ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ BİLİŞSEL RADYO AĞLARI İÇİN DEĞİŞİM NOKTASI ANALİZİNE DAYALI GENİŞ BANT SPEKTRUM ALGILAMA

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ BİLİŞSEL RADYO AĞLARI İÇİN DEĞİŞİM NOKTASI ANALİZİNE DAYALI GENİŞ BANT SPEKTRUM ALGILAMA Selçuk TAŞCIOĞLU ELEKTRONİK MÜHENDİSLİĞİ ANABİLİM DALI ANKARA 011 Her hakkı saklıdır

2 TEZ ONAYI Selçuk TAŞCIOĞLU tarafından hazırlanan Bilişsel Radyo Ağları için Değişim Noktası Analizine Dayalı Geniş Bant Spektrum Algılama adlı tez çalışması 06/09/011 tarihinde aşağıdaki jüri tarafından oy birliği ile Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı nda DOKTORA TEZİ olarak kabul edilmiştir. Danışman: Doç. Dr. Ziya TELATAR Jüri Üyeleri: Başkan : Doç. Dr. Emre AKTAŞ Hacettepe Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Ziya TELATAR Ankara Üniversitesi Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Doç. Dr. Erkan AFACAN Gazi Üniversitesi Elektrik-Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Yrd. Doç. Dr. Murat Hüsnü SAZLI Ankara Üniversitesi Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı Üye : Yrd. Doç. Dr. Asım Egemen YILMAZ Ankara Üniversitesi Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı Yukarıdaki sonucu onaylarım. Prof. Dr. Özer KOLSARICI Enstitü Müdürü

3 ÖZET Doktora Tezi BİLİŞSEL RADYO AĞLARI İÇİN DEĞİŞİM NOKTASI ANALİZİNE DAYALI GENİŞ BANT SPEKTRUM ALGILAMA Selçuk TAŞCIOĞLU Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Elektronik Mühendisliği Anabilim Dalı Danışman: Doç. Dr. Ziya TELATAR Bu tezde, radyo iletişim sinyalleri için yeni bir geniş bant spektrum algılama yaklaşımı önerilmektedir. Önerilen yaklaşımda, gözlenen radyo frekans (RF) spektrumunun parçalı sabit bir fonksiyon olarak modellenebileceği varsayılır ve RF güç spektrumu, model parametrelerinin sonsal örnekleri ile oluşturulan sinyal spektrumu gerçekleştirimlerinin beklenen değeri olarak kestirilir. Elde edilen kestirim, spektrumun kaba bir gösterimi olup algılama başarımını artırmak için bu kestirimden ayrıntılı tarama parametreleri çıkarılabilir. Kullanıcı frekansları, bant genişlikleri ve sinyal güç seviyeleri hakkındaki önsel bilgiye ihtiyaç duymayan yöntem, ilgilenilen geniş bandın düzensiz parçalı ve heterojen yapıda olduğu bilişsel radyo sistemleri için uygundur. Elde edilen spektrum karakteristikleri hesaplama karmaşıklığını azaltmak ya da sonraki veriler için kestirim ve öngörüm doğruluğunu artırmak için kullanılabilir. Önsel bilginin iyileştirilmiş başarım için kullanılabiliyor olması, bilişsel radyo ağının çalıştığı ortam hakkında önsel bilginin bir radyo ortam haritası ile sağlanabildiği durumda, çekici bir özelliktir. Önerilen geniş bant spektrum algılama yöntemini değerlendirmek ve benzetimlerle başarımını ölçmek için çeşitli metrikler tanımlanmıştır. Benzetim sonuçları, geleneksel FFT-tipi spektrum analizi tekniklerine göre önerilen yöntemin, çözünürlük ve/veya tepki süresi açısından avantajlar sunduğunu göstermektedir. Ayrıca, gürültü belirsizliğinin yöntemin algılama başarımına etkisi değerlendirilmiş ve yöntemin, belirsizlik durumunda da dayanıklı bir geniş bant spektrum algılama yöntemi olarak kullanılabileceği gösterilmiştir. Eylül 011, 105 sayfa Anahtar Kelimeler: Bilişsel radyo, dinamik spektrum erişimi, geniş bant spektrum algılama, Bayes çoklu değişim noktası analizi, Markov zinciri Monte Carlo. i

4 ABSTRACT Ph. D. Thesis CHANGEPOINT ANALYSIS BASED WIDEBAND SPECTRUM SENSING FOR COGNITIVE RADIO NETWORKS Selçuk TAŞCIOĞLU Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Electronics Engineering Supervisor: Assoc. Prof. Dr. Ziya TELATAR In this thesis, a novel wideband spectrum sensing approach is proposed for the detection of radio communication signals. In the proposed approach, it is assumed that the monitored RF spectrum can be modeled as a piece-wise flat function and RF power spectrum is estimated as the posterior expectation of the realizations of the underlying signal spectrum obtained through the simulated samples drawn from the joint posterior distribution of the model parameters. The obtained estimation is a coarse description of the spectrum that can be further utilized to extract fine scanning parameters to improve sensing performance. The technique doesn t rely on a priori knowledge of user frequencies, bandwidths and power levels; therefore it is suitable for cognitive radio systems where the wideband spectrum of interest is likely to be fragmented and heterogeneous. On the other hand, the technique allows the utilization of acquired spectral characteristics to reduce the computational complexity or to improve the accuracy of estimations and predictions for future data. The fact that the proposed technique can utilize prior knowledge for improved performance is an attractive feature for cognitive radio networks for which a radio environment map (REM) can provide prior knowledge about the environment the network operates. Several metrics have been defined for the assessment of the proposed technique and the performance has been evaluated through simulations. The simulation results show that the proposed technique offers advantages over the conventional FFT-type spectrum analysis methods in terms of resolution and/or latency. The impact of the noise uncertainty on the detection performance has also been evaluated and it is shown that the technique can be used as a robust wideband spectrum sensing tool even under noise uncertainty. September 011, 105 pages Key Words: Cognitive radio, dynamic spectrum access, wideband spectrum sensing, Bayesian multiple changepoint analysis, Markov chain Monte Carlo. ii

5 ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR Günümüz iletişim sistemlerinde mobil cihaz kullanımının giderek yaygınlaşması ve bu cihazların kullanım amacının zaman içinde sadece ses iletişiminden çoklu ortam uygulamalarına uzanan değişimi, kıt bir kaynak olan spektrumda sıkışıklığa yol açmaktadır. Bu nedenle, spektrumun mevcut statik tahsisine dayalı kullanım modeli yerine daha verimli ve etkin kullanımına olanak sağlayan, dinamik erişim yaklaşımı önerilmektedir. Dinamik erişim ağlarında çalışacak kablosuz haberleşme cihazları, bulunduğu radyo ortamını algılama, uygun iletim bandı bulma ve iletim parametrelerini kanala göre uyarlama gibi yeteneklere sahip bilişsel radyolardır. Bilişsel radyo ağları, henüz araştırma-geliştirme sürecinin ilk aşamalarında olmasına rağmen gelecek nesil kablosuz iletişim sistemlerinin ihtiyaçlarını karşılaması konusundaki ümit verici yönü nedeniyle, dünya çapında spektrum yönetim politikalarının yeniden değerlendirilmesine neden olmuştur. Bu ağlar üzerinde çalışacak uygulamaların hayata geçirilmesindeki zorlukların aşılması için bilimsel ve düzenleyici çalışmalar yoğun olarak devam etmektedir. Günümüzde gerçekleştirilebilir durumda olan yazılım tanımlı radyo, farklı iletişim standartlarına sadece yüklenen bir yazılım ile uyum sağlayabilme özelliğiyle bilişsel radyolar için gerekli alt yapıyı sunmaktadır. Ayrıca, artan hesaplama gücü birçok ileri istatistiksel sinyal işleme tekniğinin kablosuz haberleşme alıcılarına uygulanabilmesine olanak sağlamaktadır. Bu tez kapsamında, bilişsel ağlarda birincil görev olan radyo ortamının izlenerek öğrenilmesi ve uygun iletim kanalının bulunması için bir geniş bant spektrum algılama yöntemi geliştirilmesi amaçlanmıştır. Tez çalışması, Kanada Haberleşme Araştırma Merkezi nde (CRC, Ottava, Kanada) devam eden bir proje kapsamında yürütülmüştür. TÜBİTAK Yurt Dışı Araştırma Burs Programı desteği ile çalışmaların bir kısmının tamamlandığı Haberleşme Araştırma Merkezi bir yıl süre ile ziyaret edilmiştir. Tez konumun belirlenmesi aşamasında beni bu konuya yönlendiren; bilgi, fikir ve önerileri ile tez ve makale çalışmalarımın her aşamasında büyük bir özveri ile destek olan ve çalışmalarımı uzmanlıkla yönlendiren, yüksek lisans çalışmalarımdan bu yana bana ayırdığı değerli zamanı, öğrettikleri, anlayışı ve yardım severliği ile desteğini hep hissettiğim Sayın Dr. Oktay ÜRETEN e (Communications Research Centre, Ottawa, Canada) içten teşekkürlerimi sunarım. Kendisinin desteği olmaksızın tezin bu hale gelmesi mümkün olmazdı. Bir yıllık araştırma bursu süresince bilgi ve tecrübesi ile tez konusunun olgunlaşmasında büyük katkısı olan, her türlü deneysel çalışma olanağını sağlayarak, bu çalışmaların yürütülmesinde özveri ile emek harcayan Sayın Dr. Nur SERİNKEN e (Communications Research Centre, Ottawa, Canada), iii

6 Doktora öğrenimimin ders aşamasında tanıma fırsatı bulduğum, fikirleri ve bilimsel yaklaşımı ile beni akademik çalışmalar konusunda isteklendiren Sayın Prof. Dr. Fikri ÖZTÜRK e (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü), İstatistik konularında bilgi ve görüşlerini paylaşan, tez için yaptığı yorum ve düzeltmelerle katkıda bulunan Arş. Gör. Özlem TÜRKŞEN e (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi İstatistik Bölümü), Tez çalışması süresince yapılan tez izleme toplantılarına katılan ve fikirleri ile katkıda bulunan Sayın Doç. Dr. Emre AKTAŞ ve Sayın Yrd. Doç. Dr. Murat Hüsnü SAZLI ya, Doktora öğrenimim süresince önerileri ile beni yönlendiren, çalışma sonuçlarının yayınlanması için beni teşvik eden ve bu konuda emek harcayan; fikirleri, tecrübesi ve anlayışıyla her zaman destek olan tez danışmanım Sayın Doç. Dr. Ziya TELATAR a, Manevi desteklerini her zaman olduğu gibi tez çalışması süresince de hissettiğim aileme Teşekkür ederim. Selçuk TAŞCIOĞLU Ankara, Eylül 011 iv

7 İÇİNDEKİLER ÖZET... i ABSTRACT... ii ÖNSÖZ VE TEŞEKKÜR... iii KISALTMALAR DİZİNİ... vii ŞEKİLLER DİZİNİ... viii ÇİZELGELER DİZİNİ... x 1. GİRİŞ KURAMSAL TEMELLER Bayes Sonuç Çıkarımı Önsel dağılım Bayes sonuç çıkarımında integral problemi Bayes Yaklaşımı ile Çoklu Değişim Noktası Algılama Dağılımlardan Rasgele Örnek Üretme Yöntemleri Kabul-Ret örnekleme yöntemi Önem örnekleme yöntemi Markov zinciri Monte Carlo Yöntemleri Markov zincirleri Metropolis-Hastings algoritması Öneri Dağılımı BAYES YAKLAŞIMIYLA GENİŞ BANT SPEKTRUM ALGILAMA Geleneksel Geniş Bant Spektrum Algılama Yöntemlerinin Kısıtları Periodogramın Örneklem Özellikleri Parçalı Sabit Güç Spektrumu Modeli Geniş Bantlı Spektrumun Bayes Çoklu Değişim Noktası Analizi Olabilirlik fonksiyonu Önsel dağılımlar Bayes eğri kestirimi Tersinir Atlamalı Markov Zinciri Monte Carlo Yöntemi RJMCMC Algoritmasının Yakınsaması GENİŞ BANT SPEKTRUM ALGILAMA BAŞARIM ÖLÇÜTLERİ v

8 4.1 Başarım Ölçütleri Algılama ve yanlış alarm oranı Hata kareleri ortalaması Model derecesi kestirim hatası Önerilen Yöntemin Başarımının Bir Benzetim Örneği ile Gösterilmesi GÜRÜLTÜ VARYANSI KESTİRİMİ σ parametresi için önsel ve öneri dağılımları σ parametresi için örnek üretme algoritması BULGULAR RJMCMC Algoritması Algılama Başarımı Önsel Bilginin Algılama Başarımına Etkisi Gürültü Belirsizliğinin Bayes Algılayıcı Başarımına Etkisi Eğri kestirimi başarımı Algılama başarımı Model derecesi kestirim hataları Kestirilen Gürültü Varyansı ile Algılama Başarımı SONUÇ KAYNAKLAR EKLER EK 1 Spektrum Kullanımı Ölçüm Sonucu X EK Y = e Dönüşümü için Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Hesabı EK 3 Yüksekliği Değiştirerek İlerleme için Kabul Olasılığı EK 4 Konumu Değiştirerek İlerleme için Kabul Olasılığı EK 5 Değişim Noktası Ekleyerek İlerleme için Önsel Oran EK 6 σ Parametresi için Öneri Dağılımı EK 7 Bazı Türkçe Terimlerin İngilizce Karşılıkları ÖZGEÇMİŞ vi

9 KISALTMALAR DİZİNİ FFT MAP MCMC MMAP MSE MTM REM RF RJMCMC ROC SNR WRAN Fast Fourier Transform (Hızlı Fourier Dönüşümü) Maximum a Posteriori (En Büyük Sonsal) Markov Chain Monte Carlo Marginal Maximum a Posteriori (Marjinal En Büyük Sonsal) Mean Square Error (Hata Kareleri Ortalaması) Multi Taper Method Radio Environment Map (Radyo Ortam Haritası) Radio Frequency (Radyo Frekansı) Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo (Tersinir Atlamalı Markov zinciri Monte Carlo) Receiver Operating Characteristics (Karar İşletim Grafiği) Signal-to-Noise Ratio (Sinyal Gürültü Oranı) Wireless Regional Area Network (Telsiz Bölgesel Alan Ağı) vii

10 ŞEKİLLER DİZİNİ Şekil.1 İki değişim noktası için ortak sonsal yoğunluk (Ruanaidh ve Fitzgerald 1996) Şekil. Kabul-ret örnekleme yönteminin grafiksel gösterimi Şekil.3 Önem örnekleme yönteminin grafiksel gösterimi... 0 Şekil.4 Metropolis-Hastings algoritması akış şeması... 4 Şekil.5 Şekil 3.1 Hedef dağılımın Ν(0,1) ve öneri dağılımın: a. Ν(X 0.1), b. Ν(X 10) ve c. Ν(X 0.5) olduğu durumlar için 500 yinelemede Metropolis algoritması ile elde edilen örnek değerleri (c de düşey çizginin solundaki örnekler alıştırma örnekleri olarak kabul edilir)... 6 Tipik bir radyo spektrumu ve model parametreleri (Gürültü bölüt yükseklik değerleri {h 0, h, h 4, h 6, h 8 } sıfırdır.) Şekil 3. Periodogram, Welch, MTM ve Bayes kestirimleri Şekil 3.3 Şekil 4.1 RJMCMC algoritması ilerleme türleri: a. yüksekliği değiştirerek, b. konumu değiştirerek, c. ekleyerek, d. azaltarak ilerleme... 4 SNR seviyeleri 3, 0, 6 ve 14 db olan dört kullanıcının yer aldığı örnek bir güç spektrumu Şekil 4. Model derecesinin sonsal dağılım kestirimi Şekil 4.3 Değişim noktası yerlerinin sonsal dağılım kestirimleri Şekil 4.4 Bölüt yüksekliklerinin sonsal dağılım kestirimleri Şekil 4.5 Periodogram ve Bayes kestirimi Şekil 4.6 Şekil 4.7 Şekil 4.8 Şekil 5.1 Kullanıcı SNR seviyelerinin [ ] db (siyah çubuk) ve [ ] db (beyaz çubuk) olduğu durumlar için model derecesi kestirim hatası histogramları Pilot çalıştırmada yinelemeler boyunca elde edilen MSE yakınsama değerleri (Düşey çizgi alıştırma yineleme sayısını gösterir.) Pilot çalıştırmada yinelemeler boyunca elde edilen sonsal dağılımın logaritmik değerleri (Düşey çizgi alıştırma yineleme sayısını gösterir.) Sınırlandırılmış birbiçimli logσ dağılımı... 6 Şekil 5. Şekil 5.3 Şekil 5.4 ( t) ( σ ) = 1 ve η = 1 için karesel ölçek parametresi σ nin öneri dağılımı σ için üretilen örnek değerleri ve bu örnekler kullanılarak elde edilen gürültü varyansı kestirimi (Düşey noktalı çizginin solunda kalan örnekler alıştırma örnekleri olarak alınır.) σ için sonsal dağılım kestirimi viii

11 Şekil 5.5 Gürültü varyansının kesin bilindiği ve kestirildiği durumlarda elde edilen spektrum kestirimleri Şekil 6.1 Periodogram ve Bayes kestirici için ROC eğrileri Şekil 6. Ardışık iki spektrum çerçevesi: a. birinci, b. ikinci çerçeve Şekil 6.3 Şekil 6.4 Şekil 6.5 RJMCMC yineleme sayısı ile algılama başarımı ilişkisi (P m değerleri her iki durum için yaklaşık eşit çıkmaktadır.) Örnek bir periodogram için {-3,0,3} db gürültü belirsizliği durumlarında elde edilen Bayes eğri kestirimleri Gürültü belirsizliği durumunda kullanıcı SNR seviyesine karşı MSE değerleri Şekil 6.6 Gürültü gücü belirsizliğine karşı MSE değerleri Şekil 6.7 Kullanıcı SNR seviyesine karşı ıskalama sezimi ve yanlış alarm oranları 79 Şekil 6.8 Gürültü belirsizliğine karşı ıskalama sezimi ve yanlış alarm oranları Şekil 6.9 Model derecesi kestirim hatası için birikimli dağılım fonksiyonu Şekil 6.10 Model derecesi kestirim hatasının SNR ile değişimi Şekil 6.11 Şekil 6.1 Şekil 6.13 Şekil 6.14 Farklı SNR seviyelerinde gerçek ve kestirilen gürültü varyansı değerleri... 8 Farklı SNR seviyelerinde gürültü varyansının kesin bilindiği ve kestirildiği durumlar için eğri kestirimi başarımı Farklı SNR seviyelerinde gürültü varyansının kesin bilindiği ve kestirildiği durumlar için ROC eğrileri (SNR={,4,6,8,10} db aşağıdan yukarıya) SNR seviyesinin db (üstteki) ve 0 db (alttaki) değerleri için gürültü varyansının kesin bilindiği ve kestirildiği durumlarda model derecesi kestirim hatası histogramları ix

12 ÇİZELGELER DİZİNİ Çizelge 3.1 Periodogram ordinatlarının sinyal ve gürültü hücrelerinde ortalama ve varyans değerleri.. 33 Çizelge 4.1 Periodogram ve Bayes kestirimi için algılama ve yanlış alarm oranları 57 x

13 1. GİRİŞ Kablosuz iletişim sistemlerinde sunulan hizmetlerin ve yüksek hızlı veri iletişimi gereksiniminin sürekli artması, spektrumun daha etkin ve verimli kullanımını zorunlu hale getirmektedir. Talebin sürekli artması, kıt bir kaynak olan spektrumda sıkışıklığa neden olurken diğer taraftan birçok lisanslı spektrum bandının uzun zaman aralıklarında kullanılmadığı rapor edilmektedir (Anonymous 00). Yapılan çeşitli ölçümler sonucu spektrumun zamanda ve uzayda düşük yoğunlukta kullanıldığının gözlenmesi (Ek 1), spektrum boşluğu kavramının tanımlanmasına neden olmuştur. Lisanslı bir kullanıcıya önceden tahsis edilmiş ancak belirli bir zaman ve coğrafyada lisans sahibi tarafından kullanılmayan bant spektrum boşluğu olarak tanımlanmaktadır. Kullanım oranı düşük spektrum bantlarının dinamik erişime açılarak bilişsel radyo adı verilen kablosuz haberleşme sistemleri tarafından kullanılması, spektrum yetersizliği problemi için bir çözüm olarak önerilmektedir. İlk olarak Mitola tarafından 1999 yılında ortaya atılan bilişsel radyo kavramı, çalıştığı elektromanyetik ortamı algılayarak, kullanılmayan frekans bantlarını tespit eden ve radyo çalışma parametrelerini bu bantlarda yayın yapabilecek şekilde uyarlayabilen radyo veya sistem olarak tanımlanır. Bilişsel radyo ağları kapsamında, kendisine frekans tahsis edilen ve kullanım önceliği bulunan kullanıcılar birincil kullanıcı, spektrumu algılayarak kullanılmayan kanallarda lisanslı kullanıcılara zararlı girişime neden olmadan yayın yapan kullanıcılar da ikincil kullanıcı olarak adlandırılır. İkincil kullanıcılar uygun iletim kanalı arayabilen, taşıyıcı frekansı, modülasyon türü ve verici gücü gibi radyo parametrelerini bulduğu kanal şartlarına göre gerçek zamanlı olarak yeniden yapılandırılabilen bilişsel özelliklere sahip olmalıdır. Bilişsel radyoların zararlı girişime neden olmadan yayın yapabilmesi için spektrum boşluklarının doğru tespit edilmesi gerekir. Iskalama sezimi (miss detection), lisanslı kullanıcılar için zararlı girişime neden olurken; yanlış alarm (false alarm), spektrum verimliliğini azaltacağı için dayanıklı bir spektrum algılama yönteminin geliştirilmesi önemlidir. Spektrum algılama, belirli bir coğrafi bölgede spektrum kullanımı ve birincil kullanıcıların varlığı hakkında bilgi elde etmek olarak ifade edilebilir. Bu bilgi, coğrafi konum belirleme ile birlikte bir veri tabanı kullanılarak elde edilebileceği gibi spektrum 1

14 algılamanın bilişsel radyolarda gerçekleştirilmesiyle de elde edilebilir. Daha geniş uygulama alanı ve daha düşük alt yapı gereksinimi nedeniyle çalışmalar, bilişsel radyoların bu görevi gerçekleştirmesi üzerine yoğunlaşmıştır. Bu yüzden bilişsel radyolar, spektrumu izlemek (spectrum monitoring) amacıyla bir güç spektrumu kestirimi yapmak zorundadır. Güç spektrumu kestirimi; spektrum izleme, spektrum test ve ölçümü gibi radyo uygulamaları için önemli bir araçtır. Spektrum kestiriminde genel olarak kestirimin doğruluğu ve tepki gecikmesi (latency) arasında bir ödünleşim söz konusudur. Daha doğru kestirim yapılması, gözlem süresinin uzamasını gerektirir. Pratikte, tepki gecikmesi ve doğruluk arasındaki denge, uygulamanın özelliği göz önünde bulundurularak belirlenir. Örneğin, bilişsel radyo ağlarında çok düşük sinyal seviyeli birincil kullanıcıların algılanması hedefleniyorsa güç spektrumu kestiriminin doğruluğu önem taşır. Diğer taraftan spektrumun ayrıntılı algılanması yerine, sadece spektral bölgelerin kabaca bölütlere ayrılması amaçlanıyorsa geniş bantlı spektrumun hızlıca elde edilmiş kaba bir gösterimi yeterli olacaktır. Bu sebeple, doğruluk ve tepki gecikmesi arasında dengeyi sağlayabilen bir spektrum kestirici tercih edilir. Pratikte ihtiyaç duyulan diğer bir özellik ise hesaplama karmaşıklığının az olmasıdır. Tepki gecikmesi az olduğu halde hesaplama karmaşıklığı çok fazla olan bir algılayıcı, spektral değişimlere hızlı cevap veremeyebilir. Bu durum, fırsatçı spektrum erişim sistemlerinde hızlı bir şekilde boşaltılamayan kanalda birincil kullanıcılara zararlı girişime yol açar. Bu tez çalışmasında amaç, dinamik spektrum erişim uygulamalarına uygun, pratik bir spektrum algılama yöntemi geliştirmektir. Bu bölümde, tez çalışmasında ele alınan geniş bant spektrum algılama problemini daha iyi tanımlayabilmek ve önerilen yöntemin avantajlarını ortaya koyabilmek için öncelikle, literatürde önerilen spektrum algılama yöntemlerinden bazıları özetlenecektir. Daha sonra, geniş bant spektrum algılama problemi ve bu amaçla önerilen bazı yeni yaklaşımlar ele alınacaktır. Son olarak, tez kapsamında önerilen yöntemin mevcut yöntemlere göre avantajlarına yer verilecektir.

15 Lisanslı kullanıcı sinyali bilindiğinde, beyaz gürültü kanalında en iyi algılayıcı uyumlu süzgeçtir (Proakis 001). Uyumlu süzgecin avantajı, verilen belirli bir yanlış alarm veya ıskalama oranının diğer yöntemlere kıyasla daha kısa sürede elde edilebilmesidir (Tandra ve Sahai 005). Uyumlu süzgeçleme, alınan sinyalin demodülasyonunu gerektirdiğinden birincil kullanıcı sinyallerinin bant genişliği, darbe biçimlendirme, çalışma frekansı, modülasyon tipi gibi bütün karakteristik özelliklerinin bilinmesi gerekir. Bu nedenle, önsel bilgi bulunmayan bilişsel ağ yapısına uygun değildir. Ayrıca, bütün sinyal tiplerini algılayabilecek yapıda tasarlanacak bir bilişsel radyonun boyutları pratikte kullanılamayacak kadar büyük olur (Cabric vd. 004). Bilinmeyen sinyallerin toplanır gürültü içinde algılanmasında yaygın olarak kullanılan yöntem enerji algılayıcıdır (Urkowitz 1967). Belirli bir frekans bandı için hesaplanan enerji, gürültü tabanına bağlı bir eşik seviyesi ile karşılaştırılarak birincil kullanıcının varlığı hakkında karar verilir. Sinyal hakkında önsel bilgi gerektirmemesi ve geniş bant spektrum algılamada kullanılabilmesi nedeniyle enerji algılayıcı konusunda çok fazla çalışma yapılmıştır. Enerji algılama, gürültü varyansı bilindiğinde en iyi yöntem olmakla birlikte, Sonnenschein ve Fishman (199) yöntemin gürültü gücü belirsizliğine karşı duyarlı olduğunu göstermişlerdir. Bu çalışmada, yayılı spektrum sinyallerinin geniş bant enerji algılayıcı ile algılanması için gerekli SNR seviyesinin gözlem süresinden bağımsız olarak sadece gürültü belirsizliğinin bir fonksiyonu haline gelmesiyle, algılamanın gürültü belirsizliği durumunda zorlaştığı gösterilmiştir. Tandra ve Sahai (008) bu etkiyi ölçebilmek için SNR duvarı (SNR wall) kavramını tanımlayarak, bu seviyenin altında kanalın gözlem süresine bakılmaksızın algılayıcının dayanıklı olamayacağını göstermişlerdir. Ayrıca, genel sinyal sınıfları ve algılama algoritmaları için gürültü belirsizliği etkisinin kapsamlı analizini yapmışlardır. Cabric vd. (006) kontrollü bazı deneylerle gürültü belirsizliği etkisini deneysel olarak incelemişlerdir. Spektrum algılama amacıyla kullanılan diğer bir yöntem dönemli-durağan (cyclostationary) özellik algılayıcıdır. Gürültünün aksine kullanıcı sinyalleri; sinüzoidal taşıyıcılar, darbe dizileri, atlamalı diziler veya döngüsel öntakılar kullanılarak elde edildiğinden, sinyallerin kendisinde ya da ortalama ve özilinti gibi istatistiklerinde periyodiklik özelliği vardır. Dönemli-durağanlık olarak adlandırılan bu özellik, ilintisiz 3

16 ve geniş anlamda durağan rasgele süreç olan gürültü ile modülasyonlu sinyallerin ayırt edilmesinde kullanılabilir (Kim vd. 007, Cabric vd. 004). Uzun gözlem süresi ve pratik uygulamalar için hesaplama karmaşıklığının fazla olması yöntemin dezavantajlarıdır. Dönemli-durağan özellik algılayıcı, sinyallerin gürültüden ayırt edilmesinde, gürültü varyansı belirsizliğine karşı enerji algılayıcıya göre daha dayanıklıdır (Gardner 1988). Dönemli-durağan özellik algılayıcı, Ortogonal Frekans Bölüşümlü Çoğullama (Orthogonal Frequency Division Multiplex-OFDM) sinyalleri gibi ayırt edici özelliğe sahip birincil kullanıcı dalga biçimlerinin algılanmasında avantaj sağlar. Dinamik spektrum erişimi yaklaşımında sürekli değişen spektrum boşluklarında yayın yapabilecek esnek yapıya sahip olması nedeniyle OFDM, bilişsel radyo sistemleri için aday bir modülasyon türü olarak değerlendirilmektedir (Haykin 005). Bu nedenle, gelecek nesil kablosuz sistemlerde OFDM tabanlı birincil kullanıcıların doğru algılanması önemli olacaktır. Chaudhari vd. (009), OFDM sinyallerindeki çevrimsel öntakının (cyclic prefix) özilinti fonksiyonunda meydana getirdiği özellikleri kullanarak, OFDM tabanlı birincil kullanıcıların algılanması için bir yöntem önermişlerdir. Chen vd. (009), frekans bölgesi pilot simgeleri kullanan OFDM sistemleri için bir spektrum algılama yöntemi önermişler ve önerdikleri yöntemin başarımını, algılama amacıyla çevrimsel öntakı kullanan yöntemle kıyaslamışlardır. Üreten ve Taşcıoğlu (009), OFDM sistemleri için eşzamanlama pilot tasarımı probleminin bazı özelliklerini ortaya koyarak, bu özelliklerin spektrum kısıtlarının sürekli değiştiği bilişsel radyo sistemleri için dinamik pilot tasarımında kullanılabileceğini belirtmişlerdir. Pilot taşıyıcıların spektrum algılama amacıyla kullanıldığı durumda, kanal şartları değiştikçe eşzamanlama başarımı ile birlikte spektrum algılama başarımının da dinamik pilot tasarımı yöntemiyle korunabileceği değerlendirilmektedir. Haykin (005) tarafından çoklu pencereleme (multitaper) yöntemi spektrum boşluğu algılama amacıyla önerilmiştir. Bu çalışmada, önerilen algoritmanın en büyük olabilirlik güç spektrumu tahmin edicisine bir yaklaşım olduğu ve geniş bantlı sinyaller için yaklaşık en iyi olduğu gösterilmiştir. Çoklu pencereleme yöntemi, hesaplama 4

17 karmaşıklığı açısından en büyük olabilirlik tahmin edicisine göre avantajlı bir yöntemdir. Bilişsel radyolar için spektrum algılama yöntemleri, farklı boyutlarıyla Yücek ve Arslan tarafından kapsamlı olarak incelenmiştir (Yücek ve Arslan 009). Bilişsel radyo uygulamaları için spektrum algılama konusundaki araştırmaların büyük çoğunluğu tek bir frekans kanalında birincil kullanıcının algılanması konusunda yoğunlaşmıştır. Ancak gelecekte bilişsel radyonun, iletişim parametreleri hakkında önsel bilginin olmadığı, heterojen ağlarla çevrili bir ortamda çalışması ve geniş bantlı spektrum algılama yapabilmesi beklenmektedir. Açık spektrum erişimi yaklaşımında fırsatçı kullanıcıların bant genişliği ve frekans tahsisi gibi parametreleri spektrumun uygunluğuna göre zaman içinde değişecektir. Frekans ve bant genişliği tahsisi gibi kanallara bölme (channelization) bilgisinin olmadığı bir ortamda algılama başarımı azalacaktır. Tarama tipi bir algılayıcı için sabit tarama bant genişliği küçük seçildiğinde tarama süresi uzayacak, tarama bandı büyük seçildiğinde ise çözünürlük kaybı olacak ve alıcı bant genişliği içindeki artan gürültü gücü algılama başarımını azaltacaktır. Ayrıca, sinyal güç seviyelerinin büyük bir aralıkta dinamik olarak değiştiği durumda sinyal algılama karmaşıklığı artacaktır. Örneğin, algılama amacıyla kullanılacak uygun eşik seçimi zor bir problem haline gelecektir. Datla vd. (007, 009), sabit bir tarama çözünürlüğü kullanan geleneksel uyarlanır olmayan geniş bant spektrum algılama yaklaşımlarının etkinliğinin düşük olabileceğini belirterek, ilgilenilen spektrum karakteristiklerine göre parametrelerini uyarlayan bir spektrum algılama yöntemi önermişlerdir. Hur vd. (006), geniş bant spektrum algılama verimini artırmak için kaba ve ince algılama (coarse and fine sensing) aşamalarından oluşan bir yaklaşım ileri sürmüşlerdir. Kaba algılamada, dalgacık dönüşümü ile geniş bantlı spektrum üzerinde çok çözünürlüklü (multi-resolution) algılama özelliği sağlanır. İlk aşamada, belirli bir eşik değerinin üzerinde enerjiye sahip olan spektrum bölütleri belirlenerek, bu bölütler modülasyonlu sinyallerin özelliklerine göre karar verilen ince algılama aşamasına iletilir. 5

18 Quan vd. (007, 009) geniş bant spektrum algılama yaklaşımı olarak, enerji algılamaya dayalı çok bantlı ortak algılama (multiband joint detection) yöntemini önermişlerdir. Bu yöntem, her anda tek bir frekans bandında enerjinin algılanması yerine, dar alt bantlarda enerji seviyelerinin ortak algılanması esasına dayanır. Ortak algılama problemi, spektral verimliliği artırmak ve girişimi azaltmak için dar bant algılayıcıların birlikte en iyilenmesi olarak formüle edilmiştir. Gorcin vd. (009) çok bantlı algılamada uyarlanır eşik seçimi için yeni bir yöntem önermişlerdir. Eşik değeri kestirimi, alınan sinyalin birinci ve ikinci istatistiklerinin fonksiyonu kullanılarak yapılmıştır. Önerilen yöntemde, gürültü varyansı ve SNR kestirimi gerekmediğinden kanaldan ya da durağan olmayan gürültüden kaynaklanan bozulma etkileri azaltılmıştır. Hoseini ve Beaulieu (010) çok bantlı ortak algılama yaklaşımında algılama süresi ve dar bantlı algılayıcıları bir arada en iyileyerek, geniş bant spektrum algılama için yeni bir yöntem önermişlerdir. Hossain ve Champagne (011) çok bantlı ortak algılama yöntemini, alt bantların kullanımı arasında ilinti olduğu durumda incelemişlerdir. Taherpour vd. (008, 009) geniş bantlı spektrum algılama amacıyla, spektrumun çok sayıda alt banda bölünmesi ve her alt bant için genelleştirilmiş olabilirlik oranı algılayıcısı kullanımını önermişlerdir. Düşük hesaplama karmaşıklığı üstünlüğünün yanı sıra potansiyel kullanıcı bant genişlikleri hakkında önsel bilgi olması durumunda, önerilen gruplama yaklaşımı ile yöntemin algılama başarımının önemli derecede artacağı belirtilmiştir. Lopez-Valcarce ve Vazquez-Vilar (009) incelenen geniş spektrum bandında gürültü ve sinyal güç seviyelerinin yinelemeli bir yöntemle en büyük olabilirlik kestirimini elde ederek, algılama yapan bir yöntem önermişlerdir. Geniş bant spektrum izleme işlemi, kenar algılama problemi olarak da ele alınabilir. Fırsatçı radyolar, spektrumun ayrıntılı yapısından ziyade kullanılmayan parçalarıyla ilgili olduğundan, kenar algılama yaklaşımı ile örtüşmeyen spektrum bantlarının frekans konumlarının belirlenmesi ve güç spektrumu seviyelerine göre bu bantların beyaz, gri ve siyah bölgeler olarak kategorilere ayrılması hedeflenir. Bu yaklaşımda bütün geniş radyo bandı, ardışık frekans alt bantlarının dizisi olarak modellenir. Her alt bandın düzgün (smooth) spektral karakteristikleri komşu alt bantlardan süreksiz değişikliklerle 6

19 ayrılır. Spektrum boşluklarının yerleri ve yoğunluğu hakkında bilgi taşıyan süreksizlik noktaları dalgacık analizi (Tian ve Giannakis 006), faz-alan bölütleme (Eslami ve Sadough 010), çoklu değişim noktası analizi (Taşcıoğlu ve Üreten 009) ile belirlenebilir. Tian ve Giannakis (006) dalgacık dönüşümü tabanlı spektrum algılama yönteminde, gürültülü güç spektrumu örneklerinden dalgacık genliğinin yerel en büyük elemanlarını seçerek, frekans bantlarının kenarlarını elde etmişlerdir. Ancak yalıtılmış dürtüler, çok dar bantlı girişim ve çevre gürültüsü de yerel en büyük değer üretilebileceği için bu yöntem sahte kenarlara hassastır. Eslami ve Sadough (010) görüntü işlemede kullanılan faz-alan bölütleme (phase-field segmentation) yöntemi ile güç spektral yoğunluğu kestirimi üzerinde süreksizlikleri belirlemişlerdir. Kestirilen güç spektrumu için tanımlanan faz-alan fonksiyonelinin çözülmesiyle yumuşatılmış spektrum ve kenar yerleri bilgisini içeren bir sinyal birlikte elde edilir. Bu tez çalışmasında, geniş bantlı spektrumda radyo iletişim sinyallerinin izlenmesi amacıyla, periodogram spektrum kestiricisine dayalı bir spektrum algılama yöntemi geliştirilmiştir. Bu yöntemde, incelenen geniş bantlı spektrum verisinin Bayes çoklu değişim noktası analizi gerçekleştirilerek, yumuşatılmış bir spektrum kestirimi elde edilir. Model parametreleri hakkında istatistiksel sonuç çıkarımı, parametrelerin ortak sonsal dağılımından örnek üretilmesini sağlayan tersinir atlamalı Markov zinciri Monte Carlo (Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo - RJMCMC) yöntemi kullanılarak yapılmıştır. Bu kestirim, spektrum boşluklarının belirlenmesinde kullanılabileceği gibi daha detaylı bir spektrum algılama gerekli olduğunda, spektrum çözümleyiciler için ince tarama parametrelerinin belirlenmesinde önsel bilgi sağlayabilir. Kullanıcı frekansları, bant genişlikleri ve spektral güç seviyeleri hakkında önsel bilgiye ihtiyaç duyulmadan algılama yapılabilmesi, geliştirilen yöntemin farklı karakteristiklere sahip heterojen ağlarla çevrili bir bilişsel radyo ortamında spektrum boşluklarının algılanmasında kullanılabileceğini gösterir. Bu tezin literatüre katkıları ve özgün değeri aşağıdaki gibi özetlenebilir: 7

20 - Geniş bant spektrum algılama yöntemi: Bayes çoklu değişim noktası analizine dayalı, yeni bir geniş bant spektrum algılama yöntemi geliştirilmiştir. - Dinamik ortamda öğrenme ve uyarlanma: Geleneksel güç spektrumu kestirim yöntemlerinde yeni kestirim değeri, önceki kestirimlerden bağımsızdır. Önerilen yöntemde, spektrum hakkında önceki verilerden elde edilen ya da dışarıdan sağlanan bir bilgi (örneğin, radyo ortam haritasının kullanılması) gelecek kestirimlerde doğruluğu artırmak veya hesaplama karmaşıklığını azaltmak amacıyla kullanılabilir. Bu özellik, değişen ortamlarda daha iyi uyarlanma olanağı sağlar. - Yinelemeli güç spektrumu kestirimi: Geleneksel yöntemlerle güç spektrumu kestirimi sabit sayıda hesaplama ile gerçekleştirilirken, önerilen yöntemde kestirim doğruluğu yineleme sayısı ile artırılabilir. - Periodogram yumuşatma: Ham periodogram, kullanılan örnek sayısı arttıkça kestirim varyansının azalmamasından dolayı güç spektrumu için iyi bir tahmin edici değildir. Mevcut varyans azaltıcı çözümlerde, ortalama alma işlemi ile kestirim yanlılığı ya da tepki gecikmesi (kestirim yapmak için gerekli süre) artar. Tezde önerilen yöntemle veri uzunluğunu ya da gecikmeyi artırmadan yumuşatma yapmak mümkündür. - Gürültü varyansı kestirimi: Gürültü varyansı, diğer model parametreleri birlikte örnekleme tabanlı bir yaklaşımla kestirilir. Gürültü gücünün doğru ölçülemediği ya da dinamik olarak değiştiği kanallarda birçok algılayıcı istenilen özelliklerini koruyamazken, geliştirilen yöntemle gürültü bilgisine ihtiyaç duyulmadan spektrum algılama gerçekleştirilebilir. Tez, yedi bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, tez çalışmasının amacı ve kapsamı belirtilerek, konu ile ilgili daha önceki çalışmalar özetlenmiştir. İkinci bölümde, önerilen yöntemin anlaşılmasını sağlayıcı kuramsal bilgiler sunulmuştur. Öncelikle, Bayes sonuç çıkarımı ve çoklu değişim noktası analizinde Bayes yaklaşımı konularında bilgiler verilmiştir. Daha sonra, temel örnekleme algoritmaları ile dağılımlardan rasgele örnek üretilmesi konusuna değinilmiştir. Son 8

21 olarak, özelikle çok boyutlu ve karmaşık Bayes integrallerinin hesaplanmasında kullanılan Markov zinciri Monte Carlo yöntemleri konusu detaylandırılmıştır. Üçüncü bölümde, geniş bant spektrum algılama amacıyla geleneksel olarak kullanılan yöntemlerin kısıtlarına değinilmiştir. En basit spektrum kestirim yöntemi olan periodogramın örneklem özellikleri verilerek, kullanılan parçalı sabit RF spektrum modeli açıklanacaktır. Model parametreleri için önsel dağılımlar ve olabilirlik fonksiyonu tanımlanarak, Bayes çoklu değişim noktası analizine dayalı olarak geliştirilen geniş bant spektrum algılama yöntemi anlatılmıştır. Bu bölümde son olarak, model parametreleri için sonsal dağılımından örnek üretilmesi amacıyla kullanılan RJMCMC algoritması verilmiş ve algoritmanın yakınsama ölçütü tanımlanmıştır. Dördüncü bölümde, önerilen geniş bant spektrum algılayıcıyı değerlendirmek ve başarımını ölçmek için çeşitli ölçütler tanımlanmıştır. Örnek bir spektrum verisi için RJMCMC algoritması ile model parametreleri için üretilen sonsal örnekler kullanılarak, parametrelerin sonsal dağılım kestirimleri ve elde edilen geniş bantlı spektrum kestirimi sunulmuştur. Beşinci bölümde, gürültü varyansının kestirimi için önerilen örnekleme tabanlı yaklaşım açıklanmıştır. Gürültü varyansı parametresi için önsel ve öneri dağılımları tanımlanarak, örnek üretme algoritması verilmiştir. Altıncı bölümde, tanımlanan başarım ölçütlerine göre yöntemin algılama başarımı çeşitli benzetimlerle ölçülmüştür. Spektrum hakkında elde edilen bilginin, sonraki analizlerde önsel bilgi olarak kullanılmasının algılama başarımı üzerindeki etkisi incelenmiştir. Gürültü belirsizliğinin ve gürültü varyansı kestiriminin algılama başarımına etkisinin belirlenmesi için gerçekleştirilen benzetim sonuçları sunulmuştur. Yedinci bölümde, geliştirilen yöntemin genel bir değerlendirmesi yapılmış ve yöntemin hayata geçirilebilmesi için izlenmesi gereken adımlar tartışılmıştır. İleride bu konuda yapılabilecek çalışmalar ile ilgili öneriler sunulmuştur. 9

22 . KURAMSAL TEMELLER Bu bölümde, tezin bütününde kullanılan yöntemlerin anlaşılmasını sağlamak için kuramsal bilgilere yer verilmiştir. Bu bölüm, dört alt bölümden oluşmaktadır. Birinci alt bölümde, Bayes sonuç çıkarımı ve önsel dağılımlar hakkında genel bilgiler verildikten sonra, bu yaklaşımda karşılaşılan integral problemi tanımlanmıştır. İkinci alt bölümde, çoklu değişim noktası algılama problemlerinin Bayes yaklaşımı ile analizi özetlenmiştir. Üçüncü alt bölümde, Bayes sonuç çıkarımındaki integral problemlerinin çözümünde kullanılan Monte Carlo yöntemleri ve dağılımlardan rasgele örnek üretmek amacıyla kullanılan temel örnekleme algoritmaları verilmiştir. Son alt bölümde ise, özellikle çok boyutlu ve karmaşık Bayes integrallerinin hesaplanmasında kullanılan Markov zinciri Monte Carlo (MCMC) yöntemi, Markov zincirleri, Metropolis-Hastings algoritması ve örnekleme yöntemlerinde kullanılan öneri dağılımı konuları ele alınmıştır..1 Bayes Sonuç Çıkarımı İstatistiksel model parametreleri bilinmeyen bir sabit olarak ele alınabildiği gibi belirli bir olasılık dağılımına sahip bir rasgele değişken olarak da ele alınmaktadır. Bu yaklaşımlardan ilki klasik, ikincisi Bayes yaklaşımı olarak isimlendirilir (Öztürk vd. 006). N boyutlu gözlem vektörü y ile ve model parametresi θ ile gösterilsin. Gözlem değerleri bağımsız ve p(. θ) dağılımından gelmek üzere örneklemin dağılımı p N ( θ ) p( y θ ) y = i (.1) i= 1 biçiminde verilir. Gözlem değerlerinin ve parametrenin bir fonksiyonu olan p( y θ ), θ verildiğinde y gözleminin olasılık yoğunluk fonksiyonudur; veri gözlendiğinde ise, sadece θ nın fonksiyonu olan olabilirlik fonksiyonudur (likelihood function). θ nın önsel dağılımı p(θ) olmak üzere y ve θ nın ortak dağılımı (, θ ) = ( θ) ( θ) p y p y p (.) 10

23 olur. Bu durumda örneklemin marjinal dağılımı ( ) ( ) p( y) = p y θ p θ dθ (.3) Θ eşitliği ile verilir. Gözlemden sonra parametreler hakkındaki bilgiyi özetleyen sonsal dağılım p(θ y) Bayes kuramı ile p ( y) θ = p ( θ ) p( y θ ) p ( y) (.4) biçiminde tanımlıdır. p(θ) gözlemden önce parametreler hakkındaki önsel bilgiyi, p(y) model seçiminde kullanılan Bayes kanıtını (evidence) ve p(y θ) olabilirlik fonksiyonunu gösterir. Bayes kuramına göre sonsal dağılım, önsel dağılımın gözlem değerleri ışığında güncellemesi olarak düşünülebilir. Sonsal dağılıma göre hesaplanan beklenen değer, bu gözlemleri üreten dağılımdaki θ için bir kestirici olarak kullanılabilir. ( ) ˆ θ B = θ p θ y dθ (.5) Θ istatistiğine θ nın Bayes kestiricisi ya da sonsal ortalama kestiricisi (posterior mean estimator) denir..1.1 Önsel dağılım Önsel dağılım, rasgele değişken olarak kabul edilen parametreler hakkında veri gözlenmeden önce bilinen bilgiyi özetleyen dağılımdır. Önsel dağılımlar, Bayes analizinde oldukça önemli bir yere sahiptir. Problemin yapısına göre farklı türde önsel dağılımlar kullanılabilir. Örneğin, gözlemden önce bilginin olmadığı ya da güvenilir olmadığı durumda düzgün önseller (flat priors) kullanılabilir. Bilgi içermeyen (noninformative) bu önseller kullanıldığında önsel bilginin, sonsal dağılım üzerindeki 11

24 etkisi en aza indirilmiş olur. Genel olarak, geçmiş verilerden elde edilen bilgi içeren önseller sonsal dağılım üzerinde daha güçlü bir etkiye sahiptir. Genellikle konum parametresi (location parameter) için birbiçimli önsel dağılım kullanılır. k bir sabit olmak üzere birbiçimli önsel dağılım p( θ ) = k (.6) biçiminde ifade edilir. Bu durumda Bayes yaklaşımıyla parametre için yapılan enbüyük sonsal (maximum a posterior-map) tahmin değeri en büyük olabilirlik (maximum likelihood) tahmin değeri ile aynıdır. Eşitlik (.6) ile tanımlı birbiçimli önsel dağılım standartlaştırılamadığı (nonnormalizable) için özellikle model seçimi durumunda kullanılamaz. Çünkü Bayes kanıtı k sabitine bağlıdır. k keyfi bir sabit olduğunda model seçimi de keyfi olacaktır. Parametre tahmini açısından bakıldığında ise sonsal dağılımın standart olması şartı aranmaz. Sonsal dağılımın şekli ve en büyük değeri aldığı konum önemlidir. Ölçek parametreleri (scale parameters) söz konusu olduğunda durum biraz farklıdır. Ölçek parametresi, yayılım ölçüsü olduğundan her zaman pozitif değerlidir. Jeffreys (1939) ölçek parametresinin logaritmasının birbiçimli olduğunu varsaymıştır: p(log σ ) = k (.7) Bu durumda, σ parametresinin dağılımı Ek de verilen (A.) eşitliği kullanılarak doğrusal ölçekte k p( σ ) = (.8) σ olarak verilir. Bu önsel dağılım, Jeffreys önseli olarak bilinir. 1

25 .1. Bayes sonuç çıkarımında integral problemi Bütün Bayes çıkarımları θ nın fonksiyonlarının sonsal beklenen değerleri ile gerçekleştirilebilir. Sonsal beklenen değer ( θ ) E f y = ( ) ( ) ( y ) p( ) p( y ) d f θ p θ p θ dθ θ θ θ (.9) eşitliği ile tanımlıdır. Bayes sonuç çıkarımındaki temel problem, eşitlik (.9) daki integrallerin özellikle çok boyutlu durumlar için analitik çözümünün çoğu zaman imkansız olmasıdır. Analitik çözümün mümkün olmadığı durumlarda sayısal integral yöntemlerine başvurulur. Rasgele sayı üretme ilkesine dayalı Monte Carlo yöntemleri de bu amaçla kullanılır. Monte Carlo yöntemlerinden bazıları bölüm.3 ve.4 te ayrıntılı olarak ele alınacaktır. Eşitlik (.9) da θ sürekli olabileceği gibi kesikli bir rasgele değişken de olabilir. Bu durumda integraller toplama dönüşür. Ayrıca θ, kesikli ve sürekli rasgele değişkenleri ortak olarak içeren bir vektör de olabilir. Uygulamada çoğu problemde sonsal dağılım, standart olmayan bir dağılım olarak karşımıza çıkar. Sonsal dağılımın standart hale getirilmesi (.9) eşitliğinde paydadaki integralin çözümünü gerektirir. Bu integral ise kısıtlı sayıda basit durum dışında çözülemez.. Bayes Yaklaşımı ile Çoklu Değişim Noktası Algılama Genel anlamda bir veri üzerinde değişim noktası, örneklem dağılım fonksiyonunun kendisinin ya da bir parametresinin değiştiği nokta olarak tanımlanabilir. Değişim noktası algılama ve değişim noktası konumu kestirimine, konuşma işareti bölütleme (Andre-Obrecht 1988, Punskaya vd. 00), imgelerde ayrıt sezimi (Basseville 1981), sismik işaret işleme (Nikiforov ve Tikhonov 1986), telsiz vericilerinin algılanması (Üreten 000) gibi birçok alanda rastlamak mümkündür. 13

26 Bu alt bölümde, önce Carlin vd. (199) tarafından tek bir değişim noktası algılama için tanımlanan Bayes değişim noktası modeli verilecektir. Daha sonra, Stephens (1994) tarafından çoklu değişim noktası problemleri için önerilen Bayes yaklaşımı özetlenecektir. Y = (,,..., ) bağımsız Y i rasgele değişkenlerinden oluşan bir örneklem ve Y1 Y Y n s {1,..., n} örneklemin olasılık yoğunluk fonksiyonunun değiştiği nokta olarak tanımlansın. f (. θ ) ve g(. η ) sırasıyla örneklemin değişim noktasından önceki ve sonraki olasılık yoğunluk fonksiyonları olmak üzere, örneklem dağılımı ( θ ) ( η ) Y ~ f., i= 1,..., s i Y ~ g., i = s+ 1,..., n i (.10) biçiminde tanımlanabilir. Bu durumda olabilirlik fonksiyonu s n p Y s,, f Y g Y (.11) ( θ η) ( θ) ( η) = i i= 1 i= s+ 1 i olur. θ, η ve s parametrelerine birer önsel dağılım verilerek, problem Bayesçi çatı altına taşınır. Bu parametreler için ortak önsel dağılım p( θ, η, s) olmak üzere, veri ve parametrelerin ortak dağılımı ( ) p( Y, θη,, s) = p Y s, θη, p( θη,, s) (.1) ifadesiyle verilir. Veri gözlendiğinde ( θ, η, s) nin ortak sonsal dağılımı (.11) ifadesi ile orantılıdır. Parametrelerin marjinal sonsal dağılımı bulunmak istendiğinde, genellikle analitik olarak hesabı mümkün olmayan marjinalleştirme integralleri ile karşılaşılır. Değişim noktası algılama problemi için en büyük sonsal kestirim değeri elde etmek istendiğinde, s Y marjinal sonsal dağılımını bulmak için θ ve η üzerinden integral gerekecektir. Bu tür problemlerde örnekleme tabanlı çözümler önerilmiştir (Gelfand ve Smith 1990, Gelfand vd. 1990, Carlin vd. 199). 14

27 Değişim noktası sayısı birden fazla olduğunda, algılama problemi daha karmaşık bir hale gelir. Örneğin doğrusal modellenen bir veri için kestirilmesi gereken doğrusal parametre sayısı, değişim noktası sayısı ile artacaktır. Doğrusal parametreler ve gürültü varyansı parametresi marjinalleştirme integrali yoluyla analizden çıkarılsa bile, değişim noktası sayısı birden fazla olduğunda ortak sonsal dağılım fonksiyonlarının optimizasyonu kolay bir problem değildir. Şekil.1 de iki değişim noktası için örnek bir ortak sonsal dağılım fonksiyonu gösterilmiştir. Carlin vd. (199) tarafından tek değişim noktası problemlerinde Bayes sonuç çıkarımı için önerilen Gibbs örnekleyici yaklaşımı, Stephens (1994) tarafından çoklu değişim noktası problemlerine genelleştirilmiştir. Bu çalışmada, örneklem dağılımı parametresinin m farklı noktada değiştiği kabul edilerek, değişim noktası yerleri için sonuç çıkarımının yapılacağı sonsal dağılım n (,,...,, ) (,,...,, ) ( ) (,,..., ) p s s s Y ψ p Y s s s θ p θ ψ p s s s dθ (.13) 1 m i 1 m 1 m i= 1 Olasılık yoğunluğu İkinci değişim noktası Birinci değişim noktası 100 Şekil.1 İki değişim noktası için ortak sonsal yoğunluk (Ruanaidh ve Fitzgerald 1996) 15

28 biçiminde tanımlanmıştır. Burada, θ örneklem dağılımının parametresini, ψ ise p( θ ψ ) önsel dağılımının parametresini (hyperparameter) gösterir. Eşitlik (.13) te integrali alınan fonksiyon, parametrenin doğrusal olmayan fonksiyonlarını içerdiğinde ya da parametre sayısının birden fazla olduğu durumda, integralin analitik hesabı çoğu zaman mümkün olmaz. Ayrıca, sayısal integral yöntemleri ile de yüksek hesaplama karmaşıklığı nedeniyle sonuca ulaşılması oldukça zordur. Bu problemi, işlem yükü açısından hesap edilebilir duruma getirmek için Gibbs örnekleyici kullanımı önerilmiştir (Stephens 1994). Bu yöntemle örnekleme probleminin boyutu, her adımda bütün değişim noktaları için örnek üretmek yerine, koşullu dağılımdan tek değişim noktası için örnek üretilmesiyle etkin bir şekilde azaltılır. Değişim noktası sayısının bilinmediği durumda, parametre kestirimi problemi yanında model seçimi problemi de ortaya çıkmaktadır. Bu amaçla, ilk olarak Green (1995) tarafından Bayes model belirlemeyi mümkün hale getiren tersinir atlamalı Markov zinciri Monte Carlo (Reversible Jump Markov Chain Monte Carlo, RJMCMC) örnekleme yöntemi önerilmiştir. Bu yöntem ve yöntemin tez kapsamında ele alınan geniş bant spektrum algılama problemine uygulanması, üçüncü bölümde ayrıntılı olarak verilecektir..3 Dağılımlardan Rasgele Örnek Üretme Yöntemleri Olasılıksal modeller yardımıyla problem çözümünde tam sonuç çıkarımı her zaman mümkün olmamaktadır. Böyle durumlarda çıkarımın bazı yaklaşımlar kullanılarak yapılması söz konusudur. Bu amaçla, bir modelde rasgele sayıların kullanılması ile yapılan çözümlemeler Monte Carlo benzetimi olarak adlandırılmaktadır. Daha geniş kapsamda rasgelelik içeren tüm çözüm yöntemleri, Monte Carlo yöntemleri olarak bilinmektedir (Öztürk ve Özbek 004). Bu yöntemle bir olasılık dağılımından rasgele sayı üretilmesi işlemine örnekleme (sampling) denir. Monte Carlo yöntemleri ile çözülen problemleri iki gruba ayırmak mümkündür (MacKay 1998). Birincisi, x rasgele değişkenlerden oluşan bir vektör olmak üzere, 16

29 verilen bir p(x) olasılık dağılımından rasgele örnek üretilmesidir. İkinci ise, olasılık dağılımı p(x) ile verilen x rasgele vektörünün bir fonksiyonu olan f(x) in beklenen değerinin yaklaşık olarak hesaplanmasıdır. Örnek üretilmek istenen p(x) dağılımı, hedef dağılım (target distribution) olarak adlandırılır. Bu tez kapsamında hedef dağılım, model parametrelerinin sonsal dağılımıdır. Sadece sürekli rasgele değişkenler söz konusu olduğunda, beklenen değer E [ f ] = f ( x) p( x) dx (.14) biçiminde tanımlanır. Analitik hesabı her zaman mümkün olmayan (.14) eşitliğindeki integral için p(x) dağılımından üretilen bağımsız rasgele örnekler x (r) (r=1,...r) kullanılarak fˆ R r = 1 ( r ) ( ) R 1 = f x (.15) biçiminde yaklaşık değer hesabı yapılabilir. İntegralin değeri rasgele sayılar yardımıyla yaklaşık olarak hesaplandığı için bu yöntem, Monte Carlo integrasyonu olarak isimlendirilir. Bağımsız x (r) örnekleri p(x) dağılımından üretildiğinde, ˆf için beklenen değer, E[ fˆ ] = E[ f ] olacaktır. Yani ˆf kestiricisi doğru ortalamaya sahiptir. Kestiricinin varyansı, var fˆ = 1 E ( f E[ f ]) R (.16) eşitliği ile verilir. Eşitlik (.16) ya göre kestirici varyansı, f(x) fonksiyonunun p(x) dağılımı altındaki varyansının 1/R katıdır. Üretilen örnek sayısı arttıkça kestiricinin varyansı azalır. Bu durum, Monte Carlo yöntemlerinin önemli bir özelliğini ortaya koyar: Monte Carlo kestiriminin doğruluğu, örnekleme işleminin gerçekleştirildiği uzayın boyutundan (x in boyutundan) bağımsızdır. İlke olarak, üretilen az sayıda örnek ile yüksek bir doğruluk sağlanabilir. Ancak, üretilen bütün örnekler bağımsız 17

30 olmayabilir. Bu durumda etkin örneklem büyüklüğü, görünen örneklem büyüklüğünden çok daha az olabilir. Genellikle, bazı basit dağılımlar dışında, bir dağılım fonksiyonundan örnek üretilmesi kolay bir problem değildir. Özellikle, çok boyutlu dağılımlar söz konusu olduğunda, örnek üretme problemi daha da zorlaşır. Çok boyutlu problemlerde kullanılan MCMC yöntemine geçmeden önce, temel örnekleme yaklaşımlarından kabul-ret örnekleme (rejection sampling) ve önem örnekleme (importance sampling) yöntemleri verilmiştir..3.1 Kabul-Ret örnekleme yöntemi Örnek üretmenin basit olmadığı bir p(x) dağılımı ele alınsın. Ayrıca, verilen bir x için p(x) in standartlaştırma katsayısı (normalizing constant) dışında değerinin hesaplanabildiği düşünülsün. Z bilinmeyen standartlaştırma katsayısı olmak üzere bu durum p( ) p( x ) = % x (.17) Z biçiminde ifade edilebilir. Burada, hedef dağılım p( x ) in standartlaştırılmamış biçimi olan p% ( x ) in verilen bir x için değeri hesaplanabilmektedir. Kabul-ret yöntemi, örnek üretmenin daha kolay olduğu bir q(x) öneri dağılımı (proposal distribution) seçimine dayanır. Yöntemin görsel olarak ifade edilebilmesi için tek değişkenli dağılım ele alınırsa, şekil. de görüldüğü gibi, bütün x değerleri için kq() x p% () x olacak biçimde sabit bir k değeri tanımlanır. Öncelikle, q(x) öneri dağılımından bir x 0 rasgele sayısı ve daha sonra [0,kq(x 0 )] aralığından birbiçimli olarak bir u değeri üretilir. Bu iki rasgele sayı, iki boyutlu yüzeyde bir nokta seçimi olarak düşünülebilir. Bu noktalar, kq(x) eğrisi altında birbiçimli dağılıma sahiptirler. Eğer u > p% ( x ) ise x 0 değeri reddedilir, aksi durumda x 0 kabul edilir. Şekil. de gölgeli 0 alana düşen rasgele sayı çiftleri reddedilmektedir. Kabul edilen x ve karşılık gelen u rasgele değerleri p% ( x) eğrisi altında birbiçimli dağılıma sahiptir. Dolayısıyla kabul 18

31 kq(x) kq(x 0 ) ~ p(x) u 0 x 0 x Şekil. Kabul-ret örnekleme yönteminin grafiksel gösterimi edilen noktaların x eksenindeki değerlerinin yoğunluğu p% ( x) ile orantılı olmalıdır. Buna göre üretilen örnekler, p(x) dağılımından üretilmiş bağımsız örneklerdir (MacKay 1998). Bu yöntemin başarısı, öneri dağılımının hedef dağılıma benzerliği ile artmaktadır. Öneri dağılımı, hedef dağılımdan çok farklı ise üretilen rasgele sayı çiftlerinin çoğu reddedilecektir. Ayrıca şekil. den görüldüğü üzere, k katsayısı arttıkça ret oranı artacaktır. Bu yüzden k nın kq( x) p% ( x) koşulunu sağlayacak biçimde mümkün olduğunca küçük seçilmesi gerekir (Bishop 006)..3. Önem örnekleme yöntemi Önem örnekleme yöntemi ile eşitlik (.15) ile verilen beklenen değer kestirimi gerçekleştirilir. Ancak bu yöntem, bir dağılımdan doğrudan sayı üretilmesi amacıyla kullanılmamaktadır. Kabul-ret örneklemede olduğu gibi rasgele sayı üretmenin kolay olduğu bir q(x) öneri dağılımı belirlenir. Tek değişkenli durum için örnek dağılımlar şekil.3 ile verilmektedir. Öneri dağılımdan üretilen beklenen değer için bir yaklaşım ( r) { } x örnekleri kullanılarak [ ] = ( ) ( ) p( x) = ( ) q ( x ) E f f x p x dx ( ) f x q x dx ( r) ( ) ( r) R 1 p x f x R r= 1 q ( x ) ( r) ( ) (.18) 19

32 q(x) p(x) f(x) x Şekil.3 Önem örnekleme yönteminin grafiksel gösterimi biçiminde verilir. Bu yöntemde de seçilen öneri dağılımının hedef dağılıma uyumu yaklaşımın başarımını artırır. Kabul-ret örnekleme yönteminden farklı olarak üretilen bütün örnekler saklanarak, her biri p ( r) ( r) ( )/ q( ) x x önem ağırlık katsayıları ile çarpılır. Böylece hatalı dağılımdan örnek üretilmesinden kaynaklanan yanlılık düzeltilir..4 Markov zinciri Monte Carlo Yöntemleri Markov zinciri Monte Carlo, çok boyutlu ve karmaşık problemlerde istatistiksel sonuç çıkarımı için kullanılan genel ve güçlü bir yöntemdir. Karmaşık problemlerde, öneri dağılımının hedef dağılıma benzerliğinin sağlanması zor olduğundan temel örnekleme yöntemleri kullanılamaz. Kabul-ret örnekleme ve önem örnekleme yöntemlerinden farklı olarak, her adımda yeni örneğin üretildiği q(x x (t) ) öneri dağılımı, son durum a (state) bağlı bir fonksiyondur. Burada durum, ilgilenilen rasgele değişken x in her adımda aldığı değerdir. Her yeni durumun sadece bir önceki duruma bağlı olması, üretilen x (1),x (),x (3)... örnek dizisinin bir Markov zinciri oluşturduğunu gösterir. MCMC yönteminde öneri dağılımının hedef dağılıma benzemesi koşulu yoktur. Herhangi x A ve x B durumları için q(x A x B ) pozitif olduğu sürece t için x (t) nin dağılımı hedef dağılım p(x) e yakınsayacaktır. Ancak, yakınsama hızı öneri dağılımının seçimine göre değişecektir. Hedef dağılımın p( x) = p% ( x )/ Z biçiminde ifade edildiği ve verilen bir x için p% ( x ) in değerinin hesaplanabildiği durumu yeniden ele alalım. Zincir x (t) durumundayken 0

33 önerilen x * örneğinin kabul edilip edilmeyeceğine ilişkin ölçüt, klasik Metropolis algoritmasında α, = min 1, * ( xx) * ( x ) () t ( x ) p% p% (.19) kabul olasılığı ifadesiyle verilmiştir (Metropolis vd. 1953). Metropolis algoritmasında öneri dağılımı simetrik kabul edilir. Yani, bütün x A ve x B değerleri için q(x A x B )=q(x B x A ) olur. Bu tür bir dağılıma örnek, üretilmiş olan son örnek değerini ortalama olarak kabul eden bir Gauss dağılımı olabilir. Eşitlik (.19) ile hesaplanan kabul olasılığı α, (0,1) aralığında birbiçimli dağılımdan üretilen u sayısı ile karşılaştırılır. Eğer α>u koşulu sağlanıyorsa üretilen örnek kabul edilir ve yeni örnek değeri x (t+1) = x * olur. Aksi durumda, önerilen örnek atılır ve yeni örnek değeri bir önceki değeri alır, x (t+1) = x (t). Bu ölçüte göre p(x) değerinde artışa neden olan örnekler seçilmektedir. Kabul-ret yönteminin tersine MCMC ile üretilen örneklerin bağımsız olduğu söylenemez. MCMC yönteminde Markov süreci özelliği gereği üretilen durum dizisinde her örnek değeri bir önceki değere bağlı bir olasılık dağılımına sahip olduğundan ardışık örnekler ilintilidir. Bağımsız örnekler elde edilmek istenirse üretilen örneklerden eşit M aralıklı olanları alınabilir. Yeterince büyük M değeri için seçilen örnekler yaklaşık olarak bağımsız olur (Bishop 006)..4.1 Markov zincirleri Rasgele bir süreç için x (0), x (1),..., x (t-1) geçmiş durumlar ve x (t) şimdiki durum verilmiş olsun. x (t+1) gelecek durumun koşullu dağılımının, geçmiş durumlardan bağımsız olduğu ve sadece şimdiki duruma bağlı olduğu rasgele değişkenler dizisine Markov zinciri denir. Bir Markov zinciri için koşullu dağılım, matematiksel olarak ( 1) ( ) (0) ( 1) ( ) p( x t+ x t,..., x ) = p( x t+ x t ) (.0) 1

34 biçiminde ifade edilir. Başlangıç durumunun olasılık dağılımı p(x (0) ) ve geçiş olasılıkları T () ( 1) ( 1) () ( t, t+ ) p( t+ t ) x x x x ile bir Markov zinciri tanımlanabilir. Geçiş olasılıkları t den bağımsız olduğunda Markov zinciri türdeş (homogeneous) olarak isimlendirilir. Daha açık bir ifadeyle türdeş bir Markov zincirinde belirli iki zaman anı için herhangi iki durum arasındaki geçiş olasılığı zamandan bağımsızdır. (t+1) nci durumun olasılık dağılımı ( t+ 1) ( t+ 1) () t () t p( x ) = p( x x ) p( x ) (.1) ( t ) x biçiminde verilir. Bir Markov zincirinde durum dağılımı her adımda değişmiyorsa, bu dağılıma değişmez (invariant) veya durağan (stationary) dağılım denir. Türdeş bir Markov zinciri için π( x) = T ( x, x) π( x ) (.) x eşitliği sağlanıyorsa π değişmez dağılımdır. Hedef dağılım p( x ) in değişmez olması için geçiş olasılıklarının ayrıntılı denge (detailed balance) özelliğini sağlayacak biçimde seçilmesi yeterlidir. Belirli bir π ( x ) dağılımı için bu özellik π ( x) T( x,x ) = π ( x ) T( x,x ) (.3) eşitliği ile verilir. Bu özellik sağlandığında zincirden üretilen her yeni örnek değeri için dağılımın değişmediği kolayca gösterilebilir: π( x ) T( x, x) = π( x) T( x, x ) = π( x) p( x x) = π( x ) (.4) x x x Ayrıntılı denge özelliğini sağlayan zincire tersinir (reversible) denir.

35 Markov zincirinin istenen değişmez dağılımdan örnek üretmesi için zincirin ergodik olması gerekir. Yani t için p(x (t) ) dağılımı, p(x (0) ) başlangıç dağılımından bağımsız olarak istenilen değişmez dağılıma yakınsamalıdır. Bu durumda değişmez dağılım, limit veya denge dağılımı (equilibrium distribution) olarak isimlendirilir (Ross 007). Burada verilen Markov zinciri özellikleri, kesikli durum-uzayları için verilmiştir. Ancak, bu özellikler sürekli durum-uzaylarına genelleştirilebilir (Tierney 1995)..4. Metropolis-Hastings algoritması Metropolis-Hastings algoritması, yaygın olarak kullanılan bir MCMC yöntemidir (Hastings 1970). Ortak dağılımından örnek üretilmek istenen değişken x = { x1,..., x n } olmak üzere örnekleme işlemi, her adımda x in bir bileşeni için rasgele örnek üretilmesi ve bu örneğin belirli bir ölçüt altında ret veya kabul edilmesi esasına dayanır. Markov zinciri q,{ k = 1,..., n} geçiş olasılıkları kümesi ile kurulur. x (t) durumunda bulunan k zincirin bir sonraki adımı için q x x öneri dağılımından k ncı bileşeni * ( ) ( t k ) güncellemek amacıyla bir x * örneği üretilir. x * öneri değerinde k ncı bileşen dışında bütün bileşenler x deki ile aynıdır. Öneri değeri α p%, = min 1, p% * ( xx) * ( t) * ( x ) qk ( x x ) () * () ( x ) qk ( x x ) k t t (.5) biçiminde verilen kabul olasılığı ölçütüne göre ret ya da kabul edilir. Kabul olasılığı, (0,1) aralığında birbiçimli dağılımdan üretilen u değişkeni ile karşılaştırılır. α k > u koşulunda öneri kabul edilerek, x = x olarak atanır. Aksi durumda önerilen değer ( t + 1) * elenerek, yeni durum için x ( t+ 1) = x ( t) ataması yapılır. Metropolis algoritmasının genelleştirilmiş hali olan bu yöntemde, öneri dağılımının simetriklik şartı aranmaz. Kabul ölçütünün hesaplanması için Metropolis algoritmasında olduğu gibi p( x) = p% ( x )/ Z ifadesindeki standartlaştırma katsayısının bilinmesine gerek yoktur. Çünkü kabul olasılığı oranında bu katsayı sadeleşmektedir. Algoritmanın akış şeması şekil.4 te verilmiştir. 3

36 Başla t=0 Başlangıç değerini ata, x (0) Durdurma Ölçütü sağlanıyor mu? H q k (. x (t) ) x * U(0,1) u t=t+1 Dur E u α E x (t+1) = x * H x (t+1) = x (t) Şekil.4 Metropolis-Hastings algoritması akış şeması Metropolis-Hastings algoritması için tanımlanan geçiş olasılığı kullanılarak (.3) eşitliği ile verilen ayrıntılı denge eşitliğinin sağlandığı gösterilebilir: p( x ) q( x x ) ( x) k ( x x) α k ( x, x ) min ( x) ( x x), ( x) ( x x ) p( x) q( x x) = min ( p( x) qk ( x x), p( x ) qk ( x x )) = min ( p( x ) qk ( x x ), p( x) qk ( x x) ) = p( x ) q ( x x ) α ( x, x) p q = p q p q k k (.6) Böylece istenen p(x) dağılımının tanımlanan Markov zincirinin değişmez bir dağılımı olduğu ispatlanmış olur. Bunun anlamı, bir kez p(x) ten örnek üretilmeye başlandığında, daha sonra üretilen tüm örnekler p(x) ten gelecektir. Ancak, bu özelliğin sağlanması zincirin p(x) ten örnek üretmeye başlayacağı, yani zincirin limit dağılımının p(x) olacağı anlamına gelmez. Limit dağılımın p(x) olması için zincirin ergodik olması gerekir (Neal 1993, Roberts 1995). Bir Markov zincirinin ergodik olması için yeterli 4

37 koşul, bütün x değerleri için q(x x) nın pozitif olması ve ayrıca bütün x ler için p(x) in pozitif olmasıdır. Bu koşul, herhangi yeni bir değerin önerilmesi ve kabul edilmesi olasılığının sıfırdan farklı olmasını sağlar. Böylece herhangi bir durumdan diğerine sınırlı sayıda adımla geçiş mümkün olur. Ancak, bu koşulun gerekli olmadığı belirtilmelidir. Bu koşulu sağlamayan Metropolis-Hastings algoritmaları kullanıldığında, ergodiklik farklı yollarla gösterilir (Neal 1993)..4.3 Öneri Dağılımı Bütün parametre uzayı üzerinde indirgenemez ve periyodik olmayan bir zincir inşa eden herhangi bir formdaki öneri dağılımı ile kurulan Markov zincirinin limit dağılımı, ilgilenilen hedef dağılım olacaktır. Durağan dağılıma ulaşan zincirdeki örnekler, hedef dağılımdan elde edilen örnekler olarak kullanılır. Gerekli şartları sağlayacak herhangi bir öneri dağılımı için durağan dağılıma ulaşılıyor olmasına rağmen yakınsama hızı, q(..) ile π(.) arasındaki ilişkiye bağlıdır. Örneğin, Ν(0,1) dağılımından rasgele sayılar üretilmek istensin ve üç farklı öneri dağılımı (i) q(. X)= Ν(X 0.1) (ii) q(. X)= Ν(X 10) (iii) q(. X)= Ν(X 0.5) biçiminde tanımlansın (Gilks vd. 1995). Bu öneri dağılımlarına göre 1000 yineleme boyunca çalıştırılan Metropolis algoritması sonucu elde edilen örnek değerleri şekil.5 te verilmiştir. (i) ve (ii) de verilen öneri dağılımlarının kullanıldığı durumda başlangıç değerleri dağılımın doruk noktasına yakın olmasına rağmen yakınsama hızı düşüktür (şekil.5.a,b). (i) de verilen öneri dağılımının varyansı çok küçük olduğundan, önerilen değerler mevcut değere yakın olur ve büyük oranda kabul edilir (şekil.5.a). (ii) de verilen öneri dağılımın varyansı büyük olduğundan dolayı önerilen değerler mevcut değerden çok uzak olur. Bu nedenle, zincirin uzun süre durum değiştirmediği şekil.5.b de görülmektedir. Her iki durumda da algoritmanın yakınsama hızı düşüktür. Yakınsama hızı yavaş olan bir zincirden güvenilir bir kestirim elde edebilmek için daha fazla sayıda örnek üretmek gerekir. Bu sebeple öneri dağılımı seçilirken, 5

38 (iii) deki gibi uygun bir öneri dağılımının seçilmesiyle yakınsama hızı artırılabilir (şekil.5.c). Kurulan zincirden durağan dağılıma ulaşılana kadar alınan örneklere alıştırma örnekleri (burn-in samples) denir. Bu örnekler başlangıç değerine bağlılıktan kurtulmak için kestirim sırasında atılır. Şekil.5.c de düşey çizginin solunda kalan önekler alıştırma örnekleri olarak kabul edilebilir. Ayrıca, şekil.5.c de verilen öneri dağılımı için başlangıç değeri, dağılımın doruk noktasına uzak seçildiği halde hızlı bir yakınsama sağlandığı görülmektedir. (a) X Yineleme (b) X 0 - X Yineleme (c) Yineleme Şekil.5 Hedef dağılımın Ν(0,1) ve öneri dağılımın: a. Ν(X 0.1), b. Ν(X 10) ve c. Ν(X 0.5) olduğu durumlar için 500 yinelemede Metropolis algoritması ile elde edilen örnek değerleri (c de düşey çizginin solundaki örnekler alıştırma örnekleri olarak kabul edilir) 6

39 3. BAYES YAKLAŞIMIYLA GENİŞ BANT SPEKTRUM ALGILAMA Bu bölümde, tez kapsamında önerilen yönteme geçmeden önce, geleneksel spektrum izleme yöntemlerinin eksiklik ve kısıtlamalarından söz edilecektir. Daha sonra periodogramın örneklem özellikleri verilerek, kullanılan parçalı sabit RF spektrum modeli açıklanacaktır. Model parametreleri için önsel dağılımlar ve olabilirlik fonksiyonu tanımlanarak, önerilen geniş bant spektrum algılama yöntemi anlatılacaktır. Son olarak, model parametrelerinin sonsal dağılımından örnek üretilmesi amacıyla kullanılan RJMCMC algoritması ve bu algoritmanın yakınsama ölçütü verilecektir. 3.1 Geleneksel Geniş Bant Spektrum Algılama Yöntemlerinin Kısıtları Geleneksel olarak geniş bantlı bir spektrumun izlenmesi için kullanılan yöntemler, tarama (sweep) tipi ve süzgeç takımı (filter-bank) tipi çözümleyici kullanan algılayıcılar olarak iki gruba ayrılır. Tarama tipi çözümleyicilerde bir karıştırıcıyla birlikte bant geçiren süzgeç kullanılarak, verilen bir frekansta sinyal genliği ölçülür. Her defasında sadece merkez frekansı etrafında, belirlenen süzgecin bant genişliği kadar bir frekans aralığı taranır. Daha sonra karıştırıcı frekansı değiştirilerek, ilgilenilen tüm frekans aralığındaki bantlar için güç seviyeleri sıralı olarak kestirilir. Açık erişim sistemlerinde spektrumun düzensiz parçalı (fragmented) yapısından dolayı kanal frekansları ve bant genişlikleri rasgele süreçlerdir. Bu durumda tarama parametreleri belirsiz olacağı için tarayıcı gerekli olandan daha dar bant genişliği kullanmak zorunda kalacak ve bu nedenle tarama süresi artacaktır. Diğer taraftan, daha geniş bant kullandığında ise çözünürlük kaybı olacak ve alıcı bant genişliği içindeki gürültü gücü artacağından algılama başarımı azalacaktır. Tarama tipi çözümleyicilerin uzun tarama süresi problemlerini çözmek için çeşitli yaklaşımlar önerilmiştir. Schellinger ve Poppert (1998) tarafından önerilen yöntemde, bir önceki taramada elde edilen bilgi kullanılarak, taranması gereken kanal sayısının azaltılması sağlanmıştır. Başka bir yöntemde, kurulan bir veri tabanına servis 7

40 sağlayıcıların listesinin kaydedilmesi yoluyla tarama zamanının azaltılması önerilmiştir. (Hicks vd. 000). Phang vd. (001), büyük bir başlangıç bant genişliği ile başlatılan tarama işlemini, kanal etkinliği algılanmayana kadar ya da en düşük bant genişliğine ulaşılana kadar daraltılan bant genişlikleriyle tekrarlamışlardır. Süzgeç takımı tipi çözümleyiciler ile tüm frekans bandı eşanlı olarak izlenerek, her frekans bandındaki güç seviyesi aynı anda elde edilir. Bu yöntemde analiz edilen frekans bandında tarama yapmaya gerek yoktur. Bu çözümleyiciler, incelenen bant genişliğinde güç spektral yoğunluğu için bir kestirim yapılmasını sağlarlar. En önemli süzgeç takımı çözümleyiciler FFT tabanlı olanlardır. En basit spektrum kestirim yöntemi FFT dönüşümünün genlik karesi olarak bilinen periodogramdır. Hesaplama açısından verimli FFT algoritmaları, periodogram ve onun iyileştirilmiş biçimlerinin spektrum kestirimi amacıyla yaygın olarak kullanılmasını sağlamıştır. Periodogram, artan veri boyutu ile kestirim varyansının azalmıyor olması nedeniyle güç spektrumunun tutarsız bir tahmin edicisidir. Bununla birlikte periodogram ordinatları karşılık gelen noktalarda, kestirilmek istenen güç spektral yoğunluğu değerleri için yeterli istatistikler kümesidir (Priestley 1981). Bu özellik, güç spektral yoğunluğunun daha uygun kestirimlerinin sadece periodogram ordinatlarının fonksiyonları kullanılarak elde edilebileceğini gösterir. Bu amaçla çeşitli yumuşatma (smooothing) yöntemleri kullanılarak daha küçük varyanslı spektrum kestirimleri elde edilir. Bartlett yönteminde veri daha küçük bölütlere ayrılarak her bölüt için hesaplanan periodogramların ortalaması alınır (Bartlett 1950). Blackman-Tukey yönteminde; kestirilen örneklem ilinti fonksiyonu, Fourier dönüşümü alınmadan önce uygun bir pencere ile çarpılır (Blackman-Tukey 1959). Yumuşatma amacıyla yaygın olarak kullanılan Welch yönteminde ise veri bölütlere ayrılır ve her bölüte uygulanan pencereleme sonrası periodogramlar elde edilir. Daha sonra elde edilen değiştirilmiş periodogramların ortalaması alınır (Welch 1967). Verinin bölütlere ayrılarak elde edilen küçük veri bölütleri için ayrı ayrı hesaplanan periodogramların ortalamaları alınarak yumuşatma sağlandığında, varyans azaltılırken diğer taraftan yanlılık artmaktadır (Therrien 199). Çünkü, N boyutlu veri m tane M boyutlu küçük veri bölütüne ayrıldığında, pencere uzunluğu m kat azaltılmaktadır. 8

41 Yanlılığı artırmadan m tane N uzunluklu pencerenin periodogramlarının ortalaması alınarak da yumuşatma yapılabilir. Ancak bu durumda gerekli olan toplam veri uzunluğu mn olacağı için gecikme (kestirim için gerekli olan süre) artacaktır. Bilişsel radyo ağlarında geniş bantlı spektrumun izlenmesinde, geleneksel yöntemlerin bahsedilen kısıtlama ve eksikliklerinden dolayı kullanılması uygun görülmemektedir. MTM (Multi Taper Method) adı verilen alternatif bir yaklaşımda ise veri örnekleri yanlılığı azaltacak şekilde tasarlanan ortogonal pencere fonksiyonları (tapers) kullanılarak ağırlıklandırılır (Thomson 198, Haykin ve Thomson 009). Spektral kestirim varyansının azaltılması için her bir pencere fonksiyonu kullanılarak elde edilen iyileştirilmiş periodogramların ortalaması alınır. Pencere fonksiyonları bütün veriyi kullandığı için varyansın azaltılması, yanlılığın az miktarda artırılması ile elde edilebilir. 3. Periodogramın Örneklem Özellikleri Bu tezde önerilen Bayes yaklaşımına dayalı geniş bant algılayıcıda spektrum, istatistiksel olarak periodogramın örneklem özellikleri kullanılarak modellenmiştir. Önerilen yönteme geçmeden önce, bu bölümde periodogramın örneklem özellikleri verilecektir. N boyutlu y(0), y(1),..., y( N 1) dizisi için ham periodogram, Fourier dönüşümü kullanılarak N 1 jπ nk 1 Ik = y n e k = N N N ( ), 0,1,..., 1 (3.1) n= 0 eşitliği ile hesaplanır. Burada, k frekans hücresi (frequency bin) numarasını gösterir. Frekans bölgesi dizisi için gerçel ve sanal kısımlar sırasıyla YR ( k ) ve YI ( k ) olmak üzere, (3.1) eşitliği aşağıdaki biçimde yeniden ifade edilebilir: ( ) ( ) I = Y k + Y k, k = 0,1,..., N 1 (3.) k R I 9

42 N 1 1 π nk YR ( k) = y( n) cos, N n= 0 N k = 0,1,..., N 1 N 1 1 π nk YI ( k) = y( n) sin, N n= 0 N k = 0,1,..., N 1 (3.3) Y ( ) R k ve YI ( k ) Fourier dönüşümü katsayılarının sırasıyla gerçel ve sanal kısımlarının N ye bölünmüş halidir. Periodogramı hesaplanan dizi bir Gauss süreci olduğunda, k = 0,1,..., N için I k nın örneklem dağılımı tam olarak elde edilebilir. Sıfır ortalamalı, σ yy varyanslı bir Gauss süreci için YR ( k ) ve YI ( k ) bağımsız ve Gauss dağılımlıdır (Priestley 1981, Brillinger 001). Y Y R I ( k) ( k) N ~ N ( σ y ) ( σ y ) 0,, k 0, N ( Nçift) 0,, k = 0 veya N ( σ y ) N 0,, k 0, N ( N çift) ~ 0, k = 0 veya N (3.4) (3.5) Burada, σ y = σ yy dir. Eşitlik (3.) ye göre sıfır ortalamalı ve bağımsız iki Gauss rasgele değişkenin karelerinin toplamı alındığında, k = 0,1,..., N 1 için I k lar bağımsız ve iki serbestlik dereceli χ (ki-kare) değişkeninin katı ile orantılı bir dağılıma sahiptir (Priestley 1981, Brillinger 001). I ~ σ χ, k 0, N ( Nçift) k y y I ~σ χ, k = 0, N k 1 (3.6) I k için ortalama ve varyans değerleri sırasıyla ( ) σ E I k =, bütün k ' ler için (3.7) y Var I ( ) k = 4 σ y, k 0, N ( N çift) 8 σ y, k = 0, N (3.8) eşitlikleri ile tanımlıdır. 30

43 3.3 Parçalı Sabit Güç Spektrumu Modeli Pratik radyo iletişim sistemlerinde iletilen sinyallerin güç spektrumları, komşu kanallara girişimi önlemek için keskin iletim maskeleriyle şekillendirilmiştir. Ayrıca, iletim filtrelerinin keskin yapısı sayesinde izin verilen kanal sayısı artırılarak spektrumun verimli kullanımı sağlanır. Bu yüzden radyo iletişim sinyalleri belirgin bazı karakteristiklere sahiptir. Radyo spektrumu izleme ve dinamik spektrum erişimi açısından bakıldığında, spektrumun kullanılan ve kullanılmayan bölgelerinin belirlenmesi, iletim sinyallerinin ayrıntılı spektral şekillerinin çıkarılmasından daha önemlidir. Bu amaç için gözlenen geniş bantlı RF spektrumu verisi, radyo iletişim sinyallerinin karakteristikleri göz önünde bulundurularak, parçalı sabit çoklu değişim süreci olarak modellenebilir. Bu modelde, geniş bantlı spektrum bilinmeyen sayıda değişim noktası ile gürültü ve her biri ayrı verici tarafından üretildiği kabul edilen sinyal bölütlerine ayrılır. Parçalı sabit RF spektrum kavramı, geniş bant spektrum algılama kapsamında Tian ve Giannakis (006), Eslami ve Sadough (010) tarafından da kullanılmıştır. Spektrum algılama için öncelikle alıcıya gelen geniş bantlı sinyalin periodogramı hesaplanır. Daha sonra periodogramın örneklem özellikleri kullanılarak, periodogram üzerinde Bayes çoklu değişim noktası analizi gerçekleştirilir. Bu analiz sonucu elde edilen spektrum kestirimine göre incelenen geniş bantlı spektrumda, ikincil kullanıcılar tarafından kullanılabilecek spektral fırsatlar belirlenir. Parçalı sabit RF spektrum modelinin tanımlanabilmesi için öncelikle Fourier dönüşümü tabanlı güç spektrumu kestiriminin istatistiksel modeli verilecektir. RF sinyalinin, çevre gürültüsü g() t ile bozularak alıcıya yt () = xt () + gt () biçiminde ulaştığını düşünelim. Alıcıda eş evreli ve dik evreli bileşenler sayısallaştırılarak, N karmaşık örnek elde edildiği varsayılmaktadır. Gürültü, incelenen bir pencere için sıfır ortalamalı ve σ varyanslı karmaşık beyaz Gauss gürültüsü olarak modellenmektedir. Alıcıya sinyal gelmediğinde, sadece N (0, σ ) dağılımlı gürültüden oluşan örneklem için periodogram ordinatlarının ki-kare (chi-square) dağılımlı olduğu bölüm 3. de verilmişti. Burada gürültü gücü σ alındığı için frekans bölgesi dizisinin gerçel ve sanal 31

44 kısımları sırasıyla YR ( k) ~ N (0, σ ) ve YI ( k) ~ N (0, σ ) dağılımlı olacaktır. DC bileşen hariç bütün frekans hücreleri Κ = {1,..., N 1} kümesi ile gösterilmek üzere I k nın dağılımı Ik σ ~ χ, k Κ (3.9) olur. Dağılımın k = 1,..., N 1 için tanımlı olmasının nedeni zaman bölgesi sinyallerinin karmaşık sinyaller olarak ele alınmasıdır. Önerilen yöntem, gerçek sinyaller için I k nın k = 1,..., N 1 değerleri kullanılarak benzer biçimde uygulanabilir. İletim olduğu durumda, alıcıda sinyal ve gürültü hücreleri sırasıyla Κ u ve Κ n kümeleriyle gösterilsin, Κ u Κ n =Κ. Sinyal hücreleri k Κ u için YR ( k ) ve YI ( k ) rasgele değişkenlerinin ortalamalarının sırasıyla, µ R( k ) ve µ ( ) I k olduğunu düşünelim. Bu durumda sinyal hücreleri için YR ( k ) ve YI ( k ) ( ) ( ) ( ) Y k ~ N µ k, σ, k Κ (3.10) R R u ( ) ( ) ( ) Y k ~ N µ k, σ, k Κ (3.11) I I u biçiminde dağılır. Ortalaması sıfırdan farklı bağımsız Gauss dağılımlı iki rasgele değişkenin I = Y ( k) + Y ( k) eşitliği ile karelerinin toplamı alındığında, I k bağımsız k R I ve iki serbestlik dereceli merkezi olmayan ki-kare (noncentral chi-square) dağılımlıdır (So vd. 1999, Wan vd. 000): ( ( )) I ~ χ σ, λ k, k Κ (3.1) k ( ) ( ) ( ) λ k = µ k + µ k, k Κ (3.13) R I u u λ(k) fonksiyonu ile verilen merkezi olmama parametresi (noncentrality parameter), k ncı frekans hücresindeki gürültüsüz sinyal gücü değerine karşılık gelir. Bu durumda I k lar için olasılık yoğunluk fonksiyonu 3

45 λ( ) ( ) k + I k 1 λ k I σ k p( Ik ) = e I, k 0 Κ (3.14) σ σ biçiminde verilir. Burada σ gürültü varyansını, Ι 0 sıfırıncı dereceden birinci tür değiştirilmiş Bessel fonksiyonunu gösterir. Frekans hücresi sadece gürültü içeriyorsa λ () k = 0, sinyal içeriyorsa λ() k 0 dır. Gürültü hücreleri için I k nın dağılımı, (3.6) eşitliği ile uyumlu olarak merkezi ki-kare dir. Sinyal ve gürültü hücreleri için I k nın ortalama ve varyans değerleri çizelge 3.1 de verilmiştir. Bir sinyal hücresinde periodogram ordinatının varyansı, gürültüsüz sinyal gücü ile doğrusal olarak artmaktadır. Bu nedenle sinyal gücünün büyük olduğu frekans bantlarında periodogram, daha büyük salınımların yer aldığı bir yapıda olacaktır (şekil 3.1). Çizelge 3.1 Periodogram ordinatlarının sinyal ve gürültü hücrelerinde ortalama ve varyans değerleri E( I k ) var ( I ) k Gürültü hücresi, σ 4 σ k Κ n Sinyal hücresi, k Κ u σ + λ 4 σ + σ λ Bu tez çalışmasında; incelenen geniş bantlı spektrum, ardışık frekans alt bantlar dizisi olarak ele alınmış ve alt bantların düzgün spektral karakteristiklerinin komşu alt bantlardan süreksiz değişikliklerle ayrıldığı kabul edilmiştir. Bu değişiklikler, gürültüsüz güç spektrumu değerlerine karşılık gelen λ(.) fonksiyonunun değiştiği noktalar olarak modellenmektedir. Her kullanıcı bandı boyunca sabit olduğu kabul edilen λ(.), gürültü ya da koruma bandı olmaksızın yayın yapan komşu kullanıcı bandına geçişte süreksiz değişiklik gösterir. Kullanıcı sayısı, frekans ve bant genişliği tahsislerinin bilinmediği durumda incelenen geniş bantlı spektrumdaki değişim noktası sayısı ve yerleri bilinmeyeceği için ele alınan problem, model seçimi de gerektiren çoklu değişim noktası analizi olarak karşımıza çıkmaktadır. 33

46 Bu problemin çözümü için λ(.) nın parçalı sabit bir fonksiyon olduğu kabul edilerek, periodogram üzerinde Bayes çoklu değişim noktası analizi gerçekleştirilmiştir. 0 s1 s... sm N 1 < < < < konumlarında m tane değişim noktası olduğunda k Κ frekans hücreleri için ( ) j j j 1 λ + k = h, s < k s, j= 0,..., m (3.15) olarak modellenir. Burada s + ve s j + 1 noktaları arasındaki j nci bölüt h j, j 1 yüksekliğidir. Tanım olarak s 0 = 0 ve sm+ 1 = N 1 alınmıştır. Hedefimiz, Bayes çoklu değişim noktası analizi ile bilinmeyen λ(.) fonksiyonunu kestirmektir. Şekil 3.1 de tipik bir radyo spektrumu, tahmin edilecek basamak fonksiyonunu oluşturan model parametreleri ile birlikte verilmiştir. Bu şekildeki örnekte kullanıcılar, bölüt yükseklik değeri sıfır olan gürültü bölütleriyle ayrılmıştır. Ancak genel olarak bitişik bölütler, koruma bandı olmaksızın yayın yapan iki farklı kullanıcı bandı da olabilir. Periodogram λ(k) Y(k) h 5 h 1 h 3 h 7 s 1 s s 3 s 4 s 5 s 6 s m -1 s m Frekans hücreleri Şekil 3.1 Tipik bir radyo spektrumu ve model parametreleri (Gürültü bölüt yükseklik değerleri {h 0, h, h 4, h 6, h 8 } sıfırdır.) 34

47 3.4 Geniş Bantlı Spektrumun Bayes Çoklu Değişim Noktası Analizi Geniş bantlı spektrum üzerinde tanımlanan çoklu değişim noktası algılama probleminde, bilinmeyen değişim noktası sayısı ve yerleri ile spektral yükseklik seviyeleri uygun önsel dağılıma sahip parametreler olarak ele alınarak, bu parametreler için Bayes sonuç çıkarımı yapılmıştır (Taşcıoğlu ve Üreten 009). Bu bölümde öncelikle problemin Bayes modeli verildikten sonra sırasıyla olabilirlik fonksiyonu ve parçalı sabit fonksiyonlar için önsel model sunulmuştur. Son olarak, sonsal dağılıma dayalı Bayes sonuç çıkarımının nasıl yapıldığı anlatılmıştır. Değişim noktası sayısının en büyük değeri m max olmak üzere aday modellerin Μ m, ( m) ( m) ( m) m { 0,1,..., mmax} olduğunu düşünelim. Μ m modeli bilinmeyen θ = ( s, h, σ ) sinyal parametre vektörünü içerir. Burada ( m s ) = { s1, s,..., s m } değişim noktası ( m) yerlerini, h = { h0, h1,..., hm} bölüt yüksekliklerini ve σ gürültü varyansını ( m) göstermektedir. θ parametre vektörünün, n m boyutu modelden modele değişebilen n R m parametre uzayında yer aldığını düşünelim. Verilen bir m için ( m) (, ) m θ çifti m { m } R n uzayında yer alacaktır. m boyutlu s, m+1 boyutlu h ve bir boyutlu σ parametreleri için nm = m+ dir. Genel parametre uzayı Θ, alt uzayların birleşimi olarak verilir: U mmax { } nm Θ = m R (3.16) = 0 m ( m ) Bu problem için ( m, θ, I k ) ortak dağılımının ( ) ( k) = ( ) ( ) ( ) ( ) k ( ), m, m, m p m θ I p m p θ m p I m θ (3.17) biçiminde modellenmesiyle ifade edilen sıradüzensel bir yapı vardır (Green 1995). (3.17) eşitliğinin sağ tarafında çarpım durumunda olan değerler sırasıyla model olasılığı, parametre önseli ve olabilirlik değerleridir. ( m) ( m) m ve θ hakkında Bayes sonuç çıkarımı, p( m, θ I k ) ortak sonsal dağılımına dayanır. Dolayısıyla bu dağılım, tanımlayacağımız MCMC hesaplarında hedef dağılım olacaktır. Bu ortak dağılım 35

48 ( m) (, θ Ik ) p m = = (, k ) p( I ) p m I k ( ) ( m) (, θ, Ik ) (, ) ( m) ( θ k) p m I p m, I k p m p m I k (3.18) biçiminde ifade edilerek, her iki terimin ayrı ayrı yorumlanmasıyla model ortalaması (model averaging) önlenmiş olur. Bu dağılımlar, MCMC yönteminden elde edilen örneklerle kolayca kestirilebilir. Değişim noktası sayısı ve parametrelerin marjinal sonsal dağılımlarının analitik olarak elde edilmesi mümkün değildir. Çünkü, sonraki iki alt bölümde olabilirlik fonksiyonu ve önsel dağılımlar tanımlandığında görüleceği üzere, bu marjinal dağılımların elde edilmesi için parametrelerin doğrusal olmayan fonksiyonlarının yüksek boyutlu integrallerin hesaplanması gerekir. Dolayısıyla istenilen sonsal kestirimlerin ( m) gerçekleştirilebilmesi için hedef dağılım p( m, θ I k ) den örnekler üreten bir MCMC yöntemi tanımlanmıştır. Üretilen örnekler ile λ (.) bilinmeyen fonksiyonu kestirilerek, incelenen geniş bantlı spektrumun kullanılmayan frekans bantları hakkında bilgi çıkarmak mümkün olacaktır Olabilirlik fonksiyonu Bölüm de periodogramın örneklem özellikleri incelenirken I k ordinatların bağımsız oldukları belirtilmişti. Bu durumda olabilirlik fonksiyonu λ( ) k + I 1 k N 1 λ k I σ k p( Ik λ, σ ) = e I, k 0 Κ (3.19) k= 1 σ σ ( ) eşitliği ile verilir. Burada I 0, sıfırıncı dereceden birinci tür değiştirilmiş Bessel fonksiyonudur. r(k) parçalı sabit fonksiyon olarak modellendiğinde olabilirlik fonksiyonu, m ve θ ( m ) parametreleri ile bölütlerin olabilirlik fonksiyonları çarpımı olarak yeniden düzenlenebilir: 36

49 ( m) ( k, ) 1 m s 1 ( Ψ+ Lh m j+ j 0 j j) σ = = κ I0( ) p I m θ e z (3.0) j= 0 k= sj + 1 Burada κ genişliğidir. 1 1 N = σ, N 1 j k Ψ= I k= 1 k, z h I = ve Lj = s j+ 1 s j nci bölüt j σ 3.4. Önsel dağılımlar Bilişsel radyoların çalışacağı geniş bantlı spektrumun öngörülen yapısı, düzensiz parçalı olacağı için bazı durumlarda iletişim parametreleri hakkında önsel bilgi olmaksızın spektrum boşluklarının kestirilmesi gerekecektir. Bu yüzden RJMCMC algoritmasında mümkün olduğunca bilgi içermeyen (noninformative) yapıya yakın önseller kullanılmıştır. Bu amaçla Green (1995) tarafından Bayes yaklaşımı ile değişim noktası algılama problemlerinin geniş bir sınıfında kullanılabilecek önseller, spektrum algılama probleminin yapısına göre uyarlanmıştır. Güç spektral seviyelerine karşılık gelen bölüt yükseklikleri h =, > 0 Γ( αβ ) α 1 h/ β ph ( ) e h α (3.1) eşitliği ile tanımlı Gamma dağılımından bağımsız olarak seçilmiştir. Değişim noktası sayısı önseli olarak ( Λ) m Λ exp p ( m) =, m = 0,1,..., m (3.) max m! biçiminde budanmış (truncated) Poisson dağılımı kullanılmıştır. Değişim noktası yerleri {s 1,s,... s m } ler [1,N-1] aralığında birbiçimli dağılan m+1 noktanın çift sayılı sıra istatistikleri (even-numbered order statistics) biçiminde dağılır (Green 1995). Bu durumda değişim noktası yerleri için önsel dağılım m (,,..., ) ( 1 )!( 1 ) ( )...( ) 1 ( 1) 1 m 1 1 m m 1 m 37 ( ) p s s s = m+ N s s s s s s N (3.3)

50 biçiminde verilir (Johnson 003). Değişim noktası yerlerinin [1,N-1] aralığında bağımsız olarak birbiçimli bir dağılımdan üretilmemesinin nedeni çok kısa bölüt uzunluğu seçilmesini önlemektir. Çok kısa aralıklar için yapılan kötü kestirimlerin, yeterli veri olmaması nedeniyle olabilirlik fonksiyonu tarafından elenmesi zor olabilir. Bu seçimle, değişim noktaları olasılıksal olarak uzaklaştırılmıştır. Gürültü varyansı σ parametresi için önsel bilginin olmadığı varsayılarak, literatürde bu parametre için tanımlı bilgi içermeyen (noninformative) Jeffreys önsel dağılımı kullanılmıştır. Bu dağılım p σ ( ) 1 (3.4) σ biçiminde tanımlıdır. İncelenen spektrum hakkında önsel bilgi olmadığı durumda yukarıda verilen önsel dağılımlar kullanılmakla birlikte, önceki verilerden elde edilen ya da dışarıdan sağlanan bir bilgi ile gelecek kestirimlerin doğruluğunu artırmak ya da hesaplama karmaşıklığını azaltmak mümkündür. Elde edilen bilginin sonraki analiz pencerelerinde kullanılmasının sağladığı avantaj bölüm 6. de ele alınacaktır Bayes eğri kestirimi ( m) (, ) m θ parametreleri hakkında Bayes sonuç çıkarımı ( m) pm (, θ Ik ) ortak sonsal dağılımına bağlıdır. Bu dağılım, Bayes kuramı gereği olabilirlik fonksiyonu ve parametrelerin ortak önsel dağılımının çarpımıyla orantılı olarak ( ) ( ) ( k) ( ) ( ) ( k ), m, m, m p m θ I p m θ p I m θ (3.5) biçiminde ifade edilir. (3.5) eşitliği ile verilen sonsal dağılım kullanılarak marjinalleştirme ve dönüşüm yöntemleri ile ilgilenilen tüm sonsal özellikler elde edilebilir. Örneğin, sonsal model olasılıkları pm ( I k ) belirlenerek en büyük olasılığa sahip model derecesinin seçilmesiyle, arg max pm ( I), model derecesi için m {0,1,..., mmax } k 38

51 MAP kestirimi bulunabilir. Ancak, daha önce de belirtildiği gibi söz konusu dağılımların integral yoluyla analitik olarak elde edilmesi mümkün değildir. Bu nedenle, ilgilenilen sonsal özelliklerin kolaylıkla hesaplanmasını sağlayacak bir RJMCMC algoritması önerilmiştir. Kullanılan RJMCMC yönteminde amaç, model karşılaştırmasına ve istatistiksel sonuç çıkarımına olanak sağlayan ( m) (, ) m θ parametreleri için sonsal örneklerin elde edilmesidir. Böylece, ilgilenilen sonsal dağılımlar için elde edilen yaklaşımlarla, istenilen Bayes sonuç çıkarımı gerçekleştirilir. Model derecesinin marjinal en büyük sonsal (MMAP) kestirimi max ( ) mˆ = arg max pˆ m I (3.6) m {0,1,..., m } k biçiminde elde edilir. Burada pm ˆ( I k ), model derecesi m için ortak sonsal dağılımdan üretilen örnekler kullanılarak elde edilen marjinal sonsal dağılım kestirimini göstermektedir. Seçilen bir ˆm model derecesi için sonsal dağılımdan üretilmiş olan mˆ mˆ (, ) s h örneklerinin oluşturduğu basamak fonksiyonlarının ortalaması alınarak, bilinmeyen λ(.) fonksiyonu için bir kestirim ˆ λ ( k) L ˆ 1 m ( mˆ = λ ) [] l ( k) (3.7) L mˆ l= 1 eşitliği ile bulunur. Burada ( m ˆ ) ( mˆ ) ( mˆ ) λ [] l (.), l nci adımda üretilmiş ( s, h ) örneklerinden [ l] [ l] oluşan basamak fonksiyonunu, L ˆm ise seçilen M ˆm modeli için algoritmanın adım sayısını göstermektedir. Eşitlik (3.7) ile tanımlanan ˆ(.) λ, kestirilen sonsal ortalama eğrisi (estimated posterior mean curve) olarak adlandırılır. Bazı kaynaklarda bu kestirim yöntemi, Monte Carlo sonsal ortalama (Monte Carlo posterior mean) ve elde edilen kestirim, Bayes eğri kestirimi (Bayesian curve estimation) olarak da adlandırılmaktadır (Mallick 1998). 39

52 Kestirilen sonsal ortalama eğrisi, incelenen geniş bantlı spektrum için kullanıcı sayısı, bant genişlikleri ve spektral güç seviyeleri hakkında bilgi içerir. Belirlenen bir eşik seviyesi ile fırsatçı erişime uygun spektrum boşlukları tespit edilebilir. Periodogram üzerinde gerçekleştirilen Bayes çoklu değişim noktası analizi ile elde edilen spektrum kestirimi, periodogram yumuşatma yöntemi olarak da değerlendirilebilir. Geleneksel periodogram yumuşatmaya dayalı spektrum kestirim yöntemlerinden (Welch, Blackman Tukey v.b.) farklı olarak yumuşatma işlemi, rasgele üretilen örneklerin oluşturduğu basamak fonksiyonları üzerinden gerçekleştirildiği için veri uzunluğunun artırılması ya da çözünürlüğün azaltılması söz konusu değildir. Şekil 3. de çeşitli periodogram yumuşatma yöntemleri ile birlikte önerilen yöntemin kestirim sonuçları verilmiştir. Şekil 3. Periodogram, Welch, MTM ve Bayes kestirimleri 40

53 3.5 Tersinir Atlamalı Markov Zinciri Monte Carlo Yöntemi Standart olmayan çok değişkenli dağılımlardan örnek üretmedeki zorluklar ve bu amaçla kullanılan MCMC yöntemleri bölüm.3 ve.4 te anlatılmıştı. Bahsedilen zorluklara parametre uzayının boyutunun değiştiği model belirsizliği durumu da eklendiğinde problem daha karmaşık bir hale gelir. Bu durumda, Metropolis-Hastings ve Gibbs örnekleyici gibi klasik MCMC yöntemleri kullanılamadığından, modeller arasında geçişe olanak sağlayan bir yöntem tanımlanması gerekir. Bu amaçla Green (1995), Metropolis-Hastings algoritmasını genelleştirerek, model belirlemeyi de mümkün kılan RJMCMC yöntemini önermiştir. Bu yöntemde, örnekleme işlemi m boyunca farklı boyuttaki R n parametre alt uzayları arasında atlama yapılabilir. Boyut değişimi olmadan parametrelerin güncellenmesi aşaması, Metropolis-Hastings algoritmasında olduğu gibi gerçekleştirilir. Ancak, yeni bir model önerisi ve bu önerinin kabul olasılığının hesaplanması, boyut uyumlamayı sağlayacak ve detaylı denge durumunu koruyacak şekilde yapılmalıdır (Green 1995). RJMCMC yöntemi birçok model seçimi ve parametre kestirimi probleminde uygulanmıştır. Andrieu ve Doucet (1999) gürültülü sinüzoidallerin kestirimi probleminde RJMCMC yöntemine dayalı stokastik bir algoritma geliştirmişlerdir. Bu çalışmada sinüzoidal genlikler, açısal frekanslar ve gürültü varyansı parametreleri bilinmeyen sinüzoidal sayısı ile birlikte kestirilerek, Bayes model seçimi ve parametre tahmini bir arada gerçekleştirilmiştir. Larocque ve Reilly (001) geniş bant kanal karakteristiğinin belirlenmesi amacıyla saçıcı sayısı, geliş yönleri ve ulaşma zamanları gibi parametreleri RJMCMC yöntemi ile ortak olarak kestirmişlerdir. Suparman vd. (00) RJMCMC algoritmasını, SAR (Synthetic Aperture Radar) görüntüleri bölütlemek amacıyla kullanmışlardır. Punskaya vd. (00) parçalı sabit doğrusal bağlanım (regression) modelleri için Bayes eğri uydurma probleminde, kapalı biçimde analitik ifadelerin elde edilemediği durumda RJMCMC yöntemleri tanımlamışlardır. Bu tez çalışmasında tanımlanan problemde model belirsizliği, bilinmeyen değişim noktası sayısından kaynaklanmaktadır. Model derecesi bilinmeyen basamak fonksiyonu biçiminde modellenmiş geniş bantlı spektrumun çoklu değişim noktası analizinin gerçekleştirilmesi amacıyla, RJMCMC algoritması kullanılmıştır. Problemin 41

54 karmaşıklığını azaltmak için bu aşamada, gürültü varyansı kanaldan tam doğru ölçülebildiği kabul edilerek, parametre vektörü σ nin bilindiği ya da ( m ) ( m) ( m) θ = s h (, ) olarak alınmıştır. Bölüm 5 te önerilen yöntemle gürültü varyansı kestirimi konusu ele alınacak, bölüm 6.3 ve 6.4 te sırasıyla gürültü belirsizliğinin ve gürültü varyansı kestiriminin önerilen yöntemin başarımına etkisi incelenecektir. Ele alınan problem için RJMCMC geçiş türleri aşağıdaki gibi tanımlanmıştır: - Yüksekliği Değiştirerek İlerle: Rasgele seçilen bir frekans bölütünün güç spektral seviyesinin değiştirilmesi - Konumu Değiştirerek İlerle: Rasgele seçilen bir değişim noktası yerinin kaydırılması (Bu adımla değişim noktasının her iki yanındaki komşu bölütlerin bant genişlikleri değiştirilir.) - Ekleyerek İlerle: Yeni bir değişim noktası ekleme (Bölüt sayısı bir artar.) - Azaltarak İlerle: Mevcut değişim noktalarından birinin kaldırılması (Bölüt sayısı bir azalır.) RJMCMC algoritmasının yukarıda tanımlanan adımları şekil 3.3 te gösterilmiştir. (a) (b) (c) Şekil 3.3 RJMCMC algoritması ilerleme türleri: a. yüksekliği değiştirerek, b. konumu değiştirerek, c. ekleyerek, d. azaltarak ilerleme 4 (d)

55 Ekleyerek ilerleme adımında değişim noktası sayısı m den m+1 e artar. Rasgele seçilen yeni değişim noktasının içinde bulunduğu bölüt yerine yeni iki bölüt tanımlanır. Azaltarak ilerleme adımında ise değişim noktası sayısı m+1 den m ye azalır. Seçilen değişim noktasına komşu iki bölütün yerine yeni bir bölüt tanımlanır. Algoritma süresince her yinelemede bu dört ilerleme türünden biri bağımsız ve rasgele seçilir. İlerleme türleri için seçilme olasılıkları: yükseklik için η m, konum için π m, ekleme için b m ve azaltma için d m ile gösterilsin. Bu olasılıklar sadece mevcut değişim sayısı m ye bağlıdır ve toplamları η m + π m + b m + d m = 1 dir. p(m) değişim noktası sayısının önsel dağılımı olmak üzere, ekleme ve azaltma adımlarının olasılıkları şu şekilde seçilmiştir: { ( ) ( )} b = cmin 1, p m+ 1 p m (3.8) m { ( ) ( )} d = m+ 1 cmin 1, p m p m + 1 (3.9) m=0 için hiç değişim noktası olmadığından d 0 =π 0 =0 olacağı açıktır. Değişim noktası sayısı için bölüm 3.4. de tanımlanan önsel dağılım gereği, m= m olduğunda b = 0 olur. k 0 için η m = π m alınmıştır. mmax max Eşitlik (3.8) ve (3.9) da yer alan c sabiti, problemin yapısına göre belirlenir. Örneğin, incelenen geniş bant hakkında kullanıcı sayısının geniş bir aralıkta sürekli değiştiği önsel bilgisi varsa, c parametresi yukarıda verilen sınırlamalar göz önünde bulundurularak mümkün olduğunca büyük seçilmelidir. Böylece, geniş bir aralıkta hızlı değişen kullanıcı sayısının kestirilmesinde algoritmanın yakınsama hızı artacaktır. Algoritmanın tanımlanan dört ilerleme türü için kabul olasılıklarının en genel biçimi α =min{1, olabilirlik oranı önsel oran öneri oranı Jacobian} (3.30) olarak verilir. Çarpım durumunda olan terimler incelendiğinde, son terim hariç diğerleri bölüm.4. de anlatılan Metropolis-Hastings algoritmasında tanımlanan kabul olasılığı 43

56 ile aynıdır. Son terim, boyut uyumlama dönüşümünün Jacobian matrisinin determinantıdır. Örneğin, (1) (1, θ ) {1} R ikilisi ile parametre vektörü boyutunun bir fazla olduğu (, ) {} R () θ ikilisi arasında iki yönlü bir geçiş tanımlansın. () (, θ ) ikilisinden, (1) (1, θ ) ikilisine geçiş için θ = ( θ1+ θ) olarak tanımlanabilir. Ters yönde () geçişte, rasgele üretilen bir u değişkeni ile θ = ( θ, θ ) parametreleri elde edilebilir: 1 θ = θ u 1 θ = θ + u (3.31) Bu durumda Jacobian terimi aşağıdaki gibi hesaplanır: θ1 θ1 θ u 1 1 = = = θ θ 1 1 θ u ( ) θ () 1 () 1 ( θ, u ) (3.3) Boyut değişiminin olmadığı yükseklik ve konum değiştirme adımlarında bu terim, 1 değerini alır. i. Yüksekliği değiştirerek ilerleme Yükseklik değişimi için h 0, h 1,..., h m değerlerinden biri rasgele seçilir. Seçilen değer h j olsun. h parametresi, güç spektral seviyelerini gösterdiği için öneri dağılımı pozitif değerler üreten uygun bir dağılım olarak seçilmelidir. Bu amaçla izlenebilecek bir yol, öneri değerlerinin logaritmik ölçekte üretildikten sonra doğrusal ölçeğe dönüştürülmesidir. ( 1/,1/) aralığından birbiçimli üretilen υ rasgele değişkeni kullanılarak, öneri değeri logaritmik ölçekte ln h = ln h + υ (3.33) j j biçiminde bulunur. Bu durumda kabul olasılığı 44

57 ( h j - hj) α min 1, olabilirlik oranı ( hj / hj) α = exp - β (3.34) olur. h için sırasıyla (3.1) ve (3.33) eşitlikleriyle tanımlanan önsel ve öneri dağılımları kullanılarak kabul olasılığı ifadesinin nasıl elde edildiği Ek 3 te gösterilmiştir. ( m ) ( m, ) ξ = θ olmak üzere, parametrelerden bir tanesi için yeni bir değer önerildiğinde yeni parametre vektörü ξ ile gösterilsin. Bütün ilerleme türleri için, olabilirlik oranı pi ( ξ ) pi ( ξ) biçiminde tanımlanmıştır. k k ii. Konumu değiştirerek ilerleme Konum değişimi için s 1, s,..., s m konumlarından biri rasgele seçilir. Seçilen değer s j ile gösterilsin. ( s j 1, s j+ 1) aralığından yeni öneri değeri s j, birbiçimli seçildiğinde kabul olasılığı min 1, olabilirlik oranı ( sj+ 1 s j)( s j sj-1) ( sj+ 1 sj)( sj sj 1) (3.35) olur. Bu ifadenin nasıl elde edildiği Ek 4 te gösterilmiştir. Öneri dağılımı simetrik olduğundan bu adım, klasik Metropolis adımı olarak düşünülebilir. iii. Ekleyerek ve azaltarak ilerleme Boyut değişiminin yapıldığı bu adımlar, ilk iki ilerleme türüne göre biraz daha karmaşıktır. Öncelikle ekleyerek ilerleme adımını ele alalım. Yeni bir değişim noktası s *, mevcut değişim noktalarından farklı olarak [, N 1] aralığından birbiçimli olarak seçilir. Seçilen değer (s j, s j+1 ) aralığında yer alsın. (s j, s * ) ve (s *, s j+1 ) aralıklarında yeni oluşan iki bölüt için yükseklik değerleri h j ve h j+1 önerilir. Yükseklik değerleri önerilirken, mevcut yükselik h j değerinin tipik olarak sonsal dağılımda iyi desteklendiği göz önünde bulundurulmalıdır. Buna göre h j ve h j+1 değerleri h j nin her iki yönde 45

58 değişikliğe uğratılmasıyla, ağırlıklı geometrik ortalama kullanılarak elde edilir (Green 1995): ( s s )log( h ) + ( s s )log( h ) = ( s s )log( h ) (3.36) * * j j j+ 1 j+ 1 j+ 1 j j u~u(0,1) olmak üzere h j+ 1 1 u = h u j (3.37) biçiminde tanımlanır. Bu seçimle, yeni bölütlerden biri diğerine göre daha uzun olduğunda, uzun olan bölüt yüksekliğinin h j ye yakın olma olasılığı büyükken, diğer taraftan kısa olan bölüt yüksekliği h j den uzak değerleri de içeren daha geniş bir aralıkta değişir. Azaltarak ilerleme adımında ise s 1, s,, s m değerlerinden bir tanesi rasgele seçilir. Seçilen değer s j+1 olsun. Bu durumda (s j, s j+ ) aralığındaki yeni yükseklik değeri h j olur. Ağırlıklı geometrik ortalama kullanılarak ( s j 1 sj) log ( hj) ( sj sj 1) log ( hj 1) ( sj sj) log ( h j) + = (3.38) eşitliği elde edilir. Böylece, ekleyerek ve azaltarak ilerleme adımları boyut uyumlamayı ( ) ( ) ( ) sağlayacak şekilde tanımlanmıştır. ( m m θ m = s, h ) olmak üzere, m boyutlu s ve m+1 boyutlu h den oluşan m+1 boyutlu parametre vektörü, ekleme adımıyla m+3 boyutlu olur. Bu fark, iki yeni değişken olan s * ve u ile oluşturulur. Ekleme adımı için kabul olasılığı ifadesinin (3.30) eşitliğine göre elde edilebilmesi için önsel ve öneri oranları ile Jacobian teriminin tanımlanması gerekir. Önsel oran; m, s (m) ve h (m) parametreleri için bölüm 3.4. de verilen önsel dağılımlar kullanılarak 46

59 ( ) ( )( ) ( ) ( N 1) * * α 1 ( s sj)( sj+ 1 s ) hh ( h j + h j+ 1 hj) p m+ 1 m+ m+ 3 1 j j+ 1 exp α p m sj+ 1 sj β Γ( α) h j β (3.39) biçiminde bulunur. Eşitlik (3.39) daki ilk terim p( m+ 1) p( m), değişim noktası sayısı önsel oranıdır ve bu parametre için tanımlanan Poisson önsel dağılımı kullanılarak hesaplanır. Eşitlik (3.39) daki diğer terimler, değişim noktası yerleri ve bölüt yüksekliklerinin önsel oranları hesaplanarak bulunur. Bu hesaplamalar Ek 5 te verilmiştir. Öneri oranı ve Jacobian terimleri sırasıyla eşitlik (3.40) ve (3.41) ile verilir (Green 1995): d 1 ( N 1) ( m+ 1) m+ b m (3.40) ( h ) j + h j + 1 h j (3.41) Tanımlanan ekleyerek ilerleme adımına karşılık gelen azaltarak ilerleme adımı için kabul olasılığı benzer biçimde elde edilebilir. Yeni kabul olasılığı ifadesi için altsimgeler uygun biçimde değiştirilip, oran terimleri ters çevrilir. Yukarıda tanımlanan ilerleme türlerinin ışığı altında, RJMCMC yöntemi aşağıda algoritmalar halinde sunulmuştur. 47

60 Algoritma 1 Tersinir Atlamalı MCMC ( m) ( m, ) θ Θ için ilk değerleri üret, i 0 repeat u~ U (0,1) rasgele değişkenini üret until if u b then m Ekleyerek İlerle (Algoritma ) u b + d then else if m m Azaltarak İlerle (Algoritma 3) else if u bm+ dm+ ηm then else end if i i+ 1 Yüksekliği Değiştirerek İlerle (Algoritma 4) Konumu Değiştirerek İlerle (Algoritma 5) Seçmeli Adım: σ için örnek üret (Bölüm 3.9) i= N max Algoritma Ekleyerek İlerleme Rasgele bir ( s j, s j + 1) aralığı seç ( s j, s j + 1) aralığından birbiçimli bir değişim noktası * öner, s u~ U (0,1) rasgele değişkenini üret ve α yı hesapla if u α then Yeni durumu kabul et Yeni yükseklikleri üret else Önceki durumda kal end if 48

61 Algoritma 3 Azaltarak İlerleme Değişim noktalarından birini rasgele seç, s j + 1 ve kaldır u~ U (0,1) rasgele değişkenini üret ve α yı hesapla if u α then Yeni durumu kabul et İki yüksekliği birleştir else Önceki durumda kal end if Algoritma 4 Yüksekliği Değiştirerek İlerleme Bölüt yüksekliklerinden birini rasgele seç, h j Yeni bir yükseklik değeri öner, h j u ~ U (0,1) rasgele değişkenini üret ve α yı hesapla if u α then Yeni yüksekliği kabul et else Önceki yükseklik değerinde kal end if Algoritma 5 Konumu Değiştirerek İlerleme Değişim noktalarından birini rasgele seç, s j ( s j 1, s j+ 1) aralığından birbiçimli bir konum öner, j u ~ U (0,1) rasgele değişkenini üret ve α yı hesapla if u α then Yeni konumu kabul et else Önceki konumda kal end if s 49

62 3.6 RJMCMC Algoritmasının Yakınsaması Markov zincirlerinin denge dağılımına belirli sayıda alıştırma örneğinden sonra ulaştığı bölüm.4.3 te belirtilmişti. Önsel dağılımdan üretilen rasgele değerlerle başlatılan RJMCMC algoritmasının yakınsaması için gerekli alıştırma yineleme sayısının belirlenmesi için MSE ölçütü kullanılmıştır (Denison vd. 1998). Bu tezde yakınsama ölçütü olarak kullanılan MSE, algoritmanın t nci adımında N 1 1 MSE = ( I λ[] ( k )) (3.4) yakınsama k t N 1 k = 1 eşitliği ile tanımlanır. ( ) ( mt ) ( mt ) λ [ ] k, t nci adımda üretilmiş ( m, s, h ) örneklerinden t [ t] [ t] [ t] oluşan basamak fonksiyonunu gösterir. Önsel ve öneri dağılımları uygun şekilde seçilen RJMCMC algoritması ile yineleme sayısı arttıkça veriye daha uygun Bayes kestirimleri bulunur. Böylece, MSE değerleri azalarak belirli bir yineleme sayısından sonra dengeye ulaşır. MSE değerleri dengeye ulaşıncaya kadar üretilen örnekler, alıştırma örnekleri olarak kabul edilir. Çok sayıda benzetim yapılmadan önce algoritmanın pilot çalıştırma ile yakınsaması incelenerek, toplam ve alıştırma yineleme sayıları belirlenir. 50

63 4. GENİŞ BANT SPEKTRUM ALGILAMA BAŞARIM ÖLÇÜTLERİ Bu bölümde, önerilen geniş bant spektrum algılayıcının başarımını ölçmek için tanımlanan başarım ölçütleri verilecektir. Örnek bir spektrum verisi için RJMCMC algoritması ile model parametreleri için ortak sonsal dağılımdan örnekler üretilecektir. Bu örnekler kullanılarak, parametrelerin sonsal dağılım kestirimleri ve elde edilen geniş bantlı spektrum kestirimi sunulacaktır. Bu tez çalışmasında yapılan benzetimlerde SNR λs SNR = 10 log10 (4.1) σ olarak tanımlanır. Burada gücünü gösterir. λ s ilgili banttaki kullanıcı sinyali gücünü, σ gürültü 4.1 Başarım Ölçütleri Spektrum algılama başarımının ölçülmesi için üç farklı başarım ölçütü tanımlanmıştır. Algılama ve yanlış alarm oranı, eğri kestirimi başarımı ve model derecesi kestirim hatası olarak belirlenen ölçütler, aşağıdaki alt bölümlerde ayrı ayrı incelenmiştir Algılama ve yanlış alarm oranı Güç spektrumu için elde edilen Bayes kestirimi, belirlenen bir eşik değeri ile kıyaslanarak her frekans hücresi için algılama hataları hesaplanır. Sinyal hücresinin gürültü hücresi olarak algılanması ıskalama sezimi (miss detection), gürültü hücresinin sinyal hücresi olarak algılanması ise yanlış alarm (false alarm) olarak tanımlanır. Buna göre ıskalama sezimi ve yanlış alarm oranları sırasıyla P N ıskalama m = (4.) Nsinyal 51

64 P f N yanlış alarm = (4.3) N gürültü eşitlikleriyle verilir. N ıskalama ve N yanlışalarm sırasıyla ıskalanan ve yanlış alarm verilen frekans hücresi sayılarını gösterir. N sin yal ve N gürültü değerleri ise toplam sinyal ve gürültü hücresi sayısıdır, Nsin + N = N 1. Toplam hata sayısı N hata ile gösterilmek üzere, hata oranı yal gürültü P e = Nhata N 1 (4.4) olarak tanımlanmıştır. Önerilen Bayes spektrum algılayıcısının, algılama başarımının değerlendirilmesi için eşik değeri gürültü gücü σ ye eşit alınıp, (4.), (4.3) ve (4.4) eşitlikleri kullanılarak P m, P f ve P e değerleri hesaplanır. Algılama oranı ise P = 1 P biçiminde bulunur. Eşik seviyesi gürültü gücünün altında ve üstünde değerler alacak şekilde değiştirilerek, farklı ıskalama oranı değerlerine karşı algılama oranı değişimi elde edilebilir. Bu yolla elde edilen ıskalama ve algılama oranı değerleri ile 6. bölümde verilecek olan ROC eğrileri oluşturulmuştur. Gürültü tabanı altındaki eşik seviyeleri için ıskalama oranı yüksekken, eşik seviyesi artırıldıkça ıskalama oranıyla birlikte algılama oranı da azalır. d m 4.1. Hata kareleri ortalaması Bayes eğri kestirimi başarımını ölçmek için MSE = k = 1 ( λ( k) ˆ λ( k) ) N 1 1 (4.5) N 1 eşitliği ile tanımlı hata kareleri ortalaması ölçütü kullanılır. Sinyal ve gürültü hücrelerinde yapılan hataları ayrı değerlendirebilmek için sinyal ve gürültü bölütlerinde kısmi hata kareleri ortalamaları tanımlanmıştır: 5

65 MSE sin yal sin yal k Ku ( λ ( ) ( )) K k λ u K k u 1 = ˆ (4.6) N MSE gürültü ( λ ( ) ( )) K k λ n K k n = 1 ˆ (4.7) N gürültü k Κ n K u ve K n, bölüm 3.3 te tanımlandığı gibi, sırasıyla sinyal ve gürültü hücrelerinden oluşan frekans hücresi kümelerini gösterir Model derecesi kestirim hatası Model derecesi, incelenen spektrumdaki spektral kenar sayısını verir. Aktif kullanıcı sayısı ile ilgili olan spektral kenar sayısında yapılan hata M = m mˆ (4.8) e eşitliği ile tanımlanır. Burada m, benzetilen spektrumdaki gerçek model derecesidir. ˆm ise model derecesinin MMAP kestirimidir. 4. Önerilen Yöntemin Başarımının Bir Benzetim Örneği ile Gösterilmesi Bu bölümde, RJMCMC algoritması ile sonsal dağılımdan elde edilen örneklemin, parçalı sabit yapıda modellenen geniş bantlı spektrumun algılanmasında nasıl kullanıldığı basit bir benzetim örneği ile anlatılmıştır. SNR seviyeleri sırasıyla 3, 0, 6 ve 14 db olan ve farklı bant genişliklerine sahip dört kullanıcının iletimde olduğu örnek bir güç spektrumu üretilmiştir. Zaman bölgesinde σ = 1 varyanslı Gauss gürültüsü ile bozulan sinyalin, kesikli Fourier dönüşümü ile elde edilen periodogramı şekil 4.1 de verilmiştir. Algoritma, önsel dağılım parametresi (hyperparameter) değerleri Λ= 1, α = 1, β = 50 ve m max = 40 seçilerek, bölüm 3.4. de tanımlanan önsel dağılımlardan üretilen rasgele 53

66 . Kullanıcı 0 4. Kullanıcı Güç Spektrumu (db) Kullanıcı 3. Kullanıcı Frekans hücreleri Şekil 4.1 SNR seviyeleri 3, 0, 6 ve 14 db olan dört kullanıcının yer aldığı örnek bir güç spektrumu örneklerle başlatılmıştır. Belirli sayıda yineleme sonunda alıştırma örnekleri atılarak geriye kalan örneklerle, parçalı sabit yapıda modellenen gürültüsüz güç spektrumunun Bayes kestirimi yapılır. Bu benzetim örneği için algoritma yineleme yapacak şekilde çalıştırılmış ve ilk 3000 yineleme alıştırma olarak alınmıştır. Bu değerlerin seçimi konusu, bu bölümün sonunda ele alınacaktır. Ortak sonsal dağılımdan elde edilen örnekler kullanılarak değişim noktası sayısı için elde edilen marjinal sonsal dağılım kestirimi şekil 4. de verilmektedir. Buna göre değişim noktası sayısı için MMAP kestirimi, m ˆ = 8 olur. Bu model derecesinde, { s1,..., s 8} değişim noktası yerleri için üretilen sonsal örnekler kullanılarak elde edilen sonsal dağılım kestirimleri şekil 4.3 te gösterilmektedir. Bu şekilden görüldüğü üzere, SNR seviyeleri daha düşük olan birinci ve üçüncü kullanıcının spektral kenarlarını gösteren değişim noktası yerleri için sonsal dağılımlar daha büyük yaylıma sahiptir. SNR seviyesinin artırılmasıyla birlikte sonsal dağılım yayılımının azaldığı, ikinci ve dördüncü kullanıcının spektral kenarlarında, görülmektedir. 54

67 Sonsal dağılım Değişim noktası sayısı Şekil 4. Model derecesinin sonsal dağılım kestirimi Sonsal dağılım Değişim noktası yerleri Şekil 4.3 Değişim noktası yerlerinin sonsal dağılım kestirimleri 55

68 1 0.8 Sonsal dağılım Güç spektral seviyesi (db) Şekil 4.4 Bölüt yüksekliklerinin sonsal dağılım kestirimleri { h0,..., h8} parametreleri için üretilen sonsal örnekler ile bulunan sonsal dağılım kestirimleri şekil 4.4 te gösterilmektedir. Değişim noktası konumlarında olduğu gibi SNR seviyesi azaldıkça, bölüt yükseklik değerlerinin sonsal dağılımlarında yayılımın arttığı görülmektedir. Ayrıca şekil 4.4, gürültü bölüt yükseklikleri için üretilen örneklerin 0 db nin altında dağıldığını göstermektedir. Ortak sonsal dağılımdan üretilen örneklerin oluşturduğu basamak fonksiyonlarının eşitlik (3.7) ye göre ortalamaları alınarak elde edilen Bayes eğri kestirimi şekil 4.5 te verilmiştir. Bu şekilden düzensiz ve aşırı salınımlı yapıda olan periodogramın Bayes kestirimi ile yumuşatıldığı görülmektedir. Bu kestirim üzerinde belirlenecek bir eşik değeri ile sinyal ve gürültü bölütlerinin belirlenip, ikincil kullanıcıların yayın yapabileceği uygun frekans bantlarının belirlenmesi mümkündür. Eşik değeri, gürültü gücü göz önünde bulundurularak seçilmelidir. Bu örnek için gürültü varyansı σ =1 alındığı için 0 db seviyesi gürültü tabanı olarak seçilebilir. Bu durumda 56

69 0 Periodogram Bayes Kestirimi Eşik Güç Spektrumu (db) Frekans hücreleri Şekil 4.5 Periodogram ve Bayes kestirimi frekans hücreleri bazında, periodogram ve Bayes kestirimi için elde edilen algılama ve yanlış alarm oranları çizelge 4.1 de verilmiştir. Bu değerler, Bayes algılayıcı ile periodograma göre daha düşük yanlış alarm oranında, daha büyük bir algılama başarımı elde edildiğini göstermektedir. Bu konuda ayrıntılı bir inceleme, bölüm 6.1 de yapılacaktır. Çizelge 4.1 Periodogram ve Bayes kestirimi için algılama ve yanlış alarm oranları Periodogram Bayes Kestirimi Algılama oranı 0,95 0,99 Yanlış alarm oranı 0,36 0,01 Model derecesi kestirimi başarımının incelenmesi için aynı sinyale farklı gürültüler eklenerek benzetim 500 kez tekrarlanmıştır. MMAP kestirimine göre seçilen model dereceleri için kestirim hatası histogramı şekil 4.6 da sunulmuştur (siyah çubuk). Bu şekilden model derecesinin yaklaşık 0,3 olasılıkla gerçek değerin üzerinde kestirildiği görülmektedir. Bu durum, düşük SNR seviyelerinde elenemeyen küçük adımlardan 57

70 Tekrarlanma sayısı Model derecesi kestirim hatası (örnek) Şekil 4.6 Kullanıcı SNR seviyelerinin [ ] db (siyah çubuk) ve [ ] db (beyaz çubuk) olduğu durumlar için model derecesi kestirim hatası histogramları kaynaklanır. Model derecesi kestirimi başarımının SNR değerleri ile nasıl değiştiğini görmek için diğer bütün parametre değerleri sabit kalmak üzere, sadece kullanıcı güçleri 7 db artırılarak benzetim tekrarlanmıştır. Şekil 4.6 da gösterildiği gibi bu durumda, model derecesi kestirim hatası azalmaktadır (beyaz çubuk). Algoritmanın yakınsamasının incelenmesi için eşitlik (3.4) ye göre hesaplanan MSE yakınsama değerleri şekil 4.7 de verilmiştir. Bu şekilden MSE yakınsama değerlerindeki değişimin belirli bir yinelemeden sonra azaldığı görülmektedir. Bu örnek için alıştırma yineleme sayısı 3000, toplam yineleme sayısı da olarak belirlenmiştir. Algoritma süresince üretilen örneklere karşılık gelen sonsal dağılım değerleri logaritmik ölçekte şekil 4.8 de verilmiştir. Görüldüğü gibi, alıştırma örnekleri atıldıktan sonra sonsal dağılım değerlerinde çok büyük bir sapma olmamaktadır. Ancak, Denison vd. (1998) sonsal dağılım değerlerinin yakınsama ölçütü olarak kullanılmasının uygun olmayacağını belirtmişlerdir. 58

71 MSE yakınsama Yineleme Şekil 4.7 Pilot çalıştırmada yinelemeler boyunca elde edilen MSE yakınsama değerleri (Düşey çizgi alıştırma yineleme sayısını gösterir.) Log-Sonsal Yineleme Şekil 4.8 Pilot çalıştırmada yinelemeler boyunca elde edilen sonsal dağılımın logaritmik değerleri (Düşey çizgi alıştırma yineleme sayısını gösterir.) 59

72 5. GÜRÜLTÜ VARYANSI KESTİRİMİ Gürültülü sinyallerin algılanmasında en önemli sorunlardan biri, kanal gürültüsü ölçüm belirsizliğinden kaynaklanan gürültü gücü belirsizliğidir. Gürültü gücü bilgisindeki belirsizliklerin algılama başarımı üzerine koyduğu kısıtı ölçmek için Tandra ve Sahai (008) SNR duvarı (SNR wall) kavramını tanımlamışlardır. Bu seviyenin altında, kanal gözlem süresinden bağımsız olarak algılayıcının dayanıklı olamayacağını göstermişlerdir. Son dönemde yapılan bazı çalışmalarla birlikte gürültü belirsizliği etkisi geniş bant spektrum algılama kapsamında da incelenmektedir. Taherpour vd. (008) bilinmeyen varyanslı beyaz Gauss gürültüsü etkisinde geniş bant spektrum algılama problemini ele almışlardır. Bu çalışmada, incelenen geniş bantlı spektrum çok sayıda alt banda bölünmüş ve her alt bant için önerilen genelleştirilmiş olabilirlik oranı algılayıcısı ile kullanıcı varlığı test edilmiştir. Alt bantlara bölünen spektrumda, en az verilen bir sayıda alt bandın boş olduğu kabul edilmiştir. Hesaplanan alt bant enerjileri sıralandığında, kabul edilen sayıdaki en düşük enerjili alt bantlar üzerinden gürültü varyansı kestirimi gerçekleştirilmiştir. Lopez-Valcarce ve Vazquez-Vilar (009) verilen geniş spektrum bandında gürültü ve bütün frekans kanallarındaki sinyal güç seviyeleri için yinelemeli bir yöntemle en büyük olabilirlik kestiricisini gerçekleştirmişleridir. Ji ve Gao (009) gürültü varyansı kestirimi için sadece gürültü örneklerinden oluşan, gerçekten boş kanalların yeterince uzun süre bulunamayabileceği durumlara işaret ederek; geleneksel gürültü varyansı kestirim yöntemlerinden farklı olarak, sıra istatistiklerine dayalı yeni bir yöntem önermişlerdir. Kanallara bölünmüş (channelized) çıkışlardan elde edilen sıra istatistiklerinin kullanılmasıyla, farklı kanallardan gürültü örnekleri elde edilebilmekte ve böylece gürültü varyansı kestirimi için tek bir kanalın uzun süre boş olması gerekliliği ortadan kalkmaktadır. Ayrıca sıra istatistiklerine bağlı kestiricinin, küçük örneklem hacmi için bile yansız olduğu belirtilmiştir. Shen vd. (009) gürültü gücü kestirim hatasından kaynaklanan spektrum algılama başarımı azalmasını önlemek amacıyla, Bayes kestirimine dayalı yeni bir spektrum algılama yöntemi tanımlamışlardır. Örnek sayısı sonsuza giderken algılama hatasının 60

73 sıfıra gittiği gösterilerek, kestirimin tutarlılığı gösterilmiştir. Yapılan benzetimlerle hatalı gürültü gücü kestiriminin algılama başarımı üzerindeki olumsuz etkilerinin giderildiği gösterilmiştir. Joshi vd. (010) dinamik bilişsel radyo sistemleri için DFT süzgeç takımına dayalı spektrum algılama yönteminde, eşik değerinin uyarlanması için bir yöntem önermişlerdir. Alınan sinyal, özbağlanımlı (autoregressive) bir model ile modellenerek gürültü varyansı kestirilmiş ve bu kestirim, eşik değerinin uyarlanmasında kullanılmıştır. Algoritmanın gürültü varyansının değiştiği dinamik senaryolarda etkinliği benzetimlerle gösterilmiştir. Cui vd. (010) sinyal ve gürültü güçlerinin kestirimi için alınan sinyalin momentlerine dayalı gözü kapalı (blind) bir algılama yöntemi önermişlerdir. Bu tez çalışmasında, Bayes çoklu değişim noktası analizi ile geniş bantlı spektrumun algılanması için önerdiğimiz yöntem, gürültü gücü varyansının bilindiği durum için tanımlandıktan (Taşcıoğlu ve Üreten 009) sonra gürültü belirsizliği etkisinin yöntemin başarımına etkisi incelenmiştir (Taşcıoğlu vd. 010). Gürültü belirsizliği durumunda yöntemin başarımı, tanımlanan çeşitli başarım ölçütlerine göre bölüm 6.3 te incelenecektir. Bu bölümde, gürültü varyansının bilinmediği ve diğer model parametreleri ile birlikte örnekleme yoluyla kestirilmesi konusu ele alınmıştır. Gürültü varyansının kestirilebiliyor olması, yöntemin gürültü seviyesinin değiştiği haberleşme kanallarında spektrum boşluklarının bulunmasında kullanılabileceğini gösterir. Gürültü varyansının RJMCMC algoritması ile kestirilmesi için öncelikle bu parametre için tanımlanan önsel ve öneri dağılımları, daha sonra ortak sonsal dağılımdan örnek üretilmesi amacıyla kullanılan algoritma verilecektir. 61

74 5.1 σ parametresi için önsel ve öneri dağılımları Karesel ölçek parametresi σ için önsel bilginin olmadığı varsayılarak, Jeffreys önsel dağılımı kullanılmıştır. Bu önsel, logσ nin birbiçimli dağıldığı varsayımına dayanır: p (log ) σ = k (5.1) Bu ifade σ nin p σ ( ) k = (5.) σ biçiminde tanımlı dağılıma sahip olmasıyla eşdeğerdir. Bu dönüşüm, Ek de verilen (A.) eşitliği kullanılarak yapılabilir. Jeffreys önseli, standartlaştırılamadığı için uygun bir dağılım değildir. Bu yüzden, destek kümesi üzerinde belirlenen sınırlar ile uygun hale getirilir: 0, σ < Lσ 1 p( σ ) =, L σ H σ log ( H / L σ σ ) 0, σ H > σ σ σ (5.3) Şekil 5.1 de logσ için belirlenen sınır değerleri ile elde edilen olasılık yoğunluk fonksiyonu verilmiştir. p (log σ ) 1 k = log( H / L ) σ σ log( L σ ) log( H σ ) logσ Şekil 5.1 Sınırlandırılmış birbiçimli logσ dağılımı 6

75 σ için önerilen değerler pozitif olmalıdır. Bu amaçla öneriler, h parametresinde olduğu gibi logaritmik ölçekte üretildikten sonra doğrusal ölçeğe dönüştürülerek bulunmuştur. Mevcut değer ( ) ( σ ) t olmak üzere, dağılımından üretilen ν rasgele değişkeni kullanılarak, σ için öneri değeri ν ~ N ( 0, η ) ( ) * ( t ) ln( σ ) = ln( σ ) + ν, ν ~ N 0, η (5.4) biçimde üretilir (Hamada vd. 008). ν rasgele değişkenin varyansı η, diğer önsel parametrelerle birlikte problemin yapısına uygun bir değer olarak belirlenir. Doğrusal ölçeğe dönüştürme sonucu öneri dağılımı 1 * ( t ) ln( σ ) ln( σ ) * ( ) 1 1 η * e * t ( ) q ( σ ) ( σ ) =, ( σ ) > 0 (5.5) ( σ ) πη olur (Ek 6). Şekil 5. de örnek bir öneri dağılımı gösterilmiştir p[(σ ) * (σ ) (t) ] (σ ) * Şekil 5. ( t) ( ) 1 σ = ve η = 1 için karesel ölçek parametresi σ nin öneri dağılımı 63

76 Önerilen değerin kabul olasılığı α nın hesaplanması için önsel ve öneri oranlarının bulunması gerekir. Eşitlik (5.5) ile verilen öneri dağılımında ikinci terim bir sabit olduğundan, öneri oranında bu terim sadeleşir. Aynı eşitlikteki üstel terim de karesel biçimde olduğu için sadeleşerek öneri oranı t ( ) * ( t) (( σ ) ( σ ) ) ( ) * q ( σ ) ( σ ) * ( σ ) = (5.6) ( t) q ( σ ) olarak elde edilir. Önsel oran ise (5.) eşitliği gereği ( σ ) ( t) (( σ ) ) * p ( ) ( t) ( σ ) = (5.7) * p ( σ ) olur. Bu eşitlikler, (.4) eşitliği ile verilen Metropolis-Hastings kabul olasılığı ifadesinde yerine konulursa σ için kabul olasılığı sadece olabilirlik oranından oluşacak şekilde, α = min{ 1,olabilirlik oranı} (5.8) olarak bulunur. 5. σ parametresi için örnek üretme algoritması Bölüm 3.5 te RJMCMC algoritması sunulurken, σ parametresi için ortak sonsal dağılımdan örnek üretilmesi, seçmeli bir adım olarak verilmişti. Gürültü gücü kestirimi için RJMCMC algoritmasının her adımında, seçilen ilerleme türünden sonra σ için bir örnek üretilir. (5.8) eşitliği ile tanımlanan kabul olasılığına göre öneri değerinin kabul veya reddine karar verilir. σ parametresi için sonsal dağılımdan örnek üretmek amacıyla kullanılan algoritma aşağıda verilmiştir. 64

77 Algoritma 6 ( η ) σ için örnek üretilmesi ν ~ N 0, rasgele değişkenini üret ve * ( ) ( σ ) = ( σ ) t e ν öneri değerini hesapla α yı hesapla u ~ U (0,1) rasgele değişkeni üret if u α then t+ Öneri değerini kabul et, ( σ ) = ( σ ) else ( t+ 1) ( t) Önceki değerde kal, ( σ ) = ( σ ) end if ( 1) * Bölüm 4. de örnek bir periodogram verisi için gürültü varyansının kesin bilindiği durumda elde edilen kestirim şekil 4.5 ile verilmişti. Aynı periodogram verisi için σ nin bilinmediği kabul edilerek, RJMCMC algoritması ile güç spektrumu kestirimi yapılmıştır. σ nin bilindiği durumda elde edilen kestirim ile karşılaştırma yapılabilmesi için benzetim parametreleri aynı seçilerek, RJMCMC algoritması yineleme boyunca çalıştırılmıştır. İlk 3000 örnek alıştırma örneği olarak kabul edildiğinde, kalan örneklerin ortalaması alınarak, σ için 1 ˆ σ = (5.9) R σ[ r] R r= 1 eşitliği ile tanımlı sonsal ortalama kestirimi (posterior mean estimation) elde edilmiştir. Burada R, alıştırma örnekleri atıldıktan sonra kalan örnek sayısını ve σ [] r, alıştırma örneklerinden sonra σ için her adımda üretilen örnek değerlerini gösterir yineleme boyunca üretilen σ örnek değerleri şekil 5.3 te verilmiştir. Yaklaşık 3000 yinelemeden sonra örnek değerlerinin belirli bir değer etrafında yoğunlaştığı görülmektedir. Alıştırma örneklerinden sonraki örnek değerleri kullanarak, σ için elde edilen sonsal ortalama kestirimi şekil 5.3 te kesikli çizgi ile gösterilmiştir. Bu örnekler kullanılarak σ nin marjinal sonsal dağılımı için elde edilen kestirim, şekil 5.4 te çizdirilmiştir. Sonsal dağılıma göre karesel ölçek parametresi σ nin aldığı değerlerin 65

78 gerçek değerin bir miktar altında yoğunlaştığı görülmektedir. σ nin kestirildiği ve bilindiği durumda RJMCMC algoritması ile elde edilen güç spektrumu kestirimleri şekil 5.5 te verilmiştir. Elde edilen güç spektrumu kestirimlerinin gürültü hücrelerinde daha fazla farklılık gösterdiği görülmektedir. Bu konuda detaylı bir inceleme bölüm 6 da yapılacağı için burada ayrıntıya girilmeyecektir. Gürültü varyansının gerçek ve kestirilen değerleri şekil 5.5 te yatay çizgilerle gösterilmiştir Üretilen σ örnekleri Gerçek gürültü varyansı Gürültü varyansı kestirimi σ Yineleme Şekil 5.3 σ için üretilen örnek değerleri ve bu örnekler kullanılarak elde edilen gürültü varyansı kestirimi (Düşey noktalı çizginin solunda kalan örnekler alıştırma örnekleri olarak alınır.) 66

79 4 3 1 σ ^ σ gerçek σ Şekil 5.4 σ için sonsal dağılım kestirimi 0 Periodogram Kesin gürültü varyansı ile Kestirilen gürültü varyansı ile Kesin gürültü varyansı Kestirilen gürültü varyansı Güç Spektrumu (db) Frekans hücreleri Şekil 5.5 Gürültü varyansının kesin bilindiği ve kestirildiği durumlarda elde edilen spektrum kestirimleri 67

80 6. BULGULAR Bu bölümde, önerilen geniş bant spektrum algılayıcıyı değerlendirmek için gerçekleştirilen benzetim sonuçları sunulacaktır. Benzetim sonuçları dört alt bölüm halinde verilecektir. Birinci alt bölümde, Bayes spektrum algılayıcı ve periodogram için elde edilen ROC eğrileri karşılaştırmalı olarak sunulacaktır. İkinci alt bölümde, spektrum hakkında elde edilen bilginin sonraki analizlerde önsel bilgi olarak kullanılması durumunda algılama başarımındaki iyileşme gösterilecektir. Üçüncü alt bölümde gürültü belirsizliğinin önerilen yöntemin eğri kestirimi, algılama ve model derecesi kestirimi başarımlarına etkisini ortaya koyan benzetim sonuçları verilecektir. Dördüncü alt bölümde ise kestirilen gürültü varyansı ile algılama başarımı sonuçları sunulacaktır. 6.1 RJMCMC Algoritması Algılama Başarımı Önerilen spektrum algılama yaklaşımının karakteristiklerini incelemek amacıyla Monte Carlo benzetimleri yapılmıştır. Bu benzetimlerde, kanallara bölünmemiş (nonchannelized) geniş bantlı spektrumu benzetmek için bant genişliği, taşıyıcı frekansı ve spektral güç seviyeleri değişen ve belirli sayıda aktif kullanıcının yer aldığı 104 uzunluğunda rasgele periodogramlar üretilmiştir. Kullanıcı sayısı en fazla 16 olacak şekilde Poisson (8) dağılımından seçilmiştir. Her bir kullanıcının bant genişliği ve db cinsinden spektral güç seviyesi sırasıyla Wi ~ U {0,...,40} ve SNRi ~ U{,...,0} kesikli birbiçimli dağılımlarından üretilmiştir. Gürültü varyansı bilindiği kabul edilmiştir. σ = 1 alınmış ve bu değerin RJMCMC algoritması ile ortak sonsal dağılımdan üretilen örnekler, öncelikle model derecesinin MMAP kestiriminde kullanılır. Kestirilen model derecesi için elde edilen basamak fonksiyonlarının ortalamaları alınarak, eşitlik (3.7) ye göre ˆ(.) λ fonksiyonu hesaplanır. ˆ(.) λ, belirlenen bir eşik seviyesi ile karşılaştırılarak, (4.) ve (4.3) eşitlikleri ile ıskalama ve yanlış alarm olasılıkları hesaplanır. Her eşik seviyesi için benzetim

81 kez tekrarlanmıştır. Elde edilen algılama ve ıskalama oranlarının ortalamaları alınarak oluşturulan ROC (Receiver Operating Characteristics-Karar İşletim Grafiği) eğrisi şekil 6.1 de kesikli çizgi ile gösterilmektedir. Temel bir karşılaştırma için periodogram algılama başarımı hesaplanmıştır. Bölüm 3..1 de belirtildiği gibi gürültü hücreleri için periodogram ordinatlarının dağılımı serbestlik derecesi iki olan ki-kare dir. Bu nedenle verilen bir yanlış alarm oranı P f için en iyi eşik değeri τ ( P ) τ = Q (6.1) 1 1 f eşitliği ile hesaplanır. Q 1 (.), merkezi ki-kare dağılım fonksiyonunun tersidir. İki yöntemin karşılaştırılabilmesi için aynı yanlış alarm oranında, algılama oranlarının hesaplanması gerekir. Bu yüzden Bayes algılayıcı için benzetimlerde elde edilen yanlış Pd Periodogram Bayes kestirici log 10 Pf Şekil 6.1 Periodogram ve Bayes kestirici için ROC eğrileri 69

82 alarm oranları eşitlik (6.1) de yerine konularak, periodogram için eşik seviyeleri bulunur. Şekil 6.1 de verilen ROC eğrisi incelendiğinde, Bayes algılayıcı ile elde edilen algılama başarımının ham periodograma göre daha iyi olduğu görülmektedir. Ham periodogram için algılama başarımının düşük olması, periodogramın aşırı salınımlı yapısından kaynaklanmaktadır. 6. Önsel Bilginin Algılama Başarımına Etkisi Bayes yaklaşımının bir üstünlüğü, kestirim başarımını artırmak için önsel bilginin analize dahil edilebilmesidir. Model parametrelerinin yavaş değiştiği durumlarda mevcut kestirim değerleri, daha sonraki kestirimler için güçlü bir önsel bilgi oluşturabilir. Analiz edilen çerçeveden elde edilen bilginin, sonraki analiz çerçevelerinde kullanılmasının etkisi benzetimlerle incelenmiştir. Bir önceki analiz çerçevesinde parametreler için yapılan istatistiksel çıkarım, sonraki analiz çerçevesinde RJMCMC algoritmasının başlangıç değerlerinin belirlenmesinde kullanılmıştır. Bu benzetimlerde eşik seviyesi gürültü gücüne eşit olacak şekilde sabit seçilir. Başlangıç çerçevesi için kullanıcı sayısı en fazla 16 olacak biçimde Poisson (8) dağılımından üretilir. Bir sonraki çerçevedeki kullanıcı sayısı, mevcut kullanıcı sayısına {-4,,4} kümesinden birbiçimli seçilen değerin eklenmesiyle belirlenir. Bu seçim yapılırken, yeni kullanıcı sayısının sıfırdan büyük olması şartı aranır. Yeni çerçeve için elde edilen kullanıcı sayısı bir öncekinden daha büyükse, boş spektrum bantlarında bölüm 3.4. de verilen önsel dağılımlara göre rasgele seçilen konumlarda ve spektral güç seviyelerindeki yeni kullanıcılar spektruma eklenir; daha küçük olduğunda ise rasgele seçilen kullanıcılar kaldırılır. Böylece, parametreleri yavaş değişen bir spektrumun benzetilmesi amaçlanmıştır. Şekil 6. de üretilen ardışık iki spektrum çerçevesi örneği verilmiştir. Mevcut çerçevede SNR seviyeleri 16, 6, 4 ve 1 db olan dört kullanıcı bulunmaktadır. Bir sonraki veri çerçevesinde, SNR seviyeleri 10 ve 14 db olan iki yeni kullanıcı eklenmiştir. Diğer kullanıcılar ise aynı güç seviyesinde ve aynı frekans bantlarında iletişimini sürdürmektedir. 70

83 0 I. Spektrum Çerçevesi Periodogram Bayes Kestirimi Eşik Güç Spektrumu (db) Frekans hücreleri (a) 0 II. Spektrum Çerçevesi Periodogram Önsel Güç Spektrumu (db) Frekans hücreleri (b) Şekil 6.. Ardışık iki spektrum çerçevesi: a. birinci, b. ikinci çerçeve 71

84 Şekil 6..a da verilen birinci spektrum çerçevesi için RJMCMC algoritması çalıştırılır. Üretilen ( m) ( m) ( m, s, h ) sonsal parametre değerlerinden elde edilen Bayes sonuç çıkarımı, bir sonraki analiz çerçevesine önsel bilgi olarak aktarılır. İlk çerçeveden elde edilen bilginin ikinci çerçeveye aktarılmasında farklı yollar izlenebilir: Örneğin, en son yinelemede elde edilen sonsal örnekler bu amaçla kullanılabilir. Diğer bir yol, şekil 6..a da kırmızı ile gösterilen sonsal ortalama yoluyla elde edilen ˆ(.) λ eğrisinin basamak fonksiyonuna dönüştürülmesi olabilir. Bu amaçla, ˆ(.) λ fonksiyonu seçilen eşik ile kıyaslanır. Eşik değerinin ˆ(.) λ fonksiyonu ile kesiştiği noktalara göre değişim noktası sayısı ve yerleri belirlenir. Böylece spektrum gürültü ve sinyal bölütlerine ayrılmış olur. Her bölüt için iki değişim noktası aralığında kalan ˆ(.) λ değerlerinin ortalaması alınarak bölüt yükseklikleri bulunur. Şekil 6..b de birinci spektrum çerçevesinden elde edilen ve sonraki çerçevede algoritmayı başlatmak için kullanılacak olan basamak fonksiyonu gösterilmiştir. RJMCMC algoritması, önsel bilginin kullanıldığı ve kullanılmadığı durumlar için yineleme yapacak şekilde çalıştırılmıştır. Önsel bilgi etkisinin yanı sıra yineleme sayısının algılama başarımına etkisini gözlemleyebilmek amacıyla, 1000 den başlayarak 1000 er aralıklarla artan yineleme sayıları için algılama hataları hesaplanmıştır. Rasgele üretilen 1000 farklı periodogram verisi için bulunan algılama hatalarının ortalaması şekil 6.3 te çizdirilmiştir. Önsel bilgi kullanımının ıskalama oranında önemli bir değişikliğe neden olmadığı, ancak yanlış alarm oranının çok daha hızlı yakınsamasını sağladığı gözlenmiştir. Bu durum, spektrum boşluklarının daha kısa sürede algılanabilmesi anlamına gelir. Ayrıca, şekil 6.3 te önsel bilginin kullanılmadığı durum için ıskalama ve yanlış alarm olasılıklarında 5000 yinelemeden sonra önemli bir değişiklik olmadığı görülmektedir. 7

85 0.3 P m 0.5 P f P f (Önsel bilgi) 0. P m & P f Yineleme sayısı Şekil 6.3 RJMCMC yineleme sayısı ile algılama başarımı ilişkisi (P m değerleri her iki durum için yaklaşık eşit çıkmaktadır.) 6.3 Gürültü Belirsizliğinin Bayes Algılayıcı Başarımına Etkisi Gürültü belirsizliğinin önerilen Bayes algılayıcının başarımına etkisini inceleyebilmek amacıyla Monte Carlo benzetimleri yapılmıştır. Her benzetim için kullanıcı sayısının, bant genişliklerinin ve taşıyıcı frekanslarının rasgele seçildiği, 104 uzunluğunda periodogramlar üretilmiştir. Kullanıcı sayısı {1,...10} aralığında kesikli birbiçimli dağılımdan üretilir. Kullanıcı bant genişlikleri için yine kesikli birbiçimli dağılım kullanılmıştır, Wi ~ U {30,...60}. Kullanıcı güçleri db den başlayarak 1 db aralıklarla 0 db ye kadar artırılarak, değişen SNR seviyeleri için önerilen Bayes algılayıcının başarımı incelenmiştir. Bu benzetimde, SNR değişimi gürültü gücünün değiştirilmesiyle sağlanmıştır. Her SNR seviyesinde rasgele 1000 periodogram verisi üretilmiştir. Önsel dağılımlar ve önsel parametre değerleri şu şekilde seçilmiştir: Değişim noktası sayısı için Λ= 1 parametreli destek kümesi 40 da sınırlandırılmış Poisson dağılımı 73

86 m ~ Poisson( Λ ), bölüt yükseklikleri için α = 1 ve β = 50 parametreli gamma dağılımı ( α β ) h ~ Γ, kullanılmıştır. Değişim noktası yerleri için ise çift sayılı sıra istatistikleri kullanılmıştır. Gürültü gücü belirsizliği etkisinin değerlendirilmesi için gerçek gürültü gücüne, [-3,+3] db aralığından 0,5 db çözünürlükle, gürültü belirsizliği değerleri eklenir. Gürültü belirsizliği miktarı % σ ρ = 10log 10 σ (6.) olarak tanımlanmıştır. Burada σ gerçek gürültü gücünü, σ% ise ölçüm sistemi nedeniyle hatalı ölçülen gürültü gücünü gösterir. RJMCMC algoritmasında değerleri kullanılarak, algoritma yineleme boyunca çalıştırılır. Üretilen örneklerden ilk 3000 tanesi alıştırma örneği olarak kabul edilir. Kalan 7000 örnek ile önce model derecesinin MMAP kestirimi ve sonra da seçilen model derecesi için ˆ(.) λ fonksiyonu hesaplanır. Hata, 1000 rasgele periodogram üzerinden ortalama alınarak hesaplanır. σ% Şekil 6.4 te bir periodogram örneği için -3 db, 0 db (kesin gürültü gücü) ve +3 db gürültü gücü belirsizliği durumlarında elde edilen Bayes eğri kestirimleri verilmiştir. Bu şekilden görüldüğü üzere, 3 db lik gürültü gücü belirsizliği durumunda aşırı uyum (overfitting) etkisi ortaya çıkmaktadır. Yani model, temel sinyal güç spektrumu yerine, gürültüyü tanımlamaya başlar. Bu durum, şekil 6.4 te gürültü bölütlerinde ve büyütülmüş olarak verilen ilk iki kullanıcının yer aldığı spektrum bandında rahatlıkla görülebilmektedir. Diğer taraftan gürültü gücünün yüksek kestirilmesi, düşük uyum (underfitting) etkisine neden olur. Bu durumda ıskalama oranı artar. Şekil 6.4 te +3 db seviyesindeki gürültü gücü belirsizliği durumunda, birinci kullanıcının algılanamadığı görülmektedir. 74

87 -3 db 0 db +3 db Güç spektrumu (db) Frekans hücreleri Şekil 6.4 Örnek bir periodogram için {-3,0,3} db gürültü belirsizliği durumlarında elde edilen Bayes eğri kestirimleri Gürültü belirsizliğinin; eğri kestirimi, algılama ve model derecesi kestirimi başarımlarına etkisi sırasıyla 6.3.1, 6.3. ve alt bölümlerinde incelenmiştir Eğri kestirimi başarımı Bayes eğri kestirimi başarımını ölçmek için kullanılan MSE ölçütü eşitlik (4.5) ile tanımlanmıştı. Ayrıca, sinyal ve gürültü hücrelerinde yapılan kestirim hatalarının ayrı ayrı değerlendirilebilmesi için (4.6) ve (4.7) eşitlikleri ile sırasıyla sinyal ve gürültü hücreleri için kısmi MSE tanımları verilmişti. Bu tanımlara göre, her periodogram verisi için MSE değerleri hesaplanır. Daha sonra, 1000 periodogram verisi için elde edilen MSE değerlerinin ortalaması alınır. Şekil 6.5 te gürültü gücünün kesin bilindiği durum için SNR değerlerine karşı ortalama MSE değerleri sürekli çizgi ile çizdirilmiştir. Gürültünün [-3, +3] db aralığındaki 75

88 MSE - Kesin gürültü gücü MSE MSE sinyal MSE gürültü 100 MSE SNR Şekil 6.5 Gürültü belirsizliği durumunda kullanıcı SNR seviyesine karşı MSE değerleri uyumsuzluk değerleri için elde edilen ortalama MSE değerleri kesikli eğri ile gösterilmiştir. Ayrıca, sadece sinyal ve gürültü hücrelerinde elde edilen MSE değerleri de aynı şekilde çizdirilmiştir. Artan SNR seviyesi ile birlikte MSE değerlerinin azaldığı görülmektedir. Gürültü belirsizliği durumunda tüm frekans hücreleri üzerinden hesaplanan MSE değerinin, gürültünün bilindiği durumdakine göre daha büyük olduğu, dolayısıyla eğri kestirim başarımının düştüğü açıktır (şekil 6.5). Gürültü gücü belirsizliği etkisi, düşük SNR seviyelerinde daha önemli iken, SNR seviyesi arttıkça başarım kaybı önemini yitirmektedir. Eğri kestirimi MSE başarımının, gürültü gücü belirsizliğine karşı değişimi şekil 6.6 da verilmiştir. Her belirsizlik değerinde, [,0] db SNR aralığı için elde edilen MSE değerlerinin ortalaması alınmıştır. Şekil 6.6 dan görüldüğü üzere, gürültü belirsizliği sıfır olduğunda MSE değeri en küçük değerini almaktadır. Gürültü gücünün gerçek değerinden yüksek kestirilmesi (overestimate) ya da düşük kestirilmesi (underestimate) durumlarında başarım düşmektedir. Yüksek kestirimden kaynaklanan MSE başarımı kaybı, düşük kestirime göre daha belirgindir. 76

89 MSE MSE sinyal MSE gürültü 50 MSE Gürültü belirsizliği [db] Şekil 6.6 Gürültü gücü belirsizliğine karşı MSE değerleri Ayrıca, şekil 6.6 da ayrıca sinyal ve gürültü hücrelerindeki MSE değerleri de çizilmiştir. Gürültü gücünün yüksek kestirimi durumunda, gürültü hücreleri için yapılan kestirim başarımı artarken, sinyal hücrelerindeki kestirim başarımı azalır. Sinyal seviyelerinde yapılan hatanın toplam hata üzerindeki etkisi daha fazla olduğundan net başarım düşer. Gürültü gücü düşük kestirildiğinde, sinyal seviyelerinde yapılan hatalar yaklaşık -1 db ye kadarki uyumsuzluk değerleri için azalmakta, daha sonra ihmal edilebilecek derecede artmaktadır Algılama başarımı Rasgele üretilen periodogramlar için bulunan Bayes eğri kestirimleri, belirlenen bir eşik seviyesi ile karşılaştırılarak ıskalama ve yanlış alarm oranları hesaplanır. Eşik değeri; RJMCMC algoritmasında kullanılan hatalı ölçülen, gürültü gücü σ% ye eşit alınmıştır. SNR değişimi gürültü gücünün değiştirilmesiyle sağlandığından, her SNR değerinde eşik değeri de değişir. db den 0 db ye 1 db aralıklarla artırılan her SNR 77

90 değerinde 1000 benzetim üzerinden ortalama alınarak bulunan algılama hataları şekil 6.7 de sürekli eğri ile gösterilmiştir. Bu şekilden, artan SNR değerleriyle birlikte algılama hatalarının azaldığı görülmektedir. Gürültü belirsizliği durumundaki algılama hataları da aynı şekilde kesikli eğriler ile verilmiştir. Düşük SNR seviyeli kullanıcılarda, gürültünün belirsiz olduğu ve kesin bilindiği durumlar arasında toplam algılama oranında yaklaşık %10 kayıp olduğu gözlenmektedir. SNR arttıkça, gürültü belirsizliğinden kaynaklanan başarım kaybı azalır. Şekil 6.8 de gürültü gücü belirsizliğine karşı ıskalama ve yanlış alarm oranları gösterilmektedir. Bu şekilden gürültü gücünün yüksek kestirilmesinin yanlış alarm oranında az bir etkiye sahip olduğu, bununla birlikte artan yüksek kestirim miktarının ıskalama oranını önemli derecede artırdığı görülmektedir. Gürültü gücünün düşük kestirilmesi ise yanlış alarm oranında önemli bir etkiye sahiptir. Düşük kestirim miktarının - db den az olduğu durumda, yanlış alarm oranı %5 in altında iken; düşük kestirim miktarı - db yi aştığında, başarım önemli ölçüde bozulur. Toplam hata oranında, gürültü gücü belirsizliği [-1,0) db aralığında iken gürültünün kesin bilindiği (belirsizliğin 0 db olduğu) duruma göre küçük bir azalma gözlenmektedir (şekil 6.8). Bunun nedeni, algılayıcıda gerçek gürültü gücünün altında bir değer kullanılmasının düşük SNR seviyelerinde yapay bir SNR artışına neden olmasıdır (Joshi 010). -1 db nin altındaki belirsizlik değerleri için ise artan yanlış alarm oranı ile birlikte toplam hata oranı da hızla artmaktadır. Diğer taraftan 0 db nin üzerindeki gürültü gücü belirsizliği durumlarında, ıskalama sezimi oranındaki artış, toplam hata oranını da artırır. 78

91 Toplam hata oranı-kesin gürültü gücü Toplam hata oranı Iskalama sezimi oranı Yanlış alarm oranı Algılama hata oranı SNR [db] Şekil 6.7 Kullanıcı SNR seviyesine karşı ıskalama sezimi ve yanlış alarm oranları Toplam hata oranı Iskalama sezimi oranı Yanlış alarm oranı 0.5 Algılama hata oranı Gürültü belirsizliği [db] Şekil 6.8 Gürültü belirsizliğine karşı ıskalama sezimi ve yanlış alarm oranları 79

92 6.3.3 Model derecesi kestirim hataları Gürültü gücünün düşük kestirilmesiyle ortaya çıkan aşırı uyum durumunda model, verideki küçük değişimleri bile takip etmeye başlar. Bu durumda model derecesi artar. Yani, sinyali ifade eden modelin karmaşıklığı artar. (4.8) eşitliğine göre hesaplanan model derecesi kestirim hatalarının, farklı gürültü belirsizliği değerlerinde ortalaması alınarak, birikimli dağılım fonksiyonları elde edilmiştir (şekil 6.9). Gürültü gücünün düşük kestirilmesi durumunda kestirim hatasının negatif değerler aldığı, yani model derecesinin yüksek kestirildiği şekil 6.9 dan görülmektedir. Diğer taraftan gürültü gücünün yüksek kestirilmesiyle birlikte, model derecesi gerçek değerinden düşük kestirilir. Bu durumda model derecesi kestirim hataları pozitif işaretli olur (şekil 6.9) Birikimli dağılım fonksiyonu db - db -1 db 0 db 1 db 0.1 db 3 db Model derecesi kestirim hatası Şekil 6.9 Model derecesi kestirim hatası için birikimli dağılım fonksiyonu Şekil 6.10 da model derecesi kestirim hatalarının, SNR seviyesi ile değişimi farklı gürültü belirsizliği değerleri için verilmiştir. Bu şekilden görüldüğü gibi, SNR arttıkça model derecesi kestirim hataları azalmaktadır. Bu azalma, gürültü belirsizliğinin büyük değerleri için de geçerlidir. 80

93 8 6 4 Model derecesi kestirim hatası db - db -1 db 0 db 1 db -10 db 3 db SNR [db] Şekil 6.10 Model derecesi kestirim hatasının SNR ile değişimi 6.4 Kestirilen Gürültü Varyansı ile Algılama Başarımı Gürültü varyansının RJMCMC algoritması ile üretilen örnekler kullanılarak kestirilmesi durumunda, önerilen Bayes algılayıcının başarımını incelemek amacıyla Monte Carlo benzetimleri yapılmıştır. Gürültü varyansı kestirilerek elde edilen güç spektrumu algılama başarımı, gürültü varyansının kesin bilindiği durumdaki algılama başarımı ile karşılaştırmalı olarak sunulacaktır. Bu amaçla, {,4, 0} db SNR seviyelerinin her birinde rasgele üretilen 1000 periodogram verisi için önerilen Bayes algılayıcı, gürültü varyansının kesin bilindiği ve kestirildiği durumlar için ayrı ayrı çalıştırılmıştır. Kullanılan periodogram verileri, bölüm 6.3 te verilen benzetim için üretilen verilerdir. Gürültü varyansının kestirilmesi durumunda algoritmanın yakınsama süresi artmaktadır. Bu nedenle, bölüm 6.3 te verilen benzetim parametrelerinden farklı olarak yineleme sayısı 0000, alıştırma örnekleri sayısı 5000 olarak seçilmiştir. Gürültü varyansının kesin bilindiği durumla eşit şartlar altında karşılaştırma yapabilmek için her iki durumda da kullanılan benzetim parametreleri ve önsel dağılım parametreleri aynı seçilmiştir. 81

94 1 10 Gerçek gürültü varyansı Kestirilen gürültü varyansı 8 Gürültü varyansı [db] SNR [db] Şekil 6.11 Farklı SNR seviyelerinde gerçek ve kestirilen gürültü varyansı değerleri σ için önsel parametre değeri η = 1 alınmıştır. Eşitlik (5.3) te tanımlanan alt ve üst sınır değerleri de gerçek gürültü varyansının en küçük değerinin -/+3 db altında veya üstünde olacak şekilde sırasıyla L σ = 0,05 ve H σ = 1,6 olarak seçilmiştir. SNR değişimi, bölüm 6.3 te verilen benzetimde olduğu gibi sabit sinyal gücü için gürültü varyansının değiştirilmesiyle sağlanmıştır. Bu nedenle artan SNR seviyesi, gürültü varyansının azalması anlamına gelir. Şekil 6.11 de artan SNR seviyesine karşı gürültü varyansının gerçek ve kestirim değerleri verilmektedir. Bu şekilden, gerçek ve kestirim değerleri arasındaki farkın, artan SNR seviyesi ile azaldığı görülmektedir. Şekil 6.1 de SNR değerlerine karşı gürültü gücünün bilindiği ve kestirildiği durumlar için MSE değerleri verilmiştir. Bu değerler, her SNR seviyesinde 1000 farklı periodogram verisi için hesaplanan MSE değerlerinin ortalaması alınarak bulunur. Şekil 6.1 den görüldüğü gibi, düşük SNR seviyeleri için gürültü varyansının kestirildiği durumda, MSE sinyal değeri azalırken, diğer taraftan MSE gürültü değeri artmaktadır. Bütün frekans hücreleri üzerinden tanımlanan MSE değerinin ise gürültü gücünün 8

95 MSE MSE - kesin gürültü gücü MSE - kestirilen gürültü gücü MSE sinyal - kesin gürültü gücü MSE sinyal - kestirilen gürültü gücü MSE gürültü - kesin gürültü gücü MSE gürültü - kestirilen gürültü gücü SNR Şekil 6.1 Farklı SNR seviyelerinde gürültü varyansının kesin bilindiği ve kestirildiği durumlar için eğri kestirimi başarımı bilindiği durum için daha küçük olduğu gözlenmektedir. SNR seviyesinin artması ile her iki durum için MSE değerlerinin azalarak sıfıra yaklaştığı görülmektedir. Gürültü gücünün kesin bilindiği ve kestirildiği durumlar için elde edilen spektrum kestirimleri üzerinde belirlenen farklı eşik seviyeleri ile her periodogram için algılama ve yanlış alarm oranları hesaplanmıştır. Her SNR seviyesinde 1000 farklı periodogram için hesaplanan algılama ve yanlış alarm oranlarının ortalaması alınarak oluşturulan ROC eğrileri şekil 6.13 te çizdirilmiştir. Bazı durumlarda gürültü varyansının gerçek değerinin altında kestirilmesi ile algılama başarımının bir miktar daha iyi çıktığı bu şekilden görülmektedir. Bu durum, bölüm 6.3. de bahsedildiği gibi, gürültü gücünün gerçek değerinin altında kestirilmesinin SNR seviyesinde yapay bir artışa neden olmasından kaynaklanmaktadır. Yüksek SNR seviyelerinde her iki durum için algılama başarımlarının yakın olduğu şekil 6.13 ten görülmektedir. 83

96 P d Artan SNR Kesin gürültü gücü Kestirilen gürültü gücü P f Şekil 6.13 Farklı SNR seviyelerinde gürültü varyansının kesin bilindiği ve kestirildiği durumlar için ROC eğrileri (SNR={,4,6,8,10} db aşağıdan yukarıya) RJMCMC algoritması ile gürültü varyansının kestirildiği durumda, yöntemin model derecesi kestirim başarımı incelenmiştir. Şekil 6.14 te db ve 0 db SNR seviyelerinde, gürültü gücünün kesin bilindiği ve kestirildiği durumlar için model derecesi kestirim hatası histogramları karşılaştırmalı olarak verilmiştir. Şekil 6.14 ten görüldüğü üzere, model derecesinin gerçek değerinden yüksek kestirilmesi olasılığı, gürültü gücünün kestirildiği durumda daha fazladır. Model derecesinin yüksek kestirilmesine neden olan etki, bölüm te gürültü belirsizliğinin etkisi incelenirken açıklanmıştı. Bu etkinin, artan SNR seviyesi ile birlikte azaldığı ve her iki durum için de model derecesi kestirimi başarımının arttığı şekil 6.14 ten görülmektedir. 84

97 Tekrarlanma sayısı Tekrarlanma sayısı Kesin gürültü gücü SNR = db Kestirilen gürültü gücü Model derecesi kestirim hatası (örnek) Kesin gürültü gücü SNR = 0 db Kestirilen gürültü gücü Model derecesi kestirim hatası (örnek) Şekil 6.14 SNR seviyesinin db (üstteki) ve 0 db (alttaki) değerleri için gürültü varyansının kesin bilindiği ve kestirildiği durumlarda model derecesi kestirim hatası histogramları 85

98 7. SONUÇ Bu tezde, radyo iletişim sinyallerinin geniş bantlı spektrumda izlenmesi amacıyla kullanılabilecek, yeni bir geniş bant spektrum algılama yaklaşımı geliştirilmiştir. Önerilen yöntemin farklı sinyal gürültü oranı ve gürültü belirsizliği değerleri için algılama ve kestirim başarımı, tanımlanan başarım ölçütlerine göre ölçülmüştür. İletişim parametreleri hakkında önsel bilgi olmaksızın spektrum algılama yapılabilmesi nedeniyle yöntem, düzensiz parçalı yapıdaki geniş spektrum bantlarında algılama yapması beklenen bilişsel radyolar için aday çözüm olarak değerlendirilmektedir. Spektrum algılama amacıyla önerilen RJMCMC algoritmasının artan yineleme sayısı ile algılama başarımının arttığı şekil 6.3 te gösterilmişti. Yöntemin yinelemeli yapısı, algılayıcıda başarım ve hesaplama karmaşıklığı arasında ödünleşim yapılmasına olanak sağlar. Bu karakteristik özellik, açık spektrum erişimi sistemleri için önemli bir avantaj sunar. Örneğin, sadece dolu bölgelerin elenmesi için spektrumun kaba bir gösterimi yeterli olduğunda daha az sayıda yineleme yapılırken, düşük güç seviyeli sinyallerin algılanması amaçlandığında daha çok sayıda yineleme yapılabilir. Analiz edilen geçmiş verilerden elde edilen spektrum karakteristiklerinin, gelecek veriler için hesaplama karmaşıklığını azaltmak veya öngörüm ve kestirim doğruluğunu artırmak amacıyla kullanılabildiği bölüm 6. de benzetimlerle gösterilmişti. Başarımı artırmak için elde edilen önsel bilginin kullanılabiliyor olması, bilişsel radyo ağları için önemli bir özelliktir. Bölüm 6. de yapılan incelemede önceki analizlerden elde edilen bilgi, gelecek analiz çerçevelerinde sadece RJMCMC algoritmasında başlangıç değerlerinin belirlenmesinde kullanılmış, önsel dağılım fonksiyonları değiştirilmemiştir. Güçlü bir önsel bilgi elde edildiğinde, önsel dağılım fonksiyonlarının ya da önsel dağılım parametrelerinin değiştirilmesiyle algılama başarımını ya da algoritmanın yakınsama hızını daha da artırmak mümkün olabilir. Gürültü varyansı, örnekleme tabanlı bir yaklaşımla kestirilmektedir. Gürültü varyansının kestirildiği durumda yöntemin algılama ve eğri kestirimi başarımlarının, gürültü varyansının bilindiği durumla yakın olduğu bölüm 6.4 te MSE ve ROC eğrileri ile gösterilmişti. Bu özelliği ile yöntem, gürültü gücünün doğru ölçülemediği ya da 86

99 zamanla değiştiği radyo iletişim kanallarında kullanılabilir. Ayrıca, gürültü varyansı kestirimi için geleneksel yöntemlerin aksine, sinyal bulunmayan bir kanal tespit edilmesi gerekliliğinin olmaması yöntemin bir avantajıdır. Önerilen yöntemin hayata geçirilmesi için izlenmesi gereken adımlar şöyle sıralanabilir: - Veriden başlangıç güç spektrumu kestirimi elde edilmesi - Parametrelerin ortak sonsal dağılımından örnekler üretilmesi - Spektrumun rasgele basamak fonksiyonları ile ifade edilmesi - Rasgele fonksiyonlardan yumuşatılmış bir kestirim elde edilmesi Bu tezde, başlangıç güç spektrumu kestirimi olarak periodogram kullanılmıştır. Bununla birlikte, önerilen yöntem farklı bir güç spektrumu kestirim yönteminin sonucu ile de başlatılabilir (örneğin Welch, MTM v.b.). Periodogram yumuşatma yöntemleriyle elde edilen spektrum kestirimleri için olasılık yoğunluk fonksiyonlarının türetilmesi konusunda çalışmalar yapılmıştır (Durrani ve Nightingale 1973, Durrani 1974, Johnson ve Long 1999). Olabilirlik fonksiyonu literatürde verilen dağılımlara göre düzenlendiğinde, algoritma kolaylıkla bu kestiriciler üzerinde de çalıştırılabilir. Ortak sonsal dağılımdan rasgele örneklerin üretilmesi için RJMCMC algoritması kullanılmıştır. Bununla birlikte, modeller ve karşılık gelen farklı boyutlu parametre uzayları arasında atlama yapabilen herhangi bir örnekleme yöntemi kullanılabilir. Ayrıca bölüm te güç spektrumu kestirimi, sonsal dağılımdan üretilen öneklerle oluşturulan basamak fonksiyonlarının basitçe ortalaması alınarak elde edilmişti. Ortalama alma işlemi, farklı yollarla da gerçekleştirilebilir. Örneğin, Markov zincirindeki yineleme sayısına göre ağırlık katsayıları ile çarpılarak ortalama alınabilir. Hesaplama karmaşıklığı açısından bakıldığında, olabilirlik fonksiyonunda hesaplanan Bessel fonksiyonu algoritmanın karmaşıklığını önemli ölçüde artırmaktadır. Bu fonksiyon için yaklaşım ya da başvuru çizelgesi (lookup table) kullanılmasıyla algoritmanın karmaşıklığı azaltılabilir. 87

100 Güç spektrumu kestiriminin istatistiksel modeli belirlenirken, zaman bölgesi gürültüsü Gauss dağılımlı kabul edilmiştir. Farklı karakteristikte kanallar söz konusu olduğunda gürültü modeli değişebilir. Örneğin, HF kanalı için gürültü Gauss biçimli değil, dürtüsel biçimlidir. Bu durumda, belirlenen uygun gürültü modeline göre güç spektrumu modelinin kurulması ve RJMCMC algoritmasında kullanılan olabilirlik fonksiyonunun türetilmesi gerekir. Bayes paradigmasının en önemli özelliklerinden biri, ilgilenilmeyen parametrelerin marjinalleştirme integrali yoluyla analizden çıkarılabilmesidir. Spektrum algılama probleminde gürültü varyansı, ilgilenilmeyen parametre olarak ele alınabilir. Ancak, olabilirlik ifadesinde Bessel fonksiyonunun argümanı olarak yer alan gürültü varyansı için marjinalleştirme integralinin analitik hesabı zor bir problemdir. Bu çalışmada gürültü varyansı, MCMC yöntemi ile kestirilmiştir. Bu tezde, tek bir bilişsel radyonun bulunduğu RF ortamının algılanması konusu ele alınmıştır. Gölgelenme, sönümlenme ve gürültü belirsizliği gibi etkilerin azaltılması amacıyla, bir ağ içerisinde bulunan çok sayıda bilişsel radyonun işbirlikçi algılama (cooperative sensing) yaklaşımı ile daha etkin bir algılama yapabileceği önerilmektedir (Ganesan ve Ye 007). Böyle bir ağ yapısında ortak karar verilebilmesi için bilişsel radyoların elde ettikleri kestirim sonuçlarını hızlı bir şekilde birbirlerine ya da ortak bir merkeze iletmeleri gerekir. Bu tezde önerilen algılama yöntemi işbirlikçi algılama yaklaşımında kullanılmak istendiğinde, RJMCMC algoritmasıyla bilinmeyen sinyal spektrumu kestirimi olarak elde edilen bir basamak fonksiyonu (örneğin, en son yinelemede elde edilen basamak fonksiyonu), diğer bilişsel radyolara iletilebilir. Böylece, az sayıda parametre ile spektrumun kaba bir kestirimi diğer kullanıcılarla paylaşılmış olur. Kestirilen model derecesinin 10 olduğu bir durum için 10 değişim noktası konumu, 11 bölüt yüksekliği, gürültü varyansı ve model derecesi kestirimleri ile birlikte toplam 3 değer iletilir. 88

101 KAYNAKLAR Abramowitz, M. and Stegun, I.A Handbook of mathematical functions, with formulas, graphs and mathematical tables. NY:Wiley 1046 p., New York. André-Obrecht, R A new statistical approach for automatic segmentation of continuous speech signals. IEEE Trans. Acoust., Speech, Signal Processing, vol. 36, no. 1, pp Andrieu, C. and Doucet, A Joint Bayesian model selection and estimation of noisy sinusoids via reversible jump MCMC. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 47, no. 10, pp Anonymous. 00. Federal Communications Commission. Spectrum Policy Task Force, Rep. ET Docket no Bartlett, M.S Periodogram analysis and continuous spectra. Biometrika, vol. 37, no. 1-, pp Basseville, M Edge detection using sequential methods for change in level - Part II: Sequential detection of change in mean. IEEE Trans. on Acoustics, Speech and Signal Processing, ASSP, vol. 9, no. 1, pp Bishop, C.M Pattern recognition and machine learning. Springer Science, 738 p., New York. Blackman, R.B. and Tukey, J.W The measurement of power spectra, from the point of view of communications engineering. Dover Publications, 190 p., New York. Brillinger, D.R Time series data analysis and theory, SIAM, 501 p., San Francisco. Cabric, D., Mishra, S.M. and Brodersen, R.W Implementation issues in spectrum sensing for cognitive radios. Conference Record of the Thirty-Eighth Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, vol. 1, pp Cabric, D., Tkachenko, A. and Brodersen, R.W Spectrum sensing measurements of pilot, energy, and collaborative detection. IEEE Military Communications Conference (MILCOM), pp Carlin, B.P., Gelfand, A.E. and Smith, A.F.M Hierarchical Bayesian analysis of changepoint problems. Applied Statistics, vol. 41, no., pp Chantaraskul, S. and Moessner, K Experimental study of multi-resolution spectrum opportunity detection using wavelet analysis. IEEE Symposium on New Frontiers in Dynamic Spectrum, pp

102 Chaudhari, S., Koivunen, V., Poor, H. V Autocorrelation-based decentralized sequential detection of OFDM signals in cognitive radios. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 57, no. 7, pp Chen,H.S., Gao, W., Daut, D. G Spectrum sensing for OFDM systems employing pilot tones. IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 8, no. 1, pp Cui, T., Tang, J., Gao, F. and Tellambura, C Blind spectrum sensing in cognitive radio. IEEE Wireless Communications and Networking Conference (WCNC), pp Datla, D., Rajbanshi, R., Wyglinski, A.M. and Minden, G.J Parametric adaptive spectrum sensing framework for dynamic spectrum access networks. nd IEEE International Symposium on New Frontiers in Dynamic Spectrum Access Networks DySPAN, pp Datla, D., Rajbanshi, R., Wyglinski, A.M. and Minden, G.J An adaptive spectrum sensing architecture for dynamic spectrum access networks. IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 8, no. 8, pp Denison, D.G.T., Mallick, B.K. and Smith, A.F.M Automatic Bayesian curve fitting. Journal of Royal Statistical Society B, vol. 60, no., pp Durrani, T.S. and Nightingale, J.M Probability distributions for discrete Fourier spectra. Proceedings of IEEE, vol. 10, no., pp Durrani, T.S Joint Density functions for digital spectra. IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol., no. 5, pp Eslami, M. and Sadough, S.M.-S Wideband spectrum sensing for cognitive radio via phase-field segmentation. 6th Conference on Wireless Advanced (WiAD), pp Ganesan, G. and Ye, Li Cooperative Spectrum Sensing in Cognitive Radio, Part I: Two User Networks. IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 6, no. 6, pp Gardner, W.A Signal interception: A unifying theoretical framework for feature detection. IEEE Transactions on Communications, vol. 36, no. 8, pp Gelfand, A.E. and Smith, A.F.M Sampling-based approaches to calculating marginal densities. Journal of the American Statistical Association, vol. 85, no. 410, pp Gelfand, A.E., Hills, S.E., Racine-Poon, A. and Smith, A.F.M Illustration of Bayesian inference in normal data models using Gibbs sampling. Journal of the American Statistical Association, vol. 85, no. 41, pp

103 Gilks, W. R., Richardson, S. and Spiegelhalter, D. J Introducing Markov chain Monte Carlo. In Markov Chain Monte Carlo in Practice, Eds W. R. Gilks, S. Richardson and D. J. Spiegelhalter, Ch. 1. London: Chapman & Hall. Gorcin, A., Qaraqe, K.A., Celebi, H. and Arslan, H An adaptive threshold method for spectrum sensing in multi-channel cognitive radio networks. IEEE 17th International Conference on Telecommunications, pp Green, P.J Reversible jump Markov Chain Monte Carlo computation and Bayesian model determination. Biometrika, vol. 8, no. 4, pp Hamada, M.S., Wilson, A.G., Reese, C.S. and Martz, H.F Bayesian reliability. Springer Series in Statistics, 436 p., New York. Hastings, W.K Monte Carlo sampling methods using Markov chains and their applications. Biometrika, vol. 57, no.1, pp Haykin, S Cognitive radio: Brain-empowered wireless communications. IEEE Journal on Selected Areas in Communications, vol. 3, no., pp Haykin, S., Thomson, D.J. and Reed, J. H Spectrum sensing for cognitive radio. Proceedings of the IEEE, vol. 97, no. 5, pp Hicks, S. G., Abdella, R. M. and Shah, A. K Method for reducing control channel scan time. U.S. Patent Hossain, K. and Champagne, B Wideband spectrum sensing for cognitive radios with correlated subband occupancy. IEEE Signal Processing Letters, vol. 18, no. 1, pp Hur, Y., Park, J., Woo, W., Lim, K., Lee, C.-H., Kim, H.S. and Laskar, J A wideband analog Multi-Resolution Spectrum Sensing (MRSS) technique for Cognitive Radio (CR) systems. Proceedings of IEEE International Symposium on Circuits and Systems, pp Jeffreys, H Theory of probability. Oxford university press. 1st ed. Ji, L.Y. and Gao, M.G Noise variance estimation based on order statistics in channelized receiver. IET International Radar Conference, pp Johnson, P.E. and Long, D.G The probability density of spectral estimates based on modified periodogram averages. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 47, no. 5, pp Johnson, T.D., Elashoff, R.M. and Harkema, S.J A Bayesian change-point analysis of electromyographic data: detecting muscle activation patterns and associated applications. Biostatistics, vol. 4, no. 1, pp

104 Jordan, M.I Learning in graphical models, MIT Press Kluwer Academic Publishers, 634p., Netherlands. Joshi, D.R., Popescu, D.C. and Dobre, O.A Adaptive spectrum sensing with noise variance estimation for dynamic cognitive radio systems., 44th Annual Conference on Information Sciences and Systems (CISS), pp Kim, K., Akbar, I.A., Bae, K.K., Urn, J-S, Spooner, C.M. and Reed, J.H Cyclostationary approaches to signal detection and classification in cognitive radio. nd IEEE International Symposium on New Frontiers in Dynamic Spectrum Access Networks (DySPAN), pp Larocque, D.R. and Reilly, J.R Wide band channel characterisation in coloured noise using the reversible jump MCMC. Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol. 4, pp Lopez-Valcarce, R. and Vazquez-Vilar, G Wideband spectrum sensing in cognitive radio: Joint estimation of noise variance and multiple signal levels. IEEE 10th Workshop on Signal Processing Advances in Wireless Communications, pp MacKay, D Introduction to Monte Carlo methods. In Learning in graphical models., MIT Press, pp , Cambridge. Mallick, B.K Bayesian curve estimation by polynomial of random order. Journal of Statistical Planning and Inference, vol. 70, pp McHenry, M. A NSF Spectrum Occupancy Measurements Project Summary. Shared Spectrum Company Report. Metropolis, N., Rosenbluth, A.W., Rosenbluth, M.N., Teller, A.H. and Teller, E Equations of state calculations by fast computing machine. Journal of Chemical Physics, vol. 1, pp Mitola, J. and Maguire, G. Q Cognitive radio: Making software radios more personal. IEEE Personal Commun. Mag., vol. 6, no. 4, pp Neal, R.M Probabilistic inference using Markov Chain Monte Carlo methods. Technical Report CRG-TR, University of Toronto, 140 p., Toronto. Nikiforov, I. V., Tikhonov I.N Application of change detection theory to seismic signal processing. LNCIS 77, pp Öztürk, F. ve Özbek, L Matematiksel modelleme ve simülasyon, Gazi Kitabevi, 356 s., Ankara. Öztürk, F., Akdi, Y., Aydoğdu, H. ve Karabulut, İ Parametre tahmini ve hipotez testi, Bıçaklar Kitabevi, 99 s., Ankara. 9

105 Paysarvi Hoseini, P. and Beaulieu, N.C An optimal algorithm for wideband spectrum sensing in cognitive radio systems. IEEE International Conference on Communications, pp Phang, W. M., Mckinney, J. K. and Vu, D Method and apparatus for reducing scan time in a radio receiver. U.S. Patent Priestley, M.B Spectral analysis and time series, Academic Press, 877 p., London. Proakis, J.G Digital communications, Fourth edition, McGraw-Hill, 100 p., New York. Punskaya, E., Andrieu, C., Doucet, A. and Fitzgerald, W.J. 00. Bayesian curve fitting using MCMC with applications to signal segmentation. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 50, no. 3, pp Quan, Z., Cui, S. and Sayed, A.H An optimal strategy for cooperative spectrum sensing in cognitive radio networks, IEEE Global Telecommunications Conference GLOBECOM '07, pp Quan, Z., Cui, S., Sayed, A.H. and Poor, H.V Wideband spectrum sensing in cognitive radio networks. IEEE International Conference on Communications, pp Quan, Z., Cui, S. Sayed, A.H. and Poor, H.V Optimal multiband joint detection for spectrum sensing in cognitive radio networks. IEEE Transactions on Signal Processing, vol. 57, no. 3, pp Ross, S. M Introduction to probability models, Elsevier Science, Nineth Edition, 78 p., UK. Roberts, G. O Markov chain concepts related to samping algorithms. In Markov Chain Monte Carlo in Practice, Eds W. R. Gilks, S. Richardson and D. J. Spiegelhalter, Ch.3, Chapman and Hall, London. Ruanaidh, O. J. J. K. and Fitzgerald, W.J Numerical Bayesian methods applied to signal processing. Springer, 78 p., New York. Schellinger, M. J. and Poppert, D. C Method for reducing channel scanning time. U.S. Patent Shen, J., Liu, S., Wang, Y., Xie, G., Rashvand, H.F. and Liu, Y Robust energy detection in cognitive radio. IET Communications, vol. 3, no. 6, pp So, H.C., Chan, Y.T., Ma, Q. and Ching, P.C Comparison of various periodograms for sinusoid detection and frequency estimation. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 35, no. 3, pp

106 Sonnenschein, A. and Fishman, P.M Radiometric detection of spread-spectrum signals in noise of uncertain power. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, vol. 8, no. 3, pp Stephens, D.A Bayesian retrospective multiple-changepoint identification. Applied Statistics, vol. 43, no. 1, pp Suparman, S., Doisy, M. and Tourneret, J.-Y. 00. Changepoint detection using reversible jump MCMC methods. IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, vol., pp Taherpour, A., Gazor, S. and Nasiri-Kenari, M Wideband spectrum sensing in unknown white Gaussian noise. IET Communications, vol., no. 6, pp Taherpour, A., Nasiri-Kenari, M. and Gazor, S Invariant wideband spectrum sensing under unknown variances. IEEE Transactions on Wireless Communications, vol. 8, no. 5, pp Tandra, R. and Sahai, A Fundamental limits on detection in low SNR under noise uncertainty. International Conference on Wireless Networks, Communications and Mobile Computing, vol. 1, pp Tandra, R. and Sahai, A SNR walls for signal detection. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, vol., no. 1, pp Taşcıoğlu, S. and Üreten, O Bayesian wideband spectrum segmentation for cognitive radios. Computer Communications and Networks, ICCCN 009, Proceedings of 18th International Conference on, pp Taşcıoğlu, S., Üreten, O. and Telatar, Z Impact of noise power uncertainty on the performance of wideband spectrum segmentation. A Special Issue on Cognitive radio communications and software defined radio, Radioengineering, vol. 19, no. 4, pp Therrien, C. W Discrete Random Signals and Statistical Signal Processing. Prentice Hall, 77 p., New Jersey. Thomson, D.J Spectrum estimation and harmonic analysis. Proceedings of the IEEE, vol. 70, no. 9, pp Tian, Z. and Giannakis, G.B A wavelet approach to wideband spectrum sensing for cognitive radios. Cognitive Radio Oriented Wireless Networks and Communications 1st International Conference on, pp Tierney, L Introduction to general state-space Markov chain theory. In Markov Chain Monte Carlo in Practice, Eds W. R. Gilks, S. Richardson and D. J. Spiegelhalter, Ch. 4, Chapman and Hall, London. 94

107 Üreten, O. and Taşcıoğlu, S Autocorrelation properties of OFDM timing synchronization waveforms employing pilot subcarriers. EURASIP Journal on Wireless Communications and Networking, 14 p. Urkowitz, H Energy detection of unknown deterministic signals. Proceedings of the IEEE, vol. 55, no. 4, pp Üreten, O Telsiz vericilerinin açılma geçici rejim işaretlerinin algılanması, modellenmesi ve sınıflandırılması. Doktora tezi. Ankara Üniversitesi, 140 s., Ankara. Wan, C.R., Goh, J.T. and Chee, H.T Optimal tonal detectors based on the power spectrum. IEEE Journal of Oceanic Engineering, vol. 5, no. 4, pp Welch, P.D The use of fast Fourier transform for the estimation of power spectra: A method based on time averaging over short, modified periodograms. IEEE Transactions on Audio and Electroacoustics, vol. 15, no., pp Yücek, T. and Arslan, H A survey of spectrum sensing algorithms for cognitive radio applications. IEEE Communications Surveys & Tutorials, vol. 11, no.1, pp

108 EKLER EK 1 Spektrum Kullanımı Ölçüm Sonucu 97 EK Y X = e Dönüşümü için Olasılık Yoğunluk Fonksiyonunun Elde Edilmesi 98 EK 3 Yüksekliği Değiştirerek İlerleme için Kabul Olasılığı 99 EK 4 Konumu Değiştirerek İlerleme için Kabul Olasılığı 100 EK 5 Değişim Noktası Ekleyerek İlerleme için Önsel Oran 101 EK 6 σ Parametresi Öneri Dağılımı 10 EK 7 Bazı Türkçe Terimlerin İngilizce Karşılıkları

109 EK 1 Spektrum Kullanımı Ölçüm Sonucu Farklı altı bölgede yapılan ölçümlerin ortalaması alınarak elde edilen 30MHz-3GHz frekans aralığındaki spektrum kullanımı (McHenry 005). 97