GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Ebat: px
Şu sayfadan göstermeyi başlat:

Download "GEOMETR 7 ÜN TE II P RAM T"

Transkript

1 ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI. DÜZGÜN P RAM T a. Tan m b. Düzgün Piramidin Özelikleri. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan b. Düzgün Piramidin Alan 4. P RAM D N HACM 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ a. Tan m b. Düzgün Dörtyüzlünün Özelikleri c. Düzgün Dörtyüzlünün Yan Yüz Yüksekli i ç. Düzgün Dörtyüzlünün Cisim Yüksekli i d. Düzgün Dörtyüzlünün Alan e. Düzgün Dörtyüzlünün Hacmi 6. DÜZGÜN SEK ZYÜZLÜ a. Tan m b. Düzgün Sekizyüzlünün Özelikleri c. Düzgün Sekizyüzlünün Alan ç. Düzgün Sekizyüzlünün Hacmi 7. KES K P RAM T a. Tan m b. Düzgün Kesik Piramit c. Düzgün Kesik Piramidin Özelikleri ç. Düzgün Kesik Piramidin Alan d. Kesik Piramidin Hacmi 8. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖZET ALIfiTIRMALAR TEST II

2 BU ÜN TEN N AMAÇLARI Bu üniteyi çal flt n zda; * Piramitlerin tan m n, nas l meydana geldi ini ve bunlar aras ndaki iliflkiyi kavraya bilecek, * Düzgün piramidin tan m n ve özeliklerini ö renebilecek, * Düzgün olmayan piramit ile düzgün piramidin alan na ait teoremleri ve bu teoremlere ait uygulamalar n nas l yap ld n kavrayabilecek, * Piramidin hacmine ait teoremi ve bu teoreme ait uygulamalar n nas l yap ld n kavrayabilecek, * Düzgün dörtyüzlünün tan m n, özeliklerini, bunlara ait uygulamalar n nas l yap ld n kavrayabilecek, * Düzgün sekizyüzlünün tan m n, özeliklerini, alan ve hacminin nas l hesaplaya bilece ini ve bunlara ait uygulamalar n nas l yap ld n kavrayabilecek, * Kesik piramidin tan m n, özeliklerini alan ve hacminin nas l bulunabilece ini ve bunlara ait uygulamalar n nas l yap ld n ö renebileceksiniz. NASIL ÇALIfiMALIYIZ? * Örnek sorular dikkatle okuyunuz. Kitaba bakmadan çözmeye çal fl n z. * Bu konular ile ilgili Matematik kitaplar ndan yararlan n z. * Konular anlamadan bir baflka konuya geçmeyiniz. * Her bölümün sonunda verilen al flt rma ve de erlendirme sorular n çözünüz. * Test sorular ile kendinizi deneyiniz. Baflar s z iseniz, baflar s z oldu unuz bölümleri tekrar gözden geçiriniz. 4

3 ÜN TE II P RAM T 1. P RAM TLER N TANIMI Bir ABCDE düzlemsel çokgen ve bu çokgensel bölgenin içinde bulundu u P düzleminin d fl ndaki sabit bir T noktas ile, ABCDE çokgensel bölgenin kenarlar üzerindeki noktalardan geçen do rular n oluflturdu u yüzeye piramidal yüzey, çokgensel bölgenin s n rlad cisme de, piramit denir. (fiekil.1) de, ABCDE çokgensel böl-geye piramidin taban, T noktas na piramidin tepe noktas denir. fiekil.1 [TA], [TB], [TC], [TD], [TE] do ru parçalar na piramidin yan ayr tlar, TAB, TBC, TCD, TDE, TEA üçgensel bölgelerine de, piramidin yan yüzleri denir. T tepe noktas ndan, P taban düzlemine indirilen [TH] dikmeye piramidin yüksekli i, bir yan yüzdeki üçgenin tepe noktas ndan kendi taban ayr t na ait [TF] yüksekli ine, bu yan yüze ait yüksekli i denir. Düzgün olmayan piramitlerde, yan ayr tlar n n uzunluklar eflit de ildir. Ayn zamanda da taban düzgün çokgen de ildir. Piramitler taban n oluflturan çokgenin kenar say s na göre adland r l r. Üçgen piramit, dörtgen piramit, beflgen piramit gibi. Piramidin tepe noktas T ve tabandaki çokgen ABCDE ise, (T, ABCDE) fleklinde ifade edilir. 5

4 . DÜZGÜN P RAM T a. Tan m Taban düzgün çokgen olan ve yükseklik aya taban merkezinde bulunan piramide, düzgün piramit denir. (fiekil.) de, bir düzgün alt gen piramit görülmektedir. fiekil. b. Düzgün Piramidin Özelikleri 1. Bir düzgün piramidin yan yüzleri birbirine efl, ikizkenar üçgenlerden oluflur.. Bir düzgün piramidin yan ayr t-lar n n uzunluklar eflittir.. Bir düzgün piramitte, yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar eflittir. Buna düzgün piramidin apotemi denir. 4. Bir düzgün piramidin taban düzgün çokgen oldu undan, taban n çevrel ve iç te et çemberleri vard r. ÖRNEK.1 Bir düzgün alt gen piramidin taban ayr t n n uzunlu u cm ve yan yüz yüksekli i 5 cm oldu una göre, bu piramidin yüksekli ini bulal m. ÇÖZÜM (fiekil.) deki bir düzgün alt gen piramitin taban düzgün alt gen oldu undan, HCD üçgeni eflkenard r. 6

5 fiekil. Eflkenar üçgenin bir kenar n n uzunlu u a = cm oldu undan, bu üçgenin yüksekli i, HG = a =. Piramidin yan yüz yüksekli i TG = 5 cm dir. = cm dir. TH HG oldu undan, THG üçgeni bir dik üçgendir. Bu dik üçgende pisagor teoremine göre, TH = TG - HG dir. Verilen de erler yerine uygulan rsa, TH = 5 - = 5-9 = 16 ise, TH = 4 cm dir. Piramidin yüksekli i: h = TH = 4 cm olur.. P RAM D N ALANI a. Düzgün Olmayan Piramidin Alan Bir piramit düzgün piramit de ilse, yan yüzleri farkl üçgenler olaca ndan, yan yüzlere ait yükseklikler de farkl olacakt r. Piramidin tüm alan n bulmak için, her yan yüzün alan ayr ayr hesaplan r. Taban alan da hesaplanarak piramidin tüm alan bulunur. O halde, düzgün olmayan bir piramidin tüm alan, taban alan ile yanal alan n n toplam na eflittir. Taban alan G ve yanal alan Y olan piramidin tüm alan, S = G+Y dir. 7

6 ÖRNEK. Taban kare olan bir piramidin tepesi, karenin bir köflesinden kare düzlemine ç k lan dikme üzerindedir. Karenin bir kenar n n uzunlu u 1 cm, piramidin yüksekli i 5 cm oldu una göre, bu piramidin tüm alan n bulal m. ÇÖZÜM ( T, ABCD) kare piramidinde taban n bir kenar n n uzunlu u a = 1 cm ve yüksekli i TD = 5 cm dir. Piramidin her yanal yüzünün dik üçgen oldu u, (fiekil, 4) de görülmektedir. fiekil.4 Bir dik üçgenlerde, dik kenar uzunluklar eflit olan üçgenlerin alanlar da eflit olaca ndan, Δ Δ Δ Δ A(TAD) = A (TDC) ve A(TAB) = A(TBC) dir. TDC dik üçgeninde pisagor teoremine göre, TC =TD + DC ifadesinde, de erler yerlerine yaz l rsa, TC = = = 169 ise, TC = 1 cm dir. Buna göre, kare piramidin; Yanal alan: Y = Y = = 16 cm dir. Taban alan : G = a = 1 = 144 cm dir. 8 Tüm alan : S = G+Y = = 60 cm olur.

7 b. Düzgün Piramidin Alan Teorem: Düzgün piramidin yanal alan, taban çevresi ile yan yüz yüksekli inin çarp m n n yar s na eflittir. fiekil.5 s p a t : (fiekil. 5) de, düzgün bir kare piramit, (fiekil. 6) da, düzgün kare piramidin aç k flekli görülmektedir. fiekil.6 ( T, ABCD) piramidinin yanal alan Y, taban ayr t n n uzunlu u a, yan yüz yüksekli i h ve taban çevresi Ç olsun. Yan yüzler dört tane efl ikizkenar üçgenlerdir. Ç = 4a oldu undan, düzgün kare piramidin yanal alan, Y = 4 a.h h = 4a. = 1 Ç. h olur. 9

8 Bu teoreme göre, afla daki ifadeleri söyleyebiliriz. 1. Bir düzgün piramidin tüm alan, taban alan ile yanal alan n toplam na eflittir. S = G+Y dir.. Bir düzgün piramidin taban çevresi ile yan yüz yüksekli inin çarp m yanal alan n iki kat na eflittir. Y = Ç. h. Bir düzgün piramidin taban ndaki düzgün çokgen n kenarl ise, yanal alan, taban çevresi ile, yan yüz yüksekli inin çarp m n n yar s na eflittir. Y = n ah = na. h = 1 Ç. h ÖRNEK. Taban n bir kenar n n uzunlu u 10 cm ve yüksekli i 1 cm olan, düzgün kare piramidin tüm alan n bulal m. fiekil.7 ÇÖZÜM Verilen düzgün kare piramidin taban n bir kenar uzunlu u a =10 cm ve yüksekli i h = 1 cm dir. (fiekil. 7) deki düzgün kare piramitte, [TH] ^ [HE] ve HE = h = [TE] yan yüksekli ini bulmak için, THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre, AB dir. 40

9 TE = TH + HE ifadesinden, TE = = = 169 ise, TE = 1 cm dir. Düzgün kare piramidin; Taban çevresi : Ç = 4. a = = 40 cm dir. Yanal alan : Y = Ç. h = = 50 = 60 cm dir. Taban alan : G = a = 10 = 100 cm dir. Tüm alan : A = G + Y = = 60 cm olur. 4. P RAM D N HACM Teorem: Bir piramidin hacmi, taban alan ile yüksekli inin çarp m n n üçte birine eflittir. spat: (T, ABC) piramidin taban ABC üçgeni olsun. Piramidin, Taban alan G ve yüksekil i h olsun. Bu piramidi, ayn taban ve yükseklikte olan prizmaya tamamlayal m (fiekil. 8). fiekil.8 ABC ve ETD tabanlar efl ve yükseklikleri de ayn oldu undan elde edilen prizma, (A, TDE), (T, ABC), (C, ETD) efl hacimli piramitlerden oluflmaktad r. O halde, (T, ABC) piramidin hacmi, üçgen prizman n hacminin üçte birine eflit olur. V = 1 G. h d r. 41

10 Bu teoreme göre, afla daki ifadeleri söyleyebiliriz. 1. Piramidin taban herhangi bir çokgen olsun. Bu durumlarda da bütün piramitlerin hacimleri, taban alan ile yüksekli in çarp m n n üçte birine eflittir. V = 1 G. h d r.. Taban alanlar ve yükseklikleri eflit olan piramitlerin hacimleri de eflittir. ÖRNEK. 4 Taban ayr t n n uzunlu u 6 cm ve yüksekli i 8 cm olan kare dik piramidin hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen kare dik piramitte taban ayr t n n uzunlu u a = 6 cm ve yüksekli i h = 8 cm oldu undan, Piramidin taban alan : G = a = 6 = 6 cm dir. Piramidin hacmi: V = 1 G. h = = 1. 8 = 96 cm olur. 5. DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ a. Tan m Bütün ayr t da ayn uzunlukta olan üçgen piramide, düzgün dörtyüzlü denir. Bir düzgün dörtyüzlünün istedi imiz yüzeyini taban olarak ald m zda, yine ayn düzgün dörtyüzlü olur (fiekil.9). fiekil.9 4

11 b. Düzgün Döryüzlünün Özelikleri 1. Düzgün dörtyüzlünün bütün yüzleri birbirine efl olan, eflkenar üçgenlerdir.. Düzgün dörtyüzlünün yükseklik aya, tabandaki eflkenar üçgenin a rl k merkezidir. c. Düzgün Dörtyüzlünün Yan Yüz Yüksekli i Bir kenar n n uzunlu u a birim olan bir eflkenar üçgenin yüksekli i, h = a br dir. (fiekil.10) da, bir düzgün dörtyüzlünün bütün yüzleri eflkenar üçgen oldu undan, yan yüz yüsekli i, AE = h = a birim olur. ç. Düzgün Dörtyüzlünün Cisim Yüksekli i Düzgün dörtyüzlünün taban BCD eflkenar üçgeni olsun. H noktas hem BCD eflkenar üçgenin a rl k merkezi, hem de cisim yüksekli linin aya d r (fiekil.10) fiekil.10 Buna göre, EH = 1 DE = 1 a = a 6 AEH dik üçgeninde pisagor teoremine göre, br dir. AH = AE - EH oldu undan, AH = a AH = a a 6 = 7a 6 - a 6 = 4a 6 = a ise, - a 6 ; AH = h = a = a 6 birim olur. 4

12 d. Düzgün Dörtyüzlünün Alan Bir düzgün dörtyüzlünün alan, dört eflkenar üçgenin alanlar toplam na eflit olaca ndan, S = 8. a 4 =. a = a birimkaredir. e. Düzgün Dörtyüzlünün Hacmi Bir piramidin hacmi, taban n n alan ile yüksekli inin çarp m n n üçte birine eflit olaca ndan, düzgün dörtyüzlünün hacmi; V = 1 G. h ifadesinden, V = 1 a 4. a 6 Bu ifadeyi sadelefltirirsek, V = a.. 1 = a 1 = 1. a 18 1 birimküp olur. ÖRNEK. 5 Bir ayr t n n uzunlu u 6 cm olan düzgün dörtyüzlünün, a. Yan yüz yüksekli ini, b. Cisim yüksekli ini, c. Alan n, ç. Hacmini bulal m. ÇÖZÜM Bir ayr t n n uzunlu u, a = 6 cm dir. Verilen düzgün dörtyüzlünün, a. Yan yüz yüksekli i: h = a b. Cisim yüksekli i: h = a 6 ifadesinden, h = 6 ifadesinden, h = 6 6 c. Alan : S = a ifadesinden, S = 6 = 6 cm dir. = cm dir. = 6 cm dir. ç. Hacmi: V = a 1 ifadesinden, V = 6 1 = 16 1 = 18 cm dür. 6. DÜZGÜN SEK ZYÜZLÜ a. Tan m Bütün ayr tlar n n uzunluklar a birim olan iki kare piramidin tabanlar n n birleflmesi ile oluflan cisme, düzgün sekizyüzlü denir (fiekil.11). 44

13 fiekil.11 b. Düzgün Sekizyüzlünün Özelikleri 1. Düzgün sekizyüzlünün tüm yüzleri, birbirine efl olan eflkenar üçgenlerdir.. Düzgün sekizyüzlünün sekiz tane yan yüzü vard r.. Düzgün sekizyüzlünün birbirine eflit ve ikifler ikifler dik olan üç köflegeni vard r. 4. Köflegenler birbirini orta noktalar nda keser. Bu H noktas na, düzgün sekizyüzlünün merkezi denir. c. Düzgün Sekizyüzlünün Alan Tüm ayr tlar n n uzunluklar a birim olan düzgün sekizyüzlünün alan, bir kenar n n uzunlu u a birim olan sekiz tane eflkenar üçgenden oluflur. Bu alan bulmak için, S = 8. a 4 =. a = a birimkaredir. ÖRNEK. 6 Bir ayr t n n uzunlu u 5 cm olan düzgün sekizyüzlünün alan n bulal m. ÇÖZÜM Bir ayr t n n uzunlu u, a = 5 cm dir. Düzgün sekizyüzlünün alan : S = a ifadesinden, S =. 5 = 50 cm olur. 45

14 ç. Düzgün Sekizyüzlünün Hacmi Düzgün sekizyüzlünün hacmi, taban ABCD kare ve tepesi T noktas olan piramidin, hacminin iki kat d r (fiekil.11). fiekil.11 (T, ABCD) piramidin hacmi : V 1 = 1 G. h ifadesinden, V 1 = 1 a. a = a 6 birimküptür. Düzgün sekizyüzlünün hacmi: V = V 1 = a 6 = a birimküptür. ÖRNEK. 7 Bir ayr t n n uzunlu u 9 cm olan düzgün sekizyüzlünün hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen düzgün sekizyüzlünün bir ayr t n n uzunlu u, a = 9 cm d r. Düzgün sekizyüzlünün hacmi: V = a V = 9 ifadesinden, = 79 = 4 cm olur. 46

15 7. KES K P RAM T a. Tan m Bir piramit taban na paralel bir düzlemle kesilirse, kesit düzlemi ile piramidin taban aras nda kalan cisme, kesik piramit denir. (fiekil.1) deki piramidin taban olan ABCD çokgenine, kesik piramidin alt taban, kesit düzlemle ara kesiti olan A B C D çokgenine, kesik piramidin üst taban d r. Alt tabanla üst taban, birbirine benzer olan çokgenlerdir. Kesik piramidin iki taban aras ndaki HH uzakl na, kesik piramidin yüksekli i denir. [AA ], [BB ], [CC ], [DD ] do ru parçalar na yan ayr tlar, yan yüzlerdeki yamuklara, yan yüzler ve bu yamuklar n yüksekli ine de, yan yüz yüksekli i denir. fiekil.1 b. Düzgün Kesik Piramit Düzgün bir piramidin taban na paralel bir düzlemle kesilmesinden elde edilen kesik piramide, düzgün kesik piramit denir. c. Düzgün Kesik Piramidin Özelikleri 1. Düzgün kesik piramitte, alt tabanla üst taban, kenar say lar ayn olan benzer iki düzgün çokgendir.. Düzgün kesik piramitte, yan yüzler birbirine efl olan ikizkenar yamuklard r.. Düzgün kesik piramitte, yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar birbirine eflittir. 4. Düzgün kesik piramitte, tabanlar n a rl k merkezlerini birlefltiren do ru parças tabanlara diktir. Uzunlu u kesik piramidin yüksekli ine eflittir. 47

16 fiekil.1 ç. Düzgün Kesik Piramidin Alan Teorem: Bir düzgün kesik piramidin yanal alan, alt ve üst tabanlar n n çevreleri toplam n n yar s ile, yan yüz yüksekli inin çarp m na eflittir. Y = n a + a h = 1 na + na h = 1 Ç + Ç h olur. spat: Düzgün kesik piramitte, tabanlar düzgün çokgen ve yan yüzler, birbirine efl olan ikizkenar yamuktur. Düzgün kesik piramidin alt taban ayr t n n uzunlu u a birim, üst taban ayr t n n uzunlu u a birim ve yan yüzü olan ikizkenar yamu un yüksekli i h birim olsun (fiekil. 1). Bu yamu un alt taban çevresi Ç birim, üst taban çevresi Ç birim olsun. Taban n kenar uzunluklar eflit ve n tane efl olan kesik piramitte, n tane ikizkenar yamuk olaca ndan, düzgün kesik piramidin yanal alan, Bu teoreme göre, afla daki ifadeleri söyleyebiliriz: 1. Bir düzgün kesik piramidin tüm alan, yanal alan ile alt ve üst taban alanlar n n toplam na eflittir. 48

17 Bir düzgün kesik piramidin alt taban alan G br, üst taban alan G br, yanal alan Y br ve tüm alan S br ise, S = G + G + Y dir.. Taban alan G olan bir piramidin herhangi bir taban na paralel enine kesitinin alan G olsun. Piramidin yüksekli i h ve enine kesitin tepeden uzakl h ise, h = G dir. h G. ki piramidin tabanlar n n alanlar ve yükseklikleri eflit ise, bu piramitlerin tepeden eflit uzakl kta bulunan enine kesitlerinin alanlar da eflittir. 4. Taban n gen olan düzgün kesik piramitte, yan yüzleri birbirine efl n tane ikizkenar yamuk vard r. ÖRNEK.8 Bir kare düzgün kesik piramidin, alt taban n n bir kenar n n uzunlu u 8 cm, üst taban n n bir kenar n n uzunlu u 6 cm ve yan yüz yüksekli i, 1 cm dir. Bu kesik piramidin yanal alan n ve tüm alan n bulal m. ÇÖZÜM Verilen kare düzgün kesik piramidin taban kenarlar n n uzunluklar, a =8 cm, a = 6 cm ve yan yüz yüksekli i h = 1 cm dir. Bu kare düzgün kesik piramidin yanal alan n bulmak için, önce alt ve üst taban çevrelerini bulal m. Kare düzgün kesik piramidin; Alt taban çevresi: Ç = 4. a ifadesinden, Ç = 4. 8 = cm dir. Üst taban çevresi: Ç = 4. a ifadesinden, Ç = 4. 6 = 4 cm dir. Yanal alan: Y = 1 Ç + Ç. h ifadesinden, Y = = = 8. 1 = 6 cm olur. Alt taban n alan : G = a ifadesinden, G = 8 = 64 cm dir. Üst taban n alan : G = (a ) ifadesinden, G = 6 = 6 cm dir. Tüm alan: S = Y + G + G ifadesinden, S = = 46 cm olur. d. Kesik Piramidin Hacmi Teorem: Taban alanlar G ve G yüksekli i h olan bir kesik piramidin hacmi: 49

18 V = h G + G + G. G dür. spat: Kesik piramidin yüksekli i h, alt taban G ve üst taban G dür. (T, DEF) piramidin yüksekli i h, (T, ABC) piramidin yüksekli i h + h olsun., (fiekil.14) deki kesik piramidin hacmi, (T, ABC) ve (T, DEF) piramitlerinin hacimleri fark na eflittir. Buna göre, Bu teoreme göre, afla daki ifadeleri söyleyebiliriz: 1. Verilen bir piramit, tabana paralel bir düzlemle kesilirse, elde edilen küçük piramit ile kendisinin hacimleri oran, yüksekliklerinin oran n n küpüne eflittir. fiekil.14 V = G. h + h - G h DEF ABC oldu undan, = Gh + Gh - G h = G G = h h +h dir. Gh + G - G h dür. (1) Her iki taraf n karekökünü al rsak, 50

19 G G = h h +h Buradan, h. G = h G + h G, h G - h G = h G ; h G - G = h G ise, h = h G G - G olur. Bu de er (1) eflitli inde yerine yaz l rsa, V = Gh + G - G h G G - G = 1 Gh + G - G h G G - G ; V = h G + G + G. G = h G + G + G.G olur. V 1 = h 1 V h dir.. Herhangi bir piramit, taban na paralel eflit aral kl paralel düzlemlerle kesilsin. Üstte kalan küçük piramidin hacmi V ise, kesik piramitlerin hacimleri s ras yla, 7V, 19V, 7V, 61V,... dir.. Bir kesik piramitin, alt taban n kenar uzunlu u a, alan G ve üst taban n kenar uzunlu u a, alan G olsun. Bu taban kenarlar n n uzunluklar n n oran a a = k ise, a a = k dir. Bunu da taban alanlar cinsinden yazarsak, G G = k oldu undan, G = G. k dir. V = h G + G + GG ifadesinde G de eri yerine yaz l rsa, V = h G + G.k + G. G. k = h G + G. k + Gk dir. Bunu da düzenlersek, V = G. h 1 + k + k olur. 51

20 ÖRNEK. 9 Yüksekli i 15 cm olan bir piramit, tepeden 5 cm uzakl kta, tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesit alan 0 cm oldu una göre, bu kesik piramidin hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen piramidin yüksekli i h = 15 cm ve h = 5 cm dir. Kesitin alan G = 0 cm oldu una göre, önce bu piramidin taban alan n bulal m. Bir piramitte, tabana paralel kesit alan n n, taban alan na oran, tepenin bu düzlemlere olan uzakl klar n n karelerinin oran na eflittir. Buna göre, G G = h oldu undan, h 0 = 5 ; 0 G 15 G = 5 5 ; 0 G = 1 Buradan, 9 G = 0. 9 = 70 cm olarak bulunur. Kesik piramidin yüksekli i: h = 15-5 = 10 cm dir. Kesik piramidin hacmi: V = h G + G + G. G ifadesinden, V = 10 V = = = , = 100 cm olur. 8. ÇEfi TL ÖRNEKLER ÖRNEK. 10 Taban çevresi 48 cm ve yan yüz yüksekli i 10 cm olan kare dik piramidin yanal alan n, tüm alan n ve hacmini bulal m. 5 fiekil.15

21 ÇÖZÜM Verilen kare dik piramidin taban çevresi Ç = 48 cm ve yan yüz yüksekli i l = 10 cm dir. Taban n bir kenar uzunlu u a ise, Ç = 4. a ifadesinden, 48 = 4. a oldu undan, a = 1 cm dir. (fiekil.15) de, H. noktas karenin a rl k merkezi oldu undan, HE = a = 4 = 1 cm dir. Kare dik piramidin yan yüz yüksekli i l = TE = 10 cm olarak veriliyor. THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre, TH = TE - HE ifadesinden, TH = 10-6 = = 64 ise, TH = 8 cm dir. Böylece, kare dik piramidin yüksekli i : TH = h = 8 cm dir. Kare dik piramidin; Yanal alan : Y= Ç. l ifadesinden, Y = = 40 cm dir. Taban alan : G = a ifadesinden, G = 1 = 144 cm dir. Tüm alan : S = Y + G ifadesinden, G = = 84 cm dir. Hacmi: V = G. h ifadesinden, V = = 115 = 84 cm olur. ÖRNEK. 11 Taban n bir kenar n n uzunlu u 4 cm olan kare dik piramidin yan yüz yüksekli i 1 cm dir. Bu piramidin tepesinden cm uzakl kta, taban na paralel bir düzlemle kesili yor. Elde edilen kesitin alan n bulal m. ÇÖZÜM Verilen kare dik piramidin taban n n bir kenar n n uzunlu u a = 4 cm yan yüz yüksekli i l = 1 cm ve h = cm dir. 5

22 (fiekil. 16) da, H noktas karenin a rl k merkezidir. Buna göre, HE = a = 4 = 1 cm dir. Kare dik piramidin yanal yüksekli i, l = TE = 1 cm olarak veriliyor. THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre, TH = TE - HE ifadesinden, Kare dik primadin taban n n alan : G = a ifadesinden, G = 4 = 576 cm dir. fiekil.16 TH = 1-1 = = 5 ise, TH = 5cm dir. Böylece kare dik piramidin yüksekli i TH = h = 5 cm dir. Kesitin alan G ise, G G = h G 576 = 5 ; G 576 = 9 5 ; G = h ifadesinden, = = 07,6 cm olur. 54

23 ÖRNEK.1 Taban kare olan bir düzgün piramidin, taban kenar uzunlu u 6 cm ve yüksekli i 4 cm dir. Bu piramidin tüm alan ve hacmini bulal m. Aç n m n çizelim. ÇÖZÜM Bir kenar uzunlu u a = 6 cm olan ABCD karesinin merkezi H olsun. H noktas ndan kare düzlemine ç k lan dikme üzerinde HT = 4 cm alal m. Böylece istenilen (T, A B C D ) piramidini elde etmifl oluruz (fiekil.17). fiekil.17 [BC] nin ortas E noktas olsun. TBC ikizkenar üçgen oldu undan, [BC] ^ [TE] dir. HE = AB = 6 = cm ve TH = h = 4 cm dir. THE dik üçgeninde pisagor teoremine göre, TE = TH + HE ifadesinden, TE = 4 + = = 5 ise, TE= 5 dir. Böylece yanal yükseklik TE = l = 5 cm dir. Düzgün kare piramidin; Taban çevresi : Ç = 4. a ifadesinden, Ç = 4. 6 = 4 cm dir. Yanal alan : Y = Ç. l ifadesinden, Y = 4. 5 Taban alan : G = a ifadesinden G = 6 = 6 cm dir. = 10 = 60 cm dir. Tüm alan : S = Y + G ifadesinden, S= = 96 cm dir. 55

24 fiimdi de düzgün kare piramidin aç k fleklini çizelim. (T, ABCD) düzgün kare piramidini çizmek için, önce bir kenar uzunlu u 6 cm olan ABCD karesi çizilir. Bu karenin kenarlar üzerine yüksekli i 5 cm olan dört tane ikizkenar üçgenler çizilir. Böylece, düzgün kare piramidin aç k flekli çizilmifl olur (fiekil. 18). fiekil.18 ÖRNEK. 1 Bir eflkenar üçgen dik piramidin taban n n bir kenar n n uzunlu u 1 cm ve yan yüz yüksekli inin, piramidin yüksekli i ile yapt aç n n ölçüsü, 45 dir. Bu piramidin tüm alan ve hacmini bulal m. ÇÖZÜM Taban n n bir kenar n n uzunlu u a = 1 cm olan üçgen dik piramit (T, ABC) olsun. (fiekil.19). 56 fiekil.19

25 Burada TH = h piramidin yüksekli i, TD = l yan yüz yüksekliktir. H noktas ABC üçgenin a rl k merkezidir. ABC üçgeninde, [AD] kenarortay ayn zamanda üçgenin yüksekli i oldu undan, AD = a ifadesinden, AD = 1 = 6 cm dir. HD = 1 AD oldu undan, HD = 1 6 = cm dir. THD diküçgeninde, s HTD = 45 oldu undan, THD üçgeni ikizkenar dik üçgendir. TH = HD = cm dir. THD dik üçgeninde pisagor teoremine göre, TD = TH + HD ifadesinden, TD = + ; TD = = 4 ise, TD = 4 = 6 cm dir. Eflkenar üçgen dik piramidin; Taban çevresi : Ç =. a ifadesinden, Ç =. 1 = 6 cm dir. Taban n alan : G = a 4 ifadesinden, G = 1 4 = = 6 cm dir. Yanal alan : Y = Ç. l ifadesinden, Y = 6. 6 = 7 6 = 6 6 cm dir. Tüm alan : S = Y + G ifadesinden, S = = cm dir. Hacmi : V = G. h V = 6. 6 ifadesinden, = 7. 6 = 4 18 = 7 cm olur. ÖRNEK. 14 Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alan Bu düzgün dörtyüzlünün hacmini bulal m. 18 cm dir. ÇÖZÜM Verilen düzgün dörtyüzlünün tüm alan 18 cm dir. Hacmini bulmak için, önce düzgün dörtyüzlünün bir ayr t n n uzunlu unu bulal m. Bir düzgün dörtyüzlünün tüm alan, S = a ifadesinden, 57

26 18 = a ; a = 18 ise, a= cm dir. Düzgün dörtyüzlünün hacmi: V = a 1 ifadesinden, V = 1 ÖRNEK. 15 = = = 9 cm olur. Taban alan 6 cm olan düzgün dörtyüzlünün tüm alan n ve hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen düzgün dörtyüzlünün taban alan G = 6 cm dir. Düzgün dörtyüzlünün, taban eflkenar üçgen oldu undan, Taban alan, G = a 4 ifadesinden, 6 = a 4 ; a = 4 ise, a= 6 cm dir. Böylece, düzgün dörtyüzlünün bir kenar n n uzunlu u, a = 6 cm dir. Düzgün dörtyüzlünün dört yüzü de birbirine eflit oldu undan, Tüm alan : S = 4. 6 = 4 cm dir. Hacmi : V = a 1 V = ifadesinden, V = 6. 1 = 96 1 = 8 cm olur. = ÖRNEK. 16 Bir ayr t n n uzunlu u 1 cm olan düzgün sekizyüzlünün alan n ve hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen düzgün sekizyüzlünün bir ayr t n n uzunlu u a = 1 cm dir. Düzgün sekizyüzlünün; Alan : S = a ifadesinden, S = 1 =. 144 = 88 cm dir. Hacmi: V = a ifadesinden, V = 1 =. 178 = 576 cm olur. 58

27 ÖRNEK. 17 Bir piramidin taban alan 7 cm, yanal alan 90 cm ve yüksekli i 1 cm dir. Yüksekli i tepeden 4 cm uzakl kta tabana paralel bir düzlemle kesildi inde, elde edilen kesik piramidin tüm alan n bulal m. ÇÖZÜM Verilen bir piramidin taban alan G = 7 cm, yanal alan Y = 90 cm, yüksekli i h = 1 cm ve h = 4 cm dir. (fiekil.0) de, ABC üçgeni DEF üçgenine bezerdir. fiekil.0 Benzerlik oran, h h = 4 1 = 1 = k dır. A DEF A ABC = k oldu undan, A DEF 7 = 1 9, G = A DEF = 7 9 = cm dir. Üsteki küçük piramidin yanal alan Y olsun Y Y = k oldu undan, Y 90 = 1 ; Y = = 10 cm dir. Kesik piramidin yanal alan : Y - Y = = 80 cm dir. Kesik piramidin tüm alan : S = G + G + Y - Y ifadesinden, S = = 110 cm olur. 59

28 ÖRNEK. 18 Alt taban ayr t n n uzunlu u 8 cm, üst taban ayr t n n uzunlu u 5 cm olan düzgün kesik kare piramidin yüksekli i 1 cm dir. Bu düzgün kesik kare piramidin hacmini bulal m. ÇÖZÜM Verilen düzgün kesik kare piramidin, alt taban ayr t n n uzunlu u a = 8 cm, üst taban ayr t n n uzunlu u, a = 5 cm ve yüksekli i h = 1 cm dir. Buna göre, düzgün kesik kare piramidin; Alt taban alan : G = a ifadesinden, G = 8 = 64 cm d r. Üst taban alan : G = a ifadesinden, G = 5 = 5 cm dir. Hacmi : V = h G + G + G. G ifadesinden, V = = V = = = 516 cm olur. ÖRNEK. 19 Bir piramit, yanal ayr tlar n n orta noktalar ndan geçen bir düzlemle kesiliyor. Elde edilen kesik piramit, küçük piramidin 7 kat oldu unu bulal m. ÇÖZÜM (fiekil.1) deki (T, ABCD) piramidini, yan ayr tlar n orta noktalar ndan geçen (A B C D ) düzlemiyle keselim. (T, ABCD) piramidinin (T, A B C D ) piramidinin 8 kat na denk oldu unu gösterirsek, kesik piramit, küçük piramidin 7 kat na denk olur. 60 fiekil.1

29 T, ABCD piramidin hacmi: V = 1 G. h d r. T, A B C D piramidin hacmi: V = 1 G h dir. 1 V V = G. h 1 G h = G G dir. G G = h h = 4 tür. Bu de er yerine yaz l rsa, V = 8 veya V = 8 V olur. V Böylece, büyük piramit, küçük piramidin 8 kat oluyor. O halde, kesik piramit, küçük piramidin 7 kat olur. 61

30 ÖZET Bir düzlemsel çokgen ve bu çokgensel bölgenin d fl ndaki sabit bir nokta alal m. Sabit nokta ile çokgensel bölgenin kenarlar üzerindeki noktalardan geçen do rular n oluflturdu u yüzeye piramidal yüzey, çokgensel bölgenin s n rlad cisme de piramit denir. Çokgensel bölgeye piramidin taban, sabit noktaya piramidin tepe noktas, tepe noktas ndan taban düzlemine indirilen dikmeye, piramidin yüksekli i denir. Piramitler, taban n oluflturan çokgenin kenar say s na göre adland r l r. Taban düzgün çokgen olan ve yükseklik aya taban merkezinde bulunan piramide düzgün piramit denir. Bir düzgün piramidin yan yüzleri birbirine efl, yan ayr tlar n n uzunluklar ve yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar eflittir. Düzgün olmayan bir piramidin tüm alan, taban alan ile yanal alanlar n n toplam na eflittir. S = G + Y dir. Düzgün piramidin yanal alan, tabana çevresi ile, yan yüz yüksekli inin çarp m n n yar s na eflittir. Tüm alan ise, taban alan ile yanal alan n toplam na eflittir. Y = 1 Ç. h ve S = G + Y dir. Bir piramidin hacmi, taban alan ile yüksekli inin çarp m n n üçte birine eflittir. V = 1 G. h dir. Bütün ayr t da ayn uzunlukta olan üçgen piramide, düzgün dörtyüzlü denir. Düzgün dörtyüzlünün, bütün yüzleri birbirine efl olan eflkenar üçgenlerdir. Yükseklik aya da, tabandaki eflkanar üçgenin a rl k merkezidir. Bir ayr t n n uzunlu u a birim olan düzgün dörtyüzlünün, 1. Yan yüz yüksekli i : h = a birimdir.. Cisim yüksekli i : h = a 6 birimdir.. Alan : S = a birimkaredir. 4. Hacmi : V = a 1 birimküptür. Bütün ayr tlar n n uzunluklar a birim olan iki kare piramidin, tabanlar n n birleflmesi ile oluflan cisme düzgün sekizyüzlü denir. Düzgün sekizyüzlünün bütün yüzleri birbirine efl olan eflkenar üçgenlerdir. Sekiz tane yan yüzü vard r. 6

31 Bir ayr t n n uzunlu u a birim alan düzgün sekizyüzlünün, 1. Alan : S = a birimkaredir.. Hacmi : V = a birimküptür. Bir piramit taban na paralel bir düzlemle kesilirse, kesit düzlemi ve piramidin taban aras nda kalan cisme, kesik piramit denir. Kesik piramidin alt taban ve üst taban olmak üzere iki taban vard r. Bu tabanlar birbirine benzer olan çokgenlerdir. Kesik piramidin iki taban aras ndaki uzakl a kesik piramadin yüksekli i denir. Düzgün bir piramidin taban na paralel bir düzlemle kesilmesinden elde edilen kesik piramide, düzgün kesik piramit denir. Düzgün kesik piramitte alt tabanla üst taban kenar say lar ayn olan benzer iki düzgün çokgendir. Yan yüzleri de birbirine efl olan ikizkenar yamuklard r. Yan yüz yüksekliklerinin uzunluklar birbirine eflittir. Bir düzgün kesik piramadin yanal alan, alt ve üst tabanlar n n çevreleri toplam n n yar s ile, yan yüz yüksekli inin çarp m na eflittir. Y = 1 Ç + Ç. h d r. Bir kesik piramidin tüm alan, alt taban alan ve üst taban alan ile yanal alan toplam na eflittir. S = G + G + Y dir. Taban alanlar G ve G, yüksekli i h olan bir kesik primadin hacmi: V = h G + G + G. G dür. Verilen bir piramit tabana paralel bir düzlemle kesilirse, elde edilen küçük piramit ile kendisinin hacimleri oran, yüksekliklerinin oran n n küpüne eflittir. V 1 = h 1 dür. V h 6

32 ALIfiTIRMALAR 1. Taban n n bir kenar n n uzunlu u 0 cm ve yan yüz yüksekli i 5 cm olan, kare dik piramidin yanal alan n ve tüm alan n bulunuz.. Yüksekli i 1 cm ve yan yüz yüksekli i 15 cm olan kare dik piramidin tüm alan n ve hacmini bulunuz.. Bir taban kenar n n uzunlu u 6 cm ve yüksekli i 1 cm olan, düzgün alt gen piramidin hacmini bulunuz. 4. Dikdörtgen tabanl dik piramidin taban kenarlar n n uzunluklar 18 cm, 10 cm ve yük sekli i 1 cm dir. Bu piramidin hacmini bulunuz. 5. Taban n n bir kenar n n uzunlu u cm olan bir düzgün alt gen dik piramidin yük sekli i 4 cm dir. Bu piramadin hacmini bulunuz. 6. Bütün alan 100 cm olan düzgün dörtyüzlünün bir ayr t n n uzunlu unu ve hacmini bulunuz. 7. Bir ayr t n n uzunlu u 6 cm olan bir düzgün sekizyüzlünün alan n ve hacmini bulunuz. 8. Hacmi 48 cm olan bir eflkenar dörtgen piramidin taban köflegenlerinin uzunluklar s rayla 4 cm ve 6 cm dir. Bu piramidin yüksekli ini bulunuz. 9. Taban alan 60 cm ve yüksekli i 6 cm olan bir piramit, tepeden itibaren cm uzakl ktan tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesitin alan n ve kesik piramidin hacmini bulunuz. 10. Tabanlar kare olan düzgün kesik piramidin alt taban ayr t n n uzunlu u 4 cm, üst taban ayr t n n uzunlu u 8 cm ve yan ayr t n n uzunlu u 15 cm dir. Bu düzgün kesik piramidin tüm alan n ve hacmini bulunuz. 11. Yanal yüzleri eflkenar üçgen olan bir kare düzgün piramidin taban alan 64 cm dir. Buna göre, bu dik piramidin tüm alan n bulunuz. 1. Tabanlar eflkanar üçgen olan kesik piramidin alt taban ayr t n n uzunlu u 6 cm, üst taban ayr t n uzunlu u 4 cm dir. Yüksekli i cm oldu una göre, bu kesik piramidin hacmini bulunuz. 1. Taban ayr t n n uzunlu u 16 cm ve hacmi 51 cm olan düzgün kare piramidin yanal alan n bulunuz. 64

33 14. Bir piramidin taban alan 6 cm dir. Taban na paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesitin alan 9 cm oldu una göre, büyük piramidin hacmi, küçük piramidin hacminin kaç kat oldu unu bulunuz Yanal yüzleri taban düzlemiyle 0 lik aç yapan düzgün kare piramidin yüksekli i 4 cm dir. Buna göre, bu düzgün kare piramidin tüm alan n ve hacmini bulunuz. 65

34 TEST II 1. Bir kare dik piramidin taban n bir kenar n n uzunlu u 1 cm ve yüksekli i 8 cm oldu una göre, yanal alan kaç cm dir? A) 40 B) 0 C) 60 D) 480. Bir kare dik piramidin taban n bir kenar n n uzunlu u 16 cm ve yan yüz yüksekli i 17 cm dir. Bu piramidin hacmi kaç cm tür? A) 1156 B) 180 C) 160 D) 140. Taban n n bir kenar n n uzunlu u 6 cm olan kare dik piramidin yüksekli i 4 cm dir. Bu piramidin tüm alan kaç cm dir? A) 78 B) 84 C) 96 D) Bir kare dik piramidin taban n n bir kenar n n uzunlu u 1 cm, yüksekli i 15 cm dir. Bu piramidin hacmi kaç cm tür? A) 60 B) 70 C) 1440 D) Taban n n bir kenar n n uzunlu u 4 cm olan kare dik piramidin yan yüz yüksekli i 0 cm dir. Bu piramidin hacmi kaç cm tür? A) 885 B) 960 C) 04 D) 07 66

35 6. Bir düzgün dörtyüzlünün kaç ayr t vard r? A) 4 B) 6 C) 8 D) 1 7. Bir düzgün dörtyüzlünün yüksekli i cm oldu una göre, hacmi kaç cm t ü r? A) 9 B) 1 C) 18 D) 6 8. Bir düzgün sekizyüzlünün alan n n say sal de eri ile hacminin say sal de erine eflittir. Bu sekizyüzlünün bir ayr t n n uzunlu u kaç birimdir? A) B) C) 5 D) 6 9. Taban eflkenar üçgen olan bir dik piramidin taban alan n n say sal de eri ile hacminin say sal de eri birbirine eflit ise, yüksekli i kaç birimdir? A) 1 B) C) D) Bir kare dik piramidin taban alan 100 cm ve yüksekli i 1 cm dir. Bu kare dik piramidin tüm alan kaç cm dir? A) 40 B) 60 C) 40 D)

36 11. Taban çevre uzunluklar eflit, yan yüz yüksekliklerinin oran 1 olan, ayn tür iki dik piramidin yanal alanlar n n oran kaçt r? A) 1 1 B) 1 9 C) 1 6 D) 1 1. Taban alanlar eflit olan iki dik piramidin hacimleri oran n n 1 olmas için, yüksek liklerinin oran kaçt r? A) 1 7 B) 1 18 C) 1 9 D) 1 1. Alt taban kenar n n uzunlu u 10 cm, üst taban kenar n n uzunlu u 5 cm ve yüksekli i 6 cm olan kare dik kesik piramidin hacmi kaç cm tür? A) 50 B) 00 C) 50 D) Kare dik piramidin taban n n bir ayr t n n uzunlu u 1 cm tüm alan 84 cm ise, bu piramidin hacmi kaç cm tür? A) 84 B) 480 C) 576 D) 67 68

37 1 5. Bir taban ayr t n n uzunlu u 8 cm ve yüksekli i 1 cm olan kare dik piramit, tepeden cm uzakl kta tabana paralel bir düzlemle kesiliyor. Bu kesitin alan kaç cm dir? A) 4 B) 6 C) 8 D) (fiekil. ) deki kesik piramitte, A ABC A A B C = 5 4 dür. fiekil. T ( A B C ) piramidinin hacmi 8 cm i s e, ( T, ABC) piramidinin hacmi kaç cm t ü r? A) 64 B) 15 C) 18 D) Bir kare dik piramit, tepeden itibaren 1 oran nda taban, düzlemine paralel bir düzlemle kesiliyor. Kesitin taban alan 8 cm ise, ilk piramidin taban alan kaç cm dir? A) 4 B) 7 C) 96 D) 19 69

38 18. Taban alan 16 cm olan bir kare dik piramit (fiekil.) deki gibi tabana paralel yüzey oluflturacak flekilde kesiliyor. Elde edilen yüzeyin alan 4 cm ve kesik piramidin yüksekli i 6 cm oldu una göre, bu kesik piramidin hacmi kaç cm tür? fiekil. A) 8 B) 56 C) 84 D) Bütün ayr tlar n n uzunluklar toplam 54 cm olan düzgün dörtyüzlünün alan, kaç cm dir? A) 7 B) 81 C) 16 D) 4 0. Tüm ayr t uzunluklar n n herbiri 6 cm olan kare dik piramidin hacmi kaç cm tür? A) 6 B) 7 C) 7 D)

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R

GEOMETR 7 ÜN TE III S L ND R ÜN TE III S L ND R 1. S L ND R K YÜZEY VE TANIMLAR 2. S L ND R a. Tan m b. Silindirin Özelikleri 3. DA RESEL S L ND R N ALANI a. Dik Dairesel Silindirin Alan I. Dik Dairesel Silindirin Yanal Alan II. Dik

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON

GEOMETR 7 ÜN TE IV KON ÜN TE IV KON 1. KON K YÜZEY VE TANIMLAR 2. KON a. Tan m b. Dik Dairesel Koni I. Tan mlar II. Dik Dairesel Koninin Özelikleri III. Dönel Koni c. E ik Dairesel Koni 3. D K DA RESEL KON N N ALANI 4. DA RESEL

Detaylı

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE

GEOMETR 7 ÜN TE V KÜRE ÜN TE V KÜRE 1. KÜRE a. Tan m b. Bir Kürenin Belirli Olmas c. Bir Küre ile Bir Düzlemin Ara Kesiti 2. KÜREN N ALANI 3. KÜREN N HACM 4. KÜREDE ÖZEL PARÇALAR a. Küre Kufla I. Tan m II. Küre Kufla n n Alan

Detaylı

2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D)

2. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün. 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? çokgen de ildir? A) B) A) B) C) D) C) D) Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : Çokgenler Dörtgenler MATEMAT K TEST 15 1. Afla dakilerden hangisi çokgen de ildir? 4. Afla daki çokgenlerden hangisi düzgün çokgen de ildir? 2. Afla daki çokgenlerden

Detaylı

ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI

ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI ÜN TE II ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 1. ÇOKGENSEL BÖLGELER N ALANLARI 2. D KDÖRTGEN N ALANI 3. ÜÇGENSEL BÖLGELER N ALANI 4. ÜÇGENSEL ALAN PROBLEMLER ÇÖZÜLÜRKEN KULLANILACAK FORMÜLLER 5. PARALELKENARIN

Detaylı

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL

ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL ÜN TE II UZAYDA DO RULARIN VE DÜZLEMLER N D KL 1. DO RULARIN D KL 2. B R DO RUNUN B R DÜZLEME D KL a. Tan m b. Düzlemde Bir Do ru Parças n n Orta Dikme Do rusu c. Bir Do runun Bir Düzleme Dikli ine Ait

Detaylı

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir.

Eğer piramidin tabanı düzgün çokgense bu tip piramitlere düzgün piramit denir. PİRAMİTLER Bir düzlemde kapalı bir bölge ile bu düzlemin dışında bir T noktası alalım. Kapalı bölgenin tüm noktalarının T noktası ile birleştirilmesi sonucunda oluşan cisme piramit denir. T noktası piramidin

Detaylı

Çokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler

Çokgenler. Dörtgenler. Çember. Simetri. Örüntü ve Süslemeler. Düzlem. Geometrik Cisimler MTEMT K Çokgenler örtgenler Çember Simetri Örüntü ve Süslemeler üzlem Geometrik isimler Temel Kaynak 5 Çokgenler ÇOKGENLER E F En az üç do ru parças n n, birer uçlar ortak olacak flekilde ard fl k olarak

Detaylı

TEK ve ÇOK YÜZEYLİ KAPALI YÜZEYLER ve KATI CİSİMLER 1 TEST

TEK ve ÇOK YÜZEYLİ KAPALI YÜZEYLER ve KATI CİSİMLER 1 TEST ve Ç ÜLİ PLI ÜLR ve S I İSİMLR.. P(a,, ) ukarıdaki dik koordinat sisteminde (,, ) olduğuna göre, dikdörtgenler prizmasının hacmi kaç br tür? nalitik uzayda yukarıdaki dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı

Detaylı

PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ

PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ 2011 PİRAMİTLER ENFORMATİK BİLGİSAYAR DERSİ 15.12.2011 ĠÇĠNDEKĠLER ÜNİTE HAKKINDA GENEL BİLGİ... 3 KONULAR... 4 PİRAMİTLER... 4 KARE PİRAMİT... 5 EŞKENAR ÜÇGEN PİRAMİT... 6 DÜZGÜN DÖRTYÜZLÜ... 6 DÜZGÜN

Detaylı

ÜN TE V. B) GEOMETR K C S MLER N HAC MLER a) Dik Piramidin Hacmi b) Dik Dairesel Koninin Hacmi c) Kürenin Hacmi ALIfiTIRMALAR TEST V-II

ÜN TE V. B) GEOMETR K C S MLER N HAC MLER a) Dik Piramidin Hacmi b) Dik Dairesel Koninin Hacmi c) Kürenin Hacmi ALIfiTIRMALAR TEST V-II ÜN TE V A) GEOMETR K C S MLER N YÜZEY ALANLARI a) Dik Piramidin Yüzey Alan b) Dik Dairesel Koninin Yüzey Alan c) Kürenin Yüzey Alan ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST V-I B) GEOMETR K C S MLER N HAC MLER a) Dik Piramidin

Detaylı

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR

UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR UZAY KAVRAMI VE UZAYDA DOĞRULAR Cisimlerin kapladığı yer ve içinde bulundukları mekan uzaydır. Doğruda sadece uzunluk, düzlemde uzunluk ve genişlik söz konusudur. Uzayda ise uzunluk ve genişliğin yanında

Detaylı

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =...

Yukar daki kare ve dikdörtgene göre eflitlikleri tan mlay n z. AB =... =... =... =... Üçgen, Kare ve ikdörtgen MTEMT K KRE VE KÖRTGEN Kare ve ikdörtgenin Özellikleri F E Kare ve dikdörtgenin her kenar uzunlu u birer do ru parças d r. Kare ve dikdörtgenin kenar, köfle ve aç say lar eflittir.

Detaylı

PİRAMİT, KONİ VE KÜRENİN ALANLARI

PİRAMİT, KONİ VE KÜRENİN ALANLARI PİRAMİT, KNİ VE KÜRENİN ALANLARI KAZANIMLAR Piramit kavramı Piramitin yüzey alanı Kesik piramitin yüzey alanı Düzgün dörtyüzlü kavramı Piramitin dönme simetri açısı Koni kavramı Koninin yüzey alanı Kesik

Detaylı

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r?

1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Yukar daki rakamlardan kaç tanesinde dikey do ru modeli vard r? Ad : Soyad : S n f : Nu. : Okulu : 1. Yukar daki çubuk makarna afla dakilerden hangisinin modelidir? Do ru Düzlem Nokta 5. MATEMAT K TEST 19 Ifl n Do ru Do ru parças 2. Afla daki hangi do runun çizgi modeli

Detaylı

ÜN TE VI. A. UZUNLUKLARI ÖLÇME 1. Uzunluk Ölçme a) Çokgenin Çevre Uzunlu u b) Karenin Çevre Uzunlu u c) Dikdörtgenin Çevre Uzunlu u ALIfiTIRMALAR

ÜN TE VI. A. UZUNLUKLARI ÖLÇME 1. Uzunluk Ölçme a) Çokgenin Çevre Uzunlu u b) Karenin Çevre Uzunlu u c) Dikdörtgenin Çevre Uzunlu u ALIfiTIRMALAR ÜN TE VI A. UZUNLUKLARI ÖLÇME 1. Uzunluk Ölçme a) Çokgenin Çevre Uzunlu u b) Karenin Çevre Uzunlu u c) Dikdörtgenin Çevre Uzunlu u ALIfiTIRMALAR B. ALAN ÖLÇME 1. Alan Ölçüsü Birimleri 2. Arazi Ölçüsü 3.

Detaylı

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve

ÇÖZÜM [KB] çizilirse, SORU. Boyutlar 9 cm ve 12 cm olan dikdörtgenin bir düzlem üzerindeki izdüflümü bir do ru parças ise, [KC] [CB] ve GMTR erginin bu sa s na Uza Geometri ve o runun nalitik ncelemesi konular na çözümlü sorular er almakta r. u konua, ÖSS e ç kan sorular n çözümü için gerekli temel bilgileri ve pratik ollar, sorular m

Detaylı

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi

TEST: 6. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi TEST: 6 5. 1. Verilenlere göre EF =? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 A) 7 B) 8 C) 10 D) 11 E) 12 2. 6. x eksenini 5 te, y eksenini 7 de kesen doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A) 7x+5y=35 B) 7x-5y=35

Detaylı

10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI

10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI 10. ÜNİTE HACİM VE SIVI ÖLÇÜLERİ, KATI CİSİMLERİN ALAN VE HACİMLERİ MESLEKİ UYGULAMALARI KONULAR HACİM VE HACİM ÖLÇÜLERİ KAVRAMI HACİM ÖLÇÜLERİ BİRİMLERİ 1. Metreküpün Katları As Katları 2. Birimlerin

Detaylı

Geometrik Cisimlerin Hacimleri

Geometrik Cisimlerin Hacimleri 1 Ülkemizin kongre ve fuar merkezlerinden biri, Antalya daki Cam Piramit Kongre ve Fuar Merkezi dir. Renkli ısıcamlı uzay çatı ile örülerek piramit şeklinde inşa edilmiştir. 2 Şekildeki piramidin tabanı

Detaylı

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM

BASIN KİTAPÇIĞI ÖSYM BASIN KİTAPÇIĞI 00000000 AÇIKLAMA 1. Bu kitapç kta Lisans Yerle tirme S nav -1 Geometri Testi bulunmaktad r. 2. Bu test için verilen toplam cevaplama süresi 45 dakikadır. 3. Bu kitapç ktaki testlerde yer

Detaylı

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI 9. ÜNİTE ÜÇGENLER, ÇOKGENLER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI KONULAR DİK ÜÇGENLERDE METRİK BAĞINTILAR 1. Pythagoras (Pisagor) Bağıntısı. Euclides (öklit) Bağıntısı 3. Pisagor ve öklit Bağıntıları ile İlgili Problemler

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MATEMAT K TEST KKAT! + Bu bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + Bu bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MATEMAT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 2 4. 4. 0,5 2. iflleminin sonucu

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN GEOMETR Geometrik Cisimler Uzunluklar Ölçme 6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 1. Prizmalar n temel elemanlar n belirler. Tabanlar n n karfl l kl köflelerini birlefltiren ayr tlar tabanlara

Detaylı

ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K

ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K ÜN TE II ÜÇGENLERDE BENZERL K 1. ÜÇGENLERDE BENZERL N TANIMI. ORANTININ ÖZEL KLER 3. ÜÇGENLERDE BENZERL K TEOREMLER * K.A.K. Benzerlik Teoremi * A.A.A. Benzerlik Teoremi * Verilen Bir Do ru Parças n stenen

Detaylı

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR

9. SINIF Geometri TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR 9. SINIF Geometri Amaç-1: Nokta, Doğru, Düzlem, Işın ve Uzayı Kavrayabilme. 1. Nokta, doğru, düzlem ve uzay kavramlarım açıklama. 2. Farklı iki noktadan geçen doğru sayışım söyleme

Detaylı

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak

Homoteti (Homothety) DÖNÜfiÜMLERLE GEOMETR. Düzlemde M sabit bir nokta ve k bir reel say olmak ÖNÜfiÜLRL GTR ¾ Homoteti (Homothet) üzlemde sabit bir nokta ve k bir reel sa olmak üzere; P = + k.(p ) ÖRNK üzlemde (5, 6) noktas n n (, 7) merkezli ve k = oranl homoteti ini bulal m. eflitli ini sa laan

Detaylı

ÜN TE IV. A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I

ÜN TE IV. A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I ÜN TE IV A) DENKLEM S STEMLER a) Bir Bilinmeyenli Rasyonel Denklemler b) Do rusal Denklem Sistemleri ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST IV-I B) ÜÇGENLERDE EfiL K ve BENZERL K a) Üçgenlerde Efllik b) Üçgenlerde Efllik

Detaylı

KATI CİSİMLER DİK PRİZMALARIN ALAN VE HACİMLERİ 1. DİKDÖRTGENLER PRİZMASI. Uyarı PRİZMA. Üst taban. Ana doğru. Yanal. Yanal Alan. yüz. Yanal.

KATI CİSİMLER DİK PRİZMALARIN ALAN VE HACİMLERİ 1. DİKDÖRTGENLER PRİZMASI. Uyarı PRİZMA. Üst taban. Ana doğru. Yanal. Yanal Alan. yüz. Yanal. TI İSİM İZM İZM irbirine paralel iki düzlem içinde yer alan iki eş çokgensel bölgenin tüm noktalarının karşılıklı olarak birleştirilmesiyle elde edilen cisme İZM denir. İ İZMIN N V HİMİ Tüm dik rizmalarda

Detaylı

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80.

TEST 1. ABCD bir dörtgen AF = FB DE = EC AD = BC D E C. ABC bir üçgen. m(abc) = 20. m(bcd) = 10. m(acd) = 50. m(afe) = 80. 11 ÖLÜM SİZİN İÇİN SÇTİLR LRİMİZ 1 80 0 bir dörtgen = = = m() = 80 m() = 0 Verilenlere göre, açısının ölçüsü kaç derecedir? 0 10 0 bir üçgen m() = 0 m() = 10 m() = 0 Yukarıda verilenlere göre, oranı kaçtır?

Detaylı

F Z K BASINÇ. Kavram Dersaneleri 42

F Z K BASINÇ. Kavram Dersaneleri 42 F Z BASINÇ ÖRNE : ÇÖZÜ : Özdefl iki tu lan n I, II, III konumlar ndayken yere uygulad klar toplam bas nç kuvvetleri, iki tu lan n a rl klar toplamlar na eflittir. Bu nedenle F = F = F olur. yer I II III

Detaylı

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI

Y ll k Plan MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI ÜNİTELENDİRİLMİŞ YILLIK PLAN MATEMAT K 8. SINIF Ö RETMEN KILAVUZ K TABI 9 SINIF : 8 LEND R LM fi Y I L L I K P L A N ÖRÜNTÜ VE SÜSLEMELER. Do ru, çokgen ve çember modellerinden örüntüler infla eder, çizer

Detaylı

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden

F Z K A IRLIK MERKEZ ÖRNEK 1 : ÇÖZÜM 1: Bir cisim serbestçe dönebilece i bir noktadan as l rsa, düfley do rultu daima a rl k merkezinden F Z A IRI EREZ ÖRNE 1 : I m II 2m ütleleri m, 2m olan eflit bölmeli, düzgün ve türdefl I ve II levhalar flekildeki gibi birbirine tutturularak noktas ndan bir iple as l yor. Bu levhalar afla dakilerden

Detaylı

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre,

MATEMAT K TEST. 3. a ve b reel say lar olmak üzere, 3 a = 4 ve 3 2a b 3 = 8 oldu una göre, MTMT K TST KKT! + u testte 80 soru vard r. + u test için ar lan cevaplama süresi 5 dakikad r. + evaplar n z, cevap ka d n n Matematik Testi için ar lan k sma iflaretleiniz.. a, b, c pozitif reel sa lard

Detaylı

9. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: MADDE ve ÖZELLİKLERİ 1. Konu MADDELERİN SINIFLANDIRILMASI ve ÖZELLİKLERİ ÇÖZÜMLER

9. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: MADDE ve ÖZELLİKLERİ 1. Konu MADDELERİN SINIFLANDIRILMASI ve ÖZELLİKLERİ ÇÖZÜMLER 9. SINIF KONU ANLATIMLI. ÜNİTE: MADDE ve ÖZELLİKLERİ 1. Konu MADDELERİN SINIFLANDIRILMASI ve ÖZELLİKLERİ ÇÖZÜMLER Siz Yap n Sorular n n Çözümleri 81-84. sayfalar aras Örnek nin çözümü Yar çap 6 m olan

Detaylı

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ

LYS 2016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ LYS 016 GEOMETRİ ÇÖZÜMLERİ Dikdörtgenin içinde köşegeni çizerek alanı iki eşit parçaya ayırabiliriz. 7 / 36 BED üçgeni ile DEC üçgeninin alanlarının oranı, tabanları arasındaki orana eşittir. Buna göre;

Detaylı

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

6. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN SAYLAR Do al Say lar Parças ve fl n 6. SNF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YLLK PLAN Süre/ KAZANMLAR Ders AÇKLAMALAR 1. Do al say larla ifllemler yapmay gerektiren problemleri çözer ve kurar. Do al say

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TEMEL MTEMT K TEST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TEMEL MTEMT K TEST " bölümüne iflaretleyiniz. 1. 1 3 1 3 1 2 1 2. 5 + 7 iflleminin sonucu

Detaylı

ÜN TE I. A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I

ÜN TE I. A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I ÜN TE I A) TEKRAR EDEN, YANSIYAN VE DÖNEN fiek LLER a) Fraktallar b) Yans yan ve Dönen fiekiller ALIfiTIRMALAR ÖZET TEST I-I B) ÜSLÜ SAYILAR a) Bir Tam Say n n Negatif Kuvveti b) Tekrarl Çarp mlar Üslü

Detaylı

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz -

Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - Saymadan Saymak Bir tan mla bafllayal m. E er n bir do al say ysa, n! diye yaz - lan say 1 2... n say s na eflittir. Yani, tan m gere i, n! = 1 2... (n-1) n dir. n!, n fortoriyel diye okunur. Örne in,

Detaylı

Olas l k Hesaplar (II)

Olas l k Hesaplar (II) Olas l k Hesaplar (II) B ir önceki yaz daki örneklerde olay say s sonluydu. Örne in, iki zarla 21 olay vard. fiimdi olay say m z sonsuz yapaca z. Kolay bir soruyla bafllayal m: [0, 1] aral nda rastgele

Detaylı

DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI

DİK ÜÇGEN. şekilde, m(a) = 90. [BC] kenarı hipotenüs. [AB] ve [AC] kenarları. dik kenarlardır. P İSAGOR BAĞINTISI DİK ÜÇGEN Bir açısının ölçüsü 90 olan üçgene dik üçgen denir. Dik üçgende 90 nin karşısındaki kenara hipotenüs, diğer kenarlara dik kenar adı verilir. Hipotenüs üçgenin daima en uzun kenarıdır. şekilde,

Detaylı

4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar.

4. HAFTA OLASILIK VE STAT ST K. Olas Durumlar Belirleme. n aç klar ve hesaplar. 2. Permütasyon ve kombinasyon. aras ndaki fark aç klar. 259 E K İ M L Ü L Y E Y 2. HFT 1. HFT 5. HFT. HFT 3. HFT HFT 2 ST LNI OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K OLSILIK VE STT ST K SYILR SYILR... LKÖ RET M OKULU MTEMT K...8... SINIF ÜN TELEND R LM fi YILLIK

Detaylı

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere;

say s kaç basamakl d r? 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. Di er 4 noktadan. 3. n do al say olmak üzere; . 7 8 say s kaç basamakl d r? ) 2 B) 0 ) 9 ) 8 E) 7 2. Bir düzlemde verilen 8 noktadan 4 tanesi ayn do ru üzerindedir. i er 4 noktadan hiçbiri bu do ru üzerinde bulunmamaktad r ve bu 4 noktadan herhangi

Detaylı

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün

Do ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün Matematik ünas, 003 Güz o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü Matematik Yar flmas /. ölüm o ufl Üniversitesi Matematik Kulübü nün üniversitenin ö retim üelerinin de katk - lar la düzenledi i liseleraras

Detaylı

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar

YGS Soru Bankas MATEMAT K Temel Kavramlar 9. 7 = 3.3.3, 07 = 3.3.3 007 = 3.3.3, 0007 = 3.3.3,... Yukar daki örüntüye göre, afla daki say lar n hangisi 81'in kat d r? A) 00 007 B) 0 000 007 C) 000 000 007 D) 00 000 000 007 13. Ard fl k 5 pozitif

Detaylı

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI

ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI ÜN TE III. YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI BU ÜN TEDE NELER Ö RENECE Z? A-YÜZDELER VE MESLEKÎ UYGULAMALARI B-YÜZDE HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI C-FA Z HESAPLARI VE MESLEKÎ UYGULAMALARI D-YÜZDE VE

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINIZA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. MATEMATİK SINAVI GEOMETRİ TESTİ İKKT! SRU KİTPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ LRK VP KÂĞIINIZ İŞRTLMYİ UNUTMYINIZ. MTMTİK SINVI GMTRİ TSTİ 1. u testte 30 soru vardır. 2. evaplarınızı, cevap kâğıdının Geometri Testi için ayrılan kısmına işaretleyiniz.

Detaylı

OLİMPİK GEOMETRİ ALTIN NOKTA YAYINEVİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK ÖMER GÜRLÜ KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ

OLİMPİK GEOMETRİ ALTIN NOKTA YAYINEVİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK ÖMER GÜRLÜ KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ OLİMPİK GEOMETRİ MATEMATİK OLİMPİYATLARINA HAZIRLIK KONU ANLATIMLI - ÖRNEK ÇÖZÜMLÜ ÖMER GÜRLÜ ALTIN NOKTA YAYINEVİ İZMİR - 2014 İÇİNDEKİLER 1. TEMEL ÇİZİMLER... 7 2. ÜÇGENLER... 21 (Üçgende Açılar, Üçgende

Detaylı

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES ANAL T K GEOMETR ÜN TE II. UZAYDA VEKTÖR, DO RU VE DÜZLEM N ANAL T K NCELENMES 1. ANAL T K UZAY. ANAL T K UZAY D A D K KOORD NAT EKSENLER VE ANAL T K UZAY I. Analitik uzayda koordinat sistemi II. Analitik

Detaylı

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r?

Kavram Dersaneleri 8 SAYILAR - I ÖRNEK 23: ÖRNEK 24: a, 5 ve 6 say taban n göstermek üzere, (123) + (1a2) = (2b2) eflitli inde. b kaçt r? ÖRNEK 3: x y y Bölme ifllemine göre x en az kaçt r? A) 6 B) 9 C) D) 4 E) 4 ÖRNEK 4: a, ve 6 say taban n göstermek üzere, (3) + (a) = (b) eflitli inde a 6 b kaçt r? A) 0 B) C) D) 3 E) 4 ÇÖZÜM 4: ÇÖZÜM 3

Detaylı

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr

Koninin Düzlemlerle Kesiflimi Selçuk Demir* / sdemir@bilgi.edu.tr apak onusu: oncelet Teoremleri oni. Uzayda birbirini 0 < < 90 derecede kesen iki de iflik a ve do rusu alal m. Do rulardan birini di erinin etraf nda, diyelim a y nin etraf nda oluflturduklar aç s n bozmadan

Detaylı

ÜN VERS TEYE G R SINAV SORULARI

ÜN VERS TEYE G R SINAV SORULARI ÜN VRS TY G R SINV SORULRI. 000 - ÖSS. 00 - ÖSS m( ) = 90 = cm = cm = cm > H G Yukar daki verilere göre ) ) ) ( ) ( ) ) 9 ) 9 kare, = =, G = G, H, G do rusal;, H, do rusal ise H H ) ) ) ) ). 000 - ÖSS.

Detaylı

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES

ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES ÜN TE III. ÇEMBER N ANAL T K NCELENMES 1. G R fi. ÇEMBER N DENKLEM 3. MERKEZLER R J NDE, EKSENLER ÜZER NDE V E YA EKSENLERE T E E T LAN ÇEMBERLER N DENKLEM 4. ÇEMBER N GENEL DENKLEM 5. VER LEN ÜÇ NKTADAN

Detaylı

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28)

TEMEL KAVRAMLAR MATEMAT K. 6. a ve b birer do al say r. a 2 b 2 = 19 oldu una göre, a + 2b toplam kaçt r? (YANIT: 28) TEMEL KAVRAMLAR 6. a ve b birer do al say r. a b = 19 oldu una göre, a + b toplam (YANIT: 8) 1. ( 4) ( 1) 6 1 i leminin sonucu (YANIT: ). ( 6) ( 3) ( 4) ( 17) ( 5) :( 11) leminin sonucu (YANIT: 38) 7.

Detaylı

2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır?

2014 LYS GEOMETRİ 3. A. parabolü ile. x 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? 014 LYS GOMTRİ 1. y 1 1 y a 9 çemberinin üç noktada kesişmesi için a kaç olmalıdır? parabolü ile. O merkezli çeyrek çemberde O deltoid olduğuna göre, taralı alan kaç birim karedir? O. d:y a b doğrusu -ekseni

Detaylı

6. ABCD dikdörtgeninde

6. ABCD dikdörtgeninde Çokgenler ve örtgenler Test uharrem Şahin. enar sayısı ile köşegen sayısı toplamı olan düzgün çokgenin bir dış açısı kaç derecedir? ) ) 0 ) ) 0 ). Şekilde dikdörtgeninin içindeki P noktasının üç köşeye

Detaylı

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n

Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n Çemberin Çevresi, Dairenin Alan, nin De eri Bu yaz da, r yar çapl bir çemberin çevresinin neden 2 r, alan n n neden r 2 oldu unu görece iz. lkokuldan beri ezberletilen bu formüllerin kan tlar n merak etmemifl

Detaylı

MATEMAT K. Hacmi Ölçme

MATEMAT K. Hacmi Ölçme Hacmi Ölçme MATEMAT K HACM ÖLÇME Yandaki yap n n hacmini birim küp cinsinden bulal m. Yap 5 s radan oluflmufltur. Her s ras nda 3 x 2 = 6 birim küp vard r. 5 s rada; 5 x 6 = 30 birim küp olur. Bu yap n

Detaylı

5. ÜNİTE AÇILAR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULAMALARI

5. ÜNİTE AÇILAR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULAMALARI 5. ÜNİTE ÇILR, ÜÇGENLER VE MESLEKİ UYGULMLRI açılar KONULR 1. çı, çı Türleri ve Mesleki Uygulamaları 2. Tümler ve ütünler çılar ÜÇGENLER 1. Üçgene it Temel ilgiler 2. Üçgen Türleri 3. Üçgenin Yardımcı

Detaylı

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler

Aç ve Aç Ölçüsü. Üçgen, Kare ve Dikdörtgen. Geometrik Cisimler. Simetri. Örüntü ve Süslemeler MTEMT K ç ve ç Ölçüsü Üçgen, Kare ve ikdörtgen Geometrik Cisimler Simetri Örüntü ve Süslemeler Temel Kaynak 4 ç ve ç Ölçüsü ÇI VE ÇI ÖLÇÜSÜ ç lar n dland r lmas C Resimde aç oluflturulan yerlerin baz lar

Detaylı

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7

1998 ÖYS. orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı kaçtır? 1. Üç basamaklı bir x doğal sayısının 7 998 ÖYS. Üç basamaklı bir doğal sayısının 7 katı, iki basamaklı bir y doğal sayısına eşittir. Buna göre, y doğal sayısı en az kaç olabilir? orantılı olacaktır. Bu iki kardeşten büyük olanın bugünkü yaşı

Detaylı

Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler

Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler Geometri Düzlem - Do ru - Nokta - Aç - Üçgen - Kare - Dikdörtgen - Çember - Simetri - Örüntü ve Süslemeler ncele, bul flekilleri Çemberleri, üçgenleri, Resimdeki kareleri. Dikdörtgen hangileri? C S MLER

Detaylı

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm:

EKSTREMUM PROBLEMLERİ. Örnek: Çözüm: Örnek: Çözüm: EKSTREMUM PROBLEMLERİ Ekstremum Problemleri Bu tür problemlerde bir büyüklüğün (çokluğun alabileceği en büyük (maksimum değer ya da en küçük (minimum değer bulunmak istenir. İstenen çokluk bir değişkenin

Detaylı

TEMEL MATEMAT K TEST

TEMEL MATEMAT K TEST TML MTMT K TST KKT! + u bölümde cevaplayaca n z soru say s 40 t r + u bölümdeki cevaplar n z cevap ka d ndaki "TML MTMT K TST " bölümüne iflaretleyiniz.. + : flleminin sonucu kaçt r? 4. ört do al say afla

Detaylı

Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi

Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi Katı Cisimlerin Yü zey Alanı Ve Hacmi Dikdörtgenler Prizması Hacmi ve Yüzey Alanı Paralelkenar Prizmanın Hacmi Kürenin Hacmi ve Kürenin Yüzey Alanı Kürenin temel elemanları; bir merkez noktası, bu merkez

Detaylı

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla

Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla Cetvelsiz de Olur! Eski Yunan matematikçileri cetvel ve pergel yard m yla yap lan çizimler çok ilgilendirirdi. Çünkü Eflatun a göre, do ru ve daire, geometrik flekiller aras nda mükemmel olan tek flekillerdi.

Detaylı

1. KONU. Geometrik Cisimler ve Şekiller. 1. Afla daki nesnelerden küp, prizma ve silindire benzeyen nesneleri iflaretleyiniz.

1. KONU. Geometrik Cisimler ve Şekiller. 1. Afla daki nesnelerden küp, prizma ve silindire benzeyen nesneleri iflaretleyiniz. 1. KONU Adı - Soyadı:... Numarası:.. Sınıfı:. Ön Çalışma 1. Afla daki nesnelerden küp, prizma ve silindire benzeyen nesneleri iflaretleyiniz. SALÇA + 11 2. Afla daki nesnelerden koni, prizma ve küreye

Detaylı

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler

ÜN TE II L M T. Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler ÜN TE II L M T Limit Sa dan ve Soldan Limit Özel Fonksiyonlarda Limit Limit Teoremleri Belirsizlik Durumlar Örnekler MATEMAT K 5 BU BÖLÜM NELER AMAÇLIYOR? Bu bölümü çal flt n zda (bitirdi inizde), *Bir

Detaylı

F Z K OPT K. Kavram Dersaneleri 6. Çözüm: ÖRNEK 1 : Karanl k bir ortamda, küresel bir X fl k kayna n n önüne flekil I deki gibi Y topu konulmufltur.

F Z K OPT K. Kavram Dersaneleri 6. Çözüm: ÖRNEK 1 : Karanl k bir ortamda, küresel bir X fl k kayna n n önüne flekil I deki gibi Y topu konulmufltur. F Z OT ÖRNE 1 : fiekil I L M aranl k bir ortamda, küresel bir fl k kayna n n önüne flekil I deki gibi topu konulmufltur fiekil II Ifl kl bölge fiekil III ayna a, L, M noktalar n n birinden bak ld nda,

Detaylı

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE

TEST Levhan n a rl G olsun. G a rl n n O F 1 TORK (KUVVET MOMENT ) - DENGE R (UVVE MME ) - DEE ES -... evhalar dengede oldu una göre, desteklerin oldu u noktalara göre moment al n rsa,...... oldu u görülür. CEVA B d d d d. ucuna göre moment cambaz den ye giderken momenti azald

Detaylı

ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER

ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER ÜN TE IV. DÜZLEMDE VEKTÖRLER 1. YÖNLÜ DO RU PRÇSI I. Yönlü Do ru Parças n n Tan m I I. Yönlü Do ru Parças n n Uzunlu u III. Yönlü Do ru Parças n n Tafl y c s IV. S f r Yönlü Do ru Parças V. Paralel Yönlü

Detaylı

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri

Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı. ALES / Đlkbahar / Sayısal II / 22 Nisan 2007. Matematik Soruları ve Çözümleri Akademik Personel ve Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı ALES / Đlkbahar / Sayısal II / Nisan 007 Matematik Soruları ve Çözümleri 1. 3,15 sayısının aşağıdaki sayılardan hangisiyle çarpımının sonucu bir tam

Detaylı

TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I. Ahmet A A H y l A + (A H) Hasan H. A H y l. Kavram Dersaneleri 56

TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I. Ahmet A A H y l A + (A H) Hasan H. A H y l. Kavram Dersaneleri 56 TAR H MATEMAT K PROBLEMLER - I ÖRNEK 1: Bir lisenin son s n f ö rencileri her grupta eflit say da ö renci olmak üzere 10 gruba ayr l yor. Bu ö renciler 7 gruba ayr lsayd her gruptaki ö renci say s 6 fazla

Detaylı

1.1 GEOMETR YE YOLCULUK 1. ÜN TE. Çevremizde Geometri. Kare, Dikdörtgen ve Üçgen

1.1 GEOMETR YE YOLCULUK 1. ÜN TE. Çevremizde Geometri. Kare, Dikdörtgen ve Üçgen 1. ÜN TE GEOMETR YE YOLCULUK 1.1 Çevremizde Geometri Kare, Dikdörtgen ve Üçgen 1. Kitab n z n sonundaki noktal kâ d ço altarak üçgen, kare ve dikdörtgenler çizerek bunlar isimlendiriniz. 2. Çevrenizde

Detaylı

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir?

ege yayıncılık Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 49 1. Afla daki fonksiyonlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? Parabolün Tan m ve Tepe Noktas TEST : 9. Afla daki fonksionlardan hangisinin grafi i bir parabol belirtir? 5. Afla daki fonksionlardan hangisi A(,) noktas ndan geçer? A) f() = B) f() = f() = + f() =. f()

Detaylı

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan

En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan Gizli Duvarlar En az enerji harcama yasas do an n en bilinen yasalar ndan biridir. Örne in, A noktas ndan yay lan fl k B noktas na gitmek için sonsuz tane yol aras ndan en az enerji harcayarak gidece i

Detaylı

CO RAFYA HAR TA B LG S

CO RAFYA HAR TA B LG S CO RAFYA HAR TA B LG S ÖREK : Bir fiziki haritada Çukurova ile Konya Ovas n n farkl renklerle belirtilmifl olmas, bu ovalar n afla dakilerden hangisi bak m ndan farkl oldu unu gösterir? ÖREK 3 : A) Y ll

Detaylı

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ

11. SINIF KONU ANLATIMLI. 2. ÜNİTE: KUVVET ve HAREKET 3. Konu TORK, AÇISAL MOMENTUM ve DENGE ETKİNLİK ve TEST ÇÖZÜMLERİ 11. SINIF ONU ANAIMI 2. ÜNİE: UVVE ve HAREE 3. onu OR, AÇISA MOMENUM ve DENGE EİNİ ve ES ÇÖZÜMERİ 2 2. Ünite 3. onu ork, Aç sal Momentum ve Denge A n n Yan tlar 1. Çubuk dengede oldu una göre noktas na

Detaylı

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl.

256 = 2 8 = = = 2. Bu kez de iflik bir yan t bulduk. Bir yerde bir yanl fl yapt k, ama nerde? kinci hesab m z yanl fl. Bölünebilme B ir tamsay n n üçe ya da dokuza tam olarak bölünüp bölünmedi ini anlamak için çok bilinen bir yöntem vard r: Say - y oluflturan rakamlar toplan r. E er bu toplam üçe (dokuza) bölünüyorsa,

Detaylı

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ

DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ A OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL-2 TESTİ ALES İlkbahar 007 SAY DİKKAT! SORU KİTAPÇIĞINIZIN TÜRÜNÜ "A" OLARAK CEVAP KÂĞIDINA İŞARETLEMEYİ UNUTMAYINIZ. SAYISAL BÖLÜM SAYISAL- TESTİ Sınavın bu testinden alacağınız standart puan, Sayısal Ağırlıklı

Detaylı

GEOMETRİ SORU BANKASI KİTABI

GEOMETRİ SORU BANKASI KİTABI LİSE ÖĞRENCİLERİNİN ÜNİVERSİTE SINAVLARINA HAZIRLANMALARI İÇİN GEOMETRİ SORU BANKASI KİTABI HAZIRLAYAN Erol GEDİKLİ Matematik Öğretmeni SUNUŞ Sevgili öğrenciler! Bu kitap; hazırlandığınız üniversite sınavlarında,

Detaylı

Üçgenin çemberleri deyince akla ilk gelen üçgenin

Üçgenin çemberleri deyince akla ilk gelen üçgenin atematik ünyas, 2005 K fl Geometri Köflesi ustafa a c / yagcimustafa@yahoo.com www.mustafayagci.com okuz okta (ya da euerbach) Çemberi Üçgenin çemberleri deyince akla ilk gelen üçgenin çevrel çemberi ve

Detaylı

Ö ÜN YAYINLARI. ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN

Ö ÜN YAYINLARI. ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN 009-00 Ö ÜN YINLARI 5. SINIF MATEMAT K DERS ÜN TELEND R LM fi YILLIK PLAN EK M EK M EK M EYLÜL - EK M 9 EK M - EK M EK M - 6 EK M 05 EK M - 09 EK M 8 EYLÜL - 0 EK M R ZAMANI AR TMET K ORTALAMA LA TOPLAMA

Detaylı

Sevdi im Birkaç Soru

Sevdi im Birkaç Soru Sevdi im Birkaç Soru M atematikte öyle sorular vard r ki, yan t bulmak önce çok zor gibi gelebilir, sonradan -saatler, günler, aylar, hatta kimi zaman y llar sonra- yan t n çok basit oldu u anlafl l r.

Detaylı

TEST: 1. Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140

TEST: 1. Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? Şekilde verilenlere göre x kaç derecedir? A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 TEST: 1 1. 4. A) 20 B) 30 C) 40 D) 50 E) 60 A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 2. 5. A) 100 B) 110 C) 120 D) 130 E) 140 A) 96 B) 112 C) 121 D) 128 E) 134 3. 6. A) 40 B) 50 C) 60 D) 70 E) 80 A) 40 B) 50

Detaylı

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT

ÜÇGENLER ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİTE 4. ÜNİT ÜÇGNLR ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT. ÜNİT ÜÇGNLRİN ŞLİĞİ Üçgende çılar. azanım : ir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 80, dış açılarının ölçüleri toplamının 0 olduğunu gösterir. İki Üçgenin şliği. azanım

Detaylı

TEST. Düzgün Çokgenler. 4. Bir iç açısı 140 olan düzgün çokgenin iç açılar 5. A B. 2. Bir dış açısı Çevresi. toplamı kaç derecedir?

TEST. Düzgün Çokgenler. 4. Bir iç açısı 140 olan düzgün çokgenin iç açılar 5. A B. 2. Bir dış açısı Çevresi. toplamı kaç derecedir? üzgün Çokgenler 7. Sınıf Matematik Soru ankası S 49 1. 4. ir iç açısı 140 olan düzgün çokgenin iç açılar toplamı kaç derecedir? ) 70 ) 900 ) 1080 ) 160 Şekilde verilen düzgün çokgenine göre, I., köşesine

Detaylı

9. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ

9. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ 2012 9. SINIF GEOMETRİ KONU ÖZETİ TOLGA YAVAN Matematik Öğretmeni 1. ÜNİTE: TEMEL GEOMETRİK KAVRAMLAR VE KOORDİNAT GEOMETRİYE GİRİŞ Nokta: Herhangi bir büyüklüğü olmayan ve yer belirten geometrik terimdir.

Detaylı

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1

çemberi ile O Çemberlerin birbirine göre durumlarını inceleyelim. İlk durumda alalım. olduğu takdirde O2K1 . merkezli R yarıçaplı Ç çemberi ile merkezli R yarıçaplı ve noktasından geçen Ç çemberi veriliyor. Ç üzerinde, T Ç K T Ç, ve K K T K olacak şekilde bir T noktası alınıyor. Buna göre, uzunluklarından birinin

Detaylı

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIFLAR FİNAL SORULARI

ÖZEL EGE LİSESİ OKULLAR ARASI 14.MATEMATİK YARIŞMASI 8. SINIFLAR FİNAL SORULARI 8 SINIFLAR FİNAL SORULARI 1 3+ 1 denkleminin çözüm kümesini bulunuz ( R ) Aritmetik bir dizinin ilk 0 teriminin toplamı 400 ve dördüncü terimi olduğuna göre, birinci terimini bulunuz 3 4 öğrencinin katıldığı

Detaylı

(ÖSS ) ÇÖZÜM 2:

(ÖSS ) ÇÖZÜM 2: MTEMT K PROLEMLER - II ÖRNEK : ve kentlerinden saatteki h zlar s ras yla V ve V olan (V > V ) iki araç, birbirlerine do ru 2 2 ayn anda hareket ederlerse saat sonra karfl lafl yorlar. u araçlar ayn kentlerden

Detaylı

ÜÇGENLERİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK. Şekilde verilen ABC üçgeninde [BC] kenarına

ÜÇGENLERİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR ÜÇGENLERDE EŞLİK VE BENZERLİK. Şekilde verilen ABC üçgeninde [BC] kenarına . Verilen şekilde en uzun kenar aşağıdakilerden ÜÇGENLERİN KENARLARI ARASINDAKİ BAĞINTILAR. Şekilde verilen ABC üçgeninde [BC] kenarına ait kenar orta dikme, aşağıdaki noktaların hangilerinden geçer? AB

Detaylı

AÖĞRENCİLERİN DİKKATİNE!

AÖĞRENCİLERİN DİKKATİNE! KİTPÇIK TÜRÜ T.C. MİLLÎ EĞİTİM BKNLIĞI ÖLÇME, DEĞERLENDİRME VE SINV HİZMETLERİ GENEL MÜDÜRLÜĞÜ 8. SINIF MTEMTİK 016 8. SINIF. DÖNEM MTEMTİK DERSİ MERKEZÎ ORTK SINVI 7 NİSN 016 Saat: 10.10 dı ve Soyadı

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 GEOMETRİ TESTİ 19 HAZİRAN 2016 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

ÇEMBER KARMA / TEST-1

ÇEMBER KARMA / TEST-1 ÇMR RM / S-... Verilenlere göre, m( ) ) ) 0 ) ) 0 ) Verilenlere göre, m(g ) ) ) ) 6 ) 0 ) 60 0 0 G 0 ) ) ) ) ) 8 L 0 [] [] = {} m( ) = 0 m() = 0 ve üçgenlerinin çevrel çemberi m( ) = 0 m() = 0 m() = üçgen

Detaylı

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi

T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi T.C. Ölçme, Seçme ve Yerleştirme Merkezi LİSANS YERLEŞTİRME SINAVI-1 MATEMATİK TESTİ 11 HAZİRAN 2017 PAZAR Bu testlerin her hakkı saklıdır. Hangi amaçla olursa olsun, testlerin tamamının veya bir kısmının

Detaylı

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4

NİSAN 2010 DENEMESİ A)75 B)80 C)85 D)90 E)95 A)0 B)1 C)2 D)3 E)4 NİSAN 21 DENEMESİ 1) ABCD dikdörtgeninin AB kenarı üzerindeki M noktasından geçen ve CM doğrusuna dik olan doğru AD kenarını E noktasında kesiyor. M noktasından CE doğrusuna indirilen dikmenin ayağı P

Detaylı

TEMEL SORU KİTAPÇIĞI ÖSYM

TEMEL SORU KİTAPÇIĞI ÖSYM 1-16062012-1-1161-1-00000000 TEMEL SORU KİTAPÇIĞI AÇIKLAMA 1. Bu kitapçıkta Lisans Yerleştirme Sınavı-1 Geometri Testi bulunmaktadır. 2. Bu test için verilen cevaplama süresi 45 dakikadır. 3. Bu testte

Detaylı