Gerçek olaylarla KARŞILAŞTIRMA

Transkript

1 1 1. GİRİŞ 1.1 Modelleme Kavramı Matematiksel bir model, bir işlemi veya olayı matematiksel terimlerle açıklayan bir formüller dizisidir. Yani gerçek, fiziksel dünyayı matematik eşitliklerle tarif etmeyi amaçlar. Aşağıdaki şekil modelleme kavramını şematik olarak açıklamaktadır. Gerçek Dünya Kavramsal dünya OLAYLAR: Yer çekimi, Küresel ısınma, Yanma, Reaktörler, Kahve yapımı, Yetişen ağaçlar, Nüfus artışı, Merkezi ısıtma, Yağmur damlaları vb. Gerçek olaylarla KARŞILAŞTIRMA GÖZLENENLER FARK EDİLENLER MODEL OLUŞTURMA Modellerden elde edilen ÇIKARIMLAR Şekil 1.1. Matematiksel modellerin görevi 1.2 Neden modelleme yapıyoruz? Bir problemi çözmede modellemenin kullanılmasının birçok nedeni vardır. Bir akarsu veya denizdeki balık sayısının belirlenmesi örneği gibi, problemin çözümünü bulmak için deneysel yöntemlere başvurmanın maliyeti çok yüksek olabilir. Veya, yerçekiminin sıfır olduğu bir ortamda cisimlerin nasıl hareket ettiklerinin ortaya konulması gibi, deneysel yollara başvurmak olanaksız olabilir. Gerçek dünyanın deneysel olarak ele alınmasında zorlukların olduğu her durumda sistemlerin nasıl davranacağını öngörebilmek amacıyla matematiksel modellemeye başvurulmaktadır. Bu nedenle esas olarak Bir olayın fiziksel gerçeğini anlamak ve olayı matematiksel olarak tanımlamak, diğer olaylardan ayırt etmek ve Matematiksel olarak formüllendirilmiş modeli bir sistemin değişik koşullardaki davranışını ön görmede bir araç olarak kullanmak üzere matematiksel modeller kullanılmaktadır. Bir modelin bir simülasyon aracı olarak kullanılması için gerçeği olabildiğince yakın bir şekilde temsil etmelidir. Bu nedenle, bir modelin bir simülasyon işleminde kullanılmadan

2 2 önce güvenilirliğinin sağlanması mutlak bir zorunluluktur. Bunun için de bu modelin gerçek olaylarla doğrulanması gerekmektedir. 1.3 Kimya Mühendisliğinde Modelleme Kimya ve petrol endüstrilerinde yaklaşık yarım yüzyıldır proseslerin tasarım ve çalıştırılmasında karşılaşılan problemler, daha fazla nicel bir yaklaşımla ele alınmaktadır. Nicel yaklaşım, sistemdeki olayların analitik olarak veya matematiksel eşitliklerle tanımı anlamına gelmektedir. Karmaşık matematiksel denklem sistemlerinin çözümünde bilgisayarların gitgide daha fazla kullanılması nicel yaklaşımı kolaylaştırmaktadır. Mühendislik problemlerine analitik yaklaşım hem alternatif tasarımları incelemede oldukça geniş bir görüş açısı hem de ticari kesikli ve sürekli proseslerin daha verimli çalıştırılmasını sağlar. Ayrıca bilgisayar kullanılarak yapılan bir analitik yaklaşım incelenen prosesin iç mekanizmasının daha detaylı anlaşılmasına yardımcı olur. Aşağıdaki basit diyagram modellerin kimya mühendisliğinde ne için kullanılabileceklerini göstermektedir : Matematiksel modellerin kullanım yerleri Karmaşık sistemlerin anlaşılmasını kolaylaştırmak Araştırma, geliştirme Eğitim-Öğretim Tasarım, denetim ve çalışma değişkenlerini hesaplamak Deneysel tasarıma ve sorun gidermeye yardımcı olmak Simülasyon,duyarlılık analizi, optimizasyon Şekil 1.2. Matematiksel modellerin kullanıldığı alanlar Günümüzde bilgisayarlar hem okullarda hem de endüstride yaygın olarak kullanılmaktadır. Analog bilgisayarların proses dinamiği problemlerini çözmek için kullanıldığı yılları arasında ihtiyaç gereği her bir bilgi işlem merkezinde programlama ve bilgisayar çalışmasını yapan uzmanlaşmış personel bulunurdu. Problemin analizi yani matematiksel terimlerle tanımlanması ya müşteri tarafından ya da bilgisayar

3 3 uzmanı tarafından veya her ikisinin iş birliği ile yapılırdı lardan sonra dijital bilgisayarlar, daha yüksek işlem hızları ve kitaplık programlarının çoğalması nedeniyle kimyasal proseslerin simülasyonunda hızla analog bilgisayarlerın yerini almaya başladı. Bir çok değişik hesaplamalar yapan kitaplık programlarının kullanılmasını sağlayan dijital simülasyon, çoğu kez bilgisayar uzmanının yardımı olmaksızın yürütülebilmektedir. Kimyasal proses problemlerinin modern anlamda analizi, genellikle bir takım matematiksel modeller gerektirir. Aynı sistem için her biri sistemle ilgili belli bir problemi çözmeye uygun değişik matematiksel modeller vardır. Matematiksel modeller kararlı hal ve dinamik modeller olmak üzere kabaca iki sınıfa ayrılır. Her iki tip modelde de ayrıntıların ne derecede gerektiği mevcut temel bilgilerin miktarına ek olarak çözülecek probleme de bağlıdır. Bir kimyasal proses sisteminin tam bir tanımını yapabilmek için çoğu kez, fazla sayıda ve çözümü zor olan eşitlikler yazılması gerekir. Bu eşitliklerin çözümü mümkün olmakla birlikte daha az karmaşık hale getirilmeleri için mühendislik yargılamasına da başvurulur. Böylece bu denklemler sağlanan temel bilgilerin duyarlık sınırları içinde bir mühendislik çözümü verecektir. Matematiksel modellemenin önemli bir yönü denklemlerin düzenlenmesidir. Tecrübeler denklemlerin bir mantıksal ya da sebep sonuç ilişkisi sırasında düzenlendiğinde bilgisayar modelinin kararlı olduğunu göstermektedir. Bu şekilde bir sıralama, doğal sıralama olarak isimlendirilir. Çünkü doğada görülen sebep-sonuç ilişkisine paralellik gösterir. Bu yüzden bir modeli anlamanın yolu da bu doğal sebep-sonuç ilişkisini tanımlayabilmekten geçmektedir. Kimyasal proseslerin modern anlamda analizi için gerekli eğitim, bilgisayarların bu konuya verilen önemi değiştirmesinden dolayı gitgide artmaktadır. Bilgisayar kullanımının yaygın olmadığı zamanlarda, mühendislik analizindeki işlemler basit sistemlerle sınırlıydı ve bu konudaki gayretlerin çoğu türetilen az sayıdaki basit denklemlerin çözümüne harcanırdı. Bu analizler çoğunlukla akademik önemi olan basitliklerinden dolayı pratikte değeri olmayan durumlardı. Bu yüzden analizciler zamanlarının önemli bir kısmını matematikteki yeteneklerini geliştirmeye, özellikle diferensiyel denklemlerin çözümlerini öğrenmeye harcıyorlardı. Kimya mühendisliği eğitimi içerisinde diferensiyel denklem çözümü ve ilgili konular da yer almaktadır. Fakat bugüne kadarki deneyimler bu bilgilerin çok az bir kısmının mezuniyet sonrası kullanıldığını göstermektedir. Bunun nedeni hazır matematiksel yöntemlerin endüstride karşılaşılan çoğu sistemi çözmeye yeterli olmamasının yanında, ileri matematik bilgilerinin az kullanılmadan dolayı unutulmasıdır. Tablo 1.1 çeşitli matematiksel eşitlik sınıflarını ve bunlar içinde analitik olarak çözülebilir sınıfı göstermektedir.

4 4 Endüstriyel problemlerin çoğu lineer olmayan denklemler kategorisine girer. Bunlar ancak bir bilgisayarla çözülebilir. Analitik çözümü olan eşitlik sınıfları önemli olmayıp, endüstriyel önemi olan az sayıda durumla sınırlıdırlar. Tablo 1 de gösterilen sınır mümkün olanla imkansızı ayırır. Bu yüzden pratikte karşılaşılan problemler analitik çözüme geçit vermeyen veya son derece anlaşılması güç esas olarak yararı olmayan cevaplar verirler. Tablo 1.1. Çeşitli matematiksel eşitlik sınıfları ve analitik çözüm yetenekleri Lineer Denklemler Birkaç Denklem Türü Tek Denklem Denklem Cebirsel önemsiz kolay Adi Diferensiyel Kısmi Diferensiyel kolay zor zor esas olarak imkansız Birçok Denklem esas olarak imkansız Esas olarak imkansız Lineer Olmayan Denklemler Birkaç Tek Denklem Denklem Birçok Denklem çok zor çok zor imkansız çok zor imkansız imkansız imkansız imkansız imkansız imkansız Kimya Mühendisliğinde analitik araştırmaların verimli olduğu sahalar kabaca üçe ayrılır. 1. Araştırma ve proses geliştirme, 2. Proses dizaynı, 3. Proseslerin çalıştırılmasının iyileştirilmesi Analiz sahaları ise aşağıdaki konu kategorilerini kapsamaktadır: 1. Akışkan akımı, 2. Kütle transferi, 3. Isı transferi, 4. Kinetik, 5. Proses dinamiği ve kontrolü Belli bir prosesin bir modeli çoğunlukla beş kategorinin hepsini de bulundurur. Aşağıda verilen şekil bir analitik araştırmayı yürütmede genel işlemi göstermektedir Bu işleme göre yedi temel kademe sayılabilir. Problemin tanımının yapıldığı ilk kademe belki de en önemli kademedir. Problemin tanımı için yararlı olacak kadar yeterli ölçüde genel kurallar ortaya koymak mümkün değildir. Teknik problemlerin birbirinden çok farklı olmaları nedeniyle tek bir problemin özelliğinin açıkca belirtilmesi analizcinin görevidir. Bu, analiz için kesin bir hedef ortaya koyacaktır ve problemden çözüme bir yol göstermek açısından çok önemlidir. Bu adımda, Problemin konusu olan sistemin basit bir şeması çizilir. Şema içinde işlem değişkenlerinin sabit olduğu bir denge bölgesi belirtilir.

5 5 Problem Teori Denklemler Bilgi Akışı Kötü uyum Ortak Çözüm Yolları Kontrol Sonuçlar Matematiksel İşlemler İstenen Çözümler İyi uyum Simülasyon aracı, optimizasyon, parametre kestirimi Bilgisayarlar Şekil 1.3. Proses analizinde izlenen adımlar Modellemede doğru Denge Bölgesi (kontrol veya diferensiyel hacim olarak da isimlendirilir.) seçimi çok önemlidir. Çünkü bu bölge modellenen tüm sistemi temsil etmek üzere kullanılacaktır. Denge bölgesi sisteme göre veya modelin duyarlılık derecesine ve modelden hangi spesifik sonuçlar istendiğine bağlı olarak değişebilir. Denge bölgesi, bir TKAR için tüm reaktör, bir borusal akım reaktörü için ise reaktörün bir kesiti olabilir. Bağımsız ve bağımlı değişkenler belirtilir. Sistemin karmaşıklığını azaltmak üzere geçerli kabuller seçilir. TKAR Denge bölgesi: tüm reaktör C=f(zaman), (yığın parametreleri) BORUSAL AKIM REAKTÖRÜ Denge bölgesi: diferensiyel hacim C=f(zaman, yer), (dağınık parametreler) Şekil 1.4. İki farklı sistemdeki denge bölgesi İkinci adım problemlerin konusu olan olayı yöneten teorinin tanımlanmasıdır. Bu teori basılmış veya basılmamış çeşitli kaynaklardan sağlanabilir. Fakat herhangi bir teorinin bulunmadığı durumlarda bir yada birkaç teori ortaya koyarak ve sonra da matematiksel modellerin çözümlerini deneysel sonuçlarla karşılaştırarak geçerliliklerini kontrol yoluna

6 6 gidilir. Bilgisayar kullanmanın avantajlarından birisi değişik durumlar için çözümlerin hızla elde edilmesidir. Bu yolla alternatif teorilerin birbirleriyle karşılaştırılması mümkündür. Daha sonraki kademede teori probleme uygulandığı şekliyle matematiksel semboller ile yazılır. Bu kademe analizciyi problemi açık ve net bir şekilde yazmaya zorlayan gerekli bir adımdır. Kontrol hacmi içinde korunum yasaları yazılarak, fiziksel/kimyasal ve taşınım akımı terimleri önce sözlü olarak ifade edildikten sonra matematik terimlere dönüştürülür. Fiziksel sistemler bir dizi eş zamanlı cebirsel ve diferensiyel denklemlerle tanımlanır. Bunlar mümkün olduğu ölçüde direkt biçimde olmalıdır. Bu kademede her hangi bir değişiklik ve işlem gerekmez. Ancak bu noktada denklemlerin basitleştirilmesi yararlıdır. Fakat burada ihmal edilen her terimin gerçekten problemin çözümü sırasında önemsiz olması gerekir. Sadece bazı ara değişkenlerdeki önemsiz sapmaları ihmal etmek suretiyle tüm bir eşitliği ortadan kaldırmak mümkündür. Örneğin bir çok komponentli karışımın bir ısı dengesi için gerekli ısı kapasitesinin, bileşimdeki beklenen değişimden dolayı, değerinin % 1 i kadar değiştiğini varsayalım. Bu durumda modele sürekli olarak bir değer hesaplayacak bir denklem sokmak yerine ortalama bir sabit sayı konabilir. Denklemler ortaya konduktan sonra, Sistemin serbestlik derecesi denetlenir (denklem sayısı = bilinmeyenlerin sayısı koşulunun varlığı) Denklemlerdeki tüm terimlerin tüm birimlerinin uygunluğu denetlenir. Sistemin başlangıç ve sınır koşulları seçilir. Örnek: L uzunluğundaki metal çubuğun iki ucu T 1 ve T 2 sıcaklıklarındadır. Bu çubuk yanal yüzeyinden şekilde görüldüğü gibi konveksiyonla ısı kaybetmektedir. Isı kaybı T hava T(0)=T 1 z=0 T=f(z) T(L)=T 2 z=l z Bu sistemin model denklemi z in bir fonksiyonu olarak çubuktaki sıcaklık değişimlerini gösteren aşağıdaki diferensiyel denklemi verir: 2 d T k 2 dz = ha T ( ) T air B.K: z=0 da, T=T 1 S.K: z=l de, T=T 2

7 7 Denklemleri eş zamanlı bir denklem takımı olarak çözmek için bir işlem yöntemi gerekir. Matematikçiler tarafından denklem çağırma olarak adlandırılan bu işleme doğal düzenleme de denilmektedir. Bu işlem, her bir denklemin nasıl kullanılacağını gösteren bir bilgi akışı blok diyagramına yerleştirmekten ibarettir. Bundan sonraki hesaplama kademesinde çözüme varmak için bir takım alternatif yollar bulunur. Seçilen yöntem çözülecek denklemlerin zorluğuna göre değişir. Bu konuda üç genel düzey vardır. Bunlardan en basiti ortak yollardır. Yani denklemler veya genel çözümler yeteri kadar basit olduğu takdirde arzu edilen çözümün modelden çıkarılmasıdır. Bu teknik daha karmaşık durumlara çok sayıda tahmin yapılmaksızın uygulanamaz. Diğer düzey orta derecede zorluktaki sistemlerle sınırlı olup, eşitliklerin analitik tekniklerle çözümüdür. Daha önceki bölümde işaret edildiği gibi en basit lineer denklemler takımını çözmek için dahi oldukça fazla bir uzmanlık gerekir. Böyle bir düzeye genellikle normal bir proses mühendisi erişemez. Üçüncü alternatif otomatik hesaplama en verimli yol olup, çok karmaşık olmayan problemlerin çözümünde bile avantajlıdır. Son kademe matematik model kullanılarak elde edilen çözümün incelenerek doğruluğunun ortaya konmasıdır. Hesaplamalardaki hatalar dolayısıyla çıkan herhangi bir beklenmeyen çözüm farkedilmelidir. Ayrıca bir kısım bilgisayar çalıştırmaları matematiksel modelin geçerliliğini kontrol için özel olarak tasarlanmalıdır. Şekil 1.4 de bilgisayarların günümüzdeki kadar yaygın olmadığı geçmişteki durumu sembolik olarak göstermektedir. Problem Darboğaz I Analiz Matematiksel Model Darboğaz II Hesaplama Kantitatif sonuçlar Şekil 1.5. Bilgisayarlardan önce problem çözümündeki sıkıntılar Esas olarak problemin çözümünde iki darboğaz söz konusuydu. Bunlar, problemin analizi ve analizden ortaya çıkan denklemlerin çözümüdür. Hesaplama darboğazının genel olarak imkansız olması nedeniyle matematiksel modelleme kademesinde yapılan işlerin pratik kullanımı yoktu. Bunun sonucu olarak teknik problemlerin çözümünde etkin yol laboratuar veya pilot tesis deneyleri olmuştur. Geçmişte problemlere mantıksal/analitik yaklaşım tamamen akademik sayılmış ve bunun sonucu olarak endüstride uygulanmamıştır.

8 8 Günümüzde ise bilgisayarlar herkesin ulaşabileceği araçlar haline gelmiş ve programlama dillerinin ve özellikle simülasyon dillerinin gelişmesi hesaplama darboğazını ortadan kaldırmıştır Modelleme Terimleri Bağımsız değişkenler: sistem geometrisi ile ifade edilen eksenel uzunluk, yarıçap veya sistemin durumunu ifade eden zaman gibi büyüklüklerdir. Bağımlı değişkenler: bağımsız değişkenlerin fonksiyonu olan ve model denklemleri ile çıkarılan büyüklüklerdir. Zaman ve uzunluğun fonksiyonu olan konsantrasyon gibi C=f(z,t). Diferensiyel denklemler: bağımlı değişkenlerin bağımsız değişkenlere göre değişim hızları. Örneğin dv/dt v nin t ye göre değişim hızını belirtir. Sınır koşulları: bağımlı değişkenlerin bağımsız değişkenlerin belli değerlerindeki spesifik değerleri. Diferensiyel denklemlerin tam bir tanımında sınır koşulları için sayısal değerler bulunmalıdır. Başlangıç koşulları: bağımlı değişkenlerin sınır değerleri bağımsız değişkenin başlangıç değerleri için belirtilirse başlangıç koşulları olarak adlandırılır. Yığın parametreleri: Sistemde konuma bağlı olarak değişmeyen büyüklükler. TKKAR ndeki konsantrasyon gibi. Dağınık parametreler: Sistemde konuma bağlı olarak değişen büyüklükler. Borusal akım reaktöründeki konsantrasyon gibi Sabit: Değerleri değişmez olan büyüklükler. Giriş değişkenleri: modeldeki daha sonraki çıkarımları belirleyen büyüklükler. Başlangıç akış hızı, hız Çıkış değişkenleri: verilen giriş değişkenleri ve parametrelerinin değerlerinin sonucu olan ve keyfi değerler verilemeyen büyüklükler Kimya Mühendisliği Sistem Simülatörleri Kimya Mühendisliği sistemlerinin analitik araştırma sahalarında çeşitli konu kategorilerini kapsayan hesaplamaların otomatik olarak yapılmasını sağlayan birçok yazılım geliştirilmiş bulunmaktadır. Diferensiyel denklem simülasyon programlarının geliştirilmiş olması çeşitli işlem birimlerinin çalışmalarının simülasyonunu kolaylaştırmıştır. Bunlar içinde sürekli sistem simülasyon programları olarak sunulanlar yanında, kimyasal proses birimlerinin dinamik davranışını simüle etmek üzere dizayn edilen bir takım yüksek seviyeli

9 9 programlar da bulunmaktadır. Aşağıdaki şekil bir proses simülasyonu probleminin üç seviyeden herhangi biri ile ele alınabildiğini ifade etmektedir. Daha yüksek bir seviyenin kullanılması, gerekli kodlama yükünü azaltır. Örneğin, b sürekli sistem seviyesinde programlama, diferensiyel eşitliklerin integrallenmesi için gerekli sayısal işlemlerin çoğunun kodlanması yükünü ortadan kaldırır. Mevcut bir dinamik proses simülatörü kullanarak, b düzeyinin sağladığı sayısal işlemlerin kodlanması yükünün kalkmasının yanında simüle edilecek sistemin tanımlanması yükünü de büyük ölçüde basitleştirir. Bunun başarılması fraksiyonlama kolonları, ısı değiştiriciler, reaktörler ve benzeri bütün temel işlemleri simüle eden alt programların kullanılması ile olur. Bu yazılımların en fazla kullanılanları şunlardır: WEB ADRESİ SİMÜLATÖR İSMİ ASPEN CADSIM, CADSIM Plus PROSIM, TSWEET CHEMCAD DESIGN II HYSYS, HTFS, STX/ACX, BDK PROSIM PROVISION GUI BDIST-SİMOPT BERKELEY MADONNA ECOSİMPRO EXTEND SİMCAD PRO FLOWMASTER 2 JAVASİM QMC DYFLO COMBUSEM a seviyesi DİNAMİK PROSES SİMÜLATÖRLERİ b seviyesi SÜREKLİ SİSTEM SİMÜLATÖRLERİ c seviyesi PROGRAMLAMA DİLLERİ

10 İyi bir model oluşturmak için gerekli adımlar Mühendisin modellemede oynadığı belki de en önemli rol geçerli hangi varsayımları yapabileceği hakkında fikir yürütmektir. Burada çoğunlukla, kapsamlı bir tanım ile yeteri kadar iyi bir cevap elde etme arasında bir mühendislik uzlaşması gerekmektedir. Bu optimum duyarsızlık olarak adlandırılmaktadır. Asıl amaçtan sapmadan akılcı, olabildiğince çok kolaylaştırıcı varsayımlar yapmayı gerektirir. Proseste meydana gelen esas olayı kapsayan bir modelin geliştirilmesi çok sayıda beceri, yaratıcılık ve deneyim gerektirir. Modelleme alanı mühendisin yaratıcılık ve yenilikçiliğinin prosesin başarısında anahtar rol oynadığı bir alandır. Özet olarak, modelleme yapanların İyi bir temel fizik ve matematik bilgisine, Bir dizi beceri ve aynı zamanda deneyime Altıncı his, hayal gücü ve meraklı olması gerekmektedir. Ve bir model aşağıdaki özellikleri taşımalıdır: Kesin olarak gerekenden daha fazla ayrıntı bulundurmamalı Olabildiğince az sayıda parametre bulundurmalıdır. Parametreleri arasında güvenilir ilişkiler olmalıdır.