ELK 318 İLETİŞİM KURAMI-II

ELK 318 İLETİŞİM KURAMI-II Nihat KABAOĞLU Kısım 3

DERSİN İÇERİĞİ Sayısal Haberleşmeye Giriş Giriş Sayısal Haberleşmenin Temelleri Temel Ödünleşimler Örnekleme ve Darbe Modülasyonu Örnekleme İşlemi İdeal Örnekleme, Nyquist Frekansı, Örtüşme, Düz Tepeli Örnekleme Analog Darbe Modülasyonları, Zaman Bölmeli Çoğullama Doğrusal Kuvantalama, Companding Darbe Kod Modülasyonu : PCM Delta Modülasyonu : DM

DERSİN İÇERİĞİ Bilgi İçeriği ve Sistem Kapasitesi Bilgi Miktarı Ortalama Bilgi Miktarı Veri Hızı Kanal Kapasitesi: Shannon Teoremi Gauss Tipi Bir Kanalın Kapasitesi Bantgenişliği ve SNR Arasındaki Ödünleşim Temel Bant Darbe İletimi Hat Kodlaması Tek Kutuplu Hat Kodları Kutuplu Hat Kodları Faz Kodlanmış Hat Kodları Çift Kutuplu Hat Kodları Yüksek Yoğunluklu Çift Kutuplu Hat Kodları (HDBn) Kod İm Değişimi Hat Kodlaması İkili Sembollerin Üçlü Kodlanması (nbmt) Çok Seviyeli Hat Kodlama Temel Bant Sinyallerin Sezilmesi Merkez Noktası Sezicisi İkili Haberleşmede Hata Sezme Olasılığı Çok Seviyeli Haberleşmede Hata Sezme Olasılığı AWGN Kanal için En İyi Alıcı Yapısı

HAT KODLARI ADC nin çıkışı bir temelbant kanalı üzerinden gönderilebilir. Buna Darbe Kod Modülasyonu (PCM) diyoruz. Sayısal veri öncelikle fiziksel bir sinyale dönüştürülmelidir. Örnekle Kuvantala Kodla Fiziksel sinyal hat kodu olarak adlandırılır. Hat kodlayıcılar ikili 1 için mark ve ikili 0 için space terminolojisini kullanırlar.

HAT KODLARI Hat kodları çeşitli amaçlar için kullanılırlar: Kendinden eşzamanlama(self- synchronisation). Zamanlama bilgisinin sinyalin kendisinden elde edilmesi. Uzun sıfır ve bir dizileri sorun çıkarabilir. Düşük bit hatası olasılığı. Kanalda bozulma ve yüksek oranda gürültü olsa dahi, alıcı mark ı temsil eden sinyalden space i temsil eden sinyali ayırt edebilmelidir. Kanala uygun spektrum. Bazı durumlarda DC bileşenlerden kaçınmak gerekir. Örneğin, DC blokaj kapasitesi olabilir. Transmisyon bant genişliği en aza indirilmelidir.

HAT KODLAMA Hat kodlayıcının girişi veri bitinin bir fonksiyonu olan değerlerinin oluşturduğu bir dizidir. Hat kodlayıcının çıkışı bir dalga şeklidir: Burada, darbe şekli,, ise bit peryodudur. -bit kuvantalayıcı için (parite biti yok)., n-bit kuvantalayıcı için (parite biti yok). Bu fonksiyonun uygulama detayları kullanılan hat kodu tarafından belirlenir.

HAT KODLAMA Her hat kodu bir sembol dönüştürme fonksiyonu ve bir darbe şekli ile tanımlanır: Hat kodlarının kategorileri: Sembol dönüştürme fonksiyonu ( ). Tek kutuplu (Unipolar) Kutupsal (Polar) İki kutuplu (Bipolar) (alternate mark inversion, üçlümsü) Darbe şekli ( ). Sıfıra dönmeyen (NRZ) (Nonreturn-to-zero) Sıfıra dönen (RZ) (Return to Zero) Faz kodlamalı Çok seviyeli

HAT KODLAMA Temelbant haberleşmede, sayısal bilginin iletiminde kullanılacak darbe biçimi, yani hat kodu, haberleşme sisteminin özellik ve gereksinimlerine göre belirlenir. Seçimde şu ölçütler göz önünde bulundurulur: DC seviyenin varlığı: Bazı sistemlerde ortalaması sıfırdan farklı sinyaller kullanıldığında sorunlar ortaya çıkar. Trafolu ya da ac bağlaşımlı repetörlerin kullanıldığı sistemlerde sinyalde belirli bir DC seviye varsa, bu seviye repetör tarafından tutulduğundan, iletilen sinyal seviyeleri değişmekte ve sonrasında hata olasılığı artmaktadır. Bu nedenle bu tür sistemlerde ortalaması sıfır olan hat kodları tercih edilmelidir.

HAT KODLAMA Güç spektral yoğunluğu: Güç spektral yoğunluğu iletim için kullanılan gücün frekans bileşenlerine dağılımını gösterir. Kullanılması gereken güç miktarı, bantgenişliği, hata olasılığı ve sistem karmaşıklığı ile ters orantılıdır. Spektrum kullanımı (bant genişliği): Temelbant iletiminde kullanılan hat kodları doğrudan haberleşme sisteminin bant genişliğini belirler. Bit hata oranı performansı: Sayısal haberleşme sistemlerinde başarım doğrudan bir hata oranı ile ölçüldüğünden, bant genişliği, güç kullanımı ve sistem karmaşıklığı göz önünde bulundurularak en az bit hata oranı elde edilmelidir.

HAT KODLAMA Zamanlama bilgisi (senkronizasyon): Sayısal haberleşme sistemlerinde, genellikle sembol senkronizasyonuna ihtiyaç vardır. Senkronizasyon harici olarak sağlanabileceği gibi iletilen sinyalin içinde de saklı olabilir. Hata algılama özelliklerine duyulan ihtiyaç: Kullanılan dalga biçimi uygun olursa alıcıya hata algılama özelliği kazandırılabilir. Bu sayede ek hata kontrol verisine ihtiyaç duyulmaz. Saydamlık: İletilen sinyalde arka arkaya gelen sembollere bağlı olarak sistem performansı değişmiyorsa bu sistemler saydam olarak adlandırılır. Dolayısıyla, bir sistemin saydam olması istenir.

TEK KUTUPLU NRZ HAT KODLARI Tek kutuplu sıfıra dönmeyen hat kodu tek kutuplu dönüştürme ile tanımlanır: +,, Burada Xk k ncı data bitidir. Ek olarak, unipolar NRZ için darbe şekli: Π Burada Tb bit peryodu dur. DC bileşene dikkat ediniz! Sembol eşzamanlama ardışık uzun 0 ve 1 durumunda çok zor

TEK KUTUPLU RZ HAT KODLARI Tek kutuplu sıfıra dönen hat kodu, tek kutuplu NRZ hat kodu ile aynı sembol dönüşümüne fakat farklı darbe şekline sahiptir: Darbe süresi NRZ darbe süresinin yarısı. Dolayısı ile bantgenişliği ise iki katıdır. +,, Π Uzun 1 dizileri artık eşzamanlama da sorun olmaz. Ancak, 0 dizileri hala problem

KUTUPLU HAT KODLARI Kutuplu hat kodları: Antipodal dönüştürücü kullanır. +,, RZ veya NRZ darbe şekli kullanır. DC bileşen yok Bu durumda uzun 0 dizileri de olsa eşzamanlama yönünden sorun yok.

FAZ KODLANMIŞ HAT KODLARI En yaygın olanları Manchester ve Miller kodlarıdır. Manchester kodununun Farksal Manchester Kodu olan bir türü de mevcuttur.

FAZ KODLANMIŞ HAT KODLARI Manchester kodu, 1 sembolü için bit zaman diliminin yarısına kadar pozitif yarısından sonra negatif gerilimde; 0 sembolü içinse tam tersi olacak şekilde bir dalga biçimi kullanır. DC bileşeni sıfır Her zaman sembol oranında seviyeler arasında geçiş olduğundan, sinyalden zamanlama bilgisi çıkarılabilir. LAN larda kullanılır

FAZ KODLANMIŞ HAT KODLARI Farksal Manchester kodunda, bit zaman dilimin yarısında bir geçiş olmakla birlikte, 1 sembolü için iletilen dalga biçimi bir önceki zaman dilimindeki seviyeden devam ederken, 0 sembolü için seviye değiştirilmekte ve bit zaman diliminin yarısında diğer seviyeye geçiş yapılmaktadır. Bir önceki bit zaman dilimindeki sinyale göre değişim olup olmadığının algılanması gerekmekte olup, gürültülü ortamlarda Manchester kodlamasına göre daha düşük hata olasılığı sunar Değişim önemli olduğundan, kablonun ucu ters bağlansa (sinyalin polaritesi değişse) bile sistemin çalışması değişmez Jetonlu halka ağda kullanılır

FAZ KODLANMIŞ HAT KODLARI Miller kodlamasında, 1 sembolü bir önceki zaman dilimindeki seviyeden devam eder ve bit zaman diliminin ortasında diğer seviyeye geçer. 0 sembolü eğer 1 sembolünden sonra geliyorsa, hiçbir değişim göstermeden aynı seviyede devam eden bir dalga biçimi; 0 sembolü başka bir sıfır sembolünden sonra geliyorsa, bit zaman diliminin başında diğer seviyeye geçerek o seviyeden devam eden bir dalga biçimi kullanılmaktadır. Ortalama değeri (DC seviyesi) çok düşüktür Arka arkaya gelen sıfırlarda seviye değiştiğinden zamanlama bilgisi çıkarılabilir En büyük avantajı. merkezli ve. bant genişlikli çok dar bir spektruma sahip olmasıdır. Yüksek kalitede sayısal teyp kaydı için çıkarılmış Miller kodlamasındaki seviye geçişleri sayesinde sinyalden zamanlama bilgisi çıkarılabilmekte

MANCHASTER HAT KODLARI İki kutuplu NRZ türü bir kod Manchester hat kodları antipodal dönüştürme aşağıdaki ayrışık-evre darbe şeklini kullanır: t Tb 4 t Tb 4 p t Tb 2 Tb 2 Kutuplu RZ koduna göre, daha kolay eşzamanlama ve daha iyi spektral özelliğe sahiptir.

ÇİFT KUTUPLU HAT KODLARI Çift kutuplu hat kodları ile space sıfır seviyesine, mark ise sıra ile -V ve +V seviyelerine dönüştürülür: Üçlümsü (pseudoternary) veya ters im değişimi (alternate mark inversion: AMI ) sinyalleşme olarak da adlandırılır. RZ veya NRZ darbe şekilleri ile kullanılabilirler.

ÇİFT KUTUPLU HAT KODLARI Bir önceki 1 biti pozitif seviyeden iletilmişse, bir sonraki 1 biti negatif seviyeden iletilir Ortalama değeri (DC seviyesi) sıfırdır Temelbant PCM sistemlerinde yaygın olarak kullanılır Bant genişliği eşdeğer özellikteki tek kutuplu ve kutuplu hat kodlarına göre daha düşüktür Algılama sırasında bir hata yapıldığında ters im kuralı bozulacağından, tek bitlik hatayı algılama özelliğine sahiptir RZ-AMI sinyali bir doğrultucudan geçirildiğinde, sembol oranı frekansında oluşan spektrum bileşenleri yardımıyla zamanlama bilgisi çıkarılabilir Bu nedenle uygulamada yaygın olarak RZ-AMI kullanılır Alıcıda üç farklı seviyenin algılanması gerektiğinden, alıcı yapısı biraz karmaşıktır. Saydamlık problemi vardır. (Uzun 0 dizilerinde oluşan problem)

YÜKSEK YOĞUNLUKLU ÇİFT KUTUPLU HAT KODLAMA (HDBN) Çift kutuplu hat kodunda, uzun 0 sembol dizileri nedeniyle karşılaşılan saydamlık sorununu çözmek için tercih edilirler En yaygın kullanılanları ITU-T tarafından 2 Mbit/s, 4Mbit/s ve 34 Mbit/s çoğullanmış PCM sistemleri için standartlaştırılan HDB3 tür. HDB3, arka arkaya gelen 0 sembolü sayısının üçü geçmesine izin vermez. Bu her dört adet ardışık 0 sembolünün özel bir kod ile değiştirilmesiyle sağlanır. HDB3, dört sıfırı değiştiren çift kutuplu siyalleşme olarak da nitelendirilip B4ZS ile de gösterilmektedir. HDB kodlarının sekiz sıfırı değiştiren B8ZS türü de vardır.

YÜKSEK YOĞUNLUKLU ÇİFT KUTUPLU HAT KODLAMA (HDBN) 0000 sembolleri verici tarafından, ters im kuralını ihlal eden K darbelerinin ortalamasının sıfır olmasını sağlayacak şekilde ya 000K ya da 100K kodu ile değiştirilir. Burada K ters im kuralını ihlal eden bir adet 1 sembolünü göstermektedir. Ortalama değeri (DC seviyesi) sıfırdır Bir bitlik hata bir ihlale ya da HDB3 ün koyduğu bir ihlali silmeye neden olduğu için ve bir sonraki ihlalde seviye değişmediği için bir bitlik hatayı algılama özelliği vardır

KOD İM DEĞİŞİMİ (CMI) HAT KODLAMASI 0 sembolü negatif gerilimden başlayıp bit zaman diliminin yarısında pozitif gerilime geçen bir dalga biçimi ile, 1 sembolü ise ters im kuralına uygun olarak sırayla pozitif ve negatif gerilim seviyelerindeki darbe biçimleri ile gönderilir. Yani, 0 sembolü için Manchester, 1 sembolü içinse AMI kodunu kullanır. ITU-T tarafından 1470 Mbit/s oranıyla çoğullanmış PCM için önerilir.

İKİLİ SEMBOLLERİN ÜÇLÜ KODLANMASI (NBMT) n adet ikili sembolün (0 ve 1), m adet üçlü sembole (-, 0, +) eşlenmesiyle çift kutuplu bir iletişim sağlayan hat kodu türüdür. En sık kullanılanları 4B3T (4 ikili 3 sembole) ve 6B4T (6 ikili 4 sembole) kodlarıdır. Uzun vadede Ortalama değeri (DC seviyesi) sıfırdır İletilen her üçlü kod sözcüğünde en az bir darbe iletildiği için alıcıda iletilen dalgadan zamanlama bilgisi çıkarılabilmekte 4B3T nin, PCM ikili sistemine göre, iletim oranı tür. İletim oranı düşürülürse daha verimli bir iletim mümkün Alman Telekom şirketi tarafından ISDN şebekesinde kullanılmıştır. 6B4T nin, PCM ikili sistemine göre, iletim oranı tür. 6B4T kodlayıcı yapısı, 4B3T ninkinden daha karmaşık

İKİLİ SEMBOLLERİN ÜÇLÜ KODLANMASI (NBMT) 4B3T için iletimde kullanılan tablo

İKİLİ SEMBOLLERİN ÜÇLÜ KODLANMASI (NBMT) Örnek: 64 kbps veri hızındaki bilgi 4B3T kodlaması yapılarak dikdörtgen darbeler ile iletildiğinde iletim bant genişliği ne olur? Çözüm: Sembol iletim oranı a düşer. Bir sembolün iletim süresi dir. Temelbant iletimde dikdörtgen darbenin bant genişliği, temelbant sinyal spektrumunun ilk sıfır geçişine kadar olan frekans bandı olarak alınabilmekteydi. Bu durumda, bant genişliği darbe süresinin tersine eşit olduğundan, iletim için gerekli olan bant genişliği dir.

ÇOK SEVİYELİ HAT KODLAMA Sadece iki adet sembol (0 ve 1) yerine ikiden fazla sembol kullanan bir sistem oluşturma fikrine dayanır. M adet sembol için M adet farklı seviye alabilen darbeler kullanır (M li sinyalleşme) Analog darbe genlik modülasyonuna (PAM) benzediği için bu iletim M li sayısal PAM veya M li temelbant PAM olarak da adlandırılır. Sayısal sinyal bitleri gruplanarak, her bir grubu temsilen belli genlikte bir darbe gönderilir. Yani k adet bitin gruplanması sonucu adet farklı bilgi biti kombinasyonu oluştuğundan, iletim için M adet farklı genlikte darbe kullanılır.

ÇOK SEVİYELİ HAT KODLAMA Bu durumda, her k adet bilgi biti için bir sembol iletildiğinden, ikili PCM sisteminde sembol oranı bit/s ile gösterildiğinde, M li iletimde sembol oranı baud (sembol/s) olmaktadır. Çok seviyeli iletim oranı azaldığından her bir darbe için ayrılan zaman dilimi süresi artmakta ve bunun sonucunda da iletim için gerekli olan bant genişliği azalmaktadır. En yaygın kullanılanı, iki adet bitin gruplanmasıyla oluşan farklı bilgi biti kombinasyonunu 4 farklı seviyeden ileten türüdür. 2B1Q veya 4PAM olarak ada bilinir.

ÇOK SEVİYELİ HAT KODLAMA İlk bitin değerine bağlı olarak, örneğin 1 için pozitif, 0 içinse negatif iletim seviyesi kullanılır. İkinci bitin değerine bağlı olarak, örneğin 1 için +1V, 0 içinse +3V kullanılabilmektedir.

ÇOK SEVİYELİ HAT KODLAMA 2B1Q kodu hem Amerika hem de Avrupa ISDN şebekelerinde iletim için kullanılır. Bir çok hat kodu ile ilgili yapılan analiz ve deneylerin sonucunda en iyi performans/karmaşıklık dengelemesini verdiği için tercih edilmiştir. 2 adet bit 4 seviyeli tek bir sembole dönüştüğünden iletim oranı dolayısıyla bant genişliği yarıya düşmekte. Telefon hatları spektrum özellikleri nedeniyle alçak geçiren filtre gibi davrandığından, hatlardaki zayıflama doğrudan frekansla değişmektedir. Bu nedenle iletim bant genişliğinin düşürülmesi daha düşük hat zayıflaması sağlamakta, gürültü ve çapraz konuşmaya karşı dayanıklılığı artırmaktadır. Bu sayede daha uzun iletim mesafesi elde edilmektedir.

ÇOK SEVİYELİ HAT KODLAMA DSL (Sayısal abone hattı) lerde, 4 adet ikili bitin 16 farklı seviyeye kodlanması sonucunda elde edilen 16PAM iletimi sayesinde daha yüksek iletim hızları elde edilebilmektedir. Örnek: Analog bir sinyal 20 khz ile örneklenip 512 seviyeye kuvantalanarak sayısala dönüştürülüyor. İletim için 2B1Q(4PAM) kullanıldığında iletim oranı ne olur? Çözüm: olduğundan. Her bir örnek 9 bit ile kodlanır. Saniyede 20000 örnek alındığı için bit hızı / dır. 2B1Q için iletim oranı seviyesine düşer.

HAT KODLARININ KARŞILAŞTIRMALI İNCELENMESİ Kendinden Eşzamanlama: Manchester kodları kendi yapılarında eşzamanlama bilgisi taşırlar. Çünkü, her zaman darbe ortalarında sıfır geçişleri vardır. Kutuplu RZ kodları iyidir. Çünkü, sinyal seviyesi darbenin ikinci yarısında her zaman sıfıra gider. NRZ sinyalleri kendinden eş zamanlama için iyi değildir. Hata Olasılığı: Kutuplu kodlar, tek kutuplu ve çift kutuplu kodlara göre daha iyidir. Kanal Karakteristiği: Buna cevap verebilmek için hat kodlarının Güç Spektral Yoğunluklarını bulmak gerekir

HAT KODUNUN GÜÇ SPEKTRAL YOĞUNLUĞU Brute-force metodu x(t) yi bir WSS rastsal süreç olarak modelle x(t) nin özilinti fonksiyonunu bul Bu kısım da dikkatli olmak gerekir! GSY bulmak için Wiener-Khintchine teoremini uygula Örnek: Kutusal NRZ t ktb Td x t ak T k b Rx A2 Tb Gx f A2Tb sinc ftb 2 Burada: P[akA] P[ak -A] ak lar bağımsız d [0,Tb) aralığında uniform Td, x(t) yi WSS yapmak için gerekli

GÜÇ SPEKTRAL YOĞUNLUĞUNU BULMANIN KISA YOLU Eğer bir hat kodunun veri sembolleri eşit olasılıklı ve birbirinden bağımsız ise: Kutuplu Hat Kodları 2 A2 Gx f P f Tb Tek Kutuplu Hat Kodları 2 A2 1 Gx f P f 1 4Tb Tb İki Kutuplu Hat Kodları 2 A2 Gx f P f sin 2 f Tb Tb k f k Tb

ÖRNEK Kutuplu NRZ hat kodunun GSY sini kestirme yöntem ile bulalım: t F p t P f Tbsinc f Tb Tb 2 A2 Gx f P f Tb 2 A2 Tbsinc f Tb Tb A2Tbsinc2 f Tb

ÖRNEK Tek kutuplu hat kodlarının GSY su: 2 1 A2 Gx f P f 1 4Tb Tb k f Tb k Eğer darbe şekli NRZ ise: P f 0 n 0 olduğunda f n için Tb Dolayısı ile tek kutuplu NRZ kodun GSY su: 2 A2 1 Gx f P f 1 f 4Tb Tb

BAZI HAT KODLARININ KARŞILAŞTIRILMASI

TEMELBANT SİNYALLERİN SEZİMİ Verici tarafından iletilmiş olan bilginin alıcıda tekrar oluşturulması işlemi sezme veya algılama olarak adlandırılır. Sayısal sinyallerin sezimi iki aşamada ele alınır: Her sembol zaman dilimi için alına darbenin tek bir rakamsal değere indirgenmesi Bu değerin referans değeri ya da değerleri ile karşılaştırılıp hangi sembolün iletildiğine karar verilmesi İletilen sinyal bant sınırlı kanalın kusurlu cevabı nedeniyle bozulacağı gibi, iletim sırasında eklenen gürültü nedeniyle de bozulmaktadır. Sezme aşamasında bu iki etkinin aynı anda göz önünde bulundurulması analizi karmaşıklaştıracağı için ayrı ayrı ele alınır.

TEMELBANT SİNYALLERİN SEZİMİ Daha önce gördüğümüz bant sınırlı kanalın bozucu etkileri nedeniyle yaşanan bozulmalar göz ardı edilerek sadece iletişim gürültüsü altında temelbant sezim işlemi ele alınacaktır. İletişim gürültüsü, matematiksel olarak modellenebilir ve çözülebilir olduğu için toplamsal Gauss gürültüsü olarak modellenecektir. Sayısal sistemlerin başarımı ölçülürken kullanılan hata olasılığı veya sembol hata oranı (ikili sistemler için bit hata oranı) ölçütleri kullanılacaktır.

TEMELBANT SİNYALLERİN SEZİMİ Aşağıdaki binary haberleşme örneğini ele alalım: Ara değişkenlerin birer rasgele süreç, giriş ve çıkışın ise rasgele değişken olduğuna dikkat ediniz. s(t) bir PCM sinyalidir w(t) ise toplamsal beyaz Gauss gürültü sürecidir, ki GSY

MERKEZ NOKTASI SEZİCİSİ Alıcıda her sembol zaman dilimi içerisinde alınan darbenin tek bir rakamsal değere indirgenmesi işlemi sinyalin bu sembol zaman dilimi içinde örneklenmesiyle mümkündür. Eğer bu süre içinde tek bir örnek alınacaksa, kanal etkilerinden en az etkilenmesi muhtemel nokta seçilmelidir. Bu da sembol zaman diliminin orta noktasıdır. Bu şekilde yapılan örnekleme sonucunda, her sembol için onu temsil eden darbelerin orta noktalarından alınmış örnek değerleri, hedeflenen tek bir rakamsal değere indirgenmiş olur. Bu tür bir alıcı yapısı merkez noktası sezici olarak adlandırılır.

MERKEZ NOKTASI SEZİCİSİ Alınan bu örnek değerleri bir karşılaştırıcı yardımıyla bir referans değer ile karşılaştırılıp, karşılaştırma sonucuna göre alınan sembole karar verilir.

MERKEZ NOKTASI SEZİCİSİ Alınan sinyal örneği karar eşiğinin diğer tarafına geçtiğinde bir sembollük (ikili iletimde bir bitlik) hata yapılmaktadır. Yapılan hatanın miktarı temel olarak, iletim yapılan genlik seviyesi, karar eşiğinin değeri ve kullanılan darbe biçimine bağlıdır. Bu nedenle, iletim için kullanılan güç miktarı ile iletim için kullanılan bant genişliği ve hata oranı arasında bir ilişki vardır. Bir iletişim sisteminde de hataya neden olan gürültüye müdahale edilemediği için, hata miktarı düşürmek istendiğinde iletim gücü ya da bant genişliğinden ödün verilir.

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI n s y r Burada, kanalın sinyalde herhangi bir bozucu etkiye sahip olmadığı ve sadece sinyalin iletişim gürültüsüyle bozulduğu varsayıldığı için olacaktır. Bu durumda, alıcıda alınan sinyal + olarak yazılabilir. Gürültü ise varyansı ve ortalaması sıfır ( ) olan bir Gauss gürültüsüdür. Olasılık yoğunluk fonksiyonu

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Genel bir ifade için 0 bilgi bitinin ve 1 bilgi bitinin seviyelerinden eşit olasılıklarla iletildiğini kabul edelim. Yani her iki gerilim seviyesinden iletim yapılma olasılığı eşit olsun:. Bu durumda, iletilen sinyalin olasılık yoğunluk fonksiyonu, ve gerilim değerlerinde tanımlı, 0.5 genliğinde dürtüler şeklinde oluşur. Dolayısıyla, ikili iletim için iletilen sinyalin olasılık yoğunluk fonksiyonu:. +.

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI * a) Gürültünün o.y.f. b) İletilen sinyalin o.y.f. c) Alıcıda alınan sinyalin o.y.f. İletilen sinyal ile gürültü birbirinden bağımsız olduğundan ve bağımsız sinyallerin (rasgele değişkenlerin) toplamından oluşan yeni sinyalin (rasgele değişkenin) olasılık yoğunluk fonksiyonu, her iki sinyalin o.y.f. larının konvolüsyonuna eşittir.. +.

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Koşullu olasılık yardımıyla, 0 bilgi sembolü iletildiğinde alıcıda gözlenen o.y.f. ; 1 bilgi sembolü iletildiğinde alıcıda gözlenen o.y.f. şeklinde gösterilir. Bu durumda alıcıda alınan sinyal için elde edilen koşullu o.y.f. ları:

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Alıcı tarafından alınan sinyalin olasılık yoğunluk fonksiyonundan da görülebileceği gibi, alıcıda alınan sinyalin seviyesi iletilen sinyal seviyesinden farklı olabiliyor. Bu durum gürültü nedeniyle ortaya çıkar. Alıcı, alınan sinyal seviyesini bir referans değer (karar eşiği) ile karşılaştırarak hangi sembolün iletildiğine karar verir (sezme işlemi). Sezinlemenin olabildiğince doğru yapılabilmesi için en iyi karar eşiğinin belirlenmesi gerekir. Gürültü nedeniyle, iletilen sinyal seviyesi karar eşiğinin diğer tarafına geçtiği takdirde alıcı iletilen sembolü yanlış sembole çözer ve bir sembol hata meydana gelir.

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI a) Rasgele seçilmiş bir karar eşiği b) 0 biti gönderildiğinde hatalı algılama olasılığı c) 1 biti gönderildiğinde hatalı algılama olasılığı 0 biti gönderildiğinde hata meydana gelme olasılığı ℎ ; 1 biti gönderildiğinde hata meydana gelme olasılığı ℎ ile gösterilirse, toplam hata olasılığı: ℎ ℎ P + ℎ P Dolayısıyla, toplam hata olasılığında, her bitin iletiminde elde edilen hata olasılığı o bitin gönderilme olasılığı ile ölçeklenmektedir.

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Öyleyse, karar eşiğinin seçimi yapılırken, bir önceki yansıda b) ve c) şekillerinde gösterilen taralı alanların toplamının en küçük olmasına gayret edilmelidir. 0 ve 1 sembollerinin eşit olasılıkla gönderilmesi durumunda, sağ ve sol o.y.f. eğrileri simetrik olmakta ve iki eğri tam orta noktada kesişmektedir. Bu nedenle, eşit olasılıklı semboller için en iyi karar eşiği iletim yapılan seviyelerin orta noktası olarak bulunmaktadır:.. +

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Bu karar eşiğini bulmak için, kesişim noktasında her iki eğrinin aynı değere sahip olması gerektiği özelliğinden faydalanılmıştır. Bu durumda,. ℎ....... ℎ...... Bu eşitliğin çözümü.... dir. Ancak, çözümü mantıklı olmadığından, en iyi karar eşiğini veren çözüm.... den elde edilir. Bu + çözüm de.. dir.

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI 0 biti gönderildiğinde hata meydana gelme olasılığı ℎ, karar eşiğinin sağ tarafında fonksiyonunun altında kalan alana eşit olduğundan ℎ.. + 0 biti gönderildiğinde hata meydana gelme olasılığı ℎ, karar eşiğinin sağ tarafında fonksiyonunun altında kalan alana eşit olduğundan ℎ.. +

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Her iki integralin de analitik olarak doğrudan çözümü mümkün değildir. O yüzden uygulamada nümerik çözümle elde edilen değerlerin oluşturduğu tablolardan yararlanılmalıdır. Bu tablolar aşağıda verilen standart Gauss eğrisinden faydalanılarak oluşturulur: ; Bu fonksiyonların arasında ise aşağıdaki ilişkiler vardır:

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Sonuçta, bu fonksiyonlar yardımıyla, ℎ ℎ + +

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Bu durumda, eşit olasılıkla gönderilen 0 ve 1 bitleri için toplam hata olasılığı ℎ. ℎ + +0.5 ℎ

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Örnek: Tek kutuplu ve kutuplu hat kodlu sinyalleşme için hata olasılığını ve iletim için kullanılan güçleri bularak her iki iletim biçimini karşılaştırınız. Çözüm: Doğru bir karşılaştırma için her iki yöntemde kullanılan düzeyler arası mesafe aynı olmalıdır. Burada A seçilmiştir.

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Örneğe Devam: Eşit olasılıklı 0 ve 1 bilgi bitleri için toplam hata olasılığı ℎ olarak bulunmuştu. Her iki iletim biçimi için iletim yapılan seviyeler arası mesafe aynı olduğundan, toplam hata olasılığı her iki iletim yöntemi için de olarak bulunur. ℎ

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Örneğe Devam: Kutuplu NRZ sinyalleşmesi için dikdörtgen darbeler kullanıldığında tepe güç seviyesi (1Ω luk direnç için) P dir. İletim süresi boyunca aynı güç miktarı kullanıldığı için ortalama güç seviyesi de olacaktır. P Tek kutuplu NRZ sinyalleşmesi için dikdörtgen darbeler kullanıldığında tepe güç seviyesi (1Ω luk direnç için) P dir. Eşit olasılıklı semboller için bu güç miktarı iletim süresinin yarısında kullanıldığı için ortalama güç P olacaktır. Güç kullanımı açısından, kutuplu sinyalleşme tek kutupluya göre üstün.

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Örnek: Sayısal bir temelbant iletim sisteminde -5V ve +5V seviyelerinden kutuplu iletim yapılmaktadır. Haberleşme ortamında etkin değeri 2V olan Gauss gürültüsü bulunmaktadır. Alıcıda alınan sinyalin olasılık yoğunluk fonksiyonunu çizerek en iyi karar eşiğini ve bu eşik kullanıldığı takdirde oluşan hata olasılığını bulunuz. Çözüm: 0 biti -5V, 1 biti ise +5V seviyelerinden iletilmekte ve ortamda V etkin değere sahip Gauss gürültüsü bulunmakta. Alıcıda elde edilen sinyallerin koşullu o.y.f. ları:

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Örneğe Devam: + ; şeklinde oluşur. Aksi belirtilmediği için iki sembolün. iletilme olasılığı eşit kabul edilir. Yani ve eğrileri 0.5 ile dir. Bu nedenle, ölçeklenip çizildiğinde -5V ve +5V merkezli iki Gauss eğrisi oluşur. Simetriden dolayı bu iki eğri, 0V seviyesinde kesişir.

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Örneğe Devam: Hata olasılığı 0 bilgi bitinin iletimi durumunda ℎ + 1 bilgi bitinin iletimi durumunda ℎ olur. Toplam hata olasılığı ℎ ℎ + ℎ.. +.....,

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Örnek: İkili sayısal iletimde +6V seviyesinden tek kutuplu hat kodu kullanılarak haberleşilmektedir. Kanalda etkin değeri 2V olan sıfır ortalamalı Gauss gürültüsü vardır. Sinyal bilgisinde 1 bilgi sembolünün ortaya çıkma olasılığı 0.75 olduğuna göre, alıcıda en düşük hata olasılığını verecek karar eşiğini bulunuz. Bu karar eşiği için toplam hata olasılığını bulunuz. Çözüm: 0 biti 0V, 1 biti de +6V seviyesinden iletilmekte ve ortamda V etkin değere sahip Gauss gürültüsü bulunmakta. Alıcıda elde edilen sinyallerin koşullu o.y.f. ları:

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Örneğe Devam: ; şeklinde oluşur. İki sembolün iletilme olasılığı. ve. dir. En iyi karar eşiği, bilgi sembollerinin olasılıkları ile ölçeklenmiş iki o.y.f. eğrisinin kesiştiği noktaya karşı gelmektedir. Yani, en iyi karar eşiği: ℎ......... ℎ..........

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Örneğe Devam: 1 bilgi sembolünün iletilme olasılığı daha yüksek olduğundan, toplam hata olasılığının azaltılabilmesi için karar eşiğinin 0 bilgi sembolünün seviyesine daha yakın olması beklenmektedir. 2.27V karar eşiği olarak kullanıldığında, hata olasılıkları... ℎ.... ℎ. olarak bulunur. Toplam hata olasılığı ise ℎ ℎ + ℎ.. +...

İKİLİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Sembol ve bit hata olasılıkları sembol hata oranı (SER) veya bit hata oranı (BER) ile ilişkilendirilebilmektedir. Sembol hata oranı, tipik olarak sembol hata olasılığı ℎ ve sembol oranı (sembol/s veya baud) olmak üzere ℎ şeklinde ifade edilebilmektedir. Sembol ve bit hata olasılıkları teorik olarak hesaplanabilen değerlerdir. Sembol hata oranı (SER) ve bit hata oranı (BER) sistemde ölçülebilen değerlerdir.

ÇOK SEVİYELİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Hata olasılığı için genel bir ifadeye ulaşmak amacıyla darbe seviyeleri arasındaki mesafesi A olan 4 seviyeli sinyalleşmeyi inceleyelim.

ÇOK SEVİYELİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI İletilen sinyalin ve gürültüye maruz kalmış sinyalin o.y.f. ları İçte kalan sembol seviyeleri için her iki taraftan (sağ ve sol) hata olasılığı oluşmaktadır. Neden?

ÇOK SEVİYELİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Çok seviyeli ( ) haberleşmede, içte kalan adet seviye için her bir seviyenin hata olasılığı ikili haberleşmedeki bir seviyenin hata olasılığının iki katına eşit olmakta: ℎ ℎ ç ℎ ℎ En dışta kalan seviyeler içinse tek taraflı hata olasılığı gerçekleştiğinden, haberleşmede en dışta kalan 2 adet seviye için her bir seviyenin hata olasılığı ikili haberleşmedeki bir seviyenin hata olasılığına eşittir:

ÇOK SEVİYELİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Eşit olasılıklı semboller iletildiği varsayımı altında, 2 adet dış ve adet iç seviyenin her biri olasılıkla ortaya çıkacağından, çok seviyeli iletim için toplam hata olasılığı ℎ ℎ + ℎ ℎ

ÇOK SEVİYELİ HABERLEŞMEDE HATA SEZME OLASILIĞI Çok seviyeli haberleşme, ikili haberleşmeye göre daha düşük bant genişliği kullanır, ancak daha fazla güç harcar ve hata olasılığı daha yüksektir. Yapılan hata olasılığı hesaplamalarında sinyalleşmedeki sembol oranı dikkate alınmamıştır. Esasında, daha hızlı haberleşme (yüksek sembol oranlı) belirli bir hata olasılığı için daha yüksek sinyal gücü gerektirmektedir. Bu nedenle seviyeler arası mesafe sabit tutulduğu takdirde, çok seviyeli haberleşmenin sembol oranı ikili iletime oranla daha düşük olduğundan, hata olasılığındaki artış hesaplamalardaki kadar yüksek olmamaktadır.

AWGN KANAL İÇİN EN İYİ ALICI YAPISI Merkez noktası sezicisi, gürültüye maruz kalmış sinyalden bir tek örnek alıp o örnek değerine göre hangi sembolün iletilmiş olduğuna karar verir. Pratikte ise, tek bir örneğe bakarak karar verilmesi gürültüden daha fazla etkilenilmesi anlamına gelir. Bunun yerine, her sembol zaman dilimi için alıcıya ulaşan sinyalden birden fazla örnek alınarak iletilen sembole karar verilmesi daha doğru sonuç sağlar. Bu örneklerin çoğunluğu hangi sembolü işaret ediyorsa ona (çoğunluk oylaması) karar verilir. Birden fazla örnek değeri incelenilerek karar verildiği için merkez noktası seziciye göre gürültüden daha az etkilenilir. Dolayısıyla, toplam hata olasılığı merkez noktası seziciye göre daha düşüktür.

AWGN KANAL İÇİN EN İYİ ALICI YAPISI Yukarıda gösterilen klasik çoğunluk oylayıcısında her örnek değerinin sonuca katkısı (oy hakkı) eşittir (aynı ağırlıktadır).

AWGN KANAL İÇİN EN İYİ ALICI YAPISI Fakat, aslında karar eşiğine yakın bir örnek değerinin güvenilirliği karar eşiğine uzak bir örneğin güvenilirliğinden azdır. Çünkü, karar eşiğinin yakınındaki örneğin gürültünün etkisiyle karar eşiğinin diğer tarafına geçmiş olma olasılığı daha fazladır. Çözüm: Karar eşiğinin yakınındaki örnek değerlerinin oylamaya katkısı daha az, uzaktakilerin ise daha çok olmasını sağlamak. Kutuplu hat koduyla haberleşme için, her sembol aralığında toplam n adet örnek alıp bu örnek değerlerini toplamak, karar eşiğine yakın(düşük genlikli) değerlerin etkisinin karar eşiğine uzak(yüksek genlikli) değerlerden daha az olmasını sağlar.

AWGN KANAL İÇİN EN İYİ ALICI YAPISI Sonuçta, karar eşiği ile karşılaştırılacak toplam değeri, bir sembol zaman diliminde ne kadar çok örnek alınarak elde edilirse, gürültünün verilecek kararın yanlış olmasına etkisi o oranda azalır. Hatta her sembol zaman aralığında sonsuz sayıda örnek alınarak ( ) örnek değerlerinin toplandığı düşünülürse yanlış karar verme olasılığı sıfıra yaklaşacaktır (P ℎ 0). Bir sembol zaman aralığında sonsuz örnek almak mümkün değildir. Ancak, bunun yerine, alınan sinyalin bir sembol zaman aralığı boyunca integralini alıp tek bir rakamsal değer elde edilebilir. Böyle bir alıcı yapısı integral al ve dök (integrate-and-dump) alıcısı olarak adlandırılır.