eklenir. 50
Örnek 19: Yapılan bir pazar araştırması neticesinde, çamaşır makinesi kullanan ev hanımlarından % 63 ünün yerli malı çamaşır makinesini tercih ettikleri bulunmuştur. Bu gruptan, rassal seçilen 100 ev hanımından, 55 60 tanesinin, yerli malı çamaşır makinesi tercih etme olasılığını bulunuz. 51