ÖZET Doktora Tezi FAKTÖRİYEL DÜZENDE VARYANS ANALİZİ TEKNİĞİNDE VARYANSLARIN HOMOJENLİĞİ VE NORMAL DAĞILIM ÖN ŞARTLARI YERİNE GELMEDİĞİNDE İNTERAKSİYO

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ FAKTÖRİYEL DÜZENDE VARYANS ANALİZİ TEKNİĞİNDE VARYANSLARIN HOMOJENLİĞİ VE NORMAL DAĞILIM ÖN ŞARTLARI YERİNE GELMEDİĞİNDE İNTERAKSİYONA İLİŞKİN I. TİP HATA VE TESTİN GÜCÜ M. CUMHUR AKBULUT ZOOTEKNİ ANABİLİM DALI ANKARA 2008 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Doktora Tezi FAKTÖRİYEL DÜZENDE VARYANS ANALİZİ TEKNİĞİNDE VARYANSLARIN HOMOJENLİĞİ VE NORMAL DAĞILIM ÖN ŞARTLARI YERİNE GELMEDİĞİNDE İNTERAKSİYONA İLİŞKİN I. TİP HATA VE TESTİN GÜCÜ M.Cumhur AKBULUT Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Zootekni Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Fikret GÜRBÜZ Bu tez çalışmasında, F testi ve Welch-James testi, tek aşamalı yöntem ve Düzeltilmiş sıra sayısı dönüşüm testi gibi bazı alternatif yöntemler interaksiyon etkisini test etmek için 2x2 faktöriyel deneme düzeninde normal dağılım ve varyansların homojenliği varsayımları yerine gelmediğinde karşılaştırılmıştır. Örnekler, gözlem sayıları eşit ve farklı olacak şekilde Z(0,1), Student t(3), Student t(6), χ 2 (3), χ 2 (6), β(4, 0.75) ve β(4, 1.5) dağılımı gösteren populasyonlardan alınmıştır. Gözlenen I. Tip hata ve testin gücü Monte-Carlo simülasyon tekniği ile elde edilmiştir. Her kombinasyon için simülasyonlar kez tekrar edilmiştir. Sonuç olarak, F testi ve Düzeltilmiş sıra sayısı dönüşüm testi, varsayımlar yerine geldiğinde I. Tip hatayı kontrol etme bakımından Welch-James testine ve Tek Aşamalı yönteme göre daha geçerli ve testin gücü bakımından daha iyi sonuçlar vermiştir. Diğer yandan Welch-James testi ve Tek Aşamalı yöntem, varyanslar homojen olmadığında özellikle alt grupların dengesizliğinde I. Tip hatayı kontrol etme bakımından daha iyi sonuçlar vermiştir. Şubat 2008, 79 sayfa Anahtar Kelimeler: ANOVA, Faktöriyel düzen, İnteraksiyon, I. Tip hata, Testin gücü, Alternatif testler, Welch-James yöntemi, Tek Aşamalı yöntem, Düzeltilmiş sıra sayısı Testi. i

3 ABSTRACT Ph. D. Thesis THE POWER OF THE TEST AND TYPE I ERROR TESTING FOR INTERACTION WHEN THE ASSUMPTION OF THE VARIANCE HOMOGENEITY AND NORMALITY IS VIOLATED IN VARIANCE ANALYSIS IN THE FACTORIAL DESIGN M.Cumhur AKBULUT Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Animal Science Supervisor: Prof. Dr. Fikret GÜRBÜZ In this study, ANOVA F test and alternatives such as Welch-James statistics, Single- Stage Procedure and Adjusted Rank Transform Statistic were examined for testing interaction effects with regard to empirical Type I error and statistical power which are investigated by Monte-Carlo simulations in 2x2 factorial designs when cell variances are heterogeneous and data non normal. Samples including either equal or unequal observations were drawn from population Z(0,1), Student t(3), Student t(6), χ 2 (3), χ 2 (6), β(4, 0.75) and β(4, 1.5) distributions. Simulations are repeated times for each condition. As a result, F test and ART Statistic are valid in terms of Type I error rate control and more powerful than Welch-James statistics and Single-Stage Procedure when assumptions are met. On the other hand Welch-James statistics and Single-Stage are better Type I error rate control when variances are heterogeneous especially cell sizes are unequal. February 2008, 79 pages Key Words: ANOVA, Factorial design, Interaction, Type I error rate, power of test, Alternative tests, Welch-James statistics, Single-Stage Procedure, Adjusted Rank Transform Statistic. ii

4 TEŞEKKÜR Bu tezi hazırlamamda bana araştırma olanağı sağlayan, çalışmalarım sırasında yakın ilgi ve önerileriyle beni yönlendiren, araştırmalarımın her aşamasında bilgi, öneri ve yardımlarını esirgemeyerek akademik ortamda olduğu kadar beşeri ilişkilerde de engin fikirleriyle yetişme ve gelişmeme katkıda bulunan danışman hocam, Sayın Prof. Dr. Fikret GÜRBÜZ e ve yetişmemde emeği olan hocalarım Sayın Prof. Dr. Tahsin KESİCİ, Sayın Prof. Dr. Zahide KOCABAŞ, Sayın Prof. Dr. Ensar BAŞPINAR ve Sayın Doç. Dr. Muhip ÖZKAN a teşekkürü bir borç bilirim. Ayrıca tez izleme komitesi toplantılarında yapıcı eleştirileri ve önerileri ile beni yönlendiren Sayın Prof. Dr. Hülya BAYRAK a teşekkür ederim. Son olarak, çalışmalarım süresince birçok fedakârlıklar göstererek beni destekleyen eşime ve oğullarım Tolga ve Tuna ya en derin duygularla teşekkür ederim. M.Cumhur AKBULUT Ankara, Şubat 2008 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii TEŞEKKÜR...iii SİMGELER DİZİNİ... v ŞEKİLLER DİZİNİ... vi ÇİZELGELER DİZİNİ...viii 1.GİRİŞ KAYNAK ÖZETLERİ MATERYAL VE YÖNTEM Materyal Yöntem BULGULAR İnteraksiyona İlişkin Yapılan Hipotez Testlerinde Gerçekleşen I. Tip Hata Olasılıkları Ve Testin Gücü Alt gruplarda ele alınan dağılım kombinasyonlarında İnteraksiyona ilişkin yapılan hipotez testlerinde gerçekleşen I. tip hata olasılıkları İnteraksiyona ilişkin hipotez testinde gerçekleşen testin gücü değerleri TARTIŞMA VE SONUÇ KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

6 SİMGELER DİZİNİ α Alfa Z Standart normal dağılım t(3) 3 Serbestlik dereceli t dağılımı t(6) 6 Serbestlik dereceli t dağılımı χ 2 (3) 3 Serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı χ 2 (6) 6 Serbestlik dereceli Ki-kare dağılımı β(4, 0.75) 4 ve 0.75 parametreli Beta dağılımı β(4, 1.5) 4 ve 1.5 parametreli Beta dağılımı P + P - n Pozitif Eşleştirme Negatif Eşleştirme Gruplardaki gözlem adedi µ Populasyon ortalaması σ Populasyon standart sapması ART Düzeltilmiş Rank Testi (Adjusted Rank Test) F F testi SS Tek aşamalı yöntem (Single Stage Procedure) WJ Welch-James Testi v

7 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil 3.1 β(4, 0.75) Dağılımı Şekil 3.2 β(4, 1.5) Dağılımı Şekil 3.3 χ 2 (3) Dağılımı Şekil 3.4 χ 2 (6) Dağılımı Şekil 3.5 t(3) Dağılımı Şekil 3.6 t(6) Dağılımı Şekil 3.7 Standart Normal Dağılım Şekil 4.1 Alt gruplardaki dağılımlar Z(0,1) ve varyanslar homojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) Şekil 4.2 Alt gruplardaki dağılımlar Z(0,1) ve varyanslar 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) Şekil 4.3 Alt gruplardaki dağılımlar β(4, 0.75) ve varyanslar homojen olduğunda olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) Şekil 4.4 Alt gruplardaki dağılımlar β(4, 0.75) ve varyanslar 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) Şekil 4.5 Alt gruplardaki dağılımlar β(4, 1.5) ve varyanslar homojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) Şekil 4.6 Alt gruplardaki dağılımlar β(4, 1.5) ve varyanslar 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları(%) Şekil 4.7 Alt gruplardaki dağılımlar t(3) ve varyanslar homojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları(%) Şekil 4.8 Alt gruplardaki dağılımlar t(3) ve varyanslar 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları(%) Şekil 4.9 Alt gruplardaki dağılımlar t(6) ve varyanslar homojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları(%) Şekil 4.10 Alt gruplardaki dağılımlar t(6) ve varyanslar 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) Şekil 4.11 Alt gruplardaki dağılımlar χ2 (3) ve varyanslar homojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) vi

8 Şekil 4.12 Alt gruplardaki dağılımlar χ2 (3) ve varyanslar 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) Şekil 4.13 Alt gruplardaki dağılımlar χ2 (6) ve varyanslar homojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) Şekil 4.14 Alt gruplardaki dağılımlar χ2 (6) ve varyanslar 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) vii

9 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 4.1 Alt gruplardaki dağılımlar Z(0,1) olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılığı(%) Çizelge 4.2 Alt gruplardaki dağılımlar β(4, 0.75) olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılığı(%) Çizelge 4.3 Alt gruplardaki dağılımlar β(4, 1.5) olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılığı(%) Çizelge 4.4 Alt gruplardaki dağılımlar t(3) olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılığı(%) Çizelge 4.5 Alt gruplardaki dağılımlar t(6) olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılığı(%) Çizelge 4.6 Alt gruplardaki dağılımlar χ 2 (3) olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılığı(%) Çizelge 4.7 Alt gruplardaki dağılımlar χ 2 (6) olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılığı Çizelge 4.8 Dağılımlar Z(0,1) olduğunda gerçekleşen testin gücü değerleri(%) Çizelge 4.9 Dağılımlar β(4, 0.75) olduğunda gerçekleşen testin gücü değerleri(%) Çizelge 4.10 Dağılımlar β(4, 1.5) olduğunda gerçekleşen testin gücü değerleri(%) Çizelge 4.11 Dağılımlar t(3) olduğunda gerçekleşen testin gücü değerleri(%) Çizelge 4.12 Dağılımlar t(6) olduğunda gerçekleşen testin gücü değerleri(%) Çizelge 4.13 Dağılımlar χ 2 (3) olduğunda gerçekleşen testin gücü değerleri(%) Çizelge 4.14 Dağılımlar χ 2 (6) olduğunda gerçekleşen testin gücü değerleri(%) viii

10 1. GİRİŞ Yakın zamana kadar sadece üniversitelerde ve araştırma kurumlarında çalışan araştırmacılar tarafından yapılan çalışmalardan elde edilen verileri bilimsel bir yöntemle de irdelemek amacıyla kullanılan istatistik teknikler, artık sınırların giderek kalktığı, mal ve hizmetin ülkeler ve bölgeler arasında daha rahat dolaştığı günümüzde, zorlaşan rekabet şartları nedeniyle üretilen mal ve hizmetlerin denetlenmesinden, kaynakların etkin kullanımına kadar geniş bir yelpazede gerek özel sektör gerekse resmi kurumlar tarafından artık daha da yaygın bir şekilde kullanılmaktadır. Bu yöntemlerden biri olan varyans analizi tekniği, gözlenen değişimi kaynaklarına ayırarak araştırmaya konu olan bağımsız değişken ya da değişkenlerin, bağımlı değişken üzerindeki etkilerini karşılaştırmayı sağlayan, başta biyoloji olmak üzere bir çok alanda yaygın olarak kullanılan bir yöntemdir. Varyans analizinde bu bağımsız değişkenlere faktör, bağımsız değişkenin aldığı değerlere de faktör seviyeleri ya da muameleler denir (Apaydın vd. 1996). Bazen yapılan araştırmalar birden çok faktörün incelenmesini gerektirebilir. Faktörlerin birlikte incelenmesi amacıyla faktöriyel deneme düzenleri kullanılır. Faktoriyel denemelerin tek yönlü varyans analizine nazaran en büyük avantajı, faktörler arası etkileşimin (interaksiyon) araştırılabilmesine imkan vermesidir (Jaccard 1997, Mukerjee and Wu 2003). Bu nedenle faktoriyel denemeler, tarımsal araştırmalarda, sosyal bilimlerde ve tıpta yaygın kullanım alanı bulmuştur. Varyans analizi tekniğini kullanarak yapılacak olan hipotez testlerinin güvenilirliği, bazı ön şartların sağlanmış olmasına bağlıdır. Bu ön şartlar kısaca; normal dağılım, varyansların homojenliği, gözlemlerin bağımsızlığı ve etkilerin eklenebilir oluşu şeklinde ifade edilebilir. Bu varsayımların biri yada bir kaçı sağlanamadığında yapılacak olan hipotez testlerinde hem testin önemlilik seviyesi hem de F istatistiğinin duyarlılığı etkilenebilmektedir. Varyans analizi tekniğinde test istatistiği için elde edilen sonuçların duyarlılığı en çok varyansların heterojenliğinden etkilenmektedir (Cochran and Cox 1957, Bishop and Dudewicz 1978). 1

11 Literatürde ön şartlar yerine gelmediğinde varyans analizinin sonuçlarına ilişkin yapılan araştırmaların bir çoğu tek yönlü varyas analizi ve alternatifleri üzerine odaklanmıştır. Faktoriyel denemelerde interaksiyon etkilerini ve esas etkileri test etmek için kullanılacak parametrik yöntemlerin sınırlı sayıda olduğu Richter and Scott (2003) tarafından dile getirilmiştir. Bu tez çalışmasında, F testi ile, literatürde F testine alternatif olarak önerilen Welch- James testi, Tek Aşamalı Yöntem gibi parametrik yöntemler ile ART testi, varyansların homojenliği ve normal dağılım ön şartları yerine gelmediğinde interaksiyona ilişkin yapılacak hipotez kontrolünün sonucunda gerçekleşen I. Tip hata olasılığı ve gerçekleşen testin gücü bakımından simulasyon tekniği yardımıyla irdelenecektir. 2

12 2. KAYNAK ÖZETLERİ Bishop and Dudewicz (1978) varyans analizi tekniğinin en önemli şartının, varyansların homojenliği ön şartı olduğunu ve bu şart bozulduğunda özellikle farklı örnek genişliklerinde ortalamalara ilişkin yapılacak yorumların yanıltıcı olabileceğini söylemişlerdir. Araştırmacılar, iki aşamalı örnekleme yöntemini kullanarak tek yönlü ve iki yönlü varyans analizi için test istatistikleri tanımlamışlar, istatistiklerin dağılımları ve kritik değerleri hakkında bilgiler vermişler, ayrıca bu istatistiklerin dağılımlarının bilinmeyen hata varyansına bağlı olmadığını göstermişlerdir. Araştırmacılar, tek yönlü varyans analizinde yaptıkları çalışmada iki aşamalı yöntemle hesaplanan test bakımından gerçekleşen testin gücü değerlerinin, varyansların heterojenliği durumunda F testi bakımından gerçekleşen testin gücü değerlerinden daha yüksek çıktığını, fakat varyanslar homojen olduğunda ise bu testin biraz daha düşük güç değerleri gerçekleştirdiğini belirtmişlerdir. Algina and Olejnik (1984) yapmış oldukları çalışmada, bağımsız örneklerin alındığı populasyonların varyansları heterojen olduğunda, ortalamalara ilişkin hipotez testlerinde Johansen (1980) tarafından geliştirilen Welch-James yönteminin kullanılabileceğini ancak bu yöntemin karmaşıklığının, yöntemin kullanımını sınırlandırdığını söylemişlerdir. Bu sorunu çözmek amacıyla 2x2 deneme düzeninde esas faktörlere ve interaksiyona ilişkin hipotezleri kontrol etmek amacıyla Welch-James testinin hesaplanma aşamalarını anlaşılır olması bakımından toplam sembolleri ile göstermişler, çok faktörlü denemelerde ise hipotezlerin kurulması ve test istatistiğinin ve serbestlik derecesinin matris düzeninde nasıl hesaplanması gerektiğini açıklamışlardır. Milligan et al. (1987) iki yönlü varyans analizi modelinde yaptıkları tekrarlı simulasyon çalışmasında alt gruplarda farklı sayıda gözlem olması halinde, normallik ve varyansların homojenliği varsayımları yerine gelmediğinde F testinin güçlü olmadığını bildirmişlerdir. Wilcox (1989) çalışmasında, James second-order testine alternatif olarak geliştirdiği H m testini, faktöriyel deneme düzenlerini de kapsayacak şekilde genelleştirmiş ve bu testi, 3

13 U testi olarak adlandırmıştır. Wilcox (1989), iki yönlü varyans analizinde 2x2, 2x3, 3x3 ve 4x4 faktöriyel düzende yapmış olduğu 1000 tekrarlı simulasyon çalışmasında, farklı varyans ve örnek genişliği kombinasyonlarında, gözlemlerin normal dağılan populasyonlardan alınması halinde U testini ve James second-order testini α = 0.05 seviyesinde gerçekleşen I.tip hata olasılığı ve gerçekleşen testin gücü bakımından karşılaştırmıştır. İnteraksiyona ilişkin hipotez testinde simulasyonlardan elde ettiği sonuçlara göre U testinin, James second-order testine göre genelde I. Tip hatayı kararlaştırılan seviyede koruma bakımından daha tutucu (kontrol hipotezini reddetmeme yönünde eğilim) davrandığını, gerçekleşen testin gücü bakımından ise James secondorder testinin daha iyi sonuçlar vediğini ifade etmiştir. Sawilowsky (1990) derlemesinde, sosyal ve davranış bilimlerinde interaksiyonun araştırılması için yapılan çalışmalarda elde edilen verilerin genelde normal dağılmamasına rağmen, gerek kullanılacak tekniklerin az oluşu gerekse araştırmacıların varyans analizi gibi parametrik testlerin gücüne güvenmeleri nedeniyle, parametrik olmayan teknikleri tercih etmediklerini bildirmiştir. Araştırmacı, bu tereddütü gidermek amacıyla yayın yılı itibariyle son on beş yılda bu konuda yapılan çalışmaları ve sonuçlarını incelemiş, interaksiyonu test etmek için geliştirilen parametrik olmayan tekniklerin kararlı, güçlü ve kolay hesaplanabilir teknikler olduğunu söylemiştir. Hsiung and Olejnik (1996) yaptıkları çalışmada, iki faktörlü faktoriyel düzende F testi ile James second-order testini gerçekleşen I.tip hata ve gerçekleşen testin gücü bakımından farklı varyans oranları ve dağılım şekilleri kullanarak karşılaştırmışlardır. Her bir koşul için tekrarlı simulasyon çalışması sonunda çıkan sonuçlara göre, varyanslar heterojen olduğunda, örnek genişliği eşit olduğunda bile F testinde, gerçekleşen I.tip hata olasılığı kararlaştırılan seviyesinin üstünde çıkmıştır. Normal ve platykurtic (basık) dağılımlarda ise James second-order testinin I. Tip hatayı koruduğunu fakat eğri dağılımlarda gerçekleşen I. Tip hata olasılıklarının, kararlaştırılan seviyeden yüksek çıktığını bildirmişlerdir. Dağılımlar normal ve varyanslar homojen olduğunda, F testinin ve James second-order testinin, esas etkilere ilişkin testlerde benzer güç değerleri gerçekleştirdiğini fakat interaksiyon etkisine ilişkin testlerde ise F testinin daha iyi sonuçlar verdiğini bildirmişlerdir. 4

14 Kelley and Sawilowsky (1997) yaptıkları çalışmada interaksiyonu test etmek için F testine alternatif olabilecek parametrik olmayan bazı testleri, ikisi gerçek veri seti ve dördü teorik dağılımlardan elde edilen veriler olmak üzere, alt gruplarda gözlem sayıları 7, 21 ve 35 olacak şekilde 2x2x2 düzeninde tekrarlı simulasyonlar ile incelemişlerdir. Yapılan simulasyonların sonuçlarına göre, Harwell and Serlin L testinin gerçekleşen I. Tip hata olasılığı ve gerçekleşen testin gücü sonuçlarına göre iyi bir alternatif olmadığını; McSweeney testinin genelde güçlü olmasına rağmen, etki büyüklüğü arttıkça I. Tip hata olasılıklarının kararlaştırılan seviyenin altında çıktığını bildirmişlerdir. Düzeltilmiş sıra sayısı dönüşüm testinin ise kalın kuyruklu ya da dik dağılımlarda F testine nazaran daha iyi gerçekleşen testin gücü değerleri verdiğini, fakat normal ya da uniform gibi ince kuyruklu ve simetrik dağılmlarda ise F testinin biraz daha yüksek gerçekleşen testin gücü değerlerine ulaştığını ifade etmişlerdir. Keselman et al. (1998) yaptıkları çalışmada; 2x2 düzeninde ve dengesiz örnek genişliklerinde esas faktörlere ve interaksiyona ilişkin hipotezleri test etmek için F testini ve Welch-James testini kullanmışlardır. Bu testleri, çeşitli dağılım şekilleri ve varyans kombinasyonlarında farklı tahmin edicilerin kullanılması halinde gerçekleşen I. Tip hata olasılığı bakımından incelemişledir. Simulasyon çalışması sonunda özellikle güçlü tahmin edicilerin kullanılması halinde kararlaştırılan I. Tip hatanın daha iyi kontrol edildiğini belirtmişlerdir. Chen and Chen (1998) varyansların heterojen olması durumunda F testine alternatif olarak varyans analizi modellerinde kullanılacak tek aşamalı yöntemi(single stage procedure) önermişlerdir. Bu çalışmada araştırmacılar, tek yönlü ve iki yönlü varyans analizinde ilgili hipotezleri test etmek amacıyla kullanılacak test istatistiklerini tanımlamışlar ve bu istatistiklerin dağılımlarını ilgili H 0 hipotezi altında inceleyerek, kritik değerleri tablo halinde vermişlerdir. Tek aşamalı yöntemin ilave gözlem gerektirmemesi ve kolay hesaplanabilmesi nedeniyle iki aşamalı yönteme göre daha avantajlı olduğunu bildirmişlerdir. Başpınar ve Gürbüz (2000), değişik dağılım kombinasyonlarında grup ortalamalarının karşılaştırılmasında gerçekleşen testin gücü değerlerini araştırmak amacıyla

15 tekrarlı simulasyon çalışması yapmışlar ve gerçekleşen testin gücü değerlerinin gözlemlerin alındığı dağılımların şeklinden ziyade populasyon ortalamaları arasındaki farkların büyüklüğüne ve örnek genişliklerine bağlı olduğunu bildirmişlerdir. Bao and Ananda (2001) yaptıkları çalışmada iki yönlü varyans analizi modelinde varyanslar heterojen olduğunda, farklı örnek genişliklerinde interaksiyonu test etmek amacıyla Weerahandi (1995) tarafından önerilen ağırlıklandırılmış F testini (Generalized F-test) ve F testini, gerçekleşen I.tip hata olasılığı ve gerçekleşen testin gücü bakımından karşılaştırmışlardır. Yaptıkları simulasyon çalışması sonucunda, ağırlıklandırılmış F testinde gerçekleşen I.tip hata olasılığının kararlaştırılan seviyeden düşük çıktığını; F testinde ise bu olasılığın kararlaştırılan seviyeden büyük gerçekleştiğini; gerçekleşen testin gücü bakımından ise tüm deneme koşullarında ağırlıklandırılmış F testinin daha yüksek güç değerlerine ulaştığını bildirmişlerdir. Mendeş (2002) çalışmasında, Varyans analizi tekniğinde varyansların homojenliği ve normal dağılım ön şartları yerine gelmediğinde F testini ve alternatif testlerden bazılarını gerçekleşen I.tip hata ve gerçekleşen testin gücü bakımından 3,4 ve 5 grup kullanarak, dengeli ve dengesiz örnek genişliklerinde tekrarlı simülasyonlar ile incelemiştir. Polatkan (2002) çalışmasında tek yönlü varyans analizi modelinde varyansların heterojenliği durumunda populasyon ortalamalarının eşitliğine ilişkin yapılacak hipotez testlerinde varyans analizine alternatif olan yöntemlerden tek aşamalı yöntemi, iki aşamalı yöntemi ve Kruskal-Wallis H istatistiğini farklı varyans koşularında ve örnek genişliklerinde gerçekleşen I. Tip hata olasılığı bakımından karşılaştırmıştır. Simulasyon çalışması sonucunda tek aşamalı test yönteminin varyansların değişiminden önemli ölçüde etkilendiğini, örnek genişliğinin artmasının da sonuçlarda anlamlı bir değişikliğe neden olmadığını belirtmiştir. İki aşamalı test yönteminin ise varyansların heterojen olmasından etkilenmediğini, Kruskal-Wallis H istatistiği bakımından I. Tip hata olasılığının genelde 0,05 civarında gerçekleştiğini ve bu nedenle Kruskal-Wallis H istatistiğinin diğer iki testten de iyi sonuçlar verdiğini, dolayısıyla bu 6

16 durumda varyansların heterojen olması halinde parametrik olmayan testlerden Kruskal- Wallis H istatistiğinin tercih edilebileceğini ifade etmiştir. Özcan (2003) yaptığı çalışmada uygulamada sıkça karşılaşılan iki bağımsız örnek, k bağımsız örnek, tek örnek ve eşleşmiş çiftler, Tesadüf blokları ve korelasyon problemleri için sıra sayısı dönüşüm (Rank Transform) testini açıklamış daha sonra etkileşim için sıra sayısı dönüşüm testi ve bu test yerine önerilen düzenlenmiş sıra sayısı dönüşüm testini (Aligned Rank Transform) tanıtmıştır. Ayrıca çalışmasında bu konuya ilişkin gerçek veriye dayalı bir uygulamaya da yer vermiştir. Sonuç olarak, esas faktörlere ve interaksyona ilişkin etkiler büyükse, sıra sayısı dönüşüm testi yerine düzenlenmiş sıra sayısı dönüşüm testinin kullanılmasının uygun olacağını bildirmiştir. Richter and Payton (2003) çalışmalarında iki faktörlü faktöriyel düzende Brunner yöntemini ve F testini, çeşitli etki büyüklüğü, örnek genişliği ve varyans kombinasyonlarında dağılımlar normal olduğunda gerçekleşen I. Tip hata ve gerçekleşen Testin gücü bakımından 5000 tekrarlı simulasyonlar ile karşılaştırmışlardır. Buldukları sonuçlardan hareketle F testini ön şartlar sağlandığında, Brunner istatistiğini ise varyanslar heterojen olduğunda ve özellikle gruplarda gözlem sayısı az olduğunda önermişlerdir. F testi bakımından gerçekleşen testin gücü değerlerinin, ortalamalar arasında oluşturulan farklara daha duyarlı olduğunu bildirmişlerdir. Luh and Guo (2004) yaptıkları çalışmada varyans analizinin ön şartlarından normallik ve varyansların homojenliği şartları yerine gelmediğinde, varyansların heterojen olması durumunda Welch-James testini veya Alexander-Govern testini, dağılımların eğriliğinden kaynaklanabilecek olumsuzluğu gidermek amacıyla da Johnson transformasyonunu veya ayıklanmış ortalamalar (Trimmed means) yöntemini kullanmayı önermişlerdir. Bu yöntemlerin gerek tek başlarına gerekse birlikte uygulanmasının gerçekleşen I. Tip hata ve gerçekleşen testin gücü değerleri üzerindeki etkilerini karşılaştırmak amacıyla 2x2 ve 2x4 faktoriyel deneme düzeninde farklı varyans, örnek genişliği ve dağılımlar kullanarak yapmış oldukları simulasyon çalışmasında Johnson transformasyonu ve ayıklanmış ortalamalar yönteminin kullanılması durumunda her iki testinde gerçekleşen I.tip hata olasılıkları ve 7

17 gerçekleşen testin gücü değerleri bakımından geleneksel hesaplamalara göre daha iyi sonuçlar verdiğini bildirmişlerdir. Carletti and Claustriaux (2005) yaptıkları çalışmada varyansların homojenliği ve normallik varsayımı sağlanmadığında F testine alternatif olabilecek Rank Tranform ve Aligned Rank Transform tekniklerini iki yönlü varyans analizi modelinde farklı varyans büyüklükleri ve farklı dağılım şekilleri kullanarak gerçekleşen I. Tip hata olasılığı bakımından karşılaştırmışlardır. Yapmış oldukları simulasyon çalışması sonucunda Aligned Rank Transform tekniğinin özellikle büyük örneklerde varyansların heterojenliğinden etkilendiğini, varyanslar homojenken bu iki metodunda normal olmayan dağılımlar için teorik açıdan güçlü olduğunu bildirmişlerdir. Tuncer (2005) çalışmasında varyans analizi tekniğinde ön şartlar sağlanmadığında F testine alternatif olarak kullanılabilecek Chen and Chen (1998) tarafından önerilen bir aşamalı yöntemi ve Bishop and Dudewicz (1978) tarafından önerilen iki aşamalı yöntemi tanıtmış, bu yöntemleri karşılaştırmıştır. Araştırmacı, tek yönlü varyans analizi modelinde tek aşamalı yöntemin ve iki aşamalı yöntemin uygulamasını farklı ortalama ve varyansa sahip normal populasyonlardan ürettiği verileri kullanarak birer örnek üzerinde göstermiştir. Koşkan (2007) çalışmasında, t testini, F testini ve Yeniden örnekleme yöntemini 2 ve 3 grup kullanarak farklı dağılım şekillerinde ve farklı varyans koşullarında, gerçekleşen I.tip hata ve gerçekleşen testin gücü bakımından tekrarlı simülasyonlar ile karşılaştırmıştır. Sonuç olarak, küçük örnek genişliklerinde ve varyanslar heterojen iken yeniden örnekleme yönteminin incelenen diğer testlerden daha iyi sonuçlar verdiğini bildirmiştir. 8

18 3. MATERYAL VE YÖNTEM 3.1 Materyal Bu tezin materyalini, belirlenen dağılım şekillerine sahip populasyonlardan, altgruplardaki gözlem sayılarına ve varyans kombinasyonlarına göre Microsoft Power Station Developer Studio ortamında IMSL rutinleri kullanılarak üretilmiş olan tesadüf sayıları oluşturmaktadır. Yapılan tüm hesaplamalarda Fortran programlama dili ile yazılmış programlar kullanılmıştır. İnteraksiyona ilişkin hipotezi test etmek amacıyla denemeler, tesadüf parselleri deneme tertibinde faktoriyel düzende her faktörün iki seviyesi olacak şekilde yürütülmüştür. Gözlemlerin alındığı varsayılan populasyonlar ve parametreleri, 3 ve 6 serbestlik dereceli t, 3 ve 6 serbestlik dereceli χ 2, 4,0.75 ve 4,1.5 parametreli β ile Z olacak şekilde düşünülmüştür. Çalışmada kullanılan ve dağılımları Şekil de verilen populasyonlar, varyans oranları, alt gruplardaki gözlem sayıları ve standart sapma cinsinden alt grup ortalamaları Çizelge 3.1 de verilmiştir. Çizelge 3.1 Tezde kullanılan dağılım,gözlem sayıları,varyans oranları ve alt grup ortalamaları Dağılımlar Gözlem sayıları Varyans oranları Grup ortalamaları a 1 b 1 a 1 b 2 a 2 b 1 a 2 b 2 n 11 n 12 n 21 n 22 Z t(3) t(6) χ 2 (3) χ 2 (6) β(4,0.75) β(4,1.5) σ 11 : 2 σ 12 : 2 σ 21 : 2 σ µ : µ 12: µ 21: µ 22 1:1:1:1 0 : 0 : 0 : 0 1:4:1: : 0.25 : 0 : 0 1:9:1: : 0.50 : 0 : 0 1:16:1: : 0.75 : 0 : 0 9

19 Kullanılan Dağılımların Şekilleri Şekil 3.1 Standart Normal Dağılım Şekil 3.2 β (4, 0.75) Dağılımı Şekil 3.3 β (4, 1.5) Dağılımı Şekil 3.4 t(3)dağılımı Şekil 3.5 t (6)Dağılımı Şekil 3.6 χ 2 (3)Dağılımı Şekil 3.7 χ 2 (6)Dağılımı 10

20 3.2 Yöntem Bu çalışmada, interaksiyona ilişkin hipotezin test edilmesinde tesadüf parselleri deneme tertibinde faktoriyel düzen kullanılmıştır. Burada A faktörünün a 1 ve a 2, B faktörünün b 1 ve b 2 olmak üzere ikişer seviyesi bulunmaktadır. Gözlemlerin bulunduğu alt grupların alınmış oldukları populasyonlar farklı ortalama ve varyansa sahip olduklarından bu durumu ortadan kaldırmak amacıyla öncelikle gözlemler, alınmış oldukları populasyonun ortalama ve varyansı dikkate alınarak standardize edilmiştir. Böylece populasyonlar, ortalamaları ve varyansları bakımından eşit (µ= 0 ve σ =1) olmuştur. Bu durumda her faktöre ait basit etkiler değişmeyecek yada tesadüften ileri gelebilecek kadar küçük farklar gösterecektir. Bu şartlarda faktörler arası etkinin sıfır olduğu yani interaksiyonun bulunmadığı söylenebilir. Bu durumun test sonucunda reddedilme oranı, gerçekleşen I. Tip hata olasılığını verecektir. Bu olasılık, simülasyon denemesi sonunda ret edilen H 0 hipotezlerinin adetleri sayıldıktan sonra % ye dönüştürülmesi sonucunda bulunur. Deneme sonunda gerçekleşen testin gücünü hesaplamak için ise, her faktöre ait basit etkiler sabit kalmayacak şekilde a 1 b 1 ve a 1 b 2 muamele kombinasyonlarında bulunan gözlemlere standart sapma cinsinden belirli sabit sayılar eklenerek faktörler arasında interaksiyon oluşturulmuştur. Bu durumda gerçekte yanlış olan H 0 hipotezinin simulasyon sonunda kaç defa ret edildiği sayıldıktan sonra bu sayı % ye dönüştürülerek testin gücü bulunmuştur. Testler alt gruplarda varyansların farklı oldukları durumda da irdeleneceğinden, populasyon varyanslarının homojenliğini bozmak için a 1 b 2 muamele kombinasyonundaki gözlemler amaca uygun sayılar ile çarpılmıştır. Tez çalışmasında ele alınan testler, gerçekleşen I.Tip hata olasılığı ve gerçekleşen testin gücü bakımından farklı varyans oranlarında, dağılım kombinasyonlarında ve örnek genişliklerinde karşılaştırılırken, alt gruplardaki gözlemlerin alınmış oldukları 11

21 dağılımların simetrik ya da eğri olması durumu; alt grupların dengeli yada dengesiz olması durumu, tekerrür adedinin az ya da çok olması durumu; populasyon varyansları ile örnek genişliği arasındaki ilişki bakımından pozitif ya da negatif eşleştirme durumu gibi bazı benzer özelliklerinde olası etkilerine değinilecektir. Gerek gözlem sayısı bakımından alt grup kombinasyonları gerekse dağılımlar ve varyans oranları, bu farklılıkları kapsayacak şekilde seçilmiştir. I. Tip hata ve Testin gücü bakımından incelenen Testler F testi Varyans analizinde Tesadüf parselleri deneme tertibinde iki faktörlü faktoriyel düzen için kullanılacak model, Y = µ + α + β + (αβ) + e şeklinde yazılabilir. (i= 1,2 ; j= 1,2 ve k= 1,2,...,n ijk i j ij ijk ij. ) A ve B Faktörüne ilişkin İnteraksiyon kareler toplamı ve Hata kareler toplamı; w i = n j =1 ij di = Yi1 Yi2 2 2 ( 2 w id i ) 2 2 n 2 i =1 i i = 2 i =1 i =1 j =1 k =1 w i 2 i =1 KT AxB= w d - ve HKT (Yijk Y ij ) şeklinde bulunur. Faktörler arasında interaksiyon yoktur şeklinde ifade edilen H 0 hipotezinin test edilmesinde kullanılacak F istatistiği ise; F= KTAxB (a-1)(b-1) HKT (N-ab) şeklinde hesaplanır. Bulunan F istatistiği, F α,v1,v2 reddedilir. değerinden büyük ise H 0 hipotezi 12

22 ART testi Blair and Sawilowsky (1990) Rank Transform metodunda, gerçek gözlemlerden, gözlemlerin bulunduğu satır ve sütun ortalamalarının çıkarılması şeklinde bir düzeltme önermişlerdir. Bu şekilde yapılacak bir düzeltme ile, gözlemlerden faktörlere ilişkin esas etkilerin uzaklaştırıldığını ve geriye ise interaksiyonun sebep olduğu etkilerin kaldığını bildirmişledir. Bu düzeltme yapıldıktan sonra elde edilen verileri ranklara dönüştürmüşler ve bu ranklara klasik varyans analizi uygulamışlardır. SS testi Chen and Chen (1998) tarafından önerilen tek aşamalı yöntem, alt gruplarda bulunan gözlemlerden, rastgele seçilen ya da ilk n 0 tanesi kullanılarak hesaplanan örnek ortalaması ve varyansına dayanmaktadır. Daha sonra alt gruplardaki gözlemler ağırlıklandırılarak, ağırlıklandırılmış ortalamalar olarak tanımlanmış istatistikler hesaplanır. Bu test için, gözlemlerin bağımsızlığı ve verilerin alınmış oldukları populasyonların dağılımlarının normal olması ön şartları yerine gelmelidir. İnteraksiyona ilişkin hipotez kontrolünde kullanılacak test istatistiğinin hesaplanma yöntemi aşağıda verilmiştir (Chen and Chen 1998, Chen et al. 2000). n n ijk ijk- ij(n0) Y (Y Y ) 2 = = = n (n -1) i =1 2 i =1 2 Y ij(n 0) ve S ve S max(s ) (i=1,2;j=1,2) ij k ij nij-n0 S k 1 1 n0 S k ij 2 2 nij nij n0 Sij nij nij nij-n0 Sij U ij = + 1 ve V = 1 n 0 nij * + * n Y i = U Y V Y j ij ijk ij ijk k=1 k= 0+1 b a a b 1 1 =. = 1 Y Y ; Y Y ; Y = Y b a ab i. ij j ij.. ij j=1 i=1 i=1 j=1 13

23 test istatistiği ise, a b 2 ij i..j.. % Y Y Y + Y F= şeklinde hesaplanır. i=1 j=1 Sk / nij Eğer F % > F% α,a,b,n0 ise interaksiyona ilişkin H 0 hipotezi reddedilir.burada a ve b, ele alınan faktör seviyelerinin sayısını, n 0 ise her bir altgruptan rastgele ya da sıralı olarak seçilen gözlem adedi sayısını belirtmektedir. Bu çalışmada Tek aşamalı yöntem için kritik değerler χ 2 yaklaşımıyla yada simulasyon yöntemi ile bulunabilir (Bishop and Dudewicz 1978, Chen and Chen 1998). Bu çalışmada kritik değerler simulasyon yaklaşımı ile elde edilmiştir. WJ testi Varyansların homojen olmadığı durumlarda varyans analizine alternatif olarak kullanılan Welch testi ve James testi, Johansen (1980) tarafından doğrusal modellere genelleştirilmiştir. 2x2 faktoriyel düzende interaksiyona ilişkin hipotezin test edilmesinde WJ testi şu şekilde hesaplanmaktadır (Algina and Olejnik 1984, Kesselman et al. 1998) A= ij ij 2 2 ij i =1 j =1 ij i =1 j =1 S n S / n (nij-1) 2 v *(v +2) 3A 1 1 Serbestlik dereceleri ise, v 1= (a-1)(b-1) ve v 2 = şeklinde hesaplanır. 6A c = v 1+2A- (v 1 +2) (Y -Y -Y +Y ) WJ= 2 2 S i = 1 j =1 2 ij n ij WJ / c istatistiğinin, v 1 ve v2serbestlik derecesi F dağılımı gösterdiği varsayılmaktadır. 14

24 4. BULGULAR 4.1 İnteraksiyona İlişkin Yapılan Hipotez Testlerinde Gerçekleşen I. Tip Hata Olasılıkları Ve Testin Gücü Alt gruplarda ele alınan dağılım kombinasyonlarında interaksiyona ilişkin yapılan hipotez testlerinde gerçekleşen I. tip hata olasılıkları Çizelge 4.1 ve Şekil incelendiğinde, gözlemler, varyansları homojen olan normal populasyonlardan alındığında, tüm alt grup kombinansyonlarında gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının, ART testinde % 4,91 ile % 5,45 aralığında; F testinde % 4,82 ile % 5,15 aralığında gerçekleştiği ve bu iki testin, başlangıçta % 5 olarak kararlaştırılan I.Tip hata olasılığını deneme sonunda da koruduğu gözlenmektedir. Çizelge 4.1 Alt gruplardaki dağılımlar Z(0,1) olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) Varyans Oranları 1:1:1:1 1.4:1:1 1:9:1:1 1:16:1:1 Test Alt gruplar ve gözlem sayıları Dengeli P + P - P + P - P + P - P + P - P + P - P + P - n n n n ART F SS WJ ART F SS WJ ART F SS WJ ART F SS WJ

25 SS testinde, I.Tip hata olasılıklarının % 3,45- % 5,10 aralığında, WJ testinde ise % 4,39- % 5,14 aralığında gerçekleştiği görülmektedir. Bu iki test bakımından gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının, alt gruplarda az sayıda gözlem bulunması halinde kararlaştırılan I.Tip hata olasılığından düşük olduğu gözlenmiş olsa da, alt gruplardaki gözlem sayılarının artışına bağlı olarak, I.Tip hata olasılığının % 5 civarında gerçekleştiği görülmektedir. Varyansların homojenliği 1:4:1:1 şeklinde bozulduğunda, ART testi bakımından gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının, % 4,16- % 10.3 aralığında, populasyon varyansları 1:9:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 5,62 ile % 16,9 aralığında, populasyon varyansları 1:16:1:1 şeklinde heterojen olduğunda ise % 7,75 ile % 23,4 aralığında kaldığı gözlenmektedir. ART testi bakımından gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının, populasyon varyansları arasında heterojenliğin artışıyla birlikte kararlaştırılan I.Tip hata olasılığından daha yüksek olduğu gözlenmektedir. Varyansların homojenliği bozulduğunda F testinde I.Tip hata olasılıklarının, varyanslar 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 1,96 ile % 13,2 aralığında, varyanslar 1:9:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 1,09 ile % 19,6 aralığında ve varyanslar 1:16:1:1 şeklinde heterojen olduğunda ise % 0,80 ile % 23,8 aralığında gerçekleştiği gözlenmektedir. F testinin, ancak gözlem sayılarının çok olduğu dengeli alt gruplarda kararlaştırılan I.Tip hatayı nispeten koruyabildiği, bunun dışındaki gözlem kombinasyonlarında ise gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının; pozitif eşleme durumunda belirlenen seviyeden büyük olduğu, buna karşın negatif eşleme durumunda ise kararlaştırılan % 5 seviyesinden düşük olduğu ve bu durumun, altgruplardaki dengesizliğin ve populasyon varyansları arasındaki heterojenliğin artışıyla daha da belirginleştiği gözlenmektedir. Varyanslar heterojen olduğunda SS testi ile WJ testi bakımından gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının, genelde varyanslar homojen olduğunda gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarına yakın çıktığı görülmektedir. SS testi bakımından gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının, populasyon varyansları 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 3,42 ile % 5,14 aralığında, varyanslar 1:9:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 3,53 ile % 5,18 16

26 aralığında ve varyanslar 1:16:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 3,39 ile % 5,08 aralığında olduğu gözlenmektedir. WJ testi için I.Tip hata olasılıklarının, populasyon varyansları 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 4,66 ile % 5,11 aralığında, varyanslar 1:9:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 4,73 ile % 5,39 aralığında ve varyanslar 1:16:1:1 şeklinde heterojen olduğunda ise % 4,84 ile % 5,51 aralığında gerçekleştiği görülmektedir. 6,0 5,5 I. Tip hata olasığı (%) 5,0 4,5 4,0 3,5 3, ART F SS WJ Şekil 4.1 Alt gruplardaki dağılımlar Z(0,1) ve varyanslar homojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) I. Tip hata olasılığı (%) ART F SS WJ Şekil 4.2 Alt gruplardaki dağılımlar Z(0,1) ve varyanslar 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) 17

27 Çizelge 4.2 ve Şekil incelendiğinde, alt gruplarda bulunan gözlemler β(4, 0.75) parametreli populasyonlardan alındığında, varyansların homojen olduğu durumda ele alınan tüm alt grup kombinansyonlarında gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının ART testinde % 5,03 ile % 5,72 aralığında; F testinde % 4,71 ile % 5,10 aralığında olduğu ve bu iki testin başlangıçta % 5 olarak kararlaştırılan I.Tip hata olasılığını deneme sonunda da koruduğu görülmektedir. Çizelge 4.2 Alt gruplardaki dağılımlar β(4, 0.75) olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları(%) Alt gruplar ve gözlem sayıları Varyans Oranları 1:1:1:1 1.4:1:1 1:9:1:1 1:16:1:1 Dengeli P + P - P + P - P + P - P + P - P + P - P + P - Test n n n n ART F SS WJ ART F SS WJ ART F SS WJ ART F SS WJ SS testinde ise I.Tip hata olasılıklarının % 5,46- % 9,95 aralığında gerçekleştiği ve ele alınan tüm gözlem kombinasyonlarında başlangıçta kararlaştırılan % 5 seviyesinden büyük olduğu ve bu durumun küçük örnek genişliklerinde daha da belirginleştiği gözlenmektedir. WJ testinde ise, I.Tip hata olasılıklarının % 3,62 ile % 5,18 aralığında gerçekleştiği görülmektedir. WJ testi bakımından gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının 18

28 küçük örnek genişliklerinde kararlaştırılan I.Tip hata olasılığından düşük çıktığı gözlenmiş ise de, alt gruplardaki gözlem sayıları arttıkça, gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının, kararlaştırılan % 5 civarında olduğu gözlenmektedir. Populasyon varyansları 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda, ART testi bakımından gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının % 6,20- % 23,6 aralığında, varyanslar 1:9:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 9,48- % 33,7 aralığında ve varyanslar 1:16:1:1 şeklinde heterojen olduğunda ise % 12,9 ile % 40,9 aralığında olduğu görülmektedir. ART testinde gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının, varyanslardaki heterojenlik derecesindeki artışla birlikte alt gruplardaki gözlem sayılarındaki artışa rağmen kararlaştırılan I.Tip hata olasılığının üzerinde olduğu gözlenmektedir. Varyansların homojenliği bozulduğunda F testinde I.Tip hata olasılıklarının, varyanslar 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 2,15 ile % 13,4 aralığında, varyanslar 1:9:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 1,64 ile % 20,4 aralığında ve varyanslar 1:16:1:1 şeklinde heterojen olduğunda ise % 1,49 ile % 24,8 aralığında gerçekleştiği gözlenmektedir. F testinde gerçekleşen I. Tip hata olasılıklarının, dengeli alt gruplarda gözlem sayıları arttıkça, kararlaştırılan I.Tip hata olasılığına yaklaştığı, bunun dışındaki gözlem kombinasyonlarında gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının; pozitif eşleme durumunda kararlaştırılan seviyeden büyük olduğu, buna karşın negatif eşleştirme durumunda ise kararlaştırılan % 5 seviyesinden düşük olduğu gözlenmektedir. Varyanslar homojenliği bozulduğunda SS testinde gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının, ele alınan örnek genişliği kombinansyonlarında varyanslar homojen olduğunda gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarına nazaran genelde biraz daha yüksek olduğu gözlenmektedir. SS testinde I.Tip hata olasılıkları, populasyon varyansları 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 5,94 ile % 10,1 aralığında, varyanslar 1:9:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 6,01 ile % 10,3 aralığında ve varyanslar 1:16:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 5,94 ile % 10,4 aralığında gerçekleşmiştir. WJ testinde ise I.Tip hata olasılıklarının, populasyon varyansları 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 4,35 ile % 6,77 aralığında, varyanslar 1:9:1:1 şeklinde heterojen 19

29 olduğunda % 4,95 ile % 8,71 aralığında ve varyanslar 1:16:1:1 şeklinde heterojen olduğunda ise % 5,37 ile % 9,84 aralığında gerçekleştiği görülmektedir. WJ testinde varyanslardaki heterojenlik arttıkça gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının % 5 ten büyük olduğu ve testin, pozitif ya da negatif eşleştirmeden de etkilendiği özellikle dengesizlik halinde daha da belirgin olarak gözlenmektedir. I.Tip hata olasılığı (%) 10,0 9,0 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2, ART F SS WJ Şekil 4.3 Alt gruplardaki dağılımlar β(4, 0.75) ve varyanslar homojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) I. Tip hata olasılığı (%) ART F SS WJ Şekil 4.4 Alt gruplardaki dağılımlar β(4, 0.75) ve varyanslar 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) 20

30 Çizelge 4.3 ve Şekil incelendiğinde, gözlemlerin β(4,1.5) parametreli populasyonlardan alınması halinde ve populasyon varyanslarının homojen olduğu durumda ele alınan alt grup kombinansyonlarında ART testinde gerçekleşen I. Tip hata olasılıklarının % 4,98 ile % 5,59 aralığında değerler aldığı ve gözlem sayısı arttıkça gerçekleşen I. Tip hata olasılıklarının % 5 civarında olduğu görülmektedir. Çizelge 4.3 Alt gruplardaki dağılımlar β(4, 1.5) olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları(%) Alt gruplar ve gözlem sayıları Varyans Oranları 1:1:1:1 1.4:1:1 1:9:1:1 1:16:1:1 Dengeli P + P - P + P - P + P - P + P - P + P - P + P - Test n n n n ART F SS WJ ART F SS WJ ART F SS WJ ART F SS WJ F testinde ise gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının % 4,86 ile % 5,14 aralığında olduğu gözlenmektedir.populasyon varyansları homojen olduğunda SS testinde gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının ele alınan gözlem kombinasyonlarında % 4,58- % 5,97 aralığında, WJ testinde ise gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının % 4,25- % 5,07 aralığında olduğu gözlenmektedir. 21

31 Populasyon varyansları arasında 1:4:1:1 şeklinde heterojenlik olduğunda, ART testi bakımından gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının % 4,68 ile % 13,5 aralığında, populasyon varyansları arasında 1:9:1:1 şeklinde heterojenlik olduğunda % 6,50- % 21,8 aralığında ve populasyon varyansları arasında 1:16:1:1 şeklinde heterojenlik olduğunda ise % 9,44 ile % 28,6 aralığında değerler aldığı gözlenmektedir. Populasyon varyanslarının homojenliği bozulduğunda F testinde I.Tip hata olasılıklarının, populasyon varyansları 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 2,09 ile % 13,3 aralığında gerçekleştiği, populasyon varyansları 1:9:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 1,29 ile % 20,1 aralığında gerçekleştiği ve populasyon varyansları 1:16:1:1 şeklinde heterojen olduğunda ise % 0,94 ile % 24,0 aralığında gerçekleştiği gözlenmektedir. SS testinde I.Tip hata olasılıklarının, populasyon varyansları 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 4,57 ile % 6,25 aralığında gerçekleştiği, populasyon varyansları 1:9:1:1 şeklinde heterojen olduğunda, % 4,60 ile % 6,33 aralığında gerçekleştiği ve populasyon varyansları 1:16:1:1 şeklinde heterojen olduğunda ise % 4,72 ile % 6,22 aralığında gerçekleştiği gözlenmektedir. SS testinde gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının, populasyon varyanslarının heterojen olması halinde pozitif ve negatif eşleştirme durumundan az da olsa etkilendiği gözlenmekle birlikte bir kaç gözlem kombinasyonu hariç bu testin genelde kararlaştırılan I. Tip hata olasılığını koruduğu gözlenmektedir. WJ testi bakımından gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının, varyanslar 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 4,55 ile % 5,81 aralığında, varyanslar 1:9:1:1 şeklinde heterojen olduğunda % 5,01 ile % 6,84 aralığında ve varyanslar 1:16:1:1 şeklinde heterojen olduğunda ise % 5,12 ile % 7,17 aralığında değerler aldığı görülmektedir. WJ testinde gerçekleşen I.Tip hata olasılıklarının, gözlemlerin alındığı populasyonların varyansları heterojen olduğunda pozitif ya da negatif eşleştirmeden etkilendiği ve bu 22

32 durumun gözlem sayısının az olduğu dengesiz alt gruplarda, özellikle populasyonların varyanslarının heterojenliğindeki artışa bağlı olarak daha belirgin olduğu gözlenmektedir. I. Tip hata olasılığı (%) 6,0 5,5 5,0 4,5 4, ART F SS WJ Şekil 4.5 Alt gruplardaki dağılımlar β(4, 1.5) ve varyanslar homojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları (%) I. Tip hata olasılığı (%) ART F SS WJ Şekil 4.6 Alt gruplardaki dağılımlar β(4, 1.5) ve varyanslar 1:4:1:1 şeklinde heterojen olduğunda gerçekleşen I. Tip hata olasılıkları(%) 23