YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II"

Transkript

1 YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - II Araş. Gör. Murat SARI 1/35

2 I Giriş Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın bütünüyle ele alındığı problemler için geliştirilen karar modelleri ve bunların çözümleri "dinamik programlama" yöntemiyle incelenir. Dinamik programlamanın altında yatan temel prensip principle of optimality adında karar verme aşamasında geçmişte izlenen karar verme süreçlerinden etkilenmeyerek, gelecek adına en optimum ve en düzgün kararı verebilmeyi şart koşan prensiptir. 2/35

3 I Bir problem, dinamik programlama ile 2 yoldan çözülebilir. Bu yollar; İleriye yineleme (Forward recursion): sorunun başındaki en küçük birimden başlayarak sorunun tamamını çözmek Geriye yineleme (Backward recursion): sorunun çözümünün son noktasından başlayarak, başına doğru yol alarak çözmek Richard Bellman tarafından 1954 yılında keşfedilmiş bir yöntemdir ve bu konuda Bellman denklemi denilen algoritma da mevcuttur. 3/35

4 I Bazı ekonomik değişme ve gelişmeler, gelecek dönem için önceden yapılan planları geçersiz kılabilir. Bu durumda yeni bir planlamaya gereksinim vardır ya da önceki plan güncelleştirilmelidir. Koşullar bir zaman sürecinde değişiyorsa ve bunların alınan kararlara etkisi önemli ise, dinamik programlama modellerine gereksinim vardır. 4/35

5 I Teknik bilgi: Dinamik programlama, n değişkenli bir problemin optimum çözümünü problemi n aşamaya ayrıştırarak ve her aşamada tek değişkenli bir alt problemi çözerek belirler. Bunun hesaplama avantajı, n değişkenli alt problemler yerine tek değişkenli alt problemleri optimum kılacak olmamızdır. Dinamik programlamanın asıl katkısı, problemleri aşamalara ayrıştırmasının çerçevesini oluşturan optimumluk ilkesidir. Optimizasyon problemine bağlı olarak aşamaların yapısı farklılıklar gösterdiğinden, dinamik programlama her bir aşamayı optimum kılmak için gereken hesaplamaların ayrıntısını vermez. 5/35

6 I Dinamik Programlamanın Yinelenen Yapısı Dinamik programlamada hesaplamalar yinelenerek yapılır, bu bakımdan bir alt problemin optimum çözümü bir sonraki alt problemin girdisidir. Son alt problemi çözdüğümüzde, problemin tamamının optimum çözümüne ulaşmış oluruz. Yinelenen hesaplamaların uygulanma biçimi orijinal problemi nasıl ayrıştırdığımıza bağlıdır. Özellikle, alt problemler bazı ortak kısıtlarla normalde birbirleriyle ilişkilendirilmişlerdir. Bir alt problemden bir sonrakine ilerledikçe bu kısıtların uygunluğuna dikkat etmek zorunludur. 6/35

7 I Örnek 1: En Kısa Yol Problemi (Shortest Route Problem) İki il arasındaki en kısa otoyol bağlantısını seçmek istediğinizi varsayalım. Şekil l'deki şebeke 1. düğümdeki başlangıç iliyle 7. düğümdeki varılacak il arasındaki tüm olası yolları göstermektedir. Aradaki iller içerisinden geçen yollar 1. düğümle 7. düğüm arasındaki yollardır. Bu problemi 1. ve 7. düğümler arasındaki tüm yolları (burada beş yol bulunmaktadır) ayrıntılı olarak birer birer sayarak çözebiliriz. 7/35

8 I Ancak çok büyük bir şebekede bu yöntem hesaplama bakımından etkili olmayacaktır. Bu problemi dinamik programlamayla çözmek için problemi aşamalara ayırırız. Şekil 2'deki dikey (kesikli) çizgiler problemin üç aşamasını göstermektedir. 8/35

9 9/35

10 I Genel düşünce, bir aşamanın tüm son düğümlerine olan en kısa (kümülatif) uzaklıkları hesaplamak, sonra bu uzaklıkları bu aşamayı izleyen aşamada girdi olarak kullanmaktır. 1. aşamayla ilgili düğüm noktaları dikkate alınırsa, 2, 3 ve 4. düğümlerinin her birinin başlangıç düğümü olan 1. düğüme tek bir okla bağlandığını görebiliriz (bkz. Şekil 2). Böylece 1. aşama için elimizde şu bilgiler olur: 10/35

11 I 1. aşama sonuçlarının özeti 2. düğüme en kısa uzaklık= 7 km (1. düğümden) 3. düğüme en kısa uzaklık= 8 km (1. düğümden) 4. düğüme en kısa uzaklık= 5 km (1. düğümden) Daha sonra, 5. ve 6. düğümlere en kısa (kümülatif) uzaklıkları belirlemek için 2. Aşamaya geçeriz. Önce 5. düğümü ele alırsak, Şekil 2'den görüleceği gibi 5. düğüme ulaşmak için üç olası rota bulunmaktadır. Bunlar (2, 5), (3, 5) ve ( 4, 5)' tir. 11/35

12 I Bu bilgi, 2, 3 ve 4. düğümlere olan en kısa uzaklıklarla birlikte 5. Düğüme en kısa (kümülatif) uzaklığı aşağıdaki gibi belirler: ( i+1. düğüme en kısa uzaklık) = min i;2,3,4 {(i. düğüme en kısa uzaklık) + (i. düğümden i+1. düğüme olan uzaklık)} 12/35

13 I 13/35

14 I 14/35

15 I Sonuç 7. düğüme en kısa uzaklık= 21 km (5. düğümden) Yapılan bu hesaplamalar, 1. ve 7. düğüm arasındaki en kısa uzaklığın 21 km olduğunu göstermektedir. Optimum yolu veren iller aşağıdaki gibi belirlenir. 3. aşamanın sonuçlarına bakılarak 7. düğüm 5. düğüme bağlanır. Daha sonra 2. Aşamanın sonuçlarına bakılarak 5. düğüm 4. düğüme bağlanır. Son olarak 1. Aşamanın sonuçlarına bakılarak 4. düğüm 1. düğüme bağlanır. Böylece yolu optimum yol olur. 15/35

16 I Şimdi dinamik programlamanın yinelenen hesaplamalarının matematik olarak nasıl ifade edileceğini göstereceğiz. f i (x i ): i. aşamada x i. düğüme en kısa uzaklık olsun, d(x i-1, x i ): x i-1. düğümden x i. düğüme olan uzaklık diye tanımlayalım. Bu durumda f i aşağıdaki yinelenen eşitlik yardımıyla f i-1 'den hesaplanır: f i (x i ) = min {d(x i-1, x i ) + f i-1 (x i-1 )}, i=1,2,3 tüm uygun yollar 16/35

17 I Optimumluk ilkesi Kalan aşamalar için gelecekteki kararlar, önceki aşamalarda benimsenen optimum politikaya bakılmaksızın oluşturulacaktır. Örnek 1'deki hesaplamalarda bu ilkenin yerine getirildiği açıkça görülmektedir. Örneğin 3. aşamada 5. ve 6. düğümlere en kısa uzaklık kullanılmış, bu düğüm noktalarına 1. düğüm noktasından nasıl ulaşıldığıyla ilgilenilmemiştir. 17/35

18 I Ödev: Örnek 1 i aşağıdaki yol uzunlukları kullanıldığını varsayarak tekrar çözün. d(1, 2) = 5 d(1, 3) = 9 d(1, 4) = 8 d(2, 5) = 10 d(2, 6) = 17 d(3, 5) = 4 d(3, 6) = 10 d(4, 5) = 9 d(4, 6) = 9 d(5, 7) = 8 d(6, 7) = 9 18/35

19 I İleriye ve Geriye Doğru Yineleme Örnek 1'de, hesaplamalar 1. aşamadan 3. aşamaya yapılarak ileriye doğru yineleme kullanılmıştır. Aynı örnek, 3. aşamadan başlayıp 1. aşamada bitecek şekilde geriye doğru yinelemeyle de çözülebilir. İleriye ve geriye doğru yineleme aynı sonucu verir. İleriye doğru yineleme daha mantıklı görünmekle birlikte, dinamik programlama literatürü değişmez bir biçimde geriye doğru yinelemeyi kullanmaktadır. Bu tercihin nedeni, geriye doğru yinelemenin hesaplama bakımından genelde daha etkili olmasıdır. 19/35

20 I Şimdi geriye doğru yinelemeyi Örnek 1'e uygulayarak göstereceğiz. Bu, dinamik programlama hesaplamalarının derli toplu bir biçimde sunulmasına da olanak verecektir. Örnek 1 için geriye doğru yineleme denklemi aşağıdaki gibi olacaktır; f i (x i ) = min{d(x i, x i+1 ) + f i+1 (x i+1 )}, i=1,2,3 tüm uygun yollar 20/35

21 I 3. aşama: 7. düğüm (x 4 = 7), 5. ve 6. (x 3 = 5 ve 6) düğümlere sadece birer yolla bağlandığından, seçim yapılacak alternatif yoktur ve 3. aşamanın sonuçları aşağıdaki gibi özetlenir: d (x 3, x 4 ) Optimum çözüm x 3 x 4 = 7 f 3 (x 3 ) x 4 * /35

22 I 2. aşama: 2. aşamada (2, 6) yolu uygun bir alternatif değildir çünkü böyle bir alternatif yoktur. d(x 2, x 3 ) + f 3 (x 3 ) Optimum çözüm x 2 x 3 = 5 x 3 = 6 f 2 (x 2 ) x 3 * = = = = = Eğer 2. veya 4. ildeyseniz en kısa yol 5. ilden geçen yoldur; 3. ildeyseniz en kısa yol 6. ilden geçen yoldur. 22/35

23 I 1. aşama: l. düğümden üç alternatif yolumuz vardır: (l, 2), (l, 3) ve (1, 4). f 2 (x 2 ) i kullanarak aşağıdaki tabloyu elde ederiz: d(x 1, x 2 ) + f 2 (x 2 ) Optimum çözüm x 1 x 2 = 2 x 2 = 3 x 2 = 4 f 1 (x 1 ) x 2 * = = = l. aşamadaki optimum çözüm 1. ilin 4. ile bağlandığını gösterir. 2. aşamadaki optimum çözüm ise 4. ilin 5. ile bağlandığını gösterir. 3. aşamadaki optimum çözüm 5. ilin 7. ile bağlandığını gösterir. Böylece optimum yollar ile verilen yollardır ve bunun da uzaklığı 21 km dir. 23/35

24 I Genel özet: Her uygulamayı incelerken, dinamik programlama modelinin üç temel bileşenine özelikle dikkat gösterilmelidir; 1. Aşamaların tanımlanması 2. Her bir aşamada alternatiflerin tanımlanması 3. Her bir aşama için durumların tanımlanması Bu üç bileşen içinde, durumu tanımlamak en karmaşık ve zor olanıdır. İleride sunulan uygulamalar, modellenmekte olan koşula bağlı olarak durum tanımının değiştiğini 24/35 göstermektedir.

25 I Buna rağmen, uygulamaları incelerken aşağıdaki soruları dikkate almanız yerinde olacaktır: 1. Aşamaları birbirine bağlayan ilişki nedir? 2. Önceki aşamalarda verilen kararları yeniden gözden geçirmeden, içerisinde bulunulan aşamada uygun kararların verilmesi için gereken bilgi nedir? Size "daha mantıklı" gelen bir tanım deneyerek yineleme hesaplamalarında onu kullanabilirsiniz. Her ne olursa olsun, burada sözü edilen tanımların problemin çözümü için doğru yolu gösterdiğini siz de fark edeceksiniz. Bu arada, önerilen akıl yürütme süreci durum kavramını daha iyi anlamanızı sağlayacaktır. 25/35

26 I Kargo Yükleme Modeli Kargo yükleme problemi, sınırlı hacme veya ağırlık kapasitesine sahip bir gemiye kargoların yüklenmesiyle ilgilidir. Her yükün bir gelir düzeyi vardır. Amaç, gemi kapasitesini en çok geliri sağlayacak yükle doldurmaktır. Diğer taraftan, Kargo yükleme problemi, jet pilotunun uçağına alacağı en gerekli (acil) malzemeleri belirlemek zorunda olduğu uçuş çantası veya bir askerin (ya da yürüyüşçünün) çantasında taşıyacağı en gerekli eşyalara karar vermek zorunda olduğu sırt çantası problemi diye de bilinir. 26/35

27 I n farklı yük ve W kapasiteli (ton) gemi için, m i : kargoda i. yükten kaç birim olacağını göstersin ve her bir yükün getirisi ve hacmi sırasıyla r i ve w i olsun. Problemin genel formülasyonu aşağıdaki tam sayılı doğrusal programlama problemiyle gösterilir: Amaç fonk. Kısıtlar: Maks. Z = r 1 m 1 + r 2 m r n m n w 1 m 1 + w 2 m w n m n W m 1, m 2,..., m n 0 ve tamsayı 27/35

28 I Dinamik programlama açısından problemi incelediğimizde şu verilere ulaşırız. Modelin üç bileşeni vardır: 1. i. aşama: i yüküyle gösterilir. i=1, 2,..., n. 2. i. aşamadaki alternatifler: kargonun içinde bulunan i yükünün sayısı ile gösterilir. Bunun geliri r i m i 'dir. [W/w i ], W/w i 'den küçük veya ona eşit en büyük tamsayı olarak tanımlanır ve m i = 0,1,..., [W/w i ] olur. 3. i. aşamadaki durum: i, i + 1,..., ve n. aşamalara (yüklere) tahsis edilecek toplam ağırlık x i ile gösterilir. Bu tanım, ağırlık kısıtının bütün n aşamalarını birbirine bağlayan tek kısıt olması demektir. 28/35

29 I f i (x i ) = verilen x i durumu ve i, i + 1,..., n aşamaları için maksimum gelirler olsun. Geriye doğru yineleme denklemini belirlemek için en kolay yol iki adımlı prosedürdür. 1. adım: f i (x i ) yi, f i+1 (x i+1 ) in fonksiyonu olarak aşağıdaki gibi tanımla f i (x i ) = maks {r i m i + f i+1 (x i+1 )}, i=l,2,...,n m i = 0, 1,..., W/w i x i =0,1,..., W 29/35

30 I 2. adım: x i+1, sol taraf f i (x i ) sadece x i 'nin bir fonksiyonu olacak şekilde x i fonksiyonu cinsinden tanımla. Bu formülasyon ile x i - x i+1 ifadesi, i, aşamada kullanılan (tüketilen) ağırlığı gösterecektir. Buradan; x i - x i+1 = w i m i veyahut x i+1 = x i - w i m i elde edilir. Böylece uygun yineleme denklemi aşağıdaki gibi oluşturulur. f i (x i ) = maks {r i m i + f i+1 (x i - w i m i )}, i = l, 2,..., n m i = 0, 1,..., W/w i x i =0, 1,..., W 30/35 Not: Burada f n+1 (x n+1 ) 0 dır.

31 I Örnek 2: 4 tonluk bir gemi üç farklı yükü taşıyabilmektedir. Aşağıdaki tablo, i. kalem için ton cinsinden birim ağırlık w i ' yi ve 1000 pb olarak birim gelir r i 'yi vermektedir. Toplam geliri maksimum kılmak için gemi nasıl yüklenmelidir? i. yük w i r i Birim ağırlık w i ve maksimum ağırlık W tam sayılı değerler olarak varsayıldığından, x i durumunun da sadece tam sayılı değerler alacağı varsayılabilir. 31/35

32 I 3. Aşama Aşağıdaki tablo x 3 'ün her bir değeri için uygun alternatifleri karşılaştırmaktadır: f 3 (x 3 ) = maks{14m 3 }, maks m 3 = [4/1] = 4 14m 3 Optimum çözüm x 3 m 3 =0 m 3 =1 m 3 =2 m 3 =3 m 3 =4 f 3 (x 3 ) m 3 * /35

33 I 2. aşama: f 2 (x 2 ) = maks{47m 2 + f 3 (x 2-3m 2 )}, maks m 2 = [4/3]=1 47m 2 + f 3 (x 2-3m 2 ) Optimum çözüm x 2 m 2 =0 m 2 =1 f 2 (x 2 ) m 2 * = = = = = = = /35

34 I 1. aşama: f 1 (x 1 ) = maks{31m 1 + f 2 (x 1-2m 1 )}, maks m 1 = [4/2] =2 31m 1 + f 2 (x 1-2m 1 ) Optimum çözüm x 1 m 1 =0 m 1 =1 m 1 =2 f 1 (x 1 ) m 1 * = = = = = = = = = /35

35 I Optimum çözüm şu şekilde belirlenir: W = 4 olduğu bilindiğinden, 3. aşamada x 1 = 4, optimum alternatifi m 1 *= 2 olarak verir ve bu, 1. yükten gemiye 2 birim yüklenmesi gerektiğini belirtir. Bu durumda x 2 = x 1-2m 1 * = 4-2*2= 0 olur. 2. aşamada ise x 2 =0 olduğunda m 2 * = 0'dır. Buna göre x 3 = x 2 3m 2 *= 0 3*0 = 0 bulunur. Sıradaki aşama olan 1. aşamada x 3 = 0 olduğunda m 3 * = 0 olur. Böylece kesin optimum çözüm m 1 * = 2, m 2 * = 0, m 3 * = 0 olarak belirlenir, çözümün geliri pb' dir. 35/35

36 I Ödev: Örnek 2'de gemi kapasitesinin maksimum 8 ton olduğunu varsayarak optimum çözümünü bulun. 36/35

37 I Referanslar Taha, H.A. Yöneylem araştırması (Baray Ş.A. ve Esnaf Ş. 6.Basımdan çeviri) 2005 Literatür Yayıncılık, İstanbul ama 37/35

DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA. Giriş

DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA. Giriş DETERMİNİSTİK DİNAMİK PROGRAMLAMA Giriş Biri diğerini izleyen ve karşılıklı etkileri olan bir dizi kararın bütünüyle ele alındığı problemler için geliştirilen karar modelleri ve bunların çözümleri "dinamik

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTIRMA MODELİNİN TANIMI Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ

ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ ULAŞTIRMA MODELİ VE ÇEŞİTLİ ULAŞTIRMA MODELLERİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü ULAŞTıRMA MODELININ TANıMı Ulaştırma modeli, doğrusal programlama probleminin özel bir şeklidir.

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Dr. Özgür Kabak TP Çözümü TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır kesme düzlemleri (cutting planes) dal sınır (branch and bound) tüm yaklaşımlar tekrarlı

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I /0 İçerik Matematiksel Modelin Kurulması Grafik Çözüm DP Terminolojisi DP Modelinin Standart Formu DP Varsayımları 2/0 Grafik Çözüm İki değişkenli (X, X2) modellerde kullanılabilir,

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/19 İçerik Yöneylem Araştırmasının Dalları Kullanım Alanları Yöneylem Araştırmasında Bazı Yöntemler Doğrusal (Lineer) Programlama, Oyun Teorisi, Dinamik Programlama, Tam Sayılı

Detaylı

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta

OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta GİRİŞ OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ-2. Hafta Mühendislik açısından bir işin tasarlanıp, gerçekleştirilmesi yeterli değildir. İşin en iyi çözüm yöntemiyle en verimli bir şekilde yapılması bir anlam ifade eder.

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Altın Oran (Golden Section Search) Arama Metodu Tek değişkenli bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f

Detaylı

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL)

doğrusal programlama DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (GENEL) Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik biçiminde verilmesi durumunda amaca

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Bu bölümde eşitsizlik kısıtlarına bağlı bir doğrusal olmayan kısıta sahip problemin belirlenen stasyoner noktaları

Detaylı

T.C. MARMARA ÜNİVERSİTESİ

T.C. MARMARA ÜNİVERSİTESİ T.C. MARMARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DERS : OPTİMİZASYON TEKNİKLERİ ÖĞR.ÜYESİ : Yard.Doç.Dr. MEHMET TEKTAŞ 1 ATAMA PROBLEMLERİ PROBLEM: Aşağıdaki tabloda saat olarak her öğrencinin iş eğitimi

Detaylı

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey

Temelleri. Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlamanın Temelleri Doç.Dr.Ali Argun Karacabey Doğrusal Programlama Nedir? Bir Doğrusal Programlama Modeli doğrusal kısıtlar altında bir doğrusal ğ fonksiyonun değerini ğ maksimize yada minimize

Detaylı

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER

EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER EŞİTLİK KISITLI TÜREVLİ YÖNTEMLER LAGRANGE YÖNTEMİ Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde değişkenler ve kısıtlar genel olarak şeklinde gösterilir. fonksiyonlarının

Detaylı

= 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz dengenin istikrarlı olup olmadığını tespit ediniz.

= 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz dengenin istikrarlı olup olmadığını tespit ediniz. Siyasal Bilgiler Fakültesi İktisat Bölümü Matematiksel İktisat Ders Notu Prof. Dr. Hasan Şahin Faz Diyagramı Çizimi Açıklamarı = 2 6 Türevsel denkleminin 1) denge değerlerinin bulunuz. 2) Bulmuş olduğunuz

Detaylı

DİNAMİK - 7. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü

DİNAMİK - 7. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi. Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü DİNAMİK - 7 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü 7. HAFTA Kapsam: Parçacık Kinetiği, Kuvvet İvme Yöntemi Newton hareket

Detaylı

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş

Mühendislik Mekaniği Statik. Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Mühendislik Mekaniği Statik Yrd.Doç.Dr. Akın Ataş Bölüm 10 Eylemsizlik Momentleri Kaynak: Mühendislik Mekaniği: Statik, R. C.Hibbeler, S. C. Fan, Çevirenler: A. Soyuçok, Ö. Soyuçok. 10. Eylemsizlik Momentleri

Detaylı

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI DOKTORA PROGRAMI ŞEKİL TANIMA ÖDEV 2 KONU : DESTEK VEKTÖR MAKİNELERİ

TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI DOKTORA PROGRAMI ŞEKİL TANIMA ÖDEV 2 KONU : DESTEK VEKTÖR MAKİNELERİ TRAKYA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MAKİNA MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI DOKTORA PROGRAMI ŞEKİL TANIMA ÖDEV 2 KONU : DESTEK VEKTÖR MAKİNELERİ Kenan KILIÇASLAN Okul No:1098107203 1. DESTEK VEKTÖR MAKİNELER

Detaylı

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez

Doğrusal Programlama. Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Prof. Dr. Ferit Kemal Sönmez Doğrusal Programlama Belirli bir amacın gerçekleşmesini etkileyen bazı kısıtlayıcı koşulların ve bu kısıtlayıcı koşulların doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Quadratic Programming Bir karesel programlama modeli aşağıdaki gibi tanımlanır. Amaç fonksiyonu: Maks.(veya Min.) z

Detaylı

ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ

ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI (OPERATIONAL RESEARCH) ÖZLEM AYDIN TRAKYA ÜNİVERSİTESİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ SUNUM PLANI Yöneylem araştırmasının Tanımı Tarihçesi Özellikleri Aşamaları Uygulama alanları Yöneylem

Detaylı

Kansas City 5. Omaha 6. 660 940 Aşama 1 Aşama 5 1390. Dallas 7. Aşama 2 Aşama 3

Kansas City 5. Omaha 6. 660 940 Aşama 1 Aşama 5 1390. Dallas 7. Aşama 2 Aşama 3 En Kısa Yol (Ağ) Sorunu (Winston 0.., s. 1005) Joe Cougar New York ta yaşamakta ancak ün ve şans aramak için Los Angeles a gitmeyi planlamaktadır. Joe nun sınırlı parası vardır, bu nedenle yolculuğundaki

Detaylı

Matematiksel modellerin elemanları

Matematiksel modellerin elemanları Matematiksel modellerin elemanları Op#mizasyon ve Doğrusal Programlama Maksimizasyon ve Minimizasyon örnekleri, Doğrusal programlama modeli kurma uygulamaları 6. DERS 1. Karar değişkenleri: Bir karar verme

Detaylı

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM

BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM BÖLÜM 4: MADDESEL NOKTANIN KİNETİĞİ: İMPULS ve MOMENTUM 4.1. Giriş Bir önceki bölümde, hareket denklemi F = ma nın, maddesel noktanın yer değiştirmesine göre integrasyonu ile elde edilen iş ve enerji denklemlerini

Detaylı

Modelleme bir sanattan çok bir Bilim olarak tanımlanabilir. Bir model kurucu için en önemli karar model seçiminde ilişkileri belirlemektir.

Modelleme bir sanattan çok bir Bilim olarak tanımlanabilir. Bir model kurucu için en önemli karar model seçiminde ilişkileri belirlemektir. MODELLEME MODELLEME Matematik modelleme yaklaşımı sistemlerin daha iyi anlaşılması, analiz edilmesi ve tasarımının etkin ve ekonomik bir yoludur. Modelleme karmaşık parametrelerin belirlenmesi için iyi

Detaylı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı

Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Bir Doğrusal Programlama Modelinin Genel Yapısı Amaç Fonksiyonu Kısıtlar M i 1 N Z j 1 N j 1 a C j x j ij x j B i Karar Değişkenleri x j Pozitiflik Koşulu x j >= 0 Bu formülde kullanılan matematik notasyonların

Detaylı

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak

EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş. Dr. Özgür Kabak EM302 Yöneylem Araştırması 2 Doğrusal Olmayan Programlamaya Giriş Dr. Özgür Kabak Doğrusal Olmayan Programlama Eğer bir Matematiksel Programlama modelinin amaç fonksiyonu ve/veya kısıtları doğrusal değil

Detaylı

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY)

DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA DUALİTE (DUALITY) 1 DOĞRUSAL PROGRAMLAMADA İKİLİK (DUALİTE-DUALITY) Doğrusal programlama modelleri olarak adlandırılır. Aynı modelin değişik bir düzende oluşturulmasıyla Dual (İkilik)

Detaylı

MADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ

MADDESEL NOKTANIN EĞRİSEL HAREKETİ Silindirik Koordinatlar: Bazı mühendislik problemlerinde, parçacığın hareketinin yörüngesi silindirik koordinatlarda r, θ ve z tanımlanması uygun olacaktır. Eğer parçacığın hareketi iki eksende oluşmaktaysa

Detaylı

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum

Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 66 Bölüm 6 Ders 06 Çok değişkenli fonksiyonlar. Maksimum- Minimum 6.1 Çözümler:Alıştırmalar 06 Prof.Dr.Haydar Eş Prof.Dr.Timur Karaçay Ön Bilgi: z = f (x, y) fonksiyonu 3-boyutlu uzayda bir yüzeyin denklemidir.

Detaylı

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket

Bölüm-4. İki Boyutta Hareket Bölüm-4 İki Boyutta Hareket Bölüm 4: İki Boyutta Hareket Konu İçeriği 4-1 Yer değiştirme, Hız ve İvme Vektörleri 4-2 Sabit İvmeli İki Boyutlu Hareket 4-3 Eğik Atış Hareketi 4-4 Bağıl Hız ve Bağıl İvme

Detaylı

T.C. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ. DİNAMİK PROGRAMLAMA ve İSTATİSTİKSEL BAZLI UYGULAMALAR EYLÜL YILDIRIM

T.C. FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ. DİNAMİK PROGRAMLAMA ve İSTATİSTİKSEL BAZLI UYGULAMALAR EYLÜL YILDIRIM T.C. YILDIZ TEKNİK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DİNAMİK PROGRAMLAMA ve İSTATİSTİKSEL BAZLI UYGULAMALAR EYLÜL YILDIRIM YÜKSEK LİSANS TEZİ İSTATİSTİK ANABİLİM DALI İSTATİSTİK PROGRAMI DANIŞMAN DOÇ.

Detaylı

Algoritmalar. Çizge Algoritmaları. Bahar 2017 Doç. Dr. Suat Özdemir 1

Algoritmalar. Çizge Algoritmaları. Bahar 2017 Doç. Dr. Suat Özdemir 1 Algoritmalar Çizge Algoritmaları Bahar 201 Doç. Dr. Suat Özdemir 1 En Kısa Yol Problemi Çizgelerdeki bir diğer önemli problem de bir düğümden diğer bir düğüme olan en kısa yolun bulunmasıdır. Bu problem

Detaylı

Türk-Alman Üniversitesi. Ders Bilgi Formu

Türk-Alman Üniversitesi. Ders Bilgi Formu Türk-Alman Üniversitesi Ders Bilgi Formu Dersin Adı Dersin Kodu Dersin Yarıyılı Yöneylem Araştırması WNG301 5 ECTS Ders Uygulama Laboratuar Kredisi (saat/hafta) (saat/hafta) (saat/hafta) 6 2 2 0 Ön Koşullar

Detaylı

Üçüncü adımda ifade edilen özel kısıtları oluģturabilmek için iki genel yöntem geliģtirilmiģtir:

Üçüncü adımda ifade edilen özel kısıtları oluģturabilmek için iki genel yöntem geliģtirilmiģtir: TAMSAYILI DOGRUSAL PROGRAMLAMA ALGORİTMALARI TDP Algoritmaları, doğrusal programlamanın baģarılı sonuçlar ve yöntemlerinden yararlanma üzerine inģa edilmiģtir. Bu algoritmalardaki stratejiler üç adım içermektedir:

Detaylı

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu)

BÖLÜM I GİRİŞ (1.1) y(t) veya y(x) T veya λ. a t veya x. Şekil 1.1 Dalga. a genlik, T peryod (veya λ dalga boyu) BÖLÜM I GİRİŞ 1.1 Sinyal Bir sistemin durum ve davranış bilgilerini taşıyan, bir veya daha fazla değişken ile tanımlanan bir fonksiyon olup veri işlemde dalga olarak adlandırılır. Bir dalga, genliği, dalga

Detaylı

Zeki Optimizasyon Teknikleri

Zeki Optimizasyon Teknikleri Zeki Optimizasyon Teknikleri Ara sınav - 25% Ödev (Haftalık) - 10% Ödev Sunumu (Haftalık) - 5% Final (Proje Sunumu) - 60% - Dönem sonuna kadar bir optimizasyon tekniğiyle uygulama geliştirilecek (Örn:

Detaylı

BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ BİLGİSAYAR MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf / Y.Y. ALGORİTMA ANALİZİ VE TASARIMI Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS BG-315 3/1 3+0+0 3+0 5 Dersin Dili : TÜRKÇE Dersin

Detaylı

Gezgin Satıcı Probleminin İkili Kodlanmış Genetik Algoritmalarla Çözümünde Yeni Bir Yaklaşım. Mehmet Ali Aytekin Tahir Emre Kalaycı

Gezgin Satıcı Probleminin İkili Kodlanmış Genetik Algoritmalarla Çözümünde Yeni Bir Yaklaşım. Mehmet Ali Aytekin Tahir Emre Kalaycı Gezgin Satıcı Probleminin İkili Kodlanmış Genetik Algoritmalarla Çözümünde Yeni Bir Yaklaşım Mehmet Ali Aytekin Tahir Emre Kalaycı Gündem Gezgin Satıcı Problemi GSP'yi Çözen Algoritmalar Genetik Algoritmalar

Detaylı

Her bir polis devriyesi ancak bir çağrıyı cevaplayabilir. Bir çağrıya en fazla bir devriye atanabilir.

Her bir polis devriyesi ancak bir çağrıyı cevaplayabilir. Bir çağrıya en fazla bir devriye atanabilir. 7. Atama Modelleri: Atama modelleri belli işlerin veya görevlerin belli kişi veya kurumlara atanması ile alakalıdır. Doğrusal programlama modellerinin bir türüdür ve yapı itibariyle ulaştırma modellerine

Detaylı

sunu Erciyes İş Yerleri Sitesi 198 cadde no: 4 Yenimahalle / Ankara Tel: Fax:

sunu Erciyes İş Yerleri Sitesi 198 cadde no: 4 Yenimahalle / Ankara Tel: Fax: Copyright Bu soruların her hakkı ÇANTA Yayıncılık A.Ş. ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da

Detaylı

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1

Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Elastisite Teorisi Düzlem Problemleri için Sonuç 1 Düzlem Gerilme durumu için: Bilinmeyenler: Düzlem Şekil değiştirme durumu için: Bilinmeyenler: 3 gerilme bileşeni : 3 gerilme bileşeni : 3 şekil değiştirme

Detaylı

İleri Yöneylem Araştırması Uygulamaları Tam Sayılı Programlama

İleri Yöneylem Araştırması Uygulamaları Tam Sayılı Programlama İleri Yöneylem Araştırması Uygulamaları Tam Sayılı Programlama Dr. Özgür Kabak 2016-2017 Güz } Gerçek hayattaki bir çok problem } tam sayılı değişkenlerin ve } doğrusal kısıt ve amaç fonksiyonları ile

Detaylı

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati Kredi AKTS (T+U+L) YÖNEYLEM ARAŞTIRMA İÇİN ALGORİTMALAR EN-312 3/I 3+0+0 3 5 Dersin Dili : Türkçe Dersin

Detaylı

Genetik Algoritmalar. Bölüm 1. Optimizasyon. Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta:

Genetik Algoritmalar. Bölüm 1. Optimizasyon. Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta: Genetik Algoritmalar Bölüm 1 Optimizasyon Yrd. Doç. Dr. Adem Tuncer E-posta: adem.tuncer@yalova.edu.tr Optimizasyon? Optimizasyon Nedir? Eldeki kısıtlı kaynakları en iyi biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir.

Detaylı

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN

Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ. Prof. Dr. İbrahim UZUN Mühendislikte Sayısal Çözüm Yöntemleri NÜMERİK ANALİZ Prof. Dr. İbrahim UZUN Yayın No : 2415 İşletme-Ekonomi Dizisi : 147 5. Baskı Eylül 2012 - İSTANBUL ISBN 978-605 - 377-438 - 9 Copyright Bu kitabın

Detaylı

KARAR TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

KARAR TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü KARAR TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü Karar Ortamları Karar Analizi, alternatiflerin en iyisini seçmek için akılcı bir sürecin kullanılması ile ilgilenir. Seçilen

Detaylı

9.DERS Yazılım Geliştirme Modelleri

9.DERS Yazılım Geliştirme Modelleri 9.DERS Yazılım Geliştirme Modelleri 1 Yazılım Geliştirme Yaşam Döngüsü ve Modeller Herhangi bir yazılımın, üretim aşaması ve kullanım aşaması birlikte olmak üzere geçirdiği tüm aşamalar olarak tanımlanabilir.

Detaylı

TP SORUNLARININ ÇÖZÜMLERİ

TP SORUNLARININ ÇÖZÜMLERİ TP SORUNLARININ ÇÖZÜMLERİ (Bu notlar Doç.Dr. Şule Önsel tarafıdan hazırlanmıştır) TP problemlerinin çözümü için başlıca iki yaklaşım vardır. İlk geliştirilen yöntem kesme düzlemleri (cutting planes) olarak

Detaylı

DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ

DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ DENİZ HARP OKULU ENDÜSTRİ MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜM BAŞKANLIĞI DERS TANITIM BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Sınıf/Y.Y. Ders Saati (T+U+L) Kredi AKTS YÖNEYLEM ARAŞTIRMA - EN-3 3/ 3+0 3 Dersin Dili : Türkçe Dersin Seviyesi

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik (Eşitlik Kısıtlı Türevli Yöntem) Bu metodu incelemek için Amaç fonksiyonu Min.z= f(x) Kısıtı g(x)=0 olan problemde

Detaylı

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar.

a) Çıkarma işleminin; eksilen ile çıkanın ters işaretlisinin toplamı anlamına geldiğini kavrar. 7. SINIF KAZANIM VE AÇIKLAMALARI M.7.1. SAYILAR VE İŞLEMLER M.7.1.1. Tam Sayılarla Toplama, Çıkarma, Çarpma ve Bölme İşlemleri M.7.1.1.1. Tam sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar; ilgili problemleri

Detaylı

Tarımda Mühendislik Düşünce Sistemi. Prof. Dr. Ferit Kemal SÖNMEZ

Tarımda Mühendislik Düşünce Sistemi. Prof. Dr. Ferit Kemal SÖNMEZ Tarımda Mühendislik Düşünce Sistemi Prof. Dr. Ferit Kemal SÖNMEZ Sistem Aralarında ilişki veya bağımlılık bulunan elemanlardan oluşan bir yapı veya organik bütündür. Bir sistem alt sistemlerden oluşmuştur.

Detaylı

Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik

Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik Fen Bilimleri Enstitüsü Kimya Mühendisliği Anabilim Dalı Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik DERS BİLGİ FORMU DERS BİLGİLERİ Dersin Adı Kodu Yarıyıl Kimya Mühendisliğinde Uygulamalı Matematik T

Detaylı

İletken Düzlemler Üstüne Yerleştirilmiş Antenler

İletken Düzlemler Üstüne Yerleştirilmiş Antenler İletken Düzlemler Üstüne Yerleştirilmiş Antenler Buraya dek sınırsız ortamlarda tek başına bulunan antenlerin ışıma alanları incelendi. Anten yakınında bulunan başka bir ışınlayıcı ya da bir yansıtıcı,

Detaylı

r r s r i (1) = [x(t s ) x(t i )]î + [y(t s ) y(t i )]ĵ. (2) r s

r r s r i (1) = [x(t s ) x(t i )]î + [y(t s ) y(t i )]ĵ. (2) r s Bölüm 4: İki-Boyutta Hareket(Özet) Bir-boyutta harekeçin geliştirilen tüm kavramlar iki-boyutta harekeçin genelleştirilebilir. Bunun için hareketli cismin(parçacığın) yer değiştirme vektörü xy-düzleminde

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III Prof. Dr. Cemalettin KUBAT Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN İçerik Hessien Matris-Quadratik Form Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar Giriş Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için

Detaylı

Şekil 6.2 Çizgisel interpolasyon

Şekil 6.2 Çizgisel interpolasyon 45 Yukarıdaki şekil düzensiz bir X,Y ilişkisini göstermektedir. bu fonksiyon eğri üzerindeki bir dizi noktayı birleştiren bir seri düzgün çizgi halindeki bölümlerle açıklanabilir. Noktaların sayısı ne

Detaylı

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI

OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI OTOMATİK KONTROL SİSTEMLERİ BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME KURALLARI Örnek 9: Aşağıdaki açık çevrim blok diyagramının transfer fonksiyonunu bulunuz? 2 BLOK DİYAGRAM İNDİRGEME

Detaylı

DENEY 1 SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET

DENEY 1 SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET DENEY 1 SABİT HIZLA DÜZGÜN DOĞRUSAL HAREKET AMAÇ: Bir nesnenin sabit hızda, net gücün etkisi altında olmadan düzgün bir hat üzerinde hareket etmesini doğrulamak ve bu hızı hesaplanmaktır. GENEL BİLGİLER:

Detaylı

Şekil 6.1 Basit sarkaç

Şekil 6.1 Basit sarkaç Deney No : M5 Deney Adı : BASİT SARKAÇ Deneyin Amacı yer çekimi ivmesinin belirlenmesi Teorik Bilgi : Sabit bir noktadan iple sarkıtılan bir cisim basit sarkaç olarak isimlendirilir. : Basit sarkaçta uzunluk

Detaylı

İTKİLİ MOTORLU UÇAĞIN YATAY UÇUŞ HIZI

İTKİLİ MOTORLU UÇAĞIN YATAY UÇUŞ HIZI İTKİLİ MOTORLU UÇAĞIN YATAY UÇUŞ HIZI Mustafa Cavcar Anadolu Üniversitesi Havacılık ve Uzay Bilimleri Fakültesi 26470 Eskişehir Yatay uçuş sabit uçuş irtifaında yeryüzüne paralel olarak yapılan uçuştur.

Detaylı

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR

HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR HESSİEN MATRİS QUADRATİK FORM MUTLAK ve BÖLGESEL MAKS-MİN NOKTALAR Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli

Detaylı

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ KİMYA ANABİLİM DALI

ERCİYES ÜNİVERSİTESİ KİMYA ANABİLİM DALI İlaç Tasarımında Yeni Yazılımların Geliştirilmesi: Elektron Konformasyonel-Genetik Algoritma Metodu ile Triaminotriazin Bileşiklerinde Farmakofor Belirlenmesi ve Nicel Biyoaktivite Hesabı; ERCİYES ÜNİVERSİTESİ

Detaylı

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği

8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu 8.333 İstatistiksel Mekanik I: Parçacıkların İstatistiksel Mekaniği 2007 Güz Bu materyallerden alıntı yapmak ya Kullanım Şartları hakkında bilgi almak için

Detaylı

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - I 1/36 İçerik Optimalliği etkileyen değişimler 2/36 (Optimallik Sonrası Analiz): Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler meydana gelirse optimal çözüm değişecek

Detaylı

Ayrık Fourier Dönüşümü

Ayrık Fourier Dönüşümü Ayrık Fourier Dönüşümü Tanım: 0 n N 1 aralığında tanımlı N uzunluklu bir dizi x[n] nin AYRIK FOURIER DÖNÜŞÜMÜ (DFT), ayrık zaman Fourier dönüşümü (DTFT) X(e jω ) nın0 ω < 2π aralığında ω k = 2πk/N, k =

Detaylı

KIRCHHOFF YASALARI VE WHEATSTONE(KELVİN) KÖPRÜSÜ

KIRCHHOFF YASALARI VE WHEATSTONE(KELVİN) KÖPRÜSÜ KIRCHHOFF YASALARI VE WHEATSTONE(KELVİN) KÖPRÜSÜ Deneyin Amacı Bu deneyin amacı, seri, paralel ve seri-paralel bağlı dirençleri tanımak, Kirchhoff Yasalarının uygulamasını yapmak, eşdeğer direnç hesaplamasını

Detaylı

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS

Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS DERS BİLGİLERİ Ders Adı Kodu Yarıyılı T+U Saati Ulusal Kredisi AKTS Algoritmalar ve Programlama Lab. II BIL104 2. 2+0 2 2 Ön Koşul Dersleri Dersin Dili Dersin Seviyesi Dersin Türü Türkçe Lisans Yüz Yüze

Detaylı

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu

Başlangıç Temel Programının Bilinmemesi Durumu aşlangıç Temel Programının ilinmemesi Durumu İlgili kısıtlarda şartlar ( ) ise bunlara gevşek (slack) değişkenler eklenerek eşitliklere dönüştürülmektedir. Ancak sınırlayıcı şartlar ( ) veya ( = ) olduğu

Detaylı

Üretim Planlarında AÜP'nin Yeri

Üretim Planlarında AÜP'nin Yeri Ana Üretim Programı Ana Üretim Programı Nihai ürünlerin üretimi için yapılan programdır. Ana üretim programı, bütünleşik üretim planını detaylandırarak üretilecek ürün kalemlerine çevirir. Seçenek planları

Detaylı

ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU

ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU ALTIN ORAN ARAMA (GOLDEN SECTION SEARCH) METODU Tek değişkenli bir f(x) fonksiyonunu ele alalım. [Bazı x ler için f (x) bulunamayabilir.] Aşağıdaki DOP modelini çözmek istediğimizi var sayalım. Max f(x)

Detaylı

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü

OYUN TEORİSİ. Özlem AYDIN. Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü OYUN TEORİSİ Özlem AYDIN Trakya Üniversitesi Bilgisayar Mühendisliği Bölümü TANIM ''Oyun Teorisi'', iki yada daha fazla rakibi belirli kurallar altında birleştirerek karşılıklı olarak çelişen olasılıklar

Detaylı

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok

Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği

Detaylı

Öğr. Gör. Serkan AKSU

Öğr. Gör. Serkan AKSU Öğr. Gör. Serkan AKSU www.serkanaksu.net İki nokta arasındaki yerdeğiştirme, bir noktadan diğerine yönelen bir vektördür, ve bu vektörün büyüklüğü, bu iki nokta arasındaki doğrusal uzaklık olarak alınır.

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I-

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA -I- Dışbükeylik / İçbükeylik Hazırlayan Doç. Dr. Nil ARAS Anadolu Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü İST38 Yöneylem Araştırması Dersi 0-0 Öğretim Yılı Doğrusal olmayan

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL

ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL ÖZEL EGE LİSESİ FİBONACCİ DİZİLERİ YARDIMIYLA DEĞERİNİ HESAPLAYAN BİR FORMÜL HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Tilbe GÖKÇEL DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Emel ERGÖNÜL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI... 3 2. GİRİŞ... 3

Detaylı

DOĞAL GAZ & ENERJİ YÖNETİMİ BİLDİRİLER KİTABI

DOĞAL GAZ & ENERJİ YÖNETİMİ BİLDİRİLER KİTABI TMMOB MAKİNA MÜHENDİSLERİ ODASI İİ DOĞAL GAZ & ENERJİ YÖNETİMİ KONGRE ve SERGİSİ BİLDİRİLER KİTABI GAZİANTEP EYLÜL 2001 TMMOB MAKİNA MÜHENDİSLERİ ODASİ Sümer Sok. 36/1-A Uemirtepc /ANKARA Tel : 0(312)231

Detaylı

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör.

İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Doğrusal Programlamada Karışım Problemleri İbrahim Küçükkoç Arş. Gör. Balikesir Üniversitesi Endüstri Mühendisliği Bölümü Mühendislik-Mimarlık Fakültesi Çağış Kampüsü 10145 / Balıkesir 0 (266) 6121194

Detaylı

I) DÖNEM PROJESİ. A) Sektörel Proje. Kapak Sayfası Başlık Öğrencinin Adı Soyadı Teslim Edildiği Tarih

I) DÖNEM PROJESİ. A) Sektörel Proje. Kapak Sayfası Başlık Öğrencinin Adı Soyadı Teslim Edildiği Tarih I) DÖNEM PROJESİ Dönem projesinin amacı, öğrencinin bir sektörel proje ya da bir literatür araştırmasını bağımsız olarak yürütebilmesi için gerekli yetenekleri kazanmasına yardımcı olmaktır. Öğrenciler

Detaylı

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi

Şekil 7.1 Bir tankta sıvı birikimi 6 7. DİFERENSİYEL DENKLEMLERİN SAYISAL ÇÖZÜMLERİ Diferensiyel denklemlerin sayısal integrasyonunda kullanılabilecek bir çok yöntem vardır. Tecrübeler dördüncü mertebe (Runge-Kutta) yönteminin hemen hemen

Detaylı

Bu kısıtlar sonra aşağıdaki gibi basitleştirilir:

Bu kısıtlar sonra aşağıdaki gibi basitleştirilir: HEDEF PROGRAMLAMA 8.1 TEK AMAÇLIYA KARŞI ÇOK AMAÇLI PROGRAMLAMA Önceki bölümlerde tanıtılan doğrusal programlama modelleri tek bir amaç fonksiyonunun optimizasyonuyla karakterize edilir. Sistemin çok sayıda

Detaylı

SİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 7. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN

SİDRE 2000 ORTAOKULU EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 7. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN SİDRE 000 ORTAOKULU 06-07 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI 7. SINIFLAR MATEMATİK DERSİ ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN ÜNİTE ÖĞRENME ALANI ALT ÖĞRENME ALANI Ders Saati 9.09.06/.09.06 Tam Sayılarla Çarpma ve Bölme i 7...

Detaylı

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP)

DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP) DOĞRUSAL OLMAYAN PROGRAMLAMA (NLP) 1. Non-lineer kar analizi, 2. Kısıtlı optimizasyon, 3. Yerine koyma (substitution) yöntemi, 4. Lagranj Çarpanları Yöntemi 5. Başabaş Analizleri ve Duyarlılık Testleri

Detaylı

DİNAMİK PROGRAMLAMANIN İŞÇİLİK MALİYETLERİNİN MİNİMİZASYONUNDA UYGULANMASI

DİNAMİK PROGRAMLAMANIN İŞÇİLİK MALİYETLERİNİN MİNİMİZASYONUNDA UYGULANMASI Süleyman Demirel Üniversitesi İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi Dergisi Y.2010, C.15, S.3 s.271-290. Suleyman Demirel University The Journal of Faculty of Economics and Administrative Sciences Y.2010,

Detaylı

TEMEL MEKANİK 10. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü

TEMEL MEKANİK 10. Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü TEMEL MEKANİK 10 Yrd. Doç. Dr. Mehmet Ali Dayıoğlu Ankara Üniversitesi Ziraat Fakültesi Tarım Makinaları ve Teknolojileri Mühendisliği Bölümü Ders Kitapları: Mühendisler İçin Vektör Mekaniği, Statik, Yazarlar:

Detaylı

Yöneylem Araştırması II (IE 323) Ders Detayları

Yöneylem Araştırması II (IE 323) Ders Detayları Yöneylem Araştırması II (IE 323) Ders Detayları Ders Adı Ders Kodu Dönemi Ders Saati Uygulama Saati Laboratuar Saati Kredi AKTS Yöneylem Araştırması II IE 323 Güz 3 2 0 4 5.5 Ön Koşul Ders(ler)i IE 222

Detaylı

Doğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk

Doğrusal Demet Işıksallığı 2. Fatma Çağla Öztürk Doğrusal Demet Işıksallığı Fatma Çağla Öztürk İçerik Demet Yönlendirici Mıknatıslar Geleneksel Demir Baskın Mıknatıslar 3.07.01 HPFBU Toplantı, OZTURK F. C. Demet Yönlendirici Mıknatıslar Durgun mıknatıssal

Detaylı

FİZİK KAYNAKLAR. Prof. Dr. Kadir ESMER DERSLE İLGİLİ UYARILAR BÖLÜM 1: FİZİK VE ÖLÇME KONULAR

FİZİK KAYNAKLAR. Prof. Dr. Kadir ESMER DERSLE İLGİLİ UYARILAR BÖLÜM 1: FİZİK VE ÖLÇME KONULAR DERSLE İLGİLİ UYARILAR FİZİK Prof. Dr. Kadir ESMER Devam konusunda duyarlı olun Ders sırasında gereksiz konuşmayın Derse zamanında gelin Düzenli çalışın SINAVLARDA; Yazınız okunaklı, net, düzgün olsun

Detaylı

İleri Diferansiyel Denklemler

İleri Diferansiyel Denklemler MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret

Detaylı

Afet Yardım Operasyonlarında CBS Tabanlı Acil Müdahale Sistemi

Afet Yardım Operasyonlarında CBS Tabanlı Acil Müdahale Sistemi Afet Yardım Operasyonlarında CBS Tabanlı Acil Müdahale Sistemi Erdinç Bakır 1, Dr. Onur Demir 1 & Dr. Linet Ozdamar 2 1 Bilg. Müh. Bölümü 2 Sistem ve End. Müh. Bölümü Yeditepe University, Istanbul, Turkey

Detaylı

Yrd. Doç. Dr. Caner ÖZCAN

Yrd. Doç. Dr. Caner ÖZCAN Yrd. Doç. Dr. Caner ÖZCAN BAĞLI LİSTELER Bağlı listeler konusuna çalışmanın bazı faydaları var. Bağlı listeler gerçek programlarda kullanılabilecek bir veri yapısıdır. Bağlı listelerin güçlü ve zayıf yönlerini

Detaylı

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1)

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1) Stok Kontrol Önceki Derslerin Hatırlatması Ders 7 Farklı Bir Stok Yönetimi Durumu Uzun Dönemli Stok Problemi Talep hızı sabit, biliniyor Birim ürün maliyeti sabit Sipariş maliyeti sabit Tedarik Süresi

Detaylı

2 SABİT HIZLI DOĞRUSAL HAREKET

2 SABİT HIZLI DOĞRUSAL HAREKET 2 SABİT HIZLI DOĞRUSAL HAREKET Bu deneyin amacı, hava masası deney düzeneği kullanarak, hiç bir net kuvvetin etkisi altında olmaksızın hareket eden bir cismin düz bir çizgi üzerinde ve sabit hızla hareket

Detaylı

Daha komplike uygulamalar elektronik ticaret, elektronik kimlik belgeleme, güvenli e-posta,

Daha komplike uygulamalar elektronik ticaret, elektronik kimlik belgeleme, güvenli e-posta, Çift Anahtarlı (Asimetrik Şifreleme) Bilgi Güvenliği: Elektronik iletişim, günümüzde kağıt üzerinde yazı yazarak yapılan her türlü iletişimin yerine geçmeye adaydır. Çok uzak olmayan bir gelecekte kişi/kuruluş/toplumların,

Detaylı

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin

Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin DUYARLILIK ANALİZİ Duyarlılık analizi, bir doğrusal programlama probleminde belirlenen katsayı değerlerinin değişmesinin problemin optimal çözümü üzerine etkisini incelemektedir. Oluşturulan modeldeki

Detaylı

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2)

Stok Kontrol. Önceki Derslerin Hatırlatması. Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(1) Örnek (Ekonomik Sipariş Miktarı Modeli)(2) Stok Kontrol Önceki Derslerin Hatırlatması Ders 5 Farklı Bir Stok Yönetimi Durumu Uzun Dönemli Stok Problemi Talep hızı sabit oranlı, biliniyor Birim ürün maliyeti sabit Sipariş maliyeti sabit Tedarik

Detaylı

Karar değişkenlere ilişkin fonksiyonların ve bu fonksiyonlara ilişkin sınırlamaların tanımlanması

Karar değişkenlere ilişkin fonksiyonların ve bu fonksiyonlara ilişkin sınırlamaların tanımlanması İNŞAAT PROJELERİNİN PROGRAMLAMA, TASARIM VE YAPIM SÜRECİNDE OPTİMİZASYON Doğrusal Optimizasyon Optimizasyon Kuramı (Eniyileme Süreci) Doğrusal Olmayan Optimizasyon Optimizasyon en iyi çözümü bulma sürecidir.

Detaylı

LÜLEBURGAZDAKİ BİNA DIŞ DUVARLARI İÇİN OPTİMUM YALITIM KALINLIĞININ BELİRLENMESİ VE MALİYET ANALİZİ

LÜLEBURGAZDAKİ BİNA DIŞ DUVARLARI İÇİN OPTİMUM YALITIM KALINLIĞININ BELİRLENMESİ VE MALİYET ANALİZİ LÜLEBURGAZDAKİ BİNA DIŞ DUVARLARI İÇİN OPTİMUM YALITIM KALINLIĞININ BELİRLENMESİ VE MALİYET ANALİZİ Mak. Yük. Müh. Emre DERELİ Makina Mühendisleri Odası Edirne Şube Teknik Görevlisi 1. GİRİŞ Ülkelerin

Detaylı

MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ

MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ SİMPLEKS TABLONUN YORUMU MATRİSEL ÇÖZÜM TABLOLARIYLA DUYARLILIK ANALİZİ Şu ana kadar verilen bir DP probleminin çözümünü ve çözüm şartlarını inceledik. Eğer orijinal modelin parametrelerinde bazı değişiklikler

Detaylı