Nayma Qəhrəmanova Məhəmməd Kərimov İlham Hüseynov RİYAZİYYAT9

Transkript

1 Nama Qəhrəmanova Məhəmməd Kərimov İlham Hüsenov RİYAZİYYAT9 Öìóìòÿùñèë ìÿêòÿáëÿðèíèí 9-úó ñèíôè ö öí «Ðèéàçèééàò» ôÿííè öçðÿ ìöÿëëèì ö öí METODİK VƏSAİT Azərbacan Respublikası Təhsil Nazirliinin úû èë òàðèõëè 69 ¹-ëè əmri ilə təsdiq edilmişdir. ÓÀçÿðáàéúàí Ðåñïóáëèêàñû Òÿùñèë Íàçèðëèéè 06 Ìöÿëëèôëèê ùöãóãëàðû ãîðóíóð. Õöñóñè èúàçÿ îëìàäàí áó íÿøðè âÿ éàõóä îíóí ùÿð ùàíñû ùèññÿñèíè éåíèäÿí àï åòäèðìÿê, ñóðÿòèíè ûõàðìàã, åëåêòðîí èíôîðìàñèéà âàñèòÿëÿðè èëÿ éàéìàã ãàíóíà çèääèð. «Ðàäèóñ» nəşriatı Müəllim üçün metodik vəsaitlə bağlı rə, irad və təkliflərin və elektron ünvanlara göndərilməsi ahiş olunur. Əməkdaşlığınız üçün əvvəlcədən təşəkkür edirik!

2 Azərbacan Respublikasının Dövlət Himni Azərbacan! Azərbacan! E qəhrəman övladın şanlı Vətəni! Səndən ötrü can verməə cümlə hazırız! Səndən ötrü qan tökməə cümlə qadiriz! Üçrəngli barağınla məsud aşa! Minlərlə can qurban oldu, Sinən hərbə medan oldu! Hüququndan keçən əsgər, Hərə bir qəhrəman oldu! Sən olasan gülüstan, Sənə hər an can qurban! Sənə min bir məhəbbət Sinəmdə tutmuş məkan! Namusunu hifz etməə, Barağını üksəltməə Cümlə gənclər müştaqdır! Şanlı Vətən! Şanlı Vətən! Azərbacan! Azərbacan! Musiqisi Üzeir Hacıbəlinin, sözləri Əhməd Cavadındır.

3 I bölmə Dərsliin strukturu...5 Riaziat fənninin müasir təd risin də istifadə edilən tenoloji alətlər və proqram təminatı haqqında məlumat...9 Örənmə məşğələləri üçün WEBSİTE linkləri... Dərs planı nümunəsi. Rasional üstlü qüvvət... Həqiqi ədədlər...5 Ədədin kub kökü...7 n-ci dərəcədən kök və onun assələri Rasional üstlü qüvvət və onun assələri Ümumiləşdirici tapşırıqlar bölməsi üzrə summativ qimətlən dir mə tapşırıqları...6 Çevrə. Mərkəzi bucaq. Qövs...7 Çevrə.Vətər...9 Çevrə dailinə çəkilmiş bucaq... Çevrəə tounan...6 Kəsən və tounanların əmələ gətirdii bucaqlar...50 Çevrəni kəsən parçalar Ümumiləşdirici tapşırıqlar bölməsi üzrə summativ qimətlən dir mə tapşırıqları...55 II bölmə Kvadratik funksianın qrafiki...58 Kvadratik funksianın ifadə formaları və qrafiki...6 Kvadratik funksianın sıfırları...66 Kvadratik funksianın ümumi şəkli...69 Kvadratik funksianın tətbiqi ilə məsələ həlli...75 = funksiası. Ümumiləşdirici tapşırıqlar bölməsi üzrə summativ qimətlən dir mə tapşırıqları...8 Dərs planı nümunəsi. Çevrənin tənlii.85 İki nöqtə arasındakı məsafə...87 Çevrənin tənlii...9 Mündəricat Sektor və seqment Ümumiləşdirici tapşırıqlar bölməsi üzrə summativ qi mət lən dir mə tapşırıqları...99 III bölmə Yüksək dərəcəli tənliklərin həlli...0 Rasional tənliklər və məsələ həlli...08 Modul işarəsi dailində dəişəni olan tənliklər...5 Tənliklər sistemi...0 Tənliklər sistemi qurmaqla məsələ həlli Ümumiləşdirici tapşırıqlar..... bölməsi üzrə summativ qi mət lən dir mə tapşırıqları...6 Yarımillik summativ qi mət lən dir mə..8 Çobucaqlılar...0 Çobucaqlının daili və arici bucaqları... Çevrənin dailinə və aricinə çəkilmiş çobucaqlılar...5 Düzgün çobucaqlının dailinə və aricinə çəkilmiş çevrələrin radiusları Düzgün çobucaqlının sahəsi Ümumiləşdirici tapşırıqlar..... bölməsi üzrə summativ qi mət lən dir mə tapşırıqları...7 IV bölmə Bərabərsizliklər sistemi və bərabərsizliklər heəti...5 Modul işarəsi dailində dəişəni olan bərabərsizliklər...56 İkidəişənli ətti bərabərsizliklər...6 İkidəişənli ətti bərabər siz lik lər sistemi...6 Kvadrat bərabərsizliklər. Bərabərsizliklərin intervallar üsulu ilə həlli...67 Ümumiləşdirici tapşırıqlar bölməsi üzrə summativ qi mət lən dir mə tapşırıqları...7

4 Vektorlar...7 Koordinat müstəvisində vektorlar.7 Vektorun istiqaməti...75 Vektorların toplanması və çıılması...79 Vektorun komponentləri və triqo nometrik nisbətlər...8 Vektorların tətbiqi ilə məsələ həlli..8 Vektorun ədədə vurulması. Ümumiləşdirici tapşırıqlar bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları...88 V bölmə Ədədi ardıcıllıqlar...90 Ədədi silsilə Ədədi silsilənin n-ci həddinin düsturu Ədədi silsilənin hədlərinin assələri...9 Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu...98 Həndəsi silsilə. Həndəsi silsilənin n-ci həddinin düsturu. Həndəsi silsilənin hədlərinin assələri...0 Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu...05 q < olduqda sonsuz həndəsi silsilənin cəmi. Ümumiləşdirici tapşırıqlar...08 Həndəsi çevrilmələr. Hərəkət Ümumiləşdirici tapşırıqlar ci bölmə üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları... VI bölmə Məlumatın qruplaşdırılması və təqdimi...6 Məlumatın təqdimi...8 Məlumatın analizi və təqdimi Ümumiləşdirici tapşırıqlar... Permutasia. Kombinezon...5 Ehtimalın hesablanmasına aid məsələ həlli. Ümumiləşdirici tapşırıqlar cı bölmə üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları...6 Ümumiləşdirici tapşırıqlar...7 İllik summativ qi mətləndirmə...8

5 İstifadə edilən şərti işarələr Məzmun standartı Diqqət edilməli məqamlar Əldə edilən şagird bacarıqları Refleksia sualları Lazımi nəzəri material Ev tapşırıqları Lazımi ön biliklər Qimətləndirmə tapşırıqları Örənmə üçün nümunə tapşırıqlar Əlavə resurslar Dərsliin strukturu Dərslik 6 bölmədən ibarətdir. -ci bölmənin əhatə etdii məzmun standartları aşağıdakılardır... Ədədləri, ədədlərin mütəlif formada verilməsini, onların arasındakı münasibətləri tətbiq edir.... Həqiqi ədədləri ouur və azır.... Həqiqi ədədləri müqaisə edir və düzür.... Həqiqi ədədə uğun olan nöqtəni ədəd ou üzərində təmini göstərir.... Çoluqların birləşməsi və kəsişməsi assələrini həqiqi ədədlər çoluğu ilə bağlı məsələlər həllinə tətbiq edir... Riazi əməlləri, riazi prosedurları və onların arasındakı əlaqəni tətbiq edir.... n-ci (n > ) dərəcədən kökün assələrini tətbiq edərək ifadələrin qimətini tapır.... Rasional üstlü qüvvətin assələrini tətbiq edir.... n-ci (n > ) dərəcədən kök dail olan ifadələri sadələşdirir.... Mütəsər vurma düsturlarını n-ci (n > ) dərəcədən kök dail olan ifadələrə tətbiq edir...5. Praktik məsələlərin həllinə (bank əməliatlarında, satış qimətinin dəişməsində) faizin düsturlarını tətbiq edir... Hesablamalar aparır, aldığı nəticələrin reallığa uğunluğunu olaır.... Kvadrat kök və kub kök dail olan ifadələrin təqribi qimətini tapır və nəticələri hesablama tenikasının tətbiqi ilə alınan nəticələrlə müqaisə edir. 5? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli Lüğət

6 Nəzərə alsaq ki, həqiqi ədədləri ouub-azma, müqaisəetmə bacarıqlarına 8-ci sinifdə geniş er verilmişdir. Bu mövzua təkrar və ümumiləşdirmə məqsədli bir dərs saatı aırmaqla, əsas diqqət n-ci dərəcədən kök və rasional üstlü qüvvətin assələrini örənmə və tətbiqetmə bacarıqlarının formalaşdırılmasına önəldilmişdir. Hər bir eni anlaış nəzəri məlumat, qrafik təsvir, riazi azılış, nümunə məsələlələrin həlli ilə müşaiət olunur. Bu bölməə dail edilmiş həndəsə məzmun ətti üzrə dərslər... Çevrəə tounanın və kəsənin assələrini tətbiq edir məzmun standartı üzrə dərsləri əhatə edir. Bu dərslərdə çevrə və onun hissələrinin assələri ardıcıl olaraq araşdırılımış, şagirdin aş səviəsinə uğun mühakimələri tələb edən tapşırıqlar verilmişdir. Həndəsi məsələlərin əksəriətini qrafik təsvirlər müşaiət edir ki, bu da problemi vizual təsəvvüretmə və fəza təsəvvürlərini düzgün formalaşdırmaqda mühüm rol onaır. Hər hansı təklifin isbatını tələb edən tapşırıqlar verilənlər və isbat üçün plan müəən edilməklə verilmişdir. İkinci bölmə kvadratik funksia və çobucaqlılar kimi cəbr, funksialar və həndəsə məzmun ətti üzrə standartların formalaşmasına arılmışdır. Kvadratik funksianın tədqiqinə üsusi ifadə olunmuş məzmun standartı arılmamışdır.... Biri ətti, digəri ikidərəcəli olan ikidəişənli tənliklər sistemini həll edir.... Kvadrat bərabərsizlii həll edir... Gündəlik həatda rastlaşdığı kəmiətlər arasındakı asılılıqları funksialar vasitəsi ilə ifadə edir. Əsas məzmun standartı və alt standartları üzrə nəzərdə tutulmuş tənliklərin və bərabərsizliklərin qrafik üsulla həlli lazım gəlir və bu bacarıqları kvadratik funksianın özünü tədqiq etmədən mümkün deil. Həmçinin sonrakı siniflər üzrə verilmiş standartlarda bu mövzua bir daha er verilmədiindən, real həati situasialara aid bir ço maliə, konstruksia məsələlərinin bu funksia ilə ifadə edildii və benəlalq təcrübə nəzərə alınaraq, kvadratik funksianın araşdırılmasına və tətbiqi ilə məsələ həllinə geniş er verilmişdir. İkinci bölməə həmçinin həndəsə məzmun ətti üzrə... Verilmiş iki nöqtə arasındakı məsafə düsturunu bilir, mərkəzinin koordinatlarına və radiusuna görə çevrənin tənliini azır standartları üzrə dərslər dail edilmişdir. Üçüncü bölmədə.. Mütəlif situasialardakı problemləri cəbri şəkildə ifadə edir və araşdırır.... Həati situasiaa uğun birdəişənli tənlik və a ikidəişənli iki tənliklər sistemi tərtib edir... Cəbri prosedurları erinə etirir.... Cəbri ifadələr üzərində enilik çevirmələri aparır.... Biri ətti, digəri ikidərəcəli olan ikidəişənli tənliklər sistemini həll edir. məzmun standartları üzrə dərslər er almışdır. Dərslər rasional tənliklər, dəişəni modul işarəsi dailində olan tənliklər, tənliklər sistemi (bir tənlii birdərəcəli, digəri ikidərəcəli olan, hər iki tənlii ikidərəcəli olan tənliklər sistemi) ardıcıllığı ilə nümunə tapşırıqların həlli, real həati situasialara və elmin mütəlif sahələrinə aid informasianın er aldığı məsələlər dail edilmişdir. Həmçinin işçi, maliə məsələləri tiplərinə də er 6

7 verilmişdir. Tənliklərin tədrisi benəlalq təcrübə aarşdırılmaqla şagirdin aş üsusiətinə uğun olaraq işlənilmişdir. Bu bölmədə həmçinin.. Həndəsi təsvir, təsəvvür və məntiqi mühakimələrin köməi ilə fiqurların əlamət və assələrini araşdırır.... Sınıq ətt və çobucaqlı anlaışlarını bilir, düzgün çobucaqlını təsvir edir.... Verilmiş üçbucağın dailinə və aricinə çevrə çəkir.... Çevrəə tounanın və kəsənin assələrini tətbiq edir.... Dairənin dailinə və aricinə çəkilmiş dördbucaqlının assələrini məsələlər həllinə tətbiq edir. standartları üzrə dərslər er almışdır. Dördüncü bölmədə... Verilmiş təklifi birdəişənli iki ətti bərabərsizliklər sistemi şəklində azaraq həll edir.... Cəbri bərabərsizlikləri intervallar üsulu ilə həll edir.... Kvadrat bərabərsizlii həll edir məzmun standartları üzrə dərslər er almışdır. Bərabərsizliklərin qrafik üsulla həllinə geniş er verilmiş, istifadə edilmiş qrafkalkulatorların weblinkləri qed edilmişdir. Bərabərsizliklərin həllində qrafkalkulatorlar əvəzsiz vasitədir. Maliə məsələlərinin həllində, konstruksia məsələlərində, ümumiətlə real həati situasialarda ço kiçik və a ço böük əmsalların dail olduğu kvadrat bərabərsizlikləri həll etmək üçün uğun funksianın qrafikini qurmaq lazım gəlir. Burada kömək edən vasitə alnız qrafkalkulator ola bilər. Həmçinin şagird bərabərsizliin cəbri üsullarla həllini qrafkalkulatorda qrafik qurmaqla olaa bilər. Bu bölmədə həndəsə məzmun ətti üzrə..5. Müstəvi üzərində vektor anlaışını, vektorların toplanması, çıılması və ədədə vurma qadalarını riazi və fiziki məsələlərə tətbiq edir.... Törəmə ölçü vahidlərinin birindən digərinə keçir.... Praktik ölçmələrdə alınan nəticələrin həqiqətə uğunluğunu olaır məzmun standartları üzrə dərslər verilmişdir. Vektor anlaışının tədrisi inkişaf etmiş ölkələrin təcrübəsi araşdırılmaqla eni anaşmada verilmişdir. Şagird vektorun mütləq qimətini və istiqamətini ölçmələrlə müəən edir, qəbul edilmiş miqasla real ölçülərini müəən edir. Vektorlar üzərində əməllər qrafik təsvirlərlə erinə etirilir ki, bu fəaliətlər şagirdin real həati bacarıqlarını, bölmələri erinə etirmə və qimətləndirmə bacarıqlarını formalaşdırır. Vektorun düzgün tədris olunmasının peşə və sənət vərdişləri üçün əhəmiəti ço böükdür. Beşinci bölmə... Ardıcıllıqların, ədədi və həndəsi silsilələrin assələrini məsələ həllinə tətbiq edir məzmun standartı üzrə dərsləri əhatə edir. Ədədi ardıcıllıqlar, ədədi silsilə, həndəsi silsilə örənmə, tətbiq tapşırıqlarının növbələşməsi ilə çolu sada, mütəlif tipli tapşırıqlar üzərində qurulmuşdur. Bu bölmədə... Müstəvi üzərində paralel köçürmə anlaışını bilir və fiqurların çevrilməsinə onu tətbiq edir.... Hərəkət çevrilməsi anlaışını bilir və iki konqruent fiqurdan birini digərindən hərəkət çevirməsi ilə alır məzmun standartları üzrə dərslər er almışdır. Hərəkət çevrilmələri müqaisəli şəkildə qrafik təsvirlər üzərində qurulmuş tapşırıqlarla verilmişdir. 7

8 Altıncı bölmədə 5.. Statistik məlumatı toplaır, sistemləşdirir, təhlil və nəticəni təqdim edir Cədvəl, diaqram, histoqram və a qrafik şəklində verilmiş məlumatları ouub təhlil edir Statistik məlumatları müəən əlamətlərə görə təsnif edir Statistik məlumatların düzgünlüünü müəən edir Statistik məlumatlar əsasında aranan variantların tezlii cədvəlini tərtib edir və diaqramını qurur Birləşmələrin növlərini fərqləndirir və onlara aid sadə məsələləri həll edir Statistik məlumatlar əsasında hadisələrin başvermə mümkünlüünü proqnozlaşdırır Birləşmələrin köməi ilə ehtimala aid sadə məsələləri həll edir. standartlarını reallaşdırmağa idmət edən dərslər verilmişdir. Statistik məlumatın tezlik palanmasını cədvəllə, histoqramla, tezlik poliqonu ilə təqdim bacarıqlarına aid, həmçinin palanma tezliinə görə ədədi ortanı hesablama bacarıqlarını əhatə edən həll nümunələri, tapşırıqlar dərslikdə er almışdır. Birləşmələrin permutasia və kombinezon kimi növlərinin örədilməsi üçün tərif və həlli verilmiş nümunə məsələlər, örənmə və tətbiq tapşırıqları dərslikdə er almışdır. Yüksək təlim nəticələrinin əldə edilməsinə müsbət təsir göstərən amillər:. Şagird eni anlaışla əksər hallarda motivasia arakterli araşdırma tapşırığı vasitəsilə tanış olur. Daha ço praktik arakter daşıan bu tapşırıqlar şagirdə anlaışı mahiətcə dərk etməə, onu əani təsəvvür etməə imkan aradır. Odur ki, bu məşğələlərin təşkilinin, bütün şagirdlərin bu məşğələlərdə iştirakının maksimum dərəcədə təmin edilməsi;. Yeni anlaışların izahını əks etdirən virtual və a kağız plakatların hazırlanması və dərs bou şagirdin gözü qarşısında asılması;. Nəzəri məlumatların ümumsinif fəaliəti olaraq müzakirələrlə, nümunələrin izahı ilə təqdim edilməsi;. Örənmə tapşırıqlarını bütün şagirdlərin erinə etirdiinə diqqət edilməsi və müşahidə olu ilə formativ qimətləndirmənin aparılması; 5. Aparılmış müşahidələrə görə örənmə qabiliətinin zəif olduğu şagirdlərə dərslikdə və müəllim üçün vəsaitdə verilmiş worksheetgenerator proqramları - işçi vərəqləri hazırlaan proqramlar vasitəsilə sadə çalışmaların hazırlanması; 6. Tətbiq və aradıcı tətbiq arakterli tapşırıqların sinifdə izah edilməsi və bir hissəsinin ev tapşırığı olaraq verilməsi. Bəzi tətbiq və aradıcı tapşırıqların şagirdlər tərəfindən uzunmüddətli tapşırıq olaraq daha geniş şəkildə referat formasında hazırlaması; 7. Şagirdlərin müstəqil örənməsini təmin etmək və validenin övladının təhsilində aından iştirakını şərtləndirmək məqsədilə internet ünvanların validenlərə çatdırılmasının təmin edilməsi. 8. Müəllim üçün vəsaitdə verilmiş mearlar üzrə tərtib edilmiş üsusi tapşırıqların- quiz lərin bütün şagirdlərə çatdırılmasının təmin edilməsi. 8

9 Riaziat fənninin müasir tədrisində istifadə edilən tenoloji alətlər və proq ram təminatı haqqında məlumat Təlim nəticələri və internet ünvanlar EXCEL-də elektron cədvəl və tezlik poliqonu nümunəsi MİCROSOFT EXCEL Ədədlər və əməllər, düstura görə hesablamalar aparmaq Cəbr və funksialar. Elektron cədvəllər tərtib etmək. Funksiaların qrafikini qurma. Statistika və Ehtimal. Elektron cədvəllər tərtib etmək və məlumatı mütəlif qrafik formalarda təqdim etmək. Riaziatın tədrisində müasir tenologianın nailiətlərinin hər bir tətbiqi təlimin səmərəli təşkilinə idmət edir. Bu tədris alətləri arasında bütün məzmun ətləri üzrə standartların reallaşdırılmasına idmət edən virtual alətlərlə - internet qrafkalkulatorlar, elektron cədvəllər, üsusi proqramtəminatlı həndəsi sketç proqramlarla rahat daşına bilən, kiçik qabaritli qrafkalkulatorların istehsalı riaziatın tədrisində müsbət dəişikliklərə səbəb olmuşdur. Bu kalkulatorlardan Amerika, Kanada, inkişaf etmiş Avropa ölkələrində geniş istifadə edilir. Corel DRAW kimi qrafik təminatlı proqramla müəən işləri erinə etirmək olar, Microsoft Ecel kimi hesablama və statistik məlumatı hazırlama imkanları olan proqramlardan riaziatın tədrisində müəən qədər istifadə etmək mümkündür. Həmçinin internet vasitəsilə riaziatın tədrisi üçün hazırlanmış arı-arı proqramların Geometer s Sketchpad Geometr Software, Fathom Dnamic Data Software kimi təbiət fənləri, riaziat və sosial elmlərin də tədrisində geniş istifadə olunan proqram təminatları mövcuddur. Lakin bu proqramların daim özünü eniləməinə bamaaraq mobil qrafkalkulatorlardan istifadə böük sürətlə aılır. Əgər uarıda adları çəkilən proqramlardan istifadədə daşınması çətin olan kompüter, internet bağlantısı, hər şagirid üçün əlçatan olmaması kimi obektiv və subektiv səbəblərlə bağlı çətinliklər var. 9

10 Ən ço istifadə olunan qrafkalkulatorlar Tİ8, Tİ8 seriasından olan, kiçik qabaritli, böük kompüterlərə interfes bağlantısı olan qrafkalkulatorlardır. Bu qrafkalkulatorlardan istifadə uarı siniflərdə riaziatın tədrisində nəzərdə tutulmuşdur və bütün məzmun ətlərini əhatə edir. Tenologiadan istifadə fəaliət əttinin əsas istiqamətlərindən biridir. Müasir düşüncə tərzli gənclər üçün onlardan istifadə o qədər də çətinlik aratmaacaqdır. Bu qrafkalkulatorlar vasitəsilə: - istənilən funksianın qrafikini qurma; - qrafiki verilmiş funksianı cədvəllə, düsturla təqdimetmə; - funksianın təin oblastını və qimətlər çoluğunu müəənetmə; - maksimum, minimumunu tapma və s. kimi məsələləri həll etmək mümkündür. Həmçinin ardıcıllıqlar, tənliklər sisteminin həlli, bərabərsizliklərin həlli, ətti proqramlaşdırma məsələləri, matrislər üzərində əməlləri, statistik məsələləri, kombinatorika məsələlərini həll etmək imkanları vardır. Tenologiadan istifadənin zərərli tərəflərini daha önə çəkərək Bütün işləri kalkul - ator erinə etirir, şagird nə zaman örənir kimi fikirlər narahat edə bilər. Lakin informasianı sistemləşdirmə, kompüterə dailetmə, nəticəni emaletmə bacarıqları aradıcı, analitik təfəkkürün formalaşmasında mühüm rol onaır. Müasir dövrdə bu bacarıqlara real həati situasialarda hər kəsin daha ço ehtiacı var. Virtual qraf kalkulatorlar. Yeri gəldikcə dərslikdə, həmçinin müəllim üçün vəsaitdə qrafkalkulatorların weblinkləri verilmişdir. Virtual qrafkalkulatorlar istifadə olunan mövzulara görə mütəlifdir. Onların bir hissəsi alnız qrafik tapşırıqları erinə etirmək üçün məhdud imkanlı olurlar. Lakin istifadə üçün rahatdır. Məsələn, n və s. kimi. n-ci dərəcədən kökün ( a ) rasional üstlü qüvvət (a n ) şəklində azıldığına diqqət edin. Triqonometrik, rasional funksiaların qrafikini qurmağa aid, həmçinin statistik, kombinatorika, cəbri məsələlərin həlli üçün nəzərdə tutulmuş daha genişimkanlı virtual qrafkalkulatorlar da mövcuddur. Məsələn, kimi. 0

11 Örənmə və məşğələlər üçün WEBSITE Linkləri /sstems.html linear-inequalit.php. COURSE_TEXT_RESOURCE/U05_L_T_tet_final.html. graphing-linear-relationships/graphinglinear-inequalities-in-two-variables.htm. ww.netplaces.com/search.htm?terms=linear+inequalities+in+two+ variables 5. MathAlgor/linear.html html#sstems // Publications%0for%0Educators/Islamic_Art_and_Geometric_Design.pdf.

12 -ci bölmə üzrə planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu Dərs saatı Dərslik səh.... Həqiqi ədədləri ouur və azır.... Həqiqi ədədləri müqaisə edir və düzür.... Həqiqi ədədə uğun olan nöqtəni koordinat düz ətti üzərində təmini göstərir.... Çoluqların birləşməsi və kəsişməsi assələrini həqiqi ədədlər çoluğu ilə bağlı məsələlər həllinə tətbiq edir.... n-ci (n > ) dərə - cədən kökün assə lərini tətbiq edərək ifadələrin qimətini tapır.... Rasional üstlü qüv - vətin assələrini tətbiq edir.... n-ci (n > ) də rə - cədən kök dail olan ifa - dələri sadələşdirir.... Mütəsər vurma düs turlarını n-ci (n > ) dərəcədən kök dail olan ifadələrə tətbiq edir.... Kvadrat kök və kub kök dail olan ifa dələrin təqribi qi mətini tapır və nəticələri hesab lama te - ni kasının tət biqi ilə alınan nəti cə lərlə mü qaisə edir.... Çevrəə tounanın və kəsənin assələrini tətbiq edir., Həqiqi ədədlər Ədədin kub kökü n-ci dərəcədən kök və onun assələri. Rasional üstlü qüvvət və onun assələri , Ümumiləşdirici tapşırıqlar , 7.. bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları. Çevrə Mərkəzi bucaq. Çevrə qövsü Çevrə.Vətər. -, Çevrə dailinə çəkilmiş bucaq. 5-6, Çevrəə tounan Kəsən və tounanların əmələ gətirdii bucaqlar. 0-8, 9 Çevrəni kəsən parçalar., 0, Ümumiləşdirici tapşırıqlar. 5, 6.. bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları. Cəmi

13 Dərs planı nümunəsi Rasional üstlü qüvvət. Tətbiq tapşırıqları. -cü saat Dərsin məqsədi aşağıdakı şagird bacarıqlarını formalaşdırmaqdır: rasional üstlü qüvvətin assələrini tətbiq edir; rasional üstlü qüvvətin assələrinin tətbiqi ilə məsələləri həll edir. Motivasia. Hər hansı məhsulun qiməti n il ərzində p manatdan p manata qədər artmışsa, bu məhsul üzrə orta illik inflasia r = verilən məhsullar üçün inflasianı hesablaın. Məhsul 005-ci ildə kq-nın 05-ci ildə kq-nın Ət qiməti (M) 8 qiməti (M). 7 Kərə ağ 7 9 Göründüü kimi, real həati situasialarda rasional üstlü qüvvətin dail olduğu ifadələri sadələşdirmək, qimətini tapmaq kimi məsələləri həll etmək lazım gəlir. Ət: Yağ: p p ) n r =( p n p ( ) kimi hesablanır. Aşağıda düsturuna görə ət və ağ üçün inflasia dərəcəsini hesablaaq: r = 7 0 ( ) 0,0 8 r = 9 0 ( ) 0,0 7 Dərslik səh.5-də verilmiş tətbiq tapşırıqları erinə etirilir. göründüü kimi, ətin qimətində inflasia qiməti mənfidir, əni inflasia odur, onun qiməti bu müddət ərzində hər il hətta % ucuzlaşmışdır. göründüü kimi, ağın qimətində orta illik inflasia təqribən 0,0-dür, əni %-dir. Dərsin bu mərhələsinə 5-6 dəq. arılır. Ərzaq məhsulları, məişət əşaları və s. üzrə inflasia dərəcəsinin araşdırılmasına aid müstəqil araşdırmalar aparmaları ev tapşırığı olaraq tövsiə edilir. D.8 məsələsi müzakirə edilir. n-in erinə şagirdlər bir qimət azır və bu müddətdə insan orqanizmində qalan kofeinin miqdarı (faizlə) hesablanır. Kofeinin insan orqanizminə zərərli və eirli təsiri barədə araşdırmalar aparmaları tapşırılır. Kofein mərkəzi sinir sisteminin stimullaşdırılmasına müsbət təsir göstərir. Mütəlif içkilərin tərkibinə kiçik dozalarda qatılır. Böük miqdarda qəbulu təhlükəlidir. Məsələnin bütün bəndlərinin azılı olaraq erinə etirilməsi ev tapşırığı olaraq verilir. -5 dəqiqə. D.9 ev tapşırığı kimi verilir. D. tapşırığı rasional üstlü qüvvətlə verilmiş ədədləri müqaisə bacarıqlarını formalaşdırır. Sual verilir: və 5 ədədlərindən hansı böükdür? Siz bunu necə müəən edirsiniz? Şagirdlərdən bəziləri lövhədə mütəlif nümunələr üzərində suala cavab verirlər. Şagirdlərə məsələni oumaq tapşırılır. Bəzi şagirdlərin məsələdə qoulan problemi öz sözləri ilə təqdim etmələri istənilir.

14 Şagird: Ölçüləri verilmiş düzbucaqlı paralelepipedin həcmini və tili verilmiş kubun həcmini tapmalı və bu qimətləri müqaisə etməliik. 6 7 dəq. Tapşırığın tam həlli ev tapşırığı kimi erinə etirilir. Ümumsinif fəaliəti.... Məndədir, bəs... kimdədir kartları ilə oun onanılır. Sinifdəki şagirdlərin saı qədər kart hazırlanır. Start kartının və son kartın olduğu olanılır. Start kartı olan kartındakı məlumatı ouur. Bütün şagirdlər elan olunan ifadəni azır və hesablaır. Kartında 8 olan cavab verir və kartını ouur = 8 olduğundan əlində kartı olan cavab verir: START KARTI MƏNDƏDİR 8 MƏNDƏDİR KİMDƏDİR? 5 KİMDƏDİR? Bu tip tapşırıqlar örənməni daha ələncəli edir, motivasianı artırır. Dinləmə, anlama, şifahi hesablama, diqqət önəltmə və s. kimi bacarıqların formalaşmasına kömək edir, sosial bacarıqları inkişaf etdirir. Oun kartları MMV səh. -də verilmişdir. Oun formativ qimətləndirmənin aparılması üçün əlverişli vasitədir. Mənfiüstlü qüvvətin də dail olduğu kartlar dail edilə bilər. 7-8 dəq. Qruplarla iş. D. tapşırığı qruplarla iş kimi erinə etirilir. Sinfin hər birində nəfər olmaqla qruplara bölünməsi tövsiə edilir. 7-8 dəq Hər bir qrup üzvü kvadrat çəkir, tərəfləri üzərində seçdii rasional və a irrasional ölçünü qed edir, kvadratın perimetrini hesablaır. Oşar qada ilə kub çəkilir və ölçüləri üzərində qed edilməklə tam səthinin sahəsi hesablanır. Sonra qrup üzvləri bir-birlərinin tapşırıqlarını olaır, lazımi düzəlişlər etdikdən sonra təqdimata hazır olduqlarını elan edirlər. Bütün qruplar təqdimat etdikdən sonra qruplar birlikdə bu tapşırıqda hansı riazi biliklərdən istifadə etdikləri barədə ümumiləşdirmə aparırlar: - Kvadrat və kubun assələri, kvadratın perimetri və sahə düsturu - Dəişənlərin birini digəri ilə əvəzetmə bacarığı. Məsələn, sahə məlumdur. S = a olduğunu bilirik. Deməli, a = S olacaq. Kvadratın perimetri isə P = a = S. Analoji qadada kubun həcmi V = a, tili a = V, tam səthi St = 6 a = 6 V. - Rasional və irrasional ədədləri bir-birindən fərqləndirmə bacarıqları. Oşar kökləri islahetmə bacarıqları, irrasional ədədlər üzərində hesablama aparma bacarıqları və s. Refleks. Müəllim oun və qruplarla iş üzrə apardığı formativ qimətləndirməə görə şagirdlərin örənmə səviəsini, o cümlədən zəif şagirdlər qrupunu müəən edir. Qimətləndirmə. Qimətləndirməni MMV-də verilmiş mütəlif səviəli işçi vərəqlərdən istifadə etməklə aparmaq olar. Şagirdin örənmə səviəsinə uğun işçi vərəq seçilir və a enidən tərtib edilir. İşçi vərəqlər ev tapşırığı kimi də istifadə edilə bilər. 5 dəq

15 Həqiqi ədədlər. saat Məzmun standartı... Həqiqi ədədləri ouur və azır.... Həqiqi ədədləri müqaisə edir və düzür.... Həqiqi ədədə uğun olan nöqtəni koordinat düz ətti üzərində təmini göstərir.... Çoluqların birləşməsi və kəsişməsi assələrini həqiqi ədədlər çoluğu ilə bağlı məsələlər həllinə tətbiq edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları həqiqi ədədlər çoluğunu təsnif edir; həqiqi ədədləri ədəd ou üzərində təsvir edir; həqiqi ədədləri müqaisə edir; çoluqların birləşməsi və kəsişməsinin assələrini həqiqi ədədlər çoluğuna tətbiq edir. Lüğət həqiqi ədədlər, natural ədədlər, tam ədədlər, rasional ədədlər, irrasional ədədlər İşçi vərəqlər Əlavə resurslar Dərs,. Həqiqi ədədlər. Dərslik səhifə 8- Motivasia. Lövhəə 7 0,() 5 kimi ədədlər azılır. Müraciət olunan şagird göstərilən ədədləri aid olduğu ədədlər çoluğuna görə təsnif edir. Məsələn, 7 rasional ədəddir. -ü tam ədədlər çoluğuna, həmçinin rasional ədədlər çoluğuna aid etmək olar. Rasional ədədin tərifi ada salınır. m n (m Z, n N) şəklində azıla bilən ədədlər rasional ədədlərdir. Bəs,,, 5 ədədlərini hansı ədədlər çoluğuna aid etmək olar? Rasional ədədlər çoluğu adi və onluq kəsrlərin, natural və tam ədədlərin də dail olduğu çoluqdur. İki tam ədədin nisbəti kimi, m n şəklində ifadə oluna bilməən ədədlər irrasional ədədlər adlandırılır. Bəs həm rasional, həm də irrasional ədədlərin dail olduğu ədədlər çoluğu necə adlanır? Bu dərsdə həqiqi ədədlər çoluğuna dail olan ədədləri müqaisəetmə, mütəlif formalarda ifadəetmə, mütləq qimətini müəənetmə tapşırıqlarını erinə etirəcəik. Həqiqi ədədləri müqaisəetmə bacarıqlarına artıq rasional və irrasional ədədlər üzərində er verilmişdir. Bu bacarıqları formalaşdırmaq üçün tapşırıqlara nümunələr: və kəsrləri arasında erlə şən iki ədəd 5 6 azın. Bu ədədlər arasında sonsuz sada ədəd azmaq mümkündür fikrini necə izah edərdiniz? və 5 ədədləri arasında erləşən ədədləri siz necə müəən edərdiniz? Ədədin tam və kəsr hissəsini müəənetmə bacarıqlarına diqqət edilir. -ci saat həqiqi ədədlər çoluğunu bərabərsizliklə, aralıqla azma bacarıqlarına aid tapşırıqlar erinə etirilir, ədədi çoluqların birləşməsi və kəsişməsinin assələri, bu assələrlə ədədlər üzərində toplama və vurmanın assələri arasında oşar və fərqli cəhətlər qed edilir. D.. tapşırığının hər bir şagird tərəfindən erinə etirilməsi izlənilir. 5

16 İşçi vərəq Adı Soadı Tari. Həqiqi ədədləri artma sırası ilə düzün.. a) 5 ; ;,98; 7 5 b),5; ; 6; 8 6 ; 7 c) ; ; 6;,; 6 d) ;,8; 0; 6 ; 5 9. Ədəd ou üzərində erləşdirin. a) ; 0,; ; ; b) 5; ; ; ; 8 8 c) ; ; 0,6;

17 Dərs -5. Dərslik səh. -5. Ədədin kub kökü. saat. Məzmun standartı... n-ci (n > ) dərəcədən kök dail olan ifadələri sadələşdirir.... Mütəsər vurma düsturlarını n-ci (n > ) dərəcədən kök dail olan ifadələrə tətbiq edir.... Kvadrat kök və kub kök dail olan ifadələrin təqribi qimətini tapır və nəticələri hesablama tenikasının tətbiqi ilə alınan nəticələrlə müqaisə edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları = funksiasının qrafikini qurur; kvadrat kökün və kub kökün dəqiq və təqribi qimətlərinin tapılmasına aid tapşırıqları erinə etirir. Lüğət kub parabola, kub kök, n-ci dərəcədən kök, rasional üstlü qüvvət Əlavə resurslar İşçi vərəqlər İnternet ünvanlar: ttps://go.hrw.com/math/midma/gradecontent/manipulatives/graphcalc/grap hcalc.html -ci saat. = funksiasının qrafiki. Dərslikdə verilmiş praktik məşğələ = funksi a - sı nın qrafikini araşdırmaqla sinfin səvi ə - sinə görə iki anaşma ilə - məhdud şəkildə və a geniş şəkildə erinə etirilə bilər. -ci anaşma = funksiasının qrafikini qurma, formasını tanıma, ədədin kubunun və kub kökünün təqribi qimətlərini qrafikə görə nöqtələrin koordinatları ilə müə ən - etmə bacarıqlarını formalaş dır ma ğı nəzərdə tutur. Dərslikdəki = funksiasının qrafiki bu anaşma ilə verilmişdir. -ci anaşma funksianın qrafikini qrafkalkulatorla qurma və daha geniş aspektdə araşdırma tapşırıqlarını əhatə edə bilər. Xüsusən riaziat təmaüllü sinif - lər də bu anaşma vacibdir.. = funksiasının qrafiki qurulur. Bu qrafikdən istifadə etməklə = a və = a + n, = a ( m) + n funk si a la rı - nın qrafikləri qurulur.. = funksiasının qrafiki və bu qra - fik lə müqaisəli şəkildə = a və = a m + n funksialarının qrafikləri qurulur. Həmçinin bu qrafiklərin = funksi - asının qrafiki ilə müqaisəli şəkildə təhlil edilməsi tövsiə edilir. İlk dərs olaraq bu məşğələlər çətin gələ bilər. Lakin tenoloji resurslarla tanışlıq və onlardan istifadə bu çətinlii aradan qaldırar və örənməni asanlaşdırar. 7

18 = funksiasının və = a, = a( m), = a( m) + n şəklində funksiaların qrafiklərinə aid nümunələr müqaisəli şəkildə verilmişdir. = (, ) (, ) f()= h()= ( + ) + f()= g()= a/gradecontent/manipulatives/ GraphCalc/graphCalc.html qraf kal kulatoru ilə qurulmuş nümunələr. Həmçinin = və = funksialarının müqaisəli qra fikləri,təin oblastlarını və qimətlər çoluğunu başa düş məə imkan verir. qrafkalkulatoru daha geniş imkanlıdır. n dərə cədən kök da il olan funksi aların qra - fi kini (kub kök də dail olmaqla) qurmaq müm kün dür. Şagird = və = funksialarının qrafiklərinin koordinatbaşlanğı cına nəzə rən simmetrik olduğunu gö rür,formaca necə fərqləndiini araş dırır. Basic Math -0-8 > < = e θ ( ) Enter a problem... Enter a problem... ( ) 8 = (;) (0;0) ( ; ) Pre-Algebra Algebra Geometr Trigonometr Precalculus Calculus Statistic Finite Math Linear Algebra Chemistr 0 { } 8 6 = (;) 0 ( ) f() f(){ log In log sin cos tan sec scs cot

19 -ci, -cü saat. Kub kökü hesablama bacarıqlarının formalaşdırılması nəzərdə tutulur. Bu bacarıqlar aşağıdakı alt bacarıqlarla - mearlarla qimətləndirilə bilər. Bacarığın daha təfsilatlı bacarıqlar siahısı ilə ifadə edilməsi, başqa sözlə qimətləndirmə mearlarının düzgün müəən edilməsi tədrisin təşkilinə müsbət təsir göstərir. Formativ qimətləndirmə müşahidə olu ilə bu mearlara görə aparılır: Bəzi ədədlərin kubunu və kub kökünü azılı hesablamalarla dəqiq hesablaır; Ədədlərin kubunu və kub kökünü kalkulatorla hesablaır; Ədədlərin kub kökünü təmin edir; Ədədlərin kub kökünü hesablamaq üçün dərslikdə verilən bəzi hesablama üsullarını tətbiq edir. Tətbiq edilən əsas ön bacarıqlar: Qüvvətin assələri Ədədin sadə vuruqlara arılması. Həndəsi biliklər: fiqurların perimetri, sahəsi, həcmi düsturları. Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqlar üzrə metodiki tövsiələr. D.. 6 ədədi həm tam kvadrat, həm də tam kubdur.? 6 = 8, 6 =. Siz də bu cür ədədlər fikirləşin. Aşağıdakı ardıcıllıq bu cür ədəd - ləri tapmaqda sizə necə kömək edə bilər? 0 = 0 = 0 ; = = ; 6 = = 8 ; 79 = 9 = 7 ; 096 = 6 = 6 Şagirdlər verilən tapşırığı nəzərdən keçirərək qüvvətin assələrini ada salırlar. 6 = = 8 azılışını, = ( ) və 8 = ( ) və a 6 = 6 azılışı ilə ifadə etməklə verilən azılışların eni ədədin mütəlif ekvivalent azılışları olduğunu başa düşürlər. Tapşırıq kiçik qruplarla iş kimi də erinə etirilə bilər. dəqiqə ərzində daha ço misal azanlar elan edilir. Şagirdlər belə misalları tərtibetmə strategiasının qüvvətin assəsinə bağlı olduğunu başa düşürlər. Məsələn, (5 ) = (5 ), (7 ) = (7 ) D.6 tapşırığının həllinin cədvəllə verilməsi tövsiə edilir, məlumatı təhlil edib qərar vermək üçün onu adın şəkildə sistemləşdirmək vacibdir. Souducu Ölçüsü Qiməti sm və a m üçün qimət. 0 sm 96 man.. 60 sm 9 man.. 50 sm 50 man. D.. Biologia. Ağacın hündürlüünü təmini müəən etmək üçün h 5 d düsturundan istifadə edilir. d burada ağacın gövdəsinin diametri, h isə hündürlüüdür. Gövdəsinin diametri, m olan ağacın hündürlüü təqribən neçə metrdir? Məsələdə verilən düsturu olamaq tapşırılır. Şagirdlər məktəbin həətində, bağlarında, parkda hər hansı ağacın hündürlüünü bu düsturdan istifadə etməklə hesablaırlar. Bu işi qruplarla iş kimi erinə etirmək olar. Hər qrup bir ağac seçir. Uğun ölçmələr aparmaqla (çevrənin uzunluğuna görə) ağacın diametrini müəən edirlər. 9

20 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Ədədin kub kökünü təmin edir və hesablaır.. Ədədlərin kubunu hesablaın. = 5 = 6 = 7 = 8 = 9 = 0 =. Birinci tapşırıqdan istifadə etməklə ədədlərin kub kökünü şifahi tapın. 5 = 000 = 6 = 6 = 8 = 7 = 5 = 6000 = = 6000 = 8000 = 6859 =. Kub kökün hansı iki ardıcıl tam ədədin arasında olduğunu müəən edin və 6 arasındadır, 5 = 5; 6 = 6 və arasındadır, = ; =,65 və arasındadır, = ; = 00 və arasındadır, = ; =,0 və arasındadır, = ; =. Kalkulatordan istifadə edərək hesablaın. 00 = =,65 = 00 =,0 = 0

21 Dərs 6-9. Dərslik səh. 6-. n-ci dərəcədən kök və onun assələri. saat Bu dərsdə n-ci dərəcədən kökün və onun assələrinin tətbiqi bacarıqlarının formalaşdırılması nəzərdə tutulur. n-ci dərəcədən kökün assələrinin tətbiqi bacarıqlarının əsas mearları: n-ci dərəcədən hesabi kökün tərifini və bu tərifdən çıan nəticəni bilir, n = a tənliini həll edir. n a n n = a, n cüt ədəd olduqda, a n = a bərabərliini nümunələr üzərində izah edir; a 0 və b 0 isə, hasilin n-ci dərəcədən kökünün assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsində tətbiq edir; n n n a 0 və b 0 olarsa, a b = a b a 0 və b > 0 isə, nisbətin n-ci dərəcədən kökünün assəsini ədədi və n dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsində tətbiq edir; n a = a n b b n, k - natural ədədlər və a 0 olarsa, kökün kökü assəsini ədədi və n dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsində tətbiq edir. k nk a = a n, k, m - natural ədədlər və a 0 olarsa, kökaltı ifadənin qüvvət üstü ilə kn kökün dərəcəsinin ortaq vuruqlarına görə sadələşdirmə aparır. a km n = a m n tək ədəd olduqda, Vuruğun kök işarəsi altından çıarılmasına aid tapşırıqları erinə etirir. Vuruğun kök işarəsi altına dail edilməsinə aid tapşırıqları erinə etirir. Mərəcin irrasionallıqdan azad edilməsinə aid tapşırıqları erinə etirir. Bu bacarıqların formalaşdırılması üçün dərslikdə müəən qədər çalışmalar veril - mişdir. Lakin arı-arı bacarıqların hansı səviədə olduğunu olamaq və onları da ha da inkişaf etdirmək üçün vəsaitdə verilən işçi vərəqlərdən istifadə edilməsi ilə anaşı müəllimlərin də əlavə işçi vərəqləri hazırlamaları tövsiə edilir. Bu iş informatika dərsində inteqrativ tapşırıq olaraq şagirdlərin özləri tərəfindən də hazırlana bilər. Diqqət edilməli məqamlar, şagirdlərin tez-tez rast gəlinən səhvləri: Şagird və - ni müqaisə edərkən -nin -dən kiçik olduğunu düşünür. Şagird -ni 8 və 6 kimi ekvivalent azılışlarla ifadə etməklə -ə bərabər olduğunu başa düşür. və kimi qarışıq radikalları müqaisə edərkən vuruğu kök işarəsi altına dail etməli olduqlarını başa düşürlər. 5 5 ifadəsində vuruğu kök işarəsi altına dail edin tapşırığını kimi erinə etirir. Şagird vuruğun kök işarəsi altına kökün dərəcəsinə bərabər qüvvətlə, vuruq 5 5 kimi dail olduğunu başa düşür: = ( 5 ) 5 ifadəsi 0 və a 0 kimi azıla bilər. Lakin 5 ədədi 0 ədədinə ekvivalent deil.

22 İşçi vərəq Adı Soadı Tari n-ci dərəcədən kökün assələrini tətbiq edir.. Hesablaın. = 0,5 6 = = 6 = ( 8 8 ) = ( 6 ) = =. Hesablaın. 8 = 6 = 79 = 56 = 56 = 6 ( 7 ) = ( 5 ) = ( ) 6 =. Sadələşdirin. ( b ) = n a m =. Sadələşdirin. ( ab ) a b = n ( ) n = 5. Sadələşdirin. 5 = a b 7 a b 6 u 5 v uv 5 5 = = 6 r 6 z 5 = 0,5 r z 9 z = u = 6 n 8 = 8 z 6 = 6 ( ) = = 6 5 u =

23 Hasilin, nisbətin n-ci dərəcədən kökünün assələrini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. 56 = 7 8 = 7 8 = = 75 = 5 = = 5 = 6 = = = 6. Sadələşdirin. 7 = Adı Soadı. Vuruğu kök işarəsi altından çıarın. İşçi vərəq Tari 5 8a 5 bc 8 = 8 0 = 9a = 7 8 = 6 7 z =. İfadələri sadələşdirin. a b ab = m n m n 5 = u v u 5 v = a b 7 = a 6 b 5 u 7 v 8 u 6 v = 6u v u v = u v (m n + n m ) = m n + mn a b c bc = bc (ab ) m n m n = mn = 8u v t = uvt a b ab =. Dəişənlərin müsbət qimətlər aldığını bilərək ifadələri sadələşdirin.

24 Adı Soadı Vuruğu kök işarəsi altına dail etməklə ifadəni bir kök işarəsi altında azır.. Sadələşdirin. a b = a b b a b = b a bc = 5 ab a 6 b c 0 =. Sadələşdirin. = İşçi vərəq 5 z z = u z u z a b z u z u z u u z = u 7 b a = Tari ( ) = z u = z u = v v v = z = u u = w w w = Dərəcələri mütəlif olan kökləri eni dərəcədən kökə gətirməklə ifadələri sadələşdirir.. Sadələşdirin. = = = = = = 5 5 = 8 = a a = 8 8 =. Sadələşdirin. 6 6 = 6 = 7 0 = = 00 = = = a a =

25 İşçi vərəq 6 Adı Soadı Tari Mərəci kökdən azad edir.. Mərəci irrasionallıqdan azad edin. Nümunə: a = a = a a = = a 6 9 = 6 = 8 = 7 = 8 = 5 8 =. Mərəci irrasionallıqdan azad edin. 6 5 = 5 + = 8 =. Mərəci irrasionallıqdan azad edin. = = = = 0 + = 5

26 Dərs 0-. Dərslik səh. -6. Rasional üstlü qüvvət və onun assələri. saat Dərs,. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat Bu dərsdə rasional üstlü qüvvətin assələrinin tətbiqi bacarıqlarını formalaşdırmaq nəzərdə tutulur. Nəzərdə tutulan bacarığı qimətləndirmə mearları: n Surəti vahidə bərabər olan kəsr üstlü qüvvətin n = azılışını tətbiq edir. (n natural, mənfi olmaan hər hansı həqiqi ədəddir.) m tam, n natural, hər hansı müsbət ədəd olduqda ( m n = n ) m n m n =( = m və a Qüvvətlərin hasili assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. Rasional üstlü qüvvətlərin hasilinin assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. Hasilin qüvvəti və qüvvətin qüvvəti assələrini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. Mənfi üstlü qüvvətin assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. Nisbətin qüvvəti assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. Sıfır üstlü qüvvəti dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. Tam üstlü qüvvətin bizə məlum olan assələri əsası müsbət həqiqi ədəd olan istənilən rasional üstlü qüvvət üçün də doğrudur. Şagirdlər bu assələri ada salır, şifahi olaraq söləir, şagirdlərdən biri isə hər assə söləndikcə onun riazi azılışını lövhədə azır. Rasional üstlü qüvvətin assələrinin plakat şəklində və a proektorun köməilə nümaiş etdirilməsi tövsiə edilir. Diqqət edilməli məqamlar: ) m n n = m Örənmə tapşırıqlarının bütün şagirdlər tərəfindən erinə etirildiinə diqqət edilir. Ən ço rast gəlinən şagird səhvlərini aşağıdakı kimi qruplaşdırmaq olar. Bu səhvlər barədə şagirdlərin əvvəlcədən məlumatlandırılması tövsiə edilir. 6 bərabərliklərini tətbiq edir. Diqqət etirilməlidir ki, a p rasional üstlü qüvvətinin qiməti p kəsrinin təqdimat formasından asılı deil. Məsələn, 8 = 8 6 Rasional üstlü qüvvətdə əsasın üzərinə qoulan şərtin zərurilii vurğulanır. Əks halda, kəsr üstlü qüvvətə üksəltmənin birqimətlilii pozular. Məsələn, əsasın müsbət olması şərti pozularsa, ( 8) və ( 8) 6 ifadələrinin müqaisəsi və = 6 olmasına bamaaraq, göstərilən ifadələrin fərqli olduqlarını qed etmək məqsədəuğun olar. D.. tapşırığı müzakirə edilir. n Şagirdlər əsas ideanı mənimsəməlidirlər: istənilən müsbət a ədədini (a n ) şəklində göstərmək olar.

27 .. Səhv Səhv Səhv = / = / = / Rasional üstlü qüvvətlərin hasili ilə rasional üstlü qüvvəti qüvvətə üksəltmə arasındakı fərqi başa düşdüklərini verilən nümunə üzərində bir daha izah edirlər. Tam üstlü qüvvətdə olduğu kimi, eni əsaslı rasional üstlü qüvvətlərin hasilini hesablaarkən qüvvət üstləri toplanır, qüvvəti qüvvətə üksəldərkən isə qüvvət üstləri vurulur. 5 6 a) b) (7 ) Bu qadanı düzgün tətbiq etdiklərini qarışıq misallar verərək olamaq tövsiə edilir.. Sadələşdirin. 9 9 = =. Sadələşdirin. (6 ) = 5 5 (p ) =. Sadələşdirin. (6k) = 6 6 = = ( ) = 7 (h ) = (7) = Müsbət və mənfi tam ədədlərin cəmi haqqındakı qadanı qüvvətin müsbət və mənfi rasional üstləri cəminə necə aid edərdiniz? Şagirdlər aşağıdakı kimi izah verə bilərlər: İki müsbət ədədin cəmi müsbət ədəddir, iki mənfi ədədin cəmi mənfi ədəddir. Həmçinin, iki eni işarəli ədədlərin hasili müsbət, əks işarəli ədədlərin hasili isə mənfidir qadasının rasional qüvvət üstü üçün tətbiq edildii ada salınır. Hər bir bacarığı formalaşdırmaq, qimətləndirmək və inkişaf etdirmək üçün verilən işçi vərəqlərdən istifadə etmək olar. Şagirdlərin hər bir assəni sözlə, riazi azılışla və eni nümunələrlə ev tapşırığı olaraq erinə etirməsi tövsiə edilir. İşçi vərəqlərdə verilən tapşırıqların sa çoluğunu nəzərə alaraq onların bir hissəsinin ev tapşırığı kimi erinə etirilməsi tövsiə edilir. Dərslikdə verilmiş ümumiləşdirici tapşırıqlar şagirdlərin bölmə üzrə biliklərini möhkəmləndirməsinə şərait aradır. Müəllim ümumiləşdirici tapşırıqlardan summativ qimətləndirmə üçün də istifadə edə bilər = b b = (9 ) = 6 8 (c ) = 8 (n ) = = m m = (7 ) = (z ) = (6 9 ) =

28 İşçi vərəq 7 Adı Soadı Tari Surəti vahidə bərabər olan kəsr üstlü qüvvətin n natural, hər hansı mənfi olmaan ədəddir. m tam, n natural, hər hansı müsbət ədəd olduqda ( m n = m n ) n. Kalkulatordan istifadə etmədən hesablaın. m n =( = m və a m n ) n = m n n = azılışını tətbiq edir. bərabərliklərini tətbiq edir. 6 = 9 0,5 = 6 = ( 9 9 (,5 = 5 8 =. Rasional üstlü qüvvəti köklə əvəz edin. 7 = =. Hər bir ifadəni rasional üstlü qüvvət şəklində azın. =. Ekvivalent ifadələrə eni nömrə azın və a eni rəngləin = 6 9 m 5 ( 9 ) 7 5 = 8 00,5 = 8 = ( 0 ) = m m m m ( 8 5 = ( 0 ) = () 5 (

29 İşçi vərəq 8 Adı Soadı Tari Qüvvətlərin hasili assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. Nisbətin qüvvəti assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir.. Rasional üstlü qüvvətin tərifindən və assələrindən istifadə edərək sadələşdirin. 9 = = 8 =. Rasional üstlü qüvvətin assələrindən istifadə edərək sadələşdirin. / / = n / n / = / 8t / t / / : / = 9a b ab / / = (a b / )(a / b / ) =. Rasional üstlü qüvvətin assələrindən istifadə etməklə sadələşdirin. 5 = n n = 7 = 6 5 = = a a = = 6 = 6 = 6

30 İşçi vərəq 9 Adı Soadı Tari Rasional üstlü qüvvət dail olan ifadələri sadələşdirir.. İfadəni verilən riazi addımlarla sadələşdirin.. Riazi iş Qüvvəti azılmamış dəişənlərin və əmsalların qüvvətini azın. ( 5 5 (z ) 5( ) 5 5 z (. Kəsrin tərsini azmaqla müsbət üstlü qüvvətlə ifadə edin.. İfadəni daildəki mötərizələrdən azad edin Əmsalı kəsrdən azad edin. Kəsri mənfi üstlü qüvvətlərdən azad edin. Əsası eni olan qüvvətləri bir əsasda azın. Kəsrin qüvvətini qüvvətlərin nisbəti şəklində azın.. İfadələri sadələşdirin. (a b ) = 7 m n 7 m n (a b b) a b = ab b a b 5 = = 0

31 İşçi vərəq 0 Adı Soadı Tari ( Hasilin qüvvəti və qüvvətin qüvvəti assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. Mənfi üstlü qüvvətin assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələş dirilmə - sinə tətbiq edir. Sıfır üstlü qüvvətin assəsini dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. Sadələşdirin. 00a 5a 5 b (5a b ) = ( = ( ) 0 0 = = ( = = (5 ab )(5 ab ) = ( (a 0 b ) 0 = 6 z 9 ( (8a b 6 ) = (m n ) 0 = n ( ( ( = = m n (m n ) ( ) 5 = 5 5 ( (a b 0 ) b a b = = ( 7 = = =

32 Rasional üstlü qüvvət Məndədir, bəs... kimdədir? oununun kartları START KARTI MƏNDƏDİR KİMDƏDİR?? MƏNDƏDİR 8 KİMDƏDİR? 5? MƏNDƏDİR KİMDƏDİR? 5? MƏNDƏDİR 6 KİMDƏDİR? a 6 b? MƏNDƏDİR KİMDƏDİR? 0? MƏNDƏDİR KİMDƏDİR? 7? MƏNDƏDİR a b KİMDƏDİR? 7? MƏNDƏDİR 5 KİMDƏDİR? a 5 b?

33 ... məndədir, bəs... kimdədir? oununun kartları START KARTI MƏNDƏDİR MƏNDƏDİR a b ab KİMDƏDİR? 5? MƏNDƏDİR 5 KİMDƏDİR? 8? MƏNDƏDİR MƏNDƏDİR 6 KİMDƏDİR? KİMDƏDİR? ( )? (a b )? MƏNDƏDİR a 6 b 6 KİMDƏDİR? MƏNDƏDİR 8a 6 b KİMDƏDİR? MƏNDƏDİR a 6 b KİMDƏDİR? (a b)? b(a b)? 5? MƏNDƏDİR KİMDƏDİR? (ab )?

34 Məndədir, bəs... kimdədir? oununun kartları MƏNDƏDİR a b KİMDƏDİR? 7 + MƏNDƏDİR 9 9 KİMDƏDİR?? MƏNDƏDİR KİMDƏDİR? 8? MƏNDƏDİR KİMDƏDİR? MƏNDƏDİR KİMDƏDİR? MƏNDƏDİR KİMDƏDİR? MƏNDƏDİR KİMDƏDİR? (a b)? MƏNDƏDİR Sonuncu kart

35 . bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə mearları cədvəli Şagird haq - Mearlar qında qedlər. Bəzi ədədlərin kub kökünü mütəlif üsullarla dəqiq və a təqribi hesablaır a 0 və b 0 isə, hasilin n-ci dərəcədən kökünün assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsində tətbiq edir. a 0 və b > 0 isə, nisbətin n-ci dərəcədən kökünün assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsində tətbiq edir. n, k, m - natural ədədlər və a 0 isə, kökün kökü assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsində tətbiq edir. n, k, m - natural ədədlər və a 0 isə, kökaltı ifadənin qüvvət üstü ilə kökün dərəcəsinin ortaq vuruqlarına görə sadələşdirmə aparır. Kök dail olan ifadələri sadələşdirir. Qüvvətlərin hasili assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. Rasional üstlü qüvvətlərin hasilinin assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. Hasilin qüvvəti və qüvvətin qüvvəti assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. Nisbətin assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələş diril mə - sinə tətbiq edir. Mənfi rasional üstlü qüvvətin assəsini ədədi və dəişənli ifadələrin sadələşdirilməsinə tətbiq edir. 5

36 Dərs 5.. bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları. 6.,, ədədlərini artan sırada düzün.. Hesablaın ( + ) ( ) ( + ).. Mənfi ədədləri göstərin. 6 8 A) B) C) D) 0. fərqinin işarəsini müəən edin. 5. 0, ( 5) 6 və 65 ifadələrinin qimətlərini müqaisə edin. 6. -dən 9-a qədər natural ədədlərin kvadrat kökləri çoluğu A ilə, kub kökləri çoluğu B ilə işarə edilib. A B-ni tapın. 7. Bərabərliklərdən hansı doğrudur? A) = 5 B) ( ) 5 = 6. Ölçüləri sm, sm, 8 sm olan düzbucaqlı paralelepipedin həcmini tapın. Bu paralelepipedin həcmini tili sm olan kubun həcmi ilə müqaisə edin. 7. Qanın sirkulasia vatı qanın bədəndə bir dövr edərək ürəə qaıtdığı orta vata deilir. Məməlilər üçün sirkulasia vatını T = 7, m / düsturuna görə təqribi olaraq (saniələrlə) hesablamaq olar, m kütləni (kq-la) göstərir. Kütləsi: a) 0 kq inəin; b) 000 kq filin qanının sirkulasia vatı təqribən neçə saniədir? 6 8 C) ( ) = 8. ədədini rasional üstlü qüvvət şəklində göstərin. D) ( ) 6 = 9. m və n natural ədədləri üçün (m + n) = 7 (m n) bərabərlii doğrudur. m + n ifadəsinin qimətini tapın. A) 5 B) 0 C) D) 7 0. Bir qutu boa m sahəni rəngləməə çatır. a) tilləri m, m və 5 m olan üç dəmir kubun səthlərini rəngləmək üçün neçə qutu boa lazımdır? b) bu üç kub əridilərək bir kub şəklinə salınarsa, onun səthini rəngləməə neçə qutu boa lazım gələr?. = 6 tənliini ödəən hər hansı və ədədləri cütünü göstərin.. ifadəsini sadələşdirin.. = olduqda ( ) ( + + ) ifadəsinin qimətini hesablaın.. Uğunluğu müəən edin:. a = a A) a-nın istənilən qimətində doğrudur;. a = a B) alnız a = 0 olduqda doğrudur; 6. a 6 = a C) a 0 olduqda doğrudur; D) alnız a 0 olduqda doğrudur. 5. İfadənin qimətini hesablaın. ( ) : ,, ( ) ədədlərini artan sırada azın.

37 . Çevrə. 9-0 saat Məzmun standartı... Çevrəə tounanın və kəsənin assələrini tətbiq edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Mərkəzi bucaq, minor, major qövslərin dərəcə ölçülərinə aid məsə lə ləri həll edir; Qövsün uzunluğunu tapmağa aid məsələləri həll edir; Vətərin assələrini məsələ həllinə tətbiq edir; Çevrə dailinə çəkilmiş bucaqların assələrini bilir, həndəsi təsvir edir və məsələ həllinə tətbiq edir; Çevrəə tounanı təsvir edir, assələrini bilir və məsələ həllinə tətbiq edir; Kəsən və tounanın əmələ gətirdii bucaqların assələrini sözlə, həndəsi olaraq təsvir edir və məsələ həllinə tətbiq edir; Çevrəni kəsən parçaları təsvir edir, onların uzunluqları haqqında teoremləri məsələ həllinə tətbiq edir. Riazi lüğət Çevrə Vətər Dairə Mərkəzi bucaq Tounan Sektor Kəsən Seqment Radius Qövs Diametr Əlavə resurslar İşçi vərəqlər İnternet ünvanlar: // 7 Dərs 6, 7. Dərslik səh Çevrə. Mərkəzi bucaq. Qövs. saat Verilən işçi vərəqlə çevrə və onun hissələri həndəsi təsvirlərlə təkrar edilir. Mərkəzi bucaq və qövs anlaışları genişləndirilərək kiçik qövs - minor qövs və böük qövs - major qövs anlaışları dail edilir. mərkəzi bucaq major qövs D O B A minor qövs Bu anlaışları əks etdirən həndəsi təsvir plakat şəklində və a Smart lövhələrdə əvvəlcədən hazırlanır. Çevrə qövslərinin ölçüləri haqqındakı faktlar birgə müzakirə ilə təsvirlər üzərində təqdim olunmaqla araşdırılır. Həndəsi təsvirlərin bu faktları adın göstərdiini şagirdlər başa düşürlər.. Minor qövsün dərəcə ölçüsü 80 dən kiçikdir və uğun mərkəzi bucağın dərəcə ölçüsünə bərabərdir: AB = AOB. Major qövsün dərəcə ölçüsü 80 dən böükdür və onun qiməti 60 ilə uğun minor qövsün fərqinə bəra - bərdir: ADB = 60 ( AB). Yarımçevrənin dərəcə ölçüsü 80 dir. Konqruent qövslərə aid məsələlər həll edilir.

38 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Mərkəzi bucaq, minor, major qövslərin dərəcə ölçülərinə aid məsələləri həll edir. Qövsün uzunluğunu tapmağa aid məsələləri həll edir.. Hər birinin major qövs, minor qövs və a arımçevrə olduğunu qed edin və dərəcə ölçüsünü tapın (B çevrənin mərkəzidir). C CG D 55 ACD B CD CGD AG AC GCF ACF A 5 F G. Hər bir bucağın dərəcə ölçüsünü tapın (G çevrənin mərkəzidir). CGB AGD CGD BGE DGE AGE A C 60 G D E B. EC və AB diametrdir və BOD DOE EOF FOA. Hər bir qövsün dərəcə ölçüsünü tapın. BC AFE ACB CBF. WU və VY diametrdir və WZX XZY VZU =, UZY = +. Hər bir qövsün dərəcə ölçüsünü tapın. UY WX WUY XVY AC EB AD ADC WV XY YVW WUX F 5. Çevrənin diametri vahiddir. Verilən bucağa görə uğun qövsün uzunluğunu tapın. GE diametrdir (C çevrənin mərkəzidir). DCE = 00 olarsa, DE-nin uzunluğunu; H D GCF = 90 olarsa, DHF-in uzunluğunu; G HCF = 5 olarsa, HDF-nin uzunluğunu; C E DCH = 5 olarsa, HD-nin uzunluğunu. E A 8 D O B C W X V F Z Y U

39 Dərs 8-0. Dərslik səh. -. Çevrə. Vətər. saat Növbəti üç dərs saatı ərzində vətər haqqında əsas teoremin, tərs teoremlərin və onlardan alınan nəticələrin araşdırılması nəzərdə tutulur. Şagirdlərin teoremin verilmiş tam isbatını başa düşdüklərinə və tamamlanması tələb olunan isbatları isə erinə etirdiklərinə diqqət edilir. Formativ qimətləndirmə məqsədilə bəzi şagirdlərin sinifdə bu isbatları şifahi olaraq tamamlamaları və a hər hansı təklifin hansı əsasla irəli sürüldüünü izah etmələri tövsiə edilir. Bacarıq. Vətər haqqında teoremləri bilir, həndəsi təsvir edir və məsələ həllinə tətbiq edir. İşçi vərəq Adı Soadı Tari Konqruent vətərlər haqqında teoremi bilir, həndəsi təsvir edir. Teorem. B C Tərs teorem. Teorem. Nəticə. Nəticə. Vətərin orta perpendikuları haqqında teoremi bilir. Mərkəzdən bərabər məsafədə olan vətərlər haqqında teoremi bilir, həndəsi təsvir edir. B C Teorem. E F A O Tərs teorem. D 9 A A C D O D E B O

40 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Vətər haqqında teoremləri məsələ həllinə tətbiq edir.. Verilir: ST QR Tapın: QR- in dərəcə ölçüsünü ( + ) R S T Q. Verilir: O mərkəzli çevrədə AB diametrdir və CD vətəri ilə E nöqtəsində kəsişir. Əgər AB CD olarsa, hansı təklif həmişə doğrudur? ) AC BD ) BD DA ) AD BC ) CB BD C A B o E D. Verilir: O mərkəzli çevrədə AB CD, OE AB, OF CD, OF = 5, CF = + 0 və AB = 0. Tapın: DF və AO.. Verilir: O nöqtəsi çevrənin mərkəzidir. AB CD, AO = 0 və BE = Tapın: CE. 5. Verilir: O mərkəzli çevrədə BC və AD vətərləri mərkəzdən bərabər məsafələrdədir. OF = 8, ED = vahid olarsa, çevrənin radiusunu tapın. 0 A B D F E C C A A o O F B E o B E D D C

41 Dərs,. Dərslik səh. 5, 6. Çevrə dailinə çəkilmiş bucaq. saat Çevrə dailinə çəkilmiş bucağın assəsini bilir, həndəsi təsvir edir və məsələ həllinə tətbiq edir. Dailə çəkilmiş konqruent bucaqlar haqqında teoremi bilir, həndəsi təsvir edir və məsələ həllinə tətbiq edir. Çevrə dailinə çəkilmiş bucaqların çevrənin mərkəzinə nəzərən erləşməsinin mütəlif vəziətləri çəkilir. Hər bir hal üçün bucağın növü haqqında fikirlər ürüdülür. Şagirdlər hər bir vəziətə uğun itiari bucaqlar çəkir və transportirlə ölçür. Nəticələr müqaisə edilir. A A A... O O C B O B B C C Çevrə dailinə çəkilmiş bucağın dərəcə ölçüsü ilə sökəndii qövsün və uğun mərkəzi bucağın dərəcə ölçüsü arasındakı əlaqə izah edilir. Teorem. Çevrə dailinə çəkilmiş bucağın dərəcə ölçüsü sökəndii qövsün dərəcə ölçüsünün arısına bərabərdir. ABC = AC Şagirdin bu əlaqəni sözlə, həndəsi təsvirlə, riazi azılışla nümunə üzərində ifadəetmə bacarıqlarına diqqət edilir. Məsələn, şagird teoremi şəkildə verilən təsvirlə, nümunə üzərində göstərməklə dailə çəkilmiş bucağın assəsini başa düşdüünü nümaiş etdirir. A Bu asılılığı əani müşahidə etmək üçün və geogebra proqramından istifadə edilməsi tövsiə edilir. Şagirdlər diametrə sökənən dailə çəkilmiş bucaq düzbucaqdır nəticəsini də isbat etməi bacarmalıdırlar. Doğrudan da, diametrə sökənən dailə çəkilmiş bucaq arımçevrəə, əni 80º- li qövsə sökənir. Dailə çəkilmiş bucağa aid teoremə əsasən, badığımız bucağın qiməti 90ºə bərabərdir, əni bucaq düz bucaqdır. Teoremin hər üç vəziət üçün isbatı şagirdlərə müstəqil iş kimi tapşırıla bilər. Həmçinin müəllim üçün vəsaitdə verilmiş isbatlar sinifdə araşdırıla bilər. Bu işi sistemli şəkildə enidən azmaq ev tapşırığı kimi verilə bilər. 8 A 8 B D C B C E

42 Təklif. A və O nöqtələrini birləşdirək. AOB bərabəranlıdır. BAO = ABO =. AOC = BAO + ABC 5. AOC = + = 6. AC = AOC = 7. BAO + ABO = AC AC 8. ABC = - ci hal. İsbat edilmiş -ci haldan istifadə edək A Əsası o OA və OB radiusdur. AOB bərabəranlı üçbu - B ca ğın da oturacağa bitişik bucaqlardır.. AOC bucağı AOB üçbu ca ğın ın arici bucağıdır 5. Bərabərliin assəsinə görə 6. Mərkəzi bucağın assəsinə görə 7. Bərabərliin assəsinə görə 8. Bərabərliin assəsinə görə Təklif Əsası B B. B nöqtəsindən diametr çəkək AD. ABD =. Tərəfi diametr üzərində olan DC DBC = dailə çəkilmiş bucaqlardır.. ABC = ABD + DBC. Bucaqları toplama aksiomu AD DC. ABC = +. Bərabərliin assəsi AD + DC 5. ABC = 5. Cəbri çevrilmə, vurmanın palama assəsi 6. AD + DC = AC 6. Qövslərin toplanması qadası AC A D A 7. ABC = 7. Bərabərliin assəsi C C o - cü hal. İsbat edilmiş -ci haldan istifadə edək o Təklif Əsası. B nöqtəsindən diametr çəkək B B AD. ABD =. Tərəfi diametr üzərində olan DBC = DC dailə çəkilmiş bucaqlardır.. ABC = DBC ABD. Bucaqları toplama aksiomu CD DA. ABC =. Bərabərliin assəsi 5. ABC = CAD DC 5. Cəbri çevrilmə, vurmanın palama assəsi 6. DAC DA = AC 6. Qövslərin toplanması qadası AC 7. ABC = 7. Bərabərliin assəsi A o C A C D o C

43 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Çevrə dailinə çəkilmiş bucağın assələrinin tətbiqi ilə məsələləri həll edir. Verilənlərə görə -i tapın. A D C B 67 E F G K O U 78 H 9 L I M T 7 N S V P U 96 Q J R Y

44 -ci saat. Dailə çəkilmiş konqruent bucaqlar haqqında teoremdən alınan nəticələr izah edilir. Məsələ həllində bu nəticələrdən geniş istifadə edildii qed edilir. B Çevrə dailinə çəkilmiş konqruent bucaqlar Nəticə. Eni qövsə sökənən dailinə çəkilmiş bucaqlar konqruentdir. EAB BCE, ABC AEC. Nəticə. Sökəndikləri qövsləri konqruent olan dailə A çəkilmiş bucaqlar konqruentdir. C Əgər FE CD olarsa, FAE DBC. F D E Dailə çəkilmiş konqruent bucaqlar mütəlif ölçülü olmaqla çəkilir. Şagird bucağın dəişməsi ilə uğun qövsün dəişməsini müşahidə edir. Həmçinin eni qövsə sökənən bucaqların ölçülərinin həmişə eni cür dəişdiini müşahidə edir. Göstərilən internet ümvanından uğun şəkilləri nümaiş etdirmək, həmçinin prezentasianı izləmək olar. B B B B N M o COB C C C C Şagird teoremi başa düşdüünü aşağıdakı kimi təsvirlə təqdim etməi bacarmalıdır. Bununla şagird müəən radiuslu çevrə çəkmə, transportirin köməilə müəən ölçüdə bucaq qurma kimi A = 60 B = 60 praktik bacarıqları ilə anaşı teoremi izahetmə, həndəsi təsvirlə təqdimetmə bacarıqları kimi ilkin bacarıqları, həmçinin onu nümunəə tətbiqetmə kimi bacarıqlarını nümaiş etdirmiş olur. o C = 0 D = 0? D.5. ) (səh. 6) Həlli: Eni qövsə sökənən dailə çəkilmiş bucaqlar konqruent olduğundan D C və A B Buradan ( + 9) = (5 7) = 6 = 8 (5 ) = ( + 9) = = Onda D = ( + 9)º = 7º, B = (5 8 7)º= º N M o COB = Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli: N M o COB = A (+ 9) B A N M ( + 9) D P D C o (5 7) C B E (5 )

45 İşçi vərəq 5 Adı Soadı Tari Dailə çəkilmiş konqruent bucaqlar haqqında teoremi bilir, həndəsi təsvir edir və məsələ həllinə tətbiq edir. ) Verilənlərə görə dəişənləri tapın. F B C D 57 E C A 0 E B D E B 8 A D C ) FJH=? H F 5 J ) AB- nin dərəcə ölçüsünü tapın. A (7z ) D B G C ( + 9) (5z + 0) ) A mərkəzli çevrədə = 9 və = 7 65 olarsa, a) -in qimətini tapın. b) və -ni tapın. c) BGE = 9 olarsa, ECD-ni tapın. 5 E D B A G C

46 Dərs,. Dərslik səh Çevrəə tounan. saat Çevrəə tounanın tərifini başa düşdüünü həndəsi təsvirlərlə təqdim edir Verilən parçanın çevrəə tounan olduğunu Pifaqor teoreminin köməilə və a Pifaqor ədədlərindən istifadə etməklə əsaslandırır. Çevrəə eni nöqtədən çəkilmiş tounanlar haqqında teoremi bilir, həndəsi təsvir edir, riazi azılışla ifadə edir, nümunələrlə göstərir. Tounanın tərifi, tounanın assəsi düz və tərs teorem şəklində müzaki - rələrlə izah edilir. l A Şagirdlər tərifi və assəni həndəsi təsvirlə təqdim edirlər. O internet ünvanının MATHEMATICS GLOSSARY menusundan istənilən həndəsi (və a cəbri) anlaaşın şəkilli təsvirini və hərəkətli prezentasiasını izləmək mümkündür. İki çevrənin ortaq tounanlarını çəkmə bacarıqları olanılır. Bu cür tapşırıqların tenoloji vasitələrin köməilə erinə etirilməsi tövsiə edilir. Eni nöqtədən çevrəə çəkilmiş tounanların assəsi izah edilir. Nümunə məsələ həll edilir.. Çevrələrin ortaq nöqtəsi odur. A C P Çevrəə tounanı təsvir edir, assələrini bilir və məsələ həllinə tətbiq edir. E G Dörd ortaq tounanları var.. Daildən tounurlar.. Çevrələr konsentrikdir və a biri o birinin dailində erləşir. Bir ortaq tounanları var. o Diqqət edilməli məqamlar H F o Q A B D P B 6. Çevrələr aricdən tounurlar. o C A R Üç ortaq tounanları var. Ortaq tounanları odur. Q P o o, o D B

47 ? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli: Tounanın assələrinin isbatı: Teorem. Çevrəə tounan düz ətt (parça) tounma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikulardır. Verilir: l düz ətti çevrənin tounanıdır. AO çevrənin radiusudur. İsbatı: l düz ətti çevrəə tounandırsa, deməli, çevrə ilə eganə ortaq nöqtəsi vardır. Fərz edək ki, l düz ətti OA radiusuna perpendikular deil. OB l çəkək və l düz ətti üzərində AB= BC parçası aıraq. Onda AOB COB olduğundan OC = OA= r olur. Deməli, C nöqtəsi də çevrənin üzərindədir. Yəni l düz l A əttinin çevrə ilə iki ortaq nöqtəsi var. Bu isə şərtə ziddir. Deməli, l OA. O O ABC Teorem. Eni nöqtədən çevrəə çəkilmiş iki tounanın tounma nöqtələrinə qədər olan parçaları konqruentdir və çevrənin mərkəzi tounanların əmələ gətirdii bucağın tənböləni üzərində erləşir. Teorem -nin isbatı. Verilir: AB və AC A nöqtəsindən çevrəə çəkilmiş tounanların tounma nöqtələrinə qədər olan parçalarıdır. C İsbat edin: AB AC, BAO CAO O A Çevrənin OC, OB radiuslarını və OA parçasını çəkək.. OA = OB Təklif. AOC AOB. AC AB. BAO CAO Əsası. Çevrənin radiusları. Hipotenuza və katetə görə düzbucaqlı üçbucaqların konqruentlii. Konqruent -ların uğun tərəfləri. Konqruent -ların uğun bucaqları D.9. (səh. 9) Şəkildə verilənlərə görə çobucaqlıların tərəflərinin uzunluqlarını və perimetrini tapın. b) Həlli. Nöqtədən çevrəə çəkilmiş tounanların R tounma nöqtələrinə qədər parçaları bərabərdir. QT = QU = sm, SV = ST = 8 sm, 7 sm RV = RS SV = 7 8 = 9 U RU = RV = 9 sm. M Deməli, QS = QT + TS = + 8 = sm, sm QR = QU + RV = + 9 =, RS = 7 sm olduğundan üçbucağın perimetri P = = sm Q T S 7 B V 8 sm

48 İşçi vərəq 6 Adı Soadı Tari Çevrəə tounanı təsvir edir, assələrini bilir və məsələ həllinə tətbiq edir.. Tounan olub-olmadığını müəən edin. a) AB b) B 9 G 0 A AB A C B. Uğun parçanın tounan olduğunu qəbul edərək, dəişənini tapın. ) ) ) N 6 O P 0 Q m T R m 8 8 m U S = = = ) 5) 6) T 5 V A sm B E K ( ) m m 8 sm 7sm D L G 5 m C m O m J M F N H m = = = 8 sm V sm T Q 6 sm R A B E 6 0 D 8 5 m m F Z sm C S G 7) 8) 9) Usm T = = =

49 İşçi vərəq 7 Adı Soadı Tari Çevrəə tounanı təsvir edir, assələrini bilir və məsələ həllinə tətbiq edir. Çevrənin mərkəzi O nöqtəsində erləşir. Verilənlərə görə tələb olunanları tapın.. Verilir: Tapmalı: J a) JK =, KL =, NM = 5 LM, JM b) JK =, KL = 5, NM = 9 LM, JM K O N c) JK =, KL = 8, NM = LM, JM L M... B Verilir: Tapmalı: AO = 5, BO= OC =, AO= 5 Verilir: Verilir: OJ = ; JK = ; JQ= 0; JP = 50; AC AB Tapmalı: KL Tapmalı: QP, OP 9 O O O J Q J L C A K P

50 Dərs 5-7. Dərslik səh. 0-. Kəsən və tounanların əmələ gətirdii bucaqlar. saat.kəsən və tounanın əmələ gətirdii bucaqları təsvir edir, onların dərəcə ölçülərini müəənetmə qadasını bilir və məsələ həllinə tətbiq edir. Bucağın təpəsi çevrə dailində erləşir Teorem. Çevrəni kəsən iki düz əttin əmələ gətirdii bucağın təpəsi çevrə dailində olarsa, onun dərəcə ölçüsü bu bucağın sökəndii qövslə onun qarşılıqlı bucağının sökəndii qövsün dərəcə ölçüləri cəminin arısına bərabərdir. = ( AC + DB) = ( AD + BC) A C F D B Kəsənin tərifi və iki kəsənin əmələ gətirdii bucaqların assəsi müzakirələrlə izah edilir. Qarşılıqlı və qonşu bucaqların assələri təkrar edilir. Kəsənlərin iki mütəlif ölçülü bucaqlar əmələ gətirdii aşkar edilir. Şagirdlər assənin doğru olduğunu emprik olla, əni təcrübi olla da olaa bilərlər. Məsələn, hər hansı şəkildə tələb olunan bucaq hesablama olu ilə və a birbaşa ölçmə ilə (müəən əta ilə) müəən oluna bilər. Nəticələr müqaisə edilir (əlbəttə şəkil verilən ölçülərə uğun çəkilmişsə). Məsələn, şəkildə verilənlərə görə BED- nin dərəcə ölçüsünün tapılması tələb edilir. Məsələnin həllinə başlamadan şagirdlər: B ) Bucağın dərəcə ölçüsü haqqında təminlərini söləirlər; C 70 ) Bucağı transportirlə ölçürlər; E D ) Bucağı uğun assəni tətbiq etməklə hesablaırlar (0 ); o ) Nəticələr müqaisə edilir. 70 A Tounan və kəsənin əmələ gətiridii bucaqların assələri izah edilərkən hansı qövslərdən söhbət getdiini onların daha aşı təsəvvür etmələri üçün aşağıdakı kimi şəkillərin və prezentasiaların hazırlanması tövsiə edilir. uzaq qövs aın qövs k = uzaq qövs aın qövs uzaq qövs 50 uzaq qövs k k k aın qövs

51 İşçi vərəq 8 Adı Soadı Tari İki kəsən arasında qalan bucağın dərəcə ölçüsü haqqında teoremi bilir, həndəsi olaraq təsvir edir, riazi olaraq azır və məsələ həllinə tətbiq edir.. Verilənlərə görə tapın. ) GZ ) HLİ D 76 T A G M 5 Z H 8 L K J C İ 6 ) HJ ) SV º L ( 6) P 0 F V S O J N K R ( ) H 76 W. CR AT olarsa, AC + TR cəmini tapın.. ) = 8º və BC = 8º olarsa, AE-ni tapın. ) BAE = 98º və CD = 6º olarsa, -ü tapın. 5 E A C T F A P B C D R

52 İşçi vərəq 9 Adı Soadı Tari Kəsən və tounanın əmələ gətirdii bucaqları təsvir edir, onların dərəcə ölçülərini müəənetmə qadasını bilir və məsələ həllinə tətbiq edir.. Şəkildə verilənlərə görə tapın (C çevrənin mərkəzidir). ADB = ACD = CAD = A D 9 C B AD = FD = FB = GEB = G A 5 F E D 9 C B. Şəkildə verilənlərə görə DEA-nı tapın (O çevrənin mərkəzidir). A D 6 o E B C. Şəkildə verilənlərə görə tapın. = = =, =. AB parçası çevrəə tounandır. Tələb olunanları tapın. B 6 A ( 0) 5 ( 0) C B = 60 A D B

53 Dərs 8-. Dərslik səh Çevrəni kəsən parçalar. Ümumiləşdirici tapşırıqlar saat. Çevrəni kəsən parçaları təsvir edir, onların uzunluqlarını tapma qadasını bilir və məsələ həllinə tətbiq edir.. Çevrəni kəsən parçaları kəsişmə erindən asılı olaraq həndəsi təsvir edir. Kəsişmə nöqtəsinin erindən asılı olaraq çevrəni kəsən parçaların uzunluqlarını riazi (cəbri) olaraq ifadə edir. Çevrəni kəsən parçaların uzunluqları haqqında teoremlər müzakirələrlə izah edilir. Şagirdlər tounanın kəsənin üsusi halı olduğunu (kəsişmə nöqtələrinin üst-üstə düşdüü hal) başa düşürlər. Teorem. Çevrənin iki vətəri kəsişirsə, kəsişmə nöqtəsinin birinci vətərdən aırdığı parçaların hasili, ikinci vətərdən aırdığı parçaların hasilinə bərabərdir. AB BC = EB BD A E B D C Teorem. A nöqtəsindən çevrəni uğun olaraq B, C və D, E nöqtəsində kəsən iki düz ətt çəkilərsə, AC AB = AE AD bərabərlii doğrudur. Çevrənin BE və CD vətərlərini çəkək. Təklif. ACD AEB. ACD ~ AEB AC. AD = AE AB. AC AB = AE AD Əsası. Eni qövsə sökənən dailə çəkilmiş bucaqlar konqruentdir.. -ların oşarlığının BB əlaməti. Oşar -ların uğun tərəfləri mütənasibdir.. Tənasübün assəsi. Teorem. M nöqtəsindən çevrəni B və A nöqtələrində kəsən düz ətt və çevrəə T nöqtəsində tounan çəkilmişsə, MT = MA MB bərabərlii doğrudur.? D.9. (səh. 6) Verilənlərə görə: DF : FE : EG : GD = 5 : : : 7 5k + k + k + 7k = 60 5k = 60, k = DF = 0 FE = 8 FDE = FGE = FE = EG = GD =68 DFG = DEG = GD = 8 5 5k M k A A B D T E F G D k 7k C E B

54 İşçi vərəq 0 Adı Soadı Tari Çevrəni kəsən parçaları təsvir edir, onların uzunluqlarını tapma qadasını bilir və məsələ həllinə tətbiq edir. Çevrəni kəsən parçaları kəsişmə erindən asılı olaraq həndəsi təsvir edir. Kəsişmə nöqtəsinin erindən asılı olaraq çevrəni kəsən parçaların uzunluqlarını riazi (cəbri) olaraq ifadə edir. Çevrəə aid şəkillə və ədədi məlumatlarla verilmiş 5 həndəsi assənin mətnini və riazi simvollarla ifadəsini azın. ) C D A = 50 B ) ) ) 5) B C D =,7 A A A =,7 CB = =90 =90 E D E C A90 B 90 DB = D D E B B 5,6 5,6 C C 5

55 . bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə mearları cədvəli Mearlar Qedlər Qövsün uzunluğunu tapmağa aid məsələləri həll edir. Vətərin assələrini məsələ həllinə tətbiq edir. 5 6 Çevrə dailinə çəkilmiş bucaqların assələrini məsələ həllinə tətbiq edir. Çevrəə tounanın as sə lə rini məsələ həllinə tətbiq edir. Kəsən və tounanın əmələ gə tirdii bucaqların assə lə - ri ni məsələ həllinə tətbiq edir. Çevrəni kəsən parçaları təs vir edir, onların uzunluqlarını tap ma qadasını bilir və mə sə lə həllinə tətbiq edir. Dərs.. bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları. Çevrənin diametri 0 sm, AC = 7, BD = olarsa, CD vətərinin uzunluğunu tapın. O nöqtəsi çevrənin mərkəzidir.. Bərabəranlı üçbucağın dailinə çəkilmiş çevrə to - unma nöqtələri ilə an tərəfi AT = sm, BT = sm olan parçalara aırır. Üçbucağın perimetrini tapın.. O- çevrənin mərkəzidir. A = 70 olarsa, DOC -ni tapın. A) 0 B) 0 C) 70 D) 50. O - çevrənin mərkəzidir. OC = 0 sm, AC = 9 sm, BC = sm olarsa, çevrənin radiusunu tapın. A) sm B) 5 sm C) 6 sm D) 7 sm 55 A C? O A B O C D O 0 9 C A A T B T T B C D B

56 5. Radiusu 0 sm olan çevrədə 8 -li mərkəzi bucağa uğun qövsün uzunluğunu tapın. T A) sm B) sm C) 0,5 sm D) sm 6. AT və AT çevrəə tounanlardır. TET = 0 isə, 0? E A A-nı tapın A) 00 B) 0 C) 0 D) 80 T 7. AB = sm, BC = 6 sm, AD = + və DE = olarsa, AE parçasının uzunluğunu tapın B 6 C A) 9 sm B) 8 sm C) 7 sm D) 0 sm A + D E 8. CM = sm, MD = 8 sm, AM = 6 sm olarsa, BM-i tapın. C B 9. CDE = 0, AED = 70 olarsa, ABE-ni tapın. 0. M = 0, C = 5 isə D-ni tapın.. Uğunluğu müəən edin. O- çevrənin mərkəzi, TDtounanıdır.. BTD = 0. BTD = 0. BTD = 0 A) + = 60 B) = 0 C) = 0 D) + = 0. Diametri 0 sm olan çevrədə uzunluğu sm olan vətərin mərkəzdən olan məsafəsini tapın.. Xaricdən tounan çevrələrin AB ortaq tounanı çəkilib. Verilənlərə görə çevrələrin T tounma nöqtəsinin AB düz əttindən məsafəsini tapın. M 0º. Çevrə A, B, C, D nöqtələri ilə : : : nisbətində bölünmüş və bölgü nöqtələri ardıcıl birləşdirilmişdir. ABCD dördbucaqlısının bucaqlarını tapın. A A 56 D C 5º E B B D C A A O O A M T D T B D B D O 6

57 -ci bölmə üzrə planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu Dərs saatı Dərslik səh.... Biri ətti, digəri ikidərəcəli olan iki də i şənli tənliklər sistemini həll edir.... Kvadrat bərabərsiz - lii həll edir... Çevrəə tounanın və kəsənin assələrini tətbiq edir... Verilmiş iki nöqtə arasındakı məsafə düsturunu bilir, mərkəzinin koordinatlarına və radiusuna görə çevrənin tənliini azır... Praktik ölçmələrdə alınan nəticələrin həqiqətə uğunluğunu olaır. - 5 Kvadratik funksianın qrafiki 8-5 6, 7 Kvadratik funksianın ifadə formaları və qrafiki Kvadratik funksianın sıfırları 56, Kvadratik funksianın ümumi şəkli Kvadratik funksianın tətbiqi ilə məsələ həlli , 6 = funksiası və onun qrafiki Ümumiləşdirici tapşırıqlar bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları 9-5 İki nöqtə arasındakı məsafə düsturu Çevrənin tənlii , 59 Sektor və seqment Ümumiləşdirici tapşırıqlar bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları 57 Cəmi 9

58 . Kvadratik funksia Məzmun standartı... Biri ətti, digəri ikidərəcəli olan iki də i - şən li tənliklər sistemini həll edir.... Kvadrat bərabərsizlii həll edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Kvadratik funksianın qrafikini qimətlər cədvəli tərtib etməklə qurur; Kvadratik funksianın qrafikini = funksi a sının qrafikindən istifadə etməklə qurur; Kvadratik funksianın qrafikini = a( m) + n və = a( p)( q) ifadə formalarına görə qurur; Funksianın sıfırlarını müəən edir; Kvadratik funksianı ümumi = a + b + c şəklinə uğun qrafik qurur və araşdırır; Kvadratik funksianın tətbiqi ilə məsələlər həll edir; = funksiasının qrafikini qurur; = a m + n şəklində funksiaların qra fikini qurur; Riazi lüğət kvadratik funksia kvadratik funksianın qrafiki parabola parabolanın təpə nöqtəsi parabolanın simmetria ou kvadratik funksianın ifadə formaları kvadratik funksianın sıfırları modullu funksia Əlavə resurslar İşçi vərəqlər İnternet ünvanlar: Dərs -5. Dərslik səh Kvad ratik funksianın qra fi ki. saat -ci saat. Kvadratik funksianın mü - hən dis, konstruksia-tikinti işlərində ge niş tətbiq olunduğu qed edilir. Biz Bakı şəhərində son illərdə quraşdırılan körpülərə nəzər salmaqla parabola şəkilli konstruksiaları görə bilərik, istər qədim, istərsə də müasir memarlıq nümunələrində tağvari arkalara hər addımda rast gəlmək olar. Bütün bu konstruksia işləri kvadratik funksia - lar la üksək dəqiqliklə aparılan hesab - lamalar saəsində mümkün olur. Həmçinin mühüm iqtisadi göstəriciləri kvadratik funksianın köməilə hesab - la maq, vəziəti qimətləndirmək və e ni planlar həata keçirmək olar. Kvadratik funksianın aşağıdakı isti qa - mət lərdə araşdırılması tövsiə edilir.. = və = a funksiasının qra fik - lə ri nin müqaisəsi.. =, = + n funksiasının qra fik - lə ri nin müqaisəsi.. =, = (+ m) funksiasının qra - fik ləri nin müqaisəsi. Qrafiklər qrafkalkulatorlarla da qurula bilər. Şagirdlər hər bir halda qrafiklərin hansı koordinat ou üzrə erini dəişdiini araşdırırlar. Qrafik məlumatı ouma və təqdimetmə bacarıqlarına aid suallar verilir.. = funksiasının qimətlər cəd və - li nə əsasən -in dəişməsinə görə -in də iş məsi haqqında hansı fikirləri sö - lə ə bilərsiniz? Arı-arı şagirdlərin fi - kir ləri dinlənilir. - -in istənilən qimətində -in qiməti mənfi deil. - -in qimətlərinin mütəlif olmasına bamaaraq -in qimətləri təkrarlanır.

59 Hər hansı funksiada -in eni qimətinə -in mütəlif qimətləri uğun gələ bilərmi? Funksianın tərifi təkrarlanır.. Bəs, funksia = şəklində olsadı, sizcə bu qrafikin vəziəti necə dəişəcəkdi? Şagirdlərin fikirləri dinlənilir. Şagird: bu -in qimətlərinin müsbət olmaması, qrafikin isə bütünlüklə aşağı arımmüstəvidə erləşməsi deməkdir.. = olduqda = funksiasının qiməti = 9 olur, bəs = funksiası üçün = olduqda -in qiməti necə dəişəcək? dəfə ço olacaq. Bəs = funksiasında necə dəişəcək? Qrafik üzərində bir neçə nöqtənin koordinatlarını tapmaqla bunu izah edin. Biz bu qimətlərə görə parabolanın hansı halda "genişləndiini", hansı halda "daraldığını" söləə bilərikmi? Şagirdlərin fikirləri dinlənilir: = funksiasının qimətləri -in eni qimətlərində = funksiasına nəzərən daha sürətlə artır, odur ki, onun qrafiki daha dikdir, dardır və ouna daha ço sıılmış olur. = funksiasının qimətləri isə = funksiasının qimətlərinə nəzərən daha avaş artır, odur ki, onun qrafiki daha genişdir.. = + n və = ( + m) azılışlarına görə bu qrafiklərdən hansının O ou bou, hansının O ou bou sürüşdürməklə alındığını söləmək olarmı? Şagirdlərin fikirləri dinlənilir. = + n azılışı onu göstərir ki, artıq kvadratik funksia ( ) var və üzərinə əlavə edilən n ədədinin işarəsindən asılı olaraq dəişməsi bütünlükdə -in qi mətini dəişdirir. = ( + m) azılışı isə onu göstərir ki, -in qiməti m qədər dəişdikdən sonra kvadratik funksia aranır. Odur ki, qrafik erini = parabolasına görə O ou bou dəişəcək. Kvadratik funksia və real həati situasialara aid məlumatlar verilir, şəkillər nümaiş etdirilir = 0, ,905 +, 0 00 G 80 D Şlanqdan təziqlə aan su parabola aradır. 59 E F Üzgüçünün suun dibinə enmə tra - ek toriası parabola şəklindədir.

60 -ci saat. Kvadratik funksianın qrafiki Tədqiqat sualları:. = a funksiasındakı a əmsalı = funksiasının qimətlər i - nə, qrafikin vəziətinə necə təsir göstərir?. = + n funksiasındakı n həddi = funksiasının qimətlərinə, qrafikin vəzi ə - tinə necə təsir göstərir?. = ( m) funksiasındakı m həddi = funksiasının qimətlərinə, qrafikin vəzi - ətinə necə təsir göstərir?. = a ( m) + n funksiasındakı a əmsalı = funksiasının qimətlərinə, qrafikin vəzi ətinə necə təsir göstərir? Bu araşdırmaların qrafkalkulatorla aparılması ço əhəmiətlidir. Qrafkalkulatorla qrafik qurarkən şagirdlər aşağıdakı kimi fadalı məşğələləri erinə etirirlər:. Şagirdin daha ço sada qrafiki müqaisəetmə imkanı aranır.. -in qimətinin maksimum və minimum həddini, və oları üzrə məlumatın erləşdirmə miqasını müəən edirlər.. Qrafik üzərində istənilən nöqtəni qed edir və uğun məlumatı təhlil edirlər. Məktəb proqramı üçün ən uğun qrafkalkulatorlar www/go.hrw.com/math/mid ma/gra - decon tent/manipulatives/graphcalc/graphcalc.html və online ünvanlarıdır. Əgər qrafkalkulatordan istifadə zamanı hər hansı teniki problem aranarsa, GOOGLE-da Graf calculator atarışı ilə başqa birini seçmək olar. Məsələn, Şagird Settings menusu vasi tə - si lə arqumentin qimət lər i nin in - ter valını, -in, funksi anın (g ö r mək istədii) dəişmə inter - valını və qrafik üzərində -in və -in dəişmə addımlarını əvvəl - cədən verə bilir, həmçinin qi - mətlər cədvəli üçün başlanğıc qiməti və dəişmə addımları müəənləşdirilə bilər. Şagird qəbul edilmiş miqasdan asılı olaraq qrafiklərin for ma sı - nın dəişməsinə diqqət edir.

61 . = a funksiasındakı a əmsalı = funksiasının qimətlərinə, qrafikin vəziətinə necə təsir göstərir? a-a mütəlif qimətlər verməklə = a funksiasının qrafikinin = qrafikinə nəzərən vəziəti müşahidə edilir. Kəsr ədədlər bu proqram da bölmə əməli ilə ifadə edilir. Şagirdlər = funksi a - sı na nə zə r ən a əmsalının qi mə tindən asılı olaraq pa rabolanın qolla rı nın da - ral dı ğını və a geniş lən di - i ni qed edir lər. a əmsalının işarəsindən asılı olaraq isə parabolanın - qol ları uarı və a aşağı -6-8 ö nəlmiş olur. Göstərilən -0 qrafkalkulatorda eni koordinat müstəvisində funksianın qrafikini qurmaq mümkündür. Daha professional qrafkalkulator olan va si tə - si lə daha ço funksianı eni koordinat müstəvisində izləmək mümkündür.. = + n funksiasındakı n həddi = funksiasının qimətlərinə, qrafikin vəziətinə necə təsir göstərir? Şagirdlər n - ə mütəlif qimətlər verməklə = qrafikinin erini necə də - işdiini müşahidə edirlər. Qrafik n həddinə görə O ou bo un ca aşağı və a uarı sürüşdürülür.. = ( m) funksiasındakı m həddi = funksiasının qimətlərinə, qrafikin vəziətinə necə təsir göstərir? m həddi -in tam kvadrat qimətinə təsir edən ədəddir, odur ki, qrafikin O ou bounca sola və a sağa hərəkəti labüddür

62 . = a ( m) + n funksiasındakı a əmsalı = funksiasının qimətlərinə, qrafikin vəziətinə necə təsir göstərir? Nəhaət a, m, n hədlərinin eni zamanda dail olduğu kvadratik funksianın = funksiasına nəzərən dəişməsi ümumiləşdirilir a-nın işarəsinin və qimətinin təsiri a > 0 olduqda, parabolanın qolları uarı, a < 0 olduqda, qolları aşağı önəlir. < a < olduqda, parabola absis ouna sıılaraq, = parabolasından geniş olur. Əgər a > və a a < olarsa, parabola absis oundan şaquli istiqamətdə dartılaraq = parabolasından dar olur. n-in işarəsinin və qimətinin təsiri Parabola O ou bounca n vahid; n < 0 olduqda aşağı, və a n > 0 olduqda uarı sürüşdürülür. n parabolanın təpə nöqtəsinin ordinatına uğundur. m-in işarəsinin və qimətinin təsiri m > 0 olarsa, parabola O ou bou sağa, m < 0 olarsa, sola sürüşdürülür. m parabolanın təpə nöqtəsinin absisinə uğundur. m =0parabolanın simmetria ounun tənliidir, = m düz ətti parabolanın simmetria oudur. Şagird m və n ədədlərinin funksianın təpə nöqtəsinin koordinatları olduğunu başa düşür. Qrafkalkulatordan istifadənin mümkünlüündən asılı olmaaraq şagirdlər = funksianın qrafiki üzərində uğun dəişmələri icra etməklə qrafikləri dəf tər lə rində qururlar. Şagirdlərə həm qrafkalkulatorla, həm də qimətlər cədvəlinə görə azılı olaraq qra - fik ləri qurma məşğələlərini əks etdirən təqdimat hazırlamaları tövsiə edilir. Təq di mat - lar şagirdin portfoliosunda toplanır. Dərslikdə bir neçə tapşırıq nümunəsi verilmişdir. Nümunələri müzakirə olu ilə araş - dı rmaqla bütün şagirdlərin azılı olaraq erinə etirməsi tövsiə edilir. Kvadratik funksianın tam kvadratın arılışı şəklində azılması onun qrafikini qurma işini asanlaşdırır. 6

63 Adı Soadı = funksiasının qrafikinə görə = + n və = ( m) funksialarının qrafikini qurur. = funksiasının qrafikindən istifadə etməklə verilən funksiaların qrafikini qurun. ) g() = + ) p() = İzah: = funksiasının qrafikindən istifadə etməklə verilən funksiaların qrafikini qurun. ) r () = ( + ) ) k () = ( ) İzah: İşçi vərəq 6 Tari İzah: 5 İzah: 6

64 Kvadratik funksianın tədrisi üçün arılmış növbəti dərs saatlarında dərslikdə verilmiş tapşırıqlarla və müəllim üçün vəsaitdə verilmiş işçi vərəqlərlə, şagirdin aşa ğı da kı bacarıqlara iələnməsi nəzərdə tutulmuşdur. Kvadratik funksianın qrafikinin təpə nöqtəsinin koordinatlarını müəən edir; Kvadratik funksianın qrafikinin koordinat oları ilə kəsişmə nöqtələrini müəən edir; Kvadratik funksianın maksimum və a minimum qimətini müəən edir; Qrafik əsasında kvadratik funksianın qimətlərinin hansı intervalda müsbət, hansı intervalda mənfi olduğunu müəən edir; Kvadratik funksianı təpə nöqtəsinin və onun qrafiki üzərində olan hər hansı nöqtənin koordinatlarına görə müəən edir; Kvadratik funksianı koordinat oları ilə kəsişmə nöqtələrinə görə müəən edir. Dərs 6, 7. Dərslik səh və qrafiki. saat Kvadratik funksianın ifadə formaları = a( m) + n parabolasını qurma addımları:. Parabolanın təpə nöqtəsi (m; n) nöqtəsində erləşir. Parabolanın qolları aşağı önəlmişsə, n -in qiməti funk - sianın maksimumunu, parabolanın qolları uarı önəl - mişsə, n -in qiməti funksianın minimumunu göstərir. f() n (m, n). Parabolanın koordinat oları ilə kəsişmə nöqtələri = m tapılır. Məsələn, funksiası üçün =0 olduqda = olur, əni parabola O ounu (0;) nöqtəsində kəsir. Parabolanın təpə nöqtəsi müəən edilir. (; ). Simmetria ou = m düz əttidir.. Simmetria ouna görə qrafikin üzərindəki nöqtələrin erini müəənetmə bacarıqlarına diqqət edilir. Verilən nümunədə bu = 0 tənlii ilə müəən edilir. = düz ətti, parabolanın simmetria ou çəkilir. Simmetria ouna görə bərabər məsafədə olmaqla ordinatları bərabər olan, başqa sözlə eni üfüqi düz ətt üzərində erləşən simmetrik nöqtələr qed edilir (şəkil ). Bu nöqtələr səlis əri ilə birləşdirilir. 6 0 = ( ) Diqqət edin! m müsbət olduqda təpə nöqtəsi ordinat ouna nəzərən sağ, mənfi olduqda sol arımmüstəvidə erləşir (a > 0) (m, n) = m f() n (a < 0)

65 Adı Soadı İşçi vərəq Tari = a( m) + n şəklində verilmiş kvadratik funksianın qrafikini qurur. Funksiaların qrafiklərini təpə nöqtəsinə və simmetria əttinə görə qurun. ) = ( ) + ) = ( + ) ) = ( ) ) = ( + )

66 ? D.0. Qrafik üzərində verilən nöqtələr cütünün koordinatlarına görə kvadratik funksianın simmetria ounun tənliini hansı halda azmaq mümkündür? a) (; 0) və (7; 0) b) (; 6) və (6; ) Parabola üzərində erləşən nöqtələr cüt- cüt olmaqla simmetria ouna nəzərən bərabər məsafədə erləşir və onların ordinatları bərabər olmalıdır. Simmetria ounun tənlii = m isə parçanın orta nöqtəsinin koordinatı kimi bərabərliindən təin olunur. + 7 a) halında verilən şərtlər ödəndii üçün simmetria ounun tənliini, = 5 olduğu üçün = 5 alarıq. b) halında isə simmetria ounun tənliini azmaq mümkün deil. Dərs 8. Dərslik səh. 56, 57. Kvadratik funksianın sıfırları. saat 66 = + Funksianın sıfırları, əni absis ou ilə kəsişməsi haqqındakı məlumat əhəmiətli məlumatdır. Şagirdlər nöqtələri, bu nöqtələrin kvadrat tənliin həlli ilə əlaqəsini təqdim edirlər. Parabolanın absis və ordinat ou ilə kəsişmə nöqtələri real həati situasialara aid məsələlərdə mühüm praktiki əhəmiət daşıır. Məsələn, tutaq ki, şəkildə bir hevanın (qurbağanın, dələnin və s.) tullanışının traektoriası qrafik təsvir edilmişdir. Koordinat olarını kəsmə nöqtələri onun hansı hündürlükdən hərəkətə başladığını, nə qədər uzağa tullandığını müəən etməə imkan verir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli: D.. Aşağıdakı funksiaların qrafiklərinin absis ou ilə ortaq nöqtələrinin saını müəən edin. Absis ou ilə kəsişmə nöqtəsində = 0 olduğu üçün: ) b) f () = ( + ) = 0 ( + ) = 0 + = 0, = Cavab: ortaq nöqtələrinin saı -dir. c) f () = ( 5) 9 = 0 ( 5) = 6, 5 = ± 6 =, = Cavab: kəsişmə nöqtələrinin saı -dir. D.. a) = 5( 5) 00 b) = + c) = ( + 8) 8 funksiaları üçün onların qrafikini qurmadan müəən edin: ) parabolanın qollarının istiqamətini; ) qrafikin təpə nöqtəsini; ) simmetria ounun tənliini; ) absis ou ilə kəsişmə nöqtələrinin saını. a) ) a = 5 > 0 parabolanın qolları uarı önəlib. ) m = 5, n = 00 ) = 5 ) = 0 5 ( 5) 00 = 0, 5 ( 5) = 00 ( 5) = 0, 5 = ± 0 = ± 5 = 5 + 5, = 5 5 Parabolanın absis ou ilə kəsişmə nöqtələrinin saı -dir. hündürlük

67 b) ) a = < 0 parabolanın qolları aşağı önəlib. ) m = 0, n = ) = 0 ) = 0 + = 0, = =, = ± 7 7 Parabola O ou ilə iki nöqtədə kəsişir. c) ) m = 8, n = 8 ) a = > 0 parabolanın qolları uarı önəlib. ) = 8 ) = 0, ( + 8) 8 = 0, ( + 8) = 8, + 8 = ± 8 = ± = 8 +, = 8 O ou ilə kəsişmə nöqtələrinin saı -dir. D.. a) Kvadrat üçhədlini vuruqlara aırmaqla verilən funksiaları = a( p)( q) şəklində azın. b) və oları ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını müəən edin. c) qrafikini qurun. f() = 5, g() = +, p() = 0 + a) f () = ( 8) ( + ), g() = ( ), p() = ( ) ( ) b) və oları ilə kəsişmə nöqtələri f () : (8; 0) və ( ; 0); (0; ) g() : (; 0); (0; ) p() : (; 0) və (; 0); (0; ) c) f () = g () = p() = Şagird = a( p)( q) şəklində verilmiş kvadratik funksianın qrafikini qurmaq üçün lazım olan vacib nöqtələri şifahi olaraq təqdim edir. Bu nöqtələr: Koordinat oları ilə kəsişmə nöqtələri, parabolanın təpə nöqtəsidir. Şagirdlərin diqqətinə bir daha simmetria ounun tənliinin vaciblii çatdırılır. Simmetria ouna görə damalı kağızda sama olu ilə simmetrik nöqtələr qomaqla qrafiki daha səlis, dəqiq çəkmək mümkündür.

68 D.6. Funksiaların qrafiklərini qurun. Absis ou ilə kəsişmə nöqtələri arasındakı məsafəni tapın. c) f () = + d) f () = + + c) f () = + = ( ) = 0 tənliinin kökləri f() = + = +, =. Absis ou ilə kəsişmə nöqtələri arasındakı məsafə d = = d) f () = Absis ounu kəsdii nöqtələri tapaq = 0 = 0 ( )(+) = 0 =, = f () = Absis ounu kəsdii nöqtələr arasındakı məsafə d = ( ) = D.7. Parabolanın koordinat oları ilə kəsişmə nöqtələri verilmişdir. Bu məlumatlara görə parabolanın təpə nöqtəsinin koordinatlarını tapın. a) (; 0), ( ; 0), (0; 6) b) ( ; 0), ( ; 0), (0; ) c) ( ; 0), (; 0), (0; ) a) I üsul f () = a + b + c kvadratik funksiasında a, b, c əmsallarını tapmaq üçün verilmiş nöqtələrin koordinatlarını = a + b + c bərabərliində nəzərə almaq lazımdır. Ordinat ou ilə (0; 6) kəsişmə nöqtəsinə görə c əmsalı tapılır. 6 = a b 0 + c, c = 6. Onda f () = a + b 6 funksiasında (; 0) və ( ; 0) nöqtələrinin koordinatlarını nəzərə alsaq, 0 = a 9a + b = 6 { + b 6 burada Sistemin -ci tənliini { 0 = a ( ) + b ( ) 6 a b = 6 -ə vurub -ci ilə tərəf-tərəfə toplasaq, a =, a = alarıq. Bu qiməti -ci tənlikdə erinə azsaq b =. Beləliklə f () = 6 b m = və n = f (m) düsturlarından istifadə edərək təpə nöqtəsinin koordinatlarını a tapaq: m = = və n = f () = 6 = II üsul f () = a + b + c = a( m) + n şəklində azılışdan istifadə edək. Qed etmək lazımdır ki, = m düz ətti parabolanın simmetria ou olduğundan, + m = düsturundan m-i tapmaq olar. + ( ) =, = m = = Onda kvadratik funksia = a ( ) + n şəklinə düşər. (; 0) (və a ( ; 0)), (0; 6) nöqtələrinin koordinatlarını burada nəzərə alsaq: 0 = a + n a = n = 8 f () = ( ) 8 {,, 6 = a + n III üsul. Əgər kvadratik funksianın qrafikinin absis ou ilə kəsişmə nöqtələri məlum olarsa, onda onu = a( )( ) şəklində göstərmək olar. Baılan halda =, = olduğu üçün = a( )( + ) Burada (0 ; 6) nöqtəsinin koordinatlarını nəzərə alsaq, 6 = a(0 )(0 + ); 6 = a a = = ( )( + ) = ( ) = ( )

69 Dərs 9-. Dərslik səh Kvadratik funksiasının ümumi şəkli. saat. Kvadrat üçhədlidən tam kvadrat aırma bacarıqlarına diqqət edilir.. Kvadratik funksia aşağıdakı göstəricilərə görə təhlil edilir: simmetria ounun tənliinə; təpə nöqtəsinə; ƏBQ və a ƏKQ qimətinə; təin oblastına və qimətlər çoluğuna; O ou ilə kəsişməsinə; O ou ilə kəsişməsinə; Ümumi şəkildə verilmiş kvadratik funksianın qrafikini qurmaq üçün aşağıdakı nöqtələri müəən etmək lazım gəlir. Bunu addım-addım = + funksiası üzərində göstərək.. a =, b =, c = Təpə nöqtəsinin absisini tapaq: Təpə nöqtəsinin ordinatını tapaq: m = b = a = qimətini = + tənliində nəzərə alaq: = = ; Təpə nöqtəsi: ( ; ). O ounu hansı nöqtədə kəsdiini tapaq: = + tənliində = 0 azsaq, = alarıq, əni ordinat ou ilə kəsişmə nöqtəsi (0; ) olur.. O ounu hansı nöqtədə kəsdiini tapaq. = + düsturunda = 0 azsaq, + = 0 kvadrat tənliin kökləri = və = olduğundan parabolanın absis ounu kəsdii nöqtələr: ( ; 0) və ( ; 0). Tapılmış nöqtələri koordinat müstəvisində qed etməklə parabolanı quraq. Kvadratik funksianın araşdırılması zamanı hansı göstəricilərə diqqət edildii aşağıdakı qrafiklər üzərində (dərslikdə verilmişdir) araşdırılır. Tapşırıqları erinə etirərkən bu parametrlərin təqdim edilməsinin əhəmiəli olduğu qed edilir = = = - (, ) -5 simmetria ou təpə nöqtəsi n maksimum qimət ou ilə kəsiş mə nöqtəsi ou ilə kəsiş - minimumn ou ilə kəsiş - mə nöqtəsi qimət təpə ou ilə kəsiş - mə nöqtələri nöqtəsi mə nöqtələri simmetria ou Təin oblastı, bütün həqiqi ədədlər çoluğu { R}. Qimətlər çoluğu : [n; + ) Təin oblastı, bütün həqiqi ədədlər çoluğu { R}. Qimətlər çoluğu: ( ; n]

70 Adı Soadı İşçi vərəq Tari Nümunə. Koordinat oları ilə ( ; 0) və (; 0 ) nöqtələrində kəsişən və qolları uarı önəlmiş parabolanın tənliini azın. ( + )( ) + 6 Kvadratik funksianın = a + b + c ümumi şəklinə uğun qrafik qurur və araşdırır; ( ; 0) və (; 0 ) =, = = + 6 Bu nöqtələrə görə qrafik absis ounu arqumentin ( ) və qimətlərində kəsir. Həmçinin funksianın ou ilə kəsişmə nöqtələri uğun kvadrat tənliin kökləridir. O ou ilə kəsişmə nöqtələrinə görə kvadratik funksianın düsturu = a( p)( q) şəklində olacaq. Kvadrat üçhədlinin vuruqlara arılış şəkli. Parabolanın qolları aşağı önəlməli olsadı, ifadənin qarşısında mənfi işarəsi azmalı idik. Burada a > 0 olduğundan parabolanın qolları uarı önəldii üçün ifadənin qarşısında mənfi işarə azılmır. Funksia azılır. ) Koordinat oları ilə verilən nöqtələrdə kəsişən və qolları uarı önəlmiş hər hansı parabolanın tənliini azın. a) ( ; 0) və (; 0) b) ( ; 0) və ( ; 0) c) (; 0) və (5; 0) ) Koordinat oları ilə verilən nöqtələrdə kəsişən və qolları aşağı önəlmiş hər hansı parabolanın tənliini azın. a) ( ; 0) və (6; 0) b) (; 0) və (7; 0) c) (5; 0) və ( ; 0) 70

71 Adı Soadı İşçi vərəq Tari Kvadratik funksianın ümumi = a + b + c şəklinə uğun qrafik qurur və araşdırır. Nümunə. Təpəsi ( ; ) nöqtəsində olan və (; ) nöqtəsindən keçən parabolanın tənliini azın. Kvadratik funksianın = a( m) + n şəklindən istifadə edək. Təpə noqtəsinin ( ; ) koordinatlarını erinə azaq. = a( m) + n = a( ( )) + ( ) = a ( +) a-nı tapmaq üçün (; ) nöqtəsinin koordinatlarından istifadə edək. = a 7 a = = 7 ( + ) 9 9 a) Təpəsi ( ; ) nöqtəsində olan və (; 7) nöqtəsindən keçən parabolanın tənliini azın. b) Təpəsi (; 5) nöqtəsində olan və (; ) nöqtəsindən keçən parabolanın tənliini azın. c) Təpəsi ( ; 5) nöqtəsində olan və (0; 9) nöqtəsindən keçən parabolanın tənliini azın. d) Təpəsi (; ) nöqtəsində olan və (; ) nöqtəsindən keçən parabolanın tənliini azın. 7

72 Adı Soadı İşçi vərəq 5 Tari Kvadratik funksianın = a + b + c şəklinə uğun qrafik qurur və araşdırır; a) = simmetria ounun tənliini; təpə nöqtəsinin koordinatlarını; ƏBQ və a ƏKQ qimətini; təin oblastını və qimətlər çoluğunu; O ou ilə kəsişməsini (varsa); O ou ilə kəsişməsini. b) = simmetria ounun tənliini; təpə nöqtəsini; ƏBQ və a ƏKQ qimətini; təin oblastını və qimətlər çoluğunu; O ou ilə kəsişməsini (varsa); O ou ilə kəsişməsini. 7

73 Adı Soadı a) = İşçi vərəq 6 Tari Kvadratik funksianın = a + b + c ümumi şəklinə uğun qrafik qurur və araşdırır. təpə nöqtələri ilə azılışını (tam kvadratın arılışı); təpə nöqtəsini; simmetria ounun tənliini; ƏBQ və a ƏKQ qimətini; təin oblastını və qimətlər çoluğunu; O ou ilə kəsişməsini (varsa); O ou ilə kəsişməsini. b) = təpə nöqtəsini; simmetria ounun tənliini; ƏBQ və a ƏKQ qimətini; təin oblastını və qimətlər çoluğunu; O ou ilə kəsişməsini (varsa); O ou ilə kəsişməsini ; 7 təpə nöqtələri ilə azılışını (tam kvadratın arılışı);

74 Adı Soadı İşçi vərəq 7 Şəkildə parabolanın bir arısı verilmişdir. Verilənlərə görə tapşırıqları erinə etirin. f() Təpə nöqtəsinin koordinatını azın. Simmetria ounun tənliini azın. Qed olunan nöqtələrə simmetrik nöqtəni azın. ou ilə kəsişmə nöqtəsini azın. ou ilə kəsişmə nöqtəsini azın. Funksianın maksimumu var, osa minimumu? Funksianı azın. Funksianın qrafikini qurun Tari Kvadratik funksianın ümumi = a + b + c şəklinə uğun qrafik qurur və araşdırır.

75 Dərs -. Dərslik səh Kvadratik funksianın tətbiqi ilə məsələ həlli. saat Məsələləri iki qrupda birləşdirmək olar. Bunlardan bir qrupu kvadratik funksianın üsusiətlərindən istifadə etməklə maksimum, minimum qimətləri tapma məsə lə lə - ridir. Bunlar iqtisadi məsələləri, sahə, həcm kimi həndəsi məsələləri əhatə edir. İkinci qrup məsələlər isə kvadratik funksianın qrafiki olan parabolanın üsusiətlərinə görə modelləşdirmə məsələləridir. Bu məsələlər daha ço mühəndis konstruksia məsələlərində, həmçinin bəzi hərəkətlərin təsvir edilməsində tətbiq edilir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli: D.. Biznes. Maksimum mədail. Sərnişindaşıma ilə məşğul olan nəqliat şirkəti gündəlik 00 sərnişinə idmət göstərir. Bir biletin qiməti 5 manatdır. Şirkət sahibi düşünür ki, hər 50 qəpik qimət artımı 0 sərnişinin azalmasına gətirir. a) şirkət neçə dəfə bahalaşma aparsa, bilet satışından maksimum mədail əldə edər? b) bu bahalaşmalarla şirkətin gündəlik mədaili ən çou neçə manat ola bilər?. 50 qəpiklik bahalaşmaların saını ilə işarə etsək, onda bir biletin qiməti (5 + 0,5 ) olar.. Hər bahalaşmaa görə 0 adam azaldığı üçün sərnişinlərin saı (00 0) olacaq.. Bilet satışından gələn pulu P() ilə işarə etsək, P () = (00 0) (5 + 0,5) = = = = 5 ( 0 00) = = 5 (( 5) 5 00) = 5 (( 5) 5) buradan isə P() = 5( 5) + 5 Göründüü kimi, P() funksiasının ən böük qiməti 5-ə bərabərdir ki, bu qiməti P() funksiası = 5 olduqda alır. a) Şirkət 5 dəfə bahalaşma apararsa, bilet satışında maksimum mədail əldə edər : P(5) = 5 b) Adi günlərdə şirkət 00 sərnişinə idmət göstərdii halda mədail 00 5 = 000 manat idisə, 5 dəfə 50 qəpiklik bahalaşmadan sonra mədail (00 0 5) (5 + 0,5 5) = 5 manat təşkil edəcək. Əlavə olaraq tibbə aid aşağıdakı kimi məsələ həlli müzakirələrlə erinə etirilə bilər. Tibb. Ərzaqda bakteriaların saca çoalmasının temperaturdan asılılığı N (T) = 0 T + 0 T + 0 funksiası ilə ifadə edilir. T temperaturu selsi ilə göstərir və T Hansı temperaturda bakteriaların saı minimum olacaq? Həlli: N (T) = 0T + 0T + 0 = 0 (T + T + 6) = = 0 (T + T = = 0 (( T + ) +5 )) = 0 (T + ) + 5 Bakteriaların saca çoalmasının temperaturdan asılı lığı nı göstərən N (T) funksiası minimuma malikdir.t = ( ) olduqda N ( ) = 5 olar. 75

76 D.. Hərəkət. Yuarı atılan topun t saniədə qaldığı h h (t) h (t) = 5t + 0t + hündürlüünü (metrlə) h (t) = 5t + 0t + düsturu ilə (; ) 0 tapmaq olar. 8 a) Top 6 m hündürlüə neçə saniədən sonra çatacaq? 6 b) Top maksimum hansı hündürlüə qalacaq? c) Top neçə saniə havada qalacaq? 0 Həlli: 8 a) topun 6 m hündürlüə neçə saniədən sonra qaldığını 6 5t + 0t = 6 tənliindən tapaq : 5t + 0t 5 = 0 t t + = t Buradan isə t =, t = alarıq. Fiziki olaraq bu onu göstərir ki, top atıldıqdan sonra zamanın iki anında erdən 6 m məsafədə olur. Birinci dəfə uarı atıldıqdan sonra t = saniədə (top uarı qalarkən), ikinci dəfə isə maksimum hündürlüə çatıb geriə qaıdarkən (t = saniədə). Başqa sözlə bu nöqtələr topun traektoriası olan parabolanın üzərində simmetrik nöqtələrdir : (; 6) və (; 6) b) Topun zamandan asılı olaraq h hündürlüünə qalma düsturu kvadratik funksia olduğundan onu tam kvadrat şəklində göstərək: h = 5t +0t + = 5(t t 0,) = 5 ((t ) 0,)) = 5(t ) + h (t) = 5 (t ) + kvadratik funksiası ƏBQ-ə malikdir. Bu qiməti o, zamanın t = san qimətində alır və h() =. Yəni, top maksimum metr hündürlüə qala bilər. c) Topun neçə saniə havada qaldığını təin etmək üçün h (t) = 0 tənliini həll edək. 5t + 0t += 0 0 ± ± 0, t, = 5 5 Qed edək ki, t = 0 anında top erdən m məsafədə atıldığı üçün t kökü məsələnin həllinə aid deil. t,0 saniə isə topun erə çatdığı anı göstərir. Yəni, top təqribən,0 saniə havada qalmışdır. D.5. Konsertə satılan biletlərin saı (N) ilə biletlərin satıldığı günlər (n) arasında asılılıq N(n) = 0n + 60n + 00 kimidir. Neçənci gün ən ço bilet satılmışdır? Həmin gün satılan biletlərin saını tapın. Həlli: N(n) = 0(n 6n 0) = 0[(n ) 9] = 0(n ) + 90 = = 90 0(n ) şəklində azmaqla alırıq ki, - cü gün (n = ) ən ço bilet satılıb və həmin gün satılan biletlərin saı 90 olmuşdur. 76

77 D.6. Körpünü salaan tros məftilin iki dirək arasındakı parabola formalı hissəsinin körpünün uzunluğu bou bərkitmə nöqtələrinin dəişməsi ilə hündürlüünün dəişməsi arasındakı əlaqə = funksiası ilə müəən edilir. Tros körpünün arısını göstərən nöqtədə körpünün üzərindədir. = Körpü su səthindən neçə metr hündürlükdədir? Tam kvadrat aırmaqla = kvadratik funksiasının təpə nöqtəsinin koordinatlarını tapaq: = = 0 ( ) = = ( ) = (( 0) ) = 0 0 = ( 0) (( 0) + 800) = 0 Kvadratik funksianın ən kiçik qiməti 0-ə bərabərdir. Bu qiməti = 0 olduqda alır. Yəni, körpü su səthindən 0 m hündürlükdədir. D.7. Həlli: ) Tağın ölçülərinə (metrlə) uğun kvadratik funksianı = a +, şəklində azaq. =, (m) olduqda = 0 olur: 0 =,96a +,. Buradan a = 8 tapılır. Deməli, atarılan funksia = 8 7 +, 7 şəklindədir. ) a) Tağın bir tərəfindən 70 sm məsafədə olan nöqtə simmetria oundan (baılan halda oundan), 0,7 = 0,7 (m) 80 sm məsafədə erləşir. Uğun nöqtədə tağın hündürlüünü tapmaq üçün = 8 +, 7 funksiasının = 0,7 nöqtəsində qimətini hesablaaq: = 8 7 0,7 +, =,68 (m). D.8. Olimpiada ənənəsi. 80 sm Şəkildəki ölçülərə görə güzgünün o kəsiindən aranan parabolanı göstərən funksianı azın. Koordinat başlanğıcını 0 sm çökük güzgünün ortasında, ən dərində erləşən nöqtədə götürün. 0 Şəkildən göründüü kimi, güzgünün eninə kəsiindən aranan parabolanı göstərən funksia = a (a > 0) şəklindədir. = ± 0 olduqda = 0 olduğu üçün 0 = a (± 0) a = 0 və = 0 Koordinat başlanğıcını güzgünün kənarında erləşdirsək (qulpun bərkildii alarıq. nöqtədə), parabolanı göstərən funksia necə dəişər? Parabolanın forması da dəişərmi? Asanlıqla görmək olar ki, koordinat başlanğıcını güzgünün sol qulpuna köçürsək, = 0 funksiası = 0 ( 0) 0 funksiasına, sağ qulpuna köçürsək, = 0 ( + 0) 0 funksiasına çevrilər. Bu funksiaların qrafiklərindən biri digərindən koordinat oları bounca sürüşmə ilə alındığı üçün parabolanın forması dəişmir. 77 sm

78 Dərs 5-7. Dərslik səh = funksiası və onun qrafiki. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat = funksiasının qrafikindən istifadə etməklə, =, = + və = + funksialarının qrafikini qurur. = funksiasının qrafikindən istifadə etməklə = + və = + funksialarının qrafiklərini qurur. Kvadratik funksianın qurulma qadasına analoji olaraq, = funksiasının qra fi - kin dən istifadə etməklə =, = + və = + funksialarının qrafikini, həmçinin = + və = + funksialarının qrafiklərini qurmaq olar. Dərslikdə verilmiş qrafiki qurma addımları araşdırılır. Modullu funksianın əsas üsusiətləri ümumiləşdirilir. Modullu funksianın qrafiki V şəkilli qrafik də ad - lan dı rılır. Modullu funksiaların qrafiklərini qurmaq üçün aşağıda göstərilən internet ünvanlarında qraf kal kulatordan istifadə etmək olar Basic Math Pre-Algebra Algebra Geometr Trigonometr Precalculus Calculus Statistic Finite Math Linear Algebra Chemistr > < = e θ ( ) + -0 { } -8-6 ( ) f() f(){ log In log sin cos tan sec scs cot

79 = k + b funksianın qrafikini qurmağın bir üsulu da uğun ətti funksianın qrafikindən istifadə etməkdir. Məsələn, = funksiasının qrafikini qurmaq üçün = funksiasının qrafikindən istifadə etmək olar. Bunun üçün = funksiasının absis oun dan aşağıda erləşən hissəsinin 6 O ouna nəzərən əksetməsini qurmaq ki faətdir. = Bu qrafikləri nəzərdən keçirək. (0, ). ( ; 0) nöqtəsi həm = funk sia sının, həm də = funksiasının qrafikinə aiddir.. = funksianın təin oblastı bütün həqiqi ədədlər çoluğudur. { R}. Funksianın qimətlər çoluğu [0; + ) olur, çünki -in istənilən qimətində 0.. = funksianın qrafikini iki müstəqil ətti funksianın qrafikinə aırmaq olar: ) olduqda = funksiasının; ) olduqda isə = ( ) və a = + funksiasının qrafikinə. Aşağıdakı funksiaları = funksiasının verilən hissələri kimi göstərmək olar. =,,5 = ( ),,5 ) Qimətlər cədvəli = k + b funksiasına aiddir. Cədvəldəki qimətləri = k + b üçün dəişdirin. ) = k + b funksiasının qrafikinin O ou ilə kəsişməsində =, O ou ilə kəsişməsində isə = olarsa, = k + b funksiasının qrafikinin və ou ilə kəsişmə nöq tələri üçün uğun qimətləri azın (0, ) = 6 Aşağıdakı tip tapşırıqların erinə etirilməsi tövsiə olunur. ( ), 0 6 =k+b 0 5 a) b) ) = k + b funksiasının qrafikini dəftərinizə köçürün. Eni koordinat = k + b = k + b müstəvisində = k + b funk sia sı nın qrafikini qurun. 0 0

80 ) = k + b funksiasının qra fi - kinə uğun iki mütəlif ətti funksianı azın.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli: a) b) = = D.8. (səh. 69) Həlli: Topun qaldığı hündürlüün t uçuş zamanından asılılığını göstərən h(t) = 5t + 0t funksiasını tam kvadratın arılışı ilə azaq: h(t) = 5t + 0t = 5(t t) = 5(t t + ) + 0 = 5(t ) + 0 Bu azılışdan adın olur ki, topun qaldığı ən üksək hündürlük 0 m-dir və top bu hündürlüə t = san anında çatır. D.0. (səh. 69) Biznes. Maksimum gəlir. Araşdırmalar nəşriatın gəlirinin G () = funksiası ilə dəişdiini aşkar etdi. Burada satılan kitabların saını (minlərlə), G () isə uğun gəliri (min manatla) göstərir. a) Nəşriat neçə kitabın satışından min manat gəlir əldə etmişdir? b) Şirkət maksimum gəlirini neçə kitab satmaqla əldə etmişdir? c) a bəndində aldığınız iki cavabı necə izah edərdiniz? a) Şirkət min manatı neçə kitab satmaqla əldə etmişdir? -sualına cavab vermək üçün = tənliini həll edək. Buradan = 0 və = 8, = Yəni, 8 min və min kitab satmaqla b) Şirkətin kitab satışından maksimum gəlirini hesablamaq üçün G() = funksiasından tam kvadrat aıraq: = ( 8 0) = (( 0) 8 00) = ( 0) Yəni, şirkət 0 min kitab satdığı halda maksimum gəlir olaraq 50 min manat qazanmışdır. c) a) bəndində şirkət min manat gəliri həm 8 min, həm də min kitab satmaqla əldə edir. Bunu qrafikdən də görmək olur ki, kitablar əvvəlcə daha üksək qimətə satılmış və saı artdığında qiməti endirilmişdir. Belə ki, 8 min kitab əvvəlcə manata satılıb min manat gəlir gətirmişdirsə, sonra min kitab manata satılaraq, həmin məbləğə çatmışdır G ()

81 Adı Soadı İşçi vərəq 8 Modullu funksiaların qrafiklərini qurun Tari = funksiasının qrafikindən istifadə etməklə, =, = + və = + funksialarının qrafikini qurur. f() = f() = f() = f() = f() = f() =

82 Adı Soadı. Hansı funksia kvadrat funksia deil? a) f() = ( + ) 7 b) f() = ( )( + 5) c) f() = 5 0 d) f() = ( 9) + 6. Qrafikə uğun kvadratik funksia hansıdır? a) = ( + ) + b) = ( ) + c) = ( + ) d) = ( ) o - 5. Funksiaa uğun qrafiki seçin. = + a və a < 0 7. (; ) nöqtəsi kvadratik funksianın təpə nöqtəsidir. (8; 6) və (; 0) nöqtələri də fun k - sianın qrafiki üzərindədir. Bu funk sianın qrafiki üzərində olan daha iki nöqtənin koordinatlarını azmaqla funksianın qrafikini tamamlaın. 8. = 6 ( 6) + 6 funksiasının qimətlər çoluğunu tapın. a) ( ;6] b) [6; + ) c) ( ; 6] d) [ 6; + ) a) = ( ) b) = ( ) 9 c) = ( ) d) = ( ) 6 a) b) c) d) o o İşçi vərəq 9 o. = 5 funksiası hansı kvadratik funksiaa ekvivalentdir? 6. a və q-nün hansı qimətlərində = a( p) + q funksiasının absis ou ilə ortaq nöqtəsi odur? a) a > 0 və q > 0 b) a < 0 və q > 0 c) a > 0 və q = 0 f() d) a < 0 və q = (, 0) (, ) -0 Tari = funksiasının qrafikindən istifadə etməklə, = a( m), = a +n və = a( m) + n funksialarının qrafikini qurur. (8, 6) o

83 . bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə mearları cədvəli Mearlar Qedlər Kvadratik funksianın qrafikini qimətlər cədvəli tərtib etməklə qurur. Kvadratik funksianın qrafikini = funksi a sının qrafikindən istifadə etməklə qurur. Kvadratik funksianın qrafikini = a( m) + n və = a( p)( q) ifadə formalarına görə qurur. Funksianın sıfırlarını müəən edir. 5 Kvadratik funksianın tətbiqi ilə məsələlər həll edir. 6 = funksiasının qrafikini qurur. 7 = a m + n şəklində funksiaların qra fikini qurur. 8 Kvadratik funksianın ümumi = a + b + c şəklinə uğun qrafik qurur və araşdırır. Dərs 8.. bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları. = + 6 parabolası A (; b) nöqtəsindən keçirsə, b-ni tapın. A) B) 6 C) D) 5. f () = + p + q funksiası üçün f () = olarsa, p + q cəmini tapın. A) B) C) 0 D). = + 6 funksiasının qimətlər çoluğunu tapın. A) [0 ; + ) B) [ ; + ) C) [ ; + ) D) [6 ; + ). Şəkildə verilmiş parabolanın tənlii hansıdır? A) = ( + ) + B) = ( + ) ( ) C) = ( + ) D) = ( + ) 5. Hansı = ( ) funksiasının qrafikidir A (; ) nöqtəsi = + + c parabolasının üzərindədir. Bu parabolanın təpə nöqtəsini göstərin. A) ( ; 6) B) ( ; ) C) ( ; 6) D) ( ; ) 0

84 7. = + b + 6 parabolasının təpə nöqtəsinin absisi olarsa, b-ni tapın. A) B) C) D) 8. = ( )( + ) parabolası O ounu hansı nöqtədə kəsir? A) (0; ) B) (0; ) C) (0; 6) D) ( 6; 0) 9. = funksiasının qrafikini qurun. 0. Şəkildə verilmiş = a + b + c funksiasının qrafikinə görə a, b, c əmsallarının işarələrini müəən edin. 0. v0 = m/san başlanğıc sürətlə uarı atılmış topun er səthindən h (m-lə) məsafəsinin t (san) uçuş müddətindən asılılığı h = t 5t düsturu ilə verilmişdir. a) topun qaldığı ən üksək hündürlüü tapın; b) atıldıqdan neçə saniə sonra top erə düşəcəkdir?. Uğunluğu müəən edin. ) = + A) ƏKQ = ) = B) ƏBQ = ) = ( ) + C) ƏKQ = D) ƏKQ -ni = olduqda alır.. c-nin hansı qimətində = + c funksiasının ən kiçik qiməti 5-ə bərabərdir?. Verilmiş qrafikə görə kvadratik funksianın düsturunu azın və ən kiçik qimətini tapın = parabolasını üfüqi istiqamətdə vahid sağa, şaquli istiqamətdə vahid aşağı sürüşdürdükdə hansı kvadratik funksianın qrafiki alınar? 6. Tərəfləri sm və 5 sm olan düzbucaqlı verilmişdir. Böük tərəfi a sm azaldıb, kiçik tərəfi a sm artırsaq, a-nın hansı qimətində alınmış düzbucaqlının sahəsi ən böük olar? 8

85 Dərs planı nümunəsi Çevrənin tənlii -ci saat. Dərslik səh. 7, 75 Məzmun standartı.... Verilmiş iki nöqtə arasındakı məsafə düsturunu bilir, mərkəzinin koordinatlarına və radiusuna görə çevrənin tənliini azır. Formalaşdırılması nəzərdə tutulan şagird bacarıqları. Şagird: mərkəz nöqtəsinin koordinatlarına və radiusa görə çevrənin tənliini azır; mərkəz nöqtəsi və çevrə üzərindəki nöqtəə görə çevrənin tənliini azır; diametrin uc nöqtələrinin koordinatlarına görə çevrənin tənliini azır; çevrənin tənliinə görə çevrəni qurur; verilən tənlii çevrənin ( a) + ( b) = r tənlii şəklinə gətirir; Motivasia. Siz düz əttin = k + b şəklində verilmiş tənliinə görə onun qrafikini qurmaq üçün hansı nöqtələrdən istifadə edirsiniz? Şagirdlərin fikirləri dinlənilir. İki nöqtənin, məsələn, O və O oları ilə kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını müəən etməklə istənilən düz ətti qurmaq olar. Bəs, sizcə, koordinat müstəvisində hansı nöqtələr verilərsə, istənilən çevrəni qurmaq mümkün olar? Fikirlər dinlənilir. Müzakirələrlə çevrənin mərkəz nöqtəsinin koordinatları və çevrə üzərindəki hər hansı nöqtənin koordinatları məlum olarsa, çevrəni qurmaq mümkündürmü fikri şagirdlərlə birlikdə araşdırılır. - dəq Örənmə. (0;0) və hər hansı (,) nöqtəsinə görə iki nöqtə arasındakı məsafə düsturunu tətbiq etməklə çevrənin radiusunu tapma qadası şagirdlərlə birlikdə müzakirələrlə müəən edilir. Mərkəzi koordinat başlanğıcında olan çevrənin tənlii + = r kimi müəən edilir. Mərkəzi koordinat başlanğıcında olan çevrəni qurma qadası Nümunə -də göstərilmişdir. Başlanğıcı koordinat başlanğıcında olmaan çevrəni qurma bacarıqları aşağıdakı nümunə üzərində erinə etirilə bilər. ( a) + ( b) = r tənlii ilə verilmiş çevrənin mərkəzinin koordinatlarını və radiusunu tapma və çevrəni qurma bacarıqlarına diqqət edilir. Nümunə. ( ) + ( + ) = 6. Müzakirə: ( ) azılışından mərkəz nöqtəsinin absisinin müsbət olduğu, ( + ) azılışından isə mərkəz nöqtəsinin ordinatının mənfi olduğu alınır. Koordinatların işarəsində şagirdlərin səhv etmə ehtimalı çodur və bu məqama diqqət edilməsi tövsiə edilir. Bir neçə nümunə üzərində şagirdlərin cavabları olanılır. Mərkəz nöqtəsindən 6 = 6 Bu nöqtədən keçən Mərkəz nöqtəsi qed edilir. vahid qədər sağa, sola, uarı çevrə çəkilir. və aşağı olmaqla nöqtə qed edilir. Bu nümunəni hər bir şagirdin dəftərində erinə etirməsi tövsiə edilir. Müşahidə altında olan şagirdlərə diqqət edilir. 7-8 dəq D., D., D., D., D.5 tapşırıqlarının hər birindən bir bənd olmaqla sinifdə fərdi iş olaraq ümumsinif müzakirələri ilə erinə etirilməsi tövsiə edilir. Qalan bəndlər ev tapşırığı kimi verilə bilər. 6-7 dəq 85

86 D.7. tapşırığının müzakirəsi. a) bəndini erinə etirmək üçün hansı düsturlardan istifadə edilə bilər? Başqa sözlə, diametrin uc nöqtələrinin koordinatları məlum olduqda biz çevrənin tənliini necə tapa bilərik? Fikirlər dinlənilir. Şagirdlər: - parçanın orta nöqtəsinin koordinatları düsturundan istifadə etməklə çevrənin mərkəzinin koordinatlarını ( + ; + ) - iki nöqtə arasındakı məsafə düsturundan istifadə etməklə radiusu tapmağın mümkün olduğunu aşkar edirlər. r = ( ) + ( ) - hər hansı nöqtənin bu çevrənin üzərində olması şərtinə (radius məlumdur) və koordinatına görə ( a) + ( b) = r düsturundan istifadə etməklə tələb olunan tənlii azmaq olar. 6-7 dəq Diferensial anaşma. Zəif şagirdlər. Dərs zamanı müşahidə altında olan zəif şagirdlər diqqət mərkəzində salanılır və əlavə suallar önəldilir. Məsələn, şəkildə verilmiş iki çevrənin radiusları bərabərdir, lakin mərkəz nöqtələrinin koordinatları mütəlifdir. Bu çevrələrin tənliklərini dəişdirirmi? Qruplarla iş. Şagirdlər qruplara bölünürlər. Hər bir qrup üzvünə aşağıdakı kimi tənliklər və tənliklərin təsnifatı cədvəli verilir. Hər sütunda bir ana boş qalır ki, bu anaa uğun tənlii özləri fikirləşib azmalıdırlar ( tənlik verilir, 6 ana var). Tənliklər. ( )² + ( )² = 5. ( + )² + ( )² 00 = 0. ² + ( + )² = 5. ( )² + ( )² = 5 5. ( + )² + ( )² = 0 6. ² + ( + )² = ( )² + ( )² + 5 = 5 8. ( )² + ( + )² = ( + )² + ² = 0 0. ( )² + ( + )² = 0. ( )² + ( + )² + = 9. ( + )² + ( )² = 5 Radius 5 Radius 0 Radius 5 Mərkəz (;) Mərkəz (; ) Mərkəz (; ) Mərkəz ( ; ) Radius 0 Qruplarla iş zamanı qrup üzvləri və qruplararası informasia mübadiləsinin aparılmasına diqqət etirilir. Proektorla aşağıdakı məzmunda informasia göstərilə bilər. İnformasia mübadiləsi haqqında - cavablarını öz qrupundakı oldaşlarının cavabları ilə müqaisə et; - fərqlilik varsa, öz həllini izah et, oldaşının həll izahına qulaq as; - işini digər qruplardakı şağırdlərdən birinin işi ilə müqaisə et; - fərqlilik varsa, müzakirə edin. Qimətləndirmə. Dərs bou müşahidə olu ilə formativ qimətləndirmə aparılır. İşçi vərəq N örənmə səviəsini formativ qimətləndirmək üçün istifadə edilə bilər. 75-ci səhifədə verilmiş qalan tapşırıqlar ev tapşırığı kimi verilə bilər

87 . Çevrənin tənlii. 8-9 saat Məzmun standartı... Verilmiş iki nöqtə arasındakı məsafə düsturunu bilir, mərkəzinin koordinatlarına və radiusuna görə çevrənin tənliini azır.... Praktik ölçmələrdə alınan nəticələrin həqiqətə uğunluğunu olaır. Formalaşdırılan şagird bacarıqları birölçülü (ədəd ou) və ikiölçülü koordinat sistemlərində iki nöqtə arasındakı məsafəni hesablaır; parçanın orta nöqtəsini verilən koordinatlara görə tapır; iki nöqtə arasındakı məsafəni tapmağa aid məsələləri həll edir; mütəlif məlumatlar əsasında çevrənin tənliini müəən edir; çevrənin tənliinin tətbiqi ilə məsələlər həll edir; müəən miqasla çəkilmiş plan üzrə hesablamalar aparır, ölçüləri bu miqasa uğun real həatdakı ölçülərə uğunlaşdırır; Çevrənin mərkəzinin tapılmasına aid real həati situasiaa aid məsələləri həll edir; çevrə sektorunun və seqmentinin sahəsini hesablaır. Riazi lüğət iki nöqtə arasındakı məsafə parçanın orta nöqtəsi parçanın orta perpendikuları çevrənin tənlii sektor seqment Əlavə resurslar İşçi vərəqlər İnternet ünvanlar 87 Dərs 9-5. Dərslik səh İki nöqtə arasındakı məsafə. saat birölçülü (ədəd ou) və iki - ölçülü koordinat sistemlərində iki nöqtə arasındakı məsafəni hesab la ır; parçanın orta nöqtəsini verilən koordinatlara görə tapır; iki nöqtə arasındakı məsafəni tap - mağa aid məsələləri həll edir. Şagirdlər parçanın orta nöqtəsini həm birölçülü, həm də ikiölçülü koordinat sistemində tapmağı artıq örənmişlər. Burada iki nöqtə arasındakı məsafəni tapma tapşırıqlarında tətbiqi üçün bir daha nəzərdən keçirilmişdir. Parçanın orta nöqtəsi M nöqtəsi AB parçasını iki konqruent parçaa aırır. AM MB, deməli, AM = MB CD parçası AB parçasını arıa bölən düz ətdir. AM MB, deməli, AM = MB M ( ) + ; + İki nöqtə arasındakı məsafə AB = ( ) + ( )

88 Şagirdlərlə birlikdə müzakirələrlə istifadə edilən düsturlar azılır, şəkillər çəkilir. Dərslikdə verilmiş tapşırıqlar erinə etirilir. Bir ço tapşırıqlar real həati situasianı əhatə etməklə müəən nöqtədən istiqamət və məsafə qed olunduğu məlumatları əhatə edir. Bu tapşırıqlar şagirdin fəza təsəvvürlərini formalaşdırma baımından əhəmiətlidir. İki nöqtə arasındakı məsafə düsturlarının tətbiqi ilə həll edilən tapşırıqları erinə etirərkən aşağıdakı bacarıqlara diqqət edilir. - Nöqtələr koordinat müstəvisində erləşdirilir, məsafə damaların saına görə təmin edilir. Sonra isə düsturun köməilə hesablanılır. Nəticələr müqaisə edilir. - Hesablamalar zamanı adətən tam kvadratı olmaan ədədlərdən istifadə edildiindən hesablamanın hansı dəqiqliklə aparıldığı əvvəlcədən elan edilir. -İki nöqtə arasındakı məsafə düsturunun tətbiqi ilə planlar üzərində müəən miqasla aparılan tapşırıqların erinə etirilməsinə diqqət edilir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli: D.6. b) RT parçasının T ucunun koordinatları ( ; ) olarsa, parçanın orta nöqtəsinin koordinatları düsturuna görə { S = R + { + T = { = R + T S = = 6 + = R ( ; 6) və T ( ; ) nöqtələri arasındakı məsafəni hesablamaqla RT parçasının uzunluğunu tapaq: RT = ( ) + ( 6) = 0 D.8. ) AB tərəfinin orta nöqtəsinin koordinatlarını tapaq: A + B + A + B + 0 ) CM parçasının uzunluğu: CM = (7 ) + ( 7) = 5 D.0. a) A ( ; ), B ( ; ), C (5 ; 0) AB = ( ) + ( ) = BC = (5 ) + (0 ) = 8 AC = (5 ) + (0 ) = 0 ( ) + ( 8) = ( 0) olduğundan AB + BC = AC bərabərliinə və Pifaqor teoreminin tərsi olan teoremə görə hökm etmək olar ki, ΔABC düzbucaqlı üçbucaqdır. D.. Kiçik laihə işi ümumiləşdirici tapşırıq olaraq şagirdin düz əttin tənlii, bucaq əmsalı, perpendikular düz ətlərin bucaq əmsalına görə müəən edilməsi, m = = = m = = = 7 çevrənin mərkəzinin müəən edilməsi kimi ço geniş riazi biliklərin tətbiqini tələb edir. Şagirdlərin riazi lüğəti tərtib etmələri onlara məlumatı müəənetmə, sistemləşdirmə, təqdimetmə kimi koqnitiv bacarıqların formalaşmasına idmət edir. Əvvəlcə bu lüğətin siahısı tərtib edilir. Bu siahını çevrənin elementləri- radius, mərkəz, diametr kimi sadə anlaışlarla anaşı, istifadə edilmiş teoremləri də azmaqla genişləndirilməsi tövsiə edilir. Lüğətin tərtib edilməsi üçün GOOGLE-da MATH Glossar, MATH DEFİNİTİON and EXAMPLE kimi açar sözləri atarış verməklə weblinklər seçmək olar. Bu tapşırıqlar şagirdin ingilis dili söz ehtiatını artırmaqla bu mənbələrlə işləmə bacarıqlarını inkişaf etdirir. Nümunə üçün 88

89 bir neçə link qed edilmişdir Boşqab parçası koordinat sistemində erləşdirilir və dairəvi hissənin üzərində üç nöqtə (A, O, B nöqtələri) qed edilir.. Çevrənin diametri müəən edilir. Bunun üçün çevrənin mərkəzinin koordinatları müəən edilməlidir: a) AO və OB parçalarının orta perpendikuları çəkilir. b) Orta perpendikularları üzərində salaan düz ətlərin tənlikləri müəən edilir. OA parçasının orta perpendikularını üzərində salaan düz əttin tənlii: M orta nöqtənin koordinatları: M ( ( = ( ; ) ; ) = ; ) = = 89 A O C B A( ; ) B(; ) M (;) N (;) O (0; 0) AO parçasını üzərində salaan düz əttin k bucaq əmsalı müəən edilir. 0 Orta perpendikular bu düz ətlə qarşılıqlı k = 0 ( ) perpendikular olduğundan onun bucaq əmsalı k = olacaq. Düz əttin tənlii = ( ( )); = + 5 OB orta perpendikularını üzərində salaan düz əttin tənlii: N orta nöqtənin koordinatları: N ( ( OB-dən keçən düz əttin k bucaq əmsalı müəən edilir. 0 k = 0 Orta perpendikuları üzərində salaan düz əttin bucaq əmsalı k = olacaq. düz əttin tənlii = ( ); = + 8,5 = + 5 Çevrənin mərkəzi hər iki düz əttin üzərindədir. Deməli, = + 8,5 tənliklər sisteminin həlli bu çevrənin mərkəzinin koordinatlarıdır: 7 = ; = C ( ; ) 6 6 C nöqtəsindən qed edilmiş nöqtələrin hər birinə qədər olan məsafə bu çevrənin radiusudur (0 6 ) + (0 ) = 6, (sm) Boşqabın diametri təminən sm-dir. ) = ) = (; ) ; ; = =

90 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Birölçülü (ədəd ou) və iki ölçülü koordinat sistemlərində iki nöqtə arasındakı məsafəni hesab la ır ) (; 5) və (8; 5) nöqtələrini koordinat müstəvisində erləşdirin. Bu nöqtələr arasındakı məsafəni hesablaın. ) Koordinatları verilmiş nöqtələrin düzbucaqlı üçbucağın təpə nöqtələri olubolmadığını olaın. ) (; 0), (; ), ( ; 5) ) (5; ), (; ), ( ; ) ) (; 5), (; ), ( ; ) ) ( ; ), ( ; ), ( 7; ) ) Verilən nöqtələr arasındakı məsafəni və uğun parçanın orta nöqtəsinin koordinatlarını tapın. a) b) c) ) M nöqtəsi AB parçasının orta nöqtəsidir. AM = və AB = MB parçasının uzun luğunu tapın. 90

91 Dərs Dərslik səh Çevrənin tənlii. 5 saat Mərkəz nöqtəsinin koordinatına və radiusa görə çevrənin tənliini azır; mərkəz nöqtəsi və çevrə üzərindəki nöqtəə görə çevrənin tənliini azır; diametrin uc nöqtələrinin koordinatına görə çevrənin tənliini azır; çevrə üzərində erləşən üç nöqtənin koordinatlarına görə çevrənin tənliini azır; verilən tənlii çevrənin ( a) + ( b) = r tənlii şəklinə gətirir; çevrənin tənliinə görə çevrəni qurur; verilən tənliklər sisteminin həllinə görə düz ətt və çevrənin qarşılıqlı vəziətini müəən edir: düz ətt çevrənin tounanıdır, kəsənidir və a heç biri deil. Mərkəzi koordinat başlanğıcında olan r radiuslu çevrənin tənlii: + = r Mərkəzi (a, b) nöqtəsində olan r radiuslu çevrənin tənlii: ( a) + ( b) = r C(0,0) C(a,b) Dərslikdə verilmiş örənmə bloku və tapşırıqlar müzakirələrlə izah edilir, verilən tapşırıqlar erinə etirilir. D. tapşırığı real həati situasianı əhatə edən məsələdir. Məsələnin şərtində verilənlərin və qoulan problem şagirdlər tərəfindən müstəqil olaraq müəən edilir. Problemi həll etmək üçün hansı fiqurun həndəsi assəsindən istifadə etmək olar? kimi suallar ətrafında müzakirələr aparılır.? D.. b) + = çevrəsinə T ( ; 5) nöqtəsində çəkilmiş tounanın tənliini azaq : Həlli: ) Çevrənin mərkəzi O (0; 0) nöqtəsindədir. OT radiusunun üzərində salaan düz əttin bucaq əmsalı k = = = 0 Tounan, tounma nöqtəsinə çəkilmiş radiusa perpendikular olduğundan, tounanın bucaq əmsalı k 5 = münasibətindən tapılır: k = 5 Bucaq əmsalı k = olan və T ( ; 5) nöqtəsindən keçən düz əttin tənlii 5 ( 5) = ( ( )) = Cavab: Çevrəə verilmiş nöqtədə çəkilmiş tounanın tənlii: = 5 5 9

92 D.7. a) + = 6 çevrəsi ilə = 6 düz əttinin ortaq nöqtələrinin saını tapmaq üçün + = 6 tənliində = 6 azaq. Buradan = 0 tapılır, əni verilmiş çevrənin düz ətlə bir ortaq nöqtəsi var: (0; 6) Düz ətlə çevrənin bir ortaq nöqtəsi olduğundan = 6 düz ətti + = 6 çevrəsinə tounandır. D.0. b) Diametrin uc nöqtələri (a; b) və (c; d) olan çevrənin tənliini azaq. ) Çevrənin mərkəzinin koordinatları a + c m = a + c b + d b + d M ( ; ) m = ) Çevrənin radiusunu tapaq. a + c b + d a c b d R = (a ) + (b ) = ( ) + ( ) = (a c) + (b d) a + c b + d (a c) + (b d) ) Çevrənin tənlii: ( ) + ( ) = ) Tənlii aşağıdakı şəkildə azaq : a + c a c b + d b d ( ) ( ) + ( ) ( ) = 0 a + c + a c a + c a c b + d + ) b d b + d b d ) = 0 ) + ) Sadələşdirmədən sonra ( c)( a) + ( d)( b) = 0 alırıq. ) ) çevrə sektorunun və seqmentinin sahəsini hesablaır m Sektorun sahəsi: SABC = r 60 Seqmentin sahəsi: SseqmentABC = SsektorABC S ABC ) Səh 79- da verilmiş praktik məşğələ erinə etirilir. 8- ci sinifdən məlum olan bucağın sinusu, kosinusu anlaışları kor bucaq üçün genişləndirilir, qonşu bucaqların sinuslarının bərabərlii, kosinuslarının isə əks ədədlər olması diqqətə çatdırılır. D.. araşdırma tapşırığının hər bir şagird tərəfindən erinə etirilməsi izlənilir. K D.7. Həlli: ABC-də A təpəsindən hündürlük çəkək: AK CK. AB BAK = 0º olduğundan KB = = 7 B olur. Onda KC = KB + BC = + 8 =. Pifaqor teoremini tətbiq A C edərək ABK-dan AK = 7 tapılır. AKC-dən Pifaqor teoreminə görə: AC = KC + AK = ( ) + ( 7 ) 59 7 = + = 69 AK Buradan AC =. AKC-dən iti bucağın sinusunun tərifinə görə sin C = AC = 7 6 Dərs 5-5. Dərslik səh. 8, 8 Sektor və seqment. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat 9 ) A r B A B 0º m Sektor ABC C C Seqment ABC

93 Qed edilməlidir ki, vətər dairəni iki seqmentə aırır. Böük qövsə uğun seqmentin sahəsini hesablaarkən uğun sektorun sahəsinə ABC -nin sahəsi əlavə edilməlidir. Sektor və seqmentin sahəsini hesablama məsələlərinin çətinlik dərəcəsi bir qədər üksəkdir. Məsələlər şəkil üzərində tələb olunan sahəni rəngləməklə verilmişdir. Rənglənmiş sahənin, tapılması mümkün olan hansı sahələrdən istifadə etməklə hesablandığına aid şifahi müzakirələrin aparılması tövsiə edilir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli: D.. a) ) Şəkildəki sektorun sahəsi dairənin sahəsinin Ssektor = = ) S GHJ = = ) Sseqment = Ssektor S = 9 -nə bərabərdir. D.5. Şəkildəki ştrilənmiş hissənin sahəsi G S = Ssektor + S GHJ düsturu ilə tapılır. Verilənlərə görə sektorun sahəsi bütöv 5 sm dairənin sahəsinin hissəsini təşkil edir. J H Ssektor= 5 75 = GHJ düzbucaqlı üçbucaqdır: 5 S GHJ= 5 5= =,5 Ştrilənmiş hissənin sahəsi: 75 S' = +,5 B 0º 0º D.6. Şərtə görə çevrənin uzunluğu C = mm olduğundan, O C r =, r = 6 mm A Ştrilənmiş seqmentlərdən birinin sahəsini tapaq. S = Sdairə S AOB = sin0 º = 9 mm Ştrilənmiş sahə S = ( 9 ) B 5 sm D.0.a) ABC düzbucaqlı üçbucaqdır. S ABC = 5 5 =,5 A C AOC-dən r + r = 5, r =,5 olduğundan, O Dairənin sahəsi Sd =,5. Onda rəngli sahə S =,5,5 D.. Bir rəfin sahəsini hesablaaq. S = 0 = 00 sm Onda iki rəfi kağızla örtmək üçün dəfə ço, 00 sm, əni təqribən 756 sm kağız lazım gələr. a) G J m H

94 ) Tənliklərinə görə çevrələrin mərkəzini və radiusunu müəən edin. ) + = 6 ) ( ) + ( 7) = 9 ) ( + ) + ( + 6) = 6 ) ( + ) + ( ) = ) Verilən məlumatlar əsasında çevrənin tənliini azın. a) Mərkəz: (; ), radius: İşçi vərəq Adı Soadı Tari Mərkəz nöqtəsinin koordinatına və radiusa görə çevrənin tənliini azır. Mərkəz nöqtəsi və çevrə üzərindəki nöqtəə görə çevrənin tənliini azır. b) Mərkəz: ( ; 5), radius: 5 c) Mərkəzi: ( ; ), çevrənin üzərində olan nöqtənin koordinatı (6; ) d) Mərkəzi: (; 5), çevrənin üzərində olan nöqtənin koordinatı: ( 7; ) ) Çevrələrin tənliini azın

95 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Verilən tənlii çevrənin ( a) + ( b) = r tənlii şəklinə gətirir. ) Çevrələrin tənliini ( a) + ( b) = r şəkildə azın. Mərkəzini və radiusunu qed edin. a) = 0 Mərkəzi Radius b) 8 + = Mərkəzi Radius c) = 0 Mərkəzi Radius d) + + = 0 Mərkəzi Radius ) Çevrənin eni vəziətinə uğun tənliini ( a) + ( b) = r şəklində azın. a) = 0 vahid sağa, vahid aşağı sürüşdürülmüşdür. b) = 0 vahid sola, vahid aşağı sürüşdürülmüşdür. c) = 0 vahid uarı sürüşdürülmüşdür. d) + = 8 9 vahid aşağı sürüşdürülmüşdür. 95

96 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Diametrin uc nöqtələrinin koordinatına görə çevrənin tənliini azır. Aşağıda verilən məlumatlara görə çevrələrin tənliklərini azın. a) Diametrinin uc nöqtələri (8; ) və (; ) b) Diametrinin uc nöqtələri (; 8) və (; ) c) Diametrinin uc nöqtələri (7; 7) və (; 9) d) Mərkəz: (0, ) Çevrənin tounanının tənlii: = e) Mərkəz: ( 5; 9) Çevrənin tounanının tənlii: = 7 f) Mərkəz: ( ; ) Çevrənin tounanının tənlii: = 5 96

97 İşçi vərəq 5 Adı Soadı Tari Çevrə üzərində erləşən üç nöqtənin koordinatlarına görə çevrənin tənliini azır. a) Çevrə üzərində erləşən üç nöqtə: P (; ), Q (0; 5) və R ( ; ) b) Çevrə üzərində erləşən üç nöqtə: A ( 8; 5), B ( 7; 6) və C (; 5) c) Çevrə üzərində erləşən üç nöqtə: M ( 7; 6), N (9; 6) və L ( ; ) 97

98 İşçi vərəq 6 Adı Soadı Tari Mərkəzi A olan dairədə rənglənmiş hissənin sahəsini tapın. a) b) c) d) e) f) 98

99 Mearlar Qed. Birölçülü (ədəd ou) və ikiölçülü koordinat sistemlərində iki nöqtə arasındakı məsafəni hesablaır.. Parçanın orta nöqtəsini verilən koordinatlara görə tapır.. İki nöqtə arasındakı məsafəni tapmağa aid məsələləri həll edir.. Mərkəzi koordinat başlanğıcında olan çevrənin tənliini azır. 5. Mərkəzi itiari nöqtədə olan çevrənin tənliini azır. 6. Çevrənin tənliinin tətbiqi ilə məsələlər həll edir. 5.. bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə mearları cədvəli Müəən miqasla çəkilmiş plan üzrə hesablamalar aparır, ölçüləri bu miqasa uğun real həatdakı ölçülərə uğunlaşdırır. 6. Çevrə sektorunun və seqmentinin sahəsini hesablaır. Dərs 6.. bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları. Uğunluğu müəən edin. ) + = 6 A) diametri 8-dir. ) ( 5) + ( + ) = 5 B) mərkəzi (5; ) nöqtəsindədir. C) mərkəzi (; ) nöqtəsindədir. ) ( ) + ( ) = 9 D) radiusu vahiddir.. + = 0 tənlii ilə verilmiş çevrənin radiusunu tapın.. + = 0 düz ətti ilə ( ) + ( + ) = 5 çevrəsinin tounma nöqtəsini tapın.. Koordinat başlanğıcından ( ) + ( + ) = 9 çevrəsinin mərkəzinə qədər məsafəni tapın. 5. Təpə nöqtələri A (; ), B (; 6), C ( 5; ) olan ABC-dən AM medi anının uzunluğunu tapın. 6. (; 6) və B (7; ) nöqtələri arasındakı məsafəni hesablaın. 7. m-in hansı qimətlərində A (5; m) və B (; ) nöqtələri koordinat baş lan ğı - cından eni məsafədədir. 0 º 8. Şəkildə göstərilənlərə görə ştrili hissələrin sahələrini hesablaın. O O nöqtəsi çevrənin mərkəzidir. 9. Diametrin ucları A ( ; 8) və B ( ; ) olan dairənin sahəsini hesablaın. 0. A (; ) və B (6; 8) nöqtələri diametrin uc nöqtələridir. Çevrələrin uzun lu ğu - nu hesablaın.. Təpə nöqtələri A (; ), B (; ), C ( ; ) nöqtələrində erləşən üçbu ca - ğın sahəsini hesablaın.. Koordinat başlanğıcından = 0 çevrəsinə qədər məsa fəni tapın. 99

100 Məzmun standartı Dərs Mövzu Dərs Dərslik saatı səh. 6-6 Yüksək dərəcəli tənliklərin həlli , 66 Rasional tənliklər və məsələ həlli 89, Həati situasi a - a uğun birdə i şənli tənlik və a ikidə i şən - li iki tən liklər sistemi tər tib edir.... Verilmiş təklifi bir də işənli iki ətti bə ra bərsizliklər sistemi şək lində azaraq həll edir.... Cəbri ifadələr üzə rin də enilik çevir - mə ləri aparır.... Biri ətti, digəri iki dərəcəli olan ikidə - i şən li tənliklər siste - mi ni həll edir.... Sınıq ətt və ço - bu caq lı anlaışlarını bilir, düz gün çobucaq - lını təsvir edir.... Verilmiş üçbuca - ğın da ilinə və aricinə çevrə çəkir.... Dairənin dailinə və a ricinə çəkilmiş d ö r d b u c a q l ı n ı n assələrini məsələ həllinə tətbiq edir. -cü bölmə üzrə planlaşdırma cədvəli Modul işarəsi dailində dəişəni olan tənliklər Tənliklər sistemi , 76 Tənliklər sistemi qurmaqla məsələ həlli 0, 0 77, 78 Ümumiləşdirici tapşırıqlar 0, bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları. Yarımillik summativ qimətləndirmə tapşırıqları. 8 Çobucaqlılar , Çobucaqlının daili və arici bucaqları Çevrənin dailinə və aricinə çəkilmiş çobucaqlılar Düzgün çobucaqlının sahəsi Ümumiləşdirici tapşırıqlar 9. bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları Cəmi

101 Tənliklər və tənliklər sistemi Məzmun standartı... Həati situasiaa u - ğun bir də işənli tənlik və a iki də - i şənli iki tənliklər sistemi tərtib edir.... Verilmiş təklifi birdəişənli iki ətti bərabərsizliklər sistemi şək lində azaraq həll edir.... Cəbri ifadələr üzərində enilik çevirmələri aparır.... Biri ətti, digəri ikidərəcəli olan ikidəişənli tənliklər sistemini həll edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları - üksək dərəcəli tənlikləri mütəlif üsullarla həll edir; - rasional tənlikləri həll edir; - dəişəni modul işarəsi dailində olan tənlikləri həll edir; - birdərəcəli və ikidərəcəli tənlik lər - dən ibarət tənliklər sistemini mü - tə lif üsullarla həll edir; - tənliklər və tənliklər sistemi qurmaqla məsələləri həll edir. Lüğət üksək dərəcəli tənliklər rasional tənliklər modullu tənliklər tənliklər sistemi Əlavə resurslar İşçi vərəqlər h t t p s : / / m a t h w a. c o m / g r a p h Mütəlif tənliklər və tənliklər sistemi aşa - ğı dakı istiqamətlərdə qruplaşdırılaraq nə - zər dən keçirilmişdir. Yüksək dərəcəli tənliklərin həlli Vuruqlara aırma üsulu Kvadrat tənliə gətirilən tənliklər Rasional tənliklər Modul işarəsi dailində dəişəni olan tənliklər Tənliklər sistemi Bir tənlii birdərəcəli, digəri ikidərəcəli olan tənliklər sistemi Hər iki tənlii ikidərəcəli olan tənliklər sistemi Tənliklər sistemi qurmaqla məsələ həlli Dərs 6-6. Dərslik səh Yüksək dərəcəli tənliklərin həlli. saat Əvvəlcə üksək dərəcəli tənliklərin vuruqlara aırma və eni dəişən dail etməklə kvadrat tənliə gətirmə üsulu ilə həlli nəzərdən keçirilir. Şagirdlər çohədliləri qruplaşdırmaqla, vu - ruq larına aırma bacarıqlarını tətbiq et mək - lə tapşırıqları erinə etirirlər.? 0 Bəzi tapşırıqların erinə etirilməsi üzrə metodiki tövsiələr. Vuruqlara aırma üsulu. Dərslikdə hər bir mövzu üzrə kifaət qədər misal və məsələ nümunələri verilmişdir. Misal saı kifaət qədər olan tapşırıqların qruplarla iş şəklində erinə etirilməsi tövsiə edilir. Məsələn, D. və a D. tapşırıqları qrup - la erinə etirilə bilər. Bütün qruplara eni misallar məsələn, D. tənlikləri verilir. Qrup üzvləri bölgü aparmaqla onları öz ara - la rında bölüşdürürlər. Sonda hər qrup aldığı cavabları lövhədə azır. Cavablar olanılır.

102 Səhvlər aşkar edilir. Dərsin bu cür təşki li nin məqsədi şagirdlərdə işi təşkiletmə, məlumatı sistemləşdirmə və təşkiletmə kimi aradıcı, idraki bacarıqları, həmçinin kollektivdə iş kimi sosial bacarıqları formalaşdırmağa imkan verir. Odur ki, qrup dailində şagirdlərin işi müstəqil təş kil etmələri tövsiə edilir. Tənlikləri vuruqlarına aırmaqla həll etdikdə əsasən aşağıdakı çevrilmələrdən istifadə edildii diqqətə çatdırılır. Ortaq vuruğu mötərizə aricinə çıarmaqla: Üçhədlidən tam kvadrat aırmaqla: Kvadratlar fərqi düsturlarını tətbiq etməklə: Kubları cəmi düsturlarını tətbiq etməklə: + 8 = ( + )( + ) Kubları fərqi düsturlarını tətbiq etməklə: 8 = ( )( + + ) Kvadrat üçhədlini vuruqlara aırmaqla: Verilən İşçi vərəq N-də verilmiş tapşırıqlarla bu vərdişlər bir daha olanılır və möhkəmləndirilir. D.6. + a = 0 tənliinin bir kökü -ə bərabər olarsa, a-nı tapın və tənlii həll edin. = tənliin kökü olduğu üçün + a = 0 9a = 0 9a + 8 = 0 a = Tapşırığın azılı həllinə keçməzdən əvvəl tapşırıq haqqında ümumi müzakirələr aparmaq olar. Tənliin həqiqi kökü tələbini siz necə başa düşürsünüz? Bu tənliin kökləri irrasional ədəd, məsələn, kimi ədəd ola bilərmi? Müraciət olunan şagird cavab verir (müşahidə altında olan şagird), həqiqi ədədləri tanıma bacarıqları olanılır. Bəs, kökaltında mənfi ədəd ola bilərmi, şagirdlərin fikri dinlənilir. Kökün dərəcəsinin tək və a cüt olduğu hallara aid mülahizələr ürüdülür. a = olduğundan uarıdakı tənlik belə azıla bilər : = = 0 ( ) + ( ) ( ) = 0 ( ) ( + ) = 0 = 0 = + = 0 ( + )( ) = 0 = ; = Bəzi işçi vərəqlərdə çətinlik dərəcəsi artırılmış və koqnitiv bacarıqları əhatə edən tapşırıqlar verilmişdir. İşçi vərəq -də bir qədər mürəkkəb rasional tənlikləri həll etməklə anaşı, kökləri həqiqi ədədlər çoluğunda təsnif etmək də tələb edilir = ( + 5) = ( + 5) 9 = ( + )( ) 5 = ( + )( )

103 D.7. Funksiaların sıfırlarını tapın: Arqumentin funksianı sıfra çevirən qimətlərinə funksianın sıfırları və a kökü deilir. Funksianın sıfırlarını tapmaq üçün f () = 0 tənliini həll etmək lazımdır. a) f () = = 0 tənliində hədləri qruplaşdırmaqla sol tərəfi vuruqlara aıraq ( 5) + 6 ( 5) = 0 və ( 5) ( + 6) = 0. Burada + 6 > 0 olduğundan 5 = 0, = 5 alarıq. 8 ədədinin 5 + = 5 tənliinin kökü olmadığını necə olamaq əlverişlidir? sualı müzakirələrlə araşdırılır və nəticə çıarılır: Tam əmsallı tənliin kökləri varsa, bu köklər sərbəst həddin bölənləri arasında olmalıdır. c) f () = = = 0 ( ) + ( ) 9( ) 8( ) = 0; ( )( ) = 0 = 0 = = 0 ( + ) 9( + ) = 0 ( 9)( + ) = 0 = = = verilmiş funksianın sıfırları: ; ; ; Yeni dəişən dailetmə üsulu. Bu üsulda əsasən qüvvətin assələrinin tətbiq olunduğu diqqət mərkəzində salanılır. Aşağıdakı kimi diaqnostik qimətləndirmə tapşırıqları verilə bilər. 6 = ( ) = ( ) 8 = ( ) = ( ) Yüksək dərəcəli tənlikləri kvadrat tənliə gətirməin mümkün olub-olmadığını uğun çohədlini nəzərdən keçirməklə müəən etmək olar. Bu halda verilən tənliin kvadrat tənliə gətirilə bildiini deirlər. a) 0 + = 0 d) = 0 -ci qrup a) ( + 5) ( + 5) 6 = 0 b) (s + ) 5(s + ) = c) ( ) + 5( ) + = 0 a) = 0 d) t t + = 0 a) + = ( ) -ci qrup b) = 0 e) = 0 -cü qrup b) 8 = 0 -ci qrup b) 7 6 = 0 c) = 0 0 c) 5 = 0 c) + = 0 e) z / z / + = 0

104 Göstərilən tənliklər kvadrat tənliə gətirilən tənliklərdir. Lakin burada irrasional ifadə, kəsr üstlü qüvvətin də dail olduğu çohədlilər var. Məqsəd şagirdin çohədlinin hədlərini nəzərdən keçirməklə qüvvətin assələrini tətbiqetmə baca - rıqlarını diaqnostik olaraq olamaqdır. Şifahi sual-cavab aparılır: hansı əvəzləmə aparmaq lazımdır ki, alınan tənlik eni dəişənə görə kvadrat tənlik olsun? D.0. c) ( + + ) ( + ) = 5 + = t əvəzləməsi etsək (t + )( t ) = 5 t t + t = 5 t t 8 = 0 (t )( t + ) = 0 t = t= Əvəzləmədə erinə azmaqla + = və a + = alırıq. Buradan + = 0 ( + )( ) = 0 = = + + = 0 ( + )( + ) = 0 = = D.0. e) ( ) ( + ) + = 0 Tənlii sadələşdirib + = 0 bikvadrat tənliinə gətirmək olar və a vuruğunu mötərizə aricinə çıarmaqla hasilin sıfra bərabər olması şərtinə də gətirə bilərik: ( ) ( + ) = = 0, =,, = ± Həllər çoluğu: {± } Əgər D.. ədədi a və b ədədlərinin ədədi ortasıdırsa, onda ədədinə a və b ədəd lərinin harmonik ortası deilir. a) Bu fikri rasional bərabərlik şəklində ifadə edin və -i tapın. b) İki ədədin harmonik ortası 6-a, fərqi isə 8-ə bərabərdir. Ədədləri tapın. ( ) = + ; a b = a ab + b və buradan isə Bu bərabərlik a və b ədədlərinin harmonik ortasını təin edir. 0 = ab a + b ab b) a + b = 6 a b = 8 bərabərliklərindən alarıq : (b + 8) b a = b + 8 və b b = 6 a(b + 8) = 6 (b + 8) b + 8b = 6b + b + b = 0 tənliinin kökləri b = 6, b =. Şərtə görə a>0, b>0 olduğundan b = 6 ola bilməz. Deməli, b =. Onda a =. Cavab: və ədədləri.

105 D.. Rasional ifadələrin ekvivalent olduğunu nəzərə alaraq k əmsalını tapın. + k = + Əvvəlcə rasional ifadənin təin oblastını tapaq. Rasional ifadənin təin oblastı mərəcin sıfırlarından başqa bütün həqiqi ədədlər olduğu üçün = 0, + = 0 tənliklərindən =, = alarıq ki, bu qimətlər rasional ifadəni mənasız edir. Ona görə də, şərtini nəzərə almaqla kəsrinin mərəcini də ( + )( + ) = şəklinə gətirək. Yəni kəsrinin həm surətini, həm də mərəcini ( + ) ifadəsinə vuraq. Onda + + k ( ) (+) = ( )(+) = Mərəcləri bərabər olan kəsrlərin bərabər olması üçün onların surətləri bərabər olmalıdır : + k = +. Buradan + k + =0 k = 0 (k ) = 0. Sonuncu bərabərliin dəişənin bütün mümkün qimətlərində doğru olması üçün k = olmalıdır. D.. a) 6 həftənin nəticəsinə görə orta bal 8- dirsə, a +a +a +a +a5 +a6 = 8 6 Burada ak ilə k-cı həftədə toplanan bal işarə edilib. Deməli, ilk 6 həftədə ığılan toplam bal a +a +a +a +a5 +a6 = 88 olmuşdur. Növbəti iki həftədə orta balı ilə işarə edək: = a7 + a8 Onda a7 + a8 = olur. Şərtə görə son 8 həftəlik orta bal: Buradan a +a +a +a +a5 +a6+a7 +a = = 50 = = = 56 Cavab: növbəti həftədə orta bal 56 olarsa, son 8 həftəlik orta bal 50 olar.

106 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Çohədliləri vuruqlarına aırır. ) Vuruqlara aırın. 8 = = + 6 = = 6 + = = ) Vuruqlara aırın = + 8 = 6 + = = = + = ) Vuruqlara aırın. 6 = 8 56 = 8 6 = 5 9 = + + = 6 = ) Vuruqlara aırın = 8 + = = 06

107 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Yüksəkdərəcəli çohədliləri vuruqlarına aırır. Köklərini həqiqi ədədlər çoluğunda təsnif edir. ) + 6 = 0 Rasional kökü: İrrasional kökü: ) + = 0 Rasional kökü: İrrasional kökü: ) = 0 ) = 0 5) = 0 6) = 0 07 Rasional kökü: İrrasional kökü: Rasional kökü: İrrasional kökü: Rasional kökü: İrrasional kökü: Rasional kökü: İrrasional kökü:

108 Dərs 65, 66. Dərslik səh. 89, 90. Rasional tənliklər və məsələ həlli. saat Rasional tənliklərin həlli ilə şagirdlər 8-ci sinifdən tanışdırlar. Bu mövzu üçün a - rıl mış dərs saatlarında bu bacarıqları möhkəmləndirmək və müəən vər diş lər qazandırmaq, həmçinin rasional tənlik qurmaqla məsələ həlletmə ba ca rıq larını dərinləşdirmək nəzərdə tutulmuşdur. - rasional tənlikləri həll edir və kənar kökü müəən edir; - iki və daha ço dəişənin dail olduğu tənliklərdə tələb olunan dəişəni tapır. - rasional tənliklər qurmaqla məsələlər həll edir. Verilən tənlikdə DMQ-ni müəən etməklə tapılan həllər arasından kənar kök + 5 müəən edilir. Məsələn, tənliini həll edərək dəişən + = + üçün = qiməti tapılır, lakin tənliə dail olan rasional ifadələrin = qimətində mənası odur. Deməli, bu tənliin həlli boş çoluqdur,. İki və daha ço dəişən dail olan tənliklərin həlli bacarıqlarını fizika dərsləri ilə inteqrativ olaraq örətmək tövsiə edilir. Tapşırıq verilir. İndiə qədər fizikadan örəndiiniz 5 düstur azın. Bu düsturlardakı dəişənlərin növbə ilə birini digəri ilə əvəz edin.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.5. Rəhim və Cəmil birlikdə işləsələr, bütün sahənin otunu saata biçərlər. Cəmil tək işləsə, bu işi Rəhimdən saat tez qurtarar. Onlardan hər biri tək işləsələr, bütün sahənin otunu neçə saata biçərlər? Əgər Rəhim təkbaşına bütün sahəni saata biçirsə, onda Cəmil bu işi saata görər. Rəhim saatda işin hissəsini görürsə, Cəmil saatda işin hissəsini görər. Beləliklə, birlikdə saatda işin + hissəsini görərlər. Lakin onlar birlikdə işi saata bitirdiklərindən bir saatda işin hissəsini görmüş olurlar. Deməli, + = + = ( ) = ( ) ( ) 6 = = 0, = 6, =. = məsələnin şərtini ödəmir. Deməli, Rəhim ot sahəsini 6 saata, Cəmil isə saata biçər. D.6. Hovuzun suu eni zamanda mütəlif diametrli iki boru vasitəsi ilə saata boşaldıla bilər. Diametri kiçik olan boru hovuzu diametri böük olan borudan 6 saat gec boşaldır. Hər bir boru arılıqda hovuzu neçə saata boşaldar? Həlli: Əgər diametri böük olan boru hovuzu saata boşaldırsa, kiçik olan boru + 6 saata boşaldar. Borular saatda hovuzun uğun olaraq və

109 hissəsini, birlikdə isə dolu hovuzun hissəsini boşaltdıqları üçün = olar. Buradan = ( + 6) ( + 6) = ( + 6) 8 + = + 6, = 0 = 6, = = məsələnin şərtinə uğun deil. Deməli, böük boru hovuzu 6 saata, kiçik boru isə + 6 = saata boşaldır. D.9. Həlli: Tutaq ki, iş erlərindən biri saat üçün manat, digəri isə ( +,5) manat təklif edir. Bu halda birinci iş erində 900 manat qazanmaq üçün Türkan 900 saat işləməlidir. Məsələnin şərtinə görə ikinci iş erində o, bundan 0 saat az, əni ( 900 0) saat işləməklə 980 manat qazanar. Beləliklə məsələnin həlli üçün aşağıdakı tənlii aza bilərik: ( 900 0) ( +,5) = 980. Bu tənliin hər iki tərəfini -ə ( 0) vuraq: (900 0) ( +,5) = 980. Buradan ekvivalent çevirmələr aparmaqla + 80 = 0 kvadrat tənliini alarıq ki, onun həlləri 0,5 və 0-dur. 0,5 məsələnin şərtinə uğun deil. Ona görə də = 0 olur. Beləliklə, birinci iş erində bir saat üçün 0 manat, ikincidə isə,5 manat təklif olunur. D.. Komanda keçirdii 0 oundan -ni udmuşdur. Komanda növbəti ounlardan neçəsini dalbadal udsa, qalib gəldii ounlar bütün ounların 80%-ni təşkil edər. Komandanın bundan sonra dalbadal qalib gəldii ounların saını ilə işarə etsək, onda qalib gəldii ounların saı +, bütün ounların saı isə 0 + olar. Onda məsələnin şərtinə görə = 0,8 alarıq. Buradan 0,8 (0 + ) = ,8 = + 0, = və = = 0 0, Deməli, komanda növbəti 0 ounda dalbadal qələbə qazanmalıdır. D.. İki ardıcıl ədədin birincisinə 6 əlavə edib, ikincisindən çısaq, eni alınan ədədlərin nisbəti 6 kimi olar. Ardıcıl ədədləri tapın. 5 Ardıcıl ədədləri və + işarə edək. Onda məsələnin şərtinə görə = + = ( + 6) = 6 ( ) = 6 6 = 6 Yəni, verilmiş ardıcıl ədədlər 6 və 7-dir. Vəsaitdə rasional tənliklərin fərqli çətinlik dərəcələrinə görə İşçi vərəqlər verilmişdir. 09

110 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Rasional tənlikləri həll edir və kənar kökü müəən edir. Tənlikləri həll edin və kənar kökü müəən edin. ) n + n = n ) k = k + k + 5 k ) 6 k k + 6k = k ) + 5 = r n + 7n + 6 n + 5 5v + 5 5) = v v 6v 6) 7) 8) r v 6 9) v + v = 6 = + 5 v + 6 v v 6n = v + v = 0

111 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Rasional tənlikləri həll edir və kənar kökü müəən edir. Tənlikləri həll edin və kənar kökü müəən edin. ) = ) + + = + 8 ) 5) ) = = =

112 Aşağıda tələb edilən dəişəni tapma bacarıqlarını formalaşdırmaq üçün istifadə edilə bilən düsturlar verilmişdir. Bu tip tapşırıqlar həm fəndaili, həm də fənlərarası inetqrasianı təmin etmək üçün əlverişlidir. Adı Potensial enerji Konusun tam sət hi - nin sahəsi Düstur Ep = mgh düsturunda m kütləni, g sərbəstdüşmə tə ci - lini, h isə hündürlüü göstərir. m-i tapın. San = r(r + l) düsturunda r-konusun oturacağının radiusu, l isə konusun doğuranıdır. Həlli m = Ep gh San r l = r v = v0 + at düsturundan a-nı tapın. h = gt düsturundan g-ni tapın. V= r h (silindirin həcmi) düsturundan h-ı tapın. Ek = mv (kinetik enerji) düsturundan v-ni tapın. KT V = (qazın həcmi) düsturundan T-ni tapın. P V = r h (konusun həcmi) düsturundan r-i tapın. A = P + Prt (sadə faiz artımı) düsturundan P-ni tapın. S = r + rh (silindirin tam səthinin sahəsi) düsturundan h-ı tapın. U = IR (gərginlik) düsturundan I-ni tapın. a + b = c iki dəişənli ətti tənliindən -i tapın. S = h(a + b) (trapesianın sahəsi) düsturundan b-ni tapın. San = (ac + cb) (düzbucaqlı paralepipedin an səthinin sahəsi) düsturundan c-ni tapın. 9 F = C + (Selsi və Farenhet şkalaları arasındakı asılılıq) düsturundan C-ni 5 tapın.

113 İşçi vərəq 5 Adı Soadı Tari İki və daha ço dəişənin dail olduğu bərabərliklərdən tələb olunan dəişəni tapır. Tələb olunan dəişəni tapın. ) L = (act + ) a = ) A = lv v = ) A = r + rh h = ) V = r h h = 5) = m( ) m = 6) L = ( + ct) c = 7) N = + b( ct) c = 8) s = + (n )d d = 9) N = C rc C = 0) ) ) ) ) 5) + =0 = A C A r + = = B + B = C = = + a = a b A = + A = A C L = R = R + K 6) = z =

114 İşçi vərəq 6 Adı Soadı Tari İki və daha ço dəişənin dail olduğu bərabərliklərdə tələb olunan dəişəni tapır. Dəişənin tapılmasına aid məsələ həlli. Paralelepipedin hündürlüü: Düzbucaqlı paralelepiped formalı cismin oturacağının uzunluğu 8 sm, eni isə 5 sm-dir. Əgər bu cisimin həcmi 0 sm olarsa, onun hündürlüünü tapın.. Silindirin hündürlüü: Silindirin radiusu sm, həcmi isə sm olarsa, onun hündürlüünü tapın.. Faiz dərəcəsi: 000 min manat həcmindəki depozit sadə faiz artımı ilə illik banka qoulur. Əgər bu dövr ərzində faizdən əldə edilən gəlir 50 man olarsa, faiz dərəcəsi nə qədərdir?. Düzbucaqlının uzunluğu: Düzbucaqlının perimetri 60 sm, eni isə sm olarsa, onun uzunluğunu tapın. 5. Tempratur çevrilməsi: Nu-York şəhərində ən üksək temperaturun hər hansı bir gün üçün 77º F olduğu bildirilmişdir. Eni temperatur Selsi ilə neçə dərəcədir? 6. Bağçanın uzunluğu: Trapesia formalı bağça verilmişdir. Əgər trapesianın hündürlüü 6 m, kiçik oturacağı 0 m, sahəsi isə m olarsa, digər oturacağının uzunluğunu tapın. 7. Kütlə indeksini İ = m düsturu ilə hesablaırlar. Burada h İ - kütlə indeksini, m - insanın kütləsini (kq), h - isə bounun uzunluğunu (m) göstərir. a) Düsturdan m-i tapın; b) Kütləsi 50 kq, bou isə,6 m olan bir adamın kütlə indeksi nə qədərdir? 8. Təcil sürət dəişməsini göstərən kəmiətdir. Təcil a = t düsturu ilə hesablanır. Burada v - sürəti, v - başlanğıc sürəti, t - isə zamanı göstərir. Başlanğıc sürəti m/san olan atletin dəq. sonra sürəti m/san olumuşsa, onun təcilini tapın. v v

115 Dərs Dərslik səh Modul işarəsi dailində dəişəni olan tənliklər. saat. Modul işarəsi dailində dəişəni olan tənliklər ifadəsini bundan sonra qısaca olaraq modullu tənliklər kimi işlədəcəik. Modullu tənlikləri cəbri üsulla həll edir; Modullu tənlikləri qrafik üsulla həll edir. Şagirdlər aşağı siniflərdən sadə modullu tənliklərin həlli ilə tanışdırlar. Bu mövzu üçün nəzərdə tutulmuş dərs saatlarında mütəlif çətinlik dərəcəsinə malik modullu tənliklərin həm cəbri, həm də qrafik üsulla həll edilməsi nəzərdə tutulur.. Şagirdin mütləq qimət anlaışını düzgün başa düşdüünü, başqa sözlə mütləq qimətin tərifini sözlə və riazi azılışla təqdimetmə bacarıqları diaqnostik qimətləndirmə aparmaqla olanılır. Ədəd ou üzərində iki nöqtə qed edin: + və. Bu nöqtələrin hər ikisinin sıfırdan məsafəsi neçə vahiddir? Məsafə mənfi ədəd ola bilərmi?. İstənilən həqiqi ədədin mütləq qimətinin ümumi azılış şəkli üzərində müzakirələr aparılır. Ümumiləşdirilmiş riazi azılışı şagirdlərin necə başa düşdüünü aşağıdakı nümunələrlə olamaq olar. a) > 0 olduğundan, = b) 7 < 0 olduğundan 7 = ( 7) = 7 Həmçinin aşağıdakı kimi hesablama tapşırıqlarından diaqnostik qimətləndirmə üçün istifadə etmək olar (5 7) + 6. Sadə modullu tənliklərin həlli araşdırılır. = 0 tənliinin həllini ədəd ou üzərində həndəsi təsvirlə göstərin. = 7 tənliinin neçə həlli var? = 0 tənliinin neçə həlli var? = 5 tənliinin neçə həlli var? Heç bir həlli olmaan modullu tənlik ola bilərmi? Deməli, modul işarəsi dailində dəişəni olan tənlikləri həll edərkən iki hal nəzərdən keçirilir. -ci hal. Modul işarəsi altında olan ifadə müsbətdir və a sıfra bərabərdir. -ci hal. Modul işarəsi altında olan ifadə mənfidir. Ədədin mütləq qimətinin tərifinə görə: { əgər 0 = əgər < 0 5 a = { a a əgər a 0 əgər a < 0

116 Modullu tənlikləri qrupda birləşdirmək olar. Tənliklər Ekvivalent tənliklər Həllər çoluğu = k (k > 0) = k və a = k {k, k} = 0 = 0 {0} = k (k < 0) Dərslikdə verilmiş nümunələr müzakirələrlə araşdırılır. Tənliklərin cəbri üsulla bə rabər, qrafik üsulla da həllinə diqqət edilməsi tövsiə edilir. Tənliklərin qrafik üsulla həlli qrafkalkulatorlar vasitəsilə asanlıqla həata keçirilə bilər. Odur ki, qrafik üsul əslində cəbri üsulla həlli olamaq üçün istifadə edilə bilər. Dərslikdə nümunə olaraq aşağıdakı mürəkkəblik dərəcəsi ilə, həl lə rinin saına görə bir-birindən fərqlənən tənliklər seçilmişdir. + = 5 = 6 = = Bu nümunələrə görə modullu tənlikləri qrafik üsulla və köməilə həll etmək olar. + = 5 tənliini əvvəlcə = 6 şəklində azaq. Qrafkalkulatora və 6 şəklində dail edilsə, qrafkalkulator birbirilə heç bir ortaq nöqtəsi olmaan iki qrafik çəkəcək. Deməli, bu tənliin həlli boş çoluqdur. > < = e θ = Tənliklər = = 6 6 = = = 5 = 6 Tənliklər = =

117 = qrafkalkulatora dail edilən funksialar = = (,05; 0,05) 9,5 8 6,5 5,5 0,5 9 7,5 6,5,5 Qrafikləri qrafkalkulatordan çapa vermək və a hər hansı təqdimat üçün fallarla adda salamaq olar. Şagirdlər bu qrafikləri əvvəlki dərslərdən örəndikləri kimi = funksiasının qrafikinə görə paralel sürüşdürmə olu ilə asanlıqla qura bilərlər. (; ) (; ) Həmçinin = + funksiasının qra - (; ) fi ki ni nöqtəə görə - təpə nöqtəsi (; ) və = simmetria ouna görə nöqtə qed etməklə qurmaq olar.? -,5 -,75 - -,5-,5-0,75 0,75,5,5,75,5 D.9. Səbuhi və Kamran internetdə verilmiş suallarla İQ səviələrini oladılar. Sə buhi deir ki, mənim İQ səviəm Kamranın səviəsindən 5 al fərq lə nir. Kamranın İQ səviəsi 0 balla qimətləndirilmişdir. Səbuhinin sə vi ə sini göstərən alları mo dullu tənliklə təqdim edin. Əgər Səbuhinin İQ sə viəsini göstərən alı ilə işarə etsək, onda məsələnin şərtinə görə Səbuhinin allarının saı Kamranın allarının saından a 5 al ço, a da 5 al az olmalıdır. Yəni, = və a = 0 5 olmalıdır. Bu isə 0 = 5 modullu tənliin həlli deməkdir. a + b D.. İsbat edin ki, əgər a = b olarsa, (burada a < b) onda = (əni, [a; b] parçasının orta nöqtəsidir. Həlli: a = b olduğundan a = b və buradan ( a) ( b) = 0 alarıq. Onda ( a + b) ( a + b)= 0. (b a) ( a b) = 0 hasilində b a 0 olduğundan (şərtə görə b > a) a b = 0 olmalıdır. Buradan = a + b, = a + b 7

118 İşçi vərəq 0 Adı Soadı Tari Modullu tənlikləri cəbri üsulla həll edir. ) z + 6 = 9 ) z + 6 = 9 ) = 9 ) 5) u = 6 = 0 6) 7) 8) 9) 0) ) = 8 5 = 5 + = v = = = 9 ) 6 = ) 7 + = 8

119 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Modullu tənlikləri qrafik üsulla həll edir. Tənlikləri qrafik üsulla həll edin. = = 5 7 = 5 = + = + = 9

120 Dərs Dərslik səh Tənliklər sistemi. 5 saat. Bir tənlii birdərəcəli, digəri ikidərəcəli olan sistem tənlikləri mütəlif üsullarla həll edir: Qrafik üsul; Əvəzetmə üsulu; Tərəf-tərəfə toplama (və a çıma). Tənliklər sisteminin həlləri saını diskriminanta görə müəən edir. Hər iki tənlii ikidərəcəli olan tənliklər sistemini mütəlif üsullarla həll edir. Qrafik üsul Tənliklər sisteminin qrafik üsulla həlli əlverişli üsullardan biridir. Kvadratik funksianın və ətti funksianın qrafikini qurma bacarıqlarını tətbiq etməklə şagird sistemin həlləri saını əani olaraq görə bilir. = k + b ətti funksiasının qrafiki haqqında biliklər təkrar edilir. ) k-nın işarəsindən asılı olaraq qrafikin rüblərdə erləşməsi necə dəişir? ) b-nin işarəsindən asılı olaraq bu erləşmə necə dəişir? ) k-nın ədədi qimətinin dəişməsi qrafikin vəziətini koordinat olarına görə necə dəişir? Bu mühakimələri özündə əks etdirən elektron plakatın əv vəl - cə dən hazırlanması tövsiə edilir. Əvvəlki dərslərdə qed edilmiş internet ün van - lar dakı qrafkalkulatorlardan istifadə edilməsi tövsiə edilir. Şagirdlər tənliklər sistemini tərəf-tərəfə toplama, əvəzetmə üsulları ilə ətti tənliklər sis teminin həllindən tanışdırlar. Bu cəbri üsulların tətbiqində şagirdlərin ekvivalent çevirmələr aparma bacarıqlarına diqqət edilir. Xətti funksianın verilən təsvirlərinə görə k bucaq əmsalının mənfi, müsbət və a sıfra bərabər olduğunu söləin. a) b) c) d) e) f) g) h) 0

121 ? = = - 0 Düz ətt parabolanı iki nöqtədə kəsir. Sistemin iki həlli var. = = 0-0 Düz ətt parabolanın tounanıdır. Bir həlli var. Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli: = + = Düz əttin parabola ilə ortaq nöqtəsi o dur. Həlli odur. D.. a. = + b düz ətti ilə = + kvadratik funksiasının qrafikinin ortaq nöqtəsi odur. b-nin qimətini tapın. Qrafiklərin kəsişmə nöqtəsində -lər bərabər olduğu üçün + = + b bərabərliini alarıq. Buradan 6 + b = 0 və a b = 0 Kəsişmə nöqtəsinin olmaması üçün kvadrat tənliin diskriminantı mənfi olmalıdır : D = 6 ( b ) < 0 6 b + 8 < 0 b > 8, b > 7 Yəni b -nin (7; + ) aralığından götürülmüş istənilən qimətində = + b düz ətti ilə = + parabolasının ortaq nöqtəsi odur. D.. Düz əttin tənlii = k 5 şəklindədir. k-nın hansı qimətində bu düz ətt = + kvadratik funksiasına uğun parabolanın tounanı olar? = k 5 düz əttinin = + parabolasının tounanı olması üçün onların eganə ortaq nöqtəsi olmalıdır. Ona görə də -ləri bərabərləşdirdikdən sonra -ə görə alınan kvadrat tənliin bir kökü olmalıdır. Yəni diskriminant sıfra bərabər olmalıdır. + = k 5 + k + 5 = 0 + ( k) + = 0 D = ( k) = 0 ( k) = 6 k = ±6 k = 6 = k = + 6 = 0 Yəni verilmiş kvadratik funksianın qrafikinə k -nın iki qimətində, k = və k = 0 qimətlərində = 5 və = 0 5 kimi iki tounan çəkmək olar.

122 D.0. Fermer qarğıdalı əkdii düzbucaqlı şəkildə sahənin bir küncündə bibər əkmək üçün er aırmağı planlaşdırır. O, bu sahəni hasara almaq üçün m uzunluğunda materialdan istifadə etdi və 6 m düzbucaqlı sahəni hasara aldı. Bibər əkilən sahənin ölçülərini tapın. Düzbucaqlı şəkildə olan bibər əkilmiş sahənin ölçülərini və ilə işarə edək. Onda + = + = 6 = 6 = 6 = 6 { (6 ) = 6 Tənliklər sisteminin ikinci tənliindən 6 = 6 və a = 0 = 8 Onda = 6 = 6 8 = 8 Yəni bibər əkilən sahənin ölçüləri = 8 və = 8 metrdir. D.. Tənliklər sisteminin tənliklərindən biri = 6 0 kimidir. Digəri isə ətti tənlik olmaqla parabolanın = və = nöqtələrində kəsir. Bu tənliklər sistemini azın. Düz əttin tənliini = a + b şəklində göstərək. Onda tənliklər sistemi aşağıdakı kimi olar: = 6 0 = a + b { { { a və b-ni təin etmək üçün = və = qimətlərindən istifadə edək. Birinci tənlikdən uğun olaraq alarıq : = olduqda, = 6 0 = 8 = olduqda, = 6 0 = 9 Bu qimətləri ikinci tənlikdə nəzərə almaqla a və b-nin tapılması üçün aşağıdakı tənliklər sistemini alarıq : 8 = a + b a + b = 8 { 9 = a + b { a + b = 9 Tərəf-tərəfə çımaqla a = alarıq. Buradan isə ( ) + b = 8 b = 6 olar. Yəni atarılan tənliklər sistemi belədir : = 6 0 = 6 { D.. Şəkildəki düzbucaqlının iki təpəsi absis ou üzərində, digər iki təpəsi isə = parabolası üzərindədir. Düzbucaqlının sahəsini tapın. a) a) Şəkildən göründüü kimi düzbucaqlının təpəsi (; 0) və ( ; 0) nöqtələrindədir. Bu nöqtələr arasındakı məsafə vahiddir. Yəni düzbucaqlının bir ölçüsü -ə bərabərdir. Düzbucaqlının ikinci ölçüsünü tapmaq üçün parabolanın tənliində = və a = azmaqla -i, düzbucaqlının ikinci ölçüsünü taparıq: 5 = = = 5 5 Düzbucaqlının sahəsi: S = = = = 7,5 sahə vahidi 6

123 Adı Soadı İşçi vərəq Tari Tənliklər sistemini qrafik üsulla həll edir. Aşağıdakı tənliklər sistemini qrafik üsulla həll edin. = + 5 = { = + { + = 5 { = = 6 = + + = 6 {

124 Dərs Dərslik səh Tənliklər sistemi qurmaqla məsələ həlli. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat Qimətlərə aid məsələlər. D.. Tələbələrin saını ilə, digər tamaşaçıların saını ilə işarə etsək, məsələnin şərtinə görə aşağıdakı tənliklər sistemini alarıq: { + = = 60, + 6 = 586 {, + 6 = 586 tərəf-tərəfə çımaqla,8 = 77 və = 0 Tamaşada 0 tələbə iştirak etmişdir. Maliə məsələləri D..,5 %-lə qoulmuş məbləği ; 6 %-lə qoulmuş məbləği isə ilə işarə edək. Məsələnin şərtinə görə: { =,05 +,06 = 5 ətti tənliklər sistemini alarıq. Əvəzetmə üsulunu tətbiq etməklə, tapırıq ki, = 000, = 000 Qarışıqlara aid məsələlər D.6. Xalis ipəkdən olan sapdan kq, 85%-i ipək olan sapdan kq götürərkən, + = 0, tərkibi 96 % ipəkdən ibarət olan sap üçün isə + 0,85 + Beləliklə, və -in tapılması üçün aşağıdakı tənliklər sistemini alarıq. { + = 0 + 0,85 = 0,96 ( + ) 0,0 = 0,, = Birinci tənlikdə -in qimətini nəzərə alsaq, 5 0 = 0 = =, = = 88 5 = 0,96 alarıq. Yəni, 88 kq alis ipəkdən olan sap, kq isə 85 %-li ipək sap götürmək lazımdır.

125 D.0. Tutaq ki, I boru ilə çən dəqiqəə, II boru ilə dəqiqəə dolur. Məsələnin şərtinə görə { + = tənliklər sistemini alarıq. + = 5 Buradan { + = + = 50 { 50 = + = 50 = 600 { + = 50 Cəmi 50- ə, hasili 600- ə bərabər olan müsbət ədədlər 0 və 0 olduğundan alırıq ki, borulardan biri çəni 0 dəqiqəə, o biri isə 0 dəqiqəə doldurar. D.. (səh. 05) Düzbucaq təpəsindən çııb onun tərəfləri bounca hərəkət edən birinci cismin sürətini ilə, ikincinin sürətini ilə işarə edək. Nəzərə alsaq ki, birinci cisim saniədə ikinci cismin saniədə getdii məsafəə bərabər ol qət edir, onda aşağıdakı tənliklər sistemini alarıq : 5 { () + () = 5 = { = 5 = { = 5, 5 = 5 = 9, =, = = Birinci cismin sürəti m/san, ikinci cismin sürəti isə m/san-dir. { D.. (səh. 05) a) a-nın hansı qimətlərində + = a tənliklər sisteminin eganə həlli var? = Həlli: Tənlikləri tərəf- tərəfə çısaq ( + ) ( ) = a alarıq. Buradan, + + a = 0 tənliinin diskriminantı sıfır olarsa, verilmiş tənliklər sisteminin eganə həlli olacaq. D= ( a) = + a = a olduğundan alırıq ki, a = 0 olduqda verilmiş tənliklər sisteminin eganə həlli { olur. Doğrudan da, a= 0 olduqda + = 0 tənliklər sistemi alınır. I tənlikdən = = ifadəsini II- də erinə azsaq =, + + = 0, ( + ) = 0, =. Onda = ( ) =. Sistemin həlli ( ; ) olur. 5

126 Mearlar Qed. Yüksək dərəcəli tənlikləri mütəlif üsullarla həll edir.. Rasional tənlikləri həll edir.. Dəişəni modul işarəsi dailində olan tənlikləri həll edir... bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə mearları cədvəli Birdərəcəli və ikidərəcəli tənliklərdən ibarət tənliklər sistemini mütəlif üsullarla həll edir. 5. Tənliklər və tənliklər sistemi qurmaqla məsələlər həll edir. Dərs 79.. bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları. Verilmiş qrafiklərə görə tənliklər sistemi azın.. = tənliində = olarsa, i tapın. A) B) C) B) = və = funksialarının kəsişmə nöqtələrinin absislərinin cəmini tapın. A) B) C) D) 0 = + və = funksialarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrinin saı neçədir? A) B) C) D) 0 6

127 Tənlii həll edin : + 5 = 8 A) ; 5 B) ; 6 C) ; D) ; 5 = 5 tənliinin köklərinin hasilini tapın. ( + ) ( 8) = tənliinin həqiqi köklərinin cəmini tapın. ( ) = tənliini həll edin. ( ) = 0 tənlii həll edin = 0 tənlii üçün uğunluğu müəən edin. ) < 0 olduqda ; A) kökləri və 6-dır. ) > 0 olduqda ; B) doğru olmaan ədədi bərabərlik alınır. ) = 0 olduqda ; C) kökləri cəmi 8-ə bərabərdir.. D) kökləri və 6-dır. { =,6 tənliklər sistemindən fərqini tapın. =. { = = tənliklər sistemindən hasilini tapın... ( 5)( ) = 0 tənliklər sistemini həll edin. { + = { + = 5 tənliklər sistemindən nisbətini tapın. + = 0 5. Uğunluğu müəən edin : ) + = 0 A) + = { + = ) + = B) + = { + = C) = ) = { = 7 D) = 6. Sərnişin hərəkət edən eskalatorla eriərkən metroa 90 saniəə, hərəkət edən eskalator üzərində daanarkən 7 saniəə gedir. O, daanmış eskalatorda eriərkən metroa neçə saniəə enər? 7

128 Dərs 80. Yarımillik summativ qimətləndirmə. ədədini rasional üstlü qüvvət şəklində göstərin.. kəsrini itisar edin. 9. O-çevrənin mərkəzidir. DOC = 0 olarsa, A -nı tapın. A A) 80 B) 70 C) 60 D) 5 B O C D. AB = 5 sm, BC = 7 sm, AD = sm və DE = olarsa, DE parçasının uzunluğunu tapın. 5 B 7 C A) sm B) 6 sm C) 5 sm D) sm A D E 5. = + b parabolası A (; 0) nöqtəsindən keçirsə, b-ni tapın. A) B) C) D) 6. Şəkildə verilmiş parabolanın tənlii hansıdır? A) = ( ) B) = ( ) ( + ) C) = ( + ) D) = ( + ) 7. = ( + ) parabolası ounu hansı nöqtədə kəsir? A) (0; ) B) (0; ) C) (0; ) D) (0; ) 8. = + 7 funksiasının ən kiçik qimətini tapın. 9. O nöqtəsi dairənin mərkəzidir. Ştrilənmiş sahə dairənin sahəsinin hansı hissəsini təşkil edir? 60º O 8 0

129 = 9 { + = tənliklər sistemində + ifadəsinin qimətini tapın.. ( ) = tənliinin köklərinin cəmini tapın.. ( 6)( + ) = 0 { + = 5 tənliklər sistemindən hasilini tapın.. Radiusu r, mərkəzi O olan çevrədə BAC = 5º olarsa, BC qövsünün uzunluğunu tapın. r r r A) B) C) r D). + = tənliini ödəən tam ədədlərin cəmini tapın. 5. b-nin hansı qimətində + b + = 0 tənliinin heç olmasa bir həqiqi kökü var? 6. ABC-də C = 90º, CT =, AK = olarsa, ABC-nin perimetrini tapın. A) 8 B) C) 0 D) 9 C B C O O K T B A A

130 Çobucaqlılar. 9-0 saat Məzmun standartı Dərs 8. Dərslik səh. 06, 07. Çobucaqlılar... Sınıq ətt və çobucaqlı anlaışlarını bilir, düzgün çobucaqlını təsvir edir.... Verilmiş üçbucağın dailinə və aricinə çevrə çəkir.... Dairənin dailinə və aricinə çəkilmiş dördbucaqlının assələrini məsələ həllinə tətbiq edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları Çobucaqlını tərəflərinin saına görə adlandırır, qabarıq və a çökük olduğunu müəən edir; Çobucaqlının daili və arici bucaq larının cəminə aid məsələlər həll edir; Düzgün çobucaqlıları təsvir edir, peri metri və sahəsinə aid məsələləri həll edir; Çevrə dailinə və aricinə çəkilmiş ço bu - caq lıların assələrini bilir və məsələ həllinə tətbiq edir. Riazi lüğət Çobucaqlı Qabarıq çobucaqlı Çökük çobucaqlı Düzgün çobucaqlı Düzgün olmaan çobucaqlı Düzgün çobucaqlının sahəsi Çobucaqlının daili bucağı Çobucaqlının arici bucağı Düzgün çobucaqlının dailinə çəkilmiş çevrə Düzgün çobucaqlının aricinə çəkilmiş çevrə Düzgün çobucaqlının aricinə çəkilmiş çev - rə nin radiusu Düzgün çobucaqlının dailinə çəkilmiş çevrənin radiusu Düzgün çobucaqlının mərkəzi Düzgün çobucaqlının apofemi Əlavə resurslar İşçi vərəqlər İnternet ünvanlar: 0 Qabarıq və çökük ço bu caq lılar, düz gün və düzgün olmaan ço bu - caq lılar Şagirdlərə qabarıq və çökük çobu - caqlıların fərqlərini əks etdirən plakatın əvvəlcədən hazırlanması tövsiə edilir. Qabarıq və çökük çobucaqlıları a dın təsəvvür və müqaisə etmək üçün internet ünvanından məşğə - lələrə er verilməsi tövsiə edilir. Qapalı fiqur və açıq fiqur, çobucaqlı və çobucaqlı olmaan müstəvi fiqur, ço bucaqlının qonşu tərəfləri, qonşu tə - pə ləri, diaqonalları, daili və arici bucağı anlaışlarını hər bir şagirdin başa düşdüünə diqqət edilir. Bu anlaışları dərslikdə verilmiş D, D, D, D, D5 tipli tapşırıqlarla for - ma laşdırmaq olar. Konqruentlik haqqında bi liklərini a - da salmaq, şagirdlərlə sual-cavab apar - maq olar. Üçbucaqların konq ru ent lik əla mətlərinin ada salınması töv siə edilir. Bu biliklər şagirdlərə məsələ həl - li zamanı gərəkli olacaq. Qabarıq və çökük çobucaqlının fərq - lə rini əks etdirən şəkilləri şagirdin dəf - tə rində çəkməsi tövsiə edilir. Şagirdin diq qəti beş, altı, eddi və s. bucaqlı ço bucaqlılar üzərində bu əlamətləri o lamasına önləndirilir.

131 Plakat nümunəsi. Qabarıq çobucaqlının hər bir daili bucağı 80 -dən kiçikdir.. Çökük çobucaqlının daili bucaq - larından ən azı biri 80 -dən böükdür.. Qabarıq çobucaqlının bütün diaqonalları çobucaqlının dailində erləşir.. Çökük çobucaqlının aricində er - lə şən ən azı bir diaqonalı var.. Qabarıq çobucaqlı bütünlüklə onun istənilən tərəfini özündə salaan düz ətdən bir arımmüstəvidə erləşir.. İstənilən düz ətt qabarıq ço bu - caq lının ən çou iki tərəfini kəsə bilər.. Çökük çobucaqlının ən azı bir tərəfinin uzantısı onun dailindən keçir.. Çökük çobucaqlının hansı hissə - sin dən keçməsindən asılı olaraq düz ətt onun bir neçə tərəfini kəsə bilər. Şəkildəki düz ətt çobucaqlının tərəfini kəsmişdir.

132 Dərs 8, 8. Dərslik səh Çobucaqlının daili və arici bucaqları. saat Çobucaqlının daili bucaqlarının cəmi haqqında teoremi məsələ həllinə tətbiq edir; Çobucaqlının arici bucaqlarının cəmi haqqındakı teoremi məsələ həllinə tətbiq edir; Düzgün çobucaqlının bir təpəsindəki daili bucağı tapma məsələlərini həll edir; Düzgün çobucaqlının bir təpəsindəki arici bucağı tapma məsələlərini həll edir. Çobucaqlının daili və arici bucaqlarının cəmləri və düzgün çobucaqlının hər təpədəki bucağının dərəcə ölçüsü haqqındakı teoremlər izah edilir. Dərslikdə verilmiş tapşırıqlar erinə etirilir. Nəzərdə tutulmuş bacarıqlara hər bir şagirdin hansı səviədə nail olduğu müşahidə olu ilə formativ qimətləndirilir. Dərslikdə verilmiş çalışmalardan əlavə vəsaitdə verilmiş işçi vərəqlərdən istifadə edilməsi tövsiə edilir. Dərslikdə verilmiş Araşdırma tapşırıqları erinə etirilir. Tərəflərinin saı artıqca düzgün çobucaqlının bir daili bucağının dərəcə ölçüsünün də artdığı, arici bucağının isə əksinə kiçildii müşahidə edilir. Şagirdlərin bu asılılığı başa düşdüünü olamaq üçün suallar vermək olar: Könül deir ki, mən bucaqlının bir daili bucağının 70, 8 bucaqlının isə 0 olduğunu tapdım. Heç bir hesablama aparmadan Könülün həllinin səhv olduğunu izah edə bilərsinizmi? Aşağıdakı tip məsələnin həlli və izahı tövsiə olunur. Göstərin ki, daili bucağı olan düzgün çobucaqlı odur.? Tapşırıq düzgün çobucaqlının bir təpəsindəki bucağın ölçüsü düsturuna görə erinə etirilir: 80 (n ) n = ; 80 n 60 = n; 57 n = 60 ; n = 6, Tərəflərin saı tam ədəd olmadığından daili bucağı olan düzgün çobucaqlı odur. S D.7 a) Bu çobucaqlının düzgün çobucaqlı olduğunu R T söləmək olarmı? Fikirlər dinlənilir. Düzgün çobucaqlının Q bütün bucaqlarının dərəcə ölçüsü bərabərdir. Bu çobucaqlının U isə daili bucaqları mütəlif ölçülüdür. P V Məsələni çobucaqlının daili bucaqlarının cəmi haqqında teoremdən istifadə etməklə həll etmək olar. Daili bucaqların cəmi: 80 (7 ) = = = 900 = 80 = 70 D.7 b) Məsələni iki üsulla həll etmək olar. ) Şərtdə tələb edildii kimi arici bucaqların cəmindən istifadə etməklə; 6 Çobucaqlının arici bucaqlarının cəmi 60 -dir. Verilən daili 5 bucaqlara uğun arici bucaq 55 və 7 -dir. Çobucaqlının 5 və 6 olan bucaqları biri digərini əvəz etməklə davam etdiini nəzərə alsaq, onun bucaqlarının, eləcə də tərəflərinin cüt sada olduğu məlum olar. n = k, k = n, əni k sada 5, k sada 6 -lik bucaqlar var. Deməli, n 55 + n 7 = 60 ; 7 n = 60 ; n = 0. Bu çobucaqlının 5 dənə 5 -li, 5 dənə 6 -li bucağı var. Cavab: Çobucaqlının 0 tərəfi var. n n ) Daili bucaqların cəmi düsturundan istifadə edək: = 80 (n ) Bu tənlii həll etməklə n = 0 olduğunu taparıq.

133 İşçi vərəq Düzgün çobucaqlının daili və arici bucaqlarının hesablanmasına aid məsələləri həll edir. Adı Soadı Tari Çobucaqlının daili bucaqlarının cəmi ÇobucaqlıTərəflərinin saı Bir təpədən çıan diaqo - nal ların saı Üçbucaqla - rın saı Daili bu caq ların cəmi Bir daili bu - ca ğının ölçü sü (düzgün ço - bucaqlıda) Bir arici bu - cağının öl çüsü (düzgün ço - bucaqlıda) Xarici bu - caq ların cəmi Üçbucaq Dördbucaqlı Beşbucaqlı Altıbucaqlı Yeddibucaqlı Səkkizbucaqlı Doqquzbucaqlı Onbucaqlı n bucaqlı

134 Adı Soadı İşçi vərəq Tari Qabarıq çobucaqlının daili və arici bucaqlarının ölçüsünü hesablaır.. Aşağıdakı fikirlərdən hansı doğru, hansı anlışdır? a) Çobucaqlının tərəflərinin saını iki dəfə artırsaq, arici bucağının dərəcə ölçüsü iki dəfə azalar. b) Səkkizbucaqlının arici bucağı dördbucaqlının arici bucağından böükdür. c) Tərəflərinin uzunluqları mütəlif olan çobucaqlının tərəflərinin orta nöqtələrini ardıcıl birləşdirsək, tərəfləri konqruent olan çobucaqlı alınar. d) Bütün tərəfləri konqruent olan dördbucaqlı düzgün dördbucaqlıdır. e) Bütün bucaqları konqruent olan dördbucaqlı düzgün dördbucaqlıdır. f) Bütün tərəfləri konqruent olan üçbucaq düzgün üçbucaqdır.. Verilən şərtə görə düzgün çobucaqlının neçə tərəfi olduğunu tapın: ) Daili bucaqlarının cəmi 980 olan ) Hər bir arici bucağı 5 olan ) Hər bir daili bucağı 08 olan ) Daili bucaqlarının cəmi 600 olan 5) Hər bir arici bucağı olan 6) Hər bir daili bucağı 5 olan 7) Hər bir daili bucağı 60 olan. Şəkildə verilənlərə görə çobucaqlının naməlum daili bucaqlarını tapın. a) b) c) (6-58) ( + ) 5 R K (+) J L (+) M ( 8)

135 Dərs Dərslik səh Çevrənin dailinə və aricinə çəkilmiş çobu caq lılar. 5 saat Dailə və aricə çəkilmiş çobucaqlıları təsvir edir; Üçbucağın dailinə və aricinə çəkilmiş çevrələrin mərkəzinin müəən edilməsi haqqında teoremi məsələ həllinə tətbiq edir; Üçbucağın dailinə və aricinə çəkilmiş çevrənin radiusunu üçbucağın tərəfləri ilə ifadə edir; Çevrə dailinə və aricinə çəkilmiş dördbucaqlının assələrini bilir və məsələ həllinə tətbiq edir; Dördbucaqlının dailinə və aricinə çəkilmiş çevrənin radiusunu dördbucaqlının tərəfləri ilə ifadə edir. Lazımi ön biliklər Üçbucağın hündürlükləri, tənbölənləri, medianları, tərəflərin orta perpendikularları haqqında biliklər ada salınır və uğun təsvirlər çəkilir; Paraleloqramın növləri və assələri; Çevrəə tounanın assələri. Çevrə dailinə və aricinə çəkilmiş çobucaqlının tərifi izah edilir və şagirdlər uğun təsvirləri dəftərlərində çəkirlər.. Üçbucağın dailinə və aricinə çəkilmiş çevrələrin mərkəzi haqqında teoremlər araşdırılmaqla istənilən üçbucağın dailinə və aricinə çevrə çəkməin mümkün olduğu adınlaşdırılır.. Üçbucağın aricinə çevrə çəkmək üçün əvvəlcə tərəflərin orta per pendikularları çəkilir. Orta perpendikularların kəsişmə nöqtəsi mərkəz və üçbucağın hər hansı təpəsi radiusun uc nöqtəsi qəbul edil - mək lə çevrə çəkilir. Bu çevrə verilən üçbucağın aricinə çəkilmiş çev rə olacaq. Çevrənin mərkəzi üçbucağın dailində, aricində və tərə finin üzərində ola bilər. B. Üçbucağın dailinə çevrə çəkmək üçün əvvəlcə onun bucaq - la rının tənbölənlərini çəkin. Tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsini mərkəz D A C qəbul edin və bu nöqtədən istənilən tərəfə hündürlük çəkin. Çəkilmiş hündürlüü radius qəbul etməklə çevrə çəkin. Bu çevrə verilən üç - bu cağın dailinə çəkilmiş çevrə olacaq. o o o itibucaqlı üçbucaq korbucaqlı üçbucaq düzbucaqlı üçbucaq 5

136 Çevrənin dailinə çəkilmiş üçbucağın tərəflərindən biri çevrənin mərkəzindən keçirsə, deməli, bu üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır təklifinin tətbiqinə aid D. və D. məsələləri erinə etirilir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli: D. Şagirdin məsələdə verilən üçbucağın hissələri ilə çevrənin hissələri arasında əlaqə aratma bacarıqlarına diqqət edilir. ABC düzbucaqlı üçbucaqdır. Tərəfi diametr üzərindədir BC = AM = 0 sm AC = BC AB S = AB AC D.6. Üçbucağın tənbölənlərinin kəsişmə nöqtəsi dailə çəkilmiş çevrənin mərkəzidir. Tərəflərinin orta perpendikul - arlarının kəsişmə nöqtəsi isə aricə çəkilmiş çevrənin mər - kəzidir. Şagirdlər planı ətkeşlə ölçərək müəən miqasla dəftərlərinə köçürürlər. Yeni ofis binası HME üçbucağının tərəflərinin orta perpendikularlarının kəsişmə nöqtəsində olacaq. Şagirdlərin ölçmələr aparmaqla tərəfinə görə üçbucaq qurma bacarıqlarına diqqət edilir. Real həati situasiaa aid məsələlər həll edilərkən hansı halda dailə çəkilmiş çevrənin mərkəzini tapma, hansı halda aricə çəkilmiş çevrənin mərkəzini tapma məsələlərinin erinə etirildiinə diqqət edilir. Şagirdlərə iki nümunə təqdim edilir. ) Parkda eməkananı üç oun e rin dən bərabər məsafədə olmaqla quraş dırılması nəzərdə tutulur. Planda e mək ananın erini qed edin. Oun eri Oun eri Oun eri Fikirlərinizi həndəsi assələrlə əsaslandırın. Üçbucağın medianı həm də çevrənin radiusudur. Pifaqor teoreminə görə Üçbucağın sahə düsturuna görə 6 ) Ticarət mərkəzinin binasını üç ma gis tral oldan eni məsafədə tikmək plan laşdırılır. Ticarət mərkəzinin erini planda qed edin. Magistral H Magistral B A Magistral M M E C

137 D.. Həlli: a) Şəkildə verilənlərə görə ABCD bərabəranlı trapesiadır və AB = CD = 0. Bir nöqtədən çəkilmiş tounanların parçaları bərabər olduğundan CT = CN =, DK = DN = 8. Onda BC =, AD = 6 və trapesianın perimetri P = = 0 olur. Tərəfləri məlum olan bərabəranlı trapesianın şəkildə göstərildii kimi hündürlüklərini çəkək. Pifaqor teoreminə görə: h = 0 6 = 8. Trapesianın sahəsi orta ətti ilə hündürlüü hasilinə bərabərdir: 6 + S = 8 = 80 a 8 D.9 R =, = 0, a = 8 R = = 6, R = 8 sin D.0. Verilir ABC B A= 5º, C= 0º, AB= 6 6 Tapın. ) Xaricə çəkilmiş çevrənin radiusunu. 5º 0º A ) BC tərəfinin uzunluğunu. C a AB 6 d Həlli: ) d= düsturuna görə, d= = =. Buradan R= = 6 sin sin C sin0º BC ) Digər tərəfdən d= olduğuna görə, alırıq: sin A BC 6 = sin5º BC= 6 sin5º= 6 = 6 D.. Bərabərtərəfli üçbucağın dailinə və aricinə çəkilmiş çevrələrin mərkəzlərinin üst- üstə düşməsi haqda məlumat verilməsi və onun əsaslandırılması tövsiə edilir. Bərabərtərəfli üçbucaqda medianlar həm hündürlük, həm də tənbölən olduqları üçün dailə və aricə çəkilmiş çevrələrin mərkəzləri medianların kəsişmə nöqtəsində erləşəcək. Medianların assəsinə görə BO : ON= : olduğu qed edilir. r = OM= BM R = OB = BM Nəticə olaraq, bərabərtərəfli üçbucağın aricinə çəkilmiş çevrənin radiusunun dailə çəkilmiş çevrənin radiusundan dəfə böük olduğu şagirdlərin nəzərinə çatdırılır. 7 A A M 0 A B B { K T K B M O C N 8 D C h{ N { D C

138 Şagirdlərlə həldə istifadə olunmuş təriflər, teoremlər və assələr ümumiləşdirilir.. Bucağın dailinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi, bucağın tənböləni üzərindədir. Bu Tənbölən üzərində götürülmüş istənilən nöqtə onun tərəfindən bərabər məsafədədir. teoreminə əsaslanır.. Tənbölən çəkildii tərəfi digər iki tərəflə mütənasib parçalara bölür.. Düzbucaqlı üçbucaqların oşarlıq əlamətləri. D.5. a) Çevrələrin mərkəzləri düzbucaqlı üçbucağın iti bucağının tənböləni üzərində erləşir. Düzbucaqlı üçbucağın dailinə çəkilmiş çevrənin radiusu: r = a + b c B = + 5 = N OK = KC = BK = = O K BOK ~ BMN olduğundan MN = olarsa, BN=. Onda BM= 5, BO=BM + MO= 5 + A C +. Digər tərəfdən BOK-dan Pifaqor teoreminə görə BO= 5. Buradan = 5 5 ( 5 ) ( 5 + ) = 5 = = = = B D.5. b) Üçbucağın dailinə çəkilmiş çevrənin mərkəzi tənbölənlərin kəsişmə nöqtəsidir. Bərabərtərəfli üçbucaqda tənbölən həm də mediandır. o E F Üçbucağın medianlarının assəsinə görə BO : OD = : olduğundan r = K OD = O BD = h = 6 A D C Böük və kiçik çevrənin ortaq tounanı EF olarsa, ABC ~ EFB BK = KO = OD = r olduğundan BK= 6 Şərtdə göstərilmiş kiçik çevrə EFB- nin dailinə çəkilmiş çevrədir və bərabərtərəfli üçbucaqda tənbölən həm də median olduğu üçün və medianların assəsinə görə r = OK = BK = 8 D.6 Orta ətt: a + b b Çevrə aricinə çəkilmiş bərabəranlı trapesia: c c c + c = a + b c = a + b c = a + b a Yəni, an tərəf orta əttə bərabərdir. 8

139 Adı Soadı İşçi vərəq Tari Çevrə dailinə və aricinə çəkilmiş dördbucaqlının assələrini bilir və məsələ həllinə tətbiq edir. ) Teorem. Çevrə dailinə paraleloqram çəkilmişsə, bu düzbucaqlıdır. Verilir: AC və DB diametrdir. O çevrənin mərkəzidir. OA, OB, OD, OC çevrənin radiuslarıdır. A D o B C ) Verilməən bucaqları tapın. ) a) o b) c) o 65 Verilir: AD = 60, BC EF EF tounandır. Tapın: ADC = CDF = C = A = 9 90 E A B 5 D Q 00 + C F o 6

140 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Üçbucağın dailinə və aricinə çəkilmiş çevrənin radiusunu üçbucağın tərəfləri ilə ifadə edir. Şəkildə düzbucaqlı üçbucağın həm dailinə, həm də aricinə çevrə çəkilmişdir. ) Tərəfləri a, b, c olan düzbucaqlı üçbucağın (c hipotenuzdur) dailinə və aricinə çəkilmiş çevrələrin radiuslarının tərəflərdən asılılıq düsturunu azın ) Üçbucağın tərəflərinin 5,, vahid olduğunu bilərək üçbucağın dailinə və aricinə çəkilmiş çevrələrin radiuslarını tapın Həllinizdə aşağıdakı teoremlərin hansından və necə istifadə etdiinizi azın. Eni qövsə sökənən dailə çəkilmiş bucaqlar konqruentdir. Eni nöqtədən çevrəə çəkilmiş iki tounanın tounma nöqtələrinə qədər olan parçaları konqruentdir. O A B C 0 Çevrə dailinə çəkilmiş bucağın dərəcə ölçüsü sökəndii qövsün və a mər - kəzi bucağın dərəcə ölçüsünün arısına bərabərdir. O Vətərə perpendikular olan diametr bu vətər arıa bölür. A O B

141 Dərs Dərslik səh. 8-. Düzgün çobucaq lı nın dailinə və aricinə çəkilmiş çevrələrin radiusları. Düzgün çobucaqlının sahəsi. Ümumi ləş di rici tapşırıqlar. saat Düzgün çobucaqlını üçbucaqlara bölməklə onun sahəsinin çobucaqlının perimetri və apofemindən asılılıq düsturunu azır; Düzgün çobucaqlının sahə düsturunun tətbiqi ilə mütəlif məsələlər həll edir; Parketləmə qadasını bilir və məsələ həllinə tətbiq edir. Diqqət edilməli məqamlar Düzgün çobucaqlının sahəsini hesablamaq üçün tətbiq edilən S = nah və a S = Ph düsturunun çıarılışı ümumsinif müzakirəsi ilə erinə etirilir. Çobucaqlının dailinə və a aricinə çəkilmiş çevrələrin radiusu və a tərəfi ve ril dikdə onun sahəsini hesablamaq mümkündür. Düzgün çobucaqlının a) tərəfi; b) dailinə çəkilmiş çevrənin radiusu; c) aricinə çəkilmiş çevrənin radiusu məlum olduqda onun sahəsini hesablama düsturlarını azmaq olar. Lakin bu düsturlar mürəkkəb olduğundan onları adda salamağa ehtiac odur. Lakin bu tip məsələlərin həllinə er verilir. Şagird apofemin dailə çəkilmiş çevrənin radiusuna bərabər olduğunu başa düşür. R r? D.9. a) a R = = a sin60 a r = = a tg60 Düzbucaqlı üçbucaqda 0 -li bucağın qarşısındakı katetin hipotenuzun arısına bərabər olması faktından da istifadə etmək olardı. Diqqət edin! Düzgün üçbucağın aricinə çəkilmiş çevrənin radiusu onun dailinə çəkilmiş çevrənin radiusundan dəfə böükdür.. Düzgün dördbucaqlı (kvadrat) üçün, əni n = olduqda bu düsturlar: a a a R = = r = = tg5º Diqqət edin! Düzgün dördbucaqlının (kvadratın) tərəfi onun dailinə çəkilmiş çevrənin radiusundan dəfə böükdür.. Düzgün altıbucaqlı üçün, əni n = 6 olduqda bu düsturlar a a R = = a r = = tg60º Diqqət edin! Düzgün altıbucaqlının aricinə çəkilmiş çevrənin radiusu onun tərəfinə bərabərdir. a sin5º a sin0º R r R a 0 r a

142 İşçi vərəq 5 Adı Soadı Tari Üçbucağın dailinə və aricinə çəkilmiş çevrənin radiusunu üçbucağın tərəfləri ilə ifadə edir.. Şəkildə tərəfi sm olan kvadratın aricinə çevrə çəkilmişdir. Uğun dairənin sahəsinin kvadratın sahəsinə olan nisbətini tapın.. Şəkildə diametri sm olan çevrənin dailinə çəkilmiş kvadrat və kvadratın dailinə çəkilmiş çevrə təsvir edilmişdir. Uğun dairələrin sahələri nisbətini azın.. Şəkildə diaqonalları 6 sm və 8 sm olan rombun dailinə çəkilmiş çevrə təsvir edilmişdir. Rombun sahəsinin dairənin sahəsinə olan nisbətini azın.. Turistlər düşərgədə 6 çadırı elə Məsələnin həlli üçün şəkildən istifadə edin. qurublar ki, qonşu çadırlar birbirindən və tonqaldan bərabər məsafədədirlər. Əgər onlar çadır - la rın tonqaldan məsafələrini dəfə artırsalar, düşərgənin sahəsi necə dəişər? S r S S 5

143 Örənmə səviələrinə görə şagirdlərə çobucaqlının dailinə və aricinə çəkilmiş çevrənin radiusunu çıarma, həmçinin bu çobucaqlıların sahəsinin, perimetrinin uğun radiuslardan asılılıq düsturlarının çıarılması tapşırıla bilər. Onlardan bir neçəsi nümunə olaraq aşağıda verilmişdir. Çevrə dailinə və aricinə çəkilmiş üçbucağın tərəflərinin çevrənin radiusundan asılılıq düsturları: B B A C A C R = abc p(p a)(p b)(p c), r = a + b + c, p = p(p a)(p b)(p c) p Düzgün çobucaqlıların sahəsini hesablamaq üçün düsturlar: Çevrə dailinə çəkilmiş çobucaqlının sahəsinin çevrənin radiusundan asılılıq düsturu. O sin 60º Sn = 60º n nr R n Burada n düzgün çobucaqlının tərəflərinin saıdır. Çevrə aricinə çəkilmiş çobucaqlının sahəsinin çevrənin radiusundan asılılıq düsturu. A G O B tg 80º Sn = nr n A G B Çevrənin radiusunu r = qəbul etməklə düzgün çobucaqlının adını, tərəflərinin saını, perimetrini və arımperimetrini göstərən cədvəl tərtib etməklə ədədini müəən etmək üçün Arimedin apardığı araşdırmanı şagirdlər də təkrarlaa bilər. Araşdırma üçün cədvəl növbəti səhifədə verilmişdir. a) Çevrə dailinə çəkilmiş düzgün çobucaqlının perimetrini hesablamaq üçün düstur: P = Rn sin 80 n b) Çevrə aricinə çəkilmiş düzgün çobucaqlının perimetrini hesablamaq üçün düstur: P = rn tg 80 n 80º n

144 ədədini müəən etmə cədvəlləri Cədvəl Çobucaqlı Üçbucaq Kvadrat Beşbucaqlı Altıbucaqlı Səkkizbucaqlı Onikibucaqlı -bucaqlı 8-bucaqlı 96-bucaqlı Tərəflərinin saı Bucağı Perimetri P/ a) Çevrə dailinə çəkilmiş düzgün çobucaqlının perimetri: Cədvəl Çobucaqlı Üçbucaq Kvadrat Beşbucaqlı Altıbucaqlı Səkkizbucaqlı Onikibucaqlı -bucaqlı 8-bucaqlı 96-bucaqlı Tərəflərinin saı P = Rn sin 80 n Bucağı Perimetri P/ b) Çevrə aricinə çəkilmiş düzgün çobucaqlının perimetri: P = rn tg 80 n

145 Parketləmə qadası şagirdlərə izah edilir. Fiqurlar an-ana düzüldükdə ortaq təpələrdəki bucaqların cəmi 60 º olmalıdır. Bu eni fiqurdan istifadə edildikdə alnız romb (kvadrat), bərabərtərəfli üçbucaq və düzgün altıbucaqlı olduqda mümkündür. Parketləmə, həndəsi fiqurlarla naışvurma, oma sənəti İslam incəsənətində mühüm er tutur. Respublikamızın mütəlif raonlarında bu naışlarla bəzədilmiş məscid və türbələrə rast gəlmək olar. Şagirdlərə laihə işi olaraq bu abidələrin şəklini çəkmək, üzərindəki naışları kompüterə köçürərək enidən çəkmək və bu naışlardakı həndəsi assələri aşkar etmək kimi tapşırıqlar verilməsi tövsiə edilir.? Bəzi tapşırıqların erinə etirilməsi üçün metodiki tövsiələr. D.6. (səh. ). Qed edilmiş bucağını tapın. Bucaqları şagirdlərin düzgün qed etdiklərinə diqqət edilir. Qed edilmiş hər bir bucağın dərəcə ölçüsü haqqında məlumatı şagirdlər ümumsinif müzakirəsi ilə müəən edirlər. Məsələn, a) bucağı altıbucaqlının bir daili bucağı və səkkizbucaqlının bir daili bucağı ilə ortaq təpəlidir. + düzgün altıbucaqlının bir təpəsindəki bucaq + səkkizbucaqlının bir təpəsindəki bucaq = 60 80(n ) Düzgün altıbucaqlının bir təpəsindəki bucaq = n = 0 80(n ) Düzgün səkkizbucaqlının bir təpəsindəki bucaq = n = 5 Yerinə etirilmiş məsələlərə görə bu bucaqların dərəcə ölçüsünü şifahi hesablama bacarıqlarına diqqət edilir. Çünki, artıq həll edilmiş məsələlərin saına görə şagirdlərin bir qismi bu cür məsələləri şifahi həll edə bilməlidirlər = 60 = 05 Bu tip tapşırıqların həlli bir ço praktik dizan məsələlərinin həlli üçün əhəmiətlidir. Şagirdlər kompüterdə bu fiqurları çəkir və təkrarlaır. Şagirdlər bu fiqurların müəən formaa malik boşluqlar aratmaqla parketləmə üçün istifadə oluna biləcəini başa düşürlər. Boşluqlarda alınan çobucaqlıların bucaqlarını tapmağa aid tapşırıqlar erinə etirilə bilər. Bu bacarıqlar daş və a ağac üzərində oma işlərini erinə etirərkən ço əhəmiətlidir. 5

146 . bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə mearları cədvəli Mearlar Qedlər... Çobucaqlının tərəflərinin sa ına, qabarıq və a çökük ol duğuna görə təsnif edir. Çobucaqlının daili və a ri ci bucaq larının cəminə aid mə sə lələr həll edir. Düzgün çobucaqlıları təs vir edir, peri metri və sa hə sinə aid məsələləri həll edir.. Üçbucağın dailinə və aricinə çevrə çəkir Çevrə dailinə çəkilmiş üçbucağın sahəsi, perimetri, tərəfləri ilə uğun çevrənin radiusu arasındakı əlaqəni düsturlarla ifadə edir və mə sə lə həllinə tətbiq edir. Çevrə dailinə və aricinə çəkilmiş dördbucaqlının as sələrini bilir və məsələ həllinə tətbiq edir. Dördbucaqlının dailinə və aricinə çəkilmiş çevrənin radiusunu dördbu caqlının tərəfləri ilə ifadə edir. 6

147 Dərs 9.. bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları. Daili bucağı arici bucaqlarından dəfə böük olan düzgün çobucaqlının tərəflərinin saını tapın. A) 6 B) 8 C) 7 D) 9. Daili bucaqlarının cəmi 60 olan çobucaqlının neçə tərəfi var? A) B) 7 C) 9 D) 0. Bir təpədən çıan diaqonallarının saı 5 olan çobucaqlının neçə diaqonalı var? A) B) 6 C) 0 D) 0. Düzgün 0 bucaqlının daili bucağının arici bucağına nisbətini tapın. A) 9 B) 8 C) 7 D) 0 5. Şəklə əsasən + cəmini tapın. A) 0 B) 0 C) 0 D) O nöqtəsi düzgün ABCDE beşbucaqlısının mərkəzidir. AODE dördbucaqlısının sahəsi sm olarsa, ABCDE beçbucaqlısının sahəsini tapın. A) 6 sm B) 8sm C) sm D) 60sm E D 7. Sahəsi 80 sm olarsa, perimetri 60 sm olan düzgün çobucaqlının apofemini tapın. A) B) 5 C) 6 D) 8 8. Radiusu sm olan çevrənin aricinə sahəsi sm olan çobucaqlı çəkildi. Bu çobucaqlının perimetrini tapın. A) B) 6 C) 8 D) 0 9. Uğunluğu müəən edin : ) düzgün beşbucaqlı ) düzgün altıbucaqlı ) düzgün səkkizbucaqlı A) daili bucaqları cəmi 50 -dir ; B) daili bucaqları cəmi 080 -dir ; C) daili bucaqları cəmi 70 -dir ; D) daili bucağı arici bucağından 50% böükdür. A O B C

148 0. Daili bucaqları : : 5 : 6 : 7 : 7 nisbətində olan altıbucaqlının ən böük arici bucağı neçə dərəcədir? A) 67, 5 B),5 C) 57,5 D),5. ABCDE düzgün beşbucaqlıdır. AF = FB AFB = 50 isə FBC =? A) B) C) 6 D) 8 A B 50 F C E D. ABCDEF düzgün altıbucaqlıdır. Bu altıbucaqlının perimetrinin FBD-nin perimetrinə nisbətini tapın. B A) B) C) D) A C F D. Katetləri 6 sm və 8 sm olan düzbucaqlı üçbucağın aricinə və dailinə çəkilmiş çevrələrin radiuslarını tapın. A) və B) 5 və C) 5 və D) və. Düzgün -bucaqlının aricinə çəkilmiş çevrənin radiusu 6 sm-dir. -bucaqlının sahəsini tapın. A) 08 sm B) 6 sm C) 0 sm D) 6 sm 5. Uğunluğu müəən edin. ) beşbucaqlı A) Bir təpədən 6 diaqonalı çıır. ) eddibucaqlı B) Bir təpədən diaqonalı çıır. ) doqquzbucaqlı C) Bütün diaqonalların saı 5-dir. D) Bütün diaqonalların saı -dür. 8 E

149 -cü bölmə üzrə planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu... Verilmiş təklifi bir də işənli iki ətti bəra bər sizliklər sistemi şək lində a zaraq həll edir.... Kvadrat bəra - bər siz li i həll edir.... Cəbri bərabər - siz lik lə ri intervallar üsulu ilə həll edir...5. Müstəvi üzərin də vektor an la ı şını, vek torların toplan ması, çı ıl ması və ədə də vur ma qadala rı nı ri a zi və fiziki məsə lə lə rə tətbiq edir.... Törəmə ölçü vahidlərinin birindən digərinə keçir.... Praktik ölçmələrdə alınan nəticələrin həqiqətə uğunluğunu o laır. 9 Dərs saatı Dərslik səh Bərabərsizliklər sistemi və bərabərsizliklər heəti , 98 Modul işarəsi dailində dəişəni olan 8,9 bərabərsizliklər 99, 00 İkidəişənli ətti bərabərsizliklər 0- İkidəişənli ətti bərabər - 0, 0 siz lik lər sistemi Kvadrat bərabərsizliklər Bərabərsizliklərin intervallar üsulu ilə həlli 5-8 0, Ümumiləşdirici tapşırıqlar 9, 50. bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları Vektorlar 5, 5, 5 Koordinat müstəvisində vektorlar Vektorun istiqaməti 56, 57 Vektorların toplanması və 7-0 çıılması Vektorun komponentləri və triqonometrik nisbətlər 65, 66 Vektorların tətbiqi ilə məsələ həlli 67 Vektorun ədədə vurulması. - 5 Ümumiləşdirici tapşırıqlar bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları Cəmi

150 . Bərabərsizliklər. 0 saat Məzmun standartı... Verilmiş təklifi birdəişənli iki ətti bəra bərsizliklər sistemi şəklində azaraq həll edir.... Kvadrat bərabərsizlii həll edir.... Cəbri bərabərsizlikləri intervallar üsulu ilə həll edir. Formalaşdırılan şagird bacarıqları bərabərsizliklər sistemi və bərabərsizlik - lər heətini fərqləndirir və həll edir; ikidəişənli ətti bərabərsizliin həllər çoluğunu qrafik üsulla təqdim edir; ikidəişənli bərabərsizliklər sistemini qra fik üsulla həll edir; kvadrat bərabərsizlikləri cəbri və qrafik üsulla həll edir; cəbri bərabərsizlikləri intervallar üsulu ilə həll edir. Riazi lüğət birdəişənli ətti bərabərsizlik ikidəişənli ətti bərabərsizlik bərabərsizliklər sistemi bərabərsizliklər heəti modullu bərabərsizliklər kvadrat bərabərsizliklər intervallar üsulu Əlavə resurslar İşçi vərəqlər, oun kartları Graf kalkulatorlar: Dərslikdə bərabərsizliklər mövzusu aşa ğıdakı istiqamətlərdə nəzərdən ke çi rilmiş və tədrisi üçün 9 dərs sa atı nəzərdə tutulmuşdur.... Bərabərsizliklər sistemi və bərabərsizliklər heəti... Modullu bərabərsizliklər... İkidəişənli ətti bərabərsizliklər... Kvadrat bərabərsizliklər..5. Bərabərsizliklərin intervallar üsulu ilə həlli Bərabərsizliklərin həllinin qrafik üsuluna daha ço üstünlük verilmişdir. Şagirdin istər ətti funksianın istərsə də, kvadratik funksianın qrafikini çək - mə bacarıqlarına mütəmadi er veril - mə si tövsiə edilir. Bu bacarıqları qrafiki həm tenoloji vasitələrlə, qraf - kal kulatorlarla, həm də azılı qurmaq üçün lazım olan mühüm nöqtələri müə ən etməklə reallaşdırır. Bütün bunları nəzərə alaraq ilk olaraq ətti funksianın qrafikini qurmaq üçün hansı iki nöqtənin koordinatını tapmaq asandır və bu qrafiki qurmaq üçün ki fa - ətdir? sualı ətrafında araşdırmalar apa raraq ətti funksianın bucaq əmsalının mü tə lif işarələrinə uğun qrafik nü mu nə ləri qurulur. Xətti funksianın qrafikinin koordinat müstəvisini iki arımmüstəviə aırdığı araşdırılır.

151 Birdəişənli bərabərsizliklərin həlli zamanı şagird qrafikdən -in tələb olunan şərtə uğun qimətlərinin müəən edilməsinin tələb edildiini başa düşür. Şərt isə -in qimətləri üzərində qurulur. Ona görə də şagird situasiaa uğun olaraq arqumenti - sərbəst dəişən kəmiəti (), funksianı - asılı dəişən kəmiəti müəən etməi bacarmalıdır.? Məsələ. Turist düşərgələrindən biri dəniz səviəsindən 00 m, digəri isə 500 m hündürlükdə erləşir. İki turist dəstəsi bu düşərgələrdən eni anda qarşıqarşıa hərəkətə başladı. I düşərgədən ola düşən turistlər dəqiqədə m hündürlüə qalır, II-dən ola düşənlər isə dəqiqədə 5 m enirlər. Neçə dəqiqədən sonra I dəstə II-dən daha üksəklikdə olacaq? Birinci düşərgədən ola düşən turistlər hər dəqiqədə m hündürlüə qaldıqları üçün onların dəqiqə sonra qaldıqları hündürlük: İkinci düşərgədən ola düşən turistlər isə, hər dəqiqədə 5 m aşağı endikləri üçün dəqiqə sonra hündürlükdə olacaqlar. -ci dəstənin ikinci dəstədən üksəklikdə olması şərtini nəzərə alaraq, aşağıdakı bərabərsizlii azmaq olar: 00 + > > 00, > 50 Yəni, uarı qalan turistlər 50 dəqiqədən sonra aşağı düşənlərdən daha üksəklikdə olacaqlar. Bərabərsizliin qrafik üsulla təqdimi maliə məsələlərinin həllində geniş istifadə edilir. Qrafikdə mədail, maa dəəri qrafiklərinin kəsişdii nöqtənin koor di nat - la rına görə hansı andan başlaaraq gəlir əldə edildiini müəən etmək olar. Şəkildə ətti funksia ilə müəən olunmuş mədail və maa dəərinin dəişməsi qrafiki verilmişdir. 500 vahid satışdan sonra maa dəərinə sərf olunan pul artıq çıarılmış olacaq. 50-ci vahidin satışı artıq gəlir gətirir Dərs Dərslik səh Bərabərsizliklər sistemi və bərabərsizliklər heəti. saat Maa dəəri Mədail Bərabərsizliklər sistemini və bağlaıcısı ilə əlaqəli bəra bərsiz lik lərlə əlaqələndirir; Bərabərsizliklər heətini və a bağlaıcısı ilə əlaqəli bərabərsizliklər qrupu ilə əlaqələndirir; Bərabərsizliklər sistemini və heətinin həllər çoluğunu təqdim edir.

152 Şagirdlər 8-ci sinifdən və, və a bağlaıcıları ilə əlaqəli bərabərsizliklərlə və onların həlli ilə tanışdırlar. Məsələn, insanın normal bədən temperaturu 5 ilə 7 dərəcə arasında olmalıdır. Sağlam insan bədəni üçün temperatur normasını bərabərsizliklə aşağıdakı kimi aza bilərik: 5 < T < 7 Bəs, hansı bədən temperaturu insanın əstə olduğunu bildirir? Biz bunu bərabərsizliklə necə ifadə edə bilərik? Bədən temperaturu 5 -dən aşağı və a 7 və 7 dən uarı olduqda şəs əstə hesab edilir. Bunu bərabərsizliklə T 7 və a T 5 kimi azmaq olar. İndi isə və bağlaıcısı ilə daha mürəkkəb bərabərsizlikləri sistem şəklində { formalı mötərizədən istifadə etməklə azıb həll edəcəik. Və a bağlaıcısı ilə əlaqəli bərabərsizlikləri isə bərabərsizliklər heəti şəklində [ formalı mötərizədən istifadə etməklə azıb həll edəcəik. Şagirdlər aşağıdakı kimi bərabərsizlikləri bərabər siz - liklər sistemi və bərabərsizliklər heəti kimi təqdim etməin mümkün olduğunu araşdırırlar. Bərabərsizliklər sistemi: və bağlaıcısı ilə əlaqəli bərabərsizliklər 7 < + < 8 + < 8 + > 7 < > 5 7 < + < 8 < + 6 < > 7 və a 5 < 6 + < və a 5 > 8 < 7 Bərabərsizliklər heəti: və a bağla ı - cı sı ilə əlaqəli bərabərsizliklər > 7 və a 5 < 6 + < və a 5 > > 7 5 < 6... və s. Bir ço real həati və riazi situasiaların təhlilində bərabərsizliklər sistemi və a bərabərsizliklər heətini həll etmək tələb edilir. Şagirdlər sistem və heətə aid nümunələr fikirləşirlər. Riazi situasia. İfadəə bir neçə cüt dərəcədən kök daildirsə, hər bir kökaltı ifadə mənfi olmamalıdır. Bərabərsizlik iki çohədlinin hasilinin mənfi olması şərtini əks etdirirsə, onların əks işarəli olması bu şərti ödəir, bu bərabərsizliklər heətinə nümunədir. Şagird lərlə bu nümunələr üzərində bu cür ümumiləşdirmələrin aparılması tövsiə edilir. Bərabərsizliklər sisteminin həlli sistemə dail olan bərabərsizliklərin həllər ço - lu ğunun kəsişməsidir. Əgər sistemə dail olan bərabərsizliklərdən birinin həlli odursa, onda sistemin də həlli odur. İki bərabərsizlikdən ibarət sistemin bərabərsizliklərindən biri dəişənin istənilən qimətində doğrudursa, sistemin həlli olaraq o biri bərabərsizliin həlli götürülür. Bərabərsizliklər heətinin həlli isə heətə dail olan bə rabərsizliklərin həllər çoluğunun birləşməsidir. Şagirdlər həlli ədəd ou üzərində həndəsi olaraq təsvir edirlər. Bu bacarıqlara şagirdlər 8-ci sinifdən iələnmişlər. [

153 Bərabərsizliklər sisteminin qrafik təsviri: < 7 < < 7 Bərabərsizliklər heətinin qrafik təsviri: Ədəd ou üzərində -dən böük və a --dən kiçik bərabər bütün həqiq ədədlər təsvir edilmişdir. > - >? və a Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli: 5 [ > - D.8. Tam ədədin mislinə ədədin arısını əlavə etdikdə cəm 9-dən kiçik olur. Bu ədədin mislindən ədədin arısını çıdıqda isə fərq 5-dən böük olur. Bu tam ədədi tapın. { { + < 9 < 6,8 > 5 > 5 = 6 { D.9. Həlli: Məsələnin şərtinə görə 6,8 + 0, (0,8 + ) 0, 6,8 + 0, (0,8 + ) 0, Bərabərsizliklər sistemini həll edərək alırıq ki, 0,8 və,. Deməli qarışığın duzluluğunun 0 -dən ço, 0 -dən az olması üçün ikinci məhluldan götürülən 0,8 kq-dan az,, kq-dan ço olmamalıdır. D.0. Üçbucağın bir tərəfi 5 m, ikinci tərəfi 8 m-dir. Üçbucağın perimetri m-dən kiçikdirsə, üçüncü tərəfin uzunluğu neçə metr ola bilər? Həlli: 5 8 P = < < < 9 < 9 Digər tərəfdən üçbucağın bir tərəfi digər ikisinin cəmindən kiçik, fərqinin modulundan böük olmalıdır. 5 8 < < < < Aldığımız bu iki bərabərsizlikdən üçbucağın üçüncü tərəfinin uzunluğunun (; 9) aralığından götürülmüş istənilən ədəd olduğu məlum olur. 9

154 İşçi vərəq Bərabərsizliklər sisteminin və bağlaıcısı üzərində qurulmuş bərabərsizliklərlə əlaqələndirir; Bərabərsizliklər heətinin və a bağlaıcısı ilə üzərində qurulmuş bərabərsizliklər qrupu ilə əlaqələndirir; Bərabərsizliklər sistemini və heətinin həllər çoluğunu təqdim edir. Adı Soadı Tari Bərabərsizlikləri sistem və a heət şəklində azın, həll edin, qrafik təsvir edin. ) + 9 > 6 və a 0 ) 6 və a > ) < 8 və a ) və a + 9 > 7) 6 < 5 ) + > 9 və a ) < ) 5 və a >

155 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Bərabərsizliklər sisteminə və heətinə aid məsələləri həll edir. Aşağıda verilən məsələlərin şərtinə uğun bərabərsizliklər qurun. ) Hər bir balıq növünün böüməsi üçün müəən temperatur əlverişlidir. Köpək balıqları üçün bu temperatur 8 dərəcə ilə dərəcə arasındadır. Köpək balıqlarının inkişaf etmədii temperaturu bərabərsizliklə azın. ) Yuu vatının təminən 0%-ni gözlərimizi umub əal etməklə keçiririk. Əgər normal uu vatı 7-8 saat olarsa, bu vatın nə qədəri əala dalmaqla keçir? ) Hansı ədədlərin dördə hasilinin səkkiz ilə cəmi, 0 ilə arasında erləşir? ) İnternetdən istifadə edərək er atmosferinin troposfer, stratosfer, mezosfer, termosfer, eqzosfer qatlarının ölçülərini tapın və hər bir qatın funksiasını izah edin. Atmosferin qatlarının ölçülərinə uğun bərabərsizliklər azın. Aşağıdakı link sizin üçün fadalı mənbədir. dlearning.com/subjec ts/astrono m/planets/earth/at mos - phere.shtml 5) Nərgizin biologia fənnindən qimətləndirmə balları 7, 8, 8 və 89-dur. Yekun qimət olaraq ortalama bal çıarılır. C qiməti 77-8 bal arasındadır. Nərgiz biologia fənnindən C alacaqmı? 6) Hansı ədədlərin,5-ə hasili sıfırdan kiçik, mənfi üçdən böük və a mənfi üçə bərabərdir? 7) Mağaza bütün rəngli printerlərə 0 man güzəşt təklif edir. Semur qiməti 75 manatla 60 man arasında dəişən mütəlif rəngli printerlərə baır. Endirimdən sonra onların qimətləri hansı aralıqda dəişəcək və o endirimdən nə qədər ararlanacaq? 55

156 Dərs 97, 98. Dərslik səh. 8, 9. Modul işarəsi dailində dəişəni olan bərabərsizliklər. saat Modullu bərabərsizlikləri bərabərsizliklər sistemi və heəti şəklində ifadə etməklə cəbri üsulla həll edir; Modullu bərabərsizlikləri = funksiasının qrafikindən istifadə etməklə qrafik üsulla həll edir. Dərslikdə verilmiş cədvəldə modullu bərabərsizliklərin mütəlif hallarında sistem və a heətdən necə istifadə edildiini araşdırırlar. Bunu daha adın izah etmək üçün həndəsi təsvirlərdən istifadə edilməsi tövsiə edilir. Riazi azılış O deməkdir ki,... d d c =d və c nöqtələri arasındakı məsafə d-ə {c d; c + d} c d c c + d bərabərdir. c < d və c nöqtələri arasındakı məsafə d-dən ( ) (c d; c + d) c d c c + d kiçikdir. c > d Modullu bərabərsizliklərin həllinin aşağıdakı kimi araşdırılması tövsiə edilir. < a tənliinin həlli a-nın işarəsindən asılı olaraq mütəlif ola bilər. ) a < 0 ) = a düz ətti oundan aşağıda erləşir. Bərabərsizliin həlli odur. Mütləq qimət mənfi ola bilməz.? və c nöqtələri arasındakı məsafə d-dən böükdür. ) a = 0 ) a > 0 ) Bu halda = a düz ətti ou ilə üst-üstə düşür. = funksiasının isə elə bir qiməti odur ki, oundan aşağıda olsun. Bu halda bərabərsizliin həlli odur. Dərslikdə verilmiş bəzi məsələlərin həlli 56 ( ; c d) (c + d; + ) = = = = a = a 0 0 a = a (a) (b) (c) c d { { ) Bu halda = a düz ətti oundan uarıda erləşir və = -in qrafikini nöqtədə kəsir: a və a. Qrafikin (-a; a) aralığında = a düz əttindən aşağıda erləşdii görünür. Deməli, bu bərabərsizlik a < < a olduqda doğrudur. D.. a) bərabərsizliini 5 + şəklində azaq. 5 + bərabərsizliinin həlli 5 + heətinin həllinə gətirilir. Buradan [ , [ [ Cavab: ( ;,] [; + ) ) c ( c + d

157 D.. Avtobus daanacağı Oqtagilin evindən 5 m aralıdadır. Daanacağı indiki erindən ən çou 0 m uzağa köçürmək planlaşdırılır. Daanacağın eni erinin Oqtagilin evindən məsafəsini bərabərsizliklə göstərin. Oqtagilin evi 5 m Daanacaq Həlli: Daanacağın eni erinin Oqtagilin evindən məsafəsi olarsa, eni daanacaqla əvvəlki er arasında məsafə 5 olar. Şərtə görə bu məsafə ən çou 0 m ola bilər. Yəni 5 0. D.5. tapşırığında şagird = + funksiasının qrafikinin = funksiasının qrafikinin vahid sola və vahid aşağı çəkilməklə qurulduğunu başa düşür. f() = + funksiasının verilmiş qrafikinə görə verilən tənlik və bərabərsizliklərin həllini heç bir hesablama aparmadan müəən edir. ) + = tənliinin həlli qrafiklərin kəsişmə nöqtələrinə görə müəən edilir. Damalarla bu nöqtələrin = 5 və = olduğu görünür. Modullu bərabərsizlikləri həlletmə bacarıqlarını formativ qimətləndirmək üçün üzərində modullu bərabərsizliin riazi azılışı, sözlə azılışı və həndəsi təsviri olan kartlar hazırlanır. Hər qrupa bir dəst kart verilir. Qrup üzvləri eni modullu tənlikləri ifadə edən kartları eni cərgədə ağ kağız üzərinə apışdırırlar = = ) + < 0 bərəbərsizlii 5 < < olduqda ödənir. Həllər çoluğu: ( 5, ) ) + > bərabərsizlii həlli isə < 5 və a > olduqda ödənir. Həllər çoluğu (, 5) (, + ). Göründüü kimi, qrafiki məlumatı ouma bacarıqları ilə tapşırıq erinə etirilmiş olur. Odur ki, bərabərsizliklərin və a tənliklərin həllinin qrafik üsulla olanmasına mütəmadı diqqət verilməsi tövsiə edilir. D.7. c) w 59,5 <,5 bərabərsizliini həll edək.,5 < w 59,5 <,5. Hər iki tərəfə 59,5 əlavə etsək 507 < w < 5 İşıq dalğalarının uzunluğu 507 < w < 5 bərabərsizliini ödədiindən verilmiş cədvələ görə tapırıq ki, bu halda verilən maddənin anmasından aşıl işıq aranır.

158 Oun kartları nümunəsi də məsafəsi -dən az və a -ə bərabər nöqtələr çoluğu 9 5 > və 5 < 5-dən məsafənin -dən az olduğunu göstərən nöqtələr çoluğu və a + 5 -dən məsafəsi 5- dən ço və a 5-ə bərabər olan nöqtələr çoluğu və a + 5

159 Oun kartları nümunəsi (davamı) 7 -dən məsafəsi 7 -dən az və a ona bərabər olan nöqtələr çoluğu 7 və a 7 7 -dən məsafəsi 7 -dən ço və a ona bərabər olan nöqtələr çoluğu -dən məsafəsi 7- dən az və a 7- ə bərabər olan nöqtələr çoluğu + 7 və a və 7

160 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Modullu bərabərsizlikləri = funksiasının qrafikindən istifadə etməklə qrafik üsulla həll edir. Şəkildə qrafkalkulatorun ekranındakı azılar və çəkdii qrafiklər verilmişdir. Hər şəklə görə bir modullu tənlik və iki modullu bərabərsizlii və həllini cədvəlin uğun analarında azın. Modullu tənlik Bərabərsizlik Bərabərsizlik Həllər çoluğu interval ilə Həllər çoluğu interval ilə Həllər çoluğu interval ilə Qrafik həlli Qrafik həlli Qrafik həlli Modullu tənlik Bərabərsizlik Bərabərsizlik Həllər çoluğu interval ilə Həllər çoluğu interval ilə Həllər çoluğu interval ilə Qrafik həlli Qrafik həlli Qrafik həlli 60

161 Dərs 99, 00. Dərslik səh. 0-. İkidəişənli ətti bərabərsizliklər. saat İkidəişənli ətti bərabərsizlikləri qrafik üsulla həll edir; İkidəişənli ətti bərabərsizliklər sistemini qrafik üsulla həll edir; İkidəişənli ətti bərabərsizliklərə aid məsələləri həll edir. a + b =c iki dəişənli ətti tənliinin qrafikinin köməi ilə a + b < c, a + b c, a + b > c, a + b = c a + b c şəklində olan ikidəişənli ətti bəra bər - sizlikləri həll etməin mümkün olduğu izah edilir. a + b < c Bu bərabərsizliklərin həll edilməsi koordinatları a + b > c uğun bərabərsizlii ödəən bütün (; ) nöqtə lə - rinin tapılması deməkdir. Bu nöqtələri tapmaq üçün a+b=c tənliinin qrafikindən istifadə edilir. Düz əttin qrafiki koordinat müstəvisini iki arımmüstəviə bölür. Bu arımmüstəvilərdən bi rini təşkil edən nöqtələr çoluğu bütünlükdə a + b < c şərtinə uğundur. Digər arımmüstəvini təşkil edən bütün nöqtələr isə a + b > c bərabərsizliini ödəir. a + b c və a + b c bərabərsizlikləri isə a+ b = c düz ətti və uğun arım - müs tə vilərin bütün nöqtələr çoluğunu əhatə edir. İkidəişənli ətti bərabərsizliin hansı arımmüstəvini əhatə etdiini müəən etməin ən asan olu bu arımmüstəvilərdən olan bir nöqtəni olamaqdır. Bu arımmüstəvidə ödənmirsə deməli, bərabərsizlik digər arımmüstəvinin nöqtələr çoluğunu əhatə edir. (0; 0) nöqtəsi olama üçün ən əlverişli sınaq nöqtəsidir. Bərabərsizliə uğun olaraq a + b c və a + b c şərtlərində düz əttin qrafikinin bütöv ətlərlə çəkildii diqqətə çatdırılır. 6 = 6 + = + > Yolama: 6 (0; 0) nöqtəsini seçək < 6 6 bərabərsizliinin həlli = 6 düz ətti və bu düz əttdən üstdə qalan arım müs tə vi nin bütün nöqtələr çoluğudur. Düz ət tə arımmüs təvinin sərhəd ətti de i lir = düz ətti + > bəra - bər sizliinin həllinə aid olmadığı üçün qırıq ətlərlə çəkilmişdir. + > bərabərsizliinin həlli düz ət dən uarıda qalan arım müs tə vi nin bü tün nöqtələr çoluğudur.

162 İşçi vərəq Adı Soadı Tari İkidəişənli ətti bərabərsizliklərin həllinin qrafik təsvirini çəkir. Xətti bərabərsizliklərin həllinin qrafik təsvirini çəkin, tələb olunan göstəriciləri azın. < + > 6 sərhəd əttinin tənliini ounu kəsdii nöqtə ounu kəsdii nöqtə olama nöqtəsi (0; 0) sərhəd əttinin tənliini sərhəd əttinin tənliini ounu kəsdii nöqtə ounu kəsdii nöqtə ounu kəsdii nöqtə ounu kəsdii nöqtə olama nöqtəsi (0; 0) olama nöqtəsi (0; 0) 6 sərhəd əttinin tənliini ounu kəsdii nöqtə ounu kəsdii nöqtə olama nöqtəsi (0; 0)

163 Dərs 0, 0. Dərslik səh. -6. İkidəişənli ətti bərabərsizliklər sistemi. saat İkidəişənli ətti bərabərsizliklər sisteminin həllinin qrafik təsvirini çəkir; İkidəişənli ətti bərabərsizliklər sisteminə aid məsələlər həll edir. İkidəişənli ətti bərabərsizliklərin həllinin qrafik təsvirini qurma addımları araşdırılır.. Hər bir bərabərsizliə uğun ətti funksianın qrafiki qurulur.. Hər bir bərabərsizliə uğun arımmüstəvi hissəsi rənglənir.. Hər iki rəngin er aldığı müstəvi hissəsi sistemin həllər çoluğunu göstərən müstəvi hissəsidir. + > < Sistemə dail olan hər bərabərsizlii arı koordinat müstəvisində təsvir etsək, rəngli hissələr aşağıdakı şəkillərdəki kimi olacaqdır. + > < + > < Bu qrafikləri eni koordinat sistemində çəksək, onların rəngli arımmüstəvilərinin üstüstə düşən hissələrinin olduğunu görərik. Bu müstəvi hissəsi bərabərsizliklər sisteminin həllər çoluğunu göstərir. Bərabərsizliklərə uğun ətti funksiaların kəsişmə nöqtəsi əhəmiətli nöqtədir. Bu nöqtə künc nöqtəsi adlanır və bu nöqtədən başlaaraq düz ətlər həllər çoluğunun dail olduğu müstəvi hissəsini əhatələir. İkidəişənli ətti bərabərsizliklər sistemi iki və daha ço bərabərsizlikdən ibarət ola bilər. Bu tənliklərin saından asılı olaraq künc nöqtələrinin saı arta bilər. Həllər çoluğunun er aldığı müstəvi hissəsi qapalı fiqur ola bilər. Bu halda = a və = a tənliklərinin əni, və ounun da bərabərsizliklər sisteminin həllinə aid ola bilər. İkidəişənli ətti bərabərsizliklər sisteminə aid məsələlər real həati situasianı riazi modelləşdirmə bacarığı üzərində qurulmuşdur. D.7 məsələsində şagird cədvəllə verilmiş məlumatı nəzərə almaqla tələb edilən si tua - si anı bərabərsizliklə ifadə etməlidir. Şərt:. Protein ən azı 50 q olmalıdır. Enerji dəəri 600 kaloridən ço olmamalıdır. 6 Ərzaq Protein (q/fincan) Enerji dəəri (kalori/fincan) A 0 00 B 0 00

164 Cədvəldə verilən məlumatlar bir fincan A ərzağında 0 q protein var, enerji dəəri isə 00 kaloridir, bir fincan B ərzağında 0 q protein var, enerji dəəri isə 50 kaloridir. Menuda hər iki ərzaqdan olması şərtdir. fincan A 0 q + fincan B 0 ən azı 50 q fincan A 00 q + fincan B 00 ən çou 600 kalori Sərhəd əttinin tənlii: = + 5 və ounu kəsmə nöqtələri = 0 olduqda = 5 = 0 olduqda =,5 Düz əttin qrafiki çəkilir. Yolama: (0; 0) nöqtəsi olanılır Sərhəd əttinin tənlii: = 6 = + Yolama: (0; 0) nöqtəsi olanılır ; ödənir, deməli düz ətt və ondan altda (aşağıda) qalan arımmüstəvi bərabərsizliin həllər çoluğudur. İki dəfə rənglənmiş düz ətlərin kəsişmə nöqtəsi və düz ətlərlə hüdudlanmış müstəvi hissəsi verilən şərtləri ödəən həllər çoluğudur. Bu müstəvi hissəsindən fincanların saını müəən edək. (; ), (; ), (; ), (6; 0), (0; ) nöqtələri tam fincanlarla bu bərabərsizliin həllidir. Bərabərsizlii fincanların hissələri ilə ifadə etmək üçün sonsuz sada variant mümkündür ödənmir. Deməli, düz ətt və ondan üstdə qalan arımmüstəvi həllər çoluğudur.

165 İşçi vərəq 5 Adı Soadı Tari İkidəişənli ətti bərabərsizliklər sisteminin həllinin qrafik təsvirini çəkir. Bərabərsizliklər sisteminin həllinin qrafik təsvirini çəkin.. +. > 6 + < 6. + < 6 + > > 8 > > >

166 İşçi vərəq 6 Adı Soadı Tari İkidəişənli ətti bərabərsizliklər sisteminin həllinin qrafik təsvirini çəkir. Bərabərsizliklər sisteminin həllinin qrafik təsvirini çəkin <

167 Dərs 0-06 Dərslik səh.7-. Kvadrat bərabərsizliklər. saat Dərs Dərslik səh.5-8. Bərabərsizliklərin interval üsulu ilə həlli. saat a + b + c < 0 a + b + c 0 a + b + c > 0 a + b + c 0 şəklində olan bərabərsizlikləri mütəlif üsullarla: qrafik üsulla; intervallar üsulu ilə həll edir; Kvadrat bərabərsizliklərə aid məsələləri həll edir. Kvadrat bərabərsizliklərin həlli üsulları dərslikdə verilmiş ardıcıllıqla araşdırılır. Eni kvadrat bərabərsizlii mütəlif üsullarla həll etmək və həlli müqaisə etmək tövsiə edilir. Bu tapşırıqlar qruplarla iş üçün də əlverişli tapşırıqlardır. Kvadratik funksianın qrafikini qurma bacarıqları bir daha olanılır bərabərsizliinin qrafik həlli: Diqqətə çatdırılır ki, 7 +0 ifadəsi müsbət, mənfi və a sıfır qimətlərini ala bilər. Verilən bərabərsizlikdə isə bu ifadənin qimətinin sıfra bərabər və ondan kiçik qimətlərini -in hansı qimətlərində aldığını müəən etməliik = 0 ( 5)( ) = 0 = 5, = Simmetria ou =,5 ətti olacaq. Parabola qurulur. Bizi 7 +0 ifadəsinin sıfırdan kiçik və a sıfra bərabər qimətləri maraqlandırır. Qrafikdən görünür ki, [; 5] parçasında bu qimətlər ödənir. Sual verilir: Qrafikə görə -in hansı qimətlərində bu ifadənin qiməti müsbətdir? Şagirdlərin cavabı: > və a > 5 qimətlərində Verilən bərabərsizlii sınaq nöqtələri seçməklə cəbri üsulla da həll etmək olar. İntervallar: ( ; ) (; 5) (5; + ) Sınaq nöqtəsi: 0 Şərt : ( 5)( ) + + Şərt : 0 [; 5] Kvadrat bərabərsizlii həlletmə addımları:. Bərabərsizliə uğun = a + b + c funksiasının qrafikini qurun.. Qrafikin absis ounu kəsdii nöqtələri qed edin.. Qrafikə görə funksianın qimətlərinin -in (arqumentin) hansı qimətlərində mənfi, hansı qimətlərində müsbət olduğunu müəən edin.. Bərabərsizliin şərtinə uğun -in qimətləri çoluğunu seçin. 67 [; 5]

168 Bərabərsizliin cəbri üsulla həll addımları:. Verilən bərabərsizlii əgər mümkündürsə, sadələşdirin (mötərizələrdən, kəsrdən azad edin).. Bərabərsizliin sol tərəfində çohədlini, sağ tərəfində isə sıfrı salaın.. Sol tərəfi vuruqlara aırın.. Sərhəd nöqtələrini tapın. 5. Ədəd ou üzərində sərhəd nöqtələrini qed edin. 6. Sərhəd nöqtələrinin aırdığı hər bir çoluqdan bir sınaq nöqtəsi seçin və bərabərsizlii olaın.? Dərslikdə verilmiş bəzi məsələlərin həlli D.. T () = 0, 005 0, + a) = 6 olarsa, T () = 0, , 6 + =,8 6,8 = 9,6 Yəni, 6 aşında sürücünün reaksia müddəti 9,6 salisədir. b) = 5, V(5) = 0,05 5 0, 5 + = 0,75 5 aşında sürücünün reaksia müddəti 0,75 salisədir. a) və b) bəndlərinin nəticələrini analiz etdikdə görürük ki, bu aşlarda olan sürücülərin reaksia müddəti demək olar ki, bərabərdir. D.. h() = a) Top neçə saniədən sonra 6 m-dən ço hündürlüə qalacaq? > > 0 və a + < 0 bərabərsizliini həll edək. Bərabərsizliin sol tərəfi olan kvadrat üçhədlinin sıfırları = və =-dür. Göründüü kimi, top bu hündürlükdə dəfə olur. Vurulmuş zərbədən təqribən saniə sonra və (erə qaıdarkən) təqribən saniədən sonra. Topun neçə saniə havada olmasını təin etmək üçün h() = 0 tənliini həll edək = ,9 0 0,9 = = 0,09 = =, Yəni, top təqribən,09 saniə havada olacaqdır. D.7. ) a) 5 Bərabərsizlii qrafik həll etmək üçün = və = 5 funksialarının qrafiklərini eni koordinat sistemində quraq. Qrafikdən göründüü kimi -in [ 5 ; ] aralığındakı götürülmüş hər bir qimətində = funksiasının qrafiki üzərindəki nöqtənin ordinatı = 5 funksiasının qrafiki üzərindəki nöqtənin uğun ordinatından kiçikdir. Bu isə o deməkdir ki, -in [ 5; ] aralığındakı hər bir qiməti üçün 5 bərabərsizlii doğrudur. ) a) və a ( + 5) ( ) 0 [ 5 ; ] 68 = =

169 D.9. İ = m Burada İ- kütlə indeksini, m -insanın kütləsini (kq-la), h-isə h onun bounu (m-lə) göstərir. a) Bou,5 m olan insanın kütləsi nə qədər olmalıdır ki, kütlə indeksi -dən az olsun. Deilənləri nəzərə alsaq, m h <, h =,5 metr m <,5, m < 5 kq. D.0. P = ( + ) = 70, + = 5 = 5 S = = (5 ) , = 7,5 ±,5 = 0 ; = 5 ; = 5 0 = 5 ; = = ( 0) ( 5) 0 bərabərsizliinin həllər çoluğu [5 ; 0] aralığıdır. Göərti sahəsinin eni [5; 0] aralığından götürülmüş hər bir qimətləri ala bilər. Bu qimətlərin hər biri üçün S 00 bərabərsizlii doğrudur. D.7. (səh. 8) Məsələnin şərtinə görə bir stolun qiməti manat, satılan stolların ümumi saı (0 ) olarsa, onda (0 ) > bərabərsizliini alarıq. Buradan isə > < 0 ( 0) ( 90) < 0 İntervallar üsulunu tətbiq edərək bərabərsizliin həllinin (0 ; 90) aralığı olduğunu alarıq. Yolamaqla əmin olmaq olar ki, bu aralıqdan kənardakı hər bir qimətdə Hedərgilin ticarəti zərərlə işləəcəkdir. Dərs. Dərslik səh. 9, 50. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat D.0. I satıcının alıq qazancı ,0, -ümumi satışın miqdarı, II satıcının alıq qazancı 0, olarsa, 0, > ,0 0,08 > 00 > 500 Yəni ümumi satış 500 manatdan ço olarsa, II satıcı I - dən ço qazana bilər. D.. I ədəd, II ədəd olarsa, + = 0 və = 0 + < 08 + (0 ) < < < 0 8 < < 8 > > < < 8 bərabərsizliin hər tərəfinə 0 əlavə edək : 0 < 0 < < 0 < 8 < < Cavab: ədədlərdən biri 9 olursa, digəri olur və a hər iki ədəd 0-a bərabərdir. 69 5

170 İşçi vərəq 7 Adı Soadı Tari İkidəişənli ətti bərabərsizliklər sisteminin həllinin qrafik təsvirini çəkir.. Kvadrat bərabərsizlikləri cəbri üsulla həll edin. ) ) 5 < 0 ) 5 > 0 ) 0 0 5) ) <0.Vuruqlara aırın, vuruqların işarələrinə görə həllər çoluğunu müəən edin. a) + 8 b) + c) < 0 d) 6 6. Uğun funksianın qrafikindən istifadə etməklə bərabərsizlikləri həll edin. a) b) + 8 c) d) ( ) > 6 70

171 . bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə mearları cədvəli Mearlar Qed. Birdəişənli ətti bərabərsizlikləri qrafik üsulla həll edir... Bərabərsizliklər sistemi və bərabərsizlik lər heətini fərqləndirir və həll edir. İkidəişənli ətti bərabərsizliin həllər çoluğunu qrafik üsulla təqdim edir.. İkidəişənli bərabərsizliklər sistemini qra fik üsulla həll edir. 5. Kvadrat bərabərsizlikləri cəbri və qrafik üsulla həll edir. 6. Cəbri bərabərsizlikləri intervallar üsulu ilə həll edir. Dərs.. bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları.. <, bərabərsizliini ödəən tam ədədlərin cəmini tapın.. 6 < < 6 bərabərsizliini modul işarəsinin köməi ilə azın. A) = 6 B) 6 C) < 6 D) bərabərsizliini həll edin. A) (,5; + ) B) ( ;,5) C) [,5; + ) D) ( ;,5] bərabərsizliklər sistemini ödəən tam ədədlərin saını tapın. { A) 7 B) 0 C) 8 D) bərabərsizliini ödəən tam ədədlərin cəmini tapın. + A) 0 B) C) D) 6. > bərabərsizliini həll edin. A) ( ; ] B) ( ; ) C) ( ; 0) (0; ) D) (; + ) 7

172 7. b-nin hansı ən böük tam qimətində ədədi + b 5 0 bərabərsizliinin həllər çoluğuna daildir? 8. a-nın hansı qimətlərində a a + üçhədlisi həmişə müsbətdir? A) (0; ) B) (0; ) C) ( ; 0) D) (; + ) 9. + bərabərsizliini həll edin. A) ( ; 0) {} B) [; + ) C) ( ; ] D) ( ; ) 0. b-nin hansı qimətində + b + = 0 tənliinin həqiqi kökü odur?. k-nın hansı qimətlərində + k + = 0 tənliinin iki mütəlif kökü var?. Həll edin: + <. Üçbucağın bir tərəfi 6 sm, ikinci tərəfi 9 sm-dir. Üçbucağın perimetri 5 sm-dən kiçikdirsə, üçüncü tərəfin ən böük və ən kiçik tam qimətləri neçə ola bilər?. Torbada qızıl və gümüş pullar var. Hər qızıl pulun kütləsi q, gümüş pulun kütləsi isə 7 q-dır. Torbanın kütləsi 0 q-dan ço deil. Qızıl və gümüş pulların saını göstərən bərabərsizlik azın və qrafikini qurun. Bir neçə mümkün variant göstərin. 5. Uğunluğu müəən edin.. < 9. < bərabərsizliini həll edin. a) ən kiçik tam həlli 0-dır. b) ən kiçik tam həlli -dir. c) ən böük tam həlli -dür. d) tam həllərinin cəmi 0-dır. 7. Qrafik təsvirə uğun bərabərsizliklər sisteminin azın. 0 7

173 . Vektorlar. saat Məzmun standartı..5. Müstəvi üzərində vektor an la ı şını, vek - torların toplanması, çı ıl ması və ədə də vur ma qadalarını ri a zi və fiziki məsə lə lə rə tətbiq edir... Ölçü vahidlərinin mənasını başa dü şür, müvafiq ölçü alətlərindən istifadə edir.... Törəmə ölçü vahidlərinin birindən digərinə keçir...ölçmə və hesablama vasitə lərin dən istifadə edərək hesablamalar aparır.... Praktik ölçmələrdə alınan nəticələrin həqiqətə uğunluğunu olaır. Formalaşdırılan şagird ba carıqları vektorial, skalar və adsız kəmiətləri fərqləndirir; verilmiş istiqamətinə və uzun lu ğuna gö rə vektoru çəkir; ölçmələrlə verilən vektorun mütləq qi mə tini və istiqamətini müəən edir; vektoru koordinat müstəvisində təsvir edir; vektoru komponentləri ilə ifadə edir; vektorun uzunluğunu və istiqamətini mü ə ən edir; vektorları mütəlif üsullarla toplaır və çıır; vektorların ədədə vurulmasına aid məsə lə ləri həll edir; vektorlara aid mütəlif məsələləri həll edir. müə ən miqasla çəkilmiş təsvirin ölçülərini ve - ri lən miqasa görə real həatdakı ölçülərə uğunlaşdırır. Lüğət vektor, kollinear vektor, başlanğıc nöqtə, son nöqtə, vektorun istiqaməti, standart və - zi ət, vek torun mütləq qiməti, paralel vektorlar, bə ra bər vektorlar, əks vektorlar, sıfır vektor, vek to - run komponentləri, ekun vektor, əvəzləici vek tor Əlavə resurslar İşçi vərəqlər İnternet ünvanlar: /WindTunnel/Activities/vectors.html 7 Dərs. Dərslik səh. 5, 5. Vektorlar Motivasia. Biz hava haq qın da məlu mat da aşağıdakı kimi informasiaları eşidirik. Sabah havanın temperaturu + dərəcə olacaq, 5 km/ sa at sürətlə şimal-şərq küləi əsə cək. Sizcə, nə üçün temperatur haqqında kə miətin bir ölçüsü, küləin sürəti haq qın da isə kəmiətin iki ölçüsü ve ril - mişdir? Şagirdlər fizikadan ö - rən dik ləri biliklərlə bu suala cavab verirlər. Gedilən ol, erdəişmə, temperatur, sü rət, təcil, mütəlif növ qüvvələr- ağır lıq qüv vəsi, gəril - mə qüvvəsi, sürtünmə qüv və si, qra vitasia qüvvəsi və s. təz iq, kütlə və s. kəmiətlərin skal ar və a vektorial kəmi ət lər olub-ol ma dığı haq qın da fikir ürü dü lür. Kütlə və çəkinin fərqli fiziki kəmi ət lər ol duğu diqqətə çatdırılır. Məsələn, tə rə zi ilə kütləmi zi müəən edirik. Bu zaman kütlə erin mər kəzinə doğru önəlmiş 9,8 m/san tə - cillə Yerin cazibə qüvvəsinə məruz qalır. Mütəlif planetlərdə qravi tasia qüvvəsi mütəlif olduğu üçün çə ki də dəişir Vektorun modulu, istiqaməti an laışları müəən fiziki kəmiətlər üzərində araşdırılır, təsviri və adlan dı rıl ması izah edilir.

174 Vektorun başlanğıc və son nöqtələrində qed etdiimiz hərf lə rin ardıcıllığının əhəmiət kəsb etdii vurğulanır. Məsələn, vektorun AB işarəsi onun başlanğıcının A, sonunun isə B nöqtəsində olduğunu göstərir, əni vektor A nöqtəsindən B nöqtəsinə ö nəl mişdir. BA vektoru isə əksinə, B-dən A-a önəlmişdir. D.-də şagird vektorun modulunu damaların saına görə müəən edir. Praktik məşğələnin bütün şagirdlər tərəfindən necə erinə etirildii diqqət mər kə - zində salanılır. Bu bacarıqlar sonrakı dərslər üçün ço əhəmiətlidir. Vektoru ve - rilən modula və istiqamətə görə təsviretmə və əksinə ətkeş və transportirlə ölçməklə təsviri verilmiş vektorun istiqamətini və mütləq qimətini müəənetmə bacarıqları vektora aid nəzərdə tutulmuş bütün dərslərdə tətbiq edilir. Əlavə resurs olaraq aşağıdakı internet ünvanlarından istifadə etmək olar: ttp:// Dərs, 5. Dərslik səh Koordinat müstəvisində vektorlar. saat Vektoru koordinat müstəvisi üzərində koordinatlarına görə təsvir edir; Vektorun üfüqi və şaquli komponentlərdən təşkil olunduğunu başa düşür; Vektorun komponentləri ilə azılışını koordinat müstəvisi üzərində təsvirlə izah edir; Başlanğıc nöqtəsinin koordinatlarından asılı olaraq eni komponentlərə malik çolu sada vektorun mövcud olduğunu başa düşür; İki nöqtə arasındakı məsafə düsturunu tətbiq etməklə vektorun modulunu tapır; Vektorun komponentlərinə aid mütəlif məsələləri həll edir. a) Dərslikdə verilmiş tapşırıqlar araşdırılır. Şagird koordinat P müstəvisi üzərində təsvir edilmiş vektorları komponentləri ilə ifa də edərkən və ou üzərindəki miqasa diqqət edilir, miq - as lar mütəlif də verilə bilər. Şəkildəki OP vektorunun kompo - O nen tləri ilə azılışı: OP ; kimidir. Tapşırıqlar həm iki nöqtə arasındakı məsafəni hesablamaqla vektoru komponentləri ilə azmaq, həmçinin verilmiş komponentlərə görə və başlanğıc və a son nöqtəsinin verilən koordinatına görə digər koordinatı müəənetmə bacarıqlarını əhatə edir. Dərslikdə verilmiş məsələ tiplərinə aid nümunələr verilmişdir. Nümunələri şagirdlərin sinifdə azılı olaraq erinə etirmələri tövsiə edilir. Əlavə olaraq vektorların komponentlərinə və Pifaqor teoreminin tətbiqinə aid olan məsələləri həll etmək olar. Bu məsələlər İşçi vərəq - də verilmişdir. 7

175 Dərs 6. Dərslik səh. 56,57. Vektorun istiqaməti. saat Vektorun istiqamətini hesablamaq üçün triqonometrik nisbətdən istifadə edir; Uğun bucağın tangensi ilə ifadə etməklə tapır; Vektorun istiqamətini O ounun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdii bucağa görə müəən edir; vektorun istiqamətinə aid məsələləri həll edir. Vektorun istiqamətinə aid məsələlər bir ço hallarda vektorun standart vəziəti adlanan vəziətlə göstərilərək müəən edilir. Vektorun standart vəziəti dedikdə başlanğıc nöqtəsi koordinat başlağıcında olan vektor qəbul edilir. Bu vektorun istiqaməti O ou nun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdii bucaq qəbul edilir. Şəkildəki OA vektoru standart vektordur. O A Dərslikdə verilən tapşırıqlarda vektorun istiqamətinin müəənləşdirilməsi üçün aşağıdakı kimi istiqamət anlaışlarından istifadə edilmişdir. ) Gündəlik həatda istifadəə uğun olaraq sağ, sol, uarı, aşağı, şərq, qərb, şimal, cənub. ) Standart vəziətə görə, əni O ou ilə əmələ gətirdii bucağa (mel bucağına) görə. Məsələlər vektorun istiqamətinin mütəlif cür ifadə edilməsi və bu ifadə formaları arasında qarşılıqlı çevirmələrə aid verilmişdir.? D.0. a) Vektorun modulunu və istiqamətini müəən edin. Həlli: PQ vektorunu komponentləri ilə azaq. PQ= < ( ); ( ) > = <; 8> Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli: PQ = + 8 = 80 = 5 8 tgφ = = φ 6º 75 P( ; ) Q(; ) O

176 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Vektoru komponentləri ilə ifadə edir.. Verilən məlumatlara görə vektorları komponentləri ilə ifadə edin. a) Sürət 5 m/san, mel bucağı 55 b) Sürət m/san, şimal- şərqə c) Sürət 8 m/san, şimala d) Yerdəişmə 8 m/san, şimala. Adın evlərindən 0 km şimala, sonra 5 km şərqə doğru hərəkət etdi və gölə çatdı. Adıngilin evindən gölə qədər məsafəni onun erdəişməsinə görə hesablaın. 76

177 Adı Soadı İşçi vərəq Tari Vektorun istiqamətini O ounun müsbət istiqaməti ilə əmələ gətirdii bucağa görə müəən edir. Vektorları komponentləri ilə azın. 8m 5 0 0m 5m 0 9m 80 m 0 77

178 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Vektoru komponentləri ilə ifadə edir. Verilən məlumatlara görə vektorları komponentləri ilə ifadə edin.. Supermen -in sürətinin və komponentlərini tapın. 00m 0. Təarənin sürətinin üfüqi və şaquli komponentlərini tapın. 0m/s 5. Vaqona tətbiq edilmiş qüvvənin üfüqi və şaquli komponentlərini tapın. 78 0N 5

179 Dərs 7-0. Dərslik səh Vektorların toplanması və çıılması. saat Vektorları toplamaq və çımaq üçün -qrafik üsullardan; -üçbucaq qadasından (çobucaqlı qadası); -paraleloqram qadasından istifadə edir. Vektorların komponentlərindən istifadə etməklə onları toplaır; Toplama əməlinin assələrini vektorların toplanmasına tətbiq edir; Vektorların toplanmasına aid məsələlər həll edir.. İlk olaraq kollinear vektorların toplanması erinə etirilir. Şagird verilən vektorların uzunluğunu ətkeşin köməilə ölçməli, ekun vektorun müt ləq qimətini və istiqamətini müəən etməlidir. Ölçməni az əta ilə erinə e - tirmək, ekun vektorun istiqamətini düzgün müəən etməin əhəmiəti vurğulanır. D. tapşırığı real situasia üzərində vektorial kəmiətlərin toplanması və çıılması zamanı mütləq qimətin və istiqamətin rolunu adın göstərir. İp dartma oununda əks istiqamətlərə önəlmiş iki qüvvə tətbiq edilmişdir (bu qüvvələr də arı-arı oun çu - la rın qüvvələri cəmindən ibarətdir). Hansı tərəfə dartan qüvvənin qiməti daha böükdürsə, bütün qalan ounçuların erdəişməsi də o istiqamətə olacaqdır. Vektorların mütləq qimətinə və istiqamətinə görə qrafik təsviretmə bacarıqlarına üsusi diqqət verilir. Bu şagirdin fəza təsəvvürlərini inkişaf etdirməklə anaşı toplanan vektorları və əvəzləici vektorun mütləq qimətini, istiqamətini əani təsəvvür etməə im kan aradır. Şagirdin verilən ölçüə görə miqası seçmə bacarıqları diqqətdə sa - la nılır. Şifahi olaraq bir neçə nümunə üzərində olanılması tövsiə edilir. Məsələn, 000 km erdəişməni, 0 N qüvvəni, 60 km/saat sürəti qrafik təsvir etmək üçün miq - a sı necə seçərdiniz? Şagird kollinear vektorların toplanmasının və çıılmasının ədədlər üzərində toplama-çıma qadaları ilə oşar olduğunu başa düşür. Kollinear olmaan vektorların, toplanması qa da ları qrafik təsvirlərlə və bütün şagirdlərin erinə etirmə səviəsi diqqət mərkəzində salanılmaqla izah edilir. Üçbucaq qadası. 9 km şərqə və km şimala doğru hə - rə kə ti göstərən vektorların əvəzləici vektorunu tam ədəd lə ri d toplama qadası ilə tapmağın mümkün olmadığı izah edilir. km Bu vektor hərəkətin başlanğıc nöqtəsi ilə son nöqtəsini birləş - a di rən vektordur ki, onun uzunluğunu həndəsi assələri tətbiq et məklə tapmaq olar. 9 km. Əvəzləici vektorun modulunu tapmaq üçün Pifaqor teoremini tətbiq edirik: d = + 9 = 5. İstiqamətini isə triqonometrik nisbətlə müəən edirik. tga = /9 a 80 Cavab: Əvəzləici vektor son nöqtənin başlanğıc nöqtəə nəzərən erini 5 km şimal-şərq istiqamətində dəişdiini göstərir. 79

180 Vektorların həndəsi üsullarla üçbucaq qadası ilə və a paraleloqram qadası ilə top lanmasını erinə etirərkən vektorların istiqamətinin düzgün nəzərə alınması əhə - mi ətlidir. Hansı vektoru əvvəl, hansını sonra çəkməin rolu odur. Çünki, vektorların toplanmasında toplamanın assələri doğrudur. b Vektorların toplanması Toplama və çımanın üçbucaq qadası, paraleloqram qadası nəzərdən keçirilir. a + ( b) b Vektorların toplanmasının qrafik olaraq ölçmə olu ilə erinə etirildii şagirdlərin diqqətinə çatdırılır. Təsvirlə verilmiş vektoru toplamaq üçün: - biz onların hər birini ölçməliik; - bu ölçülərə uğun birinin son nöqtəsi digərinin başlanğıcı olmaqla ölçülmüş vektorları uc-uca çəkməliik ; - başlanğıc nöqtə ilə son nöqtəni birləşdirməliik. Əvəzləici vektor son nöqtənin başlanğıc nöqtəə nəzərən dəişməsini mütləq qimət və istiqamətlə ifadə edir. Bir neçə vektorun toplanması? a a + a b a + b+ c Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.7. EA + AB = EB EB = + = 5 tg = = 0,75 7º olduğundan φ º. A D.0. (səh.6) Təarə şimala doğru saatda 850 km/saat sürətlə uçur. Saatda 50 km/saat sürətlə əsən qərb küləinin təsiri altında təarənin sürəti və istiqaməti necə dəişməlidir? Çəkin, göstərin. Qərb küləinin təsiri altında hərəkət istiqaməti dəişir. Təarənin real sürəti iki komponentdən 850 km şərqə doğru götürülmüş sürətlə ( komponenti), 50 km şimal küləinin ( komponenti) sürətindən aranır. v = = 865 km/saat 850 tg = = b b a + b b 80 a a + + c = (a + b) + c a c b + b a a a b Vektorların çıılması b a b + b b a + b+ c a a + + c = a + (b + c) 850 b + c B 50 φ E v a c b

181 Toplama əməlinin assələrinin vektorlara tətbiqi də qrafik təsvirlər üzərində araşdırılır. D.. (Səh.6) a) AE + EB = AB d) AB DB = AB + BD = AD k) AB CB DC = AB + BC + CD = AD vektorların çıılması əks vektorla toplamaa gətirilir. D.. Qırmızı rənglə çəkilmiş vektorları a, b, c vektorlarının cəmi ilə mütəlif şəkildə əvəz etməklə vektorlar üzərində toplama əməlinin assələrini göstərin. b a m c n c a k b Şagirdlərin diqqəti hansı vektorların toplandığına önəldilir, bunun vektorların başlanğıc və son nöqtələrini göstərməklə müəən etməin mümkün olduğu izah edilir.. Soldan saat əqrəbinin hərəkəti istiqamətində c, b, a vektorları birinin sonu digərinin başlanğıcı olmaqla uc-uca düzülmüşdür, onların əvəzləici vektoru n vektorudur. c + b + a = n. Digər tərəfdən sağdan saat əqrəbinin hərəkətinin əksi istiqamətdə şəkli nəzərdən keçirsək, n = a + b + c olduğunu görərik. Buradan a + b + c = c + b + a bərabərlii toplamanın erdəişmə assəsinin doğru olduğunu göstərir.. Soldan saat əqrəbinin hərəkəti istiqamətində şəkli nəzərdən keçirsək, c vektorunun sonu b vektorunun başlanğıcındadır. Bu vektorların cəmini m vektoru göstərir. c + b = m. m vektorunun sonu a vektorunun başlanğıcıdır. Bu iki vektorun cəmi - əvəzləicisi n vektorudur. n = m + a və a n = a + (c + b) Analoji qada ilə sağdan saat əqrəbinin hərəkətinin əksi istiqamətində vektorları nəzərdən keçirsək: k = a + b; n = k + c, deməli, n = (a + b) + c Bərabərliklərin assəsini nəzərə alsaq: (a + b) + c = a + (c + b) olar. Bərabərliin qruplaşdırma assəsi. Toplananları istənilən ardıcıllıqla onların cəmi ilə əvəz etmək olar. D.6. (səh.6) təarənin sürəti V = 650 ; 0 küləin sürəti V = 80 cos5 ; 80 sin 5 = 56 ; 56 Təarənin ekun sürəti V = V + V = 706 ; 56 Külək təarəni hər saatda 56 km şimala doğru uzaqlaşdıracaq V V

182 Dərs. Dərslik səh.65, 66. Vektorun komponentləri və triqonometrik nisbətlər Vektorun komponentlərini triqonometrik nisbətlərlə ifadə edir; Triqonometrik nisbətlərdən istifadə etməklə vektora aid məsələlər həll edir. Vektor və onun komponentlərini tapma, həmçinin əvəzləici vektoru müəən et - mə ə aid məsələlərdə komponentlərin triqonometrik nisbətlərlə ifadəsindən geniş istifadə edilir. Hərəkət bir vektorla ifadə edilmişsə, komponentləri düzbucaqlı üçbucaq - dan istifadə etməklə triqonometrik nisbətlər ilə asanlıqla ifadə etmək olur. ou üzrə erdəişmə: ou üzrə erdəişmə: cos = sin = Kolleniar olmaan bir neçə vektorun toplanması aşağıdakı addımlarla erinə etirilir.. Hər bir vektorun və komponentləri triqonometrik nisbətlərlə müəən edilir.. O ou istiqamətindəki bütün komponentlər cəmlənir. O ou istiqamətindəki bütün komponentlər cəmlənir. Bu cəmlər əvəzləici vektorun və komponentləridir.. Əvəzləici vektorun mütləq qiməti Pifaqor teoreminə görə hesablanır.. Vektorun mel bucağı triqonometrik nisbətlə hesablanır. Bu addımların Nümunə -də necə icra edildii araşdırılır. d d d = dcos d = dsin V V D.. sin 5 = cos 5 = V Buradan : V = 00 sin 5 0,6 00 =,6 V V = 00 cos5 0, = 90,6 D.5. OA məsafəsini Pifaqor teoreminə görə tapırıq. OA = = 00 m. Başlanğıc nöqtədən 00 m uzaqlaşıb. d d A 80 B C

183 D.6. İlqar m/san sürətlə sahilə perpendikular olmaqla çada üzür. Çaın aın sürəti m/san, eni isə 0 m olarsa, tapın: a) İlqarın çaı üzüb keçmə müddətini; b) İlqarın üzdüü məsafəni. c) İlqar çaı sahilə nəzərən hansı bucaq altında üzüb keçəcək? İlqarın üzmə sürəti v = 0; Çaın aın sürəti v = ; 0 İlqarın ekun sürəti v = v + v = 0; + ; 0 = ; v = + = 5, m/san a) Çaın eni 0 m olarsa, İlqarın çaı üzüb keçmə müddəti t = 0 san olar. b) İlqar, m/san sürətlə S 0, = 88 m məsafəə üzər. c) tg a = 0,5 a 7º İlqarın sürəti Çaın sürəti m/san.? m/san. Dərs. Dərslik səh. 67. Vektorların tətbiqi ilə məsələ həlli. saat Vektorlara aid məsələ həlli şagirdin məsələdə verilən mətnə uğun qrafik təsviri çəkmə, vektorların toplanması, komponentlərinin müəən edilməsi kimi əlaqəli bacarıqları əhatə edir. Şagirdlərə məsələləri fərdi iş kimi müstəqil olaraq erinə etirmələri sonra isə həllini təqdim etmələri (sözlü və qrafik olaraq lövhədə) tövsiə edilir. D.. (səh. 66) Gülnarın tətbiq etdii qüvvənin üfüqi komponenti: Fü = 90 cos º 90 0,8 59 N şaquli komponenti: Fş = 90 sin º 90 0,5 0,5 N D.5. Xizəkçi əvvəlcə mel bucağı 0º olmaqla 50 m, sonra isə mel bucağı 0º olmaqla 00 m hərəkət etdi. Xizəkçinin erdəişməsini tapın. Həlli: d = 50 d = 50 cos60º = 75 d = 50 sin60º = 75 9,9 d = 00 d = 00 cos0º = 00 7, d = 00 sin0º = 00 d = , = 98, d = 9,9 + 00= 9,9 d = d + d = 98, + 9,9 = 50 (m) N º 00 Fü 0 0 Fş

184 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Kollinear və kollinear olmaan vektorların əvəzləici vektorunu müəən edir. Miqas seçin. Əvəzləici qüvvəni qrafik təsvir edin. Modulunu və istiqamətini müəən edin. N N 6N 6N N N N N N N N N N 6N 8

185 İşçi vərəq 5 Adı Soadı Tari Kollinear və kollinear olmaan vektorların əvəzləici vektorunu müəən edir.. Verilmiş şəkildə bir cismə 5 N və 0 N qüvvə sol tərəfdən, 0 N qüvvə isə sağ tərəfdən təsir edir. Cismə təsir edən qüvvələrin əvəzləicisi nə qədərdir? 5N 0N 0N. Cisim ona tətbiq olunmuş üç qüvvənin təsiri ilə sükunətdədir: Sağa doğru önəlmiş qüvvə 0 N, aşağı önəlmiş qüvvə 5 N olarsa, R qüvvəsinin istiqamətini və modulunu müəən edin.. Cismə üç qüvvə təsir edir: 0 N -sol tərəfdən, N aşağıa, N-luq qüvvə isə üfüqi istiqamətlə 0 bucaq altında. Cismə təsir edən qüvvələrin əvəzləicisinin şaquli və üfüqi komponentlərini tapın. 85 R 5N 0N 0N N N 0

186 Dərs - 5. Dərslik səh Vektorun ədədə vurulması. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat Hər hansı vektorun skalar ədədə vurulması nümunələr üzərində müsbət tam, mənfi tam və kəsr ədədlər seçilməklə izah edilir. ) a vektorunun uzunluğunun dəfə artırılması ilə alınan a vektoru təsvir edilmişdir. Bu vek torlar eni istiqamətlidir. a a Vurma əməlinin assələrinin vektorun ədədə vurulması zamanı da doğru olduğu qed edilir. Burada enə də ədədə vurulduqdan sonra alınan eni vektorun verilən vektorla eni miqasda çəkilməsinə diqqət edilir. Başqa sözlə vektorun ədədə vurulmasının qrafik təsvirlərlə müşaiət olunmaqla erinə etirilməsi tövsiə edilir. Şagird a vektorunun a vektorundan dəfə uzun olduğuna, a vektorunun a vekto - run dan dəfə qısa olduğuna çəkdii təsvirlərdə ölçmələrlə inanır və inandırır. D.. a) AC = AB + BC = a d) Lİ + LE = a b D0. X B C ) AX = AB + BX = a + b ) BY = BC + CY = b + a = b a a Y ( ) A b D D.5. (səh. 7) a) Qaığın sürəti saniədə neçə metr 00 m olacaq? v = + 0,75 m, ( san ) m/san. b) Qaıq çaı neçə dərəcə bucaq altında keçəcək? 0,75 m/san. 0,75 m/san. m/san. 00 m a 0,75 m/san. a 0,75 tga = = 0,5 a º c) Qaıq çaı nə qədər vata keçəcək? t = 00 = (san) d) Qaıq planlaşdırılan istiqamətdə hərəkətdə çatacağı nöqtədən neçə metr aralıda daanacaq? = 00 : 0,75 = 5 (m) ) Şəkildə a vektoru və onun uzun - lu ğunun -ə vurulmasından alınan a vektoru təsvir edilmişdir. Bu vektorlar əks istiqamətlidir. 86 a a m 00 m

187 D.8. (səh.7) Medianların kəsişmə nöqtəsi üçbucağın ağırlıq mərkəzi adlanır. D (; ) və E (6; ) nöqtələri 6 DEF-in təpə nöqtələri, C (; ) isə onun ağırlıq mərkəzini göstərir. F təpəsinin koordinatlarını müəən edin. FC düz əttinin üçbucağın DE tərəfi ilə kəsişmə nöqtəsi M olsun. M nöqtəsi DE-nin orta nöqtəsidir. D + E + 6 m = = =,5 D D + E + m = = = C F E 6 M (,5 ; ) Medianların assəsinə görə FC : CM = : F ( ; ) olsun FC = ; = 0,5 ; = = Burada { Cavab : F ( ; 8) = = 8 F C D M E bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə mearları cədvəli Mearlar Qedlər Vektorial, skalar və adsız kəmiətləri fərqləndirir. Verilmiş istiqamətinə və uzun lu ğuna gö rə vektoru çəkir. Ölçmələrlə verilən vektorun mütləq qi mə tini və istiqamətini müəən edir. Vektoru koordinat müstəvisində təsvir edir. 5 Vektoru komponentləri ilə ifadə edir. 6 Vektorun uzunluğunu və istiqamətini mü ə ən edir. 7 Vektorları mütəlif üsullarla toplaır və çıır. 8 Vektorların ədədə vurulmasına aid məsə lə ləri həll edir. 9 Vektorlara aid mütəlif məsələləri həll edir. 87

188 Dərs 6.. bölməsi üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları. A ( ; 7) və AB = 8; isə B nöqtəsinin koordinatlarını tapın.. A (; ) və B (5 ; ) nöqtələri verilib. AB vektorunu komponentləri ilə azın.. ΔABC-də AB =5, BC = 0, B = 90 olarsa AB + BC -ni tapın. a ( ; k + ) və b (k ; 6) vektorlarının kollinear olduğu məlumdursa, k-nı tapın. 5. a 5; vektorunun uzunluğunu hesablaın. 6. A (5; ), B (8; 7), C (; ) nöqtələri verilmişdir. AB = CD olduqda D nöqtəsinin koordinatlarını tapın. 7. Başlanğıcı A ( ; ), sonu B (5; 5) nöqtəsində olan AB vektorunun komponent - lərini azın və uzunluğunu hesablaın. 8. Şəkil konqruent paraleloqramlardan təşkil olunmuşdur. AB = a, AC = b olarsa, AM, AL, NE vektorlarını a və b ilə ifadə edin. K M N 88 B a A b 9. a = ; olduğuna görə O L a) a + b b) a + b C E b) a + b vektorlarını komponentləri ilə azın. 0. Qaığın durğun suda sürəti m/san-dir. Çaın eni 60 m, aın sürəti m/sandir. Qaığın a) aın istiqamətində b) aının əksinə istiqamətdə sürətini tapın; c) qaıq çaın aın istiqamətinə perpendikular istiqamətdə hərəkətə başlaarsa, hərəkət istiqaməti neçə dərəcə dəişəcək? d) qaıq çaı neçə saniəə keçər?. Araba 0 -li bucaq altında təsir edən F = 0 N qüvvəsinin təsiri ilə hərəkət edir. Bu qüvvənin üfüqi və şaquli komponentlərini tapın.. Turistlər düşərgədən 50 m cənuba, 80 m şərqə, daha sonra 90 m şimala doğru gedib, gölə çatdılar. Düşərgədən gölə qədər məsafəni tapın. DAB-ni hesablaın. AD vektorunun AB, BC, və CD ilə ifadə edin. A 50 B 80 C D 90

189 5-ci bölmə üzrə planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu Saat Dərslik səh.... Ardıcıllıqların, ədə di və həndəsi silsi - lə lə rin assələrini məsələ həllinə tətbiq edir...5. Praktik məsə - lələrin həllinə (bank əmə li atlarında, satış qimətinin dəiş mə sin - də) faizin düsturlarını tət biq edir.... Müstəvi üzərində paralel köçürmə anlaışını bilir və fiqurların çevrilməsinə tətbiq edir.... Hərəkət çevrilməsi anlaışını bilir və iki konqruent fiqurdan birini digərindən hərəkət çevirməsi ilə alır. 7,8 Ədədi ardıcıllıqlar , Ədədi silsilə. Ədədi silsilənin n-ci həd di nin düstu ru. Ədədi silsilənin hədlərinin assələri. Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu Həndəsi silsilə 87, 88 6,7 8 9,0 Həndəsi silsilənin n-ci həddinin düsturu Həndəsi silsilənin hədlərinin assələri Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu q olduqda sonsuz həndəsi silsilənin cəmi , 97, Ümumiləşdirici tapşırıqlar 98, 99-7 Həndəsi çevrilmələr. Hərəkət Ümumiləşdirici tapşırıqlar ci bölmə üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları Cəmi

190 .. Ədədi ardıcıllıqlar. Məzmun standartı... Ardıcıllıqların, ədədi və həndəsi silsilələrin assələrini məsələ həllinə tətbiq edir...5. Praktik məsələlərin həllinə (bank əməliatlarında, satış qimətinin dəişməsində) faizin düs turlarını tətbiq edir. Dərs 7, 8. Dərslik səh Ədədi ardıcıllıqlar. saat Motivasia. Araşdırma tapşırığı motivasia olaraq istifadə edilir. Şagirdlər portağalların düzülüş qadası haqqında fikir ürüdürlər. Yuarıdan aşağı hər cərgənin nömrəsi ilə bu cərgədəki portağalların saı arasında əlaqə varmı? Şagird bacarıqları ədədi ardıcıllıqlar üçün rekurrent və ekspilisit düsturu azır; Hər qatdakı portağalların saı uğun qa - ədədi silsilə üçün rekurrent və tın sıra nömrəsinin kvadratına bə ra bərdir. eks pilisit düsturu azır; ədədi silsilənin n həddinin cəmi Bu qada ilə düzülmüş istənilən qatdakı düsturunu tətbiq edir; portağalların saını tapmaq üçün düstur azılır. ədədi silsilənin hədlərini, hədləri,, 9, 6,... Bu ədədlərə kvadrat ədədlər de - saını, hədləri cəmini, fərqini tap - ilir. Göründüü kimi piramida şəklində mağa aid məsələlər həll edir; ığılmış portağalların hər qatındakı porta - həndəsi silsilənin rekurrent və ğalları kvadrat aradacaq şəkildə düzmək eks pilisit düsturunu azır; mümkün olmuşdur. Kvadrat ədədlərlə anaşı həndəsi silsilənin hədləri cəmini, üçbucaq, beşbucaq, altıbucaqlı ədədlər hədlərini, vuruğunu, hədləri saını anlaışından da istifadə edilir. Biz eri gəl - tapmağa aid məsələlər həll edir; dikcə məsələ həllində bu ədədlərlə tanış sonsuz azalan həndəsi silsilənin olacağıq. hədləri cəmi düsturunun tətbiqi ilə məsələlər həll edir. Lüğət Örənmə. Örənmə üçün tapşırıqların ədədi ardıcıllıq, ədədi ardıcıl - aşağıdakı ardıcıllıqda verilməsi tövsiə edilir. lığın həddi, ədədi ardıcıllığın n-ci. Aşağıdakı ardıcıllıqlardan qadanı və həddi, rekurrent düstur (qada) növbəti həddi söləin.. eks pilisit düstur(qada), ədədi sil - a),, 5, 7, 9,... b), 5, 8, 9,... si lə, ədədi silsilənin n həddinin cə - c),, 9, 6,... d) 0,, 8, 5,... mi, ədədi orta, həndəsi silsilə, hə n dəsi silsilənin n həddinin cəmi, Şagirdlərin diqqətinə çatdırılır ki, ədədi həndəsi orta, sonsuz azalan hən də - ardıcıllıqların hədləri müəən sabit fərqlə si silsilə dəişə bilərlər, həmçinin hər bir hədd Əlavə resurslar nömrəsinə görə dəişən qada ilə dəişə İşçi vərəqlər,internet ünvan - bilər.. Aşağıdakı nümunələr nəzərdən keçirilir. ları: a) 5, 8,,... b),, 7,,

191 Şagirdlərin diqqətinə çatdırılır ki, ədədi ardıcıllıqları: - hər bir sonrakı həddi özündən əvvəlki həddən asılı dəişmə qadası ilə; - hər bir həddi özünün sıra nömrəsindən asılı olaraq dəişə bilər (məsələn, üçbucaq ədədlər, kvadrat ədədlər, üçbucaq portağalın düzülüşündə olduğu kimi); - istənilən həddinin, başqa sözlə n-ci həddinin düsturu ilə verilə bilər. Şagirdlərə sual verilə bilər. Aşağıdakı ardıcıllıqların hədlərinin dəişmə qadasını müəən edin və istənilən həddini azmaq üçün düstur azın. a), 6, 9,... b),, 5, 7,... c), 5, 7,... Şagirdlər ardıcıllığın hər bir həddinin özündən əvvəlki həddə görə dəişmə qadasını müəən etməklə onları a = a, a = a,... və s. kimi ifadə edirlər.. Ardıcıllıqlar modellə də verilə bilər. Növbəti modeli çəkin. Bu ardıcıllıq 0-cu, 8-ci addımdakı modeldə neçə dairə olacaq?? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli D.6. an = n 8n düsturu ilə verilən ardıcıllığın a) 0- ə; b) 8- ə; c) 5- ə; d) 0- a; e) - ə bərabər həddi varmı? Varsa bu həddin nömrəsi neçədir? Həlli: a) n 8n = 0 n 8n 0 = 0 (n 0)(n + )= 0 n = 0 n =. 0 N olduğundan verilmiş ardıcıllığın 0- ə bərabər həddi var və bu hədd a0 həddidir. e) n 8n = tənliinin kökləri natural ədəd olmadığından an= n 8n ardıcıllığının - ə bərabər həddi odur. D.7. Kibritlərin hər addımdakı saı ədədlə ifadə edilir Göründüü kimi, hər addımda kibrit artırılır. Deməli kibritlərin sa tərkibində - ün misilləri var. = + ; 7 = +; 0 = +;? = + () və s. Deməli, istənilən addımdakı kibritlərin saını n + düsturu ilə hesablamaq olar. 9...

192 Yeni ədədi ardıcıllıq aratma bacarıqlarını formalaşdırmaq üçün ətti funksianın tənliklərindən istifadə etmək ən əlverişli üsuldur. Məsələn, ədədin üç mislinin üzərinə iki əlavə edin. a + qadası ilə aradılan ardıcıllığı ümumi şəkildə an + şəklində azmaq olar. Bu ardıcıllığın hədləri 5, 8,,,... və s. kimi olacaq. İndi isə ətti funksianın düsturu ilə ifadə oluna bilən ardıcıllıqları düsturla ifadə etmə bacarıqlarına nəzər salaq: Məsələn,, 7,, 9, 5, ardıcıllığının hər bir həddi ilə özündən əvvəlkinin fərqi 6-dır. Hər bir həddi 6n + b kimi azaq. Birinci həddə görə b ədədinin 5 olduğunu ( 6) müəən etmək olar. Deməli, bu ardıcıllığın istənilən həddini 6n + 5 qadası ilə tapmaq olar. Şagirdlərə aşağıdakı kimi ardıcıllıqlar nümaiş etdirilir və ardıcıllığın dəişmə qadasını müəən etmək təklif edilir. Şagirdlər şifahi hesablamalarla bu qadaları müəən edirlər. Tapşırıqlar qruplarla iş kimi də erinə etirilə bilər. 7,, 7,, 7, + 5n 00, 5, 0, 5, 60, 5n + 85,5;,5; 6,5; 8,5; 0.5, (n + )/, 7,,, 8, 5n 7,, 8,, 0, 0 6n Çobucaqlının diaqonallarının saının tərəfləri saından asılılığını göstərən qadanı bir daha ardıcıllıq azmaqla müəən edirlər. Tərəflərin saı: Diaqonalların saı: Çobucaqlının verilmiş təpəsi ilə qonşu olan iki qonşu təpəsinə diaqonal çəkmək mümkün deil. Deməli, diaqonal çəkilməsi mümkün olan təpələrin saı (tərəflərin saı) n olacaq.. Nəzərə alsaq ki, çobucaqlının n təpəsi var. Deməli, diaqonalların saı n(n ) olacaq.. Lakin bir təpədən çəkilmiş diaqonal digər təpəni də əhatə etdiindən, bir diaqonalın iki dəfə saıldığını nəzərə alaraq ümumi saı -ə bölək. Diaqonalların saını n(n ) qadası ilə tapmaq olar D.. { an, an cüt ədəd olarsa;. an + = an +, an tək ədəd olarsa; Şərtə görə a cüt ədəd olarsa, I düsturdan, a tək ədəd olarsa, II düsturdan istifadə etmək lazımdır. a = olarsa, an + = an + düsturundan istifadə edəcəik. a = a + = + = + =, onda a a = = = 7 an = a + = 7 + = 5 və s. 9

193 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Ədədi ardıcıllıqlar üçün rekurrent və ekspilisit düsturu azır.. Ardıcılıqların hədlərinin ətti asılılıqla dəişdiini nəzərə alaraq, dəişmə qadasını düsturla azın. a), 8,, 6, 0,... b) 5, 0, 5, 0, 5,... c),,,, 5,... d) 7, 9,,, 5,... e) 5, 9,, 7,,... f) 0, 9, 8, 7, 6,... g) 50,, 8,, 6,... h), 5, 8,,... i) 8, 7, 6, 5,,... j), 0,, 8,,... k) 7,, 7,, 7,... l),, 7,,.... Fiqurları quraşdırmaq üçün istifadə olunan kibrit çöplərinin saının dəişmə ardıcıllığını azın. İstənilən nömrəli fiqurda istifadə edilmiş kibritlərin saını tapmaq üçün qadanı müəən edin və düsturla azın. Bu qada ilə quraşdırılmış 0-cu fiqurda neçə kibrit olacaq?. Düzbucaqlıların tərəflərinin ölçüləri şəkildə verilmiş qadada dəişir. Düzbucaqlının sahəsinin onun sıra nömrəsindən asılılığını ifadə edən qadanı müəən edin. Tərəflərinin ölçüsü bu qada ilə dəişən 8-ci fiqurun sahəsini tapın.... Fiqur Fiqur Fiqur 7 dənə dənə 7 dənə 9

194 Dərs 9-. Dərslik səh Ədədi silsilə. Ədədi silsilənin n-ci həd di nin düsturu. Ədədi silsilənin hədlərinin assələri. saat Ədədi silsilənin dəişmə qadasını müəən edir; Ədədi silsilə üçün rekurrent və ekspilisit düsturu azır; Ədədi silsilənin n həddinin cəmi düsturunu tətbiq edir; Ədədi silsilənin hədləri assələrini bilir və tətbiq edir; Ədədi silsilənin hədlərini, hədləri saını, hədləri cəmini, silsilə fərqini tapmağa aid məsələlər həll edir; Ədədi silsiləə aid real həati məsələləri həll edir. Rekursiv recursive latın sözü olub periodik olaraq an = an + pillə an özünü dəişdirən mənasını verir. Ardıcıllıqlarda hər bir həddi özündən əvvəlki hədlə ifadə edən düstur nəzərdə tutulur. a Eksplisit eplicit - latın sözü olub adın, açıq mənasını a ifadə edir. Riaziatda birbaşa müəən etmə = a + pillə a mənasında olmaqla ardıcıllığın istənilən həddini müəən a = a + pillə a etməə imkan verən düstur nəzərdə tutulur. Ədədi silsiləni dəişmə qadası müzakirələrlə izah edilir. Şagirdlərə müstəqil olaraq aşağıdakı məzmunda silsilələr azmaq tapşırılır. Artan və a azalan ədədi silsilə: Müsbət tam ədədlər üzərində ; Mənfi tam ədədlər üzərində ; Kəsr ədədlər üzərində; Onluq kəsrlər üzərində qurulmuş. Şagirdlər ədədi silsiləni azmaq üçün birinci həddin və silsilənin fərqini müəənləşdirməli olduqlarını başa düşürlər və hər bir silsiləni aratmağa əvvəlcə bu göstəriciləri azmaqla başlaırlar. Verilmiş ədədi silsiləni rekurrent və eksplisit düsturların köməilə təqdimetmə tapşırıqları erinə etirilir. Şagird verilmiş ədədi ardıcıllığın növbəti bir neçə həddini ardıcıl, ardıcıllığın istənilən həddini azır. Ardıcıllıqları tenologianın tətbiqi ilə aratma məşğə lə lə - rinə er verilməsi tövsiə edilir. Ecel proqramının kö məilə də işmə düsturunu da il etməklə həddin pozisiasını sıra nömrə sini və həddin özünü göstərən elektron cədvəl qurul - ması töv si ə edilir. A B = A + 7 = A + = A + 7 = A + = A = A + = A = A5 + = A = A6 + = A = A7 + = A = A8 + = A = A9 + = A A B an

195 Şagirdlər ədədi ardıcıllıqla ədədi silsilənin fərqini diqqətdə salaırlar. Məsələn, a),, 7,,... c),, 9, 6,... müəən qada ilə dəişən ədədi ardıcıllıqlardır, lakin bu ardıcıllıqlarda sabit fərq olmadığı üçün onlar ədədi silsilə deillər.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli və metodik tövsiələr D.. (səh. 78.) b) 6; ; ; Rekurrent qada: a = 6 və a = olduğu üçün d = a a = ( 6 ) = an + = an + d an + = an +, a = 6 Eksplitik qada: an = a + (n )d düsturuna görə a = 6, d = olduğundan, an = 6 + (n ) = n 0 an = n 0 D.. və 0 ədədləri arasında daha ədəd azsaq, onda ədədi silsilənin 6 həddi ; a ; a; a; a5; 0 olar. a =, a6 = 0 an ak a6 a 0 d = n k düsturundan istifadə edək. d = = = = 7, 5 a = a + d = + 7, =, a = a + d =, + 7, = 8, a = a + d = 8, + 7, = 5,6 a5 = a + d = 5,6 + 7, =,8 D.6. 0; 7; ədədi silsiləsində hansı hədlər üçün a) an > 0, b) an < 0 şərti ödənir? a) an > 0 şərtinin ödənməsi üçün an in n-dən asılılıq düsturunu azaq: an = a + (n )d düsturunda a = 0, d = a a = 7 ( 0) = olduğunu nəzərə alsaq an = 0 + (n ) > 0 bərabərsizliini həll etmək lazım gəlir. (n ) > 0 n > n > n natural ədəddir və -dən böük olan ən kiçik natural ədəd 5-ə bərabərdir. Deməli n 5 olduqda, an > 0 olur. D.9. a) n = n 5 düsturu ilə verilmiş ardıcıllığın ədədi silsilə olduğunu göstərin. Onun birinci həddini və fərqini tapın. Həlli. (n + )- ci və n- ci hədlərin fərqini tapaq. n+ n = ((n + ) 5) (n 5) = n + 5 n + 5 = Göründüü kimi, n- in istənilən qiməti üçün (n + )- ci və n- ci hədlərin fərqi, əni iki qonşu həddin fərqi sabitdir (bu halda - dir). Deməli, n = n 5 düsturu ilə verilən ardıcıllıq silsilə fərqi - ə bərabər olan ədədi silsilədir, əni d =. Bu silsilənin I həddi = 5= 95

196 D.7. Şagirdlərin diqqəti planetimizlə bağlı mütəlif ekoloji, geodezik dəişikliklərə cəlb edilir. D.8 məsələsində aritekturada nizamlı dəişmələr diqqətə çatdırılır. Aritekturaa aid məsələdə şəkil çəkilməsi tövsiə edilir. Piramidaşəkilli konstruksianın üzlərini bəzəmək üçün mütəlif naışlardan, parketləmə qadasından istifadə edilir. Şagirdlər gördükləri mütəlif binaların aritekturasında bu dəişmələri müşahidə edir, şəklini çəkir, qadasını müəənetmə fəaliətlərinə təşviq edilir. Parisdəki Luvr muzeinin girişindəki piramida. D.0. a) a ; a; a { a { a a + a + a = a a = 8 a =? ; a =?; a =? a + a + d + a + d = a + d = a + d = a + d = a = olduğunu nəzərə alsaq, a + a = 8 a = olduqda a = 7 a = 7 a = 7 olduqda a = alarıq. Beləliklə ; ; 7 və 7; ; ədədlər ardıcılığı verilən məsələnin şərtini ödəir. Real həati situasialarda, şəkillər, real obektlər üzərində müəən dəişmələri tədqiqetmə qanunauğunluğu kəşfetmə bacarıqlarını inkişaf etdirmək vacibdir. Şagird ədədlər üzərində ardıcıllıqların assələrini tətbiq edə bilər. Lakin real həati situasialarla əlaqəni aratmaqda çətinlik çəkə bilər. Odur ki, mətnlə, cədvəllə, şəkillə, modellə verilmiş problemlərdə ardıcıllığın müəən edilməsi tapşırıqlarına üstünlük verilməsi tövsiə edilir. Ədədi silsilənin tədrisinin ətti funksia ilə əlaqəli aparılması tövsiə edilir. Həm ətti funksia, həm də ədədi silsilə sabit dəişməni əks etdirir. Ardıcıllıq natural ədədlər çoluğunda təin edilmiş ətti funksiadır. D., D., D.7. (səh. 86) tapşırıqları ilə bu əlaqəni araşdırma, oşar və fərqli cəhətlərini müəən etmə məşğə lələrini erinə etirmək olar. 96

197 D.7. (səh. 8) Fales teoreminə görə bucağın tərəflərini kəsən paralel düz ətlər onun bir tərəfində bərabər parçalar aırırsa, onun digər tərəfində də bərabər parçalar aırır. BM = MM = MM = MA CN = NN = NN = ND Bu isə imkan verir ki, MN, MN, MN parçalarının uğun trapesiaların orta ətləri olduğunu müəən edək. Asanlıqla göstərmək olar ki, MN parçası ABCD trapesiasının orta əttidir: BC + AD MN = = = sm Bundan sonra isə, MN parçasının MBCN trapesiasının, MN parçasının isə AMND trapesiasının orta ətti olduğunu görmək olar. Onda MN + BC 6 + A b B MN = = = 9 sm M N MN + AD 8 + M N MN= = = 5 sm C a D Beləliklə, MN = 9 sm; MN = sm; MN = 5 sm. Yəni, MN, MN, MN parçaları ədədi silsilə əmələ gətirir. Qed edək ki, trapesianın uarı və aşağı oturacaqlarını da bura əlavə etsək, onda göstərilən paralel parçaların uzunluqlarının ədədi silsilənin ardıcıl hədləri olduğunu görərik. 6; 9; ; 5; 8. D.8. ; ; olarsa, b a c + b b a c = + = a c ; b b b a + c = b c a = b( + + c a ) = b b = D.. a, b, c ədədlərinin ədədi silsilə təşkil etdii məlumdur. a + ab + b, a + ac + c, b + bc + c ardıcıllığının da ədədi silsilə olduğunu isbat edək. Ədədi silsilənin assəsinə görə b = a + c Əgər göstərsək ki, a + ac + c = a + ab + b + b + bc + c bərabərlii doğrudur, onda uarıdakı məsələni isbat etmiş olarıq. b = a + c a bərabərliini nəzərə almaqla + ab + b + b + bc + c ifadəsini sadələşdirək. a + ab + b + b + bc + c = a + b(a + c) + b + c = a + a + c (a + c) + ( a + ) + c c a = = + (a + c) + (a + c) +c = a + ac +c = = a + ac + c İsbat olundu. 97 M N

198 Dərs,. Dərslik səh Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu. saat Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturunu tətbiq edir; Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmini real həati situasia məsələlərinə tətbiq edir. 5, 8,,,... nümunəsi üzərində ilk n həddinin cəmi fikri izah edilir. Bu ədədi silsilənin hədləri cəmi dedikdə nəzərdə tutulur. Sn ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmini göstərmək üçün istifadə edilir. Yuarıdakı ədədi silsilə üçün: S = t S = t + t S = t + t + t S = t + t + t + t S = 5 S = S = S = S = S = S = 8 ilk həddinin cəmi ilk həddinin cəmi ilk həddinin cəmi Ədədi silsilənin iki mütəlif azılışlı düsturlarının çıarılışı şagirdlərlə birgə müzakirədə alınır. (a + an ) n (a Sn = + (n ) d ) n Sn = Ədədi silsilənin ilk n hədinin cəminin, birinci həddinin, silsilənin fərqinin, silsilənin hədlərinin saının verilməsinə görə mütəlif məsələlər həll edilir. Şagirdlərə örənməni diaqnostik olaraq qimətləndirmək üçün aşağıdakı kimi suallar verilə bilər. (Bu tip sualları əhatə edən işçi vərəqlər də verilmişdir.) Ədədi silsilədə S0 = 00, a = və d =, bu məlumatlara görə bu silsilənin ilk həddinin cəmini düsturdan istifadə etmədən necə tapa bilərsiniz? Şagird bu cəmə -ci həddi əlavə etməli olduğunu başa düşərək təminən aşağıdakı kimi düzgün cavab verə bilər. S = S0 + a a-in mən an = a + (n )d düsturuna görə a = + 0 = olduğunu taparam. S = 00 + = olduğu məlum olar.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi D.. an = n a) S5 =? b) Sn =? a + a5 + 7 a) S5 = 5 = 5 = 5 = 95 a + an + n n b) Sn = n = n = n = (n ) n = n n Qed: Sn = n n düsturunun köməi ilə a) bəndindəki cavabın doğruluğunu o - lamaq olar. n = 5 S5 = 5 5 = 5 0 =

199 D.5. Cəmi tapın. a) n + n n (n+) a =, an = n n = n = n (n+) b) n = ( n) = = n (n+) + n c) (n ) = n = n n = n D.6. c) -ə bölünən və 00-dən kiçik olan natural ədədlərin cəmini tapaq : -ə bölünən ədədlər ardıcıllığı an = n düsturu ilə verilir. Şərtə görə an < 00, n < 00, n. Deməli an =n düsturu ilə verilən ədədi silsilədə ilk həddin cəmini tapmalııq. a =, a = 99 olduğundan S = + 99 = 68 D.7. a = 7, d =,5, S5 -? S = a + a + a + a + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 + a0 + a a = 7, d =,5, S5 -? S S5 S = S + S5 S5 = S S Deməli, S5 -i tapmaq üçün S və S-ü tapmaq lazımdır. a + 0d + 5 S = = =,5 = 59,5 a +d + 5 S = = = 8,5 = 7 S5 = 59,5 7 =,5 D.. a) = 70,? a =, d =, an =, Sn = 70 an = a + (n ) d = + (n ) = (n ) = + n =, n = Sn = n = = 70 ( +) ( +) = 70 6 = = = 0 = 9, = > 0 olduğu üçün = məsələnin şərtini ödəmir. Deməli, = 9 D.. Diqqət edin! Sn = a + a an + an Sn = a + a an Bu bərabərlikləri tərəf-tərəfə çısaq, an = Sn Sn alarıq. b) Sn = n + n, a5 =? a =? Düstura görə a5 = S5 S = ( + ) = 55 6 = 9 a = S S0 = + ( 0 + 0) = ( + ) 0 (0 + ) = 0 = 5 0 = 99

200 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Ədədi silsilənin hədlərini, hədləri saını, fərqini tapmağa aid məsələlər həll edir.. Verilən ədədi silsilələrin qed olunmuş hədlərini tapın. a),, 7,..., (a0) b) 8, 6,,..., (a) c) 8,, 0,..., (a0) d) 0, 5, 0,..., (a7) e) 0, 0, 0,..., (a6) f) 6, 8, 0,..., (a) g),,..., (a0) h) 6, 5, 5,..., (a) i) 7, 6, 6,..., (a). k, k, k, 0,... a) a6 - nı tapın. b) an - ni tapın. c) a0 = 6 olarsa, k - nı tapın. ədədi silsiləə görə erinə etirin. 00 j) 0, 5, 0,..., (a5)

201 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Ədədi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturunu tətbiq edir.. a),, 5,..., (S8) b), 5, 8,..., (S0) c) 0, 7,,..., (S0) d) 8, 7, 6,..., (S) e), 0,,..., (S8) f) 0, 6,,..., (S5) g) 0, 5, 0,..., (S6) h),, 0, 9,..., (S) i) 8, 5,,..., (S). Birinci həddi 6, fərqi olan ədədi silsilənin beş həddinin cəmini tapın hədləri cəmi göstərilmiş ardıcıllığın neçə həddini toplamaq lazımdır ki, cəmləri 0 olsun?. Birinci üç həddi ; və 7 olan ədədi silsilənin 5-ci həddini və ilk 5 həddinin cəmini tapın. 5. Birinci üç həddi ; 9; 7 olan ədədi silsilənin -ci həddini və ilk həddinin cəmini tapın. 6. Ədədi silsilənin birinci həddi 7, silsilə fərqi -dir. Bu silsilənin ilk neçə həddinin cəmi 5,5-dir. 0

202 Dərs 5-8. Dərslik səh Həndəsi silsilə Həndəsi silsilənin n-ci həddinin düsturu. Həndəsi silsilənin hədlərinin assələri. saat Həndəsi silsilənin dəişmə qadasını müəən edir; Həndəsi silsilə üçün rekurrent və ekspilisit düsturu azır; Həndəsi silsilənin n həddinin cəmi düsturunu tətbiq edir; Həndəsi silsilənin hədləri assələrini bilir və tətbiq edir; Həndəsi silsilənin hədləri cəmini, hədlərini, hədləri saını, fərqini tapmağa aid məsələlər həll edir; Həndəsi silsiləə aid real həati məsələləri həll edir. Həndəsi silsilənin tərifinin izahı həndəsi silsilə olan və olmaan ədədi ardıcıllıqlar üzərində olanılır. Hədləri 0-dan fərqli olan ardıcıllığın ikincidən başlaaraq hər bir həddi özündən əvvəlki hədlə eni bir ədədin hasilinə bərabər olarsa, belə ardıcıllığa həndəsi silsilə deilir. Başqa sözlə desək həndəsi silsilənin ikincidən başlaaraq hər bir həddinin özündən əvvəlki həddə nisbəti sabit qalır. Məsələn,,,,,... və a 0,,,,... və a, 6, 8, 5,... tərifə görə ardıcıllıqda 6 : = 8 : 6 = 5 : 8 =... nisbətləri bərabərdirsə, bu ardıcıllıq həndəsi silsilədir. Araşdırma tapşırığında verilmiş məsələə uğun ardıcıllıq azılır. İlk dəfə m hündürlüə qalmış, daha sonra isə hər dəfə əvvəlki hündürlüünün 60%-i qədər uarı qalmışdır.. (0,6) 0. 0,6 = (0,6) ( 0,6) 0,6 = (0,6) Topun erə dəmələri. ( 0,6 0,6) 0,6 = (0,6)... Deməli, istənilən andakı erədəmədə qaldığı hündürlüü hn = (0,6) n Topun erədəmə sırası ilə onun qaldığı hündürlük arasındakı əlaqə həndəsi silsilə qadası ilə dəişir. Bu birinci həddi, vuruğu 0,6 olan həndəsi silsilədir. Həndəsi silsilə sonlu və sonsuz ola bilər. Həndəsi silsilənin rekurrent düsturu bn+ = bn q Bu düsturların tətbiqi ilə tapşırıqlar erinə etirilir. Diaqnostik qimətləndirmə məqsədilə şagirdlərə aşağıdakı kimi suallar verilə bilər. ) Ardıcıllıqların həndəsi silsilə olub-olmadığını müəən edin.,,,,,...,,,,,...,, 9, 7, 8, Topun qaldığı hündürlük (m) Həndəsi silsilənin n- ci həddinin düsturu bn = b q n q 0

203 ) Həndəsi silsilənin 7-ci həddini müəən edin. 5, 56, 8, 6,... Silsilənin vuruğu müəən edilir. 56 = 5 Silsilənin hədlərini müəən etmək üçün 5- birinci hədd qüvvətlərinə vurulur. b = 5 b = 5 ( ) b = 5 ( ) -in ardıcıl də işən b = 5 ( ) b7 = 5 ( ) 6 = 8 Şagirdlər silsilənin hədlərinin işarəsinə diqqət edirlər. -ci həddən başlaaraq silsilə vuruğu mənfi olduğu üçün qüvvətin üstünün tək və a cüt olmasından asılı olaraq hədlərin işarəsi növbələşir.? Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli. D.. (səh. 90) f) b =, b5 = 8 olarsa q =? b7 =? Həlli: b5 = b q düsturundan q b5 = = 8 = 6 b q = ± b7 = b5 q = 8 = 9 D.7. Katetləri sm və 6 sm olan düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzunu tapaq. c = + 6 = 0. Verilmiş üçbucağın perimetri P = = 8 sm. P Bu üçbucağın orta ətlərinin əmələ gətirdii üçbucağın perimetri P = = sm. Bu qada ilə qurulmuş üçbucaqların perimetrləri hər addımda dəfə kiçilir, əni perimetrlər ardıcıllığı q = olan həndəsi silsilə əmələ gətirir. Onda P6 = P q 5 = 8 ( ) 5 = 8 =,5 sm D.. a) b = 08 və məsələnin şərtinə görə I atarışda elementlər arıa bölünür. b = 08 = 0. Bu qada ilə atarış davam edir. b = 0 = 5 və s. Göründüü kimi, q = və n-ci atarışdakı məlumatlar toplusunda elementlərin saı bn = b q n = 08 ( ) n = n = n Yəni bn = n b) bn = n = = º n = 0, n = 0

204 Adı Soadı İşçi vərəq Tari Həndəsi silsilə üçün rekurrent və ekspilisit düsturu azır. ) ; 6 ; 6 ; 6 ;... ) ; ; ; 8 ;... ) 8 ; 6 ; ; 6 ;... ) ; 5 ; 75 ; 75 ;... 5) ; ; 8 ; 6 ;... 6) ; 5 ; 5 ; 5 ;.... Həndəsi silsilənin ekspilisit düsturuna görə ilk 5 həddini azın bn = n bn =,5 n. Həndəsi silsilənin rekurrent düsturuna görə silsilənin vuruğunu, ilk 5 həddini və n- ci həddinin düsturunu müəən edin. bn = bn b = bn = bn 5 b = 0 n bn = ( ) bn = n bn = bn b = bn = bn b =

205 Dərs 9, 0. Dərslik səh Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturu. saat Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturunu tətbiq edir; Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmini real həati situasia məsələlərinə tətbiq edir. Dərslikdə verilmiş nəsil ağacı tapşırığı araşdırılır. Nəsil ağacında ulu nənə babaların ümumi saını tapma gözlənilməz informasiaları aşkar edilən bir məşğələdir. Şagirdlər verilən semi araşdırırlar. Bilal Kamal Gülçöhrə Səməd Mahmud Zöhrə Fatimə Əli Rəhim Ömər Natavan Lela Həmid Nisə Sənubər -ci nəsildə -ci nəsildə -cü nəsildə 0-ci nəsildə -ci nəsildə Nəsillər Validenlərin saı = və a = 8 = 6 və a = 6 6 = və a = və s. Siz özünüz də dail olmaqla validenlərin saı: 0 = nəfər olacaq. Validenlərin saı -ci nəsildə validenlərin saı təminən böük bir şəhərin əhalisi qədərdir. Müqaisə üçün raonların əhalisi misal gətirilə bilər. Məsələn, Bakının əhalisi təminən milon 80 mindir, Gəncənin əhalisi təminən mindir. 05 Nəsillər Validenlərin saı = 6 + = = = = = = 50 =

206 Həndəsi silsilənin n həddinin cəmi düsturunu aşağıdakı azılışla da təqdim etmək olar. Sn = b + bq + bq +... bq n- + bq n- qsn = bq + bq + bq +... bq n- + bq n q-ə vuraq və tərəf -tərəfə çıaq ( q) Həndəsi silsilənin n həddinin cəmi düsturunun tətbiqi ilə dərslikdə verilmiş tapşırıqlar erinə etirilir. Həndəsi silsilənin hədləri saını taparkən şagirdlər r n = a tipli tənlikləri həll etməli olurlar ki, n-i tapma ollarına diqqət edilir. Məsələn, n = 096 tənliini şagird seçib olama olu ilə həll edə bilər. = 56 nəticəsi 096-dan ço azdır, 6 -nı olaaq. 6 = 096, n = 6, n = 6 olduqda cəmi tapın n b =, q = olduğu üçün b ( n+ ) n n = = : : Sn = n, b? q? n =, S = b = = = n =, S = b + b = = = b + b = b = b q = = = b Yəni, verilmiş silsilədə b =, q = -dir.? Sn qsn = b bq n Sn ( q) = b( q n ) Sn ( q) = b( qn ) Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli. D.7.(səh. 9) Bakteria hər 0 dəqiqədən bir bölündüü üçün hər saatda dəfə erə bölünür və onda gün ərzində 7 dəfə bölünmə prosesi gedir. Bir gün ərzində bir bakteriadan törənmiş bakteriaların saını aşağıdakı cəm şəklində göstərmək olar: ( 7 ) = = = 7 D.. Məsələnin şərtini nəzərə alsaq, şəkildəki it və onun arasınca gedən hevanların saını tapmaq üçün aşağıdakı həndəsi silsilənin cəmini hesablamaq lazımdır. b =, q = ( 5 ) = = ( 5 ) Fərru hevanların aaqlarını samaq istəsədi, onda alınmış cəmi -ə vurmalı idi. ( 5 ) = ( 5 ) = ( 0 ) = 0 = = 6 Yəni, aaqların saı 6-ə bərabərdir. 06 bnq b Sn =, (q ) q

207 İşçi vərəq 5 Adı Soadı Tari Həndəsi silsilənin ilk n həddinin cəmi düsturunu tətbiq edir; ),, 9, 7,... həndəsi silsiləsinin ilk neçə həddinin cəmi 6-ə bərabərdir? ) Həndəsi silsilələrin hədləri cəmini tapın. a) ( hədd) b) ) Həndəsi silsilənin vuruğu, ilk 5 həddinin cəmi 968-dir. Silsilənin ilk həddini tapın. ) Sonsuz həndəsi silsilənin hədləri cəmini tapın ) Birinci həddi 8 və hədlərinin cəmi 76 olan sonsuz həndəsi silsilənin vuruğunu tapın. 6),, 6, 08,... 7) Tapın. b9, S6 07 8), 6, 8, 5,... Tapın. b8, S5

208 Dərs -. Dərslik səh q olduqda sonsuz həndəsi silsilənin cəmi. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat Sonsuz azalan həndəsi silsilənin hədlərinin dəişməsi verilən praktik tapşırıq üzərində araşdırılır. Bir neçə nümunə üzərində sonsuz azalan həndəsi silsilənin sonlu sada hədlərini toplamaqla onun hədləri cəmini təmin etməin mümkün olduğu araşdırılır. Məsələn, S = S = S S = S S = S 8 8 S = 0,5 S = S = + S = S = S = S = 8 6 Növbəti hədd: S5 = S S5 = + S5 = S = 0,5 S = 0,75 S = 0,5 Növbəti hədd: 6 S5 = 0,75 S5 = 0,85 Silsilənin müəən sada ilk hədlərinin cəmini tapdıqca cəm müəən qədər gah artır, gah da azalır. Lakin 0,-ə daha ço aınlaşdığı görünür. Deməli, bu sonsuz azalan həndəsi silsilənin hədləri cəmini 0, kimi qəbul etmək olar. Açıq tipli sual. Cəmi -ə bərabər olan iki sonsuz azalan silsilə azın. Silsilənin vuruğu seçilməlidir. dən böük, -dən kiçik istənilən iki ədəd seçməklə bu silsilələri azmaq olar. q = 0,5 və q = 0,5 seçək S = b q ) b =, b b = 5 ) =, b = ( 0,5) 0, ,5 + 0, Dərslikdə verilmiş bəzi tapşırıqların həlli: D.5. (səh. 98) Şəkildə dairələrin üçbucaq ədədlərə uğun düzülüşü təsvir edilmişdir. Göründüü kimi dairələrin saı elə verilmişdir ki, onları hər addımda üçbucaq şəklində düzmək mümkündür. = + 08 S6 = S5 6 S = S6 = 6 = + 0 = =

209 n (n +) İstənilən ədədi üçbucaq şəklində ifadə etmək (modelleşdirmək) üçün düsturundan istifadə etmək olar. Məsələn, 7-ci etapdakı dairələrin saı və a üçbucaq ədədlər ardıcıllığında 7-ci hədd = olacaq.,, 6, 0, 5,,... 7(7 +) Göründüü kimi üçbucaq ədədlər sıra nömrəsindən asılı olaraq verilən qada ilə də işir. D.6. (səh. 97) Kvadratın tərəfi 6 sm olduğu üçün onun tərəflərinin ortasını birləşdirən parçanın, əni ikinci kvadratın tərəfinin uzunluğu sm, sonrakı kvadratın tərəfi sm və bu qada ilə davam edəcək : tərəflər : 6 ; ;... sahələr : 6 ; 8 ; 9 ;... Onda sahələrin cəmini tapmaq üçün sonsuz cəmini tapmalııq. 8 S = 6, S = 8, q = = olduğundan 6 6 S = = 7 (sm ) D.. (səh. 99) Hədləri tam ədədlər olan ədədi silsilədə a =, ilk 8 həddin cəmi isə 7- dən böük, 80- dən kiçikdir. a-ni tapın. Həlli: Şərtə görə a = Buradan alırıq: a + d = { 7 < S8 < 80 { a + a8 7 < 8 < 80 Sistemin II münasibətindən 8 < a + a8 < 0 alırıq. Hədlər tam ədəd olduğundan a + a8 = 9 ola bilər. Beləliklə a + d = tənliklər sistemindən a + d = alarıq. { a + a8 = 9 { a + 7d = 9 Bu sistemin I tənliini - ə vurub, II ilə toplasaq, d=, d=. a = tapılar. Onda a = a + d= + ( )= D.0. (səh. 99) Cəmi tapın. 5 a) Həlli: S = + () işarə edək və bu bərabərliin hər iki tərəfini -ə vuraq: S = () () və () bərabərliklərini tərəf-tərəfə çıaq: S S = S = və buradan S = tapılır. 09

210 Dərs -8. Dərslik səh Ümumiləşdirici tapşırıqlar. 5 saat Məzmun standartı... Müstəvi üzərində paralel köçürmə anlaışını bilir və fiqurların çevrilməsinə tətbiq edir.... Hərəkət çevrilməsi anlaışını bilir və iki konqruent fiqurdan birini digərindən hərəkət çevirməsi ilə alır. Formalaşdırılan şagird bacarıqları paralel köçürmənin assələrini başa düşdüünü təsvirlər üzərində və təsviri çəkməklə nümaiş etdirir; paralel köçürmənin bütünlükdə müəən vektorla icra olunduğunu başa düşür; hərəkət çevrilmələrinin para lel kö ç ür mə, dönmə, əksetmə hərə kətləri nəticəsində verilən fiqurun özü ilə konqruent fiqura çevril diini məsələlər üzərində nümaiş etdirir; hərəkət çevrilmələrinin para lel köçürmə, dönmə, əksetmə kimi növlə ri ilə homotetik çevrilmənin fərqini təqdim edir; hərəkət çevrilmələrini koordinat müstəvisi üzərində təqdim edir. Lüğət paralel köçürmə paralel köçürmə vektoru dönmə dönmə bucağı əksetmə əksetmə ətti konqruent fiqurlar oşar fiqurlar homotetia əmsalı Əlavə resurslar İşçi vərəqlər İnternet resurslar: ometr/transformations 0 Həndəsi çevrilmələr. Hərəkət. Dərslikdə verilmiş örənmə bloku ilə paralel köçürmənin əsas assələri izah edilir. Şəkillər çəkilir. Hərəkət çevrilmələrini müşahidə etmək üçün çolu sada internet resurslar mövcuddur, bunlar arasından nsformations tövsiə edirik. Əksetmə (simmetria) hərəkətinin əsas üsusiətləri:. Əksetmə hərəkəti ilə alınmış fiqur ilkin fiqura konqruentdir;. Əksetmə ətti fiqurun ilkin və son vəziətinə uğun istənilən iki nöqtəsini birləşdirən parçanın orta perpendikularıdır. əksetmə ətti A C C A B B l E DP D ilkin fiqur D çevrilmiş fiqur Dönmə hərəkətinin əsas üsusiətləri: Dönmə hərəkətini dönmə bucağı, dönmə mərkəzi və dönmə istiqaməti müəən edir; Dönmə mərkəzi fiqurun dailində və a aricində ola bilər. İstənilən halda dönmə mərkəzi sabit (tərpənməz) qalır; Dönmədə ilkin fiqurla çevrilmiş fiqur konqruentdir; 60 dönmədə ilkin fiqurla çevrilmiş fiqur üst-üstə düşür. A Dönmə B Dönmə bucağı

211 Koordinat müstəvisi üzərində paralel köçürmə zamanı nöqtənin (; ) koordinatları - nın ( + a; + b) kimi dəişdiini başa düşür. Verilənlərə və hərəkətə görə fiqurun təpə nöqtələrinin eni koordinatını azın. Nümunə. Paralel köçürmə: vahid sola və vahid aşağı Q (0; ), D( ; ), V(; ), J(; 0) Q'( ; ), D'( ; ), V'(0; ), J'(; ) ) Paralel köçürmə: 5 vahid uarı U( ; ), M( ; ), L( ; 5) ) Paralel köçürmə: vahid sağa və vahid uarı D ( ; ), A( ; 5), S ( ; ), N ( ; ) 5) Paralel köçürmə: vahid sağa bir vahid uarı ) Paralel köçürmə: vahid aşağı R( ; ), D( ; 0), L(0; 0), F(0; ) ) Paralel köçürmə: vahid sola və vahid uarı Z ( ; ), İ ( ; ), V( ; ) 6) Paralel köçürmə vektoru ; Y M V Q 0 T 7) U ( ; ), M( ; ), L( ; 5) Paralel köçürmə: vahid uarı 8) R ( ; ), D( ; 0), L(0; 0), F (0; ) Paralel köçürmə: vahid aşağı 0 0 G 0 E

212 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Paralel köçürmənin bütünlükdə müəən vektorla icra olunduğunu başa düşür. Tələb olunan hərəkətləri şəkil üzərində çəkib göstərin.. = düz əttinə nəzərən əksetmə, sonra v ; 7 vektoruna görə paralel köçürmə. = 0 düz əttinə nəzərən əksetmə, mərkəzi B(; 0) nöqtəsində olmaqla 90 saat əqrəbinin hərəkətinin əksi isti - qamətində dönmə 0 B 0 C B. k = / əmsalına və D ( ; ) mər - kə zinə görə homotetik çevirmə, sonra v ; vektoruna görə para - lel kö çürmə və = düz əttinə nə - zərən əksetmə C B C 0 A A. = düz əttinə nəzərən əksetmə, v ; vektoruna görə paralelköçür mə və O(0; 0) nöqtəsinə görə 90 saat əqrəbinin hərəkəti istiqamətində dönmə A B C 0 A

213 5-ci bölmə üzrə summativ qimətləndirmə mearları cədvəli Mearlar Qed. Ədədi ardıcıllıqlar üçün rekurrent və ekspilisit düsturu azır.. Ədədi silsilə üçün rekurrent və eks pilisit düsturu azır.. Ədədi silsilənin n həddinin cəmi düsturunu tətbiq edir. Ədədi silsilənin hədlərini, hədləri saını, hədləri cəmini, fərqini tap mağa aid məsələlər həll edir. 5. Həndəsi silsilənin rekurrent və eks pilisit düsturunu azır. 6. Həndəsi silsilənin hədləri cəmini, hədlərini, vuruğunu, hədləri saını tapmağa aid məsələlər həll edir. 7. Sonsuz azalan həndəsi silsilənin hədləri cəmi düsturunun tətbiqi ilə məsələlər həll edir. Dərs ci bölmə üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları. Hansı,, 6, 08,... ədədi ardıcıllığını ifadə edir? a) an = + n b) an = + n c) a =, an = an, n d) a =, an = an, n. Hansı ardıcıllıq an = n n + qadasına uğundur?,, 6, 8, 0,...,, 6, 8, 0, ,,, 0,,,... 0,,, 6, 60,... 6, 0,,, 6,... 6, 0, 6,, 8,.... an ədədi silsilə olduqda: a) a, a, a5, a7,... b) a +, a +, a +,... ardıcıllığı ədədi silsilədirmi?. Rekurrent üsulla verilmiş ardıcıllığın ilk beş həddini tapın. a) a =, an+ = an + b) a = 7, an+ = an c) a = 6, an+ = an d) a =, an+ = an 5. Ədədi silsilənin ilk 5 həddinin cəmindən a) ilk həddin cəmini çısaq, alınan fərq nəə bərabər olar? b) a = S S, a6 = S6 S5 an = Sn Sn bərabərliklərinin doğruluğunu göstərin. 6. Hansı məsələə uğun azıla bilən ardıcıllıq ədədi silsilə deil? a) Gülsara şokoladı ço sevir. Lakin allergiası olduğu üçün ona hər 5 gündən bir şokolad eməsinə icazə verilir. b) Əli hər gün 5 km piada gəzir. O, bu məsafəni gündəlik 0,8 km artırmağı düşünür. c) Atçılıq idmanında məşq üçün bir dövrə gəzintinin qiməti manatdır. Cəfər bu gün məşq üçün 60 manat aırmışdır.

214 d) Mərdan 5000 manata avtomobil aldı. Bir il sonra Mərdan avtomobilini satmaq istədikdə 000 manat, növbəti il isə 8500 manat olaraq qimətləndirildi. 7. Ədədi silsilənin ilk 6 həddi koordinat müstəvisində qed edilmişdir. Bunlardan ikisinin koordinatları (; ) və (6; ) kimidir. Aşağıdakı ifadələrdən hansı bu ədədi silsilənin n-ci həddinin düsturudur? a) 6n b) n + c) n d) + n 8. Aşağıda verilənlərə əsasən həndəsi silsilənin n-ci həddinin düsturunu tapın. 8 9; 6; ; ;... A) 9 ( ) n B) 9 ( ) n C) (9 n ) D) (9n ) 9. Toplananları sonsuz həndəsi silsilənin hədləri olan aşağıdakı cəmlərdən hansı 5-ə bərabərdir? A) 6, 0, 0,08... B) 6 +, 0, + 0,08... C) 6, + 0, 0, D) 6 +, + 0, + 0, Sonsuz həndəsi silsilənin cəmini tapın , A) B) 0, C) 0,6 D). Verilmiş həndəsi silsilədən neçəsinin sonlu cəmi var? 0,5 + 0,5 + 0, , A) B) C) D). Hansı həndəsi silsilənin vuruğu 0,5 deil. A) 5;,5;,5; 0,65,... B) 6; ;,5; 0,75,... C) ; ; ; ;... D) ; ; ; ; Aşağıdakı şəkillərdən hansında fiqurun hərəkəti 5; vektoruna uğun paralel köçürmə ilə təsvir edilmişdir? Bu şəkli dəftərinizdə çəkin. a) b) c) d)

215 6-cı bölmə üzrə planlaşdırma cədvəli Məzmun standartı Dərs Mövzu 5... Cədvəl, diaq ram, histoqram və a qrafik şəklində verilmiş məlumatları ouub təh lil edir Statistik məlu - mat ları müəən əla - mət lərə görə təsnif edir Statistik məlumatların düzgünlüünü müəən edir Statistik məlumatlar əsasında aranan variantların tezlii cədvəlini tərtib edir və diaqramını qurur Birləşmələrin növlərini fərqləndirir və onlara aid sadə məsələləri həll edir Statistik məlumatlar əsasında hadisələrin başvermə mümkünlüünü proqnozlaşdırır Birləşmələrin köməi ilə ehtimala aid sadə məsələləri həll edir. 50, 5 Məlumatın qruplaşdırılması və təqdimi. 5 Dərs saatı Dərslik səh ,5 Məlumatın təqdimi. - 5, 55 Məlumatın analizi və təqdimi 5, 6 56 Ümumiləşdirici tapşırıqlar 7 57, 58 Permutasia, kombinezon 8-59, 60 Permutasia, kombinezon və ehtimal. Ehtimalın hesablan - masına aid məsələ həlli Ümumiləşdirici tapşırıqlar cı bölmə üzrə summativ qimətləndirmə tapşırıqları 6-69 Ümumiləşdirici tapşırıqlar İllik summativ qimətləndirmə tapşırıqları Cəmi

216 6. Statistika. Ehtimal Dərs 50, 5. Dərslik səh Məlumatın qruplaşdırılması və təqdimi. saat Məzmun standartı Cədvəl, diaqram, histoqram və a qrafik şəklində verilmiş məlumatları ouub təhlil edir Statistik məlumatlar əsasında aranan variantların tezlii cədvəlini tərtib edir və diaqramını qurur. Şagird bacarıqları: Məlumat çoluğunu siniflərə aırmaqla qruplaşdırır və tez lik cədvəlini tərtib edir; sinfin nisbi tezliini əhatə edən tezlik cədvəli qurur; məlumatı tezlik və nisbi tezlik histoqramı ilə təqdim edir; məlumatı tezlik çobucaqlısı ilə təqdim edir; məlumatın palanma göstəricilərini (ölçülərin) hesablaır. Motivasia. Aşağıdakı kimi məlumatları əks etdirən iki cədvəl nümaiş etdirilir. Bu məlumatları hansı qruplarda birləşdirmək olar? Hər bir qrupa uğun məlumatın saını müəən etmək mümkündürmü? Aaqqabıların rəngi mavi ağ qırmızı qara ağ qırmızı qara ağ ağ palıdı qara mavi qara mavi ağ Şagirdlərin fikirləri dinlənilir. Aaqqabılar haqqında mavi, ağ, qırmızı, qara, palıdı kimi məlumatlar (rənglərinə görə), bu rənglərin rast gəlmə saı (ədədi məlumatlar) tellə və uğun ədədlə (tezlik) qed edilir. Cədvəlin adının azılmasının vacib olduğu şagirdlərin diqqətinə çatdırılır. Analoji olaraq idman könəkləri haqqında məlumatları da ölçüsünə görə qruplaşdırmaqla uğun cədvəl tərtib edilir. Rənglər mavi Tel Saı Bəs, məlumat bazası ədədi məlumatlar çoluğundan ibarət olduqda onları necə qruplaşdırmaq olar? Dərslikdə verilmiş məlumat çoluğunu sistemləşdirmə qadası və verilmiş nümunə araşdırılır. Siniflərin saının 5 ilə 0 arasında olması tövsiə edilir. Siniflərin saını müəən etməin k qadasından da istifadə edilir. Məsələn əgər məlumat çoluğunda 8 element varsa, k > 8 olması uğundur. Deməli, 5 = olduğuna görə, siniflərin saını 5 deil, 6 götürmək lazımdır. 6 Satılmış idman könəklərinin ölçüsü XL L M L M S L M XL M XL M L L M S S M L XL L

217 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Məlumat çoluğunu siniflərə aırmaqla qruplaşdırır. Məlumat 50 şagirdin 00 ballıq sistemlə riaziat fənni üzrə qimətləndirmədə topladığı alları göstərir., 88, 5, 9, 68, 8, 9,, 5, 87,, 50, 6, 75, 5, 96, 0,, 8, 5, 5, 77, 6, 98, 7, 6, 5, 0, 9, 5, 9, 60, 7, 50, 9, 86,, 9,, 6, 5, 68,, 87, 6,, 67, 0, 5, 8. a) Məlumatı 0 sinifdə qruplaşdırın. b) Məlumatı 5 sinifdə qruplaşdırın. Siniflər Tel Saı Məlumata uğun ən böük qimət: Məlumata uğun ən kiçik qimət: Sinfin ölçüsü (orta qimət): 7 Siniflər Tel Saı

218 Nisbi tezlik Dərs 5, 5. Dərslik səh. - Məlumatın təqdimi. saat Məlumat çoluğunu analiz etmək üçün nisbi tezlik kimi göstəricidən istifadə olunur. Bu anlaışlar dərslikdə verilən nümunə üzərində izah edilir. Sinfin orta qiməti (bu göstərici ədəbiatlarda orta nöqtə də adlandırılır) ən böük və ən kiçik qimətinin (limit qimətləri) ədədi ortası kimi hesablanır və qrafik təqdimatda (histoqram, tezlik çobucaqlısı) bir ço hallarda bu göstərici qed edilir. Nisbi tezlik verilən məlumatın ümumi məlumatın hansı hissəsini təşkil etdiini göstərir. Nisbi tezlik hər bir məlumata uğun hesablanır, onluq kəsr və a faizlə göstərilir. Məsələn, istifadəçilərin neçə faizi internetdən orta hesabla 6,5 dəqiqə istifadə edirlər? İnternetdən 0 dəqiqədən az istifadə edənlərin saı 0 dəqiqədən ço istifadə edənlərdən neçə nəfər (və a neçə faiz) çodur? və s. Histoqram və palanma ço bu caq lısının qurulma qadası araşdırılır. Müəən kateqorialarda, intervallarda qruplaşmış məlumatı təqdim etmək üçün ən əlverişli forma histoqramdır. Histoqram məlumatın palanması haqqında adın vizual təssəvvür aratmağa imkan verir. Şagirdlər histoqramı qurma və histoqrama görə məlumatı təqdimetmə bacarıqlarına müəən qədər malikdirlər. Burada diqqəti məlumatı nisbi tezliə görə histoqramla təqdimetməə və məlumatı analiz etmə bacarıqlarına önəltməə tövsiə edilir. Kolların hündürlüü Sinif Tezlik Sinifin orta qiməti Nisbi tezlik : 8 0, : 8 0, : 8 0, ,5 9 : 8 0, : 8 0,8 Cəmi: 8 Cəmi: Histoqramdan istifadə etməklə tezlik çobucaqlısını qurma addımları:. Tezlik (və a nisb tezlik) histoqramı qurulur.. Sütunları təşkil edən düzbucaqlıların üst tərəfinin orta nöqtələri qed edilir. (Bu sinfin orta qimətidir.). Tezlik çobucaqlısını qurmaq üçün iki əali sıfır sinfinin orta nöqtəsi müəən edilir. Bunlardan biri -ci sütunla onun solundakı sin fin orta nöqtəsi, digəri isə ən sağdakı sütunla onun sağındakı sinfin orta nöqtəsidir.. Birinci orta nöqtədən başlamaqla orta nöqtələr ardıcıl olaraq birləşdirilir. Sinif Tezlik ,6 0, 0, 0,8 0,5 0, 0,9 0,6 0, 0 7 7,5 0 Hündürlük (sm) X ou sm = 0 vahid 6 Y ou sm = vahid

219 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Sinfin nisbi tezliini və birləşmiş tezlik göstəricilərini əhatə edən geniş tez lik cədvəlini qurur.. Verilmiş məlumatı 6 sinifdə qruplaşdırmaqla sinif, sinfin orta qiməti, tezlik, nisbi tezlik kimi göstəriciləri əhatə edən cədvəl qurun. Bir semestrdə tələbələrin kitaba ərclədii pul: Cəmi:. Cədvəldə verilmiş məlumata əsasən sinfin orta qiməti, tezlik, nisbi tezlik kimi göstəriciləri əhatə edən cədvəl qurun. 9 Cəmi: Vat (dəq) Telefon danışıqla - rının saı

220 Tezlik çobucaqlısına görə məlumatın təqdimi. Məlumatın tezlik çobucaqlısı absis ou ilə sərhədlənmiş çobucaqlıdır. Bu qrafikə görə məlumatın artma və azalma diapazonunu vizual olaraq görmək və məlumatı hissəsinə görə müqaisə etmək mümkün olur. Dərslikdə verilmiş qrafik məlumata görə şagirdlər mütəlif məlumatlar təqdim edirlər. Məsələn: 6,5 dəqiqəə qədər istifadəçilərin saı artdığı halda, 6,5 dəqiqədən sonra onların saı azalır. Tezlik çobucaqlısının orta nöqtəə (sinfin orta qimətinə) və tezliə görə qurulması. Cədvəldən A (5;0), B (5;), C (5;6), D (5;8), E (5;0), F (55;), G (65;), H (75;7), I (85;5) və J (95;0) nöqtələri koordinat müstəvisi üzərində qed edilir və ardıcıl olaraq birləşdirilir. Sinif Sinfin orta qiməti Tezlik ABCDEFGHIJ verilən məlumatın tezlik çobucaqlısıdır. Tezlik qrafiklərinin qurulması üçün EXCEL proq ra mından istifadə edilməsi tövsiə edilir. Statistik məlumatı təqdim etmək üçün məlumatı İNSERT FUNCTİON menusundan PASTE İN- SERT FUNCTİON dialoq bo açmaqla həmçinin CHART WIZARD menusundan birbaşa qrafik formanı seçmək olar. Diqqət etməli məqamlar: Məlumatın palanmasının tezlik cədvəli, histoqram, tezlik çobucaqlısı kimi formalarının üstün və çatışmaan cəhətlərini aşağıdakı kimi ümumiləşdirmək olar. Tezlik cədvəli. Üstünlükləri: Məlumatı mütəlif qrafik formalarda təqdim etmək, ədədi orta, median, moda kimi statistik göstəriciləri müəən etməə imkan aradır. Çatışmaan cəhətləri: Palanma tezliini adın təsəvvür etmək mümkün olmur (vizuallıq) Histoqram. Üstünlükləri: Kəsilməz, həmçinin qruplaşdırılmış diskret məlumatların təqdimi üçün əlverişlidir. Qrafikdən median və modanı vizual olaraq müəən etmək mümkündür. Çatışmaan cəhətləri: Qrafiki qurarkən siniflərin sərhədlərini müəən etmək çətinlik aradır. Tezlik çobucaqlısı. Üstünlükləri: Məlumatın tezliinə görə müqaisə etmək imkanı aradır. Eni qrafikdə mütəlif məlumat çoluğuna uğun poliqonu qurmaq və onları müqaisə etmək mümkündür. Məsələn, qızların və oğlanların bounu. Çatışmaan cəhətləri: Statistik hesablamalar aparmaq olmur ,5,5,5 6,5 8,5 60,5 7,5 8,5 96,5 X ou sm = 0 6 Y ou sm = G F 0 E 8 D H 6 C I B A 0 J

221 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Məlumatı tezlik və nisbi tezlik histoqramı ilə təqdim edir.. a) Cədvələ görə tezlik histoqramını qurun. Hərflərin saı Tezlik 0 5 b) Histoqrama görə tezlik çobucaqlısını qurun.. Y məlumatının cədvəldə verilən nisbi tezlikdə 5 qiməti var. Verilənlərə görə müəən edin. a) siniflərin saını və sərhədlərini; b) siniflərin qimətini (orta nöqtəni); c) sinfin orta qiməti və nisbi tezliinin qed olunduğu histoqramı qurun. Y Nisbi tezlik /00 5/00 0/00 5/00 5/00

222 İşçi vərəq Adı Soadı Tari Məlumatı tezlik poliqonu və birləşmiş tezlik qrafiki ilə təqdim edir.. a) Cədvələ görə nisbi tezlikləri hesablaın. Yaşı (il) Adamların saı b) Cədvələ görə histoqram, nisbi tezlik poliqonunu qurun.. Verilən məlumata görə tezlikləri müəən edin. Bou: Tezlik: Qrafikə görə müəən edin. a) Neçə nəfərin bou 0 sm-dən qısadır? b) Neçə nəfərin bou sm-dən uzundur?

223 Dərs Dərslik səh Məlumatın analizi və təqdimi. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat Məzmun standartı Cədvəl, diaqram, histoqram və a qrafik şəklində verilmiş məlumatları ouub təhlil edir Statistik məlumatları müəən əlamətlərə görə təsnif edir Statistik məlumatların düzgünlüünü müəən edir Statistik məlumatlar əsasında hadisələrin başvermə mümkünlüünü proq noz - laşdırır. Şagird bacarıqları: qruplaşdırılmış məlumata uğun ədədi ortanı hesablaır; məlumatın palanma şəklini normal (simmetrik), müsbət asimmetrik, mənfi asimmetrik olaraq müəən edir; məlumatlara əsasən proqnoz verir. -ci saat. Ədədi ortanı hesablama qadası təkrar edilir. Məsələn,,,,,,, ədədlərinin ədədi ortası ( ) / 7 kimi hesablanır.. Biz bu azılışı vurmanın palama qanunundan istifadə etməklə aşağıdakı kimi də aza bilərik. (++++++) (/7) = (/7) + (/7) + (/7) + (/7) + (/7) + (/7) + (/7). Biz indi verilmiş ədədləri müəən əmsalla azmış olduq. Əmsalların cəminin -ə bərabər olduğuna diqqət edin. 7 dənə (/7).. Oşar vuruqları qruplaşdıraq ( )/7 = (/7) + (/7) + (/7) + (/7). Hər bir əmsal verilmiş ədədin (ədədlərin təkrarlanmasına ol verilmir) ümumi ədədlər çoluğunun hansı hissəsini təşkil etdiini göstərir. Bu anaşma mütəlif situasialarda ədədi ortanı tapma qadasını ümumiləşdirmək üçün şagirdlərin diqqətinə çatdırılır. Şagirdlərin ədədin faizini hesablama, ədədi ortanı tapma kimi ön bacarıqlarına diqqət etirilir. ( p) = işarəsi cəmi göstərir və siqma kimi ounur. p p cəminin olduğu diqqətə çatdırılır. Şagirdlərin düsturu sözlə ouma bacarığına diqqət etirilir. Əgər bütün əmsallar bərabərdirsə biz ədədi ortanı hesablamanın indiə qədər örəndiimiz adi qadasından istifadə edirik. = n Qruplaşdırılmış məlumatın palanma cədvəlinə görə ədədi ortanı tapma addımları şagirdlərlə birlikdə araşdırılır.

224 İşçi vərəq 5 Adı Soadı Tari Qruplaşdırılmış məlumata uğun ədədi ortanı verilən cədvəlləri doldurmaqla tapın. Qəsəbə sakinlərinin aşı Yaşı Saı Bir nəfərin il ərzindəki telefon danışığı müddəti (dəqiqə ilə) Zəngin müddəti Saı Sinfin orta Siniflər Tezlik qiməti n = = f Sinfin orta Siniflər Tezlik qiməti n = = f

225 Dərs 57, 58. Dərslik səh. 8-. Permutasia. Kombinezon 5... Birləşmələrin növlərini fərqləndirir və onlara aid sadə məsələləri həll edir. hadisələrin mümkün saını müəən etmək üçün vurma prinsipini tətbiq edir; məlumat çoluğunda elementlərin düzülüşünə görə permutasiaların və kombinasiaların saını müəən edir; permutasia düsturundan istifadə etməklə ehtimala aid məsələlər həll edir. kombinezon düsturundan istifadə etməklə ehtimala aid məsələlər həll edir. Motivasia. Gülər istirahətə gedir. Onun evdə cür ol çantası, cür çemodanı var. ) Gülər bir baqajının olmasını istəir. Onun neçə seçim variantı var? ) Gülər iki baqajla - bir çanta və bir çemodanla ola çımaq istəir. Onun neçə seçim variantı var? Gülər birini seçsə, + = 6 mümkün variant var. Mümkün variantları samanın fundamental prinsipləri toplama və vurma qadası verilən nümunə üzərində bir daha araşdırılır. Gülər ikisini bir çemodan bir çanta Şagirdlər uğun nümunələr təqdim edirlər. seçsə, = 9 mütəlif variantı var. Permutasia. Variantları sama üsulunu aşağıdakı məsələ üzərində nəzərdən keçirək. Məsələ. Eldar velosipedi üçün nömrə hazırlaır. Onun qara, ağ və sarı rənglərdə boası var. Eldar nömrənin lövhəsini bir rəngdə, üzərindəki rəqəmləri isə başqa rəngdə boamalıdır. Onun neçə mümkün variantı var? 6 mümkün variant var.. Qara lövhə, ağ hərflər. Qara lövhə, sarı hərflər. Ağ lövhə, sarı hərflər. Ağ lövhə, qara hərflər 5. Sarı lövhə, ağ hərflər 6. Sarı lövhə, qara hərflər Məsələ. Səbanın növ gülü var - bənövşə, qərənfil, çobanastığı. Səba güldana iki növ gül qomaq istəir. Onun neçə seçimi var? bənövşə, qərənfil bənövşə, çobanastığı qərənfil, çobanastığı Şagirdlər iki məsələ arasındakı fərqi təqdim edirlər. Biz elementlərdən birini A, digərini B ilə işarə etsək, birinci halda AB və BA bir-birindən fərqlidir. Çünki onlardan biri lövhənin rəngini, digəri isə hərflərin rəngini əks etdirir. İkinci halda isə AB və BA kombinasiasının fərqi odur, çünki hər ikisi bir güldandakı gülün növünü əks etdirir. Qed! Dərsliklərdə Motivasia məsələsində qoulmuş situasia permutasiaa aiddir və n elementdən n elementin (bütün) iştirakı və mümkün erdəişməsi ilə düzülüş nəzərdə tutulur. Çoluğun n elementindən r elementin iştirakı ilə aradılan düzülüş isə aranjeman adlandırılır. Əslində aranjeman n elementdən r elementin düzülüşü və iştirakı ilə aradılan permutasiaların saıdır. Avropa, Türkiə, ABŞ kimi ölkələrin ədəbiatlarında, dərsliklərində bir anlaışdan istifadə edildiini nəzərə alaraq dərsliə alnız permutasia anlaışı dail edilmişdir. li n ü Ç p a ç ü 5 d e

226 Çoluğun elementlərinin düzülüş ardıcıllıqları tələb edildii situasiada hər bir düzülüş permutasia adlanır. npn = n! () düsturu n elementli çoluğun elementlərinin erdəişmələrlə aratdığı düzülüşlərin saını- permutasiaların saını göstərir. Məsələn, bir nəfər - Azər, bir düzülüş, iki nəfər - Azər və Kamal, AK və KA olmaqla iki cür düzülüş, Azər, İlqar, Fidan isə AİF, AFİ, İAF, İFA, İAF, İFA kimi = 6 düzülüş arada bilərlər. Permutasiaların saını müəən edərkən elementlərin ardıcıllığı əhəmiət daşıır. n elementli çoluqdan r elementin müəən düzülüşlə, təkrara icazə verilmədən seçimlərin saı-permutasiaların saı npr kimi azılır. n! npr= () (n r)! Təkrar elementlərə görə N! permutasiaların saı: N = n + n + n nk () n! n! n!... nk! Situasiaa uğun olaraq məsələlər uarıda verilən () permutasia düsturunun tətbiqi ilə həll edilə bilər. Düzülüşə üsusi şərtlər qoulmuş aşağıdakı kimi situasiaları da nəzərdən keçirək.. Verilmiş elementin bütün düzülüşlərdə olması şərtilə n sada mütəlif elementdən hər birində r sada element olmaqla permutasiaların saı: r n Pr Məsələ. 6 nəfər şagirddən nəfər sədr, müavin, katib seçilməlidir. Onlar arasından Səba bu vəzifələrdən birinə mütləq seçilməlidir. Deməli, 5 nəfər və iki vəzifə qalmışdır. Onlardan seçim saı 5P olur. Səba özü isə cür seçilə bilər. Seçim variantlarının saı 5P = 5 6 = 90 olacaq.. n elementdən hər hansı birinin iştirak etməməsi şərtilə hər birində r sada element olan permutasiaların saı: n Pr. Hər hansı m sada elementin anaşı düşməsi şərtilə n elementli çoluğun permutasialarının saı: m! (n m + )!. Hər hansı m sada elementin anaşı düşməməsi şərtilə n elementli çoluğun permutasialarının saı : n! m! (n m + )! 5. Hər hansı k elementlərinin verilən nömrədə olması şərtilə n elementli çoluğun permutasialarının saı: n kpn k kpk Məsələ. SİMUZƏR adındakı hərflərin neçə düzülüşünü samaq olar: a) saitlərin üçü anaşı azılmasın; b) saitlər cüt nömrədə olsun (-ci, -cü, 6-cı hərf). Həlli: SİMUZƏR sözündə 7 hərf var, onlardan -ü saitdir. Məsələnin həllinə əks tərəfdən anaşaq. Təsəvvür edin ki, bütün saitlər bir erdə azılır. Bu halda saitə bir element kimi baılır. Elementlərin saını samit + sait eri = 5 element, mümkün düzülüşlərin saı 5! olacaq. sait isə öz aralarında er dəişdirməklə! sada düzülüş aradacaqlar. Ümumi düzülüşlərin saı! 5! = 70 olacaq. Bu saitlərin bir erdə olduqları variantların saıdır. Cəmi 7 hərf olduğu üçün permutasiaların ümumi saı: 7! Hər üç saitin anaşı düşmədii permutasialar = ümumi permutasialar saitlərin üçünün anaşı olduğu permutasialar = 7!! 5! = = 0 b) 7 hərfin düzülüş sırasında tək, cüt nömrə var. cüt erdəki sait hərflərin düzülüşləri saı P, samitlərin saı P, ümumi düzülüşlərin saı: P P Bu tip məsələlər GMAT, SAT suallarında geniş er alır. Odur ki, eri gəldikcə hər situasiaa aid məsələlərin araşdırılması tövsiə edilir. 6

227 Kombinezona aid situasialar araşdırılır. Şagirdlər şifahi olaraq elementlərin düzülüş ardıcıllığının əhəmiətli olub-olmadığı situasiaları təqdim edirlər. 8 növ salatdan iki salat seçmək; mühafizə kodu üçün üçrəqəmli ədəd seçmək və s. n! ncr = ncr = npr (n r)!r! r! Kombinezonun düsturu izah edilir. Hesablamalar zamanı əlverişli olduğu üçün daha ço permutasia ilə əlaqəli düsturdan istifadə edilir. Bir ço situasialarda elementlər və onların kombinasiaları iki, üç mütəlif elementdən ibarət olur. Aşağıdakı məsələni nəzərdən keçirək. Məsələ. Alpinist qrupunda 5 nəfərdən 5 nəfəri kişi, 0 nəfəri qadındır. kişi və qadından ibarət alt qruplar aratmağın neçə mümkün variantı var? Həlli: 5 kişi var, üçlü qrupların saı 5C.0 qadın var, ikili qrupların saı 0C. Vurma prinsipinə görə mümkün qrupların saı: 5C 0C kimi olacaq. 5C 0C = 5P! Birləşmələrə aid bəzi məsələ tipləri. Məsələ. A və B anaşı oturmaq istəməzlərsə, altı nəfərin dairəvi masa ətrafında oturmasının neçə mümkün variantı olar? Həlli: 6 nəfərin dairəvi masa arasında oturmasının (n )! variantı var. Bu halda (6 )! = 5! variant var. Lakin məsələdə A və B-nin anaşı oturmaması şərti var. Məsələni həll etmək üçün A və B-nin anaşı oturduqları halda mümkün variantların saını tapaq. Bu halda AB -ə bir element kimi baaq. Onda bütün variantların saı 5! deil,! olacaq. Burada A-nın B-nin sağında və a solunda oturmasına görə iki variant aranır. A və B- nin masa bou erlərini dəişə bilmələrinin bütün variantlarının saı! olacaq. A C D E B F 0P! Örənmə səviəsindən asılı olaraq şagirdlərə bu tip tapşırıqların verilməsi tövsiə edilir. Bəzi məsələ tipləri aşağıda həlli ilə verilmişdir. C B A D E F A B C D B E F A Bu variantları ümümi variantların saından çısaq, A və B-nin anaşı olmaması şərtilə 6 nəfərin masa ətrafında oturma variantlarının saı: 5!! = 0 8 = 7 olacaq. Məsələ. həkim, mühəndis və 5 alim arasından alim, həkim, bir mühəndisdən ibarət nümaəndə heəti seçmənin neçə mümkün variantı var? 5 alimdən alim seçmənin 5C, həkimdən həkimi seçmənin C, mühəndisdən bir nəfəri seçmənin C olu var. Seçimlərin saı: 5C C C = 0 6 = 80 7 C E D F...! sada

228 Məsələ. Qutuda ağ, qara və qırmızı şar var. Qutudan şar çıarılsa, ən azı birinin qara olmasının neçə mümkün variantı var? Mümkün hallar: qara + başqa rəng və a qara + başqa və a qara. Kombinasiaların saı: (C 6C) + (C 6C) + C Bu tip məsələlər statistik məlumata görə ehtimalın hesablanması və proqnoz verilməsi məsələlərində də əhəmiətlidir. Həm permutasianın həm də kombinezonun istifadə edildii məsələlər. Təşkilata prezident, vitse prezident, katib və şura üzvü seçilməlidir. 0 şagird arasından bu seçkinin neçə mümkün variantı var? Burada nəfərin (prezident, vitse prezident, katib) hansı sırada seçilməsi əhəmiətlidir. 0P = 680, şura üzvü qalan 7 nəfər arasından seçilir və burada ardıcıllığın əhəmiəti odur, 7C = 80 olacaq. Vurma prinsipinə görə variantların ümumi saı 0P 7C = Şagirdlərin məsələdəki situasianın hansı birləşməə aid olduğunu aırmasına diqqət edilir. Məsələdə permutasiaların saının tapılması tələb edilir, osa kombinezonların saının tapılması? Məsələ həlli bacarıqlarını inkişaf etdirmək üçün müəllim üçün vəsaitdə verilmiş işçi vərəq -məsələ həllinin ev tapşırığı kimi verilməsi tövsiə edilir. Dərs Dərslik səh. -7. Ehtimalın hesablanmasına aid məsələ həlli. Ümumiləşdirici tapşırıqlar. saat Məzmun standartı Birləşmələrin köməi ilə ehtimala aid sadə məsələləri həll edir. Permutasia və kombinezonun tətbiqi ilə hadisənin ehtimalını hesablama bacarıqlarını nümaiş etdirir: hadisələrin mümkün saını situasiaa görə permutasiaları hesablamaqla; hadisələrin mümkün saını situasiaa görə kombinezonları hesablamaqla; əlverişli halların saını mütəlif üsullarla müəən etməklə; hadisənin ehtimalını tapmaqla; Mütəlif situasialara uğun hadisənin ehtimalını tapır: asılı olmaan hadisələrin; asılı hadisələrin; uuşan hadisələrin; uuşmaan hadisələrin; Şagird permutasia və kombinezonun köməilə hadisənin mümkün saının müəən n(e) edildiini başa düşür. Ehtimalı hesablamaq üçün istifadə edilən P(E) = düsturunda n(s) n(e) əlverişli hadisələrin saını, n(s) mümkün hadisələrin saını müəən edir. Situasiadan asılı olaraq hər ikisini permutasia düsturuna və a kombinezonun düsturuna görə müəən etmək olar. Həmçinin şagirdin vurma prinsipinin tətbiq edildii situasiaları da aırdığına diqqət edilir. 8

229 Məsələ. Masanın üzərindəki 5 kartdan erinə qatarılmadan təsadüfi kart çəkilir. Bu kartların hər ikisinin Tuz olma ehtimalını tapın.. Hadisələrin mümkün saı: 5P permutasialarıdır.. Əlverişli halların saı: P çünki Tuz kart var.. Hadisənin ehtimalı = = 5 5 = P 5P Dərslikdə verilmiş məsələlər nəzərdən keçirilir. Ehtimala aid məsələlər. Dərslikdə verilmiş tapşırıqlar indiə qədər keçilmiş ehtimala aid situasiaları ümumiləşdirmə, məsələ həlletmə bacarıqlarını olama və inkişaf etdirmə məqsədini daşıır. Bu situasiaları aşağıdakı alqoritmlə araşdırmaq olar. P(E) = n(e) n(s) Təcrübi ehtimalın mümkünlüünü olaın. Bəli Nəticələr eni - imkanlıdır? Xer P(A və a B) = P(A) + P(B) Xer Başlanğıc Bəli Bir hadisənin ehtimalını ta - pır sınız? Xer Hadisələr və, və a, ən azı sözləri ilə bağlıdır ən azı və a H a d i s ə l ə r uuşandır? və P(ən azı ) = P(o) 9 Bəli P(A və a B) = P(A) + P(B) P(A B) P(A və B) = P(A) P(B) Xer Hadisələr asılıdır? Bəli P(A və B) = P(A) P(A B)

230 Dərslikdə verilmiş bəzi məsələlərin həlli. D.. (Səh. 9) 0,,,, rəqəmlərindən rəqəmləri təkrarlanmamaqla neçə beşrəqəmli ədəd azmaq olar? Həlli: I üsul. Ədədin I rəqəmini üsulla, II rəqəmini qalan rəqəmdən üsulla, III rəqəmini üsulla, IV rəqəmini üsulla, V (sonuncu) rəqəmini üsulla seçə bilərik. Vurma prinsipinə görə alırıq ki, verilən şərtlərlə = 96 sada beşrəqəmli ədəd azıla bilər. II üsul. 5!! = 0 = 96 D.6. Qrupdakı 8 şagird Lalə və Elmirin anaşı daanması şərti ilə neçə mütəlif üsulla cərgəə düzülə bilər? Həlli: Elmir və Lalə anaşı durduqda 7 elementin mütəlif permutasialar saı 7! sada olduğundan, hər belə permutasiada Elmirlə Lalə öz aralarında! sada erdəişmə edə bildiklərindən mütəlif düzülüşlərin saı! 7! olar. D.0. d) ELEMENT sözündəki hərfləri ounuşu mütəlif olan neçə variantda düzmək olar? Həlli: ELEMENT sözündə 7 hərf var və bunlardan E hərfi dəfə təkrarlanır. Deməli, ounuşları mütəlif olan düzümlərin saı: 7!! =!!!!!! = 80 olar. D.5. Əli, Vuqar, Yaşar, Lela, İlahə və Toğrul öz aralarında keçirdikləri şahmat arışında mütəlif allar topladılar. a) I və II erləri bölüşdürməin mümkün variantları saını tapın. b) İlk iki eri tutan şahmatçılar raon turuna vəsiqə qazandılar. Mümkün variantların saını tapın. Həlli: a) I eri 6 nəfərdən biri 6 mütəlif üsulla, II eri isə qalan 5 nəfərdən biri 5 mütəlif üsulla tuta bilər. Vurma prinsipinə görə I və II erləri bölüşdürməin mümkün variantları saı 6 5 = 0 olur. b) Bu halda ilk iki eri tutan mütəlif cütlüklərin saını tapmalııq. Burada məsələn, (Əli, Toğrul) cütlüü ilə (Toğrul, Əli) cütlüü eni heəti göstərdiindən raon turuna vəsiqə qazanmış mütəlif cütlərin saı 6 5 = 5 olar. D.9. (səh. ) Həlli: Fidanın 6 iş kostumu varsa, o, bazar ertəsi 6 mütəlif üsulla geinə bilər. Hər gün mütəlif kostum geinərsə, onda çərşənbə aşamı qalan 5 kostumu 5 mütəlif üsulla, çərşənbə günü isə üsulla geinə bilər. Vurma prinsipinə görə mütəlif seçimlərin saı 6P = 6 5 = 0 olur. 0

231 D.. Üç sərnişin 5 daanacaqda, hər daanacaqda ən çou biri düşmək şərti ilə neçə mütəlif üsulla avtobusu tərk edə bilər? Həlli: 5P = 5 = 60 Doğrudanda, sərnişinlərdən biri 5 daanacaqda 5 mütəlif üsulla, digəri daanacaqda mütəlif üsulla, III sərnişin isə qalan daanacaqda üsulla avtobusu tərk edə bildiindən, vurma prinsipinə görə mütəlif üsulların saı 5 = 60 olar. D.. (səh. ) Çevrə üzərində 8 nöqtə qed edilmişdir. Təpələri bu nöqtələrdə olan neçə üçbucaq qurmaq olar? Həlli: 8 nöqtədən hər hansı - nü götürüb, onları parçalarla birləşdirsək, üçbucaq alınacaq. Mütəlif üçbucaqların saı 8C = = 56 olacaq. D.. Şəkildə neçə paraleloqram samaq olar? Həlli: Şəkildə paralel düz əttin digər 5 paralel düz ətlərlə kəsişmələri göstərilmişdir. üfüqi düz ətdən hər hansı - sinin 5 maili düz ətdən hər hansı - si ilə kəsişməsindən paraleloqram alınır. Mütəlif paraleloqramların saı vurma prinsipinə görə C 5C = 6 0 = 60 olacaq. D.6. 5 oğlan və qızdan hərəsində ən azı qız olmaqla, nəfərlik neçə mütəlif qrup aratmaq olar? Həlli: qızdan - ni C üsulla, nəfərlik qrupun digər üzvünü isə 5 oğlandan 5C üsulla seçmək olar. Deməli, tərkibində qız olan qrupların saı C 5C olacaq. Tərkibində qız olan qrupların saı isə C 5C olur. Qrupun bütün üzvləri qızlar olarsa, belə qrupların saı C olacaq. Onda toplama prinsipinə görə, hərəsində ən azı qız olmaqla nəfərlik mütəlif qrupların saı C 5C + C 5C + C = 7 olur. D.7. Qabda 5 ağ, qırmızı kürə var. Qabdan - si ağ, - i qırmızı olmaqla kürəni çıarmağın neçə mütəlif variantı var? Həlli: Qabdakı 5 ağ kürədən - sini 5C üsulla, qırmızı kürədən - ni C üsulla çıarmaq olar. - si ağ, - i qırmızı olmaqla kürəni çıarmağın mütəlif variantları saı 5C C = 0 = 0 olur.

232 D. (səh. ) Əvvəlcə uuşmaan və a uuşan hadisə olduğunu müəən edin. Sonra ehtimalını hesablaın? ) Bir zər atıldığında: a) P( və a 5); b) P(tək ədəd və 5-dən kiçik); a) P( və a 5) hadisəsi uuşan hadisələrin ehtimalının tapılmasıdır. -in düşmə ehtimalı, 5-in düşmə ehtimalı da -dir. və a 5-in düşmə ehtimalı 6 P( və a 5) = P() + P(5) = 6 + = 6 b) P(5-dən kiçik tək ədəd) hadisəsi uuşan hadisələrin ehtimalına aiddir. Burada P(A və a B) = P(A) + P(B) P(A B) düsturu tətbiq edilir. Zər üzərində tək ədədlər,, 5 -dir. P (tək ədəd) = 6 5-dən kiçik ədədlər,,, -dir. P(5-dən kiçik) = 6 P (5-dən kiçik tək ədəd) = 6 P(tək ədədlər və 5-dən kiçik) = P(tək ədədlər) + P (5-dən kiçik) 5 P (5-dən kiçik tək ədəd) = + = Cavab: 6 6 D7. (səh. ) Son əbərləri haradan əldə edirsiniz sorğusunun nəticəsi: 85% əbərləri internetdən ouur, 5% qəzetlərdən ouur, 5% hər ikisindən ouur. Məlumatı Venn diaqramı ilə təqdim edin. Respondentlər arasından təsadüfi biri seçilsə, uğun ehtimalı tapın: a) əbərləri qəzetdən deil, internetdən alan şəs olma; b) məlumatı hər iki mənbədən alan şəs olma. Həlli: Şagirdlər məsələnin şərtinə uğun məlumatı Venn diaqramında erləşdirməklə, əvvəlcə məlumatı alnız qəzetdən və alnız internetdən alan respondentlərin faizini müəənləşdirirlər a) = b) = İnternet Qəzet 60% 0% 5%

233 İşçi vərəq 7 Adı Soadı Permutasiaların saını müəən edir. Tari ) Atən öz adının hərflərindən istifadə etməklə dörd hərfdən ibarət PİN kod ığmaq istəir. Onun neçə seçimi var? ) nəfər bir sırada düzülməklə şəkil çəkdirir. a) Sərdarla Həsən anaşı daanmaq istəirlər; b) Sərdarla Həsən anaşı daanmaq istəmirlər. Onların neçə mümkün variantı var? Sərdar Həsən ) Hansı böükdür? ) 8P6, osa 6P ) 9P7, osa 9P ) 0P, osa 8P ) Elşən eddirəqəmli ədəddən ibarət parol seçmək istəir. Onun neçə mümkün variantı var? 5) Ekspedisiaa hazırlaşan şagird arasından nəfər seçilməlidir. Onlardan biri düşərgəni seçməli, ikincisi təsərrüfat işlərinə bamalı, üçüncüsü isə təqvim planı hazırlamalıdır. Bu iş üçün neçə seçim variantı var? 6) npr = 0 və r = olarsa, n-in qimətini tapın. 7) Hesablaın. 5 P 5 P P P = = 7 P 7 P 8 P 6 8 P = =