ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL

Transkript

1 ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Tilbe GÖKÇEL DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Emel ERGÖNÜL İZMİR 2013

2 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI GİRİŞ FİBONACCİ SAYI DİZİSİ ÖZYİNELEMELİ FONKSİYONLAR ÜRETEÇ FONKSİYONLARI FİBONACCİ SAYILARI İÇİN GENEL FORMÜLÜN BULUNMASI ŞEKLİNDEKİ DİZİLER ŞEKLİNDEKİ DİZİLER İÇİN GENEL FORMÜL DEĞERİNİ HESAPLAYAN FORMÜL... 8 SONUÇ KAYNAKLAR TEŞEKKÜR

3 1. PROJENİN AMACI Bu projenin amacı olmak üzere değerini hesaplayan yeni bir formül önermektir. Bu amaç doğrultusunda önce Fibonacci sayı dizisi ele alınmış sonra bu dizinin bir genelleştirilmesi verilerek dizinin elemanlarını hesaplayan bir formül çıkartılmıştır. Bu formül aracılığı ile değerini hesaplayan bir formül türetilmiştir. 2. GİRİŞ Matematik derslerinden formülünü biliyoruz [2]. Gördüğümüz gibi bu formülü kullanarak vs. gibi değerleri hesaplayabiliriz. Ancak n nin herhangi bir pozitif tamsayı değeri için değerini hesaplayan bir formül yoktur. İşte biz de bundan yola çıkarak bu projeyi tasarladık. Kısacası bu projede değerini hesaplayan bir formül önerdik. Bunun için önce Fibonacci dizilerinin bir genelleştirilmesi olan şeklindeki ifadeleri inceledik. Daha sonra bu dizinin elemanlarını doğrudan hesaplayan genel bir formül bulduk. Bu formülden yararlanarak değerini hesaplayacak olmak üzere formülünü geliştirdik. Proje 9 bölümden oluşmaktadır. Üçüncü bölümde Fibonacci dizileri ile ilgili önbilgi verilmiştir. Dördüncü bölümde özyinelemeli fonksiyonlara değinilmiştir. Projenin beşinci bölümünde genel formüllerin çıkartılmasında ve ispatlanmasında kullanılan üreteç fonksiyonlarından bahsedilmiştir. Altıncı bölümde Fibonacci sayılarının herhangi bir elemanına ulaşmak için geliştirilmiş olan Binet formülünün üreteç fonksiyonları kullanılarak ispatı verilmiştir. Yedinci bölümde şeklinde yeni bir dizi önerilmiştir. Sekizinci bölümde şeklindeki dizilerin herhangi bir elemanına ulaşmak için üreteç fonksiyonları kullanılarak genel bir formül bulunmuştur. Projenin dokuzuncu bölümünde önerdiğimiz için bulduğumuz genel formülden yararlanılarak edilmiştir. şeklindeki diziler değerini hesaplayan formül elde En sonda ise elde edilen sonuçlar yazılmış proje raporu kaynaklar ve teşekkür ile sonlandırılmıştır. 3

4 3. FİBONACCİ SAYI DİZİSİ Fibonacci dizisinde her bir sayı kendinden önceki iki sayının toplamı ile elde edilmektedir. Bu dizide ilk iki Fibonacci sayısının değeri 0 ve 1 kabul edilir [3]. Dizinin elemanları aşağıdaki gibidir: ÖZYİNELEMELİ FONKSİYONLAR Kendini doğrudan veya dolaylı olarak çağıran fonksiyonlara özyinelemeli (recursive) fonksiyonlar adı verilir. Bir problemin küçük parçalarını çözmek için bir alt programın kendi kendini çağırmasını sağlayarak tekrarlı işlemlerin çözümüne farklı bir bakış açısı getirir. Hem değimlerde hem de güzel sanatlarda veya gündelik yaşamımızda özyinelemelerle karşılaşmaktayız [5]. Fibonacci sayıları da bu gruba aittir. 5. ÜRETEÇ FONKSİYONLARI Üreteç fonksiyonları yinelemeli biçimde verilen bir ifadenin n ye bağımlı genel şeklinin bulunulması için kullanılırlar [1 4 5]. Yinelemeli şekilde olan ifadelerin çözümü incelenebilir. Burada r sabittir. biçiminin çözümü şeklinde Eğer olarak gösterilebilirse yalnız bu durumda yinelemeli ilişkisinin çözümüdür. (5.1) bağıntısında her iki tarafı elde ederiz. ya bölersek (5.1) (5.2) (5.3) Sonuncu ifadeye karakteristik denklem denir. r nin (5.3) ifadesinin çözümü olması gerekmektedir. ardışıklığının çözümü oluşturması için 4

5 TEOREM 5.1 ve gerçel sayılar olsun. denkleminin iki farklı kökünün olduğunu varsayalım. Bu durumda ardışıklığı yalnız olarak gösterildiğinde yinelemeli ilişkisinin çözümüdür. Burada sabittir. Bu teoremden de anlaşıldığı gibi ve başlangıç koşulları verilirse yinelemeli ilişkinin genel biçimini bulmak mümkündür [5]. 6. FİBONACCİ SAYILARI İÇİN GENEL FORMÜLÜN BULUNMASI n. sıradaki Fibonacci sayısını belirlemek için Binet formülü olarak bilinen aşağıdaki formül mevcuttur [5]. (6.1) Aslında üreteç fonksiyonlarını kullanarak bu formülü biz de bulabiliriz: karakteristik denkleminin kökleri ve dir. Teorem 5.1 e göre Fibonacci sayıları için sabit ve değerleriyle aşağıdaki bağıntı yer almaktadır. ve başlangıç değerleri ve sabitlerinin bulunulmasında kullanılabilir. Bu denklemi ve ye göre çözerek olduğunu görürüz. ve Bu değerleri göz önünde bulundurarak Fibonacci sayıları için genel formülü yazabiliriz. 5

6 7. ŞEKLİNDEKİ DİZİLER Burada olsun. (Burada şeklinde bir dizi alalım. Dizinin elemanları aşağıdaki gibi olsun. bazı parametrelerdir.) olduğunda (7.1) ifadesi Fibonacci dizisine dönüşmektedir. dizisi de özyinelemeli dizidir. Fibonacci dizisinde olduğu gibi dizinin her bir elemanı kendinden önceki iki elemanın toplamları şeklinde hesaplanmaktadır. Fibonacci dizilerinde ondan önceki elemanlarına ihtiyaç duyulmadan herhangi bir elemanına ulaşmak için genel bir formül olan Binet formülünün geliştirildiğini biliyoruz. Şimdi ise önermiş olduğumuz elemanının alacağı değeri hesaplayan genel formülü bulalım. (7.1) (7.2) şeklindeki ifadenin herhangi bir 8. ŞEKLİNDEKİ DİZİLER İÇİN GENEL FORMÜL olsun. şeklindeki ifade için karakteristik denklem aşağıdaki gibi olacaktır: (8.1) Burada ve dir. O zaman denklemi çözersek köklerini elde ederiz. Buradan ve (8.2) olduğunu görürüz. iken (8.3) iken (8.4) olur. (8.3) denkleminden (8.5) elde ederiz. 6

7 (8.5) denkleminden için elde ettiğimiz sonucu (8.4) denkleminde yerine yazarsak (8.6) elde ederiz. Şimdi ise (8.6) denkleminde gerekli sadeleştirmeleri yapalım. ortak parantezine alırsak (8.7) elde ederiz. Daha sonra (8.7) denkleminden için (8.8) elde ederiz. (8.8) denklemini şeklinde yazabiliriz. Gerekli sadeleştirmeleri yaparsak elde ederiz. Burada diye adlandırırsak (8.9) olur. (8.8) denkleminden için elde ettiğimiz sonucu (8.5) denkleminde yerine yazarsak (8.10) elde ederiz. (8.10) denklemini 7

8 şeklinde yazabiliriz. olduğundan (8.11) olacaktır. Sonda ve için elde ettiğimiz sonuçları (8.2) denkleminde uygun yerlerine yerleştirirsek elde ederiz. Gerekli sadeleştirmeleri yaparsak (8.12) elde ederiz. 9. DEĞERİNİ HESAPLAYAN FORMÜL Matematik derslerinden (9.1) (Burada dır.) (9.2) (9.3) formüllerini biliyoruz. İstenilen n değeri için olmak üzere (9.4) olsun. Burada ve polinomlardır.... ; 8

9 (9.1) ve (9.4) denklemlerini kullanarak... ; şeklinde olduğunu görebiliriz. Böylece (9.5). (9.6) olduğu açıktır. O zaman iki tarafından değerini çıkartalım. Buradan olacaktır. (9.5) denkleminde eşitliğin her (9.7) elde ederiz. (9.6) denkleminden ise (9.8) olduğu görülür. (9.8) denklemini (9.7) de uygun yerine yerleştirirsek elde ederiz. Yani olur. Aynı işlemleri için uygulayalım. (9.6) denkleminde belirlediğimiz gibi O zaman değerini çıkartalım. Buradan olur. (9.6) denkleminin her iki tarafından elde ederiz. Yani 9

10 olur. Böylece ve biçimindedir. Burada dir. için ve için olur. O zaman biz ve için (8.12) formülünü uygulayabiliriz. için Buradan ise olur. Sonuç olarak elde edilir. ve durumları göz önüne alınarak (9.9) elde edilir. için için de aynı işlemler uygulanırsa 10

11 olur. Sonuç olarak (9.10) elde edilir. (9.9) ve (9.10) denklemlerinden elde edilen sonuçları (9.4) denkleminde yerine yazarsak olmak üzere (9.11) elde ederiz. Şimdi bulduğumuz formülü bir örnek üzerinde uygulayalım. n = 4 ve olmak üzere olur. Diğer taraftan matematik derslerinden bildiğimiz trigonometrik toplam formülünü kullanacak olursak aynı sonucu elde ederiz. SONUÇ Sonuç olarak bu projede değerini n nin herhangi bir pozitif tam sayı değeri için ondan önceki değerlerine ihtiyaç duyulmadan hesaplayacak bir formül önerilmiştir. Bunun için ilginç de olsa Fibonacci dizilerinin genelleştirilmiş bir versiyonundan yararlanılmıştır. Bulduğumuz formülün matematik ve mühendislik araştırmalarında da kullanılacağını düşünüyoruz. Sonuç 1: Fibonacci dizilerinin bir genelleştirilmesi olan dizisi önerilmiş ve bu dizinin herhangi bir teriminin değerini hesaplayan formül bulunmuştur. Sonuç 2: Bulunulan formülden yararlanılarak geliştirilmiştir. değerini hesaplayan formül 11

12 KAYNAKLAR [1] Emine Şule Yazıcı Doğuran Fonksiyonlar Matematik Dünyası Dergisi I sayı S [2] Ali Dönmez Matematik Terimleri ve Formülleri Seçkin Yayınları Ankara 2002 [3] Richard A. Dunlap Altın Oran ve Fibonacci Sayıları Tubitak Yayınları Ankara [4] Ronald L. Graham Donald E. Knuth Oren Patashnik Concrete Mathematics A Foundation for Computer Science Second Edition Addison-Wesley Publishing Company [5] Vasif Nabiyev Algoritmalar Teoriden Uygulamalara Seçkin Yayınları Ankara TEŞEKKÜR Proje çalışmamın her aşamasında yakın ilgi ve desteğini gördüğüm; çalışmalarımın yönlendirilmesi ve sonuçlandırılmasında büyük emeği geçen proje danışmanım Emel ERGÖNÜL e ve Bilim Kurulu Eş Başkanı (Matematik) Dr. Gizem GÜNEL e bugüne dek yetişmemde katkısı olan değerli öğretmenlerime her zaman yanımda olan ve beni destekleyen yüreklendiren aileme teşekkür ederim. Tilbe GÖKÇEL Izmir