Çemberin Çevresi, Dairenin Alanı, π nin Değeri
|
|
|
- Yağmur Renda
- 8 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 Çemerin Çevresi, Dairenin Alanı, π nin Değeri Ali Nesin B u yazıda, r yarıçaplı ir çemerin çevresinin neden 2πr, alanının neden πr 2 olduğunu göreceğiz. İlkokuldan eri ezerletilen u formüllerin kanıtlarını merak etmemiş olailirsiniz. Ne yazık ki okullarda salt Türkiye de değil, dünyanın hemen hemen her yerinde ve özellikle matematik derslerinde öğrenciler sorgulamaya teşvik edilmezler. Öğretmenin dediği kaul edilir. Yazının ortalarında 3 < π eşitsizliğini kanıtlayacağım. Hemen, çok kolay deyip kaleme kâğıda sarılmayın. 3 < π eşitsizliğini kanıtlamak için π nin tanımını ilmek gerekir. π nin tanımını iliyor musunuz? Sanmıyorum. Okullarda pek öğretilmez. Bu eşitsizliği kanıtlamak için okullarda öğretilen π = 3,14 yada π = 22/7 gii (doğru olmayan) ilgiler kullanılmamalıdır 1. Yazının 8. ölümünde π nin tanımını vereceğim. O tanım okunduktan sonra 3 < π eşitsizliği kanıtlanmalıdır, daha önce değil. Çok asit matematikten aşlayacağız. Önce ünlü Pisagor ve Tales teoremlerini kanıtlayacağız. Bu iraz zaman alacak. Bu yüzden, Pisagor ve Tales teoremlerini ve kanıtlarını ilen okur, dilerse, doğrudan eşinci ölüme gideilir. 1. Üçgenin Alanı: Yüksekliği h, taanı olan ir üçgenin alanı h/2 dir. h Bu formülü ilmeyen lise fen ölümü öğrencileri tanıdım ne yazık ki. Öte yandan, geçenlerde gittiğim özel ir ilkokulun eşinci sınıf öğrencileri hem formülü hem de kanıtını iliyorlardı. Sevindim elet. Ama eğitimdeki eşitsizliği ir kez daha görüp üzüldüm de. İlkokul öğrencilerinin anlayaileceği u kanıt ir şekille açıklanailir. h h Üçgeni yukardaki şekillerdeki gii ikiyle çarpalım. Böylece, yüksekliği h, taanı olan ir dikdörtgen elde ederiz. Dikdörtgenin alanı h olduğundan 2, üçgenin alanı h/2 dir. 1 Okullarda, genellikle π nin 3,14 e eşit olduğu öğretilir. Bu doğru değildir. π sayısı aşağı yukarı 3,14 tür. Tam 3,14 değildir. Örneğin π sayısı 3,14159 a daha yakındır. π sayısı, 3,14159 diye aşlar ama sonsuza dek, hiç yinelenmeden sürer gider. Bunu kanıtlayailmek için önce π nin tanımını ilmek gerekir. Tanımı ilinmeyen ir sayının değeri de ilinemez elette. Tanımlandıktan sonra ile π nin değerini ulmak kolay değildir. 22 Kenarları ve h olan ir dikdörtgenin alanının h olduğunu ir elit (aksiyom) olarak ya da alan kavramının tanımının ir parçası olarak kaul edin, öyledir.
2 2. Pisagor Teoremi. Pisagor teoremi, Bir diküçgenin dik açısının kenarlarının uzunluklarının karelerinin toplamı öür kenarın uzunluğunun karesine eşittir, der. Şekille söylemek gerekirse, c a = c 2 a a Bu teoremi kanıtlayacağız şimdi. Uzunluğu c olan kenara ir kare inşa edelim: Yamuk duran karenin ir kenarının uzunluğu c dir, demek ki alanı c 2 dir. Şimdi aynı alanı aşka türlü hesaplayacağız. Karede dört üçgen var ve heririnin alanı ilk üçgenimizin alanına eşit, yani her üçgenin alanı a/2. Yamuk karenin içinde u dört üçgenden aşka, a a ir de küçük kare var. Bu küçük karenin her kenarı c a olduğundan alanı ( a) 2 dir. Demek ki yamuk karenin alanı aynı zamanda u alanların toplamına c eşittir: Dört üçgenin alanı 4 = 2a a/2 Küçük karenin ( a) = 2 2a + alanı 2 a 2 Toplam alan a Dolayısıyla c 2 = a eşitliği geçerlidir. Pisagor teoremini de kanıtladık. Sıra Tales teoremini kanıtlamaya geldi. Tales in teoremini iki aşamada kanıtlayacağız. 3. Tales in Teoremi (1): Aşağıdaki şekilde HC/H C = AH/AH eşitliği geçerlidir. A AH C üçgeninin alanını iki türlü hesaplayacağız. H C Bu alan, her şeyden önce, AH H C /2 ye eşittir. Aynı zamanda AHC üçgenininin, HCTH dikdörtgeninin ve CTC üçgeninin alanına eşittir, yani, AH HC/2 + HC HH + CT TC /2 ye eşittir. Demek ki, AH H C /2 = AH HC/2 + HC HH + CT C T/2 H eşitliği doğru. Bu eşitlikte, C T HH yerine AH AH, CT yerine AH AH, C T yerine H C HC koyalım, çarpıp sadeleştirelim, istediğimiz eşitliği elde ederiz.
3 4. Tales in Teoremi (2): Aşağıdaki şekilde AC/HC = AC /H C eşitliği geçerlidir. A Yukardaki teoremi ve Pisagor teoremini kullanacağız: AC 2 = (Pisagor) AH 2 + HC 2 = (Tales 1) (AH 2 HC 2 /H C 2 ) + HC 2 = (ceir) (HC 2 /H C 2 )(AH 2 + H C 2 ) = (Pisagor) (HC 2 /H C 2 ) AC 2. H C Şimdi iki tarafın da karekökünü alarak dilediğimiz eşitliği kanıtlayailiriz 3. H C T 5. Düzgün Çokgenler. Bir çemere düzgün çokgenlerle yakınsayailiriz. Örneğin, çemerin içine yerleştirilen ir düzgün sekizgenin çevresi, çemerin çevresine oldukça yakındır. Eğer çemerin içine ir düzgün onaltıgen yerleştirirsek, çemere daha da yaklaşmış oluruz. Çokgenin kenar sayısını ne kadar çok artırırsak, çemere o kadar çok yakınsarız. Çokgenin çevresi, çemerin çevresinden her zaman daha küçüktür, ama aradaki fark kenar sayısı arttıkça küçülür, öyle ki sonsuzda u iki çevre irirlerine eşit olurlar. Bir aşka deyişle, çemer, ir düzgün sonsuzgendir. Aynı şey çemerin içerdiği alan, ki ona daire denir, için de geçerlidir. Düzgün çokgenin alanı, kenar sayısı arttıkça, dairenin alanına yakınsar ve sonsuzda iki alan iririne eşit olur. 6. π nin Tanımı. Pek yakında r yarıçaplı ir çemerin çevresinin 2πr olduğunu kanıtlayacağız. Bir an için unu ildiğimizi varsayarsak, ir çemerin çevresi yarıçapına öldündüğünde 2π elde edildiğini görürüz. Bu, ütün çemerler için geçerlidir. Yani herhangi ir çemeri yarıçapına ölersek, hep aynı sayıyı, ir saiti (2π yi) elde ederiz. Bunu kanıtlayalım. Kanıttan hemen sonra π sayısını tanımlayacağız. Aynı merkezli iki çemer ele alalım. Bu çemerlerin içine düzgün çokgenler oturtalım: Çokgenlerin kenar sayısına n diyelim. Her ne denli n şekilde 8 ise de, iz n nin çok, ama çok üyük, sonsuza yakın (ne demekse!) ir sayı olduğunu varsayalım. Küçük çemerin çevresine l, üyük çemerin çevresine l diyelim. Küçük çemerin çapına r, üyük çemerin çapına da r diyelim. Ve küçük çokgenin çevresine l n, üyük çokgenin çevresine l n diyelim. Üçgenlerden irini üyültelim: 3 Tales teoremi iraz daha geneldir, ama hem o genel haline gereksinmeyeceğiz, hem de o genel hali u iki özel halden kolayca çıkar.
4 B B H H A C C Elette, r = AB ve r = AB (2) ile l n = n BC ve l n = n B C eşitlikleri geçerlidir. Birazdan l/r = l /r eşitliğini kanıtlayacağız. l, aşağı yukarı l n ye, yani n BC ye eşit. n üyüdükçe BC küçülüyor ve n BC sayısı l ye yakınsıyor. Demek ki l l n = n BC ve l l n = n B C (3) aşağıyukarılıkları geçerlidir 4. Şimdi (1), (2) ve (3) ü kullanarak hesaplayalım: l/r = (2) l/ab (3) n BC/AB = n 2BH/AB = (Pisagor) n 2B H /AB = n B C /AB (3) l /AB = (2) l /r. Böylece l/r = l /r eşitliği kanıtlanmış oldu 5. Demek ki, herhangi ir çemerin uzunluğunu yarıçapına ölersek hep aynı sayıyı uluruz yani l/r sayısı, çemer ne olursa olsun, değişmez, hep aynıdır, ir saittir. Hiç değişmeyen u l/r saitinın yarısı da, yani l/2r sayısı da ir saittir. Bu saite özel ir ad verelim: π. İşte şimdi π yi tanımladık: π = l/2r. (4) 7. 3 < π Eşitsizliği. π yi tanımladık ama değerini ilmiyoruz. Yukardaki tanımdan hareket ederek, 3 < π eşitsizliğini kanıtlayalım. 4 Bu aşağıyukarılıklar matematikte l = lim n l n = lim n n BC ve l = lim n l n = lim n n B C olarak yazılır. Örneğin irinci eşitlik, n sonsuza gittiğinde, n BC sayısı l ye gider diye okunailir. 5 imiyle gösterilen aşağıyukarılıklardan rahatsız olan okur, limit kavramını kullanmalıdır. O zaman yukardaki hesap şöyle olur: l/r = l/ab = lim n n BC/AB = lim n n B C /AB = l /AB = l /r.
5 Bir dairenin içine düzgün ir altıgen yerleştirelim. Dairenin yarıçapı r olsun. Demek ki dairenin çapı 2r. Tanıma göre, dairenin çevresini 2r ye ölersek π yi elde ederiz. Bir aşka deyişle, dairenin çevresi 2πr ye eşittir. Öte yandan düzgün altıgenin çevresi 6r. Düzgün altıgenin çevresi dairenin çevresinden daha küçük olduğundan 6r < 2πr elde ederiz. Sadeleştirirsek, 3 < π ulunur, ki u da izim kanıtlamak istediğimiz eşitsizliktir zaten. Bu kanıtı iraz daha az sözle şöyle göstereiliriz: Dairenin Çevresi = 2πr Altıgenin Çevresi = 6r Demek ki 6r < 2πr Yani 3 < π. 8. Çemerin Çevresi. r yarıçaplı ir çemer ele alalım. Bu çemerin çevresine l diyelim. Üçüncü ölümdeki tanıma göre π = l/2r dir. Demek ki l = 2πr dir! Çemerin çevresinin formülünü ulduk Dairenin Alanı. Şimdi, r yarıçaplı ir dairenin alanını ulalım. Alanın πr 2 ye eşit olduğunu kanıtlayacağız. Yukarda yaptığımız gii daireye ir çokgen yerleştirelim, yani daireyi üçgenlere ölelim. Üçgen sayımıza n diyelim. Her ne denli şekilde n, 8 e eşitse de, aslında n çok üyük ir sayı, sonsuza yakın! Çokgenin çevresi l n, alanı da A n olsun. Çemerin çevresi l, alanı A olsun. n ne kadar üyükse l n ve A n sayıları l ve A ya o kadar yakındır. Üçgenlerin yüksekliğine h, taanına diyelim. Her üçgenin alanı h/2 dir. n tane üçgen olduğundan, çokgenin alanı nh/2 dir. Demek ki A n = nh/2 eşitliği geçerlidir. Öte yandan h aşağı yukarı r ye eşittir 7. Yukardaki eşitlikteki h yerine r yi koyarsak, A n nr /2 elde ederiz. Ama n çokgenin çevresine, yani l n ye eşit. Yukardaki aşağıyukarılıktaki n yerine l n koyalım. A n rl n /2 elde ederiz. Şimdi n yi sonsuza götürelim. O zaman A n sayısı A ya, l n sayısı da l ye dönüşür ve yukardaki aşağıyukarılık, A = rl/2 eşitliğine dönüşür. Yukarda l = 2πr eşitliğini kanıtlamıştık. A = rl/2 formülündeki l yerine 2πr koyalım: A = r(2πr)/2 = πr 2 elde ettik. Çemerin alanını ulduk. 6 Ama π nin tam değerini ilmediğimiz için u formülü kullanarak ir çemerin çevresini sayısal olarak hesaplayamayız. 7 n nin çok üyük ir sayı olduğunu unutmayın.
6 10. π nin Değeri. Yazının süreğinde π sayısının nasıl hesaplanacağına ilişkin irkaç ilginç ilgi vereceğim. Vereceğim u ilgileri urda kanıtlamama olanak yoktur, unlar ancak üniversite düzeyinde kanıtlanailir. Aşağıdaki sonsuz toplama akalım: 1/1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/ Bu sonsuz toplam sonlu ir sayıdır. Bu sonlu sayı, sıkı durun, π/4 e eşittir. Yani, π = 4 (1/1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/ ) eşitliği geçerlidir. Yavaş yavaş hesaplayalım u toplamı. 4 1/1 = 4 4 (1/1 1/3) = 8/3 = 2, (1/1 1/3 + 1/5 ) = 52/15 = 3, (1/1 1/3 + 1/5 1/7) = 304/105 2, (1/1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9) = 1052/315 3, (1/1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11) = 10312/3465 2, (1/1 1/3 + 1/5 1/7 + 1/9 1/11 + 1/13) = 36979/ , Elde ettiğimiz sayılar (unlara kısmi toplamlar denir) ir üyür ir küçülür ve sonsuza ne denli yaklaşırsak, u sayılar π ye o denli yakınsarlar. Bilgisayarımda iriki hesap yaptım, işte sonuçları 8 : İlk 1 terimin toplamı = 1 İlk 2 terimin toplamı 2, İlk 3 terimin toplamı 3, İlk 4 terimin toplamı 2, İlk 5 terimin toplamı 3, İlk 6 terimin toplamı 2, İlk 7 terimin toplamı 3, İlk 8 terimin toplamı 3, İlk 9 terimin toplamı 3, İlk 10 terimin toplamı 3,04184 İlk 100 terimin toplamı 3,13193 İlk 101 terimin toplamı 3, İlk 1000 terimin toplamı 3, İlk 1001 terimin toplamı 3, İlk 2000 terimin toplamı 3,14109 İlk 3000 terimin toplamı 3, İlk 4000 terimin toplamı 3, İlk terimin toplamı 3, İlk terimin toplamı 3, İlk terimin toplamı 3, İlk terimin toplamı İlk terimin toplamı İlk terimin toplamı İlk terimin toplamı Bilgisayarımda virgülde sonra altı asamaktan fazla gitmesini ilmiyorum. Bilgisayarım virgülden sonraki yedinci rakamı yazmıyor ve sayıyı milyonda ire yuvarlıyor. Bu yuvarlamaların sayısı arttıkça, yapılan yanlış da artailir ne yazık ki. Bu yüzden u sayılara pek güvenmemek gerekir.
7 İlk terimin toplamı İlk terimin toplamı İlk terimin toplamı İlk terimin toplamı İlk terimin toplamı İlk terimin toplamı π ye yakınsamak için aşka formüllerden de yararlanailiriz. İşte u formüllerden ir aşkası: π/4 = (2/3 4/3)(4/5 6/5)(6/7 8/7)(8/9 10/9) (10/11 12/11)... Bu, sonsuz ir çarpımdır. Bu sonsuz çarpım şöyle de yazılailir: π/4 = 8/9 24/25 48/49 80/81 120/ yani, π = 4 8/9 24/25 48/49 80/81 120/ Bu terimlerin irkaç tanesini elle çarpalım: İlk 1 terimin çarpımı = 4 İlk 2 terimin çarpımı = 32/9 = 3, İlk 3 terimin çarpımı = 256/75 = 3, İlk 4 terimin çarpımı = 4096/1225 3, İlk 5 terimin çarpımı = 65536/ , Hep 1 den küçük ir sayıyla çarptığımızdan sayılar gittikçe küçülürler. Bu çarpımı sonsuza dek yapailirsek, sonsuzda tam tamına π sayısını uluruz. Bilgisayarıma hesaplattırdım ve aşağıdaki sonuçları uldum: İlk 10 terimin çarpımı 3,20771 İlk 20 terimin çarpımı 3, İlk 30 terimin çarpımı 3, İlk 40 terimin çarpımı 3, İlk 100 terimin çarpımı 3, İlk 500 terimin çarpımı 3, İlk 1000 terimin çarpımı 3, İlk 2000 terimin çarpımı 3, İlk 2563 terimin çarpımı 3, Bundan sonraki sayılar değişmiyor, çünkü ilgisayarımda virgülden sonra ancak altı hane gideiliyorum. Daha sonraki çarpımlar 0, olduğundan ilgisayarım u sayıyı 1 sanıyor. (Bir komutla virgülden sonra istediğim kadar gideilmeliyim, ama komutu ilmiyorum.) Bu formüle Wallis formülü denir. π yi şu formülle de hesaplayailiriz: π 2 /8 = 1/ / / / / Doğanın ir garipliği... π yi hesaplamanın ir aşka yolu da aşağıdaki formülü kullanmaktır: n ( 1) π/4 = + + = , n 0 n 2n 1 2n 1 2n yani
8 π = 4 n ( 1) = n 0 n 2n 1 2n 1 2n Bu seri π ye yukardakilerden çok daha hızlı yakınsar. Örneğin, daha irinci terimde, 4 (6/8 + 2/57 + 1/239) = 43009/ , sayısını uluruz, gerçek π ye oldukça yakın. Bunun kısmi toplamlarını hesaplayalım: İlk 1 terimin toplamı 3, İlk 2 terimin toplamı 3, İlk 3 terimin toplamı 3, İlk 4 terimin toplamı 3, Bilgisayarım undan sonra hep aynı sayıyı veriyor. Bu son formül 1962 yılında Shanks ve Wrench tarafından ulunmuştur 9. π nin virgülden sonra, diyelim 216ıncı rakamını hesaplamak için formüller de vardır. Ama ne yaparsak yapalım, π yi hiçir zaman tam olarak ulamayız, ama π ye (kesirli sayılarla) dilediğimiz kadar yakınsayailiriz. 9 Bknz. Math Comp. 16. cilt, sayfa 76 (1962).
Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n
Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl
ASAL SAYILAR. www.unkapani.com.tr
ASAL SAYILAR ve kendisinden aşka pozitif öleni olmayan den üyük doğal sayılara asal sayı denir.,, 5, 7,,, 7, 9, sayıları irer asal sayıdır. En küçük asal sayı dir. den aşka çift asal sayı yoktur. den aşka
1983 ÖSS. A) x+y+2 B) 2(x+y+2) C) x+y D) 2 E) 4. işleminin sonucu nedir?
98 ÖSS. 0, 0,0 0,0 0,0 0, işleminin sonucu nedir? 7. 0,, işleminin sonucu nedir?,7-0, -9, -9, -9,. +y+ (+y+) +y 7. n ir doğal sayı olmak üzere den n ye kadar olan sayıların toplamı, ten n ye kadar olan
1983 ÖSS. 6. x.y çarpımında her çarpana 2 eklenirse çarpım ne kadar büyür? işleminin sonucu nedir? A) x+y+2 B) 2(x+y+2) C) x+y D) 2 E) 4
198 ÖSS 1. 0,1 0,01 0,04 0,0 0, işleminin sonucu nedir? A) 4 B) 7 C) 15 D) E) 41 6..y çarpımında er çarpana eklenirse çarpım ne kadar üyür? A) +y+ B) (+y+) C) +y D) E) 4. 0,5 11 1, 44 işleminin sonucu
Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin
Bu yazıda hile yapıyorum... Bir yerde bir hata var. Gerçekten Asal Var mı? Ali Nesin K endinden ve birden başka sayıya bölünmeyen a asal denir. Örneğin, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 asal dır. Ama 35 asal
1999 ÖSS-II. 6. Üç basamaklı 4AB sayısı, iki basamaklı BA sayısının 13 katından 7 fazladır. Buna göre, BA sayısı kaçtır? işleminin sonucu. kaçtır?
999 ÖSS-II. 0, 0, kaçtır? 0, 0, 0,4 0,44 işleminin sonuu A) B), C) D) E) 6. Üç asamaklı 4AB sayısı, iki asamaklı BA sayısının katından 7 fazladır. Buna göre, BA sayısı kaçtır? A) 9 B) 5 C) 7 D) 9 E). a,,
Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.
PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin
Sevdiğim Birkaç Soru
Sevdiğim Birkaç Soru Matematikte öyle sorular vardır ki, yanıtı bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman yıllar sonra yanıtın çok basit olduğu anlaşılır. Bir
TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80.
11 ÖLÜM SİZİN İÇİN SÇTİLR LRİMİZ 1 80 0 bir dörtgen = = = m() = 80 m() = 0 Verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? 0 10 0 bir üçgen m() = 0 m() = 10 m() = 0 Yukarıda verilenlere göre, oranı kaçtır?
Bahçe Sorusu Ali Nesin
Bahçe Sorusu Ali Nesin 1. Giriş. Daire biçiminde bir bahçeye, merkezden başlayarak, birer metre aralıklarla yatay ve dikey sıralanmış fidan dikmeyi düşünüyoruz. İşte bahçemizi ve fidanları dikeceğimiz
ÇEMBER KARMA / TEST-1
ÇMR RM / S-... Verilenlere göre, m( ) ) ) 0 ) ) 0 ) Verilenlere göre, m(g ) ) ) ) 6 ) 0 ) 60 0 0 G 0 ) ) ) ) ) 8 L 0 [] [] = {} m( ) = 0 m() = 0 ve üçgenlerinin çevrel çemberi m( ) = 0 m() = 0 m() = üçgen
Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri
Salih Zeki Matematik Araştırma Projeleri PROJENİN ADI: ÖKLİD NE SÖYLER CAUCHY NE ANLAR HAZIRLAYANLAR : AYŞE İREM AKYILDIZ ZEYNEP KOÇYİĞİT ÖZEL BÜYÜKÇEKMECE ÇINAR FEN LİSESİ İSTANBUL-04 Projenin Adı: Öklid
UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR
UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında
6. ABCD dikdörtgeninde
Çokgenler ve örtgenler Test uharrem Şahin. enar sayısı ile köşegen sayısı toplamı olan düzgün çokgenin bir dış açısı kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ). Şekilde dikdörtgeninin içindeki P noktasının üç köşeye
DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-1 TESTİ
ALES Sonahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-1 TESTİ Sınavın u ölümünden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı
Bu tanım aralığı pozitif tam sayılar olan f(n) fonksiyonunun değişim aralığı n= 1, 2, 3,, n,
DİZİLER Tamamen belirli bir kurala göre sıralanmış sayılar topluluğuna veya kümeye Dizi denir. Belirli bir kurala göre birbiri ardınca gelen bu sayıların her birine dizinin terimi ve hepsine birden dizinin
OYAK 27 KASIM 2010 SORULAR
OYAK TÜBİTAK BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 9. OYAK MATEMATİK YARIŞMASI İL BİRİNCİLİĞİ SINAVI ADANA - BALIKESİR - BATMAN - BOLU - DÜZCE HATAY - KAHRAMANMARAŞ - KOCAELİ - MARDİN - ORDU RİZE -
Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
![Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak](/thumbs/17/146647.jpg "Şimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak")
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
PİRAMİT, KONİ VE KÜRENİN ALANLARI
PİRAMİT, KNİ VE KÜRENİN ALANLARI KAZANIMLAR Piramit kavramı Piramitin yüzey alanı Kesik piramitin yüzey alanı Düzgün dörtyüzlü kavramı Piramitin dönme simetri açısı Koni kavramı Koninin yüzey alanı Kesik
9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI
9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler
6. loga log3a log5a log4a. 7. x,y R olmak üzere;
log. 5 5 0 olduğuna göre, değeri kaçtır? A) 5 B) 0 C) 6 8 E) 6. loga loga log5a loga eşitliğini sağlaan a değeri kaçtır? 5 A) 5 5 B) 5 5 C) 5 E) 5. loga logb logc ifadesinin eşiti aşağıdakilerden a c A)
23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI B B B B B B B
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ 23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI ADI SOYADI :... OKUL... ŞEHİR :...SINIF :... İMZA :... SINAV TARİHİ VESAATİ:29 Nisan 2018 - Pazar 10.00-12.30 u sınav 25 sorudan oluşmaktadır
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Sonbahar / Sayısal II / 18 Kasım Matematik Soruları ve Çözümleri
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Sonahar / Sayısal II / 8 Kasım 007 Matematik Soruları ve Çözümleri. + + 0 0³ toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir? A) 000 B) 00 C), D),0
2000 Birinci Aşama Sınav Soruları
2000 irinci şama Sınav Soruları Lise 1 Soruları 1 369 sayısı bir kaç ardışık doğal sayının toplamı olarak kaç farklı biçimde yazılabilir? )2 )3 )4 )5 )7 2 ve sayıları 2000 sayısının pozitif bölenleri olmak
CEVAP ANAHTARI 1-B 2-C 3-C 4-C 5-B 6-E 7-D 8-E 9-C 10-E 11-E 12-A 13-A 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-B 7-D 8-B 9-D 10-E 11-D 12-C
1. BÖLÜM: AÇISAL KAVRAMLAR VE DOĞRUDA AÇILAR 1-B 2-C 3-C 4-C 5-B 6-E 7-D 8-E 9-C 10-E 11-E 12-A 13-A 1-E 2-A 3-E 4-C 5-C 6-C 7-D 8-D 9-D 10-E 11-B 12-C 2. BÖLÜM: ÜÇGENDE AÇILAR 1-A 2-D 3-C 4-D 5-D 6-B
14.12 Oyun Teorisi Ders Notları
1.1 Oyun Teorisi Ders Notları Muhamet Yıldız Ders 17-18 1 Eksik Bilgili Statik Uygulamalar Bu ders notları eksik ilgili ekonomik uygulamalarla ilgilidir. Amacı eksik ilgili statik oyunlarda Bayesyen Nash
Örnek...4 : Özellik 2. w w w. m a t b a z. c o m. Bir (a n) geometrik dizisinin ilk terimi 1/2 ve
GEOMETRİK DİZİ Bir () dizisinin ardışık terimleri arasındaki oranı ayni sabit sayi ise, bu di zi ye geom etrik dizi denir. a n N +, n +1 =r ise, () ortak çarpanı r olan geom etrik dizi dir. Örnek...4 :
ÇEMBERDE AÇILAR. 5. O merkez. 9. AB çap, AE = ED = DC. 6. O merkez. 10. AB çap, DC//AB. 2. O merkez. 7. AB çap. 11. O merkez 3. O merkez 8.
ÇMR ÇILR. merkez. çap, = =. 0 0. merkez 0. çap, //. merkez 0 0. çap K. merkez. merkez 0 0 T 0 0. =. çap 00 0. P teğet, = 0 P . merkez. merkez, =. = = 0 0 0. çap, =. merkezli çeyrek çember. merkez, = 0.
ÖZEL YUNUS GÜNER FEN ve ANADOLU LĐSESĐ MATEMATĐK OLĐMPĐYATI TAKIM SEÇME SINAVI
ÖZEL YUNUS GÜNER FEN ve NDOLU LĐSESĐ MTEMTĐK OLĐMPĐYTI TKIM SEÇME SINVI Süre: 90 dakika ÖĞRENĐNĐN DI SOYDI: SINVL ĐLGĐLĐ UYRILR: u sınav çoktan seçmeli 32 sorudan oluşmaktadır. Her sorunun sadece bir doğru
MAT223 AYRIK MATEMATİK
MAT223 AYRIK MATEMATİK Geometride Kombinatorik 11. Bölüm Emrah Akyar Anadolu Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü, ESKİŞEHİR 2014 2015 Öğretim Yılı Köşegenlerin Arakesiti Geometride Kombinatorik
EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:
EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin
Uygarl klar aras nda bende en çok hayranl k uyand ran Eski
Pisagor ve Say lar Uygarl klar aras nda ende en çok hayranl k uyand ran Eski Yunan uygarl d r. Matematikte, ilimde, felsefede ve sanatta ak l almaz ir düzeye eriflmifllerdir. Ne var ki, sa n n do umunu
23. ULUSAL ANTALYA MATEMATİK OLİMPİYATI SORULARI A A A A A A A
KDENİZ ÜNİVERSİTESİ 23. ULUSL NTLY MTEMTİK OLİMPİYTI SORULRI DI SOYDI :... OKUL... ŞEHİR :...SINIF :... İMZ :... SINV TRİHİ VESTİ:29 Nisan 2018 - Pazar 10.00-12.30 Bu sınav 25 sorudan oluşmaktadır vesınav
PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ
2011 PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ 15.12.2011 ĠÇĠNDEKĠLER ÜNİTE HAKKINDA GENEL BİLGİ... 3 KONULAR... 4 PİRAMİTLER... 4 KARE PİRAMİT... 5 EŞKENAR ÜÇGEN PİRAMİT... 6 DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ... 6 DÜZGÜN
Bu dedi im yaln zca 0,9 say s için de il, 0 la 1 aras ndaki herhangi bir say için geçerlidir:
Yak nsamak B u yaz da, ilerde s k s k kullanaca m z bir olguyu tan mlayaca z ve matemati in en önemli kavramlar ndan birine (limit kavram na) de inece iz. Asl nda okur anlataca m kavram sezgisel olarak
Limit Oyunları. Ufuk Sevim ufuk.sevim@itu.edu.tr 10 Ekim 2012
Limit Oyunları Ufuk Sevim ufuk.sevim@itu.edu.tr 10 Ekim 2012 1 Giriş Limit ve sonsuzluk kavramlarının anlaşılması birçok insan için zor olabilir. Hatta bazı garip örnekler bu anlaşılması zor kavramlar
Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış
ÖZEL DARÜŞŞAFAKA LİSESİ SALİH ZEKİ V. MATEMATİK ARAŞTIRMA PROJELERİ YARIŞMASI Nesbitt Eşitsizliğine Farklı Bir Bakış Muhammed Osman Çorbalı Danışman Öğretmen: Yüksel Demir PROJE RAPORU 2014 PROJENİN AMACI:
MATEMATİK FORMÜLLERİ
MATEMATİK FORMÜLLERİ ÜSLÜ SAYILAR x. a n + y. a n z. a n = (x + y z). a n a m. a n = a m + n a m. b m = (a. b) m a m : a n = a m - n KARE'NİN ALANI: A=a.a (a karenin bir kenarı) DİKDÖRTGEN'İN ALANI: A
NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4
NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer FİZİK İÇİN MATEMATİK tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty --------------------------------------- uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui
Şekil 23.1: Düzlemsel bölgenin alanı
Bölüm Belirli İntegral Şekil.: Düzlemsel bölgenin alanı Düzlemde kare, dikdörtgen, üçgen, çember gibi iyi bilinen geometrik şekillerin alanlarını bulmak için uygun formüller kullanıyoruz. Ama, uygulamada
3. Ünsal Tülbentçi Matematik Yarışması Mayıs 2014 8.Sınıf Sayfa 1
. Alanı 36 5 olan bir ABC ikizkenar üçgeninde ==2 ise bu üçgende B den AC ye inilen dikmenin ayağının C noktasına olan uzaklığı nedir? ) 2,8) 3) 3,2 ) 3,7 ) 4, 2. Ayrıt uzunlukları 4, 0 ve 4 5 olan dikdörtgenler
Bu e-kitabın her hakkı saklıdır. Tüm hakları Ali Selim YAMAN a aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz.metin, biçim ve sorular elektronik, mekanik,
Bu e-kitabın her hakkı saklıdır. Tüm hakları Ali Selim YAMAN a aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz.metin, biçim ve sorular elektronik, mekanik, fotokopi ya da herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılamaz,
Yoksulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin
Yosulun Kazanabildiği Bir Oyun Ali Nesin B u yazıda yosulu azandıracağız. Küçü bir olasılıla da olsa, yosul azanabilece. Oyunu açılamadan önce, Sonlu Oyunlar adlı yazımızdai oyunu anımsayalım: İi oyuncu
TEST. Çemberde Açılar. 1. Yandaki. 4. Yandaki saat şekildeki. 2. Yandaki O merkezli. 5. Yandaki O merkezli. 6. Yandaki. O merkezli çemberde %
Çemberde çılar 7. Sınıf Matematik Soru ankası 58. Yandaki merkezli s ( ) = 50c 4. Yandaki saat şekildeki gibi 04.00 ı gösterdiğinde akrep ile yelkovan arasında oluşan x açısı kaç derecedir? ' olduğuna
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar 61. y = 2 in grafiğinin büzülmesiyle de elde
DERS 4 Üstel ve Logaritmik Fonksionlar, Bileşik Faiz 4.. Üstel Fonksionlar. > 0, olmak üzere fonksiona taanında üstel fonksion denir. f = ( ) denklemi ile tanımlanan gösterimi ile ilgili olarak, okuucunun
İLKÖĞRETİM MTEMTİK ÖĞRETMENLERİ ZÜMRESİ WWW.GRETMENFRUMU.M YKLŞN SINV KRKUYU SEVİNE ÖNÜŞTÜREN GRUP UNUTMYIN SİZLER İÇİN İZ HERŞEYE HZIRIZ! Sadece MTEMTİK Öğretmenlerine Özel Grubumuz www.facebook.com/groups/ilkmatzum
SAYILAR ( ) MATEMATİK KAF01 RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI TEMEL KAVRAM 01. Sayıları ifade etmeye yarayan
SAYILAR RAKAM VE DOĞAL SAYI KAVRAMI MATEMATİK KAF01 TEMEL KAVRAM 01 Sayıları ifade etmeye yarayan { 0,1,, 3, i i i,9} kümesindeki semollere onluk sayma düzeninde rakam denir. N =... kümesinin elemanlarına
LYS Y ĞRU MTMTİK TSTİ. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.., y reel sayılar
SINIF TEST. Üslü Sayılar A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 A) - 5 B) - 4 C) 5 D) 7. sayısı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
8. SINIF. Üslü Sayılar - = T olduğuna göre T kaçtır? A) - B) - C) D) 7 TEST.. 0 - işleminin sonucu kaç basamaklı bir sayıdır? A) B) C) 6 D) 7. n =- 7 için n ifadesinin değeri kaçtır? A) - 8 B) - C) 8 D)
çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1
. merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin
GEOMETRİ SORU BANKASI KİTABI
LİSE ÖĞRENCİLERİNİN ÜNİVERSİTE SINAVLARINA HAZIRLANMALARI İÇİN GEOMETRİ SORU BANKASI KİTABI HAZIRLAYAN Erol GEDİKLİ Matematik Öğretmeni SUNUŞ Sevgili öğrenciler! Bu kitap; hazırlandığınız üniversite sınavlarında,
Develerle Eşekler Ali Nesin
Develerle Eşekler Ali Nesin MATEMATİĞE GİRİŞ Matematik 101 dersindesiniz, ilk dersiniz, birinci gününüz... Hiç matematik bilmediğinizi varsayıyor hocanız... Kümelerden başlayacaksınız matematiğe... İlk
2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır?
014 LYS GOMTRİ 1. y 1 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? parabolü ile. O merkezli çeyrek çemberde O deltoid olduğuna göre, taralı alan kaç birim karedir? O. d:y a b doğrusu -ekseni
MATEMATİK TESTİ LYS YE DOĞRU. 1. Bu testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 0 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 7 dakikadır.. a, b, c birer reel sayı
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal I / 10 Mayıs 2009 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. ( 2 1). 2+ 1 1 2 1 işleminin sonucu kaçtır? A) 1 B) 2 C) 4 D) 2 2 E)
4. Şekil 1'deki ABCD karesi şeklindeki karton E ve F orta
airede lan - 1. sım çevre uzunluğu 0 birim olan kare biçimindeki kağıdın üzerine, merkezleri bu kağıdın köşelerinde yer alan ve birbirine teğet olan dört çeyrek daireyi şekildeki gibi belirliyor. Sonra
YGS GEOMETRİ DENEME 1
YGS GTİ 1 G 1) G ) şağıdaki adımlar takip edilerek geometrik çizim yapıl- bir üçgen mak isteniyor = = m() = 7 o = 9 cm, = 1 cm, m() = 90 olacak şekilde dik üçgeni çiziliyor = eşitliğini sağlayan Î [] noktası
PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL NAİLE ÇOLAK
KESİN PROJE RAPORU PROJENİN ADI: ÜÇGENİN ELEMANLARI ARASINDAKİ SİMETRİK FONKSİYONLAR PROJEYİ HAZIRLAYANLAR YUSUFHAN BAŞER BERKE SERTEL OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR FEN LİSESİ Ataköy 9.-10. Kısım, 34156
Cevap : B. Cevap : D Not : a b a b a. Cevap: C
07 KPSS GY-GK MATEMATİK SORULARI VE ÇÖZÜMLERİ (ÖSYM-.05.07) 7 7 7 4 9 4 9 4 9 0 5 5 5 6 6 6 5 9 0 4 9 5 6 5 5 5 6 6 buluruz. 5 9. 4. 4.0 0 5 0 0 5 5 0 5 5. 5 5 5 buluruz. 5 Cevap : Cevap : D Not : a b
fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki olsun. Fonksiyonda meydana gelen artma miktarı
10.1 Türev Kavramı fonksiyonu için in aralığındaki bütün değerleri için sürekli olsun. in bu aralıktaki bir değerine kadar bir artma verildiğinde varılan x = x 0 + noktasında fonksiyonun değeri olsun.
b b b b b b b b b b b b b b
1 Doğal Sayılar Sayı Örüntüleri Doğal Sayılarla Toplama İşlemi ve Prolemleri Doğal Sayılarla Çıkarma İşlemi ve Prolemleri Zihinden Toplama ve Çıkarma İşlemleri, Tahmin Etme Doğal Sayılarla Çarpma İşlemi
YILLAR 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 ÖSS-YGS
YILLAR 6 7 8 ÖSS-YGS - - / /LYS ONDALIK SAYILAR Paydası ve un pozitif kuvveti şeklinde olan veya u şekle dönüştürüleilen kesirlere ondalık kesir(ondalık sayı) denir 7,,,,,7 6 (,6)gii 8 8 NOT: ondalık sayıların
AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası
AKSARAY Mesleki E ğitim Merkezi Matematik ve Meslek Matematiği Soru Bankası SORU 1 525 + 2834 + 379 toplama işlemini alt alta yazarak yapınız. 525 2834 +379 3738 SORU 2 Manavdan kilogramı 4 TL olan armut
GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T
ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir.
Temel Kavramlar 1 Doğal sayılar: N = {0, 1, 2, 3,.,n, n+1,..} kümesinin her bir elamanına doğal sayı denir ve N ile gösterilir. a) Pozitif doğal sayılar: Sıfır olmayan doğal sayılar kümesine Pozitif Doğal
LYS YE DOĞRU MATEMATİK TESTİ
MTMTİK TSTİ LYS-. u testte Matematik ile ilgili 50 soru vardır.. evaplarınızı, cevap kâğıdının Matematik Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.. u testteki süreniz 75 dakikadır.. a, b ve c birer rakam
PROJENİN ADI NAPOLEON TEOREMİNİN DİKDÖRTGENE UYGULANMASI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ECEM OBUROĞLU, PELİN ÖZKAN OKUL ADI VE ADRESİ
PROJENİN ADI NAPOLEON TEOREMİNİN DİKDÖRTGENE UYGULANMASI PROJEYİ HAZIRLAYANLAR ECEM OBUROĞLU, PELİN ÖZKAN OKUL ADI VE ADRESİ ÖZEL KÜLTÜR LİSESİ Ataköy 9.-10. Kısım,34156 Bakırköy-İstanbul DANIŞMAN ÖĞRETMEN
8. SINIF ESLiK ve BENZERLiK
0 8. SINI SLiK ve NZRLiK şlik: Karşılıklı açılar ve kenar uzunlukları eşit olmalı. Sembolleri enzerlik: Karşılıklı açılar eşit, karşılıklı kenarlar orantılı olmalı. Sembolleri ~ veya olduğuna göre verilmeyen
1. adım: Masaya ilk kitabı öyle yerleştirelim ki sağ kenarı sıfırda olsun. Böylece kitabın ağırlık merkezi -1 de olacaktır.
Eğik Kule 1983 yılında Leslie Scott oyunlar dünyamıza Jenga adıyla yeni bir oyun kazandırdı. Jenga, genişlikleri, uzunlukları ve yükseklikleri birbirinin aynı olan n tane tahta parçası ile oynanır. Parçalar,
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
. K. AÇI I ve UZUNLUK 5. C. e k s TR e m. m(cab)= 5x, m(acd)= 3x, m(abe)= 2x. O merkezli çemberde m(bac)= 75º . O ? F 75º
Geometri Çözmek ir yrıcal calıkt ktır ÇI I ve UZUNLUK 1? m()=, m()=, m()= 7º merkezli çemberde m()= 7º Verilenlere göre açısının ölçüsü kaç derecedir? ) 10 ) 1 ) 10 ) 1 ) 17 Verilenlere göre açısının ölçüsü
MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ
1 MAKSİMUM-MİNİMUM PROBLEMLERİ En büyük veya en küçük olması istenen değer (uzunluk, alan, hacim, vb.) tek değişkene bağlı bir fonksiyon olacak şekilde düzenlenir. Bu fonksiyonun türevinden ekstremum noktasının
7 ile 10 arasında 3 tam sayı aralık var. 6 parçaya bölünüyorsa her bir parça. dir.
018 LİSELERE GEÇİŞ SINAVI MATEMATİK SORULARININ ÇÖZÜMLERİ 7 ile 10 arasında 3 tam sayı aralık var. 6 parçaya bölünüyorsa her bir parça 3 1 dir. 6 Çizilecek dikdörtgenin kenarları a ve b olsun. Bu dikdörtgen
14 Nisan 2012 Cumartesi,
TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI - 2012 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü A 14 Nisan 2012 Cumartesi,
Mustafa YAĞCI, Parabol ile Eğrilerin Kesişimi
www.mustafaagci.com.tr, 11 Ceir Notları Mustafa YAĞCI, agcimustafa@ahoo.com Paraol ile Eğrilerin Kesişimi P araol İle Doğrunun Birirlerine Göre Durumları. Aslında sadece paraol ve doğru çifti için değil,
14 Nisan 2012 Cumartesi,
TÜRKİYE BİLİMSEL VE TEKNOLOJİK ARAŞTIRMA KURUMU BİLİM İNSANI DESTEKLEME DAİRE BAŞKANLIĞI 17. ULUSAL İLKÖĞRETİM MATEMATİK OLİMPİYATI - 2012 BİRİNCİ AŞAMA SINAVI Soru kitapçığı türü B 14 Nisan 2012 Cumartesi,
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM. 4.1. Aritmetik işlemler
DÖRDÜNCÜ BÖLÜM 4.1. Aritmetik işlemler Bu bölümde öğrencilerin lisede bildikleri aritmetik işlemleri hatırlatacağız. Bütün öğrencilerin en azından tamsayıların toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini
1- Matematik ve Geometri
GEOMETRİ ÖĞRETİMİ 1- Matematik ve Geometri Matematik ve Geometri Bir çok matematikçi ve matematik eğitimcisi matematiği «cisimler, şekiller ve sembollerle ilişkiler ve desenler inşa etme etkinliği» olarak
İç-Çarpım Uzayları ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN
İç-Çarpım Uzayları Yazar Öğr. Grv. Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; R n, P n (R), M nxn vektör uzaylarında iç çarpım kavramını tanıyacak ve özelliklerini görmüş olacaksınız.
için doğrudur. olmak üzere tüm r mertebeli gruplar için lemma nın doğru olduğunu kabul edelim. G grubunun mertebesi n olsun. ve olsun.
11. Cauchy Teoremi ve p-gruplar Bu bölümde Lagrange teoreminin tersinin doğru olduğu bir özel durumu inceleyeceğiz. Bu teorem Cauchy tarafından ispatlanmıştır. İlk olarak bu teoremi sonlu değişmeli gruplar
OLİMPİK GEOMETRİ ALTIN NOKTA YAYINEVİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK ÖMER GÜRLÜ KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ
OLİMPİK GEOMETRİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ İZMİR - 2014 İÇİNDEKİLER 1. TEMEL ÇİZİMLER... 7 2. ÜÇGENLER... 21 (Üçgende Açılar, Üçgende
T.C. MİLLÎ EĞİTİM BAKANLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINAV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4
T.. MİLLÎ EĞİTİM AKANLIĞI 015-016 8.SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4 015-016 8.SINIF DEĞERLENDİRME SINAVI - 4 MATEMATİK Adı ve Soyadı :... Sınıfı :... Öğrenci Numarası :... SORU SAYISI : 0 SINAV SÜRESİ :
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi
T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının
BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM
ÖZEL EGE LİSESİ BİR SAYININ ÖZÜ VE DÖRT İŞLEM HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Sıla Avar DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem Günel İZMİR 2012 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI.. 3 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM. 3 4. ÖN BİLGİLER... 3 5.
4.3. Türev ile İlgili Teoremler
4.. Türev ile İlgili Teoremler Bu kesimde ortalama değer teoremini vereceğiz. Ortalama değer teoremini ispatlarken kullanılacak olan Fermat teoremini ve diğer bazı teoremleri ispat edeceğiz. 4...Teorem
1994 ÖYS. 6. x, y, z sıfırdan büyük birer tam sayı ve 2x+3y-z=94 olduğuna göre, x in en küçük değeri kaçtır?
99 ÖYS. Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı değiştirildiğinde oluşan yeni sayı, abc sayısından 97 küçüktür. Buna göre, abc sayısının yüzler basamağı kaçtır?.,
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994. Matematik Soruları ve Çözümleri = 43. olduğuna göre a kaçtır?
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 17 Nisan 1994 Matematik Soruları ve Çözümleri 4.10 +.10 1. 4 10 4 işleminin sonucu kaçtır? A) 0,4 B) 4, C) 4 D) 40 E) 400 Çözüm 1 4.10 +.10 4 10 4 4.10 +.10 10 1+ 1 = 4 4 (40+
KANUNLAR : Bir iletkenin iki ucu arasındaki potansiyel farkının,iletkenden geçen akım şiddetine oranı sabittir.
KANUNLAR : Elektrik ve elektronikle ilgili konuları daha iyi anlayabilmek için, biraz hesap biraz da kanun bilgisine ihtiyaç vardır. Tabii bunlar o kadar zor hasaplar değil, yalnızca Aritmetik düzeyinde
DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI
![DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI](/thumbs/65/52464044.jpg "DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI")
DİK ÜÇGEN Bir açısının ölçüsü 90 olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde,
10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI
10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI KONULAR HACİM VE HACİM ÖLÇÜLERİ KAVRAMI HACİM ÖLÇÜLERİ BİRİMLERİ 1. Metreküpün Katları As Katları 2. Birimlerin
2003 ÖSS Soruları. işleminin sonucu kaçtır? ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? A) 1 B) 7 C) 9 D) 11 E) 21
00 ÖSS Soruları,, 0,0. + + 0, 0, 0,00 işleminin sonucu kaçtır? ) ) 7 ) 9 ) ). ( y )( + y+ y ) ( y) c + m y ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir? ) y ) + y ) y y + y ) ) + y y. (0,
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 19 Nisan Matematik Soruları ve Çözümleri
Öğrenci Seçme Sınavı (Öss) / 9 Nisan 99 Matematik Soruları ve Çözümleri. Üç basamaklı bir sayının iki basamaklı bir sayıyla çarpımı en az kaç basamaklı bir sayı olur? A) B) C) D) 6 E) 7 Çözüm I. Yol basamaklı
İSTANBUL ATATÜRK FEN LİSESİ MATEMATİK YARIŞMASI /03/ :00 12:00
İSTANBUL ATATÜRK FEN LİSESİ MATEMATİK YARIŞMASI 2018 25/03/2018-10:00 12:00 Öğrencinin Adı Soyadı: Okulu / Sınıfı : Lütfen tüm bilgileri doğru bir şekilde yazınız. Sınav sonunda kitapçık salon görevlisine
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 0 Mayıs 009 Matematik Soruları ve Çözümleri. ( ) 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6 Çözüm ( ) 4 ( ) 4 4 6.
V =, (V = hacim, m = kütle, d = özkütle) Bu bağıntı V = olarak da yazılabilir G: ağırlık (yerçekimi kuvveti) G = mg p = özgül ağırlık p = dg dir.
Geometrik Cisimlerin Hacimleri Uzayda yer kaplayan (üç boyutlu) nesnelere cisim denir. Düzgün geometrik cisimlerin hacimleri bağıntılar yardımıyla bulunur. Eğer cisim düzgün değilse cismin hacmi cismin
yaz -tura at yor. Yaz gelirse birinci oyuncu, tura gelirse ikinci oyuncu kazanacak. Birinci oyuncu oyunun bafl nda ortaya 1 lira koyuyor.
Sonlu Oyunlar B u kitapta s k s k oyunlar konu edece iz. Oyunlar sonlu ve sonsuz oyunlar diye ikiye ay raca z. Sonsuz oyunlar da ilerde ikiye ay raca z: Uygulamada sonsuza dek sürebilen ve süremeyen oyunlar.
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 10 Mayıs Matematik Soruları ve Çözümleri
Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 0 Mayıs 009 Matematik Soruları ve Çözümleri. ( ) 4 işleminin sonucu kaçtır? A) B) C) 4 D) E) 6 Çözüm ( ) 4 ( ) 4 4 6.