Farklı Sınıf Düzeyindeki Öğrencilerin Harfli Sembolleri Kullanma ve Yorumlama Seviyeleri

Transkript

1 Kuram ve Uygulamada Eğitim Bilimleri Educational Sciences: Theory & Practice - 13(2) Bahar/Spring Eğitim Danışmanlığı ve Araştırmaları İletişim Hizmetleri Tic. Ltd. Şti. Farklı Sınıf Düzeyindeki Öğrencilerin Harfli Sembolleri Kullanma ve Yorumlama Seviyeleri Derya ÇELİK a Karadeniz Teknik Üniversitesi Gönül GÜNEŞ b Karadeniz Teknik Üniversitesi Öz Bu çalışmanın amacı 7., 8. ve 9. sınıf öğrencilerinin harfli sembolleri kullanma ve yorumlama seviyelerini tanımlamak, karşılaştırmak ve harfli sembolleri kullanma ve yorumlamayı gerektiren durumlarda sıklıkla yaptıkları hataları ortaya koymaktır. Bu amaçla The Concepts in Secondary Mathematics and Science [CSMS] araştırma grubu tarafından geliştirilen Chelsea Cebir Tanı Testi farklı sınıf düzeyindeki toplam 407 öğrenciye uygulanmıştır. Çalışmadan elde edilen sonuçlar üç başlık altında özetlenebilir: i) Sınıf düzeyleri dikkate alındığında, 7. ve 8. sınıf öğrencilerinin büyük bir çoğunluğunun harfli sembollerin genelleştirilmiş sayı, bilinmeyen ve değişken rolünü anlama ve kullanmada, 9. sınıf öğrencilerinin ise özellikle harfli sembollerin değişken rolünü anlamada sorun yaşamaktadır; ii) Öğrencilerin harfli sembolleri kullanma ve yorumlama başarısı her zaman sınıf düzeyi ve yaşa bağlı olarak monoton bir artış göstermemektedir; iii) Öğrencilerin harfli sembollere sayısal değer verme, harfli sembolleri önemsememe ve harfli sembolleri nesne adlarının kısaltması olarak yorumlama eğilimleri farklı sınıf düzeylerinde değişiklik göstermekle birlikte, üst sınıflara doğru azalmaktadır. Ancak soruların karmaşıklık düzeyi arttıkça üst sınıf öğrencilerinin de bu davranışları sergilediği ortaya çıkmıştır. Anahtar Kelimeler Değişken, Bilinmeyen, Genelleştirilmiş Sayı, Harfli Sembolleri Kullanma ve Yorumlama, Öğrenci Anlamaları. Yaklaşık 4000 yıllık bir geçmişle matematiğin en eski çalışma alanlarından biri olan cebir, denklemleri çözmek için genel metotlar bulma çabalarının bir sonucu olarak doğmuştur. Cebir kendine has özellikleri olan bir dildir (Usiskin, 1997). Bu dil genelleme yapma, problemleri çözmek için işlem ve algoritmaları kullanma, nicelikler arasındaki ilişkileri çalışma ve grup, halka, vektör uzayları gibi soyut yapıları inceleme fırsatı vermektedir (Baki, 2006; Driscoll, 1999; Tall ve ark., 2000; Usiskin, 1999). a, b, x, t gibi harfli semboller bu dilin en önemli bileşenlerinden biridir. Harfli sembolleri kullanma cebirin temel kavram ve konularını öğretmede anahtar rol oynamaktadır. Ayrıca, tüm ileri matematik konuları harfli sembolleri kullanma ve yorumlamayı gerektirmektedir (Dominguez, 2001; MacGregor ve Stacey, 1997; Schoenfeld ve Arcavi, 1999). Birçok araştırmacı, öğrencilerin harfli sembolleri kullanma ve yorumlama ile ilgili çeşitli zorluklara sahip olduğunu belirtmektedir (Arzarello, Bazzini ve Chiappini, 1993; Dominguez; Kieran, 1992; Kinzel, 2000; Luo, 2004; MacGregor ve Stacey; Philipp, 1999; Rosnick, 1999; Schoenfeld ve Arcavi; Sfard ve Linchevski, 1994; Stacey ve MacGregor, 1997; Tall ve Thomas, 1991). Bu zorluklar problem çözme sürecinde cebirsel ifade ve cebirsel işlemleri yorumlamada hatalara neden olmaktadır (Küchemann, 1978; Sfard ve Linchevski; Stacey ve MacGregor, 2000). Ayrıca, literatürdeki araştırmalar öğrencilerin harfli sembolleri, özellikle de değişkenleri kullanma yeterliliklerinin analiz konularındaki başarıları üzerinde etkili olduğunu a b Sorumlu Yazar: Dr. Derya ÇELİK matematik eğitiminde yardımcı doçenttir. Çalışma alanları arasında cebir öğretimi, öğretmen eğitimi ve bilgisayar destekli matematik eğitimi yer almaktadır. İletişim: Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fatih Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, Trabzon, Türkiye. Elektronik posta: deryacelik@ktu.edu.tr Tel: Fax: Dr. Gönül GÜNEŞ matematik eğitiminde yardımcı doçenttir. İletişim: Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fatih Eğitim Fakültesi, İlköğretim Bölümü, Trabzon, Türkiye. Elektronik posta: gmgunes@ktu.edu.tr

2 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ göstermektedir (Gray, Loud ve Sokolowski, 2009; Jacobs, 2002). Jacobs değişen nicelikler olarak değişkenleri yorumlama güçlüğü yaşayan öğrencilerinin limit ve türev kavramlarını anlamada zorluk çektikleri sonucuna varmıştır. Bu zorlukların temel sebeplerinden biri, matematikte harfli sembollerin farklı anlamlar taşıyacak şekilde kullanılmasıdır (Driscoll, 1999; Philipp; Schoenfeld ve Arcavi). Harfli semboller bilinmeyen (3x-1=25 deki x gibi), genelleştirilmiş sayı (ab = ba eşitliğindeki a, b gibi), değişken (y=sin (x) deki x,y gibi), sabit (π, e, c gibi), olarak kullanıldıkları gibi nesne adlarının kısaltması (1k=1.2m eşitliğinde k nın kulaç ve m nin metre olması gibi) olarak da kullanılırlar (Philipp; Usiskin, 1999). Dolayısıyla öğrencilerin harfli semboller ve sahip oldukları çeşitli rollerin farkında olması önemlidir. Mevcut çalışma ile bu konu üzerine odaklanılmaktadır. Öğrencilerin Harfli Sembolleri Yorumlaması 1970 lerin sonlarına doğru İngiltere de The Concepts in Secondary Mathematics and Science [CSMS] isimli bir araştırma projesi yürütülmüştür. Bu proje kapsamında yaşlarındaki öğrencilerin matematiksel anlamalarını geliştirmek ve öğrenciler tarafından sıklıkla yapılan hataları ortaya çıkarmak amaçlanmıştır. Bu amaçla, CSMS grubu cebiri de içeren on farklı konu alanı için test geliştirmiştir. Proje kapsamında geliştirilen bu cebir testi Chelsea Cebir Tanı Testi (Chelsea Diagnostics Algebra Test) olarak bilinmektedir. Bu araştırma projesinden elde edilen sonuçlara göre öğrenciler altı farklı şekilde harfli sembolleri kullanmakta ve yorumlamaktadır (Küchemann, 1978, 1981, 1998). Bu altı farklı kullanım ve yorumlama şu şekilde özetlenmektedir: Harfli Sembole Değer Verme: Burada öğrenciler verilen harfli sembolün yerine genellikle belli bir sayısal değer vermektedirler. Örneğin; a+5=8 şeklindeki bir eşitlikte a deneme yanılma yolu ile bulunabilir. Harfli Sembolü İhmal Etme: Harfli sembolün öğrenciler tarafından göz ardı edilmesi veya yorumlanmaması durumudur. Öğrenciler harfe bir anlam vermeden varlığını kabul eder. Örneğin, Eğer a+b=43 ise a+b+2=? şeklindeki bir soruda öğrenciler a+b ifadesini ihmal edip +2 işlemine odaklanabilirler. Böylece soru a ve b kullanılmaksızın doğru bir şekilde cevaplandırılabilir. Harfli Sembolü Nesne Olarak Kullanma: Harfli sembolün nesnenin yerine veya nesne adlarının kısaltması olarak kullanılması durumudur. Nesnelerin sayısı yerine, doğrudan nesnenin kendisi için harfli sembolün kullanımı uygun olmayan bir kullanım şeklidir. Örneklendirmek gerekirse; Mağazada satılan tişörtlerin her biri 5 TL, pantolonların her biri 6 TL dir. Yalnızca bu tişört ve pantolonlardan alıp, toplam 90 TL ödedim. Eğer t alınan tişörtlerin sayısını, p alınan pantolonların sayısını gösteriyorsa t ve p arasındaki ilişkiyi gösteren denklem nedir? şeklindeki soruya verilen t+p=90, 6t+10p=90 gibi cevaplar öğrencilerin harfli sembolleri nesnelerin yerine kullandığının bir kanıtıdır. Bu soruyu çözmek için, harfli sembolleri bilinmeyen olarak kullanmak gerekmektedir. Bilinmeyen Olarak Harfli Sembol: Önceki üç kategoride, öğrenciler belli bir bilinmeyen olarak harfli sembol üzerinde işlem yapmaktan kaçınmaktadırlar. Bu kategoride ise öğrenciler harfleri bilinmeyen olarak kullanır ve yorumlar. n+5 in 4 ile çarpımı gibi bir soru belirli bir bilinmeyen olarak harfli sembolleri yorumlamayı gerektirir. x4 işlemi n+5 cebirsel ifadesinin her iki elemanına da uygulanır. Fakat birçok öğrenci n+5 cebirsel ifadesini bir bütün olarak görmeksizin 4 x n + 5 şeklinde cevap vermektedir. Genelleştirilmiş Sayı Olarak Harfli Sembol: Bu kategoride harfli sembolün birden fazla sayıyı temsil ettiğinin düşünülmesi veya en azından benimsenmesi söz konusudur. Eğer c+d=10 ve c, d den küçük ise c için ne söylenebilir? şeklindeki bir soruya verilen c<5 cevabı genelleştirilmiş sayı olarak harfli sembollerin uygun bir biçimde kullanıldığını ve yorumlandığını göstermektedir. Değişken Olarak Harfli Sembol: Küchemann (1998) değişen nicelikleri temsil eden harfli semboller için değişken kavramını kullanmıştır. Yani harfli sembol bir değer aralığındaki sayılardan herhangi birini temsilen kullanılabilir. 2n ve n+2 den hangisi daha büyüktür? Açıklayınız. şeklindeki bir soruya cevap verebilmek için öğrencilerin harfli sembolü değişken olarak yorumlaması gerekmektedir. Bu çalışmada da değişken kavramı Küchemann ın (1998) tanımladığı şekilde kullanılacaktır. CSMS projesinin bir sonucu olarak, öğrencilerin harfli sembolleri daha önce açıklanan kullanma ve yorumlama şekillerini temele alan dört hiyerarşik anlama seviyesi tanımlanmıştır. 1. ve 2. seviyede (düşük seviye) sınıflandırılan öğrenciler, harfli sembollere rastgele değer verme, onları ihmal etme veya bir nesne (veya adlarının kısaltması) olarak kullanma eğilimindedir. Küchemann e (1998) göre bu iki seviye arasındaki temel farklılık, 2. seviyede sınıflandırılan öğrencilerin 1. seviyedeki öğrencilere göre daha karmaşık problemleri çözebilmesidir. 3. seviyedeki öğrenciler harfli sembolleri bilinmeyen olarak kullanma yeterliliğindedir. 4. seviyeye yerleştirilen öğrenciler (en üst seviye) ise harfli sem- 1158

3 ÇELİK, GÜNEŞ, / Farklı Sınıf Düzeyindeki Öğrencilerin Harfli Sembolleri Kullanma ve Yorumlama Seviyeleri bolleri bilinmeyen, genelleştirilmiş sayı ve değişken olarak kullanabilir ve yorumlayabilir. Bu seviyedeki öğrenciler, 3. seviyeye yerleştirilen öğrencilerden daha karmaşık yapıda ve daha zor çözüm stratejileri kullanmayı gerektiren problemleri çözebilir. Harfli sembolleri kullanma ve yorumlama ile ilgili literatür incelendiğinde öğrencilerin sahip olduğu yaygın kavram yanılgılarından bazıları şu şekilde özetlenebilir; harfli sembole belli bir sayısal değer vermek [2n, n+2 den daima büyüktür çünkü 2x5=10 ve 2+5=7 dir gibi; (Gray ve ark., 2009; Küchemann, 1998; Knuth, Alibali, McNeil, Weinberg ve Stephens, 2005), harfli sembolü nesne adlarının kısaltması olarak yorumlamak (kalem yerine k kullanmak gibi; (Küchemann, 1998; Knuth ve ark.; MacGregor ve Stacey, 1997; Rosnick, 1999), harfli sembolü kayıp bir rakamın yerine kullanmak (eğer n=5 ise 3n=35 dir şeklinde yorumlamak gibi (McNeil ve ark., 2010) ve harfli sembol yerine alfabedeki pozisyonuna karşılık gelen sayısal değeri vermek [a=1, b=2, c=3, gibi (MacGregor ve Stacey, 1997)]. Literatür incelendiğinde, Chelsea Cebir Tanı Testi veya CSMS projesinin sonuçları kullanılarak çocukların harfli sembolleri kullanma ile ilgili anlamalarına yönelik farklı ülkelerde birçok araştırma yürütüldüğü görülmektedir (Bateman, 1997; Gray, Loud ve Sokolowski, 2007; Gray ve ark., 2009; Klanderman, 1996; Lin, 1994; MacGregor ve Stacey, 1997; Sokolowski, 1997; Wyllie, 1996). Örneğin Lin, bu testi Hong Konglu öğrenciler, Wyllie Amerikalı öğrenciler ve Bateman Kanadalı öğrencilere uygulamıştır. Bu çalışmada da Chelsea Diagnostics Algebra test söz konusu bu ülkelerden farklı bir eğitim sistemine sahip Türkiye deki öğrencilere uygulanmıştır. Araştırmadan elde edilen sonuçlar, diğer araştırmacılara ülkemizdeki öğrenciler ve farklı ülkelerdeki öğrenciler arasında harfli sembolleri kullanma ve yorumlama açısından karşılaştırma yapma fırsatı vermektedir. Türkiye deki Cebir Öğretimi Öğrencilerin cebir konularına giriş yaşı ve sınıfı ülkeden ülkeye farklılık göstermektedir (Erbaş, 2005). Genel anlamda Türkiye de ki okul programlarında yer alan cebir içeriği diğer ülkelerden çok farklı olmamakla birlikte, cebir öğrenme ve öğretmede daha çok geleneksel yaklaşımlar benimsendiği görülmektedir (Erbaş). Ancak, son yıllarda matematik eğitiminde yürütülen reform hareketlerinin bir sonucu olarak, ilköğretim ve ortaöğretim matematik öğretim programlarında içerik ve öğrenme-öğretme yaklaşımları açısından önemli değişiklikler meydana gelmiştir. Öğrenci merkezli öğretim ön plana çıkmış, somut nesnelerin, bilgisayar ve hesap makinesi gibi teknolojilerin kullanımı tavsiye edilmiştir (Milli Eğitim Bakanlığı [MEB], 2009, 2011). Bu reform hareketlerinin tam anlamı ile uygulanması zaman alacak olmakla birlikte, yenilenen öğretim programlarında formal anlamda cebir konularına giriş 6. sınıftan itibaren gerçekleşmektedir sınıflar matematik öğretim programında bir öğrenme alanı olarak cebir yer almamasına rağmen, programda yer alan bazı kazanımlar cebir ile ilişkilidir. Örneğin, öğrencilerden örüntü oluşturması, örüntünün kuralını bulması ve kuralı açıklamak için harfler, sayılar, şekiller gibi farklı öğeleri kullanması beklenmektedir sınıflarda her sınıf seviyesinde örüntü ve ilişkiler, cebirsel ifadeler, eşitlik ve denklem gibi alt öğrenme alanları sarmal bir yapı içerisinde sunulmakta, 8. sınıf öğretim programında ayrıca eşitsizlik alt öğrenme alanı yer almaktadır. 6., 7. ve 8. sınıf matematik öğretim programı incelendiğinde cebirle ilgili kazanımlar şu şekilde özetlenebilir (MEB, 2009): Öğrenciler sayı örüntülerini modelleyebilir ve bu örüntülerdeki ilişkiyi harfli sembollerle ifade edebilir. Öğrenciler özdeşlik, denklem, eşitlik, eşitsizlik ve değişken kavramlarını ve bu kavramlar arasındaki farklılıkları açıklayabilir. Lineer denklem ve eşitsizlik sistemlerini cebirsel ve grafiksel yöntemler kullanarak çözebilir. Dokuzuncu sınıf matematik öğretim programı ağırlıklı olarak kümeler, bağıntı, fonksiyon ve sayılar (doğal sayılar, tam sayılar, modüler aritmetik, rasyonel sayılar, reel sayılar, mutlak değer, üslü sayılar ve köklü ifadeler) gibi cebir konularını içermektedir (MEB, 2011). Bu yüzden 9. sınıf kazanımları, bilinmeyen ve genelleştirilmiş sayı ile birlikte değişken olarak harfli sembolleri kullanmayı gerektirir. Cebir öğrenme ile ilgili yurt içi literatür incelendiğinde, öğrencilerin cebirde yaşadıkları zorluklar ve kavram yanılgılarına ilişkin araştırmalarla (Akgün ve Özdemir, 2006; Akkan, Çakıroğlu ve Güven, 2008, 2009; Akkaya, 2006; Akkaya ve Durmuş, 2006; Baki, 1998a; Çelik, 2007; Dede, Yalın ve Argün, 2002; Erbaş, 2005; Erbaş ve Ersoy, 2002a, 2002b, 2002c; Ersoy ve Erbaş, 2005; Soylu, 2008; Şandır, Ubuz ve Argün, 2007; Yaman, Toluk ve Olkun, 2003; Yenilmez ve Avcı, 2009), işlemsel ve kavramsal bilgi bakımından öğrencilerin cebirsel farkındalığını değerlendiren (Baki, 1998b; Baki ve Kartal, 2004) araştırmalarla karşılaşılmaktadır. Bu çalışmalar 1159

4 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ incelendiğinde, araştırmaların daha çok 9. sınıf öğrencileri üzerinde yürütüldüğü anlaşılmaktadır (Baki ve Kartal; Erbaş; Erbaş ve Ersoy, 2002a, 2002b, 2002c; Şandır ve ark.). Bununla birlikte 6. sınıf (Akkaya; Yenilmez ve Avcı), 7. sınıf (Soylu) ve 8. sınıf (Akgün, 2007; Dede ve ark., 2002; Ersoy ve Erbaş) seviyesinde yürütülen çalışmalara da rastlanılmaktadır. Farklı sınıf seviyesinde öğrencilerin cebir ile ilgili anlamalarını karşılaştırmalı olarak sunan çalışmalar da daha az olmakla birlikte yapılmıştır. Örneğin, Baki (1998a) 8. ve 11. sınıf öğrencilerin cebirsel işlem yapma ile ilgili hata ve yanılgılarını; Yaman ve arkadaşları ise farklı sınıflardaki (2, 3, 4, 5, 6. sınıf) öğrencilerin eşitlik kavramı ile ilgili anlamalarını ortaya koymaya çalışmıştır. Akkan ve arkadaşları (2008) 7. ve 8. sınıf öğrencilerinin harfli sembolleri anlama, notasyonları kullanma, işlem kurallarını uygulama ve genelleştirme yapmada olası hata ve yanlış anlamalarını belirlemişlerdir. Akkan ve arkadaşları (2009) ise 6. ve 7. sınıf öğrencilerinin sözel problemlerden denklem oluşturma ve verilen denkleme uygun problem ortaya atma yeterliliklerine odaklanmışlardır. Aritmetikten cebire geçiş açısından kritik öneme sahip 7., 8. ve 9. sınıflardaki öğrencilerin doğrudan harfli sembollerin farklı kullanımları ile ilgili anlamalarına odaklanan araştırmalara ise rastlanılmamıştır. Çalışmanın Amacı Bu çalışmanın amacı, ilköğretim 7., 8. sınıf ve ortaöğretim 9. sınıf öğrencilerinin harfli sembolleri kullanma ve yorumlama seviyelerini tanımlamak ve karşılaştırmaktır. Ayrıca, öğrencilerin harfli sembolleri kullanma ve yorumlamayı gerektiren durumlarda sıklıkla yaptıkları hataları belirlemek çalışmanın bir diğer amacıdır. Yöntem Bu çalışma betimsel bir araştırma olup, mevcut durumun ortaya konulması amaçlanmıştır. Evren ve Örneklem Trabzon il merkezindeki ilköğretim ve ortaöğretim okullarında öğrenim gören 7., 8. ve 9. sınıf öğrencileri bu çalışmanın evrenini oluşturmaktadır. Araştırmanın evreninden örneklem belirleme sürecinde önemli bir ölçüt olan örneklemin evreni temsil etmesine dikkat edilmiştir. Bu doğrultuda örneklem seçilirken her bir sınıf düzeyindeki öğrenci sayısının 100 ün altına düşmemesi sağlanmıştır. Literatürde örneklem büyüklüğü için kesin bir sayı vermenin mümkün olmadığı, ancak normal bir dağılımı temsil edebilecek örnek miktarının 100 den aşağı düşmemesinin yararlı olacağını ifade edilmektedir (Karasar, 2011). CSMS proje kapsamında ve benzer nitelikteki uluslar arası çalışmalarda genellikle yaşlarındaki öğrencilerle çalışılmış olması ve sonuçları bakımından bir karşılaştırma yapma fırsatı sunması açısından bu çalışmada da benzer yaş gruplarındaki öğrencilerle çalışılması gerekliliğini ortaya koymuştur. Türkiye de formal anlamda cebir konularına giriş zamanı da dikkate alındığında 7., 8. ve 9. sınıf öğrencileri üzerinde araştırma yapılmasına karar verilmiştir. Diğer taraftan CSMS projesi kapsamında yürütülen çalışmalar, genellikle başarıları açısından çok üst grupta olmayan normal olarak nitelendirilen öğrenci grupları üzerinde uygulanmıştır. Ağırlığı oluşturan ortalama düzeydeki öğrencilerin harfli ifadeleri kullanma ve yorumlama ile ilgili genel durumlarını ve karşılaştıkları zorlukları tanımlamak önem arz etmektedir. Bu açıdan genel başarıları dikkate alınarak (ilköğretim okulları için SBS başarı sırası, ortaöğretim okulları için LGS başarı sırası) orta sıralarda bulunan ilköğretim ve ortaöğretim okulları arasından 3 ilköğretim okulu ve 2 ortaöğretim okulu rastgele seçilmiştir. Her bir ilköğretim okulundaki 7. ve 8. sınıflardan ikişer şube, ortaöğretim okullarındaki 9. sınıflardan ikişer şube rastgele seçilerek örnekleme dâhil edilmiştir. Trabzon il merkezindeki beş farklı okulun ve 9. sınıflarda öğrenim gören toplam 407 öğrenci bu araştırmanın örneklemini oluşturmaktadır. Örnekleme dâhil olan öğrencilerin yaş ve sınıflara göre dağılımları tablo 1 de verilmiştir. Tablo 1. Öğrencilerin Sınıf ve Yaş Dağılımları Sınıf Düzeyi Ortalama Yaş Öğrenci Sayısı Tablo 1 de de görüldüğü gibi toplam 407 öğrenciden 120 si 7. sınıf, 144 ü 8. sınıf ve 143 ü 9. sınıfta öğrenim görmektedir. Ancak örneklemdeki toplam 18 öğrencinin (7. sınıftan 1 öğrenci, 8. sınıftan 9 öğrenci, 9. sınıftan 8 öğrenci) cevapları, her hangi bir seviyeye atanamadığı için (ayrıntılı bilgi veri analizi kısmında verilmiştir) bulgularda yansıtılmamıştır. Dolayısıyla çalışmanın bulguları 389 öğrenciden elde edilen verilerin analizi doğrultusunda sunulmuştur. 1160

5 ÇELİK, GÜNEŞ, / Farklı Sınıf Düzeyindeki Öğrencilerin Harfli Sembolleri Kullanma ve Yorumlama Seviyeleri Veri Toplama Aracı Bu çalışmada veri toplama aracı olarak Chelsea Cebir Tanı Testi kullanılmıştır. Bu test, CSMS araştırma grubu tarafından geliştirmiştir (Hart, Brown, Kerslake, Küchemann ve Ruddock, 1998). Literatür incelendiğinde öğrencilerin harfli sembolleri kullanma ve yorumlama ile ilgili seviyelerine belirlemeye çalışan çeşitli araştırmalarda Chelsea Cebir Tanı Testinin kullanıldığı görülmektedir (Brown, Hart ve Küchemann, 1985; Çıkla, 2004; Gray ve ark., 2009; Sokolowski, 1997). Bu test, detayları giriş bölümünde verilmiş olan dört hiyerarşik seviyede öğrencilerin harfli semboller ile ilgili anlamalarını sınıflandırmak amaçlı kullanılmaktadır. Test 51 maddeden oluşmaktadır. Bu 51 maddeden 30 u öğrencilerin harfli sembolleri kullanma ile ilgili seviyelerini tanımlamak için kullanılmaktadır (Küchemann, 1998). 1. seviye ve 2. seviyedeki maddeler, bilinmeyen olarak harfleri kullanmaksızın çözülebilirken 3. ve 4. seviyedeki maddeler harfli sembollerin bilinmeyen, bazı durumlarda ise genelleştirilmiş sayı ve değişken rolünü kullanmayı gerektirmektedir (Küchemann, 1998). Madde numaraları, ait oldukları seviye ve her seviye için puanlama kriterleri tablo 2 de gösterilmiştir. Tablo 2. Madde Numaraları, Ait Oldukları Seviye ve Puanlama Kriterleri Seviyeler Madde Numaraları Puanlama kriterleri 5a, 6a, 7b, 8, 9a, 13a 6 cevaptan en az 4 1. Seviye doğru 2. Seviye 3. Seviye 4. Seviye 7c, 9b, 9c, 11a, 11b, 13d, 15a 4c, 5c, 9d, 13b, 13h, 14, 15b, 16 3, 4e, 7d, 13e, 17a, 18b, 20, 21, 22 7 cevaptan en az 5 doğru 8 cevaptan en az 5 doğru 9 cevaptan en az 6 doğru Chelsea Cebir Tanı Testi, Çıkla (2004) tarafından Türkçeye çevrilmiş ve uyarlanmıştır. Bu doğrultuda testin bazı maddelerinin içeriğinde küçük değişiklikler yapılmıştır. Türkçeye uyarlanmış testin güvenirliği KR-20 formülü ile hesaplanmış ve 0,93 olarak tespit edilmiştir. Veri toplama aracı olarak test, eğitimöğretim yılının güz döneminde matematik dersi içerisinde öğrencilere uygulanmış ve testi cevaplamaları için 50 dakikalık süre verilmiştir. Test maddeleri her doğru cevap için 1 puan, her yanlış cevap için 0 puan verilerek puanlanmıştır. Verilerin Analizi Öğrencinin belli bir seviyeye atanması için öncelikle test maddeleri puanlanmıştır. Öğrencinin bir seviyeyi geçebilmesi için tablo 2 de ifade edildiği gibi o seviyedeki soruların en az üçte ikisini doğru cevaplandırması gerekmektedir. Ancak bu tek başına belli bir seviyeye atanmak için yeterli değildir. Öğrencinin aynı zamanda daha alt seviyelerdeki en düşük doğru cevap sayısını da yakalayabilmesi gerekmektedir. Örneğin; bir öğrencinin 3. seviyede sayılabilmesi için testin 3. seviyesindeki sekiz test maddesinden en az beşini doğru cevaplandırması, aynı zamanda 2. seviyedeki yedi maddeden en az beşini ve 1. seviyedeki sekiz maddenin de en az dördünü doğru cevaplandırması gerekmektedir. Bu sebeple herhangi bir seviyeye atanamayan 18 öğrenciye ait veriler analiz sürecine dâhil edilmemiştir. 1. seviye dahi atanamayan öğrenciler 0. seviye olarak sınıflandırılmıştır (Küchemann, 1998). Çalışma süreksiz değişkenler içerdiğinden öğrenci seviyeleri ile ilişkili veriler parametrik olmayan istatistik tekniklerle analiz edilmiştir. Sınıf düzeyleri arasında p=0,05 anlamlılık düzeyinde bir fark olup olmadığı Kruskal-Wallis H testi kullanılarak, sınıflar arasında farklılığın yönü ise Mann-Whitney U testi kullanılarak belirlenmiştir. Nicel analizlere ek olarak, farklı seviyelerden seçilen test maddeleri ayrıntılı olarak incelenmiştir. Bu süreçte öğrencilerin test maddelerine vermiş oldukları cevaplar, doğru, yanlış, boş şeklinde kategorilere ayrılmış ve öğrencilerin yanlışlarının benzerlikleri ve farklılıkları dikkate alınarak detaylı bir şekilde analiz edilmiştir. Bulgular Öğrencilerin Harfli Sembolleri Kullanma ve Yorumlama Seviyelerine İlişkin Bulgular Bu kısımda öğrencilerin sınıf ve harfli sembolleri kullanma ve yorumlama seviyelerinin betimsel analizine ilişkin bulgular sunulmuştur. Tablo 3 te öğrencilerin sınıflara ve seviyelere göre dağılımlarının frekans ve yüzdeleri yer almaktadır. Tablo 3. Her Seviyedeki Öğrenci Sayısı ve Yüzdeleri Sınıflar Toplam Seviyeler f % f % f % f % Seviye , ,8 4 3, ,3 1. Seviye 35 29, , , ,4 2. Seviye 27 22, , , ,3 3. Seviye 32 26, , , ,8 4. Seviye 5 4,2 2 1, ,6 24 6,2 Toplam Tablo 3 incelendiğinde 0., 1. ve 2. seviyede öğrenci yüzdesinin sınıf düzeyi arttıkça azaldığı görülmek- 1161

6 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ tedir. Ancak 3. ve 4. seviyede durum tersine dönmekte ve 3. ve 4. seviyedeki öğrenci yüzdesi sınıf seviyesi arttıkça artmaktadır ( 4. seviyede 7. sınıftan 8. sınıfa geçiş hariç). Tablo 3 teki verilere göre, 7. ve 8. sınıf öğrencileri harfli sembolleri bilinmeyen, genelleştirilmiş sayı ve özellikle değişken olarak kullanma ve yorumlamada çok başarılı olamamışlardır. 4. seviyedeki düşük öğrenci yüzdeleri (7. sınıftaki öğrencilerin sadece %4,2 ve 8. sınıftaki öğrencilerin sadece %1,5) bu durumun bir kanıtıdır. 9. sınıfa gelindiğinde 4. seviyedeki öğrenci yüzdesinde diğer sınıflara göre belirgin bir artış olmakla birlikte (%12.6 sı 9. seviyede) bu gelişimin beklentilerin altında olduğu söylenebilir. Çünkü bu veriler 9. sınıf öğrencilerinin yalnızca sekizde birinin harfli sembollerin değişken kavramını da içeren çeşitli rollerini kullanma ve yorumlamada başarılı olduğu anlamına gelmektedir. Değişken kavramı, 9. sınıf matematik dersi öğretim programında ve sonraki sınıflarda yer alan fonksiyonlar (doğrusal, ikinci dereceden denklem, logaritma, üstel v.s) ve daha ileri düzey matematik konularını öğrenebilmek için ön koşul niteliğinde bir kavramdır. Dolayısıyla 9. sınıfta 4. seviyedeki öğrenci yüzdesi çok düşüktür. Tablo 4 te sınıf seviyelerine bağlı olarak her seviyedeki birikimli öğrenci yüzdeleri yer almaktadır. Tablo 4. Her Seviyedeki Birikimli Öğrencilerin Yüzdeleri Sınıflar 1. Seviye veya üstü 2. Seviye veya üstü 3. Seviye veya üstü 4. Seviye 7 83,2 53,8 31,1 4,2 8 82,3 55,6 33,4 1,5 9 97,1 85,2 65,9 12,6 Tablo 4 te 9. sınıfta 3. seviye ve üstündeki öğrenci yüzdesindeki belirgin artış dikkat çekicidir. Yine, tablo 4 ten 8. sınıftan 9. sınıfa geçişte önemli bir gelişim olduğu, fakat 7. sınıftan 8. sınıfa geçişte bu gelişimin çok küçük olduğu kolaylıkla görülebilmektedir. İstatistiksel olarak, Kruskal-Wallis H testi (x 2 = 51.64;df = 2; p <. 05) sonuçlarına göre sınıflar arasında farklılık olduğu tespit edilmiştir. Mann-Whitney U testi sonuçlarına göre, 7. ve 8. sınıflar arasındaki farkın istatistiksel olarak anlamlı olmadığı (p>,05), ancak 7. ve 9. sınıflar arasındaki fark ile 8. ve 9. sınıflar arasındaki farkın istatistiksel olarak anlamlı olduğu (p<,05) bulunmuştur. Öğrencilerin Test Maddelerine Vermiş Oldukları Cevaplara İlişkin Bulgular Bu başlık altında, sırasıyla farklı sınıflardaki öğrencilerin test maddelerine verdikleri cevapların doğru yüzdesi ve öğrencilerin farklı seviyelerdeki sorulara verdikleri cevapların ayrıntılı analizi sunulmuştur. Tablo 5 farklı sınıflardaki öğrencilerin test maddelerine verdikleri doğru cevap yüzdelerini göstermektedir. Tablo 5 e göre, 1. ve 2. seviyedeki maddelere verilen cevapların doğru yüzdesi her sınıf seviyesinde (bir durum hariç-8. sınıf 9c maddesi) %50 nin oldukça üstündedir. 3. seviyede 7. sınıf öğrencilerine ait doğru cevap yüzdelerinin neredeyse tamamı, 8. sınıf öğrencilerine ait doğru cevap yüzdelerinin yarısı %50 nin altında olmasına rağmen, 9. sınıf öğrencilerine ait doğru cevap yüzdelerinin tamamı %50 nin üstündedir. 4. seviyedeki maddelerin doğru yüzdeleri incelendiğinde, her sınıf seviyesinde maddelere özellikle 3, 17a ve 22. maddelere ait doğru cevap yüzdeleri çok düşüktür. 1. seviyedeki maddelerin bir kısmı tamamıyla sayısal veriler içermekte (8, 7b) diğer bir kısmı ise harfli sembollerin nesne olarak yorumlanması (9a, 13a), harfli sembollere değer verilmesi (6a) veya harfli sembolleri hiç kullanmaksızın (5a) çözülebilir niteliktedir. Bu gerekçeden dolayı bu kısımda 2. seviye ve üstündeki seviyelerden bazı maddelerin ayrıntılı analizine yer verilecektir. Her bir maddeye öğrencilerin verdikleri doğru cevaplar, farklı tipteki yanlış cevaplar ve cevap vermeme durumu yüzdeleri ile birlikte tablolarda özetlenecektir. Maddeler seviyesi ve numarası dikkate alınarak sunulmuştur. 2. Seviye/ 13d. 2a+5b+a İfadesini En Sade Şekilde Yazınız: Öğrencilerin bu maddeye vermiş oldukları cevaplar tablo 6 da özetlenmiştir. Tablo 6. 13d Maddesine Verilen Öğrenci Cevapları Öğrenci cevapları Sınıflar 7 (%) 8 (%) 9 (%) Doğru (3a+5b) 59,7 63,7 90,4 8a, 8b, 8a+b 10,9 5,2 4,4 8ab, 3a5b 2,5 8,9 2,2 Sayısal değer 1,7 0,7 0,0 Diğer 2,5 3,7 1,5 Boş 22,7 17,8 1,5 13d maddesine öğrencilerin doğru cevap verebilmesi için benzer terimleri toplaması gerekmektedir. Tablo 6 dan da görüldüğü gibi bu maddede 9. sınıf öğrencileri en yüksek doğru cevap yüzdesine 1162

7 ÇELİK, GÜNEŞ, / Farklı Sınıf Düzeyindeki Öğrencilerin Harfli Sembolleri Kullanma ve Yorumlama Seviyeleri Tablo 5. Test Maddelerine Verilen Doğru Cevap Yüzdeleri* Sınıflar Maddeler Doğru % Doğru % Doğru % 6a 80,7 85,2 92,6 Maddeler Doğru % Doğru % Doğru % 4c 50,4 63,0 85,2 5a 79,0 78,5 94,8 5c 28,6 51,1 78,5 7b 70,6 60,7 71,9 9d 40,3 20,0 54,1 1. Seviye 8 89,9 92,6 94,8 13b 40,3 34,1 63,0 3. Seviye 9a 89,9 81,5 91,9 13h 37,0 51,9 74,1 13a 71,4 82,2 97, ,4 37,8 55,6 15b 47,9 53,3 72,6 16 4,2 5,2 20,7 7c 63,0 55,6 71,1 3 0,8 0,0 3,7 9b 72,3 60,0 84,4 4e 31,9 51,9 59,3 9c 61,3 48,1 64,4 7d 16,8 25,9 47,4 2. Seviye 11a 72,3 74,1 95,6 13e 35,3 26,7 44,4 4. Seviye 11b 58,0 65,9 91,9 17a 3,4 0,7 8,9 13d 59,7 63,7 90,4 18b 16,8 29,6 38,5 15a 65,5 55,6 71, ,4 21,5 37, ,9 16,3 35,6 22 3,4 0,7 13,3 *Tabloda koyu yazılan sayılar, doğru yüzdeleri %50 den az olan maddeleri göstermektedir. (%90,4) ve en düşük boş bırakma yüzdesine sahiptir (%1,5) ve sınıf seviyesi azaldıkça doğru cevap verme yüzdesi azalmakta, boş bırakma yüzdesi artmaktadır. 8a, 8b ve 8a+b cevabını veren öğrencilerin a ve b harfli sembolleri ihmal ederek katsayılarını topladıkları, sonrasında a ve/veya b yi farklı şekillerde bu toplama dâhil ettikleri söylenebilir. 7. sınıf öğrencilerinin %10,9 u bu şekilde cevap vermiştir. 8ab, 3a5b şeklinde cevap veren öğrenciler de benzer bir düşünce ile bu sonucu üretmiş olabilirler. Ancak bu türden cevapların harfli sembolleri nesnelerin yerine kullanma şeklinde bir düşünmenin ürünü olması daha muhtemeldir. Özelikle de 3a5b şeklindeki öğrenci cevaplarında. Bu maddeye bu şekilde cevap veren öğrenci yüzdesi en yüksek 8. sınıftadır (%8,9). 13d maddesi için verilen yanlış cevaplar ağırlıklı olarak bu paragrafta bahsedilen iki grupta toplanmıştır. 3. Seviye/ 13b. 2a+5b İfadesini En Sade Şekliyle Yazınız: Öğrencilerin bu maddeye vermiş oldukları cevaplar tablo 7 de ayrıntılı olarak verilmiştir. Bu madde de yer alan 2a+5b cebirsel ifadesini, a ve b arasındaki ilişkiye veya a ve/veya b nin değerine dair herhangi bir şey bilinmediği durumda daha sade bir formda yazmak mümkün değildir. Bu ise en az üçüncü seviyede bir anlamayı gerektirmektedir. 7. sınıf öğrencilerin %40,3; 8. sınıf öğrencilerin %34,1 ve 9. sınıf öğrencilerinin %63 ü bu maddeye doğru cevap vermiştir. Tablo 7. 13b Maddesine Verilen Öğrenci Cevapları Öğrenci cevapları Sınıflar 7 (%) 8 (%) 9 (%) Doğru (2a+5b) 40,3 34,1 63,0 7a+b, 7b, 7(a+b) 22,7 5,9 7,4 7ab 10,9 20,7 8,1 9 10,1 0,0 0,0 Diğer 4,2 6,7 3,7 Boş 11,8 32,6 17,8 Tablo 7 de öğrencilerin vermiş olduğu yanlış cevaplar incelendiğinde; 7a+b, 7b ve 7(a+b) şeklinde cevap veren öğrencilerin, harfli sembolleri ihmal edip katsayılarını toplamak şeklinde bir yaklaşım sergiledikleri söylenebilir. 7. sınıf öğrencilerinin %22,7 si bu şekilde cevap verirken 8. ve 9. sınıflarda bu oran çok daha düşüktür. 7ab şeklinde verilen cevap, harfli sembolleri ihmal etme şeklinde bir yaklaşımının 1163

8 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ sonucu olabileceği gibi, öğrencilerin harfli sembolleri bir nesne olarak düşündüğünün de göstergesi olabilir. Yani 2 tane a nesnesi ile 5 tane b nesnesinin toplamı 7 tane a ve b nesnesi ede şeklinde bir düşüncenin sonucu olarak da ortaya çıkabilir. Bu şekilde cevap veren öğrenci yüzdesi her ne kadar 9. sınıf seviyesinde düşüş göstermişse de (%8,1) özellikle 8. sınıf seviyesinde oldukça yüksektir (%20,7). Diğer taraftan öğrencilerden 2a+5b ifadesini daha sade formda yazmaları istendiği ve 2a+5b yi daha sade formda nasıl yazacaklarını bilmedikleri içinde bu şekilde de cevap vermiş olabilirler. Ancak 13d maddesinde böyle bir durum söz konusu olmamasına rağmen, öğrencilerin harfli sembolleri ihmal ettiği veya nesne olarak yorumladığını örneklendiren cevaplar verdiği görülmektedir. İlginç bir diğer bulgu 8. ve 9. sınıflarda rastlanmamakla birlikte 7. sınıf öğrencilerinin %10,1 nin 2a+5b cebirsel ifadesine karşılık sayısal bir sonuç bulmasıdır. Bu şekilde cevap veren öğrenciler, aritmetikten gelme bir alışkanlıkla bu cebirsel ifadeyi belli bir sayısal değere eşit kılan tek bir terim ile ifade etme ihtiyacı hissetmiş olabileceği düşünülmektedir. 3. Seviye/ 16. Eğer c+d=10 ve c, d den Küçük ise c için Ne Söylenebilir? Öğrencilerin bu maddeye vermiş oldukları cevaplar tablo 8 de yer almaktadır. Tablo Maddeye Verilen Öğrenci Cevapları Öğrenci cevapları Sınıflar 7 (%) 8 (%) 9 (%) Doğru (c<5) 4,2 5,2 20,7 0,1,2,3,4 (sistematik liste) 25,2 30,4 33,3 c<d 8,4 5,2 8,1 c=10-d 0,0 3,0 6,7 Sadece tek değer 9,2 11,1 3,7 Diğer 5,9 2,2 7,4 Boş 17,6 43,0 20,0 Bu madde harfli sembollerin genelleştirilmiş sayı olarak kullanılması ve yorumlanmasını gerektirmektedir. Doğru cevap verebilmek için, c nin birden fazla değeri temsil eden bir harf olduğunun düşünülmesi gerekir. Tablo 8 incelendiğinde bu maddeye doğru cevap veren öğrenci yüzdesinin 7. ve 8. sınıflarda oldukça düşük iken 9. sınıfta %20,7 olduğu görülmektedir. Her sınıf seviyesinde 0, 1, 2, 3, 4 veya 1, 2, 3, 4 şeklinde sistematik liste yaparak cevap veren öğrenci sayısı az değildir (7. sınıfta %25,2; 8. sınıfta %30,4 ve 9. sınıfta %33,3). Bu şekilde cevap veren öğrencilerin c nin 5 ten küçük olması gerektiği çıkarımını yaptıkları, yani c nin birden fazla değer alabileceğinin farkında oldukları, ancak c ye doğal sayı veya pozitif tam sayı değerler verdikleri görülmektedir. Türkiye de ilkokul matematik dersi öğretim programlarına göre öğrenciler erken sınıflardan itibaren kesir kavramı ile tanışmakta, 7. sınıfta rasyonel sayı kümesini, 8. sınıfta ise reel sayı kümesini inşa etmektedirler. Buna rağmen bu soruya cevap verirken yalnızca doğal sayılar kümesini göz önüne aldıkları görülmektedir. Diğer taraftan 7. sınıf öğrencilerinin %9,2 si, 8. sınıf öğrencilerin %11,1 ve nispeten daha az olmakla birlikte 9. sınıf öğrencilerin %3,7 si c ye yalnızca bir değer vermiştir. Bu şekilde cevap veren öğrencilerin harfli sembollerin genelleştirilmiş sayı rolünü kavrayamadıkları söylenebilir. c=10-d veya c<d cevabını veren öğrencilerin maddenin yalnızca bir kısmına odaklanarak cevap verdikleri anlaşılmaktadır. Tablo 5 e göre 7. ve 9. sınıftaki öğrencilerin yaklaşık %20 si bu maddeyi boş bırakırken, 8. sınıfta boş bırakma yüzdesi 43,2 dir. 4. Seviye/ 3. 2n ve n+2 den Hangisi Daha Büyüktür? Neden? Açıklayınız Öğrencilerin bu maddeye vermiş oldukları cevaplar tablo 9 da ayrıntılı olarak verilmiştir. Tablo Maddeye Verilen Öğrenci Cevapları Öğrenci cevapları Sınıflar 7 (%) 8 (%) 9 (%) Doğru (n>2 için 2n>n+2, n=2 için 2n=n+2 ve n<2 için 2n<n+2) 0,8 0,0 3,7 2n 53,8 54,8 48,1 n+2 14,3 12,6 5,2 Aynı 6,7 3,0 0,0 n nin değerine bağlı 0,0 3,7 5,2 Boş 24,4 25,9 37,8 3. maddede n değerine bağlı iki cebirsel ifade (2n ve n+2) birbirine göre büyüklüklerinin karşılaştırılması istenmektedir. Bu maddenin her sınıf seviyesindeki tüm öğrenciler için en zor soru olarak tespit edilmiştir (bkz. Tablo 5). Tablo 9 dan da görüldüğü gibi öğrencilerin çoğu (7. sınıfta % 53,8; 8. sınıfta % 54,8 ve 9. sınıfta %48,1) soruya 2n daha büyük bir sayıdır cevabını vermişlerdir. Öğrencilerin böyle bir cevap vermiş olmalarının temel sebeplerinde biri n nin 2 ile çarpımının, n nin 2 ile toplamından daha büyük sonuç üreteceğini düşünmüş olmalarıdır. Bu yüzden öğrencilerin büyük bir çoğunluğun n yi bir değişken olarak değil, belli bir değer olarak yorumladıkları söylenebilir. n+2 veya aynı cevabını veren öğrenciler n ye tek bir değer vererek bu cevabı üret- 1164

9 ÇELİK, GÜNEŞ, / Farklı Sınıf Düzeyindeki Öğrencilerin Harfli Sembolleri Kullanma ve Yorumlama Seviyeleri miştir. Bu şekilde cevap veren öğrenci yüzdesi 7. sınıfta %21 iken, 8. sınıfta %15,6 ve 9. sınıfta %5,2 dir. Soruya n nin değerine bağlı şeklinde cevap veren öğrenciler, genellikle n ye birden fazla değer vermiştir. Eğer bu öğrenciler deneme-yanılma yöntemini sistematik bir şekilde kullanmış olsalardı, tam olarak doğru çözüme de ulaşabileceklerdi. Ayrıca bu şekilde cevap veren öğrencilerin büyük bir çoğunluğu n ye pozitif tam sayı değerleri vermiştir. Bu madde için en yüksek doğru cevap yüzdesine (%3,7) 9. sınıf öğrencileri sahiptir ki bu gerçekten de çok düşük bir yüzdedir. Diğer taraftan 8. sınıf öğrencilerinin hiçbirinin bu maddeye doğru cevap verememiş olması da ilginç bir bulgudur. 4. Seviye/ 17a. Hakan ın bir günlük kazancı 20 TL ve fazla mesai yaptığı her saat başına 7 TL daha almaktadır. Eğer s, bir hafta boyunca yapılan fazla mesai saatini ve k, Hakan ın haftalık toplam kazancını gösteriyorsa, s ile k arasındaki ilişkiyi gösteren bir denklem yazınız: Öğrencilerin bu maddeye verdikleri cevaplar tablo 10 da ayrıntılı olarak verilmiştir. Tablo a. Maddeye Verilen Öğrenci Cevapları Öğrenci cevapları Sınıflar 7 (%) 8 (%) 9 (%) Doğru (k=140+7s) 3,4 0,7 8,9 k=140+s, k=20+s, s+k 6,7 4,4 9,6 7s+20k=x, 7k+7s (=189), 20+7=27 27,7 13,3 14,8 Diğer cevaplar 11,8 14,8 25,9 Boş 50,4 66,8 40,8 Bu madde bilinmeyen olarak harfli sembollerin kullanımı gerektirmektedir. Tablo 10 a göre öğrencilerin büyük bir çoğunluğu, özellikle de 8. sınıf öğrencileri (%66,8) bu soruya cevap vermemiştir. Bu madde testin son maddesi olmamasına rağmen, öğrencilerin büyük bir çoğunluğu tarafından boş bırakılmış olmasının temel sebeplerinden biri problemin öğrencilere karmaşık gelmesi olabilir. Öğrencilerin k=140+s, k=20+s ve s+k şeklindeki yanlış cevapları, harfli sembolleri bir nesne olarak kullandıklarının göstergesi olabilir. Öğrenciler k=140+s şeklindeki cevaplarında s yi fazla mesai saatinin sayısı yerine fazla mesai olarak kullanmıştır. Tüm sınıflarda bu şekilde yanlış cevap veren öğrenci yüzdesi çok yüksek olmamakla birlikte (7. sınıfta %6,7; 8. sınıfta %4,4; 9. sınıfta %9,6) mevcuttur. Öğrencilerin 7s+20k=x, 7k+7s (=189) gibi yanlış cevaplar öğrencilerin harfli sembollere değer verdiklerinin bir göstergesi olabilir. Tablo 10 a göre bu şekilde cevap bu şekilde cevap veren öğrenci yüzdesi en fazla 7. sınıftadır (%27,7). Diğer sınıflarda bu yüzde daha düşük olmasına rağmen, her sınıftaki öğrencilerin %10 nundan fazlası bu hatayı yapmıştır. Bunun sebeplerinden biri sorunun birden fazla bilinmeyen içermesi ve öğrencilerin sayısal bir cevap bulma eğiliminde olması olabilir. Tablo 10 a bakıldığında, dokuzuncu sınıf öğrencilerinin %8,9, sekizinci sınıf öğrencilerinin %3,4 ü ve yedinci sınıf öğrencilerinin %0,7 si bu soruya doğru cevap vermiştir. Dikkat edilirse sınıf seviyesi düştükçe öğrencilerin doğru cevap yüzdesi de azalmaktadır. Tartışma ve Sonuçlar Her sınıf düzeyinde farklı seviyelerdeki (1., 2., 3. ve 4. seviye) sorulara öğrencilerin verdikleri doğru cevap yüzdeleri karşılaştırıldığında (bkz. Tablo 5), 3. seviyede ve belirgin bir şekilde 4. seviyede düşüş yaşandığı ortaya çıkmıştır. Sınıf düzeyleri dikkate alındığında, 7. ve 8. sınıf öğrencilerinin büyük bir çoğunluğunun harfli sembollerin genelleştirilmiş sayı, bilinmeyen ve değişken rolünü anlama ve kullanmada zorluk yaşadığı, 9. sınıf öğrencilerinin ise özellikle harfli sembollerin değişken rolünü anlamada sıkıntı yaşadığı sonucuna ulaşılabilir. Dokuzuncu sınıf matematik dersi öğretim programı harfli sembollerin değişken, bilinmeyen, genelleştirilmiş sayı, parametre, sabit gibi farklı rollerini kullanmayı gerektiriyor olmasına rağmen, dokuzuncu sınıf öğrencilerinin çok azı (12,6%) 4. seviye çıkabilmiştir. Lise öğrencileri üzerinde yürütülen birçok araştırma (Kinzel, 2000, 2001; Rosnick, 1982; Stacey ve MacGregor, 2000), öğrencilerin harfli sembollerin farklı kullanımlarını anlama ile ilgili benzer zorluklara sahip olduğu ortaya koymaktadır. Belli bir kavram ile ilgili yeterli düzeyde anlamaya sahip olmama bilginin uygulanması, yani bir başka duruma transferi aşamasında sıkıntılara sebep olmaktadır (McNeil, 2007). Kavramla ilişkili anlamalar arttıkça, birey gerçek bir uzmanın bilgiyi transfer etmede sahip olduğu esnekliği gösterebilmektedir. Altıncı sınıftan itibaren örüntüleri harfli sembollerle modelleme etkinlikleri, yedinci sınıftan itibaren y=ax+b şeklindeki doğrusal denklemler ve grafikleriyle ilgili uygulamalar ilköğretim matematik öğretim programında yer almasına rağmen, dokuzuncu sınıf öğrencilerinin değişken kavramı ile ilişkili olarak bahsi geçen esnekliğe henüz sahip olmadıkları ifade edilebilir. Bu duruma sebep olabilecek birçok şey söylemek mümkün olmakla birlikte, öğretim programları ve öğretmenlerin sınıf içi uygulamalarının etkisi önemli bir faktör olarak 1165

10 KURAM VE UYGULAMADA EĞİTİM BİLİMLERİ ortaya çıkmaktadır. Knuth ve arkadaşları (2005), 13 yaşındaki öğrenciler üzerinde yürüttüğü çalışmada tek bir harfli sembolün birden çok değerin yerine kullanımını destekleyecek şekilde öğrencilere çalışma fırsatı vermiş ve sonuç olarak öğrencilerin büyük bir kısmının harfli sembolleri değişken olarak yorumlamada başarılı olduğunu göstermiştir. MacGregor ve Stacey (1997), yaş öğrencilerin harfli sembolleri nasıl yorumladıklarını incelediği araştırmasında, öğrenci yorumlarının ağırlıklı olarak sınıf içinde kullanılan öğretim materyallerine dayandığını belirlemiştir. Her iki araştırmada sonuç olarak öğrencilerin harfli sembolleri kullanma ve yorumlamadaki başarısının, öğretim programı ve öğretim materyallerine bağlanabileceğini ifade etmiştir. Formal anlamda harfli sembollerin kullanılmaya başladığı ilköğretim ikinci kademe öğretim programı incelendiğinde; harfli sembollerin farklı kullanımlarına yönelik çok belirgin bir vurgu olmasa da kullanımı örneklendiren uygulamalar (örüntülerin kuralının genellenmesi, sayılara ilişkin özelliklerin harfli semboller ile temsili, denklem ve eşitsizliklerin çözümü) yer almaktadır (MEB, 2009). Ancak öğretmenlerin sınıf içi uygulamalarına bunları nasıl yansıttıklarına bu çalışma kapsamında bakılmamıştır. Bu anlamda harfli sembollerin farklı rollerini anlama ve kullanmaya ilişkin olarak öğretim programları ve öğretim materyallerinin çok daha ayrıntılı analizi ve öğretmenlerin sınıf içi uygulamalarının resmedilmesi farklı çalışmaların konusu olabilir. Çalışma sonunda ortaya çıkan bir diğer durum genel anlamda sınıf düzeyi arttıkça, 3. ve 4. seviyedeki öğrenci sayısında da bir artış görülmüş olmasıdır (bkz. Tablo 3). Her ne kadar bu artış yedinci sınıftan sekizinci sınıfa geçişte anlamlı değil ise de yedinci ve sekizinci sınıftan dokuzuncu sınıfa geçişte anlamlıdır. Bu bulgular ışığında öğrencilerin harfli sembollerle ilgili anlamalarındaki gelişimde cebire aşinalığın önemli olduğu sonucuna varılabilir. 7. ve 8. sınıf öğrencileri de program gereği cebir konuları ile ilgili deneyimlere sahip olmasına rağmen, 9. sınıfta bir sıçrama olmuştur. 7.ve 8. sınıf boyunca öğrenciler matematikte cebir ile birlikte sayılar, ölçme, geometri ve olasılık istatistik öğrenme alanlarında da ders almaktadırlar. Ancak 9. sınıf matematik programında ağırlıklı olarak cebir konuları işlenmekte ve bu konular harfli sembollerin farklı kullanım şekillerini kullanmayı gerektirmektedir (MEB, 2011). Dolayısıyla çok daha fazla deneyime sahip olmalar neden sıçramanın 9. sınıfta yaşandığının bir gerekçesi olabilir. Her sınıf düzeyinde, her seviyedeki genel öğrenci yüzdelerinden hareketle yapılan çıkarımlarda 7. ve 8. sınıf arasında anlamlı bir farklılık olmadığı ortaya koymaktadır. 7. ve 8. sınıf öğrencilerinin her bir soru maddesine verdikleri cevaplar incelendiğinde (bkz. Tablo 5) bazı maddelerde (7b,9a, 7c, 9b, 9c, 15a, 9d, 13b, 3, 13e, 17a, 20, 21, 22) 7. sınıf öğrencilerinin 8. sınıf öğrencilerinden daha yüksek doğru cevap yüzdesine sahip olduğu görülmektedir ki söz konusu maddelerin birçoğu 3. ve 4. seviyedeki soru maddelerdir. Bu sonuç, öğrencilerin harfli sembolleri kullanma ve yorumlamayla ilgili başarılarının yalnızca yaş ve bilişsel gelişimle açıklanamayacağının bir göstergesidir. Böyle bir durumun ortaya çıkmasında birçok faktörün (öğrenci ön bilgileri, öğretim programı, sınıf içi uygulamalar, gibi) etkisinden söz edilebilir. Bu faktörlerden biri literatürde U-şeklinde bilişsel gelişim adını verilen gelişim şekli olabilir. Bu yaklaşıma göre öğrencilerin performansları her zaman yaşa bağlı olarak monoton bir şekilde artmaz (Baylor, 2001; McNeil, 2007). Bunun yerine öğrenciler kendi bilişsel yapıları ve dış ortamın (öğrencinin kendisi zihinsel yapısı dışındaki) özellikleri arasındaki etkileşime bağlı olarak iniş çıkışlar içeren bir gelişim gösterebilir (Baylor; McNeil). Bu bakış açısıyla, aritmetik işlemlerle ilgili erken başlayan ve uzun süre devam eden pratikler öğrencilerin harfli sembolleri kullanma ve anlama ile ilişkili performanslarını olumsuz yönde etkileyebileceği söylenebilir. Çünkü cebir, aritmetikteki işlemsel yapı ile birebir örtüşmemektedir. Harfli sembolleri kullanma ve yorumlamada henüz çok yeterli olmayan 8. sınıf öğrencilerinin 7. sınıf öğrencilerine göre performanslarının düşük olması, kafalarının daha çok karışık olması dolayısıyla daha çok hata yapmalarından kaynaklanmış olabilir. Diğer matematik kavramlarda olduğu gibi öğrencilerin harfli sembollerle ilgili anlamalarında sahip oldukları ön bilgiler önemlidir. Öğrenciler her ne kadar cebir konularını formal olarak 6. sınıftan itibaren almaya başlıyorlarsa da, bu sınıf düzeyine gelinceye kadar harfli sembolleri farklı amaçlar için farklı şekillerde kullanmaktadırlar. Örneklendirmek gerekirse; harfli semboller çok yaygın bir şekilde kısaltma yapmada (metre yerine m, alan yerine A, ton t, gram g, litre L,...gibi), geometrik şekillerin köşe ve kenar uzunluklarını isimlendirmede (üçgenin köşelerini A, B ve C, kenar uzunluklarını a, b ve c ile temsil etme), ölçü birimleri arasında dönüşüm yapmada (2 m= 200 cm gibi), bazı formüllerin ifadesinde (karenin çevresi Ç=4xa gibi), baş harfler kullanılarak yapılan çeşitli kısaltmalarda (Amerika Birleşik Devletleri yerine ABD gibi), bazen de gizli kodlar yazma veya yorumlama da (1 in yerine A, 2 için B,...) kullanılmaktadırlar. Harfli sembolleri bu şekilde kullanmaya alışmış öğrenciler- 1166

11 ÇELİK, GÜNEŞ, / Farklı Sınıf Düzeyindeki Öğrencilerin Harfli Sembolleri Kullanma ve Yorumlama Seviyeleri den, cebir derslerinde harfli sembolleri bilinmeyen, genelleştirilmiş sayı ve değişken olarak kullanma ve yorumlamasını gerektiren yeni düşünme şekilleri geliştirmesi beklenmektedir. Bu bir anda gerçekleşebilecek bir gelişim olmayıp, ilköğretim ikinci kademe öğrencilerinin harfli sembolleri bilinmeyen, genelleştirilmiş sayı ve özellikle değişken olarak uygun bir şekilde kullanmalarını destekleyecek güçlü bir alt yapıya ihtiyaç duydukları açıktır. Özellikle 7. ve 8. sınıf öğrencilerinin, bulgularda da örneklendirildiği gibi, cebirsel ifadeleri yorumlamada harfli sembolleri nesne adlarının kısaltması olarak düşünmelerinde, daha önceki dönemlerde yaygın bir şekilde harfli sembolleri bu amaçla kullanmış olmaları etkili olabilir. Mcneil ve arkadaşları (2010) bu geçiş aşamasında çağrıştırıcı harfli sembollere (kalemlerin sayısı yerine k kullanmak gibi) çok yer verilmemesi gerektiğini önermektedirler. Mcneil ve arkadaşları (2010) göre belli bir kavramla ilişkili olarak öğrencilerin sahip olduğu anlamalar (doğru veya yanlış) içeriğe bağlı olarak aktif hale gelebilmektedir. Dolayısıyla belli bir kavramla ilgili belli bir düşünme şekli yerleşmiş ise -etiket olarak harfli sembolleri yorumlama da olduğu gibi- daha kolay bir şekilde aktif hale gelebilmektedir. Tersine, bir kavramla ilgili belli bir düşünme şekli yeni ortaya çıkmaya başlamışsa -değişken olarak harfli sembolü yorumlama da olduğu gibi- bu içeriğe bağlı olarak aktif olabilmekte ya da olmamaktadır. Bu bakış açısı altında öğrencilerin değişken olarak harfli sembolleri kullanma durumları, etiket alarak harfli sembolleri yorumlamayı güçlendiren bir içerikte (kalemlerin sayısı yerine k yazmak gibi) engellenebilir, aksi yönde tasarlanmış bir içerikte (kalemlerin sayısı yerine x) ise geliştirilebilir. Çalışmada öğrenci cevaplarına ilişkin daha ayrıntılı veriler elde etmek amacıyla farklı seviyelerden beş sorunun detaylı analizine yer verilmiştir. Bu analizden elde edilen sonuçlara göre; öğrenciler harfli sembollere sayısal değer verme eğilimindedirler ve bu eğilimin üst sınıf seviyelerine doğru azalmaktadır. Bu durum, öğrencilerin cebir öğrenmeden önce aritmetik işlemlerle çok zaman geçirmesi ve kendilerine aşina olanı seçme eğilimde olmasının doğal bir sonucu olarak düşünülebilir. Araştırmalar aritmetikten gelme bir alışkanlıkla öğrencilerin ellerindeki cebirsel eşitliğin sağ tarafını sayısal bir değere eşitleme eğiliminde olduklarını göstermektedir (Gray ve ark., 2009; Jacobs, 2002; Kieran, 1992; Tall ve Thomas, 1991). Benzer şekilde uzun süre doğal sayılar kümesi üzerinde çalışan öğrenciler değişkenlerin değişen değerleri için kaynak olarak reel sayı kümesinden ziyade doğal sayılar kümesini tercih etmektedir. Bu veriler, bu şekilde hata yapan öğrenci yüzdesinin neden en fazla 7. sınıf seviyesinde ortaya çıktığını açıklayabilir. Diğer taraftan harfli sembolleri nesne adlarının kısaltması olarak düşünme ile ilgili yanlışlar en çok 8. sınıf seviyesindeki öğrencilerde ortaya çıkmıştır. Bu öğrencilerin 7. sınıf öğrencilerine göre harfli sembollerin daha çok farkında oldukları, fakat cebirsel ifade içerisindeki rollerini tam olarak anlayamadıkları söylenebilir. Benzer şekilde Lucariello, 6-12 sınıf seviyesinde 450 öğrenci üzerinde ki çoğunluğu 8 ve 9 sınıftan, yaptığı çalışmada en çok rastlanan yanılgının nesne adlarının kısaltması olarak harfli sembolleri yorumlamak olduğunu belirtmiştir (Lucariello dan akt., McNeil ve ark., 2010). Diğer taraftan 9. sınıftaki öğrencilerin, alt seviyedeki sorularda harfli ifadeye değer verme, harfli ifadeyi önemsememe veya nesne adlarının kısaltması olarak düşünme gibi yaklaşımları çok fazla kullanmadığı, seviye paralelinde soruların karmaşıklık düzeyi artıkça bu yaklaşımları kullanmaya başladıkları ortaya çıkmıştır. McNeil ve Alibali e (2005) göre öğrenciler bir kavramla ilgili doğru bir anlama geliştirdikleri zaman, bu yeni bilgiyi eski, yanlış bilginin doğrudan yerine koymamaktadır. Bunun yerine eski bilgi yapısı da yenisi ile birlikte var olmaya devam etmekte ve uygun bir ortam bulduğunda tekrar aktif hale gelebilmektedir. Çalışmadan elde edilen veriler bu bulguyu destekler niteliktedir. Burada öğrencilerin soru karşısındaki çaresizlikleri (16, 3, 17a sorularında olduğu gibi) böyle bir ortamın oluşmasına sebep olmuş olabilir. 1167

12 Educational Sciences: Theory & Practice - 13(2) Spring Educational Consultancy and Research Center Different Grade Students Use and Interpretation of Literal Symbols Derya ÇELiK a Karadeniz Technical University Gönül GÜNEŞ b Karadeniz Technical University Abstract The aim of the study was to determine and compare 7th, 8th, and 9th grades students level of use and interpret the literal symbols. In addition, students responses to questions that require use of different roles of literal symbol were examined to identify the errors. For this purpose, Chelsea Diagnostics Algebra test developed by The Concepts in Secondary Mathematics and Science (CSMS) research project was applied to total 407 students from different grade. The results of the study could be summarized in three headings : i) The majority of the 7th and 8th grade students had difficulty in using and interpreting literal symbols as generalized number, unknown and variable whereas 9th grade students had some problems particularly in understanding variable role of the literal symbols; ii) The performance of students using and interpreting literal symbols do not increase monotonously with grade level and age; iii) Although the students tendency of assign number value for letters, ignoring letters or considering letters as abbreviation of objects varies at different grade levels, this inclination decreased towards upper grades. However, it was revealed that when the complexity level of questions raised, upper grade level students displayed the mentioned behaviors. Key Words Variable, Unknown, Generalized Numbers, Use and Interpretation of Literal Symbol, Student Understanding. Algebra, one of the oldest fields of the mathematics with about 4000 year history, was born out efforts to find general methods to solve equations. Algebra is the mother tongue of Mathematics and has specialties (Usiskin, 1997). This language provides opportunities for generalization, using algorithms and operations to solve problems, working out relations between quantities and investigating abstract terms such as; group, ring, vector spaces (Baki, 2006; Driscoll, 1999; Tall et al., 2000; Usiskin, 1999). Literal symbols as a, b, x, t are one of the most important elements of this tongue. Using literal symbols has a key role on teaching fundamental algebraic concepts and issues. In addition to this interpreting and using literal symbols is a base for all advanced mathematics subjects to be built on it (Dominguez, 2001; MacGregor & Stacey, 1997; Schoenfeld & Arcavi, 1999). Plenty of researches stated that students have been having great difficulties in using and interpreting literal symbols (Arzarello, Bazzini, & Chiappini, 1993; Dominguez; Kieran, 1992; Kinzel, 2000; Luo, 2004; MacGregor & Stacey; Philipp, 1999; Rosnick, 1999; Schoenfeld & Arcavi, 1999; Sfard & Linchevski, 1994; Stacey & MacGregor, 1997; Tall & Thomas, 1991). These difficulties caused the errors interpreting algebraic expression, algebraic operations and problem-solving process (Küchemann, 1978; Sfard & Linchevski, 1994; Stacey & MacGregor, 2000). In addition to past research indicates that students abilities to use literal symbols especially variables as varying quantities have an impact on their success in calculus (Gray, Loud, & Sokolowski, 2009; Jacobs, 2002). For a b Derya ÇELİK, Ph.D., is an assistant professor in mathematics education. Her areas of research include teaching and learning algebra, teachers training, computer based mathematics education. Correspondence: Karadeniz Technical University, Fatih Faculty of Education, Department of Elementary Education, Trabzon, Turkey. deryacelik@ktu.edu.tr Phone: Fax: Gönül GÜNEŞ, Ph.D., is an assistant professor in mathematics education. Contact: Karadeniz Technical University, Fatih Faculty of Education, Department of Elementary Education, Trabzon, Turkey. gmgunes@ktu.edu.tr

13 ÇELİK, GÜNEŞ / Different Grade Students Use and Interpretation of Literal Symbols example, Jacobs found that secondary school advanced calculus students who had difficulty interpreting variables as covarying quantities were also likely to have difficulty understanding the calculus concepts of limit and derivative. One of the primary sources of these problems is that the literal symbols have a variety of roles in mathematics (Driscoll, 1999; Philipp; Schoenfeld & Arcavi). They are used to as unknowns (e.g., x in 3x-1=25), as generalized number (e.g., a,b in a.b=b.a), as varying quantities (e.g., x, y in y=sin(x)), as label (e.g., 3f=1y, where f represent feet and y represent yards ) and a constant (e.g., pi, e, c), among others (Philipp; Usiskin, 1999). So, it is important that students realize different roles that these literal symbols are playing. In the present article we focus on it. Students Interpretations of Literal Symbols In late 1970 s, The Concepts in Secondary Mathematics and Science (CSMS) research project carried out in the United Kingdom to develop levels of understanding in mathematics and to emerge incidence of students errors by British students of age 12 to 15. For this purposes, the CSMS team prepared test papers ten different topics include in algebra. The test which was developed for algebra by CSMS project is called Chelsea Diagnostics Algebra test. Some results belong to this research project published as a book called Children s Understanding of Mathematics: According to results of this research, six different ways of interpreting and using the literal symbols were identified (Küchemann, 1978, 1981, 1998). These are described briefly in the following; Letter Evaluated: Students generally assign a random number to the letter immediately. For example, to find the numerical value of the letter a in the equation, a+5=8, methods of trial and error can be used. It is not necessary to handle a as an unknown. Letter Not Used: Here, the letter can be ignored or not interpret. Students acknowledge letters existence but without giving it a meaning. For example If a+b=43, a+b+2=? At this level, students can essentially ignore the expression a+b and focus on the operation +2. The question can be correctly answered by using a matching technique without explicitly attending to a and b. Letter as an Object: Letter can be viewed as an object in its own right. An inappropriate use of the letters as objects (or labels) is when the letters are used to represent objects, rather than numbers of objects. We think about below question; Blue pencils cost 5 pence each and red pencils cost 6 pence each. I buy some blue and some red pencils and altogether it costs me 90 pence. If b is the number of blue pencils bought, and if r is the number of red pencils bought, what can you write down about b or r? This level of interpretation is evidenced by a response such as b+r=90, 6b+10r=90 to this question. To solve this question, the letters have to be regarded as specific unknown. Letter as a specific unknown: In the previous three categories, students avoid having to operate on a specific unknown. The present category students use and interpret the letters as genuine unknown even though the idea of a specific unknown number is still a rather primitive notion. The following question requires the letter to be interpreted as a specific unknown; Multiply n+5 by 4. The operation has to be applied to both element of algebraic expression n+5. But many student produced answers like without operating to the algebraic expression as a whole. Letter as a generalized number: The letter is interpreted as a generalized number, differing from the specific unknown in the last category in that the letter is seen to be able to take on several values. Below question seems to require the letters to be seen as generalized number; What can you say about c if c+d=10 and c is less than d?. For example, an appropriate response to the question shown below would be c<5. Letter as a Variable: Küchemann (1998) used the word, variable, for letters representing varying quantities. In other words the letter is seen as representing a range on unspecified values, and a systematic relationship is seen to exist between two such sets of value. The following question can be an example; Which is larger, 2n or n+2? Explain.. Such a task seems to require considering several values for the letter and attending to the expressed relationship. In this study the word variable is referred in a way that Küchemann (1998) defined. As a result of this project, four hierarchical levels of understanding were identified based on the six ways students interpret and use letters. Students categorized at Level 1 or 2, two lower levels, appear to evaluate the letter, ignore the letter, or use the letter as an object. According to Küchemann (1998), the main difference between Level 1 and Level 2 is that students classified Level 2 can solve more complex problem. At Level 3, students can use a letter as a specific unknown. Students classified Level 4 highest level can interpret and use letters as specific unknown, also, 1169

14 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE as generalized numbers and as varying quantities. They can solve problems which have a more complex structure and require more difficult problem solving methods than those which would assigned Level 3 understanding. Küchemann suggested that these four levels correspond to the Piagetian stages of below late concrete, late concrete, early formal and late formal respectively. According to Küchemann (1998), there is a relationship between students levels of understanding of literal symbols and Piagetian stages of cognitive development. When the previous studies related to using and interpreting literal symbols were reviewed misconceptions of students can be summarized as; assigning a specific value to a literal symbol [e.g., 2n is always bigger than n+2 because 2.5 is 10 and 2+5 is 7 (Gray et al., 2009; Küchemann, 1998; Knuth, Alibali, McNeil, Weinberg, & Stephens, 2005)], interpreting a literal symbol as a shorthand label for an object [e.g., a stands for apple (Küchemann, 1998; Knuth et al.; MacGregor & Stacey, 1997; Rosnick, 1999)], viewing a literal symbols as a place holder for a missing digit [(e.g., if n=5 ise 3n=35 (McNeil et al., 2010)], and assigning a value to a literal symbol that correspond to its position in the alphabet [e.g., a=1, b=2, c=3 (MacGregor & Stacey)]. When the relating literature was gone through it is seen that a lot of researches carried out in different countries about children s understandings literal symbols using the Chelsea Diagnostics Algebra test or using the result of CSMS project (Bateman, 1997; Gray, Loud, & Sokolowski, 2007; Gray et al., 2009; Klanderman, 1996; Lin, 1994; MacGregor & Stacey, 1997; Sokolowski, 1997; Wyllie, 1996). For example Lin applied this test with students from Hong Kong, Wyllie with American and Bateman with Canadian students. In this research, Chelsea Diagnostics Algebra test was applied to students in Turkey which has different educational system. Current View of Algebra Education in Turkey The ages and grade levels at which algebra is introduced differs from country to country (Erbaş, 2005). So, we should mention about the teaching and learning of algebra in Turkish context. Generally, although the content of school algebra in Turkey is not much more different from the other countries, the teaching and learning of algebra is more traditional. However, as a result of the reform movement which was put into practice in mathematics education in Turkish schools a couple of years ago the national K-5, K-8, K-12 mathematics curricula have gone through major changes in terms of content and instructional strategies with more student-centered teaching, use of manipulatives, and utilization of technology, particularly calculators (Erbaş). Mathematics curricula in Turkey contain algebra as a subject starting from sixth grade. Although mathematics programs for primary schools (1-5 grades) in Turkey do not include algebra as a subject, there are some expectations related to algebra. It requires the earlier introduction of algebraic concepts. For example, the students are expected to use different items, such as letters, numbers and shapes to create pattern, to find the rule for this pattern and to explain the rule. Formally, introduction to algebra takes place in secondary schools (6-8 grades). Algebra in secondary schools contains the following topics in a spiral structure; pattern and relations, algebraic expression, equality and equation. Also, mathematics curriculum for 8 th grade includes inequality. If 6 th, 7 th and 8 th grade mathematics curricula in Turkey is examined it can be seen following expectations related to algebra; (Milli Eğitim Bakanlığı [MEB], 2009, 2011). The students will be able to model a number pattern and express the relationship in this pattern with the letter. The students will be able to understand the concept of identity, equation, inequality and variable and explain the difference among these concepts. The students will be able to solve a system of linear equation and a system of linear inequality using algebraic and graphical methods. 9 th grade mathematics program includes algebra topics such as sets, relation, function and numbers (natural numbers, integers, modular arithmetic, rational numbers, real numbers, absolute value, exponential numbers, and radical expressions) predominantly. So, 9 th grade expectations require a good way to use algebraic letter as a variable as well as unknown and generalized number. When we review Turkish literature about algebra learning we come across researches trying to determine student misconceptions and difficulties in algebra (Akgün & Özdemir, 2006; Akkan, Çakıroğlu, & Güven, 2008, 2009; Akkaya, 2006; Akkaya & Durmuş, 2006; Baki, 1998a; Çelik, 2007; Dede, Yalın, & Argün, 2002; Erbaş, 2005; Erbaş & Ersoy, 2002a, 2002b, 2002c; Ersoy & Erbaş, 2005; Soylu, 2008; Şandır, Ubuz, & Argün, 2007; Yaman, Toluk, & Olkun, 2003; Yenilmez & Avcı, 2009), evaluating students in terms of procedural and conceptual knowledge in algebra (Baki, 1998b; 1170

15 ÇELİK, GÜNEŞ / Different Grade Students Use and Interpretation of Literal Symbols Baki & Kartal, 2004). Most of these studies were implemented with 9 th grade students (Baki & Kartal, 2004; Erbaş; Erbaş & Ersoy, 2002a, 2002b, 2002c; Şandır et al.). On the other hand there were also studies applied at 6 th grade (Akkaya; Yenilmez & Avcı), 7 th grade (Soylu) and 8 th grade level (Akgün, 2007; Dede et al.; Ersoy & Erbaş) There were also some, less frequent, other studies comparatively presenting algebraic understanding of students from different grade levels. For example; Baki (1998a) attempted to state errors and misconceptions of 8 th and 11 th grade students while performing algebraic operations; Yaman et al. tried to state understanding of students from various grades (2 nd, 3 rd, 4 th, 5 th and 6 th grade) about the equality concept. Akkan et al. (2008) aimed to determine probably error and misconceptions of 6 th and 7 th grade students in understanding literal symbols, using notations, applying rules and generalizing. On the other hand, Akkan et al. (2009) focused on competences of setting equations based on verbal explanation and making up a problem according to given equation with 6 th and 7 th grade students. However, no studies found directly concerning 7 th, 8 th and 9 th grade students understanding about different use of literal symbols, which is a significantly meaningful in terms of transition from arithmetic to algebra. Goals of the Study The aim of the study was to determine and compare 7 th, 8 th, and 9 th grades students level of use and interpret the literal symbols. In addition, students responses to questions that require use of different roles of literal symbol were examined to identify the errors. Method Participants The sample studied consisted of 407 different grade students in Trabzon, Turkey. In this study, 7 th (120), 8 th (144) and 9 th (143) grade were selected taking into account the ages of students in international studies. To ensure the strength of the sample to represent the universe, the number of students in each grade level was considered above 100 (Karasar, 2011). In the present study, 18 students (one student from 7 th, 9 students from 8 th, 8 students from 9 th grade) weren t included in data analysis because of their unfitness to any of the levels. So, the findings were presented based on the data which were obtained from 389 students. Instrument CSMS team developed, refined and validated a test called Chelsea Diagnostic Algebra Test using thousands of English secondary students (Hart, Brown, Kerslake, Küchemann, & Ruddock, 1998). It is seen to be a valid and reliable instrument for the determining students levels of use and interpretation algebraic letter (Brown, Hart, & Küchemann, 1985; Çıkla, 2004; Gray et al., 2009; Sokolowski, 1997). So, in this research to assess students levels of use and interpretation algebraic letter was used Chelsea Diagnostic Algebra Test. This test classifies students usage the letter into four hierarchical levels. The test which included 51 items originally was subjected to a statistical analysis by researchers (Küchemann, 1998). Thirty of the 51 items were used to determine students levels of usage algebraic letters. Chelsea Diagnostic Algebra Test was translated and adapted into Turkish by Çıkla (2004). For this purpose, minor changes in the context of some of the test items were made. Reliability measure as based on KR-20 coefficient was found to be 0,93. Results The findings of the study were presented under two headings as the findings related to students level of using and interpreting literal symbols and the findings related to students answers to test items. The Findings Related to Students Level of Using and Interpreting Literal Symbols When the level of the students using and interpreting literal symbols was examined, it was found that the number of students at Level 0, 1 and 2 decreased as the grade level increased. On the contrary, number of students falling Level 3 and Level 4 increased as the grade level increases (except for transition form 7 th and 8 th grade at Level 4). The obtained data showed that 7 th and 8 th graders were not quite successful at using and interpreting the unknown, the generalized number and especially variable role of the letter symbols. The proof of these was very low percents at Level 4 (only 4.2% of 7 th grader and 1.5% of 8 th grader were at this level). When it came to 9 th graders (12.6% of 9 th graders are Level 4), there was an improvement which didn t meet the expectations. 1171

16 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE The Findings Related to Students Answers to Test Items In this section the percentage of the correct answers given by the students from different grade levels to test items were presented. In addition, the responses given by the students towards the items of different level were analyzed in detail. When the student answers for test items were investigated, it was observed that the percentages of correct responses for Level 1 and 2 questions at each grade were more than 50 percent (except one situation- 8 th grade 9c items). At Level 3, although the majority of the percentage of correct responses in 7 th grade and the half of the percentage of correct responses in 8 th grade is under 50 percent, all of the percentage of correct responses in 9 th grade is over 50 percent. When the percentages of the correct responses of items in Level 4 were examined, the percentage of the correct responses in each grade was very low especially for items 3 (only 0.8% from 7 th, 0% from 8 th, and 3.7% from 9 th ), 17a (3.4% from 7 th, 0.7% from 8 th, and 8.9% from 9 th ) and 22 (3.4%from 7 th, 0.7%from 8 th, and 13.3% from 9 th ). Some items which were at Level 2 or higher in the test were analyzed throughoutly. The correct responses of the students for each item were presented with the percentile of the wrong answers and no answer. Some of the items analyzed in this section were: Level 2/ İtem 13d: What is the simplest form of the 2a +5 b + a? Level 3/Item 13b: What is the simplest form of 2a+5b? Level 3/Item 16: What can you say about c if c+d=10 and c is less than d? Level 4/Item 3: Which is larger, 2n or n+2? Explain. Level 4/ Item 17a: Hakan s basic wage is 20 TL per day. He is also paid another 7 TL for each hour of overtime that he works. If s stands for the number of hours of overtime that he works, and if k stands for her total weekly wage, write down an equation connecting s and k. The analysis of Item 3 at Level 4, which was determined as the hardest question for all classroom levels, was presented here. The rest of the analyses were given in the full text. Level 4/Item 3: Which is larger, 2n or n+2? Explain. This item required recognizing that the relative size of two algebraic expressions (2n and n+2) was dependent on the value of n. Most of the students (53.8% from 7 th, 54.8% from 8 th and 48.1% from 9 th ) answered the question as 2n is a larger number. One of the main reasons why the students answered question so was that they thought that the multiple of n by 2 should be larger than n added by 2. So, it could be said that majority of the students interpreted n as a specific value, not as a variable. The students who gave the answer n+2 or the same produced their answers by assigning one value to n. While the percentage of students who answered this way at seventh grade was 21%, at eighth grade was 15.6 %, at ninth grade was 5.2%. The students who answered the question as depends on the value of n usually assigned more than one values to n. If they had used the trial and error method systemically they could have reached to correct solution. In addition majority of these students gave the positive integer values to n. Although 9 th grade students had the maximum correct percentage for this question, it really was very low (3.7% for 9 th grade). Formally the introduction of the function, and therefore variables, take places at 9 th grade in Turkish mathematics curriculum. But this question could be solved using inequalities and this topic was taught at 8 th grade. It is very interesting that there were no students who answered this question correctly at 8 th grade. Discussion Based on the findings, when the percentages of the correct answers given by the students from all grade as response to questions of different levels (Level 1, 2, 3, and 4) were compared, it was observed that there was a decline at Level 3 and a sharp fall at Level 4. When grade levels were concerned, it could be said that majority of the 7 th and 8 th grade students had difficulty in understanding and using literal symbols as generalized number, unknown and variable whereas 9 th grade students had some problems particularly in understanding variable role of the literal symbols. In spite of the fact that 9 th grade mathematics curriculum requires using different roles of literal symbols such as variable, unknown, generalized number, parameter, constant etc., very few of the 9 th grade students could reach Level 4 (12.6%). Lots of studies carried out with secondary school students showed that students have similar difficulties in understanding different use of literal symbols (Kinzel, 2000, 2001; Rosnick, 1982; Stacey & MacGregor, 2000). When the understanding levels of the students were examined by grade, it was determined that there was no significant difference between 7 th and 8 th grade students. When the responses of the 7 th and 8 th grade students were examined for each individ- 1172

17 ÇELİK, GÜNEŞ / Different Grade Students Use and Interpretation of Literal Symbols ual question item, it was observed that 7 th grade students have high percentage of correct answers than 8 th graders at some items, most of which were at Level 3 or 4 (item 7b, 9a, 7c, 9b, 9c, 15a, 9d, 13b, 3, 13e, 17a, 20, 21, 22). This piece of finding indicates that the achievement of students using and interpreting literal symbols cannot be explained only by age and cognitive development. Numerous factors (student pre-knowledge, curriculum, classroom applications etc.) can be alleged to contribute. One of these factors can be the U-shaped cognitive development as it is referred. According to this approach, student performances do not increase monotonously with age (Baylor, 2001; McNeil, 2007), students may exhibit rise and falls depending on the interaction between their own cognitive structure and patterns of the outside environment (out of student s mind) instead (Baylor; McNeil). Mcneil et al. (2010) recommended not using mnemonic literal symbols (e.g., using a for the number of apples, and p for the number of pen) frequently in transition from arithmetic to algebra. Mcneil et al. argued that the understandings students possess (right or wrong) related to a concept can be activated depending on the content. Therefore, when a particular way of thinking about aconcept is well established as it is in interpreting literal symbols as label, it can be activated in an easier way across a wide range of contexts. Incontrast, when a particular way of thinking about a concept has been just emerged -as it is in interpreting literal symbol as variable, it may be active or inactive depending on the content. From this point of view, students may need substantial contextual support to help them interpret letters as variables. Students interpretation of letters as variables may be hindered in contexts that strengthen the interpretation of letters as labels (e.g., using a for the number of apples) and helped in contexts that do not strengthen the interpretation of letters as labels (e.g., using x for the number of apples) (Mcneil et al.). Backed with the results coming from the data analysis, the students had tendency to assign number value for literal symbols and this inclination decreased towards upper grades. Previous studies showed that students have tendency to equal the right side of the given algebraic equation to a numerical value with a habit transformed from arithmetic (Gray et al., 2009; Jacobs, 2002; Kieran, 1992; Tall & Thomas, 1991). Similarly, students working with the set of natural numbers for a long time preferred to use the set of natural numbers as source for variable values instead of the set of real numbers. It can be said that 8 th grade students recognized literal symbols much better than 7 th graders do but they did not fully understand their roles in algebraic expression. Similarly Lucariello mentioned interpreting literal symbols as shorthand labels for objects (e.g., s stands for students) as the most frequent misconception in the study conducted with 450 students in grades 6-12 (most of them from 8 th and 9 th grade students) (see: McNeil et al., 2010, p. 626). On the other hand, it was determined that 9 th grade students did not frequently use approaches like assigning values for letters, ignoring letters or considering letters as abbreviation of objects in the low level questions but they started to do as the level of the questions increased. According to McNeil and Alibali (2005) when students develop a correct understanding about a concept, they do not directly replace old, incorrect knowledge. Instead, the old knowledge structures continue to co-exist together with the new ones, and can get active when circumstances favor it. The data of the present study support this finding. The powerlessness of the students as in question items 16, 3, and 17a might cause such circumstances to occur. References/Kaynakça Akgün, L. (2007). Değişken kavramına ilişkin yeterlilikler ve değişken kavramının öğretimi. Yayımlanmamış doktora tezi, Atatürk Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Erzurum. Akgün, L., & Özdemir, M. E. (2006). Students understanding of the variable as general number and unknown: A case study. The Teaching of Mathematics, 9 (1), Akkan, Y., Çakıroglu, Ü. ve Güven, B. (2008). Öğrencilerin cebir öğrenme alanında sahip oldukları bazı hata ve kavram yanılgıları. Eğitim Bilimleri ve Uygulama, 7 (13), Akkan, Y., Çakıroglu, Ü. ve Güven, B. (2009). İlköğretim 6.ve 7. sınıf öğrencilerinin denklem oluşturma ve problem kurma yeterlikleri. Mehmet Akif Ersoy Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 9 (17), Akkaya, R. (2006). İlköğretim altıncı sınıf öğrencilerinin cebir öğrenme alanında karşılaşılan kavram yanılgılarının giderilmesinde etkinlik temelli yaklaşımın etkililiği. Yayımlanmamış yüksek lisans tezi, Abant İzzet Baysal Üniversitesi, Sosyal Bilimler Enstitüsü, Bolu. Akkaya, R., & Durmuş, S. (2006). Misconceptions of elementary school students in grades 6-8 on learning algebra. Hacettepe University The Journal of Education, 31, Arzarello, F., Bazzini, L., & Chiappini, G. (1993). Cognitive processes in algebraic thinking: Towards a theoretical framework. Proceedings of the 17th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, 1, Baki, A. (1998a). Cebirle ilgili yanilgilarin değerlendirilmesi. 3. Ulusal Fen Bilimleri Sempozyumu Bildiri Kitapçığı içinde (s ). Trabzon: Karadeniz Teknik Üniversitesi. 1173

18 EDUCATIONAL SCIENCES: THEORY & PRACTICE Baki, A. (1998b, Mayıs). Matematik öğretiminde işlemsel ve kavramsal bilginin dengelenmesi. 40. Kuruluş Yılı Matematik Sempozyumu nda sunulan bildiri, Atatürk Üniversitesi, Erzurum. Baki, A. (2006). Kuramdan uygulamaya matematik eğitimi (3. bs). Trabzon: Derya Kitabevi. Baki, A. ve Kartal, T. (2004). Kavramsal ve işlemsel bilgi bağlamında lise öğrencilerinin cebir bilgilerinin karekterizasyonu. Türk Eğitim Bilimleri Dergisi, 2 (1), Bateman, M. (1997). The mathematics learning experiences of four immigrant students. Unpublished master s thesis, The University of Western Ontario, Canada. Baylor, A. L. (2001). A u-shaped model for the development of intuition by level of expertise. New Ideas in Psychology, 19, Brown, M., Hart, K., & Küchemann, D. (1985). Chelsea diagnostic mathematics tests and teacher s guide. Windsor, Great Britain: NFER-NELSON Publishing Company. Çelik, D. (2007). Öğretmen adaylarının cebirsel düşünme becerilerinin analitik incelenmesi. Yayımlanmamış doktora tezi, Karadeniz Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, Trabzon. Çıkla, O. A. (2004). The effects of multiple representations-based instruction on seventh grade students algebra performance, attitude toward mathematics, and representation preference. Unpublished doctoral dissertation, Middle East Technical University, Ankara. Dede, Y., Yalın, H. A. ve Argün, Z. (2002, Eylül). İlköğretim 8. sınıf öğrencilerinin değişken kavramının öğrenimindeki hataları ve kavram yanılgıları. V. Ulusal Fen ve Matematik Eğitimi Kongresi nde sunulan bildiri, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Dominguez, A. (2001). College algebra students understanding of the concept of the variable. Unpublished doctoral dissertation, Syracuse University, USA. Driscoll, M. (1999). Fostering algebraic thinking: A guide for teachers, grades Portsmouth, NH: Heinemann. Erbaş, A. K. (2005). Predicting Turkish ninth grade students algebra performance. The Mathematics Educator, 15 (1), Erbaş, A. K. ve Ersoy, Y. (2002b, Eylül). Dokuzuncu sınıf öğrencilerinin eşitliklerin çözümündeki başarıları ve olası kavram yanılgıları. V. Ulusal Fen ve Matematik Eğitimi Kongresi nde sunulan bildiri, Orta Doğu Teknik Üniversitesi, Ankara. Erbaş, A. K., & Ersoy, Y. (2002a, May). High school students performances and difficulties in elementary algebra: The case of Turkey. Proceedings of the First International Conference on Education: Changing Time and Changing Needs, Eastern Mediterranean University, Gazimagosa, Turkish Republic of Northern Cyprus. Erbaş, A. K., & Ersoy, Y. (2002c, Ekim). On students formulation of simple algebraic word problems: Syntactic translation and reversal errors among Turkish students. Proceedings of Psychology of Mathematics Education-27 North America, University of Georgia, USA. Ersoy, Y. ve Erbaş, A. K. (2005). Kassel Projesi cebir testinde bir grup Türk öğrencinin genel başarısı ve öğrenme güçlükleri. Elementary Education Online, 4 (1), Gray, S. S., Loud, B. J., & Sokolowski, C. P. (2007, February). College students difficulties in using variables as changing quantities. Paper presented at the annual conference of the Research on Undergraduate Mathematics Education Special Interest Group of the Mathematical Association of America, San Diego, CA. Gray, S. S., Loud, B. J., & Sokolowski, C. P. (2009). Calculus students use and interpretation of variables: Algebraic vs. arithmetic thinking. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 9 (2), Hart, K. M., Brown, M. L., Kerslake, D. M., Küchemann, D. E., & Ruddock, G. (1998). Children s understanding of mathematics: London: Athenaeum Press. Jacobs, S. (2002). Advanced placement bc calculus students ways of thinking about variable. Unpublished doctoral dissertation, Arizona State University, USA. Karasar, N. (2011). Bilimsel araştırma yöntemi. Ankara: Nobel Akademik Yayıncılık. Kieran, C. (1992). The learning and teaching of school algebra. In D. Grouws (Ed.), Handbook of research on mathematics teaching and learning (pp ). New York: Macmillan Publishing Company. Kinzel, M. T. (2000). Characterizing ways of thinking that underlie college students ınterpretation and use of algebraic notation. Unpublished doctoral dissertation, The Pennslyvania State University, USA. Kinzel, M. T. (2001). Analyzing college calculus students interpretation and use of algebraic notation. Proceedings of the 21st Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, 1, Klanderman, D. B. (1996). Preservice teachers levels of understanding variables and functions within multiple representational modes. Unpublished doctoral dissertation, Northern Illinois University (Umi Number ). Knuth, E. J., Alibali, M. W., McNeil, N. M., Weinberg, A. & Stephens, A. C. (2005). Middle school students understanding of core algebraic concepts: Equality and variable. International Reviews on Mathematical Education, 37, 1 9. Küchemann, D. (1978). Children s understanding of numerical variables. Mathematics in School, 7 (4), Küchemann, D. (1981). Algebra. In K. Hart (Ed.), Children s understanding of mathematics: (pp ). London: Murray. Küchemann, D. E. (1998). Algebra. In K. Hart, M. L. Brown, D. M. Kerslake, D. E. Küchemann & G. Ruddock, (Eds.), Children s understanding of mathematics: (pp ). London: Athenaeum Press. Lin, L. Y. (1994). The understanding of algebra of secondary students in Hong Kong. Unpublished master s thesis, The University of Hong Kong, Hong Kong. Luo, F. (2004). Understanding students cognitive processes in solving algebraic problems. Retrieved September 15, 2004 from MacGregor, M., & Stacey, K. (1997). Students understanding of algebraic notation: Educational Studies in Mathematics, 33, McNeil, N. M. (2007). U-shaped development in math: 7-year-olds outperform 9-year-olds on equivalence problems. Developmental Psychology, 43 (3), McNeil, N. M., & Alibali, M. W. (2005). Knowledge change as a function of mathematics experience: All contexts are not created equal. Journal of Cognition and Development, 6, McNeil, N. M., Weinberg, A., Hattikudur, S., Stephens, A.S., Asquith, P., Knuth, E. J., et al. (2010). A is for Apple : Mnemonic symbols hinder the interpretation of algebraic expressions. Journal of Educational Psychology, 102 (3), Milli Eğitim Bakanlığı (MEB). (2009). İlköğretim matematik dersi 6-8. sınıflar öğretim programı. gov.tr/pages.php?page=ogretim_programlari adresinden 20 Haziran 2011 tarihinde edinilmiştir. 1174

19 ÇELİK, GÜNEŞ / Different Grade Students Use and Interpretation of Literal Symbols Milli Eğitim Bakanlığı (MEB). (2011). Orta öğretim matematik (9, 10, 11 ve 12. sınıflar) dersi öğretim programı. adresinden 23 Kasım 2011 tarihinde edinilmiştir. Philipp, R. A. (1999). The many use of algebraic variables. In B. Moses (Ed.), Algebraic thinking, grades: 9-12 (pp ). Readings from NCTM s School Based Journals and Other Publications, Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Rosnick, P. (1982). Students symbolization processes in algebra (Technical Report). Amherst, MA: University of Massachusetts (Eric ED: ). Rosnick, P. (1999). Some misconceptions concerning the concept of variable. In B. Moses (Ed.), Algebraic thinking, grades 9-12 (pp ). Readings from NCTM s School Based Journals and Other Publications, Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Schoenfeld, A. H., & Arcavi, A. (1999). On the meaning of variable. In B. Moses (Ed.), Algebraic thinking, grades 9-12 (pp ). Readings from NCTM s School Based Journals and Other Publications, Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Sfard, A., & Linchevski, L. (1994). The gain and the pitfalls of reification-the case of algebra. Educational Studies in Mathematics, 26, Sokolowski, C. P. (1997). An investigation of college students conceptions of variable in linear ınequality. Unpublished doctoral dissertation, Boston University, USA. Soylu, Y. (2008). 7. sınıf öğrencilerinin cebirsel ifadeleri ve harf sembollerini (Değişkenleri) yorumlamaları ve bu yorumlamada yapılan hatalar. Selçuk Üniversitesi Ahmet Keleşoğlu Eğitim Fakültesi Dergisi, 25, Stacey, K., & MacGregor, M. (1997). Ideas about symbolism that students bring to algebra. Mathematics Teacher, 90, Stacey, K., & MacGregor, M. (2000). Learning the algebraic method of solving problems. Journal of Mathematical Behaviour, 18 (2), Şandır, H., Ubuz, B., & Argün, Z. (2007). 9th grade students difficulties in arithmetic operations, ordering numbers, solving equations and inequalities. Hacettepe University The Journal of Education, 32, Tall, D., & Thomas, M. (1991). Encouring versatile thinking in algebra using the computer. Educational Studies in Mathematics, 22 (2), Tall, D., Gray, E. M., Bin Ali, M., Crowley, L., DeMarois, P., McGowen, M., et al. (2000). Symbols and the bifurcation between procedural and conceptual thinking. Canadian Journal of Science, Mathematics and Technology Education, 1, Usiskin, Z. (1997). Doing algebra in grades K-4. Teaching Children Mathematics, 3 (6), Usiskin, Z. (1999). Conception of school algebra and uses of variables. In B. Moses (Ed.), Algebraic thinking, grades 9-12 (pp. 7-13). Readings from NCTM s School Based Journals and Other Publications, Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Wyllie, R. J. (1996). The effects of implementing a suplemental research-based instructional unit on students cognitive-related obstacles associated with linear equation. Unpublished doctoral dissertation, Northern Illinois University (Umi Number: ). Yaman, H., Toluk, Z., & Olkun, S. (2003). How the elementary school students would perceive equal sign? Hacettepe University The Journal of Education, 24, Yenilmez, K. ve Avcı, T. (2009). Altıncı sınıf öğrencilerinin cebir öğrenme alanındaki başarı düzeyleri. Ahi Evran Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi, 1 (2),