Turgay KAYA, Melih Cevdet İNCE

PENCERE FONKSİYONLARI VE AKILLI HESAPLAMA YÖNTEMLERİ Turgay KAYA, Melih Cevdet İNCE Elektrik-Elektronik Mühendisliği Bölümü Fırat Üniversitesi {tkaya,mcince}@firat.edu.tr ÖZET Pencere fonksiyonları (veya kısaca pencere), sonlu impuls cevaplı (FIR, Finite Impulse Response) sayısal filtre tasarımında istenmeyen salınımları ortadan kaldırmak için kullanılan yapılardır. Pencere fonksiyonu, analob genişliği, dalgalanma oranı ve yanlob azalma oranı gibi fonksiyonun performansını etkileyen parametrelere sahiptir. Bir pencere fonksiyonu tasarımında temel amaç, istenilen özellikleri sağlayacak genlik spektrumuna uygun spektral parametre değerleriyle ulaşmaktır. Bu çalışmanın amacı, pek çok uygulama alanında tercih edilen bir boyutlu pencere fonksiyonu ailelerini belirlemek ve bu fonksiyonlar için yeni yaklaşımları incelemektir. Anahtar Kelimeler: Pencere fonksiyonu ailesi, Kaiser penceresi, Ultraspherical penceresi, FIR filtre 1. GİRİŞ Son yıllardaki gelişmelere paralel olarak analog sistemlerin yerini sayısal sistemler almıştır. Bu duruma bağlı olarak, sistemden arzu edilen özelliklerde çıkış elde edebilmek için sayısal sistemin performansını arttırma çabaları doğmuştur. Herhangi bir sayısal sistemde arzu edilen çıkışı üretmek için kullanılan yazılımsal veya donanımsal yapılara sayısal filtre adı verilmektedir. Bir sayısal filtre impuls cevabına göre, sonlu impuls cevaplı filtre (FIR filtre) ve sonsuz impuls cevaplı filtre (IIR Infinite Impulse Response) şeklinde ikiye ayrılmaktadır. Tekrarsız olarak gerçekleştirilen bir filtrenin ideal genlik cevabının sınırlı sayıda eleman alınarak tasarlanması işleminde keskin kesim frekansı bölgesinde istenmeyen Gibbs salınımları meydana gelmektedir. Oluşan bu salınımlar pencere fonksiyonları yardımıyla ortadan kaldırılmaktadır. Bu işlemlerde kullanılan pencere fonksiyonları için literatürde çeşitli özelliklere sahip farklı pencere türleri geliştirilmiştir. Fourier serisi kullanılarak tasarlanan filtre yaklaşımında serinin doğrudan kesilmesiyle meydana gelen olayı matematiksel olarak ifade etme işlemi Gibbs tarafından yapılmıştır [1]. [] de pratik uygulamalarda kullanılabilmesi için oluşan bu Gibbs salımınları ortadan kaldırabilmek için uygun bir yaklaşım sunulmuştur. [3] de Fejer in önerdiği yaklaşımdan daha başarılı sonuç verecek bir yumuşatma yaklaşımı önerilmiştir. Adams tarafında yapılan çalışmada ise, en yüksek yanlob seviyesi ile toplam yanlob enerjisi arasındaki en iyi dengeyi sağlayacak uygun bir pencere fonksiyonu önerilmiştir [4]. Yapılan çalışmalarda kullanılan pencere fonksiyonları sahip oldukları bağımsız parametre özelliklerine göre sabit ve ayarlanabilir pencereler şeklinde iki kısma ayrılmaktadırlar. Sabit pencere fonksiyonu için fazlaca tercih edilen türler ve denklemleri [5] de gösterilmiştir. Önerilen bu pencerelerin genel özellikleri, sabit pencere uzunluğu yüzünden pencere fonksiyonu spektral parametrelerinden yalnızca birinin ayarlanması yapılabilmektedir. Sabit pencereler sahip oldukları bu özelliklerinden dolayı pratik uygulamalar için uygun yapılar değildir. Bu durumun üstesinden gelebilmek için ve spektral parametre değerlerinin değiştirilebilmesini sağlamak için ayarlanabilir pencereler önerilmiştir. Önerilen bu pencere fonksiyonları sabit pencerelerdeki tek ayarlanabilir parametre değerinin aksine iki veya daha fazla parametre kullanılarak oluşturulan pencerelerdir. Dolph tarafından yapılan çalışmada, ayarlanabilir parametre özelliğine sahip pencerenin iki önemli parametresi ile minimum analob genişliği sağlanmıştır [6]. Literatürde, iki parametreli pencere ile ilgili Poisson, Cauchy, Gaussian gibi pek çok yaklaşım önerilmiştir [7]. Pencere fonksiyonu ve uygulama alanı olarak pek çok alanda tercih edilen iki parametreli pencere, Kaiser tarafından önerilmiştir. Kaiser in FIR filtre tasarımı üzerine yaptığı çalışmada, analob içerisinde maksimum enerjinin toplanması ilkesine dayalı olan yaklaşım sayesinde tasarlanan filtrenin Dolph-Chebyshev pencere kullanılarak tasarlamış filtre ile karşılaştırıldığında daha başarılı sonuçlar verdiği görülmektedir [8]. Saramaki tarafından yapılan çalışmada, Kaiser penceresine benzer bir yapı kullanılarak bu yapının ayrık fonksiyonu geliştirilmiştir. Geliştirilen bu pencere, dikdörtgen pencere fonksiyonuna basit frekans dönüşümü uygulayarak elde edilmiştir. Saramaki geliştirdiği bu pencere fonksiyonunu kullanarak tasarladığı FIR filtre ile durdurma bandı azalması bakımından Kaiser penceresi kullanarak tasarlanan FIR filtreden daha kullanışlı bir yapı elde etmiştir [9]. İki parametreli pencereler ile ilgili yapılan çalışmalardan elde edilen pencere spektral cevapları Kaiser penceresinden daha iyi olmadığı için uygulamalarda fazlaca tercih edilmemişlerdir. Nuttall yaptığı çalışmasında, birçok farklı şartlar altında, spektral parametrelerinden olan çok iyi yanlob davranışı ve en uygun özelliklere sahip pencere fonksiyonu geliştirmiştir [10]. Geliştirilen bu iki parametreli pencere fonksiyonları, pencerenin analob genişliği, pencere uzunluğu ve dalgalanma oranı gibi spektral parametrelerinin ayarlanmasından sadece iki faktörün kontrolünü sağlamaktadır. Deczky tarafından geliştirilen ve üç parametreli yeni pencere fonksiyonu olan ultraspherical fonksiyon, Gegenbauer veya Ultraspherical polinomları olarak bilinen ortogonal polinomların temeline dayanmaktadır. Geliştirilen bu pencere fonksiyonu ile yanlob azalması, fonksiyona eklenen parametre yardımıyla kontrol edilmektedir [11]. [1,13] de iki parametreli pencerelerin yalnızca analob genişliği ve dalgalanma oranı gibi parametrelerin kontrolünde kullanılırken, yanlob azalma oranının değiştirilmesinde bu pencerelerin yetersiz kaldıklarını ve önerilen yeni pencere fonksiyonu yardımıyla bu sorunun ortadan kaldırılmasını sağlamışlardır. Geliştirilen pencere ile elde edilen sonuçların 338

Elektrik-Elektronik ve Bilgisayar Sempozyumu 011 Kaiser ve Dolph-Chebyshev pencere kullanılarak tasarlanan filtre derecesinden daha düşük olduğunu göstermişlerdir [14,15]. Geliştirilen yeni üstel pencere fonksiyonu, Kaiser penceresi denklemi temel alınarak türetilmiştir [16]. Üstel pencerenin yanlob azalma oranı bakımından başarılı sonuçlar verdiği [17] de gösterilmiştir. Avci ve Nacaroğlu, önerdikleri yeni pencere fonksiyonunu Kaiser penceresine eklenen üçüncü bir parametre ile oluşturmuşlardır [18]. Avci ve Nacaroğlu nun yaptıkları bir başka çalışmada, Kaiser penceresinden türetilen ancak zaman bölgesi fonksiyonunda güç serisi açılımı içermeyen pencere fonksiyonunu geliştirmişlerdir [19,0]. Yazarlar, dalgalanma oranı spektral parametresini geliştirme işlemini [19,0] de önerilen çalışmalarına ekledikleri yeni parametre ile sağlamışlardır [1]. Eklenen yeni parametrenin uygun değer seçilmesiyle daha iyi bir dalgalanma oranı ve kontras oranı bakımından başarılı sonuçlar elde ettiğini göstermişlerdir. Birden fazla pencere fonksiyonun özelliklerini tek bir pencerede bulunduracak yeni bir pencere için son zamanlarda akıllı hesaplama yöntemleri kullanılmaktadır. Kaya ve İnce, pencere katsayı değerlerinin hesaplanmasında evrimsel hesaplama yöntemlerinden bir olan Genetik Algoritma (GA) kullanımını önermişlerdir. Bu yöntemle bulunan sonuçlar, Kaiser penceresi genlik spektrumu ile karşılaştırılmış ve yanlob azalma oranı bakımından daha başarılı sonuçlar elde etmişlerdir [, 3]. Kaya ve İnce tarafından yapılan başka bir çalışmada ise, [] çalışması yardımıyla elde edilen sonuçlar FIR filtre tasarımında kullanılarak yanlob azalma oranı daha yüksek olan bir filtre genlik spektrumu elde etmişlerdir [4].. BİR BOYUTLU SAYISAL FİLTRELER Filtreler, impuls cevaplarına göre FIR ve IIR filtreler şeklinde iki grupta incelenmektedirler. Hem FIR hem de IIR filtrelerin birbirlerine göre avantaj ve dezavantajları bulunmaktadır. FIR olarak tasarlanacak bir filtre tekrarlı veya tekrarsız yapı kullanarak tasarlanabilmektedir. Ancak tekrarlı olarak tasarlanacak FIR filtre daima kararlı ve lineer faz cevabına sahip olacaktır. Bir sayısal filtre genlik cevabı karakteristiği ve özellikleri Şekil 1 de gösterildiği gibidir [5]. A d = durdurma bandı zayıflamasını gösterilmektedir. Sayısal filtre tasarımında temel amaç, istenilen özellikleri sağlayacak genlik cevabının yukarıda ifade edilen şartlar içerisinde olmasını sağlayacak filtre transfer fonksiyonu katsayı değerlerinin hesaplanması şeklindedir. İstenilen genlik karakteristiğini sağlayacak olan filtre, tekrarsız olarak gerçekleştirilirken sisteme ait giriş-çıkış ilişkisini gösteren transfer fonksiyonu, jw jω ( e ) = h( n e (1) n= H ) denklemi yardımıyla ifade edilmektedir. Bu denklem elde edilen filtrenin impuls cevabının - dan başlayıp a kadar devam ettiğini gösterir. Bu durumda da filtre fiziksel olarak gerçekleştirilemez. Bir filtrenin fiziksel olarak gerçekleştirilebilmesi impuls cevabının sınırlı sayıda ve sistemin nedensel olması şartlarına bağlıdır. Hem bir hem de iki boyutlu sayısal filtre tasarımında sınırlı sayıdaki eleman değerinin Fourier dönüşümün alınmasıyla elde edilen transfer fonksiyonunda istenmeyen Gibbs salınımları meydana gelmektedir. Meydana gelen bu salınımlara ait genlik cevabı tek boyutlu filtre için Şekil de gösterilmiştir. Kazanç (db) 10 5 0-5 -10-15 -0-5 -30-35 -40 N=13 N=3 N=33-45 0 0.5 1 1.5.5 3 Normalize Frekans (rad/örnek) Şekil : Farklı dereceler için alçak geçiren filtre genlik cevabı ve Gibbs salınımları Şekilde; Şekil 1: Alçak geçiren filtre için genlik cevabı özellikleri w g = geçirme bandı frekansı w d = durdurma bandı frekansı wö = örnekleme frekansı A g = geçirme bandı dalgalanması 3. PENCERE FONKSİYONLARI FIR filtre tasarımında Fourier serisinin anlık kesilmesinden dolayı meydana gelen ve arzu edilmeyen bu salınımları ortadan kaldırabilmek için kullanılan yapılara pencere fonksiyonu adı verilmektedir Genel olarak bir pencere fonksiyonu yardımıyla filtre tasarımı işleminde, filtrenin ideal genlik cevabı ile aynı uzunluğa sahip pencere fonksiyonu çarpılarak tasarlanmak istenen filtre katsayı değerleri elde edilmektedir. Bir boyutlu sayısal filtreler için bu durum denklem ile ifade edilebilir. h[ n] = h [ n] w[ n] () id Gibbs salınımlarını giderebilmek için kullanılan pencere fonksiyonlarının genel olarak spektral karakteristiği Şekil 3 de gösterilmiştir. 339

pencere fonksiyonları gösterilebilir. Bu pencere fonksiyonlarında en çok tercih edilen Kaiser ve ultraspherical pencerelerine ait denklemler aşağıda verilmiştir. n I0 ( αk 1 ) N 1 w[ n] = N 1 n I0( αk ) 0 diğer yerlerde Burada α k ayarlanabilir parametre, I 0 (x) sıfır dereceli birinci tür geliştirilmiş Bessel fonksiyonu olup, güç serisi açılımı aşağıdaki gibidir. (3) Şekilde, Şekil 3: Pencere genlik spektrumu Analob genişliği = WR R = Maksimum yanlob genliği analob genliği S =Maksimum yanlob genliği minimum yanlob genliği ile tanımlanmaktadır. Pencere fonksiyonu tasarımı için önerilen yöntemler, genel olarak yukarıda belirlenen spektral parametre değerlerinin daha iyi olmasını sağlamak amacıyla geliştirilmiştir. Geliştirilen bu fonksiyonlar kullanılarak iyi tasarlanmış bir pencere fonksiyonundan arzu edilen karakteristik [5], analob genişliğinin dar olması dalgalanma oranının küçük olması yanlob azalma oranının geniş olması şeklindedir Geliştirilen pencere fonksiyonları sahip oldukları parametrelere göre sabit ve ayarlanabilir pencereler şeklinde iki gruba ayrılmaktadırlar. Sabit pencere fonksiyonları sahip oldukları tek bir parametre (pencere uzunluğu) ile yalnızca pencere fonksiyonunun analob genişliğini ayarlayabilmektedir. Ayarlanabilir pencereler ise sahip oldukları iki veya daha fazla parametre ile sabit pencerelerde olduğu gibi pencere uzunluğu ile analob genişliğini ayarlayabilmekte, diğer parametreler yardımıyla da diğer pencere spektral parametrelerini kontrol etmektedirler. 3.1. Sabit Pencere Fonksiyonları Bu türden pencere fonksiyonları yaygın olarak sinyal işleme uygulamalarında tercih edilmektedir. Yaygın olarak kullanılan bu tür pencerelere, Dikdörtgen, Hamming, Hann, Blackman, Bartlett v.s. gösterilebilir. Bu fonksiyonlara ait denklemler [5,5] de verilmiştir. Sabit pencere fonksiyonlarının bir tek parametreye sahip olmalarından dolayı diğer pencere spektral parametrelerin ayarlanmasında kullanılamamaktadırlar. Bunların yerine daha fazla parametreye sahip ayarlanabilir pencere fonksiyonları geliştirilmiştir. 3.. Ayarlanabilir Pencere Fonksiyonları Literatürde kullanılan ve çok fazla tercih edilen ayarlanabilir pencere fonksiyonları Dolph-Chebyshev, Kaiser, Saramaki ve ultraspherical ile son zamanlarda geliştirilen üstel, cosh, modifiye edilmiş cosh, modifiye edilmiş Kaiser k 1 x I0( x) = 1+ k = 1 k! (4) Ultraspherical polinomuna dayalı olan ve üç bağımsız parametreye sahip olan (µ, x µ ve N) ultraspherical pencere fonksiyonu için en genel tanım denklemi aşağıdaki gibidir [11-15]. 1 n A µ + p n µ + n 1 p n m wnt [ ] = B n= 0,1,..., N 1 p n p n 1 m= 0 n m m (5) Burada; p µ xµ µ 0 için A= B = x p = N p xµ µ = 0 için, 1 µ, 1 4. AKILLI HESAPLAMA YÖNTEMLERİ Son yıllardaki teknolojinin gelişmesine paralel olarak bilgisayarlar ve bilgisayar destekli sistemler hayıtımızda önemli bir yer edinmiş ve vazgeçilmezler arasına girmişlerdir. Önceleri uygulama alanlarında bilgisayarlar yüksek hızlarından dolayı yalnızca veriler arasında işlem yapmak ve sonuç almak için kullanılırken, son zamanlarda geliştirilen yeni yöntemler eklenerek bilgisayarlar artık elde edilen verileri özetleyebilen, veriler arasında ilişki kurabilen ve bu ilişkiler neticesinde ise sonuçları yorumlayabilen makineler haline gelmişlerdir [6]. Günümüzde, bilgisayarların veriler arasında ilişki kurma özelliğinden yararlanılarak matematiksel olarak modellenmesi mümkün olmayan sistemlerin modellenmesinde veya çözümü çok zor ya da imkânsız olan sistemlerin sonuçlanmalarında bilgisayarlar vazgeçilmez bir çözüm aracıdır. Genel olarak bilgisayarlara bu özelliklerinin kazandırılmasını sağlayan çalışmalara yapay zekâ adı verilmektedir. Yapay zekâ veya genel olarak akıllı hesaplama yöntemleri, pek çok uygulama alanlarında sağladıkları kolaylık ve çözümü klasik hesaplama yöntemleri ile imkânsız problemlerin çözümünde başarı sağladıkları gibi pencere fonksiyonu ve sayısal filtre tasarımında da başarılı sonuçlar vermektedirler. Akıllı hesaplama yöntemleri arasında yer alan GA, Yapay Sinir Ağları (YSA), Bulanık Mantık (BM) gibi yöntemler farklı uygulama alanlarında, farkı değerler üreterek arzu edilen sonuca ulaşmada başarı sağlamaktadırlar. Bu yöntemlerden bir olan GA, doğal seçilim ilkesinin benzetim yoluyla bilgisayarlara uygulanması ile elde edilen bir arama yöntemidir. Bilinen bir GA programında, her bir birey (6) 340

Elektrik-Elektronik ve Bilgisayar Sempozyumu 011 önceden belirlenmiş sınırlı uzunluğa sahip ve kromozom adı verilen vektörler yardımıyla modellenir. İlk olarak rasgele veya çözüm hakkında bazı bilgiler biliniyorsa o bilgilere göre seçilen ve belirli bir sayıda kromozom alınarak başlangıç popülasyonu (toplum) elde edilir. Bu başlangıç popülasyonu elde edildikten sonra, kromozomlar yeni nesiller elde etmek için bazı değişikliklere uğrarlar. Rasgele elde edilen popülasyon içerisindeki vektörün (birey, kromozom) iyiliği ölçülür. Yani kromozom önceden belirlenen uygunluk fonksiyonu içerisinde yazılarak kromozomun uygunluk değeri hesaplanır. Elde edilen uygunluk değerine göre bir sonraki neslin oluşumu için bazı kromozomlar yeniden üretilip, çaprazlanır veya mutasyon işlemlerine uğratılırlar. GA yardımıyla pencere fonksiyonu tasarımında en son generasyon içerisindeki bireyler arzu edilen spektral parametre değerlerini veya bu spektral parametrelerinden oluşan kullanışlı spektral parametreli pencere fonksiyonu katsayılarını temsil edecektir. Basit bir GA evrimleşme döngüsü Şekil 4 te gösterilmiştir. YSA yardımıyla pencere fonksiyonu tasarımında GA da olduğu gibi YSA çıkışı kullanışlı spektral parametreli pencere fonksiyonu katsayılarını temsil edecektir. Şekil 5 te genel olarak çok katmanlı YSA modelinin basit bir yapısı gösterilmiştir. Şekil 5: YSA nın katman yapısı ve bağlantıları Akıllı hesaplama tekniklerinden biri olan ve farklı arama değerleri ile sonuca ulaşmada başarı sağlayan GA ve klasik yöntemler ile modellenmesi zor veya imkânsız olan sistemlerin modellenmesinde başarılı olan YSA kullanılarak, pek çok uygulama alanında tercih edilen kullanışlı spektral parametrelere sahip pencere fonksiyonu parametreleri dolayısıyla da pencere katsayı değeri hesaplanabilir. Şekil 4: GA çemberi YSA ise, insan beyninin taklit edilmesiyle elde edilen ve bilgisayarların standart algoritmik hesaplama yönteminden farklı olarak geliştirilmesiyle meydana çıkan diğer bir akıllı hesaplama yöntemidir. İnsan beynin herhangi bir olay karşısındaki çözüm bulma yeteneği ve davranışının modellemesi için tasarlanan YSA, farklı katmanlara sahip olup bu katmanlardaki yapay sinir hücreleri ise çeşitli şekillerde bir birlerine bağlanırlar. Bu ağ yapısı ile YSA tıpkı insan beyni gibi eğitim sonunda bilgiyi toplama, sahip olduğu yapay sinir hücreleri arasındaki bağlantı yardımıyla bilgiyi saklama ve sonuç olarak olayları değerlendirme gibi özellikleriyle yapay bir işlemci gibi davranmaktadır [7]. En basit olarak yapay sinir hücresi modelinden faydalanılarak oluşturulan YSA larda, bu sinir hücrelerinin belirli bir düzene göre bir araya gelmesiyle katmanlar, bu katmanların bir araya gelmesiyle de YSA meydana gelmektedir. Ara (gizli) katmanı olmayan ve sadece giriş ve çıkış katmanlarından meydana gelen bir YSA karmaşık hesaplamaları yerine getirmede başarısız kalmaktadır. Dolayısıyla, karmaşık problemlerin çözümünü sağlayabilmesi için YSA nın en az üç veya daha fazla katmandan oluşması gerekmektedir. Bu katmalar, giriş, ara ve çıkış katmanı olup geliştirilen YSA modelinde daha fazla ara katman kullanılabilir 5. SONUÇLAR Gerek sayısal filtre gerekse de genel olarak sinyal işleme alanlarının vazgeçilmez bir parçası olan pencere fonksiyonlarının pencere spektral parametre değerlerinin hesaplanması arzu edilen bir durumdur. Kullanışlı spektral parametrelere sahip bir pencere fonksiyonu yardımıyla işlenmiş bir filtre veya bir sinyal daha kullanışlı genlik cevabına sahip olacaktır. Birden fazla pencere fonksiyonun kullanışlı spektral parametrelerinin bir arada kullanılmasıyla daha güçlü bir pencere fonksiyonu tasarımı ancak akıllı hesaplama yöntemleri olarak bilinen algoritmalar yardımıyla gerçekleştirilebilir. Yapılan çalışma ile literatürde kullanılan pencere tasarım yöntemleri ve uygulama alanları araştırılmış ve bu konu ile ilgili son yıllarda yapılmış olan çoğu akademik çalışmalar sunulmuştur. Çalışma sayesinde, bu alanda yapılacak herhangi bir çalışma için neler yapıldığı gösterilmiş, günümüz ve gelecek çalışma alanları hakkında araştırmacılara bilgiler verilmiştir. 6. KAYNAKLAR [1] Gibbs J.W.,. Fourier series, p. 00-606, 1899. [] Fejer, L., Sur les fonctions bornees et integrables, Comptes Rendus Hebdomadaries, Seances de l'academie de Sciences, Paris, 131: 984-987, 1900. [3] Lanczos, C., Applied Analysis, Van Nostrand, Princeton, NJ, 1956. 341

[4] Adams, J.W., A new optimal window, IEEE Transactions on Signal Processing. 39(8): 1753-1769, 1991. [5] Mitra, S.J., Digital Signal Processing A Computer- Based Approach, s-97, McGraw-Hill International Edition, Singapore, 006. [6] Dolph, C.L., A current distribution for broadside arrays which optimizes the relationship between beamwidth and side-lobe level, Proc. IRE, June, 34: 335-348, 1946. [7] Harris, F.J., On the use of windows for harmonic analysis with the discrete Fourier transform. Proc. IEEE. 66:51-83, 1978. [8] Kaiser J.F., Nonrecursive digital filter design using I 0 - sinh window function, Proc. IEEE Int. Symp. Circuits and Systems, San Francisco, Calif., USA, 0-3 April, 1974. [9] Saramaki, T., A class of window functions with nearly minimum sidelobe energy for designing FIR filters, Proc. IEEE Int. Symp. Circuits and systems, Portland, Ore, USA, May, 1,p. 359-36, 1989. [10] Nuttall, A. H., Some Windows with Very Good Sidelobe Behavior, IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, 9:1 84-91, 1981. [11] Deczky A.G., Unispherical Windows, IEEE Int. Symp. on Circuits and Systems. Sydney, Australia, May,, p. 85-88, 001. [1] Bergen, S.W.A. and Antoniou, A., Generation of Ultraspherical window functions, in XI European Signal Processing Conference, Toulouse, France, September,, p. 607-610, 00. [13] Bergen, S.W.A. and Antoniou, A., Design of Ultraspherical Window Functions with Prescribed Spectral Characteristics, EURASIP Journal on Applied Signal Processing, 13: 053-065, 004. [14] Bergen, S.W.A. and Antoniou, A., Nonrecursive Digital Filter Design Using the Ultraspherical Window, IEEE Pacific Rim Conference On Communications, Computers, And Signal Processing, August 8-30, p. 60-63, 003. [15] Bergen, S.W.A. and Antoniou, A., Design of Nonrecursive Digital Filters Using the Ultraspherical Window Function, EURASIP Journal on Applied Signal Processing, 1: 1910-19, 005. [16] Avci K. and Nacaroğlu A., A new window based on exponential window, IEEE Ph.D. Research in Microelectronics and Electronics, June. Istanbul, Turkey, p. 69-7, 008. [17] Avci K. and Nacaroğlu A., Kaiser Yaklaşımı Kullanılarak Oluşturulan Üstel Pencereyle Yinelemesiz Sayısal Süzgeç Tasarımı, Çukurova Üniversitesi Mühendislik-Mimarlık Fakültesi 30. Yıl Sempozyumu, Adana, 16-17 Ekim, s. 74-79, 008. [18] Avci K. and Nacaroğlu A., High Quality Low Order Nonrecursive Digital Filter Design Using Modified Kaiser Window, Proc. of 6th Symposium on Communication Systems, Networks and Digital Signal processing, July. Graz, Austria, p. 39-4, 008. [19] Avci K. and Nacaroğlu A., Cosine hyperbolic window family with its application to FIR filter design, Proc. of Third International Conference on Information and Communication Technologies, April. Damascus, Syria, p. 89-90, 008. [0] Avci K. and Nacaroğlu A., Cosh window family and its application to FIR filter design, International Journal of Electronics and Communications-AEU, 63: 906-917, 009. [1] Avci K. and Nacaroğlu A., Modification of Cosh window family, Proc. of Third International Conference on Information and Communication Technologies, Damascus, Syria, p. 91-9, 008. [] Kaya, T. and İnce, M.C., The Calculation of Adjustable Window Parameters With Helping GA, Applied Automatic Systems, Ohrid, Republic of Macedonia, p.135-138, 009. [3] Kaya, T. ve İnce, M.C., Yüksek Performanslı Pencere Fonksiyonlarının Genetik Algoritma Yardımıyla Gerçekleştirilmesi, 3. Haberleşme Teknolojileri ve Uygulamaları Sempozyumu, (HABTEKUS 09), s. 35-38, 9-11 Aralık, 009. [4] Kaya, T. and İnce, M.C., The FIR Filter Design by Using Window Parameters Calculated with GA, Soft Computing, Computing with Words and Perceptions in System Analysis, Decision and Control- (ICSCCW 009), p.1-4, September -4, 009. [5] Avci, K., Design of High-Quality Low-Order Nonrecursive Digital Filters Using the Window Functions, PhD Thesis, University of Gaziantep, 008. [6] Öztemel, E., Yapay Sinir Ağları, Papatya Yayıncılık, İstanbul, 003. [7] Elmas, Ç., Yapay Sinir Ağları (Kuram, Mimari, Eğitim, Uygulama), Seçkin Yayıncılık, Ankara, 003. 34