DİNAMİK GEOMETRİ YAZILIMI CABRI İLE KEŞFEDEREK ÖĞRENME

Transkript

1 DİNAMİK GEOMETRİ YAZILIMI CABRI İLE KEŞFEDEREK ÖĞRENME Adnan BAKİ 1, Bülent GÜVEN, İlhan KARATAŞ 3 1 K.T.Ü. Fatih Eğitim Fakültesi, Bilgisayar ve Öğretim Tek. Eğitimi Bölümü K.T.Ü. Fatih Eğitim Fakültesi, Ortaöğretim Fen ve Mat. Alan. Eğt. Bölümü 3 K.T.Ü. Fatih Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü ÖZET Matematik eğitiminde reform hareketlerinin konu edildiği hemen her ortamda, bilgisayar, eğitim programlarının temel elemanı olarak ele alınmakta ve bu hareketlerin başarıya ulaşabilmesi için etkin bir şekilde kullanılmasının gerekliliği vurgulanmaktadır. Ancak öğretmen merkezli uygulamalar bilgisayarın matematiksel öğrenme için sahip olduğu potansiyeli sınırlamaktadır. Bilgisayarın, matematik eğitiminde kullanımına karar verildiğinde, bu araçların; öğrenciye, bir matematikçinin yaşadığı deneyimleri yaşayabilme fırsatı tanımasına katkıda bulunacak etkinliklere yer vermesi amaçlanmalıdır. Bu yolla, bilgisayar, matematikçilerin yaptıkları matematik ile öğrencilerin kullandıkları matematik arasındaki derin uçurumları birleştiren bir köprü rolü oynayabilir. Bu çalışma ile Archimedes ve Brahmagupta nın önemli keşiflerinin Dinamik Geometri Yazılımı (DGY) Cabri ile öğrenciler tarafından nasıl yeniden keşfedilebildiği ortaya konmaktadır. Öğrencilerin etkinlikler üzerinde çalışması sırasında sınıf içi gözlemler yapılarak öğrenme ürünleri ile ilgili nitel veriler elde edilmiştir. Bulgular, bilgisayarın öğrenciye matematikçi gibi davranma fırsatı vererek işlevsel öğrenme deneyimi kazandırabileceğini göstermektedir. 1. GİRİŞ Bilgisayar, matematik eğitiminde giderek artan bir şekilde kullanılmaktadır. Matematik eğitiminde reform hareketlerinin konu edildiği hemen her ortamda, bilgisayar, eğitim programlarının temel elemanı olarak ele alınmakta ve bu hareketlerin başarıya ulaşabilmesi için etkin bir şekilde kullanılmasının gerekliliği vurgulanmaktadır (Heid, 1997). Ancak, insanların ürettiği tüm araçlar gibi bilgisayarın matematik eğitiminde sahip olduğu potansiyel bilgisayarın niteliğinden çok kullanıcının amaçlarına bağlıdır. Bu nedenle bilgisayarın matematik eğitiminde nasıl etkili bir şekilde kullanılması gerektiği tartışılmalıdır: Bilgisayarın matematik eğitiminde boy göstermeye başlaması ile birlikte, matematik eğitiminin yeni boyutlar kazanacağı yolunda ortaya umutlar çıktı ve iyimser bir hava oluştu (Baki, 001). Bu yeni teknolojiyle, öğrenciler matematiği kendi başlarına keşfedebilecekler ve kağıt-kalem uygulamalarına bir daha hiç dönülmeyecekti. Bu iyimser beklentilerin bir çoğu gerçekleşmedi fakat eğitimcilere matematikte derinliğine öğrenmeler için bilgisayarın nasıl kullanılması gerektiği konusunda önemli fırsatlar sunuldu. İlk yıllarda, davranışçı yaklaşımın ürünü olan alıştırma-tekrar ve öğretici tipi yazılımlar kullanılarak geliştirilen araştırma projelerinde beklenilen başarı sağlanamadı. Bu başarısızlık iki nedene bağlandı: 1. Bu şekildeki yazılımların sınıf ortamında kullanılması, öğretmenlerin, işlerinin kolaylaştığına, bilgisayar yardımıyla daha az çalışmaları gerektiğine inanmalarına neden oldu.. Bilgisayarın, sınıflarda açıklama yapan, alıştırma çözen, gerektiğinde geri dönüt veren bir araç olarak kullanılması geleneksel matematik öğretimini değiştirmedi sadece bilgisayara öğretmenin geleneksel rolü yüklendi (Smid, 1998). Bilgisayarın, sayma, hesaplama, grafik çizme gibi zihinsel bakımdan düşük düzey uygulamalar için kullanılması, öğrencinin düşünmesini sınırlamakta ve bilgisayarın eğitim alanında hayat bulamaması anlamına gelmektedir. Çünkü, yapılan araştırmalar, bilgisayarın genellikle düşük düzey beceriler için kullanılmasının öğrencilerde zararlı etkilere neden olabileceğini ortaya çıkartmıştır. Matematik eğitiminde bilgisayar kullanımı; araştırma, muhakeme etme, varsayımda bulunma ve genelleme gibi yüksek düzey zihinsel beceriler üzerine odaklanmalıdır (Wiest,001). Teknoloji, matematik sınıflarında uygun biçimlerde kullanıldığında, matematiksel anlamayı derinleştirir. Farklı bilgisayar yazılımları, öğrencilerin düşünme becerilerini geliştirmede farklı roller oynar. Ancak ortak amaçları, öğrenciye bir matematikçi gibi davranma fırsatı tanımak olmalıdır (Noss, 1988). Bu nedenle, bilgisayarın, öğrencinin varsayımda bulunmasını, test etmesini, genelleme yapmasını sağlayan bir araç olarak kullanılmasından kasıt; öğrencinin bir çoğu yıllar önce bulunan matematiksel sonuçlar hakkında fikir sahibi olmasını sağlamanın yanında, öğrencinin bir matematikçinin, matematiksel sonuçlara varırken attığı adımları atmasını, kendine has özgün bir düşünme tarzı geliştirmesini sağlamaktır (Couco ve Goldenberg, 1996). Bu yolla, matematikçilerin yaptığı matematik ile öğrencilerin kullandıkları matematik arasındaki boşluğu kapatacak köprüler kurulabilir. Matematikçilerin matematiği ile öğrencinin matematiği arasında kurulan bu köprüler yardımıyla, öğrenci, matema-

2 tiği kendinden uzak, ulaşılamaz, anlaşılmaz sembollerin ve formüllerin art arda sıralandığı, akademisyenlerin loş koridorlarda birbirlerinin kulağına fısıldadığı bilgiler yumağı olarak değil, bir takım düşünme alışkanlıkları olarak görecektir. Çünkü matematik birileri tarafından bulunmuş matematiksel sonuçlardan oluşmuş bir bilim dalı değil, bir düşünme biçimidir (Goldenberg,1996). Goldenberg (1999), yeni bir müfredat geliştirme yaklaşımının temellerini oluşturan bu matematiksel alışkanlıklardan bazılarını şu şekilde sıralamaktadır: Yapı içerisindeki sabit ilişkileri araştırmak; yapı içerisindeki değişkenleri değiştirip yeni duruma uygun düzenlemeler yapabilmek; deneyimlerden yararlanarak çıkarımlara ulaşabilmek; yapı içerisindeki sabit ilişkileri bulup bunların nedenlerini sistematik bir biçimde araştırabilmek; sözel veya görsel sunulan bilgileri birbirine dönüştürebilmek; yapı içerisindeki ilişkileri formal veya informal olarak sunabilmek, şekilleri yorumlayabilmek, varsayımda bulunabilmek ve genelleme yapabilmek; görselliği kullanabilmek. Goldenberg (1999) bazılarını sıraladığımız bu düşünme alışkanlıklarının öğrencilere kazandırılabilmesi için genelde bilgisayarın özelde ise DGY lerin önemli bir role sahip olduğunu belirtmektedir. Kısaca, bilgisayarın matematik eğitiminde uygun kullanımından kasıt, bilgisayarın, öğrencilerin yüksek düzey bilişsel beceriler geliştirmelerini sağlamalarına yardımcı olması ve bir matematikçinin yaşamış olduğu deneyimleri öğrencilere yaşatarak kendi matematiklerini kurmalarını sağlamasıdır. Bilgisayar teknolojisinde yaşanan hızlı gelişmelerin geometri sınıflarına yansımaları olan DGY ler, matematik eğitiminin, bu amaçlara ulaşabilmesi için umut vaat etmektedir. DGY lerin en önemli ve onları diğer geometri yazılımlarından ayıran özellikleri, oluşturulan şekillerin çeşitli dönüşümler altında, taşınabilmesi, değiştirilebilmesi ve hareket ettirilebilmesidir (Goldenberg 1999; Hazzan ve Goldenberg, 1997). Geleneksel okul geometrisinde kağıt-kalem-cetvel ve pergel ile oluşturulan şekiller sabittir ve bu sabitlik geometrik nesnelerin üzerinde araştırma yapma imkanlarını sınırlamaktadır. DGY lerin getirdiği bu yeni yaklaşım, sabit olan geometrik nesneleri bilgisayar ekranında hareketli hale getirmektedir. Matematiksel yapı içerisindeki değişmeyen ilişkileri araştırmak geliştirilen bir çok teoremin temelini oluşturur. Kaput a göre (199), matematiksel düşüncenin en önemli özelliği, yapı içerisindeki sabit ilişkileri soyutlayabilmektir. Bununla birlikte, yapı içerisindeki değişmeyen ilişkileri ortaya çıkartabilmek için, bir değişime ihtiyaç vardır. Bu değişim DGY lerin hareket özelliği ile kolayca sağlanabilir (Moss, 000). Kullanıcı DGY ler aracılığıyla yapısını kurduktan sonra, yapı içerisindeki bazı geometrik nesneleri serbestçe hareket ettirerek bu nesneye bağlı olan yapının diğer elemanlarındaki değişimi gözlemleyebilir. Bu hareket sonucunda, yazılım, geometrik yapının görüntüsünü değiştirse de nesneler arasındaki matematiksel ilişkileri korur(goldenberg ve Couco, 1998). Bu ise yapının altındaki matematiksel ilişkileri soyutlayabilmek için çok elverişlidir. Yani, öğrenci şeklin bir takım özelliklerini değiştirirken değişmeyen matematiksel ilişkileri gözleyerek keşfedebilir. Bu keşif öğrenciye çok güçlü bir varsayımda bulunma imkanı sağlar. Ardından öğrenci bu varsayımını bir çok örnekle destekleyebilir yada reddedebilir. Cabri yazılımı bir araç olarak ekran üzerindeki matematiksel nesneleri değiştirerek matematiksel düşünceleri güçlendirmektedir. Geleneksel ortamlarda görülemeyen, oluşturulamayan bir çok ilişki, özellik, genelleme rahatlıkla çalışılabilmektedir. Cabri ile geometrinin temel elemanlarının bir kısmı değişmez bir kısmı değişken olarak tanımlayabilmemiz, bir kısmını birbirine bağlı olarak tanımlayabilmemiz yapıyı bunlara bağlı olarak hareket ettirdiğimizde bize geometriyi dinamik olarak inceleme fırsatı verir (Baki, 001). Yani, bağımsız değişkenlerin hareketiyle, bağımlı değişkenlerin bunları takip etmesi ancak mevcut ilişkilerin hep sabit kalması soyutlama ve keşfetme için çok idealdir. Öğrenci Cabri ekranında bir yapı oluşturabilir ve bu yapıda mevcut olan sabit ilişkileri araştırabilir. Öğrenci şeklin farklı konumları için bir çok örnek görürken, bazı ilişkilerin bu değişimden etkilenmediğini görmesi, ona güçlü bir varsayımda bulunma imkanı sağlar. Ardından, öğrenci ortaya koyduğu varsayımını programın imkan verdiği ölçülerde test eder. Bu çalışma ile, matematikçinin matematiksel sonuçlara varırken attığı adımların Dinamik Geometri Yazılımı Cabri ile bilgisayar destekli bir ortamda nasıl atılabileceği ve bu yolla matematikçilerin yaptıkları matematik ile öğrencilerin kullandıkları matematik arasında köprülerin nasıl kurulabileceği örneklenmeye çalışılmıştır. Bu bağlamda çalışma içerisinde aşağıdaki etkinliklere yer verilmiştir: Archimedes in parabol ile kiriş arasında kalan alanı bulması; Brahmagupta dörtgeninin özelliklerinin keşfedilmesi.. YÖNTEM Çalışmanın örneklemini 10 matematik öğretmen adayı oluşturmaktadır. Seçilen bu örnekleme 3 hafta süre ile toplam 10 saat Cabri Geometri yazılımının teknik özellikleri tanıtıldıktan sonra et-

3 kinliklere geçilmiştir. Bu sırada araştırmacı öğretmen yöntemi kullanılarak öğrenme ürünleri gözlemlenmeye çalışıldı. Onlardan bazı etkinlikleri Cabri ortamında tamamlamaları istendi. Bu çalışmada etkinlikler arasından sadece ikisi seçildi. Bunlar, Archimedes ve Brahmagupta etkinlikleridir. 3. BULGULAR 3.1. Archimedes ve Analize Giriş Dersin başlaması ile öğrencilerden ekranda gördükleri y =a.x genel denklemine sahip parabolün kolları üzerinde bir doğru parçası oluşturmaları ve bu doğru parçası ile parabol arasında kalan alanı hesaplamaları istendi. Öğrenciler, hemen Cabri geometri yazılımının Alan özelliğini kullanarak bunu hesaplamaya çalıştılarsa da bu özelliğin bu alanı hesaplamakta yetersiz kaldığını tespit ettiler. Öğrenciler nasıl bir yol izleyeceklerini düşünürken kendilerinden bu alanı küçük kareler yöntemine benzer bir şekilde parabolün içerisine en büyük alanlı üçgenleri oluşturarak hesaplamaları istendi. Scaffolding niteliğindeki bu yardımla birlikte öğrenciler hemen çalışmaya başladılar. Tabanı çizdikleri doğru parçası olan bu üçgenin tepe noktasını parabol üzerinde alıp, Alan özelliğini kullanarak üçgenin alanını hesaplayıp ekranın bir kenarına yazdırdılar. Öğrencilerden bir kısmı tepe noktasını parabol üzerinde gezdirip ekrandaki üçgenin alan değerini gözlemleyerek üçgenin en büyük alanı için tepe noktasının konumunu belirlediler. Bu aşamada öğrencilere bu noktanın geometrik bir özelliğinin olup olmadığı soruldu. Öğrenciler uzun süre bu özelliği araştırmalarına rağmen hiç biri bu noktanın sahip olduğu geometrik özelliği belirleyemedi. Bu durum sınıf ortamında bir anlık durgunluk yaşanmasına neden oldu. Öğrencilerin bu noktanın özelliğini belirlemelerini sağlamak için kendilerinden üçgenin tabanı olan doğru parçasının orta noktasını bulmaları ve bu noktadan yatay bir doğru çizmeleri istendi. Öğrenciler sahip oldukları Cabri bilgilerini kullanarak bunu başardıklarında hiçte beklemedikleri bir sonuç ile karşılaştılar. Üçgenin tepe noktası bu doğru üzerindeydi. Böylece çizdikleri doğrunun parabolü kestiği noktanın aslında en büyük alanlı üçgenin tepe noktası olduğu sonucuna ulaştılar. Bu keşif etkinliğin başarı ile tamamlanabilmesi için çok önemliydi. Çünkü bu özellik sayesinde öğrenciler kalan parçalar üzerinde de en büyük alanlı üçgenleri rahatlıkla oluşturabilirlerdi. Öğrencilerin bazıları keşfettikleri bu özelliği kullanarak kalan parçalar üzerinde de aynı özelliğe sahip üçgen daha oluşturup bunların alanlarını da ölçtüler. Öğrenciler bu işlemi bu şekilde sürdürmeye çalışırken kendilerine ilk üçgenin alanı (A) ile kalan parçalar üzerinde oluşan üçgenlerin alanları arasında bir ilişki görüp göremedikleri soruldu. İlk bakışta herhangi bir özellik göremeyen öğrenciler, hesap makinesi ile ilk üçgenin alanını (A) kalan parçalar üzerinde oluşturulan üçgenlerin alanları toplamına (A 1 ) böldüklerinde 4 sonucu ile karşılaştılar. Yani A=4A 1 dir. Bunu bir kenara not eden öğrenciler kalan 4 parça üzerine de benzer özelliklere sahip üçgenlerle doldurduklarında bu üçgenlerin alanları toplamının da (A ) A 1 in 4 de biri olduğunu tespit ettiler. Yani A 1 =4A dir. Böylece öğrencilerin çoğunluğu ilk alan A olduğunda bunu takip eden alanların sırasıyla 1 1 A ( ) A,...şeklinde bir seri oluşturduğu, 4 4 sonucuna vardılar. Öğrencilerden bir kısmı bu serinin toplamının 1 değerini( ( ) x. A ) kağıt 4 x=0 aşağıdaki gibi hesaplamışlardır. 4A kalem yardımıyla hesaplarken bir kısmı 3 da bunu Derive5 programı yardımıyla

4 3.. Brahmagupta Dörtgeni İki dik üçgenin her birinin hipotenüsü ile diğer üçgenin dik kenarlarının çarpımı sonucu elde edilen 4 uzunluktan en uzunu alt tabanı, en kısası üst tabanı ve diğerleri de yan kenarları oluşturacak şekilde birleştirilmesiyle elde edilen dörtgene Brahmagupta dörtgeni denir. Öğrencilere, Brahmagupta dörtgenin bu tanımı verildikten sonra Cabri ekranındaki dik üçgenleri kullanarak bir Brahmagupta dörtgeni yapmaları istendi. Daha önceki derslerde 4 kenar uzunluğu verilen bir dörtgenin nasıl çizileceği ile ilgili ayrıntılı bilgiye sahip olan öğrenciler bu Brahmagupta dörtgenini rahatlıkla çizdiler. Dörtgeni başarı ile çizen öğrencilere dörtgenin köşegenleri arasında sabit bir ilişkinin bulunup bulunmadığı soruldu. Öğrencilerin bir kısmı bu ilişkiyi araştırmaya, köşegenlerin boylarını ölçererek abaşladılar. Böylece köşegen uzunluklarının eşit olduğu sonucuna ulaşmaya çalıştılar. Ancak köşegenleri çizip ölçme işlemini tamamladıklarında köşegen uzunluklarını eşit olmadığı sonucuna ulaştılar. Bazı öğrenciler ise, köşegenlerin ilgili açıların açıortayları olabileceğini düşünerek açıları ölçtüler ve bu varsayımlarının da doğru olmadığını belirlediler. Bazı öğrenciler ise köşegenlerin kesişmesi ile oluşan açıyı ölçtüler. Bu ölçme işlemini tamamladıklarında bu açının ölçüsünün 90 0 olduğu sonucuna ulaştılar. Braghmagupta dörtgeninin farklı konumları için bu durumu test ettiklerinde bu açının her seferinde 90 0 olduğunu gördüler. Diğer öğrencilerde bu açıyı ölçtüklerinde Brahmagupta dörtgenin köşegenlerinin dik kesiştiği sonucuna ulaştılar. Bu çalışmanın ikinci bölümünde, öğrencilerden daha önce araştırmacı tarafından hazırlanan Brahmagupta.fig dosyasını açmaları istendi. Öğrenciler bu dosyayı açtıklarında iki dik üçgen ve bu dik üçgenler yardımıyla oluşturulmuş iki farklı Brahmagupta dörtgeni ile karşılaştılar. (. Brahmagupta dörtgeni köşegenleri dik üçgenlerin dik kenarlarının uzunluklarının karşılıklı çarpımı ile oluşturulmuş özel bir Brahmagupta dörtgenidir.) Öğrencilerden birinci Brahmagupta dörtgenini serbest olarak hareket ettirmeleri ve bu sırada da bu iki dörtgenin alanlarının ölçülerini gözlemlemeleri istendi. Öğrenciler birinci Brahmagupta dörtgenini hareket ettirip alanlarını gözlemlerken birinci Brahmagupta dörtgeninin alanının ikinci Brahmagupta dörtgeninin alanını hiçbir zaman geçemediğini tespit ettiler. Öğrenciler bu iki dörtgenin alanları arasındaki ilişkiyi belirlemişlerdi. Bu esnada, öğrencilerden, ikinci Brahmaupta dörtgenin birinciden farklı olarak hangi özelliğinin alanını birinci dörtgenden farklı yaptığını belirlemeleri istendi. Öğrenciler Cabri geometri yazılımının farklı özelliklerini kullanarak açılarını, çevrelerini, köşegen uzunluklarını ölçtüklerinde öğrencilerden biri ikinci Brahmagupta dörtgeninin karşılıklı açılarını toplamının olduğu sonucuna vardığını söyledi. Bu keşif diğer öğrenciler tarafından da doğrulandı. Çalışmanın bu aşamasında öğrencilere, bu özelliğin ikinci Brahmagupta dörtgenini alanını maksimum yapmasının nedeni soruldu. Öğrenciler bunu bu derste belirleyemediler ancak bir sonraki derste öğrencilerden biri üçgenlerin alanları için tanımlanan Heron formülünün dörtgenlere uygulanması ile elde edilen s= a + b + c + d olmak üzere A(ABCD)= α + β ( s a).( s b).( s c).( s d) a. b. c. d.cos formülünün bunu 0 açıkladığını belirtti. Çünkü bu formül incelendiğinde α + β =180 olduğunda cos( α + β )=0 olduğu ve bunun sonucu olarak da dörtgenin en büyük alan değerine ulaştığı açıktır.

5 4. SONUÇ VE ÖNERİLER Sunulan örneklerde de görüldüğü gibi, DGY ler aracılığıyla iyi oluşturulmuş bilgisayar destekli ortamlar, matematikçi ile öğrenci arasında güçlü köprülerin kurulmasını sağlayabilir. Bu köprüler kurulduğunda, öğrenciler matematiği kendilerinden çok uzak olarak algılamayacak ve kendilerini matematiksel etkinliklerin içerisine sokarak varsayımda bulunma, genelleme, test etme, reddetme gibi yüksek düzey zihinsel çalışmalara katılacaklardır. Bu ise doğrudan öğrencilerin problem çözme bece- rilerinin gelişmesini sağlayacaktır. Bulgular da bilgisayarın öğrenciye matematikçi gibi davranma fırsatı vererek işlevsel öğrenme deneyimi kazandırabileceğini göstermektedir. Öğretmenler dinamik geometri yazılımlarını sadece lise ve üniversitelerde, ileri derece de matematik gerektiren konuların öğretimi sırasında değil, daha ilköğretim çağlarında geometrik kavramların buluş yoluyla öğretimi için kullanabilirler. Bu şekildeki öğrenmeler de daha kalıcı, işlevsel ve diğer alanlara transfer edilebilir olacaktır. KAYNAKLAR 1. Baki, A. (001). Bilişim Teknolojisi Işığı Altında Matematik Eğitiminin Değerlendirilmesi. Milli Eğitim Dergisi, 149, Couco, A.A. ve Goldenberg, E.P. (1996). A Role for Technology in Mathematics Education. Journal of Education, 178(), Goldenberg E.P. (1999). Principles, Art, and Craft in Curriculum Design: The Case Of Connected Geometry, International Journal Of Computers For Mathematical Learning, 4, Goldenberg, E.P. (1996). Habits Of Mind as an Organizer For The Curriculum., Journal of Education, 178(1), Goldenberg, E.P. ve Couco, A.A. (1998). What is Dynamic Geometry?. In Lehrer R., Chazan D. Edition, Designing Learning Environments For Developing Understanding Of Geometry and Space, London, Lawrence Erlbaum Associates Publishers. 6. Hazzan,O. &Goldenberg E.P.(1997) Students Understanding of The Notion of Function in Dynamic Geometry Environments. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 1, Heid, M.K. (1997) The Technological Revolution and the Reform of School Mathematics. American Journal of Education, 106, Kaput,J. (199). Technology and Mathematics Education. In Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, In. Grouws D.A. Edition. New York, NY: Macmillan Publishing Company, Moss, L.J. (000). The Use of Dynamic Geometry Software as a Cognitive Tool. Unpublished doctoral dissertation, The University of Texas at Austin, Texas. 10. Noss R. (1988) The Computer As a Cultural Influence On Mathematical Learning. Educational Studies In Mathematics, 19, Smid, H.J. (1988). Two Reasons for Teachers not to Use Educational Software, 6 th International Congress on Mathematical Education,Budapest. 1. Wiest, L.R. (001). The Role of Computers in Mathematics Teaching and Learning. (Ed:Took, J&Handerson N.) Using Information Technology in Mathematics Education, The Howarth Press,