1169 Matematik Öğretmen Adaylarının Dinamik Geometri Yazılımı ile Matematik ve Sanata Bakışları: Piet Mondrian Örneği Jale İpek (Bintaş) Ege Üniversitesi, Eğitim Fakültesi, Bilgisayar ve Öğretim Teknolojileri Eğit. Böl. jale.bintas@ege.edu.tr Pelin Özmüş Matematik Öğretmeni pelinozmus@hotmail.com Gözde Giziroğlu Matematik Öğretmeni ggiziroglu@hotmail.com Fuat Kıyak Matematik Öğretmeni fuatkiyak@gmail.com Özet Bu çalışma Orta Öğretim Alan Öğretmenliği Tezsiz Yüksek Lisans Programı 2009 2010 öğretim yılı bahar döneminde öğrenim gören matematik öğretmen adaylarına uygulanmıştır. Bu çalışmanın amacı Alan Eğitiminde Proje Geliştirme dersi kapsamında öğrencilerin Dinamik Geometri Yazılımı kullanımını öğrenmeleri ve informal geometri ile sanatın ilişkisi konusunda görüşlerini aktarmaktır. Bu çalışmada Dinamik Geometri Yazılımı olarak Geometer s SketchPad (GSP) kullanılmıştır. Öğretmen adayları ders süresince bireysel çalışma, akran öğrenmesi ve gösterip yaptırma teknikleri ile GSP programını kullanmayı öğrenmişlerdir. Daha sonra informal geometrinin sanat ile yakından ilişkisini göz önüne alarak Hollandalı ressam Piet MONDRIAN ın eserlerinin GSP programı yardımıyla birebir uygulamasını yaparak çalışmışlardır. Öğretmen adayları bu çalışmalar sırasında informal geometrinin bir problem çözme becerisi olduğunun farkına varmışlardır. Ortaya çıkan çalışmalar öğretmen adaylarının informal geometriye ve bilgisayar destekli geometri öğretimine karşı olumlu düşünceler getirmelerine yardımcı olmuştur. Ayrıca Piet MONDRIAN ın eserleri tüm öğretmen adaylarının geometri ve sanat ilişkisi ile ilgili düşüncelerini olumlu yönde etkilemiş, matematik ve sanata karşı farkındalık kazandırmıştır. Bu çalışmalarda, bazı öğretmen adaylarının derslerinde bilgisayar destekli geometri öğretimi yapma konusundaki olumsuz fikirlerinin olumluya dönüştüğü gözlemlenmiştir. Özellikle de tüm öğretmen adayları, bilgisayar destekli geometri öğretimine karşı bakış açılarının zenginleştiğini belirtmişlerdir. Anahtar Kelimeler: İnformal geometri, Mondrian, geometri ve sanat. Bilgisayar teknolojisinin gelişmesiyle birlikte, genelde matematik özelde de geometri öğretiminde yeni yaklaşımların konu edildiği her ortamda bilgisayar ve bilgisayar destekli öğretimden söz edilmektedir. Geometri öğretiminde adını sıkça duymaya başladığımız Cabri Geometry ve Geometer s Sketchpad (GSP) gibi dinamik geometri yazılımları, bilgisayar teknolojisinin sınıflardaki gizil güçlü araçlarıdır. Yapılan araştırmalar, geometride öğrencilerin genellikle zorlandıklarını ve bazılarının da başarısız olduklarını ortaya çıkarmıştır. Bunun nedenlerinden biri olarak, görselliğin birinci derecede önemli olduğu geometride sınıf uygulamalarının görsellikten uzak olusu gösterilmektedir. Geometri derslerinde yalnızca yazı tahtası-tebeşir ve kağıt kalem -cetvel kullanılarak öğretim yapılmakta ve sınırlı sayıdaki çizimlerle öğrencilerden uzamsal görselleştirme düşüncelerinin geliştirilmesi beklenmektedir. Bu durumun değiştirilmesi gerektiği açıktır. Dolayısıyla öğrencilerin geometrik şekilleri ve özelliklerini daha iyi görebilme yetisini geliştirmek için daha çok ortam sağlanması gerekir. Bu doğrultuda Geometer s Sketchpad ile oluşturulan dinamik geometri ortamları, öğrencilerin geometrik şekilleri hareket ettirerek, biçimlerini değiştirerek ve ölçümler yaparak şekillerin özelliklerini
1170 keşfedebilecekleri ve ilişkilendirebilecekleri öğrenci merkezli ortamlar yaratmaktadır.(vatansever, S.,2007) Bu nokta da informal geometri tanımından bahsetmek yerinde olacaktır. İnformal geometri, kişinin çevresindeki objeler hakkındaki uzamsal düşüncesinin gelişmesini amaçlar. (NCTM, 1989, p.49) Bu uzamsal his çocukların tam da okul çağlarında gelişir. İnformal geometri, geometri müfredatının içeriğinden ve amaçlarından daha çok geometri etkinliklerinin doğası hakkında bilgiler sağlar. Bu etkinlikler çocuklara keşfetme, hissetme ve görme, inşa etme, çevrelerindeki şekiller hakkında gözlemler yapmalarına ek olarak çizerek ve modelleyerek kendi dünyalarını kurmalarına şans tanır. Bu tip etkinlikler inşa etmeyi, ölçmeyi ve görselleştirmeyi, karşılaştırmayı, transfer etmeyi ve geometrik nesneleri karşılaştırmayı içerir. Etkinlikler farklı seviyelere uygulanabilir olsalar da görsel olarak iyi aktiviteler bazı materyalleri içermelidir. Bunlar döşeme karoları, çubuklar, bloklar, çizgili ve noktaları kağıtlar, bilgisayar programları, cetveller, aynalar, kil ve daha fazlası. Bu materyallerin bazıları özel bazıları ise daha genel kullanımlar için uygun olabilir. Üzerinde çalışılan aktiviteleri tanımlamak ve öğrencileri bezdiren kelimelerle belirtmekten daha çok odaklanmayı sağlarlar.(van De Walle,J. A.,1994) İnformal geometrinin bileşenleri : Problem çözme yaklaşımı ve artistik bileşendir. Problem Çözme Yaklaşımı : Öğrenciler yapbozun nasıl modelleneceğini, şekillerin neye benzediklerini ve farklılıklarını, temel özellikler ile şekiller inşa edebilmenin yollarını ve temel özelliklerin kombinasyonlarının da mümkün olabileceğini keşfetmelidir. Artistik Bileşen : Çoğu iyi geometri aktivitesi sanatsal çalışma yaratmayı içinde barındırır. Renkler ve nesneler, şekiller ile kombine edilerek çeşitli sanatsal bakış açısına sahip öğrencilerin kişisel perspektiflerinden sanat ve matematik arasındaki farklı bağlantıları görmelerine yardımcı olur. Neden geometri çalışmalıyım? sorusuna verilebilecek cevaplardan bazıları şöyledir: 1. Geometri insanlara, yaşadıkları dünyayı tamamen takdir etmelerini sağlar. Geometri, güneş sisteminin yapısında, jeolojik oluşumlarda, kayaların ve kristallerin yapısında, bitkilerde ve çiçeklerde ve hatta hayvanlarda bulunabilir. Aynı zamanda sentetik evrenimizin de en büyük parçasıdır: sanat, mimari, arabalar, makineler, ve insanların yarattığı hemen hemen her şey geometrik nesnelerin birebir elemanıdır. 2. Geometrik açıklamalar problem çözme becerilerini geliştirir. Uzamsal usa vurma problem çözmenin önemli bir şeklidir ve problem çözme matematik çalışmanın en temel sebeplerindendir. 3. Geometri, matematiğin diğer alanlarında çalışmak içinde önemli bir rol oynar. Örneğin; kesir kavramı, geometrik parça-bütün yapısı ilişkisi ile bağlantılıdır. Oran-orantı, direkt olarak geometrik benzerlik kavramı ile ilişkilidir. Ölçme ve geometri konularının ilişkisi ise oldukça açıktır. İkisi de diğerini anlamaya yardımcıdır. 4. Pek çok kişi günlük profesyonel yaşantılarında geometriyi kullanırlar. Her çeşit bilim adamı, mimarlar ve sanatçılar, mühendisler, arazi şirketleri geometriyi düzenli olarak profesyonel yaşantılarında kullananların sadece bir kısmıdır. Evde bahçeye çit yapmakta, köpeğiniz için ev dizayn etmekte, bahçenizi planlamanızda ve hatta oturma odanızı dekore ettiğinizde bile geometriden yardım alırsınız. 5. Geometri, eğlencelidir. Eğer geometri doğru yollarla öğrenciye anlatılırsa matematiğin geneline sevgi beslenir, bu da eğlence esnasında öğrencinin kendi kendisine öğrenmesine yardımcı olur. (Van De Walle,J. A.,1994) Milli Eğitim Bakanlığı nın 2006-2007 eğitim öğretim yılında uygulanması kararlaştırılan ilköğretim 6-8 matematik dersi öğretim programı ve kılavuzunda matematik eğitiminin genel amaçları arasında yer alan 1. Matematiksel kavramları ve sistemleri anlayabilecek, bunlar arasında ilişkiler kurabilecek, bu kavram ve sistemleri günlük hayatta ve diğer öğrenme alanlarında kullanabileceklerdir, 2. Mantıksal tümevarım ve tümdengelimle ilgili çıkarımlar yapabilecektir,
1171 3. Matematiksel problemleri çözme süreci içinde kendi matematiksel düşünce ve akıl yürütmelerini ifade edebilecektir, 4. Problem çözme stratejileri geliştirebilecek ve bunları günlük hayattaki problemlerin çözümünde kullanabilecektir, 5. Matematiğe yönelik olumlu tutum geliştirebilecek, öz güven duyabilecektir, 6. Matematiğin gücünü ve ilişkiler ağı içeren yapısını takdir edebilecektir, 7. Entelektüel merakı ilerletecek ve geliştirebilecektir, 8. Matematiğin tarihî gelişimi ve buna paralel olarak insan düşüncesinin gelişmesindeki rolünü ve değerini, diğer alanlardaki kullanımının önemini kavrayabilecektir, 9. Sistemli, dikkatli, sabırlı ve sorumlu olma özelliklerini geliştirebilecektir, 10. Matematik ve sanat ilişkisini kurabilecek, estetik duygular geliştirebilecektir. (MEB İlköğretim 6-8 Matematik Dersi Müfredatı, 2006: 9-10) bu amaçlar; öğretmenlere geometri derslerinde informal geometri yapma ihtiyacını doğurmaktadır. Son yıllarda, matematik eğitiminde yapılan tartışmalar, matematik öğrenmenin matematik yapmak olduğu üzerine yoğunlaşmaktadır (Putnam, Lampert ve Peterson, 1990; Olkun ve Toluk, 2001; Toluk, 2003.). Öğrenci, bir matematikçi gibi verilen problemlere kendi çözüm yollarını oluşturarak, bu çözüm yolları üzerine sınıf içi tartışmalar sonucunda bir genellemeye varabilir. Öğrenciler problemlere çözüm oluştururken, verilen durumları analiz eder, bir desen arar ve bu desenleri düzenleyerek bir genellemeye ulaşmaya çalışır. Matematik öğrenimi de bu süreç içinde gerçekleşir. Bu tarz bir matematik öğretiminde konu öğretiminin yanında, daha ileri düzey becerilerin geliştirilmesi amaçlanmaktadır. Bu beceriler veriye dayalı akıl yürütme, bilgiyi düzenleme, genellemelere varma, kanıtlama ve en önemlisi problem çözme becerisidir (Toluk, 2003). Matematik ve Sanat İlişkisi Matematik ve sanat malzemeleri, teknikleri, yöntemleri ve doğal olarak ürünleri farklı iki alandır. İlk bakışta hemen göze çarpan ve rahatsızlık veren bu ayrılık, matematik ve sanatın ortaklıklarının varlığına engel değildir. Matematik de sanat da, diğer bilimler gibi, insanın içinde doğduğu ortamı ve bu ortam içinde kendine ne olup bitmekte olduğunu anlama çabası sonucu doğmuştur. Zaman zaman doğaya aykırı görünseler de iki alan da doğanın soyutlaması, yorumu hatta yeniden sunumudur. Sayılar, denklemler bu halleriyle doğada yokturlar ama resimler ve heykeller gibi doğayı betimler ve düşüncemize yeniden sunarlar. Matematikle sanatın ilişkilendirildiği makalelerde, Rönesans dönemi sanatçılarının çalışmaları, özellikle altın oran(leonardo da Vinci) ve onun geleneksel sanat tekniklerinde kullanılışı, doğadaki geometri, fraktallar ve bunların şaşırtıcı görünümleri ve elbette matematik ve müzik ilişkisi konularından bahsedilir. Matematiksel sanat, matematiğin şaşırtıcı sonuçlarından biridir. Bu sonucu karşımıza çıkaran kişiler matematiği yeni bir etkileşim alanına taşımak istemişlerdir. Bu, sanatın etki alanıdır. Ne de olsa sanatın cazibesi daha çok kişiyi kendine çeker. Böylece daha çok insan matematiksel düşünceyi ve onun doğuracağı etkiyi paylaşabilir. Matematiksel sanat bu kendine has savıyla merak edilmeye değerdir. Fomenko, Ferguson ve Escher'in çalışmalarını incelemek, matematiğe ilgi duyan herkes için keyifli bir öğreti süreci olmaya aday olabilir. Bu ressamların Resim ile geometri nasıl yapılabilir? sorusuna cevap veren bazı eserleri şekil 1 ve şekil 2 de verilmiştir. Şekil 1: Resim ile Geometri Nasıl Yapılabilir? sorusuna ait bazı eserler
1172 Şekil 1 de görülen sırasıyla Fomenko, Picasso ve Verhoef e ait olan eserleri incelerken matematiksel düşünceyi göz ardı edebilir misiniz? Şekil 2: Escher e ait bazı eserler Şekil 2 de Escher in düzenli şekiller ile oluşturduğu zeminler görülmektedir. Bu eserlerde görsel uyumun güzelliği ve matematiksel düşüncenin etkisi oldukça açıktır. Ressam Piet Mondrian ın (1872-1944) yaptığı şekil 3 deki iki resimde de altın oran kökenli, altın dikdörtgenler (Kısa kenarı 1 birim ve uzun kenarı altın orana, yani Fi (1,618..) ye eşit olan dikdörtgene Altın dikdörtgen denir.) görülmektedir. Şekil 3: Piet Mondrian ın bazı eserleri Mondrian ın eserlerinden bazıları ile yapılmış deneysel çalışma aşağıda tanıtılmıştır. Deneysel Çalışmanın Tanıtılması Bu çalışma Orta Öğretim Alan Öğretmenliği Tezsiz Yüksek Lisans Programı 2009-2010 öğretim yılı bahar döneminde öğrenim gören matematik öğretmen adaylarına uygulanmıştır. Bu çalışmada Dinamik Geometri Yazılımı olarak Geometer s SketchPad (GSP) kullanılmıştır. Çalışmanın sürecinde ve sonunda öğretmen adaylarına 3 tane açık uçlu soru sorulmuştur. Bu sorular aşağıdaki gibidir: Soru:1. Bilgisayar ile geometri öğrenme süreciniz boyunca sizi heyecanlandıran ilginizi çeken durumlar var mıydı? Düşüncelerinizi bizimle paylaşır mısınız? Soru:2. Sınıfta geometri öğrenme ile bilgisayar laboratuarında(gsp ile)geometri öğrenme arasında ne gibi farklılıklar görüyorsunuz? Soru:3. Daha önce geometrinin öğretmen anlatmadan başarılabileceğine inanıyor muydunuz? Fikirlerinizde bir değişim oldu mu? Daha sonra GSP programının öğretimi gösterip yaptırma yöntemi ile uygulamalı olarak öğretmen adaylarına yapılmıştır.projeksiyonlu bilgisayardan yapılacak çalışmaları takip etmelerini, adım-adım ilerleneceği belirtilmiştir. GSP nin çalışma sayfasında yer alan sol taraftaki araç çubuğunda ki, ok, nokta, doğru, el ve soru işareti tanıtılmıştır. Sonra sırasıyla File, Edit, Display, Construct, Transform, Measure, Graph, Work ve Help menüleri tanıtılmıştır. Daha sonra ekrana bir doğru çizdirilerek doğrunun orta noktası buldurulmuştur. Ardından, orta noktasından dik doğru çizilmiştir. Ayrıca bu doğrunun uzunluğu buldurularak sürükleme işlemi yaptırılmış, öğretmen adayları sürükleme esnasında doğrunun uzunluğunun değiştiğini görmüşlerdir. Aynı şekilde üçgen
1173 çizimi, ağırlık merkezi bulunuşu, alan bulunuşu, çember çizimi, alan ve çevresinin bulunuşu çalışmaları yapılmıştır. Bu ve benzeri temel bazı çalışmalarla programın dinamikliği öğretmen adaylarına keşfettirilmiştir. Bu aşamada öğretmen adayları GSP ile ilgili Türkçe bir kitabın uygulamalı örneklerinden faydalanmışlardır (Bintaş,J.-Akıllı,B.,2008). Daha sonra öğretmen adaylarına Piet Mondrian ın eserleri verilmiş ve bu eserleri GSP yardımı ile birebir çalışmaları istenmiştir. Öğretmen adayları Mondrian ın çeşitli eserlerini GSP ile çalışmaktan hem keyif almışlar hem de her bir eseri çizebilmek için ayrı ayrı problem çözme stratejisi geliştirmişlerdir (şekil 5). Öğretmen adaylarının bir kısmı da grup çalışması yaparak eserleri GSP yardımıyla yeniden oluşturmuş ve bu eserleri geometri derslerinde hangi etkinliklerde kullanabileceklerini tartışmışlardır. Özellikle alan kavramının öğretiminde Mondrian ın eserleri ile etkinlikler tasarlanması çalışmaya katılan öğretmen adaylarının pek çoğunun ortak kanısıdır. Aşağıda bir öğrencinin yapmış olduğu çalışma adım adım gösterilmektedir (şekil 4): Adım 1. Adım 2. Adım 3. Adım 4. Adım 5. Adım 6. Adım 7. Adım 8. Adım 9. Adım 10: (eserin son hali) Şekil 4: Mondrian a ait eserin GSP yardımı ile adım adım yapılşı Sonuç Şekil 5: Mondrian ın eserlerinin GSP ile yapılmış hali Çalışmaya katılan 55 öğretmen adayının soru1 ve soru2 ye öğretim süreci içinde verdikleri cevaplar incelenmiştir. Bu iki soru yardımı ile 54 öğretmen adayının GSP ile geometri öğretimine karşı olumlu tutum gösterdikleri belirlenmiştir. Bu öğretmen adayları GSP ile geometri öğretiminin, öğrencilerin derse karşı olumlu tutum geliştirmelerine ve öğrenilenlerin kalıcılığına katkısı olacağını belirtmişlerdir. Ancak bir öğretmen adayı GSP nin ilgi çekici olmadığını, genellikle desen yaratmak için daha kullanışlı olduğuna inandığını, bununla birlikte programdaki dinamik öğelerin de bulunmasının
1174 öğrenmeye katkısının yetersiz olduğunu şeklindeki düşüncesini dile getirmiştir. Soru 3 e ise süreçte verilen cevaplar değerlendirildiğinde 46 öğretmen adayı; öğretmenin, geometri öğretimin vazgeçilmez parçası olduğunu, 9 öğretmen adayı ise kendi kendine geometri öğrenmenin mümkün olduğunu dile getirmişlerdir. Projenin bitiminde, aynı sorular öğretmen adaylarına tekrar sorulmuş ve görüşleri tekrar alınmıştır. Soru 1 ve Soru 2 ye son testte 55 öğretmen adayının da olumlu görüş bildirdiği gözlemlenmiştir. Soru 3 e verilen cevaplar incelendiğinde ise 34 öğretmen adayı geometri öğretiminde öğretmenin vazgeçilmez unsur olduğuna yönelik görüşler bildirirken, 21 öğretmen adayı ise geometri öğretiminde öğretmenin yalnızca rehber olabileceğini, ancak bu türlü bir öğrenmenin daha uzun zaman alacağını dile getirmişlerdir. Projeye katılan tüm öğretmen adayları informal geometri yapmak ve bu amaçla dinamik geometri yazılımlarından faydalanmak konusunda hem fikir olmuşlardır. Ayrıca geometri ve sanat konusunda daha zengin bir bakış açısına sahip olduklarını dile getirmişlerdir. Yine bu bakış açısı yardımı ile öğrencilerine de geometriyi sevdirme konusunda sanat ile iş birlikli çalışılabileceklerini ifade etmişlerdir. Bu çalışmanın öğretmen adaylarına ve her seviyedeki öğrenciye katkı sağlayacağı beklenmektedir. Kaynakça 1. Bintaş, J. ve Akıllı, B. (2008). Bilgisayar Destekli Geometri, Pegem Akademi-Öğreti., ISBN 978-605-5885-00 2. Bintaş, J. ve Bağcıvan, B. (2005). İlköğretim Yedinci Sınıfta Bilgisayar Destekli Geometri Öğretimi. İstanbul Üniversitesi Hasan Ali Yücel Eğitim Fak. Dergisi, Cilt/Vol. 4-1,Nisan 2007. 3. Dynamic Geometry Software for Exploring Mathematics Version 4.0,Fall 2001, Key Curriculum Pres. 4. MEB, TTKB. (2006). İlköğretim Matematik Dersi Öğretim Programı ve Kılavuzu, Ankara: Devlet Kitapları Müdürlüğü. 5. National Council of Teachers of Mathematics: Commision on Standarts for School Mathematics. (1989). Curriculum on evaluation standarts for school mathematics. Reston, VA: The Council. 6. Olkun, S. ve Toluk, Z. (2001). İlköğretimde Matematik Öğretimi: 1-5 Sınıflar. Artım. 7. Putnam, R. T., Lampert, M., & Peterson, P. L., (1990). Alternative Perspectives on Knowing Mathematics in Elementary Schools. In C. B. Cazden (Ed.), Review of Research in Education. American Educational Reserch Association. 8. Toluk, Z. (2003). Üçüncü Uluslararası Matematik ve Fen Arastırması(TIMSS): Matematik Nedir? http://ilkogretim-online.org.tr/vol2say1/v02s01e.htm(23 Ocak 2006). 9. Van De Walle, J.A.,(1994). Elemantary School Mathematics: Teaching Developmentally. Longman. 10. Vatansever, S.,(2007). İlköğretim Yedinci Sınıf Geometri Konularını Dinamik Geometri Yazılımı Geometer s Sketchpad ile Öğrenmenin Başarıya, Kalıcılığa Etkisi ve Öğrenci Görüşleri, Yayınlanmamış Yüksek Lisans Tezi, Dokuz Eylül Üniversitesi,İzmir.