Bertrand, kirişin rasgele seçimi ile ilgili üç farklı yöntem ele alıp sorulan olasılığı hesaplamıştır.

Ebat: px

Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "Bertrand, kirişin rasgele seçimi ile ilgili üç farklı yöntem ele alıp sorulan olasılığı hesaplamıştır."

Gülistan Saçan
5 yıl önce
İzleme sayısı:

Bertrand Paradoksu Rasgelelik ve olasılık kavramlarını gerçek dünyadan ayrı düşünemeyiz.

Joseph Bertrand (8229) Olasılıkların Hesabı isimli çalışmasında aşağıdaki problemi öne sürmüştür.

Bertrand, kirişin rasgele seçimi ile ilgili üç farklı yöntem ele alıp sorulan olasılığı hesaplamıştır.

org/wiki/file:bertrand-figure.svg Olasılığın Hesaplanması: Eşkenar üçgen, köşelerinden birisi kirişin uç noktalarından birisi üzerine gelecek şekilde çizilsin.

1 Bertrand Paradoksu Rasgelelik ve olasılık kavramlarını gerçek dünyadan ayrı düşünemeyiz. Bunları, gerçek dünyadan kopuk ele alırsak Bertrand Paradoksu gibi durumlarla karşılaşırız. Joseph Bertrand (8229) Olasılıkların Hesabı isimli çalışmasında aşağıdaki problemi öne sürmüştür. Bir çemberde (dairede) rasgele seçilen bir kirişin uzunluğunun, bu çembere iç teğet olan eşkenar üçgenin kenar uzunluğundan daha büyük olma olasılığı nedir? Bertrand, kirişin rasgele seçimi ile ilgili üç farklı yöntem ele alıp sorulan olasılığı hesaplamıştır. Seçim Yöntemi I (Rasgele Uç Noktalar Yöntemi): Çember üzerinden rasgele iki nokta seçilip bu noktaları birleştiren kiriş çizilsin. Şekil Olasılığın Hesaplanması: Eşkenar üçgen, köşelerinden birisi kirişin uç noktalarından birisi üzerine gelecek şekilde çizilsin. Kirişin diğer uç noktası, karşı kenarın yayı üzerine düşerse kiriş (kırmızı renkli bir kiriş) uzunluğu üçgenin kenar uzunluğundan büyük olur. Bunun olması olasılığı /3 tür Seçim Yöntemi II (Rasgele Yarıçap Yöntemi): Rasgele bir yarıçap ve bu yarıçap üzerinde rasgele bir nokta seçilip, yarıçapa dik olan kiriş çizilsin. Şekil-2 (Calcul des probabilités, Paris : Gauthier-Villars et fils, 889)

Olasılığın Hesaplanması: Çemberin bir yarıçapı rasgele seçilsin. Eşkenar üçgen, kenarlarından birisi seçilen yarıçapa dik olacak şekilde çizilsin. Yarıçap üzerinde rasgele bir nokta seçilsin.

Seçim Yöntemi III (Rasgele orta Nokta Yöntemi): Dairenin içinden rasgele bir nokta seçilsin ve bu nokta kirişin orta noktası olacak şekilde kiriş çizilsin. Şekil-3 http://en.wikipedia.

2 Olasılığın Hesaplanması: Çemberin bir yarıçapı rasgele seçilsin. Eşkenar üçgen, kenarlarından birisi seçilen yarıçapa dik olacak şekilde çizilsin. Yarıçap üzerinde rasgele bir nokta seçilsin. Seçilen nokta üçgenin içinde kalırsa kiriş uzunluğu üçgenin kenar uzunluğundan büyük olur. Bunun olma olasılığı /2 dir (eşkenar üçgenin kenarı, kendisine dik olan yarı çapı ikiye bölmektedir). Seçim Yöntemi III (Rasgele orta Nokta Yöntemi): Dairenin içinden rasgele bir nokta seçilsin ve bu nokta kirişin orta noktası olacak şekilde kiriş çizilsin. Şekil-3 Olasılığın Hesaplanması: Eşkenar üçgenin iç teğet çemberi çizilsin. Seçilen nokta bu iç teğet çemberin belirlediği dairenin içine düşerse kiriş uzunluğu üçgenin kenar uzunluğundan büyük olur. Bunun olması olasılığı /4 e eşittir (küçük dairenin alanı büyük dairenin dörtte biridir). Üçü de görünüşte geçerli olmakla birlikte üç farklı olasılık değeri ortaya çıkmaktadır. Dikkat edilirse, üç durumun her birinde rasgele sözcüğünün altında düzgün olasılık dağılımları bulunmaktadır. Yöntemin birindeki düzgün dağılım diğerinde düzgün değildir. Örneğin, dairenin içinden düzgün dağılıma göre rasgele seçilen kiriş orta noktaları (3. yöntem) için bu noktaların çemberin merkezine olan uzaklıkları (2. yöntemde) düzgün dağılımlı değildir. Olasılıkların farklı çıkması ile ilgili bu gerekçe aşağıdaki simülasyon sonuçlarında kendini apaçık olarak göstermektedir.. yöntemde kiriş orta noktalarının dağılışı 2. yöntemde kiriş orta noktalarının dağılışı 3. yöntemde kiriş orta noktalarının dağılışı Şekil-4

3 Bertrand ın yönelttiği soruyu bir kez daha göz önüne getirelim: Bir çemberde (dairede) rasgele seçilen bir kirişin uzunluğunun, bu çembere iç teğet olan eşkenar üçgenin kenar uzunluğundan daha büyük olma olasılığı nedir? Bertrand bu soru ile: Kiriş uzunluğunu (rasgele değişkeni) veren mekanizma veya yöntem açık olarak belirtilmedikçe olasılıklar iyi açıklanamaz (tayin edilemez) demek istemiş ve bunu paradoksal bir örnekle açıklamıştır. Rasgele kiriş seçimindeki yöntem belirtildikten sonra problem iyi-sunulmuş bir problem haline gelmektedir. Gerçek dünyada, bu üç yöntemdeki gibi kirişler ortaya çıkaran fiziksel mekanizma örnekleri: Seçim Yöntemi I Uç Noktalar Yöntemi (Çember üzerinden rasgele iki nokta seçilmesi yöntemi) Serbestçe dönebilen bir saat yelkovanını iki kez rasgele çevirip duruşlardan sonra ok ucunun konumunu işaretlemek. Seçim Yöntemi II Yarıçap Yöntemi (Çemberin bir yarıçapını rasgele seçip bu yarıçap üzerinde rasgele bir nokta seçilmesi) Serbestçe dönebilen bir saat yelkovanını bir kez rasgele çevirip durduktan sonra, yelkovan kadar uzun bir ipliği kırıştırıp makasla bir yerinden rasgele kesip, kesilen yeri yelkovan üzerinde işaretlemek. Seçim Yöntemi III Orta Nokta Yöntemi (Dairenin içinden rasgele bir nokta seçilmesi yöntemi) Daireyi, çok küçük delikli (ince) bir elek haline getirip, küçük bir bilyeyi rasgele eleyip, geçtiği deliği işaretlemek. Matlab programı Model

4 %Secim Yontemi I teta=:.:(2*pi);r=; plot(r*cos(teta),r*sin(teta));hold on for i=:2 teta=2*pi*rand;teta2=2*pi*rand; x(i)=r*cos(teta);y(i)=r*sin(teta); x2(i)=r*cos(teta2);y2(i)=r*sin(teta2); plot([x(i) x2(i)],[y(i) y2(i)],'-') kirisuzunlugu(i)=sqrt((x(i)- x2(i))^2+(y(i)-y2(i))^2); end figure;hist(kirisuzunlugu) oran=sum(kirisuzunlugu>r*sqrt(3))/size(kir isuzunlugu,2) ortanca=median(kirisuzunlugu) ortalama=mean(kirisuzunlugu) figure %kirislerin orta noktaları plot(r*cos(teta),r*sin(teta));hold on plot((x+x2)/2,(y+y2)/2,'.') %Secim Yontemi II figure;plot(r*cos(teta),r*sin(teta));hold on i=; for i=:2 tetta=2*pi*rand;ro=r*rand; a=ro*cos(tetta);b=ro*sin(tetta); yy=eval(solve('y^2-(r^2-((a^2+b^2- b*y)/a)^2)=')); y(i)=yy(,);y2(i)=yy(2,); x(i)=(a^2+b^2-b*y(i))/a; x2(i)=(a^2+b^2-b*y2(i))/a; plot([x(i) x2(i)],[y(i) y2(i)],'-') kirisuz(i)=sqrt((x(i)-x2(i))^2+(y(i)- y2(i))^2); end figure;hist(kirisuz) oran=sum(kirisuz>r*sqrt(3))/size(kirisuz,2 ) ortanca=median(kirisuz) ortalama=mean(kirisuz) figure %kirislerin orta noktaları plot(r*cos(teta),r*sin(teta));hold on plot((x+x2)/2,(y+y2)/2,'.') %Secim Yontemi III figure;plot(r*cos(teta),r*sin(teta));hold on i=; while i<2 a=-r+2*r*rand;b=-r+2*r*rand; if (a^2+b^2<r^2) yy=eval(solve('y^2-(r^2-((a^2+b^2- b*y)/a)^2)=')); i=i+; y(i)=yy(,);y2(i)=yy(2,); x(i)=(a^2+b^2-b*y(i))/a;x2(i)=(a^2+b^2- b*y2(i))/a; plot([x(i) x2(i)],[y(i) y2(i)],'-')

5 kirisuzunlugu(i)=sqrt((x(i)- x2(i))^2+(y(i)-y2(i))^2); xort(i)=a;yort(i)=b; end;end figure;hist(kirisuzunlugu) oran=sum(kirisuzunlugu>r*sqrt(3))/size(kir isuzunlugu,2) ortanca=median(kirisuzunlugu) ortalama=mean(kirisuzunlugu) figure %kirislerin orta noktaları plot(r*cos(teta),r*sin(teta));hold on plot(xort,yort,'.') >> [xx,yy] = solve('a*xx+b*yy-a^2-b^2=','xx^2 +yy^2=r^2'); >> X=xx(,);X2=xx(2,);Y=yy(,);Y2=yy(2,); X =(-b*(b^3+b*a^2+(-b^4*a^2-2*a^4*b^2+b^2*r^2*a^2- a^6+r^2*a^4)^(/2))/(b^2+a^2)+a^2+b^2)/a Y =(-b*(b^3+b*a^2+(-b^4*a^2-2*a^4*b^2+b^2*r^2*a^2- a^6+r^2*a^4)^(/2))/(b^2+a^2)+a^2+b^2)/a X2 =(-b*(b^3+b*a^2-(-b^4*a^2-2*a^4*b^2+b^2*r^2*a^2- a^6+r^2*a^4)^(/2))/(b^2+a^2)+a^2+b^2)/a Y2 =(-b*(b^3+b*a^2-(-b^4*a^2-2*a^4*b^2+b^2*r^2*a^2- a^6+r^2*a^4)^(/2))/(b^2+a^2)+a^2+b^2)/a Seçim Yöntemi I için çıktılar: Şekil-4 Seçim Yöntemi I ile rasgele seçilen 2 kiriş

6 Şekil-5 Seçim Yöntemi I ile rasgele seçilen 2 kirişin uzunluklarının histogramı Şekil-6 Seçim Yöntemi I ile rasgele seçilen 2 kirişin orta noktalarının serpilme çiziti Seçim Yöntemi II için çıktılar:

7 Şekil-7 Seçim Yöntemi II ile rasgele seçilen 2 kiriş Şekil-8 Seçim Yöntemi II ile rasgele seçilen 2 kirişin uzunluklarının histogramı Şekil-9 Seçim Yöntemi II ile rasgele seçilen 2 kirişin orta noktalarının serpilme çiziti

8 Seçim Yöntemi III için çıktılar: Şekil Seçim Yöntemi III ile rasgele seçilen 2 kiriş Şekil Seçim Yöntemi III ile rasgele seçilen 2 kirişin uzunluklarının histogramı Şekil2 Seçim Yöntemi III ile rasgele seçilen 2 kirişin orta noktalarının serpilme çiziti

9 Eşkener üçgenin kenar uzunluğundan büyük uzunluklu kirişlerin simülasyon sonucu gözlenen oranı: Yöntem I Yöntem II Yöntem III oran =.35 oran =.475 oran =.255 Kiriş uzunluğu ile ilgili simülasyon sonucu gözlenen ortalama ve ortanca: Yöntem I Yöntem II Yöntem III ortalama =.2386 ortalama =.533 ortalama =.334 ortanca =.3392 ortanca =.693 ortanca =.3899 Yöntem I Yöntem II Yöntem III Kirişler Kiriş uzunluklarının histogramı Kiriş orta noktalarının saçılımı Soru: Bir kilimin altında, neresinde ve ne kadar büyük olduğu bilinmeyen bir daire bulunsun. Bir sopa bu kilimin üstüne rasgele atılsın. Daire ile sopanın kesişen kısmının uzunluğunun,

10 dairenin içine çizilebilecek iç teğet eşkenar üçgenin kenar uzunluğundan daha büyük olma olasılığı nedir?

Benzer belgeler

Bertrand Paradoksu. Şekil-1

Bertrand Paradoksu. Şekil-1 Bertrand Paradoksu Güncel Türkçe Sözlük (Ocak 22, http://tdkterim.gov.tr/bts/) paradoks Fr. paradoxe a.. Aykırı düşünce. 2. Çelişki. 3. fel. Düşünceler arasında tartışmaya açık, kesin bir yargı içermeyen