Bu bölümde; Çok ölçütlü karar verme yöntemlerinden biri olan TOPSİS yöntemi anlatılacaktır.

ÇOK ÖLÇÜTLÜ KARAR VERME TOPSIS (Technique For Order Preference By Similarity To Ideal Solution) PROF. DR. İBRAHİM ÇİL 1

Bu bölümde; Çok ölçütlü karar verme yöntemlerinden biri olan TOPSİS yöntemi anlatılacaktır.

TOPSIS Yoon ve Hwang tarafından 1980 yılında geliştirilmiş olan TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) ELECTRE yönteminin temel yaklaşımlarını kullanır. Aslında felsefesi oldukça basittir. Karar noktalarının ideal çözüme yakınlığı ana prensibine dayanır. Hwang ve Yoon alternatiflerin daha ideal bir şekilde sıralanabilmesi için her bir alternatifin pozitif ideal çözüm noktasına olan yakınlığını ve negatif çözüm noktasına olan uzaklığını eşzamanlı olarak hesaplamaya katar. Yöntemde alternatif seçeneklerin belirli kriterler doğrultusunda ve kriterlerin alabileceği maksimum ve minimum değerler arasında ideal duruma göre karşılaştırılması gerçekleştirilmektedir. TOPSIS yöntemi değerlendirilecek seçenek kümesinde her bir kriter için en ideal projeyi temel alarak diğer projelerin bundan olan farklarına göre sıralanmasını içerir. Buna göre pozitif- ideal çözüme en yakın nokta veya negatif-ideal çözüme en uzak noktanın kombinasyonudur. Daha sonrada ideale en benzer alternatif seçilir. TOPSIS yönteminde her kriterin tekdüze azalan veya artan bir faydası

TOPSIS İdeal çözüme benzerliğe göre tercih sıralama tekniği (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) (Yoon & Hwang, 1995; Hwang & Lin, 1987) İdeal çözüme benzerliğe göre tercih sıralama yönteminde, seçenekler bir ideal noktadan ayrılışlarına göre sıralanır. İdeal nokta; en çok istenen, ağırlıklı, varsayımsal seçenek olarak tanımlanır. İdeal noktaya en yakın seçenek, en iyi seçenektir. Bu ayrım metrik uzaklık ile ölçülür (Janssen, 1992; Malczewski, 1997). Pozitif ideal nokta, ağırlıklandırılmış değerlerin en büyüğü; negatif ideal nokta, ağırlıklandırılmıs değerlerin en küçüğüdür. Seçilecek olan seçenek, pozitif ideal çözüme en yakın ve negatif ideal çözüme en uzak uzaklığa sahip olmalıdır.

TOPSIS yöntemi temelde 6 adımdan oluşan bir çözüm sürecini içerir. [12,14] Adımlar: 1) Normalize değerler hesaplanır: Karar matrisindeki kriterlere ait puan veya özelliklerin kareleri toplamının karekökü alınarak matris normalize edilir. 2) Normalize değerler ağırlıklandırılır: Normalize edilmiş karar matrisinin elemanları kriterlere verilen önemler doğrultusunda ağırlıklandırılır. 3) Pozitif ideal ve negatif ideal çözümler belirlenir: Ağırlıklandırılmış matriste her bir kolonda maksimum(s* ) ve minimum(s - ) değerler tespit edilir. 4) İdeal çözüme benzerlikler hesaplanır: Bunun için Uzaklıklar (ayrımlar - separations) hesaplanır: Maksimum ideal noktaya olan uzaklık hesaplanır ve Minimum ideal noktaya olan uzaklık hesaplanır. 5) Tercih sıralaması yapılır: Her bir alternatifin göreceli sıralaması ve puanı hesaplanır.

Kriterler TOPSİS Süreci Değerlendirme Matrisi Alternatifler Sıralanmış Alternatifler Değerlendirme matrisinin normalize edilip ağırlık andırılması +/- İdeal Çözüm Eukleid Uzaklıkları + En iyi kriter değerleri temel alınarak -

İdeal çözüme benzerliğe göre sıralama yönteminin adımları: Öncelikle performans değerleri kullanılarak; satırları seçenekleri sütunları ise ölçütleri temsil eden bir karar matrisi oluşturulur. 7 1.Adım: Vektör normalizasyonu. Bu işlem aşağıdaki formülle yapılır. r ij x m ij i1 x 2 ij i=1, 2, 3, m (projeler), j=1, 2, 3, n (kriterler) 2.Adım: Normalize değerlerin ağırlıklandırılması. Bu işlem aşağıdaki şekilde gerçekleştirilir. vij = wj * rij Burada wj; j. ci kriterin ağırlığıdır.

3.Adım:Pozitif ve negatif ideal çözümlerin bulunması 8 A * * * * { v 1, v2,..., v j,..., vn} maksv j J v j J ij 1, min ij 2 i i i 1,..., m Burada J 1 fayda kriterleri seti, J 2 kayıp kriterleri setidir A { v1, v2,..., v j,..., v n } min i v ij j J1, maks v ij i j J2 i 1,..., m

4.Adım:Seçeneklerin ideal çözümlere olan Eukleid uzaklıklarının (Si+, S i-) hesaplanması S i j 2 ( vij v j ) S i j ( v ij v j 2 ) 9 i=1, 2, 3, m 5. Adım: Seçeneklerin pozitif ideal çözüme benzerliklerinin (Ci*) hesaplanması Ci* = Si-/ (Si+ + Si-) i=1, 2, 3, m, 0 C 1 i

Proje Puanlandırma 10 Proje No 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 A Kriteri (Ağırlık=0,75) 20 42 63 48 41 92 70 28 99 47 B Kriteri (Ağırlık=0,25) 6.2 3.7 8.6 4.1 7.2 7.0 3.5 4.0 1.6 4.0

KAR KRİTERİNE GÖRE SIRALAMA 0,75 0,25 wa wb a b a2 b2 xa xb xa*0,75 xb*0,25 s* S* 20 6,2 400 38,44 0,105 0,364 0,079 0,091-0,311 0,097-0,035 0,001 0,098 0,313 42 3,7 1764 13,69 0,221 0,217 0,165 0,054-0,224 0,050-0,072 0,005 0,056 0,236 63 8,6 3969 73,96 0,331 0,505 0,248 0,126-0,142 0,020 0,000 0,000 0,020 0,142 48 4,1 2304 16,81 0,252 0,241 0,189 0,060-0,201 0,040-0,066 0,004 0,045 0,211 41 7,2 1681 51,84 0,215 0,422 0,161 0,106-0,228 0,052-0,021 0,000 0,053 0,229 92 7 8464 49 0,483 0,411 0,362 0,103-0,028 0,001-0,023 0,001 0,001 0,036 70 3,5 4900 12,25 0,368 0,205 0,276 0,051-0,114 0,013-0,075 0,006 0,019 0,137 28 4 784 16 0,147 0,235 0,110 0,059-0,280 0,078-0,067 0,005 0,083 0,288 99 1,6 9801 2,56 0,520 0,094 0,390 0,023 0,000 0,000-0,103 0,011 0,011 0,103 47 4 2209 16 0,247 0,235 0,185 0,059-0,205 0,042-0,067 0,005 0,046 0,216 toplam 36276 290,55 max 0,390 0,126 190,5 min 0,079 0,023 s- S- pı 0,000 0,000 0,067 0,005 0,005 0,067 0,177 P6 0,890 0,087 0,008 0,031 0,001 0,008 0,092 0,281 P9 0,752 0,169 0,029 0,103 0,011 0,039 0,198 0,583 P7 0,593 0,110 0,012 0,037 0,001 0,014 0,116 0,355 P3 0,583 0,083 0,007 0,082 0,007 0,014 0,117 0,337 P4 0,355 0,284 0,080 0,079 0,006 0,087 0,294 0,890 P10 0,342 0,197 0,039 0,028 0,001 0,040 0,199 0,593 P5 0,337 0,032 0,001 0,035 0,001 0,002 0,047 0,141 P2 0,281 0,311 0,097 0,000 0,000 0,097 0,311 0,752 P1 0,177 0,106 0,011 0,035 0,001 0,013 0,112 0,342 P8 0,141

Normalleştirilmiş Puanlar 12 Proje No 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Normalleştirilmiş Puanlar A 0.105 0.221 0.331 0.252 0.215 0.483 0.368 0.147 0.520 0.247 B 0.364 0.217 0.505 0.241 0.422 0.422 0.205 0.235 0.094 0.235

Ağırlıklandırılmış Puanlandırma 13 Proje No 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 I+ = İdeal Pozitif Proje I = İdeal Negatif Proje Normalleştirilmiş Değerler A 0.079 0.165 0.248 0.189 0.161 0.362 0.276 0.110 0.390 0.185 0.390 0.079 B 0.091 0.054 0.126 0.060 0.106 0.103 0.051 0.059 0.023 0.059 0.126 0.023

Ayrılma Ölçüleri(Eukleid uzaklığı) ve Öncelik İndeksi 14 Proje No 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 Ayrılma Ölçüleri S +S 0.313 0.236 0.142 0.211 0.229 0.036 0.137 0.288 0.103 0.216 0.067 0.092 0.198 0.116 0.117 0.294 0.199 0.047 0.311 0.112 Öncelik İndeksi Ci 0.177 0.281 0.583 0.355 0.337 0.890 0.593 0.141 0.752 0.342

15 Sıralanmış ve Maliyetlendirilmiş Projeler (40 Milyon Dolarlık Bütçede) Sıralama Öncelik İndeksi Proje No Bütçe (Milyon ) Kümülatif Bütçe (Milyon ) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 0.890 0.752 0.593 0.583 0.355 0.342 0.337 06 09 07 03 04 10 05 5.5 8.9 1.0 7.9 3.1 8.0 4.6 5.5 14.4 15.4 23.3 26.4 34.4 39.0 8. 9. 10. 0.281 0.177 0.141 02 01 08 6.5 7.9 2.3 45.5 53.4 55.7

TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution) İdeal çözüme benzerliğe (göreli yakınlığa) göre sıralama 1. Vektör normalizasyonu (r ij ) [maliyet ölçütü için dönüşüm yapılmaz] 2. Normalize değerlerin ağırlıklandırılması (v ij =w j r ij ) 3. Pozitif ve negatif ideal çözümlerin bulunması 4. Seçeneklerin ideal çözümlere olan Eukleides uzaklıklarının (S i *, S i ) hesaplanması 5. Seçeneklerin pozitif ideal çözüme benzerliklerinin (C i *) hesaplanması C i * = S i / (S i * + S i ) 6. Seçeneklerin benzerliğe göre sıralanması 16

ADIMLAR Normalize değerler hesaplanır Vektör normalizasyonu (Euclid uzaklığı) kullanılır Maliyet ölçütleri için ters dönüşüm yapılmaz! Normalize değerler ağırlıklandırılır v ij = w j * r ij Pozitif ideal ve negatif ideal çözümler belirlenir * * * * * a { v1, v2,..., v j,..., vn} = = a = { v1, v2,..., v j,..., v n } = maks vij j J1, min vij j J 2 i 1,..., m i i min vij j J1, maks vij j J 2 i 1,..., m i i J 1 kar ölçütleri kümesi ve J 2 maliyet ölçütleri kümesi

ADIMLAR Uzaklıklar (ayrımlar - separations) hesaplanır Her seçeneğin ideal çözümlerden Euclid uzaklığı ölçülür: S * i * 2 ( vij v j ) S i İdeal çözüme benzerlikler hesaplanır C Tercih sıralaması yapılır j * * i Si /( Si Si ) v Seçenekler benzerliklerine göre azalan sırada sıralanır Benzerliği en yüksek olan seçenek önerilir j ( v ij j 2 )

Normalizasyon: GLOBAL PERFORMANS DEĞERİ Kullanılan sorun çözüm yöntemine bağlı olarak seçeneklerin global performans değerlerinin hesaplanması için performans değerlerinin biraraya getirilmesi gerekir. Performans değerlerinin biraraya getirilmesi gerekirse uygulanacak işlemler: Değerlerin boyutsuz hale getirilmesi (Yani Normalizasyon) Ölçütlerin göreli önemlerinin belirlenmesi

NORMALİZASYON YÖNTEMLERİ 1. Seçeneklerin ölçütlere göre performans değerlerinin başlangıç noktasına (sıfır vektörü) olan uzaklığının tüm seçeneklerin başlangıç noktasına toplam uzaklığına oranı (Yon ve Kim, 1989): p 1/ p m x kj 0 k 1 r ij (p) = (x ij - 0) / p=1 için (Manhattan uzaklığı) normalizasyon p=2 için (Eukleides uzaklığı) vektör norm. p= için (Tchebycheff uz.) doğrusal norm. r ij (1) = x ij / m k1 x kj r ij (2) = x ij / m k 1 x kj 2 r ij ( ) = x ij / maks x kj, k 1,2,..., m

NORMALİZASYON YÖNTEMLERİ 2. Seçeneğin ölçüte göre performans değeri ile o ölçüte ait en kötü değer arasındaki farkın yine o ölçüte ait en iyi ve en kötü değerler arasındaki farka oranı (Bana E Costa, 1988; Kirkwood, 1997) r ij = (x ij x j- ) / (x j+ x j- ) kar ölçütü için r ij = (x j- x ij ) / (x j- x j+ ) maliyet ölçütü için