YAZARLAR. Doç. Dr. Ali DOĞANAKSOY Yrd. Doç Dr. Muharrem AKTÜMEN Hakan ÖZTUNÇ Fatih İÇTEN Ertan ÖZKÖK Dr. Enes YILMAZ

Transkript

1 YAZARLAR Doç. Dr. Ali DOĞANAKSOY Yrd. Doç Dr. Muharrem AKTÜMEN Hakan ÖZTUNÇ Fatih İÇTEN Ertan ÖZKÖK Dr. Enes YILMAZ DEVLET KİTAPLARI BİRİNCİ BASKI., 2012

2 MİLLİ EĞİTİM BAKANLIĞI YAYINLARI... : 5821 YARDIMCI VE KAYNAK KİTAPLAR DİZİSİ... : ?.Y Her hakkı saklıdır ve Milli Eğitim Bakanlığına aittir. Kitabın metin, soru ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz. EDİTÖR Prof. Dr. Cengiz ALACACI ISBN: Milli Eğitim Bakanlığı, Talim ve Terbiye Kurulunun gün ve sayılı yazısı ile öğretim materyali olarak kabul edilmiş, Destek Hizmetleri Genel Müdürlüğünün gün ve sayılı yazısı ile birinci defa adet basılmıştır.

3

4

5 .. MUSTAFA KEMAL ATATURK

6

7 Problem 1: Özgürlük Anıtı...8 Problem 2: Otobüs Yolculuğu...10 Problem 3: Kalp Atışı...12 Problem 4: Bakkal Çırağı...14 Problem 5: Yaprakların Alanı...16 Problem 6: Eşitini Bul!...21 Problem 7: El Sıkışma...23 Problem 8: Sınıf Penceresi...28 Problem 9: Kızların Yaşı...30 Problem 10: Cebimizdeki Paralar...32 Problem 11: Kuledeki Askerler...34 Problem 12: Takvim Oyunu...40 Problem 13: Tasarrufl u Ampuller...44 Problem 14: Kesir Dominoları...46 Problem 15: Sihirli Kareler...49 Problem 16: Pamuk Prenses ve Yedi Cüceler...51 Problem 17: Dikdörtgenler...54 Problem 18: Şifreleme...56 Problem 19: Damlatan Musluk...59 Problem 20: Deniz Kırlangıçları...61 Problem 21: Terazi

8 PROBLEM - 1 Özgürlük Anıtı New York şehrindeki Özgürlük Anıtı nı 1886 da Fransa Amerika Birleşik Devletleri ne hediye etmiştir. Elinde meşale ve kitap tutan anıt, özgürlük ve demokrasi kavramlarını temsil etmektedir. Heykelin kolunun uzunluğu 12,8 metre ise heykelin boyunun, burnunun ve diğer vücut parçalarının uzunluğunu hesaplayınız. Sizin veya arkadaşlarınızın vücut ölçülerini de kullanarak insan vücudunun uzuvları arasındaki uzunluk ilişkilerini mümkün olduğunca fazla uzuv arasında hesaplayınız. Mimarlar, ressamlar, heykeltraşlar, mühendisler, terziler ve oyuncak yapımcıları işlerinde insan vücudunun uzuvları arasındaki oranları sıklıkla kullanırlar. Ölçümlerinizi ve bulgularınızı konuyu bilmeyen birisinin anlayacağı şekilde yazarak düzenleyiniz ve arkadaşlarınıza sunacak şekilde hazırlayınız. Dersin sonunda sadece bulgularınız için değil sunuştaki başarınız için de değerlendirileceksiniz. 8

9 Özgürlük Anıtı Problemi İçin Öğretmene Not Bu problemde özgürlük anıtı başlangıç ve konuya giriş için bir araç olup, öğrencilerin normal insan vücudunun organ uzunlukları arasındaki oran ilişkilerini kendilerinin keşfetmeleri önemlidir. Örneğin kol uzunluğu ile boy, açık el uzunluğu ile kol veya ayak arasındaki oran ilişkileri gibi. Öğrencileri kendi vücutlarını ölçerek bu oranları keşfetmeye yönlendirmelisiniz. Ancak sınıfta engelli bir öğrenci varsa öğretmen bu problemi uygularken dikkatli olmalıdır. Gerekli Malzemeler Hesap makinesi Poster kâğıdı Renkli keçeli kalemler Cetvel Mezura Bu problemde öğrencilere grup çalışması yaptırmak uygun olacaktır. Bir öğrenci ölçerken, diğeri ölçümleri tabloya kaydedebilir, bir diğeri de oranları hesaplayabilir. Öğrencilerin ihtiyaç duyacakları renkli kalem, mezura, poster kağıdı vb. araçlar öğrencilerden ders öncesi istenmeli veya temin edilmelidir. Hesaplamalarda hesap makinesi kullanımına izin verebilirsiniz. Hesap makinesini kullanmanın neden uygun olacağı veya olmayabileceğini tartışabilirsiniz. Öğrencilerin insan vücudundaki hesapladıkları oranların değişik kişilerde aynı olup olmadığını karşılaştırmalarını isteyebilirsiniz. Bulgular farklı ise mutlaka bunun nedenleri tartışılmalıdır. Örneğin bu tartışmalarda fark ölçüm hatasından mı, insan vücutlarının farklı olmalarından mı kaynaklanıyor, tartışmalarda göz önüne alınabilir. Konuyu bilmeyen birine bulguları açık ve net olarak anlatmalarının önemli olduğunu öğrencilere vurgulamalısınız. Bunun için soruyu, bulgularını, hesapladıkları oranları tablo, grafi k veya benzer yöntemlerle göstermelerini ve sınıfta arkadaşlarına anlatmalarının beklendiğini söylemelisiniz. Sadece mantıklı bir cevap bulmanın ve bulguları raporlaştırmanın yeterli olmadığını, gruplardan iyi bir sunum yapmalarının da beklendiğini söylemelisiniz. Dersin sonunda en az üç grubun bulgularını sınıfla paylaşmalarını istemelisiniz. Bu gruplar bulguları veya yaklaşımları farklı olanlar arasından seçilmelidir. Farklılıkların nedenleri sunumlardan sonra tartışılmalıdır. Öğretmen şu grubun sonuçları doğru yargısında bulunmamalı, hangi sonuçların mantıklı olduğunu sınıfta hep birlikte değerlendirilmelidir. Vurgu doğru cevabı bulmak yerine mantıklı cevapları bulmak üzerinde olmalıdır. 9

10 PROBLEM - 2 Otobüs Yolculuğu Ankara da bir yazılım fi rmasında çalışan Erkan Bey, işi gereği sık sık otobüsle seyahat etmektedir. Otobüste cam kenarına oturmayı tercih etmektedir. Erkan Bey telefonla yer ayırtmaktadır. Erkan Bey in fi rma yetkilisi ile konuşmasına kulak verelim: Erkan: İyi günler. Yarın da Kayseri ye gidecek olan otobüste benim için bir kişilik yer ayırır mısınız? Firma yetkilisi: İyi günler efendim. 18 numaralı koltuk uygun mu sizin için? Erkan: 18 numaralı koltuk cam kenarı değil. Ben cam kenarını tercih ediyorum. Acaba cam kenarında boş koltuğunuz var mı? Firma yetkilisi: 13 numaralı koltuk uygun mu efendim? Erkan: Evet. 13 numaralı koltuk benim için uygun, teşekkürler. Aşağıdaki sorulara grup arkadaşlarınızla birlikte cevap arayınız. Bir otobüste koltukların ne şekilde numaralandırıldığını biliyor musunuz? Erkan 18 numaralı koltuğun cam kenarı olmadığını nasıl anladı? Erkan 13 numaralı koltuğun cam kenarı olduğunu nasıl anladı? Problemi Geliştirelim Erkan, şoför tarafındaki cam kenarında bulunan koltuklara oturmak için ne yapmalı? Erkan fi rma yetkilisi koltuk numarasını söylediğinde, oturduğu koltuğun sırasını da bulabilir mi? Sırasını bulmak için ne yapmalı? Bazı otobüslerin bir sırasında dört, bazılarında da üç koltuk vardır. Üç koltuk olması durumunda yukarıdaki cevaplarınız nasıl değişirdi? Grubunuzla tartışarak, konuyu bilmeyen birisinin anlayacağı şekilde çözümünüzü yazarak düzenleyiniz. Diğer arkadaşlarınıza sunmak amacıyla şekil çiziniz. Dersin sonunda sadece doğru cevabınızla değil sunuştaki başarınız için de değerlendirileceksiniz. 10

11 Otobüs Yolculuğu Problemi İçin Öğretmene Not Etkinliğin uygulama sürecinde; Heterojen öğrenci grupları oluşturunuz. Öğrencilere sınıf ortamında etkinlikle ilgili olmak üzere serbest hareket etme imkânı verilmelidir. Örneğin; öğrenciler kâğıt üzerinde otobüs koltuk düzenini çizmek isteyebilirler. Gruplar ulaştıkları çözümü ve buna ulaşmak için yaşadıkları süreçleri sınıf içinde paylaşmalıdırlar. Şekil de örnek bir oturma planı bulunmaktadır. Etkinliğin tartışıldığı son aşamada kullanılabilir. Otobüs problemi doyurucu bir sonuca ulaşarak çözüldükten sonra öğretmen bu defa uçaktaki oturma düzeni ile ilgili bir problem sorabilir. Örneğin bir yerden bir yere okul gezisi için uçakla giden öğrenciler baştan sona doğru sırayla oturuyorsa ve uçakta her sırada 6 koltuk varsa (1A, 1B, 1C, 1D, 1E ve 1F), 19B de oturan öğrenciden önce kaç öğrenci oturmuştur? sorusu sorulabilir. Öğretmen kâğıt üzerinde uçağın oturma düzeninin modelini çizmeye teşvik eder ve öğrencilerden yukarıdaki sorunun cevabını bulması beklenir. Konu ile ilgili yine cam kenarı koltuklar veya koridor koltukları ve orta yer koltukları ile ilgili, oturma sırasına göre genellemelere ulaşmaları beklenir. Şekil: Bir otobüs için örnek oturma planı 11

12 PROBLEM - 3 Kalp Atışı Kalp, genel yapısı ve çalışmasıyla bir biyolojik mühendislik harikasıdır. Spor yapmayan insanların kalpleri bile dayanıklılık bakımından oldukça güçlü birer kastır. Yüksek yoğunlukta bir damar yapısına sahip olan kalbimiz, milimetrekarede yaklaşık 2000 kılcal damarı barındırmaktadır. Bu da yeterli derecede oksijenin kalp kasına sürekli ve güvenli olarak ulaşmasını sağlar. Aşağıdaki soruları cevaplandırınız. Bir dakikada kalbiniz kaç defa atar? (Bunu bileğinizden ve boynunuzdan nabzınızı sayarak belirleyebilirsiniz.) Bir saatte kalbiniz kaç defa atar? Bir günde kalbiniz kaç defa atar? Bir haftada kalbiniz kaç defa atar? Bir ayda kalbiniz kaç defa atar? Bir yılda kalbiniz kaç defa atar? Benzer şekilde bir dakika, bir saat, bir gün, bir hafta, bir ay ve bir yılda kaç defa soluk alıp verdiğinizi hesaplayınız. Elde ettiğiniz sonuçları kaydediniz, arkadaşlarınıza sunacak şekilde düzenleyiniz. Bulgularınızı diğer gruptaki arkadaşlarınızla karşılaştırınız. 12

13 Kalp Atışı Problemi İçin Gerekli Malzemeler Hesap makinesi A4 Kâğıt Bu etkinlikte öğrencilerin saniye-dakika-saat ve günhafta-ay-yıl arasındaki ilişkileri anlamaları ve kullanmaları amaçlanmıştır. Öğrenciler bireysel olarak kendi ölçümlerine göre farklı değerlere ulaşacaktır. Bazı öğrenciler 60 saniye yerine, 15 saniyelik veya 30 saniyelik sürelerde kalp atışını sayıp 1 dakika için sayıyı hesaplamak isteyebilirler. Bunların yaklaşımı tartışılmalıdır. Değişik gruplardaki öğrencilerin bulguları ölçümü yapılan kişinin fi ziksel etkinlik yapıp yapmadığına veya diğer kişisel özelliklerine göre değişecektir. Ölçümlerdeki farklılıkların olası nedenleri sınıfta tartışılmalıdır. Örneğin oturan veya merdivenlerden henüz çıkıp gelmiş öğrenciler arasında veya erkek ve kız öğrenciler arasında ölçümlerin değişip değişmediği sınıfta ölçülerek tartışılabilir. 13

14 PROBLEM - 4 Bakkal Çırağı Erdal Bakkal Ali ye Çırağım olur musun? dedi. Ali: Okulların açılmasına bir ay var. Bir ay için çırağın olurum. Peki, haftalığım ne kadar olacak? diye karşılık verdi. Sana her hafta 100 TL veririm. Bir günün de tatil olur, hangi gün sen karar verirsin. Veya ilk hafta 20 TL ücretle başlarsın her hafta bir önceki aldığının iki katını veririm. Böylece son hafta 160 TL alırsın ama bu sefer bir gün tatil vermem dedi Erdal Bakkal. Ali biraz düşündü: Hayır, ben ilk hafta senden para almayayım, deneyelim. Sonraki hafta ödemeyi günlük yaparsın ve 1 kuruştan başlarım. Erdal Bakkal heyecanla, Olur, hemen başla dedi. Ali: Tek şartım günlük ücretim bir önceki günün iki katı olur ve haftada bir gün tatil isterim. Birinci gün 1 kuruş, ikinci gün 2 kuruş, üçüncü gün 4 kuruş vs ayrıca gelmediğim günler için ücret istemem dedi. Erdal Bakkal tereddütsüz, Hala duruyor musun? Başla dedim, çırak! dedi. Sizce bu hesaplardan hangisi daha kârlı?. Erdal Bakkal ve Ali için ayrı ayrı hesaplayınız. 14

15 Bakkal Çırağı Problemi İçin Öğretmene Not İlkönce öğrencilerin düşünceleri alınarak derse başlayınız. Hesap yapmadan tahmin ediniz, kim kazançlı görünüyor? diye sorabilirsiniz. Gerekli Malzemeler Hesap makinesi Birinci adımda Ali nin kazançlı olmadığını sonrasında ne kadar kazançlı olduğu hesaplatınız. Bazı öğrenci gruplarında ikinci adım incelenmeyebilir. Çırağın son gün için alacağı para 1310,72 TL dir Öğrenciler sorarlarsa, hesaplamalarda hesap makinesi kullanmalarına izin verebilirsiniz. Hesap makinesini kullanmanın neden uygun olacağı veya olmayabileceğini tartışabilirsiniz. 15

16 PROBLEM - 5 Yaprağın Alanı Yaprak gibi yüzeylerin alanını bulmak için eğlenceli matematiksel yöntemler kullanabiliriz. Öğretmeniniz size 1 cm lik ve 0,5 cm lik kareli kağıtlar verecek. Siz de aşağıdakilere benzer ağaç yaprakları bularak sınıfa getiriniz. 1 cm lik kareli kâğıt 0,5 cm lik kareli kâğıt Sorular 1. Ağaç yaprakları bitkilerin güneşten ışık alarak kendi besinlerini yaptıkları kısımlarıdır. Bir yaprağın ne kadar alana sahip olduğunu nasıl bulursunuz? 2. Yaprağın alanını kareli kâğıt kullanarak yaklaşık olarak bulabilir miyiz? Grubunuzda tartışınız cm kareli kâğıdın üzerine yaprağı koyup kenarları boyunca çizerek şeklini oluşturunuz. Şeklin içinde kalan tam kareleri sayınız. Kenarlardaki tam olmayan kareleri ne yapacağız? Arkadaşlarınızla tartışınız. 16

17 1 cm lik kareli kağıt kullanarak Birinci yaprak (şekli yaklaşık olarak buraya elle çiziniz) İkinci yaprak (şekli yaklaşık olarak buraya elle çiziniz) Tam karelerin sayısı: Tam olmayan karelerin toplamı: Toplam: Tam karelerin sayısı: Tam olmayan karelerin toplamı: Toplam: 4. Yukarıdaki işlemi yarım santimetrelik kareli kağıtla yaparsanız ne olur? Saydığınız kare sayısı 1 cm lik kareli kağıda göre artar mı, eksilir mi? Tahmin ediniz. Artar veya eksilirse kaç kat artar veya eksilir? Bir kat, iki kat, üç kat, dört kat? Grubunuzda tartışınız. 5. Yukarıda üçüncü basamakta yaptınız işlemi bu defa 0,5 cm lik kareli kağıt kullanarak tekrar ediniz, yani aynı yaprakların alanını 0,5 cm lik kareler kullanarak bulunuz. Bu defa kaç tane kare saydınız? Bir tabloda bulgularınızı kaydediniz. 6. Bulgularınız tahmin ettiğiniz gibi mi? Farklı ise neden farklı olduğunu arkadaşlarınızla tartışınız. 7. Alanın bulunmasında 1 cm lik kareli kâğıt mı daha hassas bir ölçüm sağlar yoksa 0,5 cm lik kareli kağıt mı? Neden? Arkadaşlarınızla tartışınız. 17

18 0,5 cm lik kareli kâğıt kullanarak Birinci yaprak (şekli yaklaşık olarak buraya elle çiziniz) İkinci yaprak (şekli yaklaşık olarak buraya elle çiziniz) Tam karelerin sayısı: Tam olmayan karelerin toplamı: Toplam: Tam karelerin sayısı: Tam olmayan karelerin toplamı: Toplam: 8. Yaprak etkinliğinden öğrendiklerinizi aşağıdaki Türkiye haritasının alanına 1 cm lik ve 0,5 cm lik kareli kâğıtlar kullanarak uygulayınız. Bulgularınızı aşağıdakine benzer bir tabloya kaydediniz cm lik ve 0,5 cm lik kareler ve ölçüm hassasiyeti ile ilgili yaptığınız gözlemler Türkiye haritası örneği için de geçerli mi? Grubunuz da tartışarak sonuca bağlayınız. 10. Harita üzerindeki 0,5 cm karelik alan ülkemizin yaklaşık kaç kilometre karelik alanına karşılık gelmektedir? Hesaplayınız. Bunun için Türkiye nin yüzölçümünü kilometre kare olarak bilmeniz gerekecektir. 18

19 TÜRKİYE HARİTASI ÖLÇÜMÜ 1 cm lik kareli kâğıtla 0,5 cm lik kareli kâğıtla Tam karelerin sayısı: Tam olmayan karelerin toplamı: Toplam: Tam karelerin sayısı: Tam olmayan karelerin toplamı: Toplam: 19

20 Yaprağın Alanı Problemi İçin Öğretmene Not Bu etkinlikte öğrenciler grup halinde çalışmalıdır. Bu etkinlikte öğrenciler alan, alan ölçümü, uzunluk ve alan ölçümleri arasındaki (doğrusal olmayan) ilişki, tahmin ve haritada oran ve ölçek kavramlarını kullanacaklardır. Etkinlik tamamlandığında grupların yaklaşım ve bulgularında önemli farklılıklar yoksa öğretmen grup sunumları yapılmasını istemeyebilir. Bunun yerine sınıf tartışması yaptırabilir. Gerekli Malzemeler 1 cm ve 0,5 cm lik kareli kâğıtlar muhtelif ağaç yaprakları (çam yaprağı olmamalı) Türkiye haritası Sınıf tartışmasında öğrencilerin o Düzgün şekli olmayan alanların ölçümünde kareli kağıdın nasıl bir avantaj sağladığı, o Ölçümlerde standart bir birime neden ihtiyaç duyulduğu, o 1 cm lik ve 0,5 cm lik kareli kâğıtlarda aynı alanı ölçerken sayılan karelerin arasında neden kenar uzunluklarında olduğu gibi 2 kat yerine, 4 kat fark görüldüğü, o Türkiye haritasındaki tam kareleri bulurken kullandıkları farklı yaklaşımların ne olduğu (tek tek saymak, dikdörtgenlere bölerek kareleri en çarpı boy yöntemi ile bulup toplamak, tek bir dikdörtgen bulup hesaplamak, vb.), o Tam olmayan kareleri yuvarlarken kullanılan yaklaşımlar, o Türkiye haritasında bir karenin (1 cm lik veya 0,5 cm lik) gerçekte ülkenin kaç kilometre karelik alanına karşılık geldiğinin nasıl bulunduğu hakkındaki düşünceleri dinlenip sınıfça değerlendirilebilir. 20

21 PROBLEM - 6 Eşitini Bul! Öğretmen sınıfı 4 kişilik gruplara ayırır. Her bir gruba bir set etkinlik kağıdı verir. Kartlar önce karıştırılır ve ters yüz edilerek sıraya dizilir. Her gruptan bir öğrenci sırayla ikişer kâğıdı çevirip bakar. Birbirinin eşiti olanı bulursa alır ve 2 puan kazanır. Bulamazsa her iki kartı da açık bırakır. Sonraki öğrenci yeni iki kâğıdı açar ve hem yerdeki açık kâğıtlarla hem de yeni açtıklarını karşılaştırır. Eşitini bulursa alır. Burada dört kâğıt alırsa 4 puan kazanmış olur. Karışık kartlar içinden birbirine eşit olanların alındığı aktivite kartları aşağıda verilmiştir. 21

22 Eşitini Bul Problemi İçin Öğretmene Not - Oyunun uzun süreceği düşünüldüğünde kartların bir kısmı verilebilir. - Her gruptan oyunun kazananları tahtaya çıkarılıp rastgele çekilen bir kartın eşit ifadelerini yazmaları istenebilir. Aynı şekilde oyunda iyi performans gösteremeyenlere birbirine eşit üç kart gösterilip dördüncü kartı bulması istenebilir. Gerekli Malzemeler Etkinlik kartları Kalem Kâğıt - Kartların hangi özellikleri dikkate alınarak eşlendiği tartışılmalıdır. 22

23 PROBLEM - 7 El Sıkışma Bir evde verilen yemeğe ev sahibi ve 9 misafi r olmak üzere 10 kişi katılmıştır. Yemeğe katılan ev sahibi dâhil herkes diğerleri ile birer kere tokalaşmıştır. Sonuçta toplam kaç tokalaşma yapılmıştır? Tokalaşma sayısını başka sayıdaki misafi rler için genelleyiniz. 23

24 El Sıkışma Problemi İçin Öğretmene Not El Sıkışma probleminde öğrencilerden; a) Ardışık sayıların toplamlarını bulabilmeleri, b) Belli bir sistematik geliştirerek tokalaşma sayısını şematize edebilmeleri, Gerekli Malzemeler Kareli kâğıt Makas Yapıştırıcı Kalem c) Tokalaşma sayılarını hesaplarken tablo oluşturabilmeleri, d) Farklı çözüm yolları kullanarak problemin çözülebileceğini anlayabilmeleri, e) Yapılan çözüm yönteminin genellemesini benzer sorularda kısaca uygulayabilmeleri beklenmektedir. Problemin çözümüne aşama aşama ulaşma konusunda öğrencilere ipuçları verilebilir. Doğru çözüm yapan öğrencilere hangi çözüm stratejisini kullandıkları sorulmalı ve bunun nedenleri sınıf içinde tartışılmalıdır. Farklı sayıdaki öğrenci grupları kendi aralarında el sıkışma problemini uygulayabilirler. Örneğin 4 kişilik bir öğrenci grubunda herkes birbiriyle tokalaşıp, elde ettiği sonuçları tablolaştırabilir, şematize edebilir ve toplam tokalaşma sayısını hesaplayabilir. Aynı uygulama 5-6 kişi gibi farklı sayıdaki öğrenci gruplarına da yaptırılabilir. Böylelikle basitleştirme ilkesiyle öğrenciler genellemeye daha rahat ulaşabilirler. Farklı sayısal değerler içeren benzer problem örnekleri öğrencilere çözdürülebilir. 24

25 Çözüm 1. Yaklaşım: 1. misafi r: ev sahibi 2. misafi r: ev sahibi + 1. misafi r 3. misafi r: ev sahibi + 1. misafi r + 2. misafi r misafi r: ev sahibi + 1. misafi r + 2. misafi r misafi r 1 tokalaşma 2 tokalaşma 3. tokalaşma... 9 tokalaşma Bu şekilde ev sahibi misafi rleri kapıda karşılayarak tokalaşabilir. Tokalaşma işlemi bir kağıt üzerine aktarılırsa; bir kişi bir satır, bir tokalaşma da bir kare ile gösterilebilir. Toplam tokalaşma sayısı = = 45 olur. Tokalaşma Misafi r No Sayısı

26 2. Yaklaşım: 9. misafi r: ev sahibi + 1. misafi r + 2. misafi r misafi r 9 tokalaşma 8. misafi r: ev sahibi + 1. misafi r + 2. misafi r misafi r 8 tokalaşma 7. misafi r: ev sahibi + 1. misafi r + 2. misafi r misafi r 7 tokalaşma 2. misafi r: ev sahibi + 1. misafi r 2 tokalaşma 1. misafi r: ev sahibi 1 tokalaşma Ev sahibi ve misafi rler evde hep birlikte otururlarken bir sırada birbirleriyle tokalaşarak masaya otururlar. Tokalaşma işlemi bir kağıt üzerine aktarılırsa; bir kişi bir satır, bir tokalaşma da bir kare ile gösterilebilir. Toplam Tokalaşma sayısı = = 45 olur. Tokalaşma Misafi r No Sayısı

27 Sonuç olarak; Elde edilen iki yapı uygun biçimde birleştirilirse bir dikdörtgen elde edilir. Bu dikdörtgendeki işaretli kutucukları sayıp yarısını hesapladığımızda toplamda yapılan tokalaşma sayısını buluruz. Kutucuk Sayısı = 10.9 = 90 Kutucuk Sayısının Yarısı = 10.9 = 45 2 (tokalaşma sayısı) Daha önceden tokalaşma sayısını = 45 olarak bulmuştuk. Yani = 9.10 = 45 2 O halde; n = n.(n+1) = 45 2 elde ederiz. bulunur. 27

28 PROBLEM - 8 Sınıf Penceresi Grubunuzla birlikte sınıfınızdaki bir pencerenin önüne gidiniz (Şekil 1 de gösterilen pencere tipinde). Bir tahta kalemiyle pencerenin camına MATEMATİK yazınız. Daha sonra pencereyi açarak, camın diğer yüzünden cama bakınız. Gördüğünüzü bir kâğıda aktarınız. Daha sonra kendi belirlediğiniz bir kelimeyi de cama yazarak, yukarıda yapılan işlemleri tekrarlayınız. Aşağıdaki tabloda camın bir yüzündeki kelimeler görülmektedir. Camın diğer yüzünde bu kelimelerin nasıl görüleceğini (bu kelimeleri cama yazmadan) belirleyerek altlarındaki kutuya yazınız. Şekil 1: Birinci tür açılan pencere Camın Bir Yüzü ABAKÜS GEOMETRİ OLASILIK Camın Diğer Yüzü Bu etkinliği dikkate alarak aşağıdaki soruları cevaplandırınız. Yukarıda belirtilen hareketi gerçekleştirdikten sonra camın her iki yüzünden de bakıldığında aynı kelimeyi görebileceğimiz örnekler var mıdır? Eğer varsa; Bu kelimelere örnekler veriniz. Bu örneklerde en çok harf sayısına sahip hangi kelime/kelimeleri bulabildiniz? Bu kelimelerin ortak özelliği nedir? Problemimize devam edelim. Şekil 2: İkinci tür açılan pencere Eğer penceremiz Şekil 2 de belirtilen tipte olsaydı, camın her iki yüzünden de bakıldığında aynı kelimeyi görebileceğimiz örnekler var mıdır? Eğer varsa; Bu kelimelere örnekler veriniz. Bu kelimelerin ortak özelliği nedir? Grubunuzla tartışarak, konuyu bilmeyen birisinin anlayacağı şekilde problemlere yaptığınız açıklamalarınızı, yazarak düzenleyiniz ve diğer arkadaşlarınıza sunacak şekilde hazırlayınız. Dersin sonunda sadece doğru cevabınızla değil sunuştaki başarınız için de değerlendirileceksiniz. 28

29 Sınıf Penceresi Problemi İçin Öğretmene Not Etkinliğin uygulama sürecinde; Heterojen öğrenci grupları oluşturulur. Öğrencilere sınıf ortamında etkinlikle ilgili olmak üzere, özgürce hareket etme imkanı verilebilir. Gerekli Malzemeler Tahta kalemi Sınıfın pencereleri Kâğıt Abaküs, Geometri ve Olasılık kelimelerin camın diğer yüzündeki görüntüsünü belirlerken öğrencilerin farklı stratejiler kullanmaları teşvik edilmelidir. - Örneğin, bir kağıda herhangi bir kelime yazılarak, simetriğinin kağıdın arka yüzünde görünen ifade olduğunu fark etmeleri gibi. Birinci duruma YATAY kelimesi, ikinci duruma BEBEK kelimesi örnek olarak gösterilebilir. Gruplar ulaştıkları açıklamayı ve bu açıklamaya ulaşmak için gerçekleştirdikleri süreçleri sınıf içinde paylaşmalıdırlar. Etkinlik sonunda, simetri ekseni kavramıyla etkinlik ilişkilendirilmelidir. 29

30 PROBLEM - 9 Kızların Yaşı Bir sayım günü görevli memur, sayım yapmak üzere bir apartman dairesine girer ve ev sahibi ile aralarında aşağıdaki konuşma geçer: Sayım memuru: Kaç çocuğunuz var? Ev sahibi: Üç kızım var. Sayım memuru: Kızlarınızın yaşları nedir? Ev sahibi: Yaşları tam sayılarla ifade edersek yaşlarının çarpımı 36 dır. Sayım memuru: (Biraz düşündükten sonra) Ama bu bilgi, kızlarınızın yaşlarını bulmam için yeterli değil. Ev sahibi: Haklısınız! Kızlarımın yaşları toplamı, apartmanın kapı numarasına eşittir. Sayım memuru: (Bir süre daha düşündükten sonra) Hâlâ verilen bilgiler yeterli değil. Ev sahibi: Büyük kızım arka odada uyumaktadır. Sayım memuru: Tamam! Şimdi kızlarınızın yaşını hemen bulabilirim. Bu üç kızın yaşlarını bulunuz. 30

31 Kızların Yaşı Problemi İçin Bu üst düzey nispeten zor bir problemdir. Öğretmene Not Kızların Yaşı probleminde öğrencilerden; a) Bir sayının çarpanlarını bulabilmeleri, b) Belli bir sistematik geliştirerek 36 sayısının çarpanlarını yazabilmeleri, c) Problemin çözümünde sayısal verilerin yanı sıra sözel bilgilerden de yararlanarak yorum yapabilmeleri beklenmektedir. Problemin çözümüne aşama aşama ulaşma konusunda öğrencilere ipuçları verilebilir. Doğru çözüm yapan öğrencilere hangi çözüm stratejisini kullandıkları sorulmalı ve bunun nedenleri sınıf içinde tartışılmalıdır. Seviye olarak daha zor olan benzer problem örneği verilmiştir. Çözümün daha iyi kavranması için bu örnek de öğrencilere çözdürülebilir. Çözüm Önce 36 sayısının üçlü çarpanları bulunur: 36 = 1 x 1 x = 1 x 2 x = 1 x 3 x = 1 x 4 x 9 36 = 1 x 6 x 6 36 = 2 x 2 x 9 36 = 2 x 3 x 6 36 = 3 x 3 x 4 Görüldüğü gibi 36 sayısının çarpanlarına bakıldığında 8 farklı seçenek karşımıza çıkıyor. Bu yüzden verilen bilgiler doğrultusunda bu çarpanların toplamlarına bakılır. 36 = 1 x 1 x 36 ==> = = 1 x 6 x 6 ==> = = 1 x 2 x 18 ==> = = 2 x 2 x 9 ==> = = 1 x 3 x 12 ==> = = 2 x 3 x 6 ==> = = 1 x 4 x 9 ==> = = 3 x 3 x 4 ==> = 10 Apartmanın kapı numarasını sayım memuru tarafından bilinmektedir. Bu nedenle tekrar bilgi istendiğine göre kızların yaşları toplamı tekrar eden sayı olmalıdır. Bu sayı da 13 tür. 36 = 1 x 6 x 6 ==> = = 2 x 2 x 9 ==> = 13 O halde 1, 6, 6 veya 2, 2, 9 seçeneklerinden biri olmalıdır. Büyük kızım dediği için 1, 6, 6 yaş dağılımında bir tane büyük kız yoktur. Dolayısıyla kızların yaşı 2, 2, 9 olur. 31

32 PROBLEM - 10 Cebimizdeki Paralar Bir grup arkadaş bir araya gelerek bir akvaryum satın almak isterler. Her biri ne kadar paraya sahip olduğunu diğer arkadaşlarının veya bir başkasının bilmesini istememektedir. Örneğin cebinde 20 TL bulunan, diğer arkadaşlarının bu bilgiye sahip olmasını istemediği gibi, aralarında 20 TL ye sahip birinin olduğunun bilinmesine de razı değildir. Öte yandan ceplerindeki paranın toplamının da akvaryumun fi yatını karşılayıp karşılamadığını bilmeleri gerekmektedir. Bu arkadaşlar, toplam paralarının kaç lira olduğunu nasıl belirleyebilirler? 32

33 Cebimizdeki Paralar Problemi İçin Öğretmene Not Bu üst düzey, zor bir strateji problemidir. Aşağıda problemin olası bir çözümü örneklendirilmiştir. Öğrenciler grup çalışmasını gerçekleştirerek bu problemi cevaplamalıdır. Problemin çözümünde öğrencilerin kendilerine özgü stratejiler geliştirmeleri beklenmektedir. Öğrencilerden gelen cevapların ardından aşağıdaki çözüme ulaşılmamışsa bu çözüm sınıfla tartışılabilir. Sıraya geçerler ve birinci olan bir kağıda büyükçe fakat gelişigüzel bir sayı yazıp ikinciye verir. İkinci, bu kağıtta yazılı olan sayıyı kendi cebindeki paranın değeri ile toplar ve bulduğu toplamı başka bir kağıda yazarak üçüncüye verir. Bu işlem sonuncuya kadar aynı şekilde devam eder. Sonuncu olan hesaplamasından sonra kağıdı birinciye verir. Birinci ilk başta yazdığı gelişigüzel sayıyı elindeki toplamdan çıkardığı zaman geri kalan arkadaşlarının sahip olduğu toplam parayı öğrenmiş olur. Bu miktar ile kendi cebindeki paranın değerini topladığında tümünün sahip olduğu toplam para miktarı ortaya çıkar. 33

34 PROBLEM - 11 Kuledeki Askerler Bir kalenin komutanı kaleyi korumaları için askerlerini gözetleme kulelerine yerleştirecektir. Kalede 6 tane gözetleme kulesi, 6 tane de nöbetçi asker grubu vardır. Komutanın bir planı vardır: 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 kişilik nöbetçi asker gruplarını kulelere öyle yerleştirecektir ki; kalenin 3 tarafını koruyan askerlerin sayısı eşit olacaktır. Ancak bu planı uygulamak için bir türlü çözüm bulamamıştır. Zor durumda olan komutana yardım eder misiniz? Kalenin üstten görünümü aşağıdaki gibidir ve üçgene benzemektedir. Şekildeki 6 yuvarlak, kale surlarında bulunan gözetleme kulelerinin yerlerini göstermektedir. Bu sorunun birden fazla çözümün olup olamayacağı inceleyiniz. Çözüm yollarınızı çizimlerle açıklayınız. 34

35 Kuledeki Askerler Problemi İçin Öğretmene Not Kuledeki Askerler etkinliğinde öğrencilerden; a) Ardışık sayıların toplamını üç kenar şartını sağlayacak şekilde bulabilmeleri, b) Kuralı sağlayan eş çözümleri bulabilmeleri, c) Farklı çözüm yaklaşımları geliştirmeleri, d) Bulunan çözüm yöntemini farklı ardışık sayılarda da uygulayabilmeleri beklenmektedir. Öğrenciler ihtiyaç duyarsa ip ucu verilebilir. Doğru çözüm yapan öğrencilere hangi çözüm stratejisini kullandıkları sorulmalı ve yaklaşımı sınıf içinde tartışılmalıdır. Farklı ardışık sayı gruplarıyla etkinlik zenginleştirilebilir. Bu uygulamanın herhangi 6 ardışık tamsayıyla yapılıp yapılmayacağını inceleyerek örneklerle gösteriniz. Çözüm: Köşelere gelecek sayılar iki kez toplanacağından, bu sayıların toplamı 2 ile çarpılıp kenar ortalarına sayıların toplamı eklenir. Bulunan toplam, üçgenin 3 kenarı olduğundan 3 ile bölünebiliyorsa doğru sonuca ulaşılmış demektir. Toplam, 3 e bölünerek her bir kenar üzerindeki sayıların toplamı bulunur. 1. [( ). 2 + ( )] = : 3 = 9 Köşelere (1, 2, 3) sayılarını yazıp, kenar ortalarına (4, 5, 6) sayıları, bir kenar üzerindeki sayıların toplamı 9 olacak şekilde yerleştirilir

36 Şekil döndürülerek eş çözümlere ulaşılabilir [( ). 2 + ( )] = : 3 = 10 Köşelere (1, 3, 5) sayıları yazılıp, kenar ortalarına (2, 4, 6) sayıları, bir kenar üzerindeki sayıların toplamı 10 olacak şekilde yerleştirilir Şekil döndürülerek eş çözümlere ulaşılabilir

37 3. [( ). 2 + ( )] = : 3 = 11 Köşelere (2, 4, 6) sayıları yazılıp, kenar ortalarına (1, 3, 5) sayıları, bir kenar üzerindeki sayıların toplamı 11 olacak şekilde yerleştirilir. Şekil döndürülerek eş çözümlere ulaşılabilir [( ). 2 + ( )] = : 3 = 12 Köşelere (4, 5, 6) sayıları yazılıp, kenar ortalarına (1, 2, 3) sayıları, bir kenar üzerindeki sayıların toplamı 12 olacak şekilde yerleştirilir

38 Şekil döndürülerek eş çözümlere ulaşılabilir Böylece 4 farklı model ve eş çözümleriyle birlikte toplam 12 uygun sonuca ulaşılır. 12, 13, 14, 15, 16 ve 17 ardışık sayılarıyla aynı uygulama yapılırsa, aşağıdaki çözüm modellerine eş çözümlerine ulaşılır Toplamları = 42 Toplamları = 43 38

39 Toplamları = 44 Toplamları = 45 39

40 PROBLEM - 12 Takvim Oyunu Bu etkinlikte yanda görülen takvim üzerindeki sayılarla bir oyun oynayacaksınız. Takvim üzerinde kare çerçevelerle sınırlandırılmış örneklerdeki gibi zihninizden 2x2 lik herhangi bir kare belirleyip içinde bulunan sayıların toplamını öğretmeninize söyleyiniz. Öğretmeniniz ise sizin seçip toplamını söylediğiniz bu 4 sayının hangileri olduğu söyleyecek. Ama inanın bu sayıları tahmin ettiğinizden çok daha kısa bir sürede bulabilecektir. Peki öğretmeniniz bunu nasıl yapıyor olabilir? Acaba çok hızlı mı hesap yapıyor? Toplamları ezberlemiş olabilir mi? Yoksa matematiksel bir yöntem mi kullanıyor? Öğretmeninizin çözüm yöntemini bulmaya çalışın. Siz de aynı yöntemi uygulayarak aşağıda verilen tablodaki gibi toplamları söylenen 2 x 2 lik herhangi bir kare içinde bulunan sayıların toplamını hızlı bir şekilde bulabilirsiniz. Çözüm yaklaşımınızda hangi matematiksel yöntemi kullandığınızı oyun sonunda arkadaşlarınızla paylaşınız. 40

41 Farklı sayı çizelgeleri hazırlayarak 2 x 2 lik, 3 x 3 lük herhangi bir kare içinde bulunan sayıların toplamları verildiğinde bu sayıları hızlı bir şekilde nasıl bulacağınızı belirleyiniz. Kullandığınız matematiksel ifadeye nasıl ulaştığınızı anlatınız. Bir kağıdı; başı daire, elleri ve ayakları kare olacak şekilde kesiniz. Bu oyunda kağıttan yaptığınız adamın, takvim üzerinde kafası, elleri ve ayakları sayılara denk gelecek şekilde düz bir biçimde koyduğunuzda örtülen sayıların toplamından oluşan ağırlığını bulacaksınız. Örnek için bir sonraki sayfadaki şekle bakınız. Adamın ağırlığını başının, ellerinin ve ayaklarının denk geldiği sayıları toplayarak bulabilirsiniz. Ancak iyi düşünün, belki de bunun daha kolay bir yolu vardır. Nasıl yapacağınız konusunda yukarıdaki takvim oyunu size ipucu verebilir. Unutmayın adamı takvimin üzerine yerleştirince sayıları toplamadan ağırlığını hızlı bir şekilde söyleyebilmelisiniz. 41

42 42

43 Takvim Oyunu Problemi İçin Takvim Oyunu etkinliğinde öğrencilerden; a) Cebirsel ifadeleri etkin bir şekilde kullanabilmeleri, b) Çözüme ulaşırken denklem kurabilmeleri, c) Kurulan denklemi hatasız bir şekilde çözebilmeleri, Öğretmene Not Gerekli Malzemeler Kareli kâğıt Kalem Makas d) Kurgulanan cebirsel ifadeye ulaşabilmeleri, e) Yapılan çözüm yöntemini adamın ağırlığı oyununda ve benzer sorularda uygulayabilmeleri beklenmektedir. Etkinliğin başında çözümü nasıl yaptığınızı siz açıklamadan öğrencilerin fark etmesini veya bulmasını bekleyiniz. Adamın ağırlığı oyununda, adamı sağa-sola yatırarak oluşan ağırlığı bulması için hangi cebirsel ifadeye ulaşacağı buldurulabilir. Çözüm: Örnek-1 de 2x2 lik kare halinde seçilen sayılar yandaki gibidir. X X + 1 X + 7 X + 8 Bu sayıların toplamı ise; x + (x +1) + (x + 7) + (x + 8) = 4x + 16 = 4 (x + 4) olur. Dolayısıyla sayıların toplamı hızlıca 4 e bölünüp, 4 çıkarılırsa x sayısı bulunur. Örnek-2 de 2x2 lik kare halinde seçilen sayılar yandaki gibidir. X X + 1 X + 9 X + 10 Bu sayıların toplamı ise; x + (x +1) + (x + 9) + (x + 10) = 4x + 20 = 4 (x + 5) olur. Dolayısıyla sayıların toplamı hızlıca 4 e bölünüp, 5 çıkarılırsa x sayısı bulunur. Diğer sayılar da sistematik bir şekilde söylenir. Kafa X Adamın ağırlığını bulma oyununda ise adamın başına x denirse, yandaki tablodan adamın ağırlığını rahatlıkla bulabiliriz. El Diğer El X + 6 X + 8 Ayak X + 13 Dolayısıyla adamın ağırlığı bulunurken, kafasına denk gelen Diğer Ayak X + 15 sayı 5 ile çarpılır ve 42 eklenirse her zaman adamın ağırlığı Ağırlık 5x + 42 bulunmuş olur. 43

44 PROBLEM - 13 Tasarruflu Ampuller Dünyadaki enerji kaynakları gün geçtikçe tükenmektedir. Fosil kökenli yakıtların kullanımından havaya karbondioksit salındığından hava kirlenmektedir. Hava kirliliğini önlemek ve enerji tasarrufu yapmak için farklı projeler hazırlanmaktadır. Siz de enerji tasarrufuna katkıda bulunabilirsiniz. Bunun için üzerinize düşen sorumluluklar nelerdir? Hangi alanlarda tasarruf yapabilirsiniz? Yapılan çalışmalar evlerde kullanılan elektriğin %30 unu aydınlanma amaçlı kullanıldığını bulmuştur. Tasarrufl u ampuller gerçekten tasarrufl u mudur? Evimizde enerji kaybına engel olmak için halojen ve normal ampuller yerine tasarruflu ampullerin kullanılması ne kadar bir tasarruf sağlar? Aşağıdaki soruları dikkate alarak tasarrufl a yapacağınız 1 yıllık kazancı hesaplayınız? Evinizde kaç ampul kullanıyorsunuz? Evinizdeki ampuller tasarrufl u ampul mü? Odanızdaki ampul günde kaç saat açık kalıyor? Kullanılmayan ampullerin kapatılması sizce ortalama ne kadar tasarruf sağlar? Hesaplayınız. 1 kilowatt elektriğin kaç lira olduğunu biliyor musunuz? Normal ampullerin ve tasarrufl u ampullerin 1 saatte harcadıkları enerji miktarlarını dikkate alarak 1 yılda yapılacak tasarruf miktarını hesaplayınız. Bulduğunuz sonuçları tablo ve grafi klerle gösteriniz. Fosil yakıtlardan 1 kilowatt enerji üretimi için havaya 1,5 kilogram karbondioksit salınımı olmaktadır. Yaptığınız tasarrufl a kaç kilogram karbondioksit salınımını önlediğinizi hesaplayınız. Bulduğunuz sonuçları tablo ve grafi klerle gösteriniz. Türkiye de yaklaşık 20 milyon konut vardır. Bulduğunuz sonuçlara göre ülkemizde ne kadar tasarruf yapılabileceğini hesaplayınız. 44

45 Tasarruflu Ampuller Problemi İçin Öğretmene Not - Bu problemde öğrencilerden tasarrufun önemi kavramaları ve yapılabilecek tasarruf miktarını hesaplamaları beklenmektedir. - Öğrencilerden kendi evlerinde tasarrufl u ampul kullanarak ne kadar tasarruf yapabileceklerini hesaplamaları istenir. Gerekli Malzemeler Elektrik faturası Hesap makinesi - Öğrencilerden elektik üretimi ve hava kirliliği arasındaki nasıl bir ilişkinin olduğunu açıklamaları istenir. - Öğrencilerden sınıfa bir adet elektrik faturası getirmeleri istenir. Hesaplamalarını fatura üzerindeki bilgileri kullanarak yapmaları istenir. - Tasarrufl u ampuller normal ampullere göre daha dayanıklı, fakat daha pahalıdır. Tasarrufl u ampuller kaç ayda kendini amorti eder? - Öğrenciler sorarlarsa, hesaplamalarda hesap makinesi kullanmalarına izin verebilirsiniz. Hesap makinesini kullanmanın neden uygun olacağı veya olmayabileceğini tartışabilirsiniz. - Öğrenciler hesaplamalarını saat, gün, ay ve yıl sırasını dikkate alarak yapmalıdırlar. - Öğrencilerin hesapladıkları tasarruf miktarları arasındaki farkların nedenleri karşılaştırmalarını isteyebilirsiniz. Bulgular farklı ise mutlaka bunun nedenleri tartıştırılmalıdır, örneğin bu tartışmalarda fark hesaplama hatasından mı, yoksa kullanılan ampul sayısından mı kaynaklanıyor? 45

46 PROBLEM - 14 Kesir Dominoları Kesirler konusunu domino benzeri bir oyun oynayarak ve eğlenerek öğrenebilirsiniz. Aşağıda şekilde gösterilen kesirleri karton üzerine bastırıp oyuna başlayabilirsiniz. Oyun Kuralları Oyun iki, üç veya dört kişi tarafından oynanabilir. Her öğrenci kendi kartlarını hazırlayacaktır. Kartlar iki kısımdan oluşmaktadır. Bir kısmında kesirlerin şekille gösterimi diğer yarısında sembolle gösterimi vardır. Öğrenciler kendi kartlarının karışmaması için farklı renkte kartonlar kullanabilir veya farklı renklere boyayabilirler. Kartlar karıştırılır ve öğrencilere 5 er adet kart dağıtılır. Öğrencilerden birisi ortaya bir kart koyar ve oyun başlar. Öğrenciler ellerindeki kartları kullanarak şekille gösterilen kısmın karşısına sembolle gösterimini, sembolle gösterilen kartın karşısına da şekille gösterimini koymalıdır. Elde uygun kart yoksa uygun kartı bulana kadar yerden kart alınır. Elindeki kartları bitiren veya yerdeki kartlar bittiğinde elinde en az kart kalan öğrenci oyunu kazanır. Öğrenciler oyun kartlarını kullanarak kurallarını kendilerinin oluşturduğu farklı oyunlar tasarlayabilir. 46

47 47

48 Kesir Dominoları Problemi İçin Öğretmene Not Bu etkinlikte öğrencilerin kesir kartlarını tasarlamaları ve oyun oynayarak kesirleri öğrenmeleri beklenmektedir. Oyun kağıtları çıktı alınarak öğrencilere dağıtılabileceği gibi öğrenciler tarafından da tasarlanabilir. Bilgisayardan çıktısı gramajı yüksek kâğıda alınırsa kartlar kâğıdın arka kısmından gözükmez. Gerekli Malzemeler Renkli boya Karton Makas Oyun sonucunda en az kartı kalan öğrenci oyunu kazanır. Kesirler boyalı parçalar bölü bütün olarak düşünülmelidir. Öğrencilerden kartları kullanarak farklı oyunlar tasarlamaları istenebilir. Öğrenciler derse gelirken renkli boya, karton, makas gibi malzeme getirmelidir. 48

49 PROBLEM - 15 Sihirli Kareler Melencolia resmi Alman ressam ve matematikçi Albrecht Dürer tarafından 1513 tarihinde yapılmıştır. Bu eserde 4 x 4 lük sihirli bir kare görülmektedir. Sihirli kareler matematiğin gizemli kareleri ve sayıları olarak değerlendirilmiştir. Birçok insan bu sayıların uğur getirdiğine inanmışlar evlerinde ve takılarında kullanmışlardır. 1 den 9 a kadar olan sayıları kullanarak satır, sütün ve köşegenleri toplamı eşit olan 3 x 3 bir sihirli kare elde edebilir misiniz? Ardışık sayıların toplamını bulmanın kısa bir yolu var mıdır? Ardışık sayıların toplamını bulmakta kullandığınız yöntemleri sınıfta tartışınız. Sizce satır, sütun ve köşegenler toplamı eşit olduğuna göre bu toplam kaçtır? Neden? Farklı çözümler bulabilir misiniz? Bulduğunuz çözüm yollarınızın ortak özellikleri nelerdir? 1 den başlamayan, farklı bir sayıdan başlayan sihirli kareler oluşturulabilir mi? Farklı sayılardan başlayan sihirli kareler bulmaya çalışınız. Oluşup oluşmadığını nedenleri ile sınıfta tartışınız. 4 x 4 bir sihirli karenin satır sütun ve köşegen toplamının kaç olduğunu hesaplayınız. 5 x 5 bir sihirli karenin toplanın satır sütün ve köşegen toplamının kaç olduğunu hesaplayınız. 49

50 Sihirli Kareler Problemi İçin Öğretmene Not Sihirli Kareler etkinliğinde öğrencilerin ardışık sayıların toplamından faydalanarak 1 den 9 a kadar olan sayıların toplamını bulmaları beklenmektedir. Gerekli Malzemeler Kareli kâğıt Ardışık sayıların toplanı bulan Carl Friedrich Gauss un hikayesi ve çözüm yolu hakkında bilgi verilebilir = 45 sayısını bulduktan sonra 3 satır veya sütun olduğundan 45 / 3 = 15 sayısını bulmaları beklenir. Toplamları 15 olan sayıları bulmaları istenir. 15 = = = = = = = = Her sayının kaç defa kullanıldığı tabloda gösterilir. Sayılar Kaç defa kullanıldı sayısı 4 defa kullanıldığı için ortada olmalıdır. 1, 3, 7 ve 9 sayıları 2 şer defa kullanıldıkları için satır veya sütunların ortalarında olmalıdır. 2, 4, 6 ve 8 sayıları 3 er defa kullanıldıkları için köşelerde olmalıdır. Öğrencilerin bulabilecekleri 8 farklı çözüm yolu vardır Doğru çözüm yapan öğrencilere hangi çözüm stratejisini kullandıkları sorulmalı ve bunun nedenleri sınıf içinde tartışılmalıdır. Farklı yöntemlerle sihirli kareler çözülebilir. Dersin sonunda farklı çözüm yolarını karşılaştırmaları istenebilir. Seviye olarak daha zor olan sihirli kareler çözmek isteyen öğrenciler 5 x 5 karesi verilebilir. 50

51 PROBLEM - 16 Pamuk Prenses ve Yedi Cüceler Pamuk prenses ve yedi cüceler masalını okumuş veya dinlemişsinizdir. Masal mutlu sona erdikten sonra Pamuk Prenses ve prens, saraylarına gitmeden önce yedi cücelere hediye vermek isterler. Oyunlara meraklı olan prens vereceği hediyeyi de bir oyunla verecektir. Prens oyunun kurallarını şu şekilde açıklar: Biraz sonra hepinizin başına birer şapka takacağım ve her şapkada 1 den 100 e kadar bir sayı yazılı olacak. Kimse başındaki şapkada hangi sayının yazılı olduğunu göremeyecek ama diğerlerinin şapkalarındaki sayıların hepsini görebilecek. Şapkalar takıldıktan sonra aranızda konuşmanız, işaretleşmeniz yasak. Daha sonra aranızdan birini gelişi güzel seçeceğim. Seçtiğim arkadaşınız hepimizin duyacağı şekilde 1 ile 1000 arasında bir sayı söyleyecek. Daha sonra ikinci bir cüceyi seçeceğim, o da aynı şekilde bir sayı söyleyecek ve bu şekilde hepiniz tamamlanana kadar devam edecek. En sonunda, kaç cücenin söylediği sayı şapkasındaki sayı ile aynı ise sizlere o kadar kese altın vereceğim. Oyunun kuralları açıklandıktan sonra prens şapkaları getirmeye gider ve bu arada cüceler aralarında konuşarak bir plan geliştirmeye çalışırlar. Sizce, en çok kaç cücenin başındaki sayıyı bulması garanti edilebilir? 51

52 Pamuk Prenses ve Yedi Cüceler Problemi İçin Öğretmene Not Bu üst düzey bir matematiksel strateji problemidir. Aşağıda problemin çözümleri örneklendirilmiştir. Öğrencilerin bu problemde grup çalışması yapmaları uygun olacaktır. Beklenen cevapların gelmemesi durumunda aşağıdaki çözümler sınıfla tartışılabilir. 1. Çözüm Bir cüce dışarıda kalır ve geri kalan altı cüce aralarında ikişer ikişer eşleşirler. Örneğin Bilgin ile Neşeli; Öfkeli ile Meraklı; Utangaç ile Hapşırık eşleşir ve Uykucu dışarıda kalır. Uykucu sıra kendisine geldiğinde her hangi bir sayı söyleyerek şansını dener. Eşleşen cücelerden hangisi daha önce seçilirse eşinin şapkasındaki sayıyı söyler ve böylece üç cücenin şapkalarındaki sayıyı bilmeleri garanti edilmiş olur. Diyelim ki şapkalardaki sayılar şöyle olsun: Bilgin Öfkeli Utangaç Uykucu Neşeli 26 Meraklı 19 Hapşırık 29 Prens cüceleri, örneğin Meraklı, Utangaç, Öfkeli, Bilgin, Hapşırık, Uykucu ve Neşeli sıralamasıyla seçerse cücelerin söyleyeceği sayılar şöyle olacaktır: Meraklı 47 (eşi olan Öfkeli nin sayısı) Utangaç 29 (eşi olan Hapşırık ın sayısı) Öfkeli Bilgin 47 (kendi başındaki sayıyı bilir) 26 (eşi olan Neşeli nin sayısı) Hapşırık 29 (kendi başındaki sayıyı bilir) Uykucu 65 (gelişigüzel bir sayı) Neşeli 26 (kendi başındaki sayıyı bilir) Altı cücenin de doğru tahminde bulunması garanti edilebilir. 52

53 2. Çözüm Prens şapkaları takar takmaz her cüce geri kalan altı cücenin sayılarını toplar. Seçilen ilk cüce kendi hesapladığı toplamı söyler. Bu toplam, seçilen cücenin sayısı dışındaki altı sayının toplamı olduğundan, tüm cücelerin sayılarının toplamını bulmak için söylenen sayı ile seçilen cücenin sayısını toplamak yeterlidir. Seçilen cüce dışındaki tüm cüceler bu toplamı bulabilir. Her cücenin daha önce hesapladığı toplam ile son toplamın farkı da kendi başındaki sayıyı verecektir. Örnek vermek için cücelere yukarıdaki sayıları taşıyan şapkaların takıldığının kabul edelim. Bu durumda her cücenin hesaplayacağı ilk toplam şöyle olacaktır: Bilgin Kendi başındaki sayı: 13 Diğer cücelerin sayılarının toplamı: 205 Neşeli Öfkeli Kendi başındaki sayı: 26 Diğer cücelerin sayılarının toplamı: 192 Kendi başındaki sayı: 47 Diğer cücelerin sayılarının toplamı: 171 Meraklı Kendi başındaki sayı: 19 Diğer cücelerin sayılarının toplamı: 199 Utangaç Kendi başındaki sayı: 33 Diğer cücelerin sayılarının toplamı: 185 Hapşırık Kendi başındaki sayı: 29 Diğer cücelerin sayılarının toplamı: 189 Uykucu Kendi başındaki sayı: 51 Diğer cücelerin sayılarının toplamı: 167 İlk seçilen cüce olan Meraklı herkesin duyabileceği şekilde 199 dediği zaman diğer cüceler 199 ve 19 sayılarını toplayarak tüm sayıların toplamını 218 olarak bulur. Şimdi, Meraklı dışında kalan her cüce 218 sayısından ilk bulduğu toplamı çıkararak kendi sayısını bulabilir: Bilgin = 13 Öfkeli = 47 Hapşırık = 29 Neşeli = 26 Utangaç = 33 Uykucu = 51 53

54 PROBLEM - 17 Dikdörtgenler Kenar uzunlukları 30 birim ve 50 birim olan bir dikdörtgenin boyutları günlük konuşma dilinde 30 a 50 veya 30 çarpı 50 şeklinde ifade edilir. Yazarken de 30 x 50 ifadesi kullanılır. Uzunluk birimi de belirtilebilir. Matematikte tanımladığımız dikdörtgen, üçgen, çember gibi şekilleri oluştururken kullandığımız çizgilerin kalınlığı olmadığını kabul ederiz. Örneğin, kenar uzunlukları 30 cm ve 50 cm olan dikdörtgen için 30 cm uzunluğunda 2 tane ve 50 cm uzunluğunda iki tane doğru parçası çizerek şekli tamamlarız. Günlük hayatta şekilleri oluşturmak için kullandığımız cisimlerin belli bir kalınlığa sahip olduğu hesaba katılmalıdır. Örneğin dikdörtgen şeklinde ve boyutları santimetre cinsinden 30 x 50 olan bir çerçeve yapmak için kalınlığı 2 cm olan çıtalar kullandığımızı düşünelim. Çıtaların birleştiği köşelerde meydana gelecek çakışmaları dikkate alarak dikdörtgenleri oluşturma sürecinizi şeklini çizerek açıklayınız. 54

55 Dikdörtgenler Problemi İçin Öğretmene Not Matematiğin soyut dünyasında tanımladığımız kavramların yaşadığımız dünyada birebir karşılığının bulunması her zaman mümkün değildir. Bu durumu örneklendiren bu problemin olası çözümleri aşağıda verilmiştir. Öğrenciler grup çalışmasını gerçekleştirerek bu problemi cevaplamalıdır. Problemin çözüm sürecinde öğrencilerin stratejiler geliştirmeleri beklenmektedir. Öğrencilerden gelen cevapların ardından aşağıdaki çözümlere ulaşılmamışsa bu çözümler sınıfla tartışılabilir. Çıtaların üst üste binmesini önlemek için boylarının düzenlenmesi gerekmektedir. Örneğin; veya gibi çözümler denenebilir. Bu örneklerden başka nasıl çözümler denenebilir? Aşağıdaki sorulara cevap aranabilir. Kenar uzunlukları 50 cm ve 70 cm olan bir çerçeve, kalınlığı 5 cm olan çıtalarla nasıl oluşturulabilir? Oluşan çerçevede içteki dikdörtgenin boyutları ne olur? Bazı durumlarda kenarların birleştirilmesi için açılı kesim yapılır. Bu durumda çıta uzunlukları ne olur? 55

56 PROBLEM - 18 Şifreleme Bir metnin herkes tarafından bilinen alfabe ve kuralların kullanılarak yazılması yerine, gizli tutulan kurallara göre yazılmasına şifreleme adı verilir. Metnin bilinen kurallara göre yazılmış hâline açık metin ; gizli kurallara göre yazılmış hâline de şifreli metin adı verilir. Bir açık metinden şifreli metin elde etmeye şifreleme, şifreli metinden açık metin elde etmeye de şifreyi açma denilir. Şifreleme askerlikte ve diplomaside sıklıkla kullanılır. Roma İmparatoru Sezar, haberleşme için alfabedeki her harfi, alfabedeki sıralamada kendisinden üç harf sonra gelen harfl e değiştirerek bir şifreleme metodu kullanmıştır. Bu metodu Türkçe alfabe için uyarladığımızda OKUL açık metininin şifrelenmiş hali RNYO olur. Üç harf öteleme yerine beş harf, altı harf gibi farklı seçenekler de kullanılabilir. Aşağıdaki iki daireyi kalınca bir kâğıt veya kartonun üzerine yapıştırıp çevreleri boyunca kestikten sonra merkezleri çakışacak şekilde üst üste koyunuz. 56

57 Şifreleme yapmak için bir harf belirleyiniz. Bu harfi n seçimi, kaç harf öteleme yapacağınızın belirlenmesi anlamını taşır. Bu seçtiğiniz harfe anahtar denir ve bu anahtar gizli tutulmalıdır. Şifreleme anahtarını ancak sizin yaptığınız şifreleri çözmesini istediğiniz kişilerle paylaşabilirsiniz. Diyelim ki belirlediğiniz harf G olsun. Büyük dairedeki A harfi ile küçük dairedeki G harfi ni hizalayınız. Büyük dairedeki harfl er açık metine, küçük dairedeki harfl er de şifreli metine ait olacaktır. Söz gelimi büyük çemberdeki O harfi nin hizasında U harfi olduğundan, O şifrelendiğinde U olacaktır. Böylece OKUL kelimesinin şifreli hali URCS olur. a) G anahtarı ile şifrelendiğinde RGSJŞ olan açık metin nedir? b) Kendi adınızı bu kurala göre şifreleyiniz. c) Grup arkadaşlarınızdan birinin adını da aynı kurala göre şifreleyiniz. d) Sonra arkadaşınızın şifrelenmiş ismi ile sizin onun adını şifrelediğinizde bulduğunuz ismi karşılaştırınız, şifreleme doğru mu? e) Aynı şekilde sizin isminizin şifrelenmiş hali ile arkadaşınızın şifreleme bulgusunu karşılaştırınız, şifreleme doğru mu? f) Başka ne çeşit şifreleme yöntemleri kullanılabilir? Yeni şifreleme yöntemlerini kuralları açık olacak şekilde yazınız, şifreleme örnekleri ile birlikte sınıfla paylaşınız. 57

58 Şifreleme Problemi İçin Öğretmene Not Öğrencilere, şifrelemenin önemine vurgu yapan aşağıdaki genel bilgiler etkinlik öncesi verilebilir. Sistemler arası bağlantılarda ya da herhangi iki nokta arasındaki haberleşmede verinin güvenli bir şekilde gittiğinden emin olmak gerekir. Bunun sağlanması ise gönderilen verinin şifrelenmesi ile olur. Böylece açık haberleşme kanalları kullanılarak verinin güvenli bir şekilde ulaştırılması sağlanır. İletişimde, açık bir haberleşme kanalı kullanılıyorsa gizli tutulmak istenen bilginin yetkisiz bir kişi tarafından dinlenebileceği veya haberleşme kanalına girip (araya girme) veriyi bozabileceği ya da değiştirebileceği (yanlış verinin gönderilmesi) düşüncesi her zaman için önemli bir problem oluşturur. Ayrıca öğrencilerin kendi şifreleme yöntemlerini oluşturmaları ve yöntemlerini sınıf içinde sunmaları sağlanmalıdır. 58

59 PROBLEM - 19 Damlayan Musluk Lastik contası arızalı bir musluk her üç saniyede bir damlatmaktadır. Tamir edilmezse musluktan bir haftada ne kadar su israf edileceğini hesaplayınız. Boşa giden su bir haftada bir bardağı doldurmaya yeter mi? Bir damacanayı, veya bir küveti doldurmaya yeter mi? 59

60 Damlayan Musluk Problemi İçin Öğretmene Not Bu üst düzey nispeten zor bir matematik problemidir. Öğrenciler bu etkinlikte kısa bir zaman içinde damlayan su miktarını biriktirip ölçerek, bir haftaya orantı yoluyla genellemek isteyebilirler. Ölçerek bulmadan önce öğrencilerden sınıfta boşa gidecek olan suyun ne kadar olacağını tahmin etmeleri istenmelidir. Bu tahminleri isimlerle birlikte bir öğrenci kayıt edebilir. Bu tahminler daha sonra sınıftaki çözümlerle karşılaştırılabilir. Tahmin öncesi küçük gruplarda tartışmalarını istemek, sonra bunu sınıfl a paylaşmak faydalı olacaktır. Öğrenciler ölçüm için tam olarak üç saniyede bir damlayan musluk bulamayabilirler. Bu problemin üstesinden gelmek için nasıl bir yöntem izlenmelidir? Bu soru sınıfta tartışılabilir. Örneğin dakikada 20 defa damlayan bir musluk yerine dakikada 28 defa damlayan bir musluktan giden su bu problemde kullanılabilir mi? Kullanılırsa nasıl kullanılır? Burada da orantı işe yarar mı? Böyle görünüşte basit bir problem gerek musluktan damlayan suyun ölçümünde, gerekse haftaya genellemede oldukça karmaşık matematiksel süreç ve yaklaşımların kullanımını gerektirecektir. Öğretmen problemin bu boyutlarını fark ettirmek için öğrencilerle sınıf tartışmasını mutlaka yapmalıdır. Sonra değişik çözüm yöntemlerini keşfedip uygulamaları için gruplara bağımsız çalışma fırsatı vermelidir. Dersin son yarım saatinde farklı yaklaşım ve yöntem kullanan en az üç sunum yaptırılmalıdır. 60