Uygarl klar aras nda bende en çok hayranl k uyand ran Eski

Transkript

1 Pisagor ve Say lar Uygarl klar aras nda ende en çok hayranl k uyand ran Eski Yunan uygarl d r. Matematikte, ilimde, felsefede ve sanatta ak l almaz ir düzeye eriflmifllerdir. Ne var ki, sa n n do umunu izleyen irkaç yüzy l içinde H ristiyan a nazl u ilerlemeyi durdurmufltur. Durdurmakla kalmam fl, geriye ile götürmüfltür. Yunan pagan ilginlerinin yap tlar yak lm fl, yokedilmifltir. Araplar ve irkaç Bizansl ayd n olmasayd, ugüne o günlerden pek ir fley kalmayacakt. Yunanl lardan ancak in y l sonra, Rönesans la irlikte, yani 15. yüzy lda, Eski Yunan uygarl n n de eri anlafl lm fl, ve yap tlar incelenmeye afllanm flt r. Eski Yunanl lar n geldikleri düzey öylesine yüksekti ki, matematik ve felsefede ilk önemli at l m Rönesans tan da sonra, René Descartes ( ) ile gerçeklefltirilmifltir. René Descartes Yunan uygarl n n Yunan uygarl olailmesinin nedenleri k smen aç klanailir. klim ve do a koflullar ndan, ticaret ve ulafl m gii denizin sa lad olanaklardan, M s r ve Sümer uygarl klar n n etkisinden, köleli e ve sömürüye dayanan ekonomik ve toplumsal dizgeden (sistemden) sözedileilir. Bütün 147

2 unlar n elet Yunan uygarl n n oluflmas na önemli katk lar olmufltur. Gene de uygarl n ulaflt o flafl las düzeyi aç klamakta ence yetersiz kal yor u etkenler. Eski Yunanl lar n eriflti i düzey ir tans k (mucize) gii geliyor. Ö 6 nc yüzy lda yaflam fl olan Pisagor u (Pythagoras ) konu etmek istiyorum. Matematikte kan t kavram n ilk kez Pisagor un uldu u san l yor. Daha önce de olailir, ama kesinlikle daha sonra de il 1. Belit (aksiyom) olmadan, yani do rulu u kaul edilmifl önermeler olmadan teorem kan tlanmaz. Nas l hiçten ir fley varolmazsa, elitsiz de teorem varolamaz. O zamanlar elit, kan tlanamayan ve kan tlanmas na da gerek duyulmayan, yani do rulu undan kuflku duyulmayan önerme (ya da tümce) anlam - na gelirdi. Bu do rulu u önceden kaul edilmifl elitler d fl nda her önerme ancak kan tlanaildi inde do ru kaul edilirdi 2. nsanl k ve ilim tarihinde elit kavram ir devrimdir hiç kuflkusuz. Eski Yunanl lar, do rulu u su götürmez u kan tlanamayan gerçekleri hangi nedenle kâ da geçirmek zorunlu unu duymufllard r? Bilmiyorum. Pisagor yaln z matematikçi de ildi, ayn zamanda ir filozoftu. Bir ak ma peygamerdi de. Pisagorculuk ir din olarak yay ld ta afl ndan eri. Bakla yememek gii nedenini anlayamad m z kurallar ile vard. Ruhla edeni iririnden ay r r, ruhlar n edenden edene geçeilece ine inan rd Pisagorcular. 1 Her ne denli Tales, Pisagor dan önce yaflam fl ve ad yla an lan ir teoremi varsa da, Tales in ad yla an lan u teoremi kan tlamad, Öklid in Ö 3 üncü yüzy lda kan tland oldukça yayg n ir kan. 2 Kimi Bat ayd n, son ony llarda, Yunan uygarl n n öyle san ld gii yüksek düzeye ulaflmad n, Yunanl lar n ilgilerinin daha önceden Sümerliler ve M - s rl lar taraf ndan ilindi ini kan tlama yar fl na girmifl gii görünüyor. Bilgiler daha önce elde edilmifl olailir. Ama ilime yaklafl m ve ak fl aç s ilgiden de önemlidir. Bilimde kan t kavram ndan daha önemli ir aflka kavram yoktur. Bilimin özünde nas l ve neden sorular yatar. Bu sorular da üyük ölçüde kan t yaparak yan tlan r. 148

3 Pisagor un kurdu u okul, yani düflünce ekolü, yüzy llar oyunca matemati i, ilimi, felsefeyi ve sanat etkilemifltir. Pisagor müzikte ile kuramsal yenilikler yapm flt r. Pisagor ve Pisagorcular her fley say d r derlerdi. Yani her fleyi say larla, daha do rusu 1, 2, 3 gii do al say larla aç klayaileceklerini san rlard. Say ise ceir demektir. Pisagorculara göre geometriyle ceir aras nda ir ayr m yoktu. 17. yüzy l n ilk yar s nda René Descartes, Analitik Geometri yi ularak ceirle geometri aras nda ir iliflki kurmufltur: Geometrik ir prolem ceirsel yöntemle çözüleilir. Ancak Descartes la Pisagor aras nda çok önemli ir ayr m vard r. Descartes geometriyle ceiri iririnden ay r yordu. Bu yüzden u iki kuram aras nda ir iliflki kurmay düflüneilmifltir. Oysa Pisagor ve Pisagorcular için öyle ir ayr m sözkonusu de ildi. Descartes n yapmak istedi ini düflünemezler, una gereksinim duymazlard. 2 nin kesirli ir say olmad anlafl ld nda Pisagorculuk üyük ir dare yiyip zay flam flt. 2 nin kesirli ir say olmad n n kan t n n çok güzel oldu u söylenir. Ço u popüler matematik kita nda güzel kan t a örnek olarak verilir. Kan tlayal m: Diyelim 2 kesirli ir say. Bir çeliflki elde edece iz ve öylece 2 nin kesirli ir say olmad anlafl lacak. 2 say s n a/ olarak yazal m. Burada a ve, 1, 2, 3 gii do al say lar. Ayr ca a ve say lar n n ortak ölenlerinin olmad n varsayal m. Gerekti inde sadelefltireilece imizden u varsay m yapailiriz. Demek ki 2= a/ eflitli ini kaul ediyoruz. Her iki taraf da ile çarp p 2 = a eflitli ini ulal m. fiimdi her iki taraf n da karesini alal m: 2 2 = a 2 (1) Bu son eflitli in solundaki say, yani 2 2, çift ir say. Demek ki sa daki a 2 de çift ir say. a 2 çiftse, a da çift olmak zorunda. Yani a, 2 ye ölüneiliyor. a 1 = a/2 olsun. Dolay s yla 2a 1 = a. 149

4 (1) eflitli inde a yerine 2a 1 koyal m: 2 2 = a 2 = (2a 1 ) 2 = 4a 1 2 elde ederiz. Sadelefltirirsek, 2 = 2a 1 2 eflitli i ç kar. Bu kez de 2 nin çift oldu unu ulduk. Demek ki de çift. Yani, 2 ye ölünüyor. Yukarda a n n da 2 ye ölündü ünü kan tlam flt k. Demek ki 2, hem a y hem de yi ölüyor. Ama u say lar n ortak ölenlerinin olmad n varsaym flt k daha afllang çta... Bir çeliflki elde ettik. Demek ki 2kesirli ir say de ilmifl. Bu kan t gerçekten güzel midir? Benim kiflisel görüflüm eh! flöyle öyle dir. Güzel ir kan tta flafl rt c ir ö e arar m. O ö eyi u kan tta ulam yorum. Bu kan t n enzerini tam kare olmayan her n tamsay s için yapailirsiniz: E er n tamsay s ir tam kare de ilse, n kesirli ir say de ildir. Yukardaki olgudan her fleyin tamsay olmad, Pisagorcular n haks z olduklar ç kar. Ama say olan öylesine çok fley var ki, Pisagor un hakl ç kmas na ramak kalm fl. Afla da dört teorem kan tlayaca z. Bunlardan ilk üçü say larla geometrinin nas l s k ir iliflkide olduklar n gösterecek. Dördüncüsünde ise ünlü Pisagor teoreminin çarp c ir kan t - n verece iz. 1. E er a ve iki pozitif say ise, (a+) 2 = a 2 +2a+ 2 dir. Bu eflitli i ilmeyip, (a + ) 2 = a yazan çok ö renci vard r. San r m 2(a + ) = 2a + 2 eflitli inden geliyor u yan lg. Doktora y llar mda yerel ir üniversitede ders veriyordum. Ö rencilerimin hem ekonomik ve toplumsal koflullar hem de ilgi düzeyi çok düflüktü. (a+) 2 = a 2 +2a+ 2 eflitli ini ir türlü ö retemiyordum. Derste anlat nca anlam fl gii afllar n sall yorlar, ödeve, s nava gelince (a+) 2 = a yaz yorlar. Ne yapsam ofluna... Bir türlü gerçek eflitli i kafalar na sokam yorum. Ne yapaca m ilmez ir durumdayken, ir dergide afla- daki kan t gördüm. 150

5 Bir kenar a+ olan ir kare çizelim. Bu karenin alan (a+) 2 dir. Bu karenin alan n aflka türlü hesaplayaca z. Afla daki gii kareyi dörde ölelim. Ve hemen hesaplayal m: Sol alt dörtgenin alan = a 2 Sol üst dörtgenin alan = a a Sa alt dörtgenin alan = a Sa üst dörtgenin alan = 2 a Tüm karenin alan n ulmak için u dört alan toplayal m. a 2 + 2a + 2 uluruz. Demek ki (a + ) 2 = a 2 + 2a + 2 imifl. Bu kan t gördükten sonra ö rencilerin hepsi olmasa ile irkaç (a+) 2 = a 2 + 2a + 2 eflitli ini ö rendi. Kan t m z yaln zca pozitif say lar için geçerli, ama ayn eflitlik pozitif ya da negatif, her say için geçerlidir. 2. Buna enzer ir kan tla (a ) 2 = a 2 2a + 2 eflitli ini de göstereiliriz. a- a a- a Yukardaki flekilde koyu gri renkli karenin alan n iki türlü hesaplayaca z. Koyu gri renkli karenin her kenar a oldu- undan, u karenin alan (a ) 2 dir. Bunu akl m zda tutal m. Ayn karenin alan n ir aflka türlü hesaplayaca z. 151

6 Bütün flekil iki kareden oluflmaktad r: soldaki küçük kare ve sa daki üyük kare. Bu karelerin alanlar s ras yla 2 ve a 2 dir. Demek ki ütün fleklin alan a dir. Koyu gri renkli karenin alan n ulmak için, u üyük alandan aç k gri ve eyaz dikdörtgenlerin alan n ç karal m. Yani, a den iki kez a yi ç - karal m (çünkü her iki dikdörtgenin de alan a dir.) Demek ki koyu gri renkli karenin alan ayn zamanda, a a ymifl. Demek ki, (a ) 2 = a 2 2a + 2 eflitli i do ruymufl. 3. n pozitif ir tamsay olsun. 1 den 2n ye kadar olan tek say lar n toplam n 2 dir. Örnek: 1 2 = = = = = Ne ilginç de il mi? Peflpefle gelen tek say lar toplayarak ir kare elde ediyoruz. Pisagorcular durup dururken mistisizme kaymam fllar, say lardan üyülenmemifller... Çocuklu umda = 10 eflitli ini gizemli ulurdum. Sonradan, üyüyünce, ne yaz k ki o gizem kayoldu. Her say y ir kareyle gösterelim. Afla da 1 i ve karesini görüyorsunuz: 1 1 den sonra gelen tek say 3. 1 ile 3 ü toplamak için, 1 kareyle 3 kareyi toplayal m, yukardaki kareye 3 kare daha ekleyelim: Gördü ümüz gii 1 kareyi ve 3 kareyi toplayarak ir kenar 2 olan ir kare elde ettik. Yani 1+3 = ten sonra gelen tek say 5. Yandaki flekil 1+3 ü gösteriyor. Bu fleklin iki yan na 5 küçük kare daha ekleyelim: 152

7 Böylece elde ettik. Yukardaki flekilde de görüldü ü gii ir kenar 3 olan üyük ir kare elde ettik. Yani = 3 2. Bunu öylece sürdüreiliriz. Gel de Pisagor a hak verme! Gauss un ( ) ilkokul ö retmeni s n ftan ç kmak istemifl. Çocuklar n ofl durmamalar için de zor ir soru sormufl: 1 den 100 e kadar olan say lar n toplam kaçt r? Çocuklar n u 100 say y altalta yaz p toplamalar n ekliyor... Ne insafs z ir ö retmen! Ö retmen daha s n ftan d - flar ad m n atmam fl ki, küçük Gauss Carl Friedrich Gauss oturdu u yerden, 5050, diye a rm fl. Ö retmen donakalm fl kap n n efli inde. Olacak ifl de il! Küçük Gauss hesapta kuvvetli, kuvvetli olmas na ama, gene de... Oysa küçük Gauss un ir formülü var. flte formül: n pozitif ir tamsay ysa, 1 den n ye kadar olan tamsay lar n toplam n(n+1)/2 dir. Yani, (n 1) + n = n(n+1)/2 Ö retmenin sordu u soruda n = 100. Gauss yukardaki formülü uygulay p, /2 = 5050 ulmufl. Küçük Gauss un uldu u u formülü kan tlayaca z. Geometriyle... Her k tamsay s n, 1 k oyutlu ir dikdörtgen olarak gösterelim. Örne in, 4 tamsay s n yandaki gii ir dikdörtgen olarak gösterece iz. fiimdi, n say s n u dikdörtgenleri üstüste koyarak gösterelim. Örne in, n = 6 ise, afla daki flekli elde ederiz. Bulmak istedi imiz say u 153

8 garip üçgendeki kare say s d r. Bu üçgendeki kare say s n ulmak kolay olmayailir, ama u üçgenden iki tane al rsak, kare say s n daha kolay hesaplayailiriz. Bu üçgenin ir enzerini tepe taklak edip üstüne koyal m ve iki üçgen i irlefltirelim (afla da, sa daki flekle ak n.) Bulmak istedi imiz say u dikdörtgendeki kare say s n n yar s. Dikdörtgendeki kare say s n hesaplayal m. Dikdörtgenimizin eni n, yüksekli i n + 1 oldu- undan, u dikdörtgende n(n + 1) tane kare vard r. Demek ki üçgende n(n+1)/2 tane kare vard r. Dolay s yla 1 den n ye kadar olan say lar n toplam n(n+1)/2 dir. Bilinen ir f kra vard r. Adam trende. Yan nda arkadafl. Bir koyun sürüsü görüyorlar pencereden. Adam, 73 koyun var, diyor. Öürü flafl r yor, Nerden iliyorsun? diyor. Öyle... diyor izimki. ddiaya girip ilk istasyonda iniyorlar. Koyunlar sayd klar nda gerçekten 73 koyun ç k yor. Bir sonraki trene iniyorlar. Gene ayn sahne, ir koyun sürüsü koyun var. Amma att n ha! diyor öürü. 154

9 Gene iddiaya giriyorlar, gene trenden iniyorlar, gene izimki hakl ç k yor. Bir sonraki trende de ayn sahne olunca ve ir kez daha izimki hakl ç k nca öürü soruyor, Yahu nas l iliyorsun? Çok kolay, ayaklar n say p dörde ölüyorum. flte izim yapt m z da iraz una enziyor. Bir say y hesaplamak için o say y önce ikiyle çarpt k. 4. fiimdi ünlü Pisagor teoremine gelelim. Buna Eflek Teoremi de denir. Pisagor teoremi der ki: Bir diküçgenin dik aç s n n kenarlar n n c a a = c 2 uzunluklar n n karelerinin toplam öür kenar n uzunlu unun karesine eflittir. Ayn teorem yukardaki flekilde resimlendirilmifltir. Bu teoremi kan tlayaca z flimdi. Uzunlu u c olan kenara ir kare infla edelim Yamuk duran karenin ir kenar n n uzunlu u c dir, demek ki alan c 2 dir. fiimdi ayn alan aflka türlü hesaplayaca- z. Karede dört üçgen a -a var ve her irinin alan ilk c üçgenimizin alan na eflit, yani her üçgenin alan a c a/2. Bu dört üçgen d fl nda, yamuk karenin içinde ir de küçük kare var. Bu küçük karenin her kenar a oldu undan alan ( a) 2 dir. Demek ki her kenar n n uzunlu u c olan karenin alan u alanlar n toplam na eflittir: 155

10 Dört üçgenin alan = 4 a/2 = 2a Küçük karenin alan = ( a) 2 = 2 2a + a 2 Toplam alan = a Dolay s yla c 2 = a eflitli i geçerlidir 4. Bir gün ir arkadafl m, Matematikçi oldu um için o denli mutluyum ki... Bu güzellikleri anlayailiyorum, demiflti. Matematik gerçekten güzeldir. Cahit Arf hocam z da, güzellik insanda sonsuzluk duygusu uyand rand r, demiflti ir gün. Ben hak veriyorum hocam za. 4 Kaynakça [28] de daha unun gii irçok geometrik kan t vard r. 156