OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DENGELEME HESABI DERS NOTLARI BÖLÜM 1-2

Transkript

1 OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ GEOMATİK MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ DENGELEME HESABI DERS NOTLARI BÖLÜM 1- Doç.Dr.Erol YAVUZ İstanbul 01

2 HATA KURAMI Jeodezik Amaçlı Ölçüler ve Hataları Dengeleme hesabının konusu, çeşitli amaçlar için yapılan ölçümler sonucunda elde edilen ölçülerdir. Geomatik mühendisi gözlem yapar, gözlemler sonucunda elde ettiği ölçüleri ön işlemlerden geçirir, dengeler, irdeler ve yorumlar. Bu nedenle ölçme süreci çok iyi kavranmalıdır. Ölçme uzunluk, açı, yükseklik farkı vb. büyüklüklerin gözlenmesini gerektirdiğinden, ölçü ve gözlem sözcükleri çoğu zaman eş anlamda kullanılır. Ölçme, merkezlendirme, düzeçleme, hedefleme ve okuma gibi çok sayıda sıralı işlemlerden oluşur. Tüm bu işlemlerin sonucunda aranan büyüklüğe ilişkin sayısal bir değer elde edilir. Ölçme sırasınca meydana gelen değişimler örneğin, sıcaklık değişimi ölçülerin değişmesine neden olur. Ölçüler sıcaklık değişimlerinin etkilerinden arındırılsa bile kullanılan aletin yeterli duyarlıkta olmayışı ve gözlemcinin duyu organlarının sınırlı algılama gücü nedeniyle hiçbir ölçü hatasız değildir. Ölçmenin gerçekleştirilmesindeki sıralı işlemlerde ortaya çıkan küçük değişim ölçülerde de değişime neden olur. Buna göre ölçme ya da ölçülerdeki değişim, ölçme sürecindeki sıralı basit işlemlerin doğal bir sonucudur. Ölçme koşulları değişmese bile bu geçerlidir. Başka bir deyişle, bir büyüklük aynı koşullar altında çok sayıda ölçülse bile ölçüler birbirinden az ya da çok farklı olur. Aranan bir büyüklüğün gerçek değeri özen gösterilse de ölçüler yardımıyla belirlenememektedir. Çünkü hiçbir ölçü hatasız değildir. Ölçü hataları kaçınılmazdır. Bunun nedeni insanların duyu organlarının algılama gücündeki sınırlılık, ölçü aletlerinin yeterli hassasiyeti sağlamaktaki yetersizlikleri v.b olumsuzluklardır. Bu nedenle ölçüler yardımıyla bir büyüklüğün beklenen ya da gerçek değerini belirlemek mümkün değildir. Söz konusu bu büyüklük için yalnızca bir kestirim değeri yani yaklaşık değer elde edilir. Bir ölçünün beklenen değerden farkına ölçü hatası denir. Beklenen değer çoğu zaman bilinmediğinden onun yerine kestirim değeri kullanılır. Hata Türleri Oluşumları bakımından hatalar başlıca 3 grupta toplayabiliriz; Kaba hatalar : Beklenen rasgele ölçü hatalarını çok aşan büyüklükteki ortaya çıkan hatalardır. Uzunluk ölçümünde yapılan metre hatası, açı ölçümünde yapılan gon (grad) hatası, geometrik nivelmanla yükseklik farkı ölçümünde yapılan dm hatası, yanlış noktaya gözlem yapılması durumunda ortaya çıkan hatalar vb. bu türden hatalardır. Bu tür hataları ortaya çıkarmak için ölçüler iki ya da daha çok sayıda gözlenir. Bu şekilde kaba hata denetimi yapılmış olur. Bir ölçü dizisinde diğerlerinden dikkate değer ölçüde sapan ölçülerden kuşkulanılır. Bu tür küçük kaba hatalı, yani uyuşumsuz ölçüleri ortaya çıkarmak amacıyla genellikle istatistiksel test yöntemleri uygulanır. Uyuşumsuz olduğuna karar verilen ölçüler ölçü kümesinden

3 çıkarılır ve gerekirse bu ölçüler yeniden ölçülür. Dengeleme sonuçlarını uyuşumsuz ölçülerin etkisinden arındırmanın bir diğer yolu da robust kestirimidir. Düzenli (sistematik) hatalar Ölçüleri düzenli ve çoğunlukla kurallı bir biçimde etkileyen hatalardır. Nivelmanda miradaki ölçek hatası, çelik şerit metredeki sıfır noktası hatası, teodolitlerin açı bölüm dairelerindeki bölümlendirme hatası, elektronik uzaklık ölçerlerin ayar hataları (örneğin frekans hatası), nivelmanda kırılmanın (refraksiyonun) etkileri, ÇŞM ile uzunluk ölçümünde doğrultudan sapma, sıcaklık değişiminin çelik şerit metrenin uzunluğuna etkisi, barometrik yükseklik ölçümünde hava basıncının zamana bağlı değişimlerinin neden olduğu hatalar düzenli hatalardır. Düzenli hataların ayırt edici özellikleri, değişmeyen koşullar altında eşit büyüklükler olarak ortaya çıkmalarıdır. Fiziksel gerçeği yansıtmayan basit matematiksel model (örneğin nivelmanda kırılmanın dikkate alınmaması, ÇŞM ile uzaklık ölçümünde sıcaklık değişiminin dikkat alınmaması) hataları da düzenli hata niteliğindedir; bunlara model hatası adı verilir. Düzenli hatalar çoğunlukla belirlenemez. Ölçü aletleri ayarlanarak ve uygun ölçme yöntemleri kullanılarak etkileri azaltılabilir. Düzenli hataların belirlenmesi durumunda ölçüler düzeltilmelidir. Rasgele hatalar Ölçü hatalarının en önemli bölümünü ve dengeleme hesabının konusunu oluşturan rasgele hatalar düzensiz olarak ortaya çıkar. Bir ölçüye ait rasgele hatanın büyüklüğü ve işareti önceden kestirilemez. Bu hatalar, ölçme aletlerinin yetersizliği, gözlemcinin algılama gücünün sınırlı olması ve sıcaklık, rüzgar ve basınç gibi dış etkenlerin değişken olmasının doğal sonucudur. Bir ölçünün rasgele hatası çoğunlukla çok sayıda rasgele hataların toplamından oluşur. Örneğin bir doğrultu ölçüsünün hatası, hedefleme, merkezlendirme, düzeçleme, okuma ve bölüm dairesi hatalarının toplamına eşittir. Bir büyüklüğe ilişkin rasgele ve düzenli hataların toplamına toplam hata adı verilir. Rasgele hatalar, istatiksel anlamda belli bir olasılığa sahip değişkenlerdir; büyüklük ve işaretleri ile ilgili olarak önceden bir kestirim yapılamaz. Fazla sayıda ölçü yapılması durumunda rasgele hataların dağılımı ortaya konulabilir. Dengelemeye konu olacak ölçüler kaba ve düzenli hataların etkilerinden arındırılmış olmalıdır. Ölçülerin ya da rasgele hataların dağılımı için uygun ölçüt tanımlanmalıdır. Bunun için bir ölçünün doğruluk derecesini gösteren ve matematiksel istatistikte dağılım ya da doğruluk ölçütü olarak tanımlanan standart sapma dikkate alınır. Dengeleme hesabı ya da en küçük kareler yöntemine göre parametre kestiriminde genellikle Gauss un ortaya koyduğu ilkelere göre tanımlanan Ortalama Hata (m) rasgele hatalar yanında düzenli hata etkilerini de içerirken, Standart Sapma yalnızca rasgele hata etkilerini içerir. Buna göre bir parametrenin kestirim değerinin karesel ortalama hatası (m ), varyansından (σ ) daha büyüktür. m = σ + (düzenli hata) En küçük kareler yöntemine göre parametre kestirimi ölçülerin normal dağılımlı olduğu varsayımına dayanmakta, en azından uygun ölçme ve değerlendirme yöntemleri uygulanarak yaklaşık normal

4 dağılımlı olması sağlanmakta ve parametre kestirimleri düzenli hata etkilerinden olabildiğince arındırılmaktadır. Bir parametrenin kestirim değerine yansıyan düzenli hata etkisini belirleme olanağı da genellikle bulunmamaktadır. Standart sapma artı işaretli olmasına karşın, eksi ve artı işaretli hata olasılıkları eşit olduğundan ortalama hatanın sayısal değerinin önüne ± işareti konulmaktadır. Standart sapma ya da ortalama hata, rasgele hata değişkeni ε i sapmalarının kareleri toplamının aritmetik ortalamasına eşittir. σ = [εε] n n Sonsuz sayıda ölçü (olanaklı tüm sonuçlar) ölçü kümesini oluşturur. Bu verilerle ölçü kümesinin parametreleri; μ beklenen değeri ve σ standart sapması elde edilir. Sınırlı büyüklükteki bir ölçü dizisi kümesinden rasgele seçilen bir örnektir. Örnek verileriyle ölçü kümesinin parametreleri için kestirim değerleri hesaplanır. Uygulamada sınırlı sayıda ölçü ile yetinilir, bu nedenle gözlenen büyüklüklerin gerçek ya da beklenen değerlerini belirleme olanağı bulunmadığından gerçek düzeltmeler belirsiz kalır ve bunların yerine kestirim değerleri kullanılır. Sonlu ölçme kümelerine ilişkin standart sapma ε i ya da v i düzeltmelerinin bir fonksiyonudur. s = [εε] n n s = [vv] n 1 n (n için s σ ) Standart sapmadan dönüştürülen başka doğruluk ölçütleri de vardır. Bağıl standart sapma (bağıl hata) : Standart sapması σ x olan bir X büyüklüğünün bağıl standart sapması, σ x X olarak tanımlanır. Bağıl standart sapma kavramı genellikle elektronik uzaklık ölçerlerde olduğu gibi standart sapmanın ölçülen büyüklüğe bağlı olduğu durumlarda kullanılır. Örnek : standart sapması σ = ±1cm olan 1000m lik bir uzunluğun ölçümündeki bağıl hatayı hesaplayınız. σ = ±1cm = 0.01 = l 1000m 1000 ±10 5

5 Nokta konum standart sapması (nokta konum hatası) : Koordinat standart sapmaları σ x ve σ y olan düzlemdeki bir P noktasının konum hatası, σ P = σ x + σ y ve koordinat sapmaları σ x, σ y ve σ z olan üç boyutlu uzaydaki bir P noktasının konum hatası, σ P = σ x + σ y + σ z olarak ifade edilir. Olası Hata (r) Tüm hataların mutlak değerleri büyüklüklerine göre sıralanırsa ortada olan hataya olası hata denir. r = ± ε n+1 n tek sayı ise r = ± 1 [ ε n ] n çift sayı ise + ε n+1 Mutlak hatalar ortalaması (t) Tüm ε i lerin basit aritmetik ortalamasına eşittir. t = ± ε 1 + ε + + ε n n = [ ε n ] n Örnek : Uzunluğu m olan bir poligon kenarı bir total stationla 10 kez ölçülmüştür. Ölçüler (L i ) kaba ve düzenli hatalardan arındırılmış olarak çizelgede verilmiştir. Buna göre gerçek değeri, ölçülen uzunluğun en uygun tahmin değerini, gerçek hataları ve düzeltmeleri hesaplayınız. i L i Bu ölçü dizisinde gerçek değer η = m dir. Çoğu zaman gerçek değer bilinmez, bunun yerine en uygun tahmin değeri X kullanılır. Ölçü sayısı çok büyük ( ) olduğunda X, gerçek değer η ile çakışır. Başka bir deyişle X in umut değeri;

6 E{X } = η olur. i L i ε i = η L i mm v i = X L i mm X = L 1+L + +L i i = m i = 1,,., 10 Örnek : Bir uzunluğun kesin değeri η = m olarak bilinmektedir. Bu uzunluk 10 kez ölçülmüş ve çizelgedeki ölçü değerleri elde edilmiştir. Bu ölçü dizisi için değişik hata ölçütlerini hesaplayınız. i L i i L i ε i = η L i mm v i = X L i mm [v] = 1 [εε] = 370 [vv] = 360 εε vv a) n=10 standart sapma ve ortalama hata σ = ± [εε] n = = ±6.1mm m = ± [vv] n 1 = = ±6.3mm

7 b) Olası hata ε r = = ± c) Mutlak hatalar ortalaması t = ± [ ε ] n = ± = ±4.6mm d) Göreli (bağıl) hata ± σ l = 6.1mm m = Kovaryans ve Korelasyon Kovaryans, iki rasgele değişken arasındaki korelasyonu (ilişkiyi) ya da bağımlılığı gösteren bir parametredir. x ve y normal dağılımlı iki rasgele değişken; xεn(μ x, σ x ) ve yεn(μ y, σ y ) olsun. X ve y arasındaki kovaryans σ xy, σ xy = E ((x μ x )(y μ y )) olarak tanımlanır. Kovaryans artı, eksi işaretli herhangi bir değer ve sıfır olabilir. σ xy artı işaretli ise x ve y rasgele değişkenleri artı korelasyonlu, eksi işaretli ise eksi korelasyonludur. σ xy = 0 ise x ve y arasında korelasyon yoktur; yani değişkenler birbirinden bağımsızdır. x ve y rasgele değişkenleri standartlaştırılırsa bunların çarpımlarının beklenen değerine korelasyon katsayısı adı verilir. Buna göre korelasyon katsayısı ρ xy, ρ xy = E ( x μ x σ x y μ y σ y ) = σ xy σ x σ y dir. σ x ve σ y daima artı işaretli olduğundan korelasyon katsayısının işareti, σ xy kovaryansının işaretine bağlıdır; artı ya da eksi olabilir. ρ xy birimsiz bir büyüklüktür. -1 ie +1 aralığında değerler alır.

8 1 ρ xy +1 Kovaryans her değeri alabildiğinden uygun bir korelasyon ölçütü değildir. Korelasyonun derecesi hakkında bilgi vermez. Bundan dolayı korelasyon ölçütü olarak standartlaştırılmış kovaryans olan korelasyon katsayısı kullanılır. ρ xy = ±1 ise x ve y arasında tam bir doğrusal ilişki vardır; biri ötekinin bir doğrusal fonksiyonu biçiminde gösterilebilir. Korelasyon katsayısının sayısal değeri küçükse (sıfıra yakın) x ve y arasında zayıf, ±1 e yakınsa kuvvetli doğrusal ilişki söz konusudur. x ve y büyüklüklerinin n sayıda ölçülmüş olması durumunda yukarıda verilen parametrelerin yaklaşık değerleri elde edilir. Ölçülen büyüklüklerin beklenen değerleri μ x ve μ y ; ölçüler L xi ve L yi (i=1,,.., n) olsun. ε xi = μ x L xi ve ε yi = μ y L yi gerçek düzeltmelerinin oluşturduğu vektörler ε x = [ε x1 ε x. ε xn ] T ve ε y = [ε y1 ε y. ε yn ] T kovaryanslar için; olduğuna göre deneysel varyans ve s x = ε x T ε x n s y = ε y T ε y n s xy = ε x T ε y n eşitlikleri geçerli olur. ε xi ve ε yi sapmaları rasgele hatalar ile fiziksel etkiler toplamına eşittir. Ölçülen büyüklüklerin beklenen değerleri bilinmiyorsa varyans ve kovaryanslar düzeltmeler yardımıyla belirlenir. L xi ölçülerinin aritmetik ortalaması x ve L yi ölçülerinin aritmetik ortalaması y ise v xi = x L xi ve v y = y L yi düzeltmelerinin oluşturduğu v x = [v x1 v y = [v y1 v y. v yn ] T vektörleri yardımıyla varyanslar ve kovaryans, s x = 1 n 1 v x T v x s y = 1 n 1 v y T v y s xy = 1 n 1 v x T v y eşitlikleriyle bulunur. Buna göre deneysel korelasyon katsayısı r xy, v x. v xn ] T ve r xy = s xy s x s y 1 r xy +1 elde edilir. L xi ve L yi ölçüleri arasında korelasyon yoksa düzeltmelerden dönüştürülen varyans ve kovaryanslar gerçek düzeltmelerden dönüştürülenler ile özdeş olur. Kovaryans Matris Bu matrisin köşegen elemanlarının beklenen değerlerinin x i rasgele değişkenlerinin varyansları, σ i = E((x i μ i ) ) köşegeni dışındaki elemanların beklenen değerlerinin x i ve x k rasgele değişkenleri arasındaki kovaryanslar, E((x i μ i ) (x k μ k )) = σ ik Ve σ ik = σ ki olduğu göz önüne alınırsa,

9 σ 1 σ 1. σ 1n C xx = σ 1 σ. σ n [ σ 1n σ n.. σ n ] matrisi elde edilir. C xx matrisine x vektörünün varyans-kovaryans matrisi, kısaca kovaryans matrisi adı verilir. x 1, x,., x n rasgele değişkenleri arasında korelasyon yoksa C xx kovaryans matrisi bir köşegen matrise (varyans matrisi) dönüşür. σ σ. 0 C xx = = diag(σ 1 σ.. σ n ) [ σ n ] Bir ölçünün varyansı küçükse doğruluğu yüksek, büyükse doğruluğu düşük anlamına gelir. Yani doğruluk derecesi varyans büyüklüğü ile ters orantılıdır. Bu yüzden doğruluk ölçütü olarak varyanslar yanında onların tersleriyle orantılı, ağırlık adı verilen başka büyüklükler de kullanılır. Bu tanım uyarınca, ağırlığı büyük olan bir ölçünün doğruluğu yüksek ve ağırlığı küçük olanın doğruluğu düşük olur. Varyansı σ i olan bir ölçünün ağırlığı P i için tanıma uygun olarak, P i = σ 0 σ i (σ 0 sabit) yazılabilir. Bir ölçünün ağırlığı σ i = σ 0 ise ağırlığı 1 e eşit olur. Bu nedenle σ 0 büyüklüğüne birim ağırlıklı ölçünün varyansı adı verilir. σ 0 varyansı için varyans faktörü, birim ağırlıklı varyans, öncül varyans ya da referans varyans adları da kullanılmaktadır. Bağımsız (korelasyonsuz) x 1, x,., x n ölçülerinin ağırlıkları, P 1 = σ 0 σ 1, P = σ 0 σ,., P n = σ 0 σ n bir köşegen matrisin köşegen elemanları olarak yazılırsa, P P. 0 P xx = = diag( P 1 P.. P n ) [ P n ] elde edilir. Bu matrise bağımsız ölçüler için ağırlık matrisi adı verilir. Bağımsız ölçüler için geçerli C xx kovaryans matrisi ile bağımsız ölçülerin P xx ağırlık matrisi arasında, P xx = σ 1 0 C xx

10 ilişkisinin var olduğu açıkça görülmektedir. C xx = σ 1 0 P xx Bu eşitlik, Korelasyonlu x 1, x,.., x n rasgele değişkenleri ya da ölçülerinin C xx kovaryans matrisi ile P xx ağırlık matrisi içinde geçerlidir. Ancak bu durumda C xx matrisinin köşegeni dışındaki elemanların sıfırdan farklı olması nedeniyle σ 1 0 C xx matrisinin köşegen elemanları genel olarak ağırlıklara eşit olmaz. P 11 P 1. P 1n P 1 P. P n P xx = σ 0 C xx = [ P 1n P n.. P nn ] (P ii P i ) σ 1 σ 1. σ 1n C xx = σ 1 σ. σ n [ σ 1n σ n.. σ n ] katsayıları (kofaktör) matrisi, kovaryans matrisi, birim ağırlıklı varyans ile bölünürse ağırlık Q 11 Q 1. Q 1n Q 1 Q. Q n Q xx = 1 σ C xx = 0 [ Q 1n Q n.. Q nn ] Q ii = 1 P i = σ i σ 0 Q ik = σ ik σ 0 (ağırlık katsayıları ya da kofaktörler) elde edilir. Q xx ile C xx arasında σ 0 çarpanı oranında fark olduğundan Q xx e bağıl kovaryans matris de denir. Q 1 xx = σ 1 0 C xx nedeniyle, P xx = Q 1 xx = σ 1 0 C xx Q xx = P xx 1 = 1 σ 0 C xx ilişkisi çıkar. σ i = σ 0 Q ii σ k = σ 0 Q kk σ ik = σ 0 Q ik bağıntıları göz önüne alınırsa ρ ik korelasyon katsayısı için ağırlık katsayılarına bağlı, ρ ik = σ ik σ i σ k = Q ik Q ii Q kk eşitliği elde edilir.

11 Örnek : Şekildeki üçgende α 1, α ve α 3 açıları α 1 ± 10 cc, α ± 0 cc ve α 3 ± 30 cc duyarlıkları ile verilmiştir. Buna göre açıların ağırlıklarını bulunuz. σ 0 = 10 cc seçelim. P i = σ 0 σ i P 1 = = 1 P = 10 0 = 0.5 P 3 = = 0.11 σ 0 = 0 cc seçelim. P i = σ 0 σ i P 1 = 0 10 = 4 P = 0 0 = 1 P 3 = 0 30 = 0.44 σ 0 = 30 cc seçelim. P i = σ 0 σ i P 1 = = 9 P = 30 0 =.5 P 3 = = 1 Ağırlıklar arasında sabit bir oran söz konusudur. Hata Yayılma Kuralları Yeryüzünde doğrultu, uzunluk, açı vb. elemanlar doğrudan gözlenir ve ilgilenilen diğer büyüklükler ölçülerin matematiksel fonksiyonları biçiminde hesaplanır. Ölçüler hatalı olduğundan onlardan dönüştürülen büyüklüklerde hatalı olur. Ölçü hatalarının ölçülerin fonksiyonlarını nasıl etkilediğini gösteren bağıntıya hata yayılma kuralı adı verilir. L 1, L ve L 3 ölçülerinin (rasgele değişken) doğrusal iki fonksiyonu, y 1 = a 0 + a 1 L 1 + a L + a 3 L 3 y = b 0 + b 1 L 1 + b L + b 3 L 3 olsun. a k ve b k (k=0, 1,, 3) katsayılarının bilinen hatasız büyüklükler olduğunu varsayalım. Ölçüler yerine düzeltilmiş (beklenen) değerleri; L i + ε i (i=1,, 3) yazılırsa fonksiyonların düzeltilmiş (beklenen) değerleri; y 1 + ε y1, y + ε y çıkar; y 1 + ε y1 = a 0 + a 1 (L 1 + ε 1 ) + a (L + ε ) + a 3 (L 3 + ε 3 ) y + ε y = b 0 + b 1 (L 1 + ε 1 ) + b (L + ε ) + b 3 (L 3 + ε 3 ) Verilen fonksiyonların yukarıdaki eşitleri göz önüne alınarak gerçek düzeltmeler ya da bunların ters işaretlisi olan gerçek hatalar için, ε y1 = a 1 ε 1 + a ε + a 3 ε 3

12 ε y = b 1 ε 1 + b ε + b 3 ε 3 bağıntıları çıkar. Ölçü hatalarının ölçülerin doğrusal fonksiyonlarını nasıl etkilediğini gösteren bu eşitliklere gerçek hataların yayılması kuralı adı verilir. a i ve b i (i=1,, 3) katsayılarının yukarıda verilen fonksiyonların L i ölçülerine göre türevleri anlamında olduğu açıkça görülmektedir. Hesaplanan büyüklükler genel olarak ölçülerin doğrusal olmayan fonksiyonları biçimindedir. y = f(l 1, L,.., L n ) ε y ve ε i (i=1,,.,n) gerçek düzeltmeler olmak üzere fonksiyonda ölçüler yerine düzeltilmiş (beklenen) değerleri; L i + ε i yazılırsa fonksiyonun düzeltilmiş (beklenen) değeri elde edilir. y + ε y = f(l 1 + ε 1, L + ε, L 3 + ε 3, L n + ε n ) Bu fonksiyonun Taylor açınımım uygulanırsa, y + ε y = f(l 1, L, L n ) + y L 1 ε 1 + y L ε + + y L n ε n + ikinci ve daha yük. mert. terimler çıkar. ε hataları çok küçük olduğundan ikinci ve daha yüksek dereceden terimler toplamı dikkate alınmayabilir. ε y = y L 1 ε 1 + y L ε + + y L n ε n ε y = a 1 ε 1 + a ε + a 3 ε 3 (a i = y L i, i = 1,,.., n) ε y = a T ε elde edilir. Buna göre, ε y1 = a 1 ε 1 + a ε + a 3 ε 3 ε y = b 1 ε 1 + b ε + b 3 ε 3 eşitliklerinin ölçülerin doğrusal olmayan fonksiyonları içinde geçerli olduğu görülmektedir. katsayıları ölçü değerleri yardımıyla hesaplanır. y L i Ölçülerin gerçek hataları genellikle bilinmediğinden, ölçülerin fonksiyonlarına etkileri de belirlenemez. Buna karşın ölçülerin varyans ve kovaryanslarının ölçülerin fonksiyonlarına etkileri hesaplanabilir. Başka bir deyişle, ölçülerin fonksiyonlarının varyans ve kovaryansları ölçülerin varyans ve kovaryanslarının fonksiyonları biçiminde elde edilebilir. L 1, L ve L 3 ölçülerinin doğrusal ya da doğrusal olmayan iki fonksiyonu y 1 ve y olsun. Ölçülerden her birinin k sayıda yinelendiğini varsayalım. Buna göre yukarıda verilen ε y1 ve ε y eşitlikleri k sayıda yazılabilir. Ölçülerden her birinin gerçek düzeltmeleri ε i (, i = 1,,.., n), y 1 ve y büyüklüklerinin gerçek düzeltmeleri ε y1 ve ε y ile gösterilirse,

13 ε y1 = a 1 ε 1 + a ε + a 3 ε 3 ε y = b 1 ε 1 + b ε + b 3 ε 3 eşitlikleri çıkar. Buradan elde edilen, ε T y1 ε y1 = a 1 ε T 1 ε 1 + a ε T ε + a 3 ε T 3 ε 3 + a 1 a ε T 1 ε + a 1 a 3 ε T 1 ε 3 + a a 3 ε T ε 3 ε T y ε y = b 1 ε T 1 ε 1 + b ε T ε + b 3 ε T 3 ε 3 + b 1 b ε T 1 ε + b 1 b 3 ε T 1 ε 3 + b b 3 ε T ε 3 ε T y1 ε y = a 1 b 1 ε T 1 ε 1 + a b ε T ε + a 3 b 3 ε T 3 ε 3 + (a 1 b + a b 1 )ε T 1 ε + (a 1 b 3 + a 3 b 1 )ε T 1 ε 3 + (a b 3 + a 3 b )ε T ε 3 eşitliklerinin terimleri k ile bölünür ve ε T y1 ε y k = σ y1 ε T y ε y k = σ y ε T y1 ε y k = σ y1y ε i T εi k = σ i ε i T εk k = σ ik olduğu göz önüne alınırsa verilen fonksiyonların varyansları ve aralarındaki kovaryans, σ y1 = a 1 σ 1 + a σ + a 3 σ 3 + a 1 a σ 1 + a 1 a 3 σ 13 + a a 3 σ 3 σ y = b 1 σ 1 + b σ + b 3 σ 3 + b 1 b σ 1 + b 1 b 3 σ 13 + b b 3 σ 3 σ y1y = a 1 b 1 σ 1 + a b σ + a 3 b 3 σ 3 + (a 1 b + a b 1 )σ 1 + (a 1 b 3 + a 3 b 1 )σ 13 + (a b 3 + a 3 b )σ 3 çıkar. Ölçüler vektörü, I = [L 1 L L 3 ] T ölçülerin kovaryans matrisi, σ 1 σ 1 σ 13 C ll = [ σ 1 σ σ 3 ] σ 13 σ 3 σ 3 ve doğrusal ya da doğrusallaştırılmış y 1 ve y fonksiyonlarının katsayıları, a = [ y 1 L 1 y 1 L y 1 L 3 ] T = [a 1 a a 3 ] T b = [ y L 1 y L y L 3 ] T = [b 1 b b 3 ] T ile gösterilirse yukarıdaki varyans ve kovaryans eşitlikleri yerine, σ y1 = a T C ll a σ y = b T C ll b

14 σ y1y = a T C ll b = b T C ll a yazılabilir. Bu parametreler, y = [y 1 y ] T C yy = [ σ y1 σ y1y σ y1y σ ] y y vektörüne ilişkin katsayılar matrisi, F = [ a 1 a a 3 b 1 b b 3 ] = [ at b T] ile gösterilirse yukarıdaki kovaryans matrisi için, C yy = FC ll F T eşitliği geçerli olur. Rasgele değişkenlerin (ölçüler) fonksiyonlarının varyans ve kovaryansları için elde edilen bu bağıntıya genel varyans ve kovaryans yayılma kuralı ya da genel hata yayılma kuralı adı verilir. Yukarıdaki açıklamalar n sayıda ölçü ve bunların m sayıda fonksiyonu için genelleştirilebilir. Genel olarak ölçülerin doğrusal olmayan m sayıda fonksiyonu, y 1 = f 1 (L 1, L,., L n ) y = f (L 1, L,., L n ).. y = f(l) y m = f m (L 1, L,., L n ) olsun. Fonksiyonları doğrusallaştırmak için genellikle toplam diferansiyel kuralı uygulanır. Buna göre, dy j = yj L 1 dl 1 + yj L dl + + yj L n dl n (j=1,,, m) olur. Bu eşitliklerde geçen dy j ve dl i diferansiyel büyüklükleri, fonksiyonların ε yi ve ölçülerin ε i düzeltmeleri anlamındadır. I = [L 1 L. L n ] T ölçülerinin diferansiyeli di = [dl 1 dl. dl n ] T, y = [y 1 y. y m ] T fonksiyonlarının diferansiyeli dy = [dy 1 dy. dy m ] T ve fonksiyonların katsayılar matrisi,

15 F = OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ y 1 y 1 y 1 L 1 L L n y y y L 1 L L n [ y m y m L L n ] y m L 1 olmak üzere doğrusallaştırılmış fonksiyonları kısaca, dy = FdI matris eşitliğiyle özetlenebilir. Bu matris eşitliğine genel varyans ve kovaryans yayılma kuralı uygulanırsa y fonksiyonları için C yy = FC ll F T kovaryans matris çıkar. Bu matrisin derecesi m dir. Köşegeni üzerinde m sayıda fonksiyonun varyansı ve köşegeni dışında bu fonksiyonlar arasında kovaryanslar bulunur. Ölçüler bağımsız (aralarında korelasyon yok) ise l ölçülerinin kovaryans matrisi C ll bir köşegen matristir. Bu durumda ölçülerin fonksiyonlarının varyans ve kovaryansları için yukarıda verilen eşitliklerde ölçülerin kovaryansları geçmez. Örneğin n sayıda bağımsız ölçünün y 1 ve y fonksiyonları için varyans ve kovaryans eşitlikleri, σ y1 = a T C ll a = a 1 σ 1 + a σ + a 3 σ a n σ n σ y = b T C ll b = b 1 σ 1 + b σ + b 3 σ b n σ n σ y1y = a T C ll b = a 1 b 1 σ 1 + a b σ + a 3 b 3 σ a n b n σ n olur. Genel hata yayılma kuralının özel durumu (σ ik = 0) için geçerli olan bu eşitliklere varyans yayılma kuralı adı verilir. Bağımsız ölçülerin varyansları eşit ve σ ise l ölçülerinin kovaryans matrisi, C ll = σ E olur (E birim matris). Bu özel durum için varyans-kovaryans eşitlikleri, σ y1 = a 1 σ + a σ + a 3 σ + + a n σ = σ [aa] σ y = b 1 σ + b σ + b 3 σ + + b n σ = σ [bb] σ y1y = a 1 b 1 σ + a b σ + a 3 b 3 σ + + a n b n σ = σ [ab] biçimine dönüşür. Genel varyans ve kovaryans yayılma kuralı, ölçüler vektörü l yerine başka herhangi bir rasgele değişkenler vektörü, örneğin x içinde geçerlidir. Genel hata yayılma kuralı, fonksiyonların fonksiyonları içinde uygulanabilir. L i (i = 1,,, n) ölçülerinin m sayıda fonksiyonunun, y j = f j (L 1, L,, L n ) (j = 1,,, m) ya da y = f(l)

16 81.73 OKAN ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ fonksiyonları, z k = g k (y 1, y,, y m ) (k = 1,,, v) ya da z = g(y) olsun. L i ölçülerinin diferansiyelleri dl vektörü, y i fonksiyonlarının diferansiyelleri dy vektörü ve ölçülere göre parsiyel türevleri F matrisi, z k fonksiyonlarının diferansiyelleri dz vektörü ve y j lere göre parsiyel türevleri G matrisi olduğuna göre, dy = F dl dz = G dy diferansiyel eşitlikleri yazılabilir. İkinci sistemde dy yerine eşiti konursa, dz = G F dl = H dl H = G F çıkar. Bu eşitliğe genel varyans ve kovaryans yayılma kuralı uygulanırsa z k fonksiyonlarının kovaryans matrisi, C zz = H C ll H T ya da C yy = F C ll F T ile C zz = G C yy G T çıkar. C zz = G C yy G T eşitliğinin çözümünde genel hata yayılma kuralı dy = F dl, dz = G dy eşitliklerine art arda uygulanmalıdır. Önce C yy bulunmalı; ikinci adımda C zz kovaryans matrisi hesaplanmalıdır. C zz = H C ll H T çözümü için C yy kovaryans matrisi gerekli değildir. Örnek : Dikdörtgen şeklindeki bir arazinin a kenarı ve doğruluk ölçütü (standart sapması) m ±.1cm, b kenarı ve standart sapması ise 81.73m ± 1.cm olarak bilinmektedir. Buna göre arazinin alanını ve standart sapmasını, çevre uzunluğunu ve standart sapmasını, bu iki büyüklüğün aralarındaki korelasyonu ve korelasyon katsayısını hesaplayınız F = a b df = b da + a db σ F = b σ a + a σ b = σ F = σ F = 7.47m Ç = a + b = 66.14m dç = da + db σ ç = 4σ a + 4σ b = 3.4 σ ç = 4.84cm C FÇ = AC ll A T

17 C FÇ = [ σ F σ FÇ σ FÇ σ Ç ] C FÇ = [ ] [ ] [8173 ] = [ ] σ F = σ F = cm = 7.47m σ Ç = 3.4 σ Ç = 4.84cm σ FÇ = r = ρ = σ FÇ σ F σ Ç = 0.99 Örnek : Şekildeki S uzunluğu ve standart sapması ile semt açısı ve standart sapması bilinmektedir. Buna göre koordinat farklarının standart sapmalarını, aralarındaki korelasyonu ve korelasyon katsayısını hesaplayınız. α = g ± 0 cc S = m ± cm y = S Sinα d y = Sinα ds + S Cosα dα σ y = (Sinα) σ s + S (Cosα) σ α = ρ 3.5cm σ y = ±1.88cm ρ = π x = S Cosα d x = Cosα ds S Sinα dα σ x = (Cosα) σ s + S (Sinα) σ α = ρ 1.6cm σ x = ±1.1cm Matrislerle çözüm d y = Sinα ds + S Cosα dα d x = Cosα ds S Sinα dα C Y X = [ σ y σ y x σ y x σ ] = AC lla T x

18 A = [ Sinα S Cosα ] = [ Cosα S Sinα ] A T = [ ] ρ = π C ll = [ σ s σ sα σ sα σ ] = [σ s 0 α 0 σ ] = 0 [ 0 α 0 ] = [ ] ρ A C ll = [ ] C Y X = [ σ y σ y x ] = A C ll A T = [ ] σ y x σ x σ y = σ y = 1.88cm σ x = σ x = 1.1cm σ y x = r = ρ = σ y x σ y σ = = 0.54 x Örnek : y 1, y, y 3 büyüklüklerine ilişkin varyans, kovaryans matris C y verildiğine göre σ 1 σ 1 σ C y = [ σ 1 σ σ 3 ] = [ ] σ 31 σ 3 σ y 1, y, y 3 büyüklüklerinin fonksiyonları olarak hesaplanan R 1 = y 1 y + y 3 y 1 R = y 1 y 3 y büyüklüklerinin standart sapmalarını ve fonksiyonlar arasındaki korelasyon katsayısını hesaplayınız. y 1 = 0.8, y =.0, y 3 = 3 Çözüm 1 : Matrislerle C R = A C y A T A = [ R 1 y 1 R 1 y R 1 y 3 R y 1 R y R a 1 a a 3 ] = [ b 1 b b ] 3 y 3 a 1 = R 1 y 1 = y + y 3 = 1 b 1 = R y 1 = y 1 = 1.6 a = R y = y 1 = 1.6 b = R y = y 3 = 3

19 a 3 = R 3 y 3 = y 1 = 0.8 b 3 = R 3 y 3 = y = C R = A C y A T = [ σ R 1 σ R1 R σ ] R σ R1 R C R = A C y A T = [ ] [ ] [ ] = [ ] σ R1 σ R1 = ±8.5 σ R σ R = ±15.0 σ R1 R = 7.8 r R1 R = σ R1R = 7.8 = 0. σ R 1 σ R Çözüm : Toplam diferansiyelden; d R1 = dy dy 0.8dy 3 d R = 1.6dy 1 3dy dy 3 σ Fa = a T C L a = a 1 σ 1 + a σ + + a n σ n + a 1 a σ a n 1 a n σ n 1,n σ R1 = ( 1) σ y1 + (1.6) σ y + ( 0.8) σ y3 1.6σ σ σ 3 σ 1 = 15 σ = 10 σ 3 = 5 σ 1 = 3 σ 13 = 4 σ 3 = 0 σ R1 = 7.6 σ R1 = 8.5 σ R = ( 1.6) σ y1 + ( 3) σ y + ( ) σ y σ σ σ 3 σ R = 5. σ R = σ R1 R = a T C L b = b T C L a = a 1 b 1 σ 1 + a b σ + + a n b n σ n + (a 1 b + a b 1 )σ 1 + (a 1 b 3 + a 3 b 1 )σ 13 + σ R1 R = a T C L b = b T C L a = ( 1) ( 1.6)σ 1 + (1.6)( 3)σ + ( 0.8)( )σ 3 + (( 1)( 3) + (1.6)( 1.6))σ 1 + (( 1)( ) + ( 0.8)( 1.6))σ 13 + ((1.6)( ) + ( 0.8)( 3))σ 3 = 7.8

20 Örnek : Şekildeki düzlem üçgende t = g ± 10 cc, α = g ± 0 cc, c = ± 5cm ve A noktasının koordinatları (Y A, X A ) hatasız verildiğine göre B noktasının konum ortalama hatasını ve B noktasının koordinatları (Y B, X B ) arasındaki kovaryansı ve cebirsel korelasyon katsayısını hesaplayınız. X B = X A + c Cos(t + α) Y B = Y A + c Sin(t + α) Çözüm 1 : toplam diferansiyelden dx B = dx A + Cos(t + α)dc c Sin(t + α)dα c Sin(t + α)dt dy B = dy A + Sin(t + α)dc + c Cos(t + α)dα + c Cos(t + α)dt dx A = dy A = 0 σ XB = Cos (t + α)σ c + c Sin (t + α) σ α + ρ c Sin (t + α) σ t = ρ σ XB = 1.94cm σ YB = Sin (t + α)σ c + c Cos (t + α) σ α + ρ c Cos (t + α) σ t = ρ σ YB = 4.6cm σ B = σ XB + σ YB = σ B = 5.01cm σ XB Y B = Sin(t + α)cos(t + α)σ c c Sin(t + α)cos(t + α) σ α +σ t r = σ X B Y B σ XB σ YB = Çözüm : matrislerle çözüm X B = X A + c Cos(t + α) Y B = Y A + c Sin(t + α) dx B = dx A + Cos(t + α)dc c Sin(t + α)dα c Sin(t + α)dt ρ =

21 dy B = dy A + Sin(t + α)dc + c Cos(t + α)dα + c Cos(t + α)dt dx A = dy A = 0 dx B = Cos(t + α)dc c Sin(t + α)dα c Sin(t + α)dt dy B = Sin(t + α)dc + c Cos(t + α)dα + c Cos(t + α)dt C FF = [ σ X B σ XB Y B ] = A C σ ll A T YB σ XB Y B A = [ a 1 a a 3 b 1 b b 3 ] a 1 = Cos(t + α) = a = a 3 = c Sin(t+α) π c Sin(t+α) π = = b 1 = Sin(t + α) = b = b 3 = c Cos(t+α) π c Cos(t+α) π = = A = [ a 1 a a b 1 b b ] = [ ] A T = [ ] σ c σ cα σ ct C ll = [ σ αc σ αα σ αt ] = [ ] σ tc σ tα σ tt C FF = [ σ X B σ XB Y B ] = A C σ ll A T = [ YB ] σ XB Y B σ XB = σ XB = 1.94cm σ XB Y B = σ YB X B = σ YB = σ YB = 4.6cm σ B = σ XB + σ YB = σ B = 5.01cm

22 Örnek : Bir elektronik uzunluk ölçer A noktasına kurulmuş ve B noktasındaki yansıtıcıya gözlem yapılarak l eğik uzunluğu 85.31m, Z zenit açısı (düşey açı) g olarak ölçülmüştür. Ölçülen eğik uzunluğun standart sapması σ l = 1.cm ve zenit açısının standart sapması σ z = 15 cc olduğuna göre yatay uzunluğu e standart (S ± σ S ) sapmasını, yükseklik farkını ve standart ( h ± σ h ) sapmasını, bunlar arasındaki kovaryansı ve cebirsel korelasyon katsayısını hesaplayınız. Alet yüksekliği (i) ve işaret yüksekliği (T) hatasız ölçülmüştür. i = 1.64m, T = 1.8m. Küresellik ve kırılma etkisi ihmal edilecektir. S = l SinZ H = l CosZ = S CotZ h = i + H T = i + l CosZ T Çözüm 1 : toplam diferansiyelden ds = SinZ dl + l CosZ dz d h = CosZ dl l Sinz dz σ S = (SinZ) σ l + l (CosZ) σ Z ρ = σ S = 1.0cm σ h = (CosZ) σ l + l (SinZ) σ Z = σ ρ h = 0.68cm Çözüm : matrislerle çözüm l CosZ ds = SinZ dl + dz ρ l Sinz d h = CosZ dl dz ρ C FF = [ σ S σ hs σ S h σ h ] = A C ll A T A = [ a 1 a b 1 b ] a 1 = SinZ = a = l CosZ ρ = 8531 Cos g π = b 1 = CosZ = b = l SinZ = 8531 Sin g π =

23 A = [ ] A T = [ ] C ll = [ σ l σ lz σ Zl σ ] = [ Z 0 5 ] C FF = [ σ S σ hs σ S h σ h ] = A C ll A T = [ ] σ S = σ S = 1.0cm σ h = σ h = 0.68cm σ S h = σ hs = r = σ S h σ S σ h = Örnek : Doğrudan ölçülemeyen bir S uzunluğu engeli oluşturan binanın çatısı üzerindeki bir noktadan l 1 ve l parçalarının toplamı, ikinci kez yüksekteki bir noktadan l 4 l 3 farkı biçiminde bir uzaklık ölçerle belirlenmiştir. Ölçü aletinin duyarlılığı σ = ±(3cm l) ve bir noktadan aynı zamanda ökçmede r = 0.7 korelasyon değerine göre tahmin edilmektedir. Toplam ve fark şeklinde hesaplanan uzunlukların duyarlıklarını hesaplayınız. l 1 16km l 3 0km l 18km l 4 54km σ 1 = ±(3cm ) = = 11cm σ = ±(3cm ) = = 1cm σ 3 = ±(3cm ) = = 13cm σ 4 = ±(3cm ) = = 30cm Klasik çözüm : S 1 = l 1 + l S = l 4 l 3 ds 1 = dl 1 + dl ds = dl 4 dl 3 σ S1 = σ 1 + σ + σ 1 σ S = σ 3 + σ 4 σ 43

24 r = σ 1 σ 1 σ σ 1 = r σ 1 σ = 9.4 r = σ 34 m 3 m 4 σ 34 = r σ 3 σ 4 = 73 σ S1 = σ l1 + σ l + σ 1 = σ S = σ l4 + σ l3 σ 43 = 53 σ S1 = ±1.1cm σ S = ±3cm Matrislerle çözüm : C S 1 = [ σ 1 σ ] = [11 σ 1 σ ] a = [ a 1 a ] a T = [a 1 a ] σ S1 = a T C l 1 a = [a 1 a ] [ σ 1 σ 1 σ 1 σ ] [a a ] = [1 1] [ ] [1 1 ] = [ ] [1 1 ] = σ S1 = ±1.1cm C S = [ σ 3 σ ] = [169 σ 34 σ ] b = [ b 1 b ] b T = [b 1 b ] σ S = b T C S 1 b = [b 1 b ] [ σ 3 σ 34 σ 34 σ ] [b ] = [ 1 1] [ 3 b ] [ 1 ] = [104 67] [ ] = 53 σ S = ±3cm Ağırlık Katsayısı ve Ağırlık Yayılma Kuralları Rasgele değişkenlerin yani ölçülerin ağırlık katsayıları matrisi bilindiğine göre bunların fonksiyonlarının ağırlık katsayıları matrisinin nasıl hesaplandığını gösteren bağıntıya ağırlık katsayıları yayılma kuralı adı verilir. Genel varyans ve kovaryans yayılma eşitliğinin (C yy = F C ll F T ) her iki yanı birim ağırlıklı varyans (σ 0 ) ile bölünür. 1 σ 0 C yy = 1 σ 0 F C ll F T ve Q 11 Q 1. Q 1n Q 1 Q. Q n Q xx = 1 σ C xx = 0 [ Q 1n Q n.. Q nn ] uyarınca Q yy = 1 σ 0 C yy Q ii = 1 σ 0 C ii (Q ii = σ i σ 0, Q ik = σ ik σ 0 )

25 olduğu dikkate alınırsa ölçülerin ağırlık katsayılarının, ölçülerin fonksiyonlarının ağırlık katsayılarını nasıl etkilediğini gösteren ağırlık katsayıları yayılma kuralı, Q yy = F Q ll F T elde edilir. l = [L 1 L. L n ] T ölçülerinin ağırlık katsayıları matrisi, örneğin n=3 için, Q 11 Q 1 Q 13 Q ll = [ Q 1 Q 13 Q Q 3 Q 3 ] Q 33 bilindiğine göre ölçülerin, y 1 = f 1 (L 1, L, L 3 ) y = f (L 1, L, L 3 ) biçiminde verilen y 1 ve y fonksiyonlarının ağırlık katsayıları matrisini, Q y1y Q yy = [ Q y1y1 ] Q y1y Q yy oluşturalım. Verilen fonksiyonlara ilişkin katsayılar matrisi, F = y 1 L 1 y 1 L y 1 L 3 y L 1 y L y L 3 y 3 L 1 y 3 L y 3 L 3 ] [ = [ a 1 a a 3 b 1 b b 3 ] = [ at b T] olduğuna göre Q yy ağırlık katsayıları matrisinin elemanları açık yazılırsa, Q y1y1 = a T Q ll a = a 1 Q 11 + a Q + a 3 Q 33 + a 1 a Q 1 + a 1 a 3 Q 13 + a a 3 Q 3 Q yy = b T Q ll b = b 1 Q 11 + b Q + b 3 Q 33 + b 1 b Q 1 + b 1 b 3 Q 13 + b b 3 Q 3 Q y1y = a T Q ll b = a 1 b 1 Q 11 + a b Q + a 3 b 3 Q 33 + (a 1 b + a b 1 )Q 1 + (a 1 b 3 + a 3 b 1 )Q 13 + (a b 3 + a 3 b )Q 3 olduğu görülür. Ölçüler bağımsız, σ ik = 0 ve buna göre Q ik = 0 ise ölçülerin ağırlık matrisi P ll ve ağırlık katsayıları matrisi Q ll, P P ll = [ P 0 ] (P i = 0 0 P n σ 0 σ i )

26 Q ll = [ Q Q 0 ] (Q ii = 0 0 Q nn olur. Q yj y j = 1 P yj y 1 = f 1 (L 1, L, L 3 ) y = f (L 1, L, L 3 ) 1 P i ) nedeniyle örneğin aşağıda verilen fonksiyonu için yukarıdaki eşitliklerden, 1 P yi = a T P ll 1 a = a 1 ( 1 P 1 ) + a ( 1 P ) + a 3 ( 1 P 3 ) çıkar. Bağımsız ölçü ağırlıklarının ölçülerin bir fonksiyonunun ağırlığını nasıl etkilediğini gösteren bu bağıntıya ağırlık yayılma kuralı adı verilir. Ağırlık katsayıları yayılma kuralı, genel hata yayılma kuralının farklı bir biçimidir. Dengeleme hesabında varyans ve kovaryans yayılma kuralından daha çok ağırlık katsayıları yayılma kuralı uygulanır ve bunun ardından birim ağırlıklı varyans yardımıyla büyüklüklerin varyans ve kovaryansları belirlenir. Örnek : x 1, x ve x 3 büyüklüklerine ilişkin ağırlık katsayıları matrisi ve birim ağırlıklı ölçünün standart sapması (ortalama hatası) σ 0 = ±5 verilmektedir. x 1, x ve x 3 büyüklüklerinin fonksiyonları olarak hesaplanan y 1 = x 1 x + x 3 x 1, y = x 1 x 3 x + 90 büyüklüklerinin ağırlık katsayıları matrisini (Q y ) ve standart sapmalarını (σ y1, σ y ) hesaplayınız. Ayrıca fonksiyonların ağırlıklarını bulunuz. x 1 = 0.8 x =.0 x 3 = 3 Q 11 Q 1 Q Q x = [ Q 1 Q Q 3 ] = [ ] Q 13 Q 3 Q Q y = A Q x A T = [ Q y 1 y 1 Q y1 y Q y1 y Q y y ] A = [ y 1 y 1 y 1 x 1 x x 3 ] y y y x 1 x x 3 y 1 x 1 = x dx 1 + x 3 dx 1 = 1 y 1 x == x 1 dx = 1.6 y 1 x 3 = x 1 dx 3 = 0.8 y x 1 = x 1 dx 1 = 1.6

27 y x = x 3 dx = 3 y x 3 = x dx 3 = A = [ ] AT = [ ] Q y = A Q x A T = [ ] [ ] [ ] = [ ] Q y1 y 1 =.904 Q y1 y = 1.11 Q y y 1 = 1.11 Q y y = σ y1 = σ 0 Q y1 y 1 = ±5.904 = ±8.5 σ y = σ 0 Q y y = ± = ±15.0 P y1 = 1 = Q y 1y1.904 P y = 1 = Q y y y 1 = x 1 x + x 3 x 1 x 1, x ve x 3 e göre sırayla türev alırsak dy 1 = (x 3 x ) dx 1 x 1 dx + x 1 dx 3 = dx dx 0.8 dx 3 dy 1 = dx dx 0.8 dx 3 1 y = x 1 x 3 x + 90 x 1, x ve x 3 e göre sırayla türev alırsak dy = x 1 dx 1 x 3 dx x dx 3 = 1.6dx 1 3dx dx 3 dy = 1.6dx 1 3dx dx 3 1 ve eşitliklerinde ayrı ayrı ağırlık yayılma katsayısı uygularsak; Q y1 y 1 = Q 11 + (1.6) Q + ( 0.8) Q Q Q Q 3 Q y y = ( 1.6) Q 11 + ( 3) Q + ( ) Q Q Q Q 3 Q y1 y = 1.6Q Q + 0.8Q 33 + [ ]Q 1 + [ ]Q 13 + [ ]Q 3 Örnek : Şekildeki α 1, α açıları bir doğrultu ölçüsünü σ ri = ±0 cc duyarlıkla veren bir teodolitle dörder kez, α 3 ve α 4 açıları bir doğrultu ölçüsü için duyarlığı σ rii = ±40 cc olan ikinci bir teodolitle altışar kez ölçülmüştür. Birinci teodolitle bir doğrultu ölçüsünün ağırlığı 1 kabul edilirse γ ölçüsünün ağırlığı ne olur? A = r r 1 σ 1 = σ = σ r σ A = σ r1 + σ r σ r1 = σ r σ A = σ r σ A = m r

28 σ A = m r : Doğrultu ölçülerinin standart sapması bilindiğine göre bir açının standart sapması Bir açı n sayıda ölçülmüşse aritmetik ortalamanın standart sapması; A = A 1+A + +A n n σ A = 1 n σ n σ n σ n Açılar aynı aletle aynı kişi tarafından ölçülmüşse; σ 1 = σ = = σ n = σ A σ A = n σ A n = σa n = σr n γ = 400 (α 1 + α + α 3 +α 4 ) Q FaFa = 1 = a 1 + a P Fa P 1 P + + a n P n a i = 1 = γ α i 1 = P P γ P 1 P P 3 P 1 = P = σ 0 4 σ 1 σ 1 = σ = σ r1 n = σ r1 4 σ 0 = σ r1 olarak alalım = σ r1 P 1 = P = σ 0 σ = σ r1 σ 1 r 1 = σ 3 = σ 3 = σ r n = σ r1 6 = σ r1 3 P 3 = P 4 = σ 0 σ = σ r σ 3 r 3 = = P γ = 1 P P + 1 P P 4 = P γ = 3 =

29 Örnek : Bir üçgende α açısı bir teodolitle 10 kez ölçülmüştür. α nın bir tek ölçüsü için duyarlık ±5 cc dir. β ve γ açıları bir tek açı ölçüsü için duyarlığı ±10 cc olan başka bir teodolitle ölçülmüştür. Buna göre; a) α nın bir tek ölçüsünün ağırlığı 1 kabul edilirse β nın bir tek ölçüsünün ağırlığı ne olur? b) Ağırlıkları, 10 kez ölçülen α açısının ağırlığına eşit olması için β ve γ açıları kaçar kez ölçülmelidir. c) w = (α + β + γ) 00 hatasının ağırlığını (P w ) hesaplayınız. d) Açıların ağırlıklarının eşit olması halinde dengelenmiş açı için α = α 1 w = α 1 (α + β + γ 00) 3 3 eşitliği geçerlidir. Buna göre dengelenmiş α açısının ağırlığını hesaplayınız. e) Dengelenmiş bir doğrultu ölçüsünün ağırlığını hesaplayınız. a) n = 10, σ α1 = ±5 cc, σ β1 = ±10 cc P α1 = σ 0 1 = σ 0 σ α 1 5 σ 0 = 5 σ 0 = 5 P β1 = σ 0 σ = 5 β 1 10 = 0.5 b) σ α1 = σ 0 = 5 = 5 P α = P β = P γ σ α = σ 0 n = 5 10 σ α = σ β = σ γ 5 = n = = n 5 c) w = (α + β + γ) 00 P w =? P α = σ 0 σ = σ α1 α σ α = 10 σ α = ± σ α1 = ± 5 n 10 P β = P γ = σ α1 = = 10 σ β 40 1 P w = 1 P α + 1 P β + 1 P γ = = 3 10 P w =

30 d) α = α 1 3 α = 3 α w = α β 00 γ = ( 3 ) + ( 1 3 ) + ( 1 3 ) = P α P α P β P γ P α = 15 e) α = r r 1 1 = = P P α P r P r 1 P α P r = 30 r Örnek : (l 1, l, l 3 ) ölçülerine ilişkin ağırlık katsayıları matrisi bilinmektedir. Bu uzunluklara ilişkin birim ağırlıklı ölçünün varyansları eşit olup σ 0 = 3.36m dir. Buna göre bu uzunlukların standart sapmalarını, ağırlıklarını ve aralarındaki korelasyonları hesaplayınız Q l1 l 1 Q l1 l Q l1 l 3 Q ll = [ ] = [ Q l1 l Q l l Q l l 3 ] Q l3 l 1 Q l3 l Q l3 l 3 P l1 = 1 = 1 = Q l 1l1 5.0 P l = 1 = 1 = 0.39 Q l l 4.18 P l3 = 1 = 1 = Q l 3l σ 0 = 3.36m σ 0 = 1.83cm σ l1 = σ 0 Q l1 l 1 = = 4.1cm σ l = σ 0 Q l l = = 3.74cm σ l3 = σ 0 Q l3 l 3 = =.45cm ya da P l1 = σ 0 σ l1 = σ 0 σ l 1 P l = σ 0 σ l P l 1 σ l = σ 0 P l = σ l1 = 4.109cm = σ l1 = 3.750cm P l3 = σ 0 σ l3 = σ 0 = σ l1 =.45cm σ l 3 P l 3

31 ρ l1 l = ρ l1 l 3 = ρ l l 3 = Q l 1l Q l 1l1 Q ll Q l 1l3 Q l 1l1 Q l3l3 Q l l3 Q l l Q l3l3 = = = = = = σ l1 l = σ l1 σ l ρ l1 l = σ l1 l 3 = σ l1 σ l3 ρ l1 l 3 = σ l l 3 = σ l σ l3 ρ l l 3 = Sonlu Ölçü Dizileri Yardımıyla Standart Sapma Hesabı Ölçülen büyüklüklerin beklenen değerleri genellikle bilinmediğinden ve ölçü sayısı sonlu olduğundan kuramsal standart sapma σ = [εε] (n ) belirlenemez. Ancak n için standart sapma nın yaklaşık değerleri kestirilebilir. n Ölçülerin kombinasyonlarına karşılık beklenen değerlerin belli olduğu durumlar için; bir düzlem üçgenin iç açıları toplamının 00 gon, kapalı poligon geçkilerinde iç ya da dış açılar toplamının sabit bir değer, kapalı nivelman geçkilerinde yükseklik farkları toplamının sıfır olması örnek olarak verilebilir. Ölçü sayısı büyük (n>100) ve rasgele hatalar düzenli (sistematik) etkiler içermiyorsa standart sapma için oldukça iyi yaklaşık değerler elde edilir. Ölçüler en az bir basamak daha doğru değerlerinin bilindiği durumlarda; örneğin trigonometrik ya da barometrik yüksekliklere göre nivelman yükseklikleri vb. büyüklükler beklenen değerler anlamında kabul edilerek rasgele hatalar oldukça iyi kestirilebilir. Çoğunlukla ilgilenilen büyüklüklerin ve gözlenen elemanların en uygun yani en büyük olasılıklı değerleri bulunur ve dengeli değer-ölçü değeri biçiminde en büyük olasılıklı düzeltmeler hesaplanır. Standart sapma, gerçek düzeltmeler yerine bu düzeltmelerin fonksiyonu biçiminde belirlenir (Baumann, 1986; Grossmann, 1969; Höpke, 1980; Öztürk, 1987; Wolf, 1968, 1975, 1979). Düzeltmeler Yardımıyla Standart Sapma Hesabı Bir büyüklük (x) çok sayıda ölçülmüş olsun. Ölçü doğrulukları ya da standart sapmalarının eşit (s) ve aralarında sabit bir korelasyon (r) olduğunu varsayalım. Ölçülen x büyüklüğünün E(x) = μ beklenen değeri için en uygun ya da en büyük olasılıklı kestirim değeri basit aritmetik ortalamadır. x = st l n Burada, s = [1 1 1] T l = [L 1 L L n ] T ve n dur. Ölçülerin μ beklenen değerinden sapmaları, ε 1 = μ L i (i = 1,,, n) ve aritmetik ortalamadan sapmaları, v i = x L i

32 dir. n sayıda v i eşitliği toplanırsa [v = 0] olduğu görülür. L i = v i x, ε i = μ L i de yerine yazılırsa, ε i = v i + μ x çıkar. n sayıda ε i toplamında; [ε] = [v] + n(μ x ) [v] = 0 olduğu göz önüne alınırsa, μ x = [ε] n elde edilir. n sayıda ε i, ε i ε i = v i v i + (μ x ) T v i (μ x ) = v i v i + [ε] v i(μ x ) eşitliğinin toplamı oluşturulur, bu toplamda μ x = [ε] ve [v] = 0 olduğu göz önüne alınırsa, [εε] = [vv] + [ε] n çıkar. Bu eşitlik düzenlenirse, [εε] = [vv] + [εε] + r(n 1)s n Bu eşitlikte geçen [εε] yerine [εε] = ns yazılırsa, n n s = [vv] (n 1)(1 r) (r 0) varyans eşitliği elde edilir. Ölçüler arasında sabit bir korelasyon yoksa (r = 0) buradan, s = [vv] n 1 (n ) elde edilir. Ölçüler arasında artı işaretli sabit bir korelasyon olduğu halde dikkate alınmazsa, diğer bir deyişle korelasyonun olmadığı yukarıdaki eşitlik kullanılırsa, standart sapma yanıltıcı biçimde olması gereken değerden daha küçük çıkar.

33 Ölçülerin aritmetik ortalamasının standart sapması x = st l n Yukarıda verilen aritmetik ortalama eşitliğine genel varyans ve kovaryans yayılma kuralı uygulanırsa aritmetik ortalamanın varyansı, s x = 1 n st C ll s çıkar. Ölçülerin varyansları eşit (s i = s k = s ) ve aralarındaki korelasyon ya da kovaryans sabit (s ik = rs ) kabul edildiğinden ölçülerin kovaryans matrisi, 1 r r r r 1 r r C ll = [ ] r r r 1 ile s T C ll s = s n[1 + (n r)r] nedeniyle ve s = [vv] (n 1)(1 r) (r 0) nedeniyle s x = s 1+(n r)r = [vv] 1+(n r)r n n(n 1) 1 r (r 0) s x = s = [vv] n n(n 1) (r = 0) olur. Örnek : A noktasından yaklaşık aynı zamanda 4 istasyona gözlem yapılarak ölçülen düşey açılar yardımıyla bu noktanın yüksekliği belirlenmiştir. Hedef uzaklıkları ve gözlem yükseklikleri yaklaşık olarak eşittir. k = 0.13 alınarak hesaplanan yükseklik değerleri eşit duyarlıktadır. Ölçüler arasındaki korelasyon r = 0.87 olarak bilinmektedir. Buna göre bir ölçünün ve aritmetik ortalamanın standart sapmasını hesaplayınız. l v vv v 110 [vv] x = et l = = 75.40m n 4 σ = v T v = 100 σ = ±16.8cm (n 1)(1 r) (4 1)(1 0.87) σ x = vt v 1+(n 1)r = (4 1) 0.87 σ n(n 1) 1 r 4 (4 1) x = ±16.0cm r = 0 σ = vt v = 110 σ = ±6.1cm (n 1) 3 σ x = 110 = 9.17 σ 4 3 x = ±3.03cm

34 Ölçü Çiftleri Yardımıyla Standart Sapma Hesabı Bir poligon geçkisinin kırılma açıları ya da kenar uzunlukları, nivelman geçkisinde yükseklik farkları, nirengi ağlarında kenar uzunlukları vb. ikişer kez gözlenmişse, farklı büyüklükler için ölçü çiftleri elde edilir. Aynı türden n sayıda büyüklük ikişer kez ölçülmüş olsun. Ölçü çiftlerinin doğrulukları ya da standart sapmaları (s) nin eşit ve aralarında sabit bir korelasyon (r) olduğunu varsayalım. Bir ölçünün varyansı; s = [dd] n(1 r) (r 0) Ölçü çiftlerinin arasında korelasyon yoksa r = 0 olur. Bu durumda varyans, s = [dd] n olur. Bir ölçü çiftinin aritmetik ortalamasının standart sapması Bir ölçü çiftinin aritmetik ortalaması, L i = (L i +L i ) ve bir ölçü çiftinin kovaryans matrisi, C ll = [ s rs r rs ] = [1 s r 1 ] dir. d i = L i L i = ε i ε i L i = (L i +L i ) eşitliğine varyans ve kovaryans yayılma kuralı uygulanır, standart sapmaların eşit olduğu göz önüne alınırsa bir ölçü çiftinin aritmetik ortalamasının varyansı, s = 1 s (1 + r) = [dd] 4n 1+r (1 r) (r 0) çıkar. Korelasyon sıfırsa, bu durumda varyans, s = s = [dd] 4n (r = 0) Ölçü çiftlerinin doğrulukları ve buna göre ağırlıkları farklı ise; birim ağırlıklı bir ölçünün varyansı s 0, eşit ağırlıklı ölçü çiftlerine ilişkin eşitliklerde [dd] yerine [Pdd] yazılarak, s 0 = [Pdd] n[1 r] s 0 = [Pdd] n (r 0) (r = 0)

35 elde edilir. P i = s 0 s i nedeniyle bir ölçünün varyansı, s i = s 0 P i (i = 1,,, n) ve bir ölçü çiftinin aritmetik ortalamasının (L i) varyansı, s i = s i (1 + r) = s 0 P i (1 + r) (i = 1,,, n) dir. Örnek : Bir nirengi ağında aşağıdaki uzunluklar tellürometre ile aynı bir günde çift ölçülmüştür. Bu ölçülerin duyarlıkları eşittir. Çift ölçüler arasındaki korelasyon r = 0.75 dir. Buna göre, bir ölçünün standart sapmasını ve bir ölçü çiftinin ortalama değerinin standart sapmasını hesaplayınız. l l d (mm) dd (mm ) d : ölçü farkları vektörü σ = [dd] = 4057 = σ = ± mm n(1 r) 6(1 0.75) Ölçü çiftlerinin arasında korelasyon yoksa r = 0 olur. Bu durumda varyans, σ = [dd] n = σ = ± mm σ = 1 s (1 + r) = [dd] 4n 1+r = 4057 (1+0.75) (1 r) 4 6 (1 0.75) Korelasyon sıfırsa, bu durumda varyans, σ = s = [dd] 4n = σ = ± mm ± = σ = ± mm

36 Örnek : Bir AB uzunluğu 5 parçaya ayrılmış ve parçalardan her biri çift ölçülmüştür. Parça No a) Çift ölçülen 100m lik bir uzunluk ölçüsünün standart sapmasını b) Çift ölçülerin ortalamasından elde edilen AB uzunluğunu ve standart sapmasını hesaplayınız. I Ölçüler II Ortalama P = S 0 S = 100 S d dd Pdd AB = m σ 0 = ± [pdd] n = = ±1.4cm σ 100 = σ 0 σ 100 = σ 100 = σ 100 n σ 1 = σ 0 = 1.4 = 1.87cm P σ 1 = σ 1 = 1.87 = 1.3cm n σ = σ 0 P = =.00cm σ = σ n = = 1.41cm σ 3 = σ 0 = 1.4 = 1.54cm P σ = σ 3 = 1.54 = 1.09cm n σ 4 = σ 0 = 1.4 =.16cm P σ 4 = σ 4 =.16 = 1.53cm n σ 5 = σ 0 = 1.4 = 1.7cm P σ 5 = σ 5 = 1.7 = 1.cm n σ AB = σ 1 + σ + σ 3 + σ 4 + σ 5 = = 8.75 σ AB =.96cm

37 UYGULAMALAR (Uygulamaların bir kısmı Prof.Dr. Hüseyin Demirel ve Prof.Dr. Sebahattin Bektaş ın, Dengeleme Hesabı kitaplarından alınmıştır) 1. Bir uzunluğun gerçek değeri η = m olarak veriliyor. Bu büyüklüğe ait 10 adet ölçü değeri aşağıda verilmiştir. S i a) Ölçülere ait kesin (ε i ) ve gerçek hataları (v i ) b) Standart sapmayı ve karesel ortalama hatayı (m) c) Mutlak hatayı (t) d) Olası hatayı (r) e) Bağıl hatayı Bulunuz. X : ortalama değer X = S 1 + S + + S = m a) Ölçü No S i ε i = S i η i ε i ε i v i = S i X i v i v i Σ b) s = [εε] n = 6 10 = 1.61mm m = [vv] n 1 = = 1.33mm c) [ ε ] = 1

38 t = ± [ ε ] n = ± 1 10 = 1.mm d) Olası hata için öncelikle ε lar mutlak değerlerine göre sıralanır; ölçü miktarı çift olduğundan baştan ve sondan sayıldığında 5.ci değerlerin ortalamasını alıyoruz. 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1,, 3, 3 r = ± 1+1 = ±1mm e) Bağıl hata = Hata Ölçü = = Bir açı ölçüsünün ortalama değeri μ = g ve standart sapması σ = 8 cc olarak verilmektedir. a) Ölçülen bir açının g dan büyük olması b) Ölçülen bir açının g ile g arasında değer alma olasılığı c) Ölçülen bir açı %95 olasılıkla hangi μ c ile μ + c sınırları arasında kalır Standart normal dağılımın yoğunluk fonksiyonu f(z) normal dağılımın olasılık fonksiyonu f(x) den μ = 0 ve σ = 1 ile f(z) = 1 π e z / < z < elde edilir. Standartlaştırma, serilerin ölçüm farklarının etkisini ortadan kaldırmak için birimlerinden aritmetik ortalamanın çıkarılıp farkın standart sapmaya bölünmesi ile yapılan işlemdir. Tüm seri birimleri için uygulanması ile oluşturulacak yeni serinin aritmetik ortalaması sıfır ve standart sapması bir olur. Normal dağılım eğrisi altında kalan alanlar (olasılıklar) standart sapmanın katlarına göre hesaplanırsa aşağıdaki olasılık değerleri elde edilir. Sınırlar Olasılık 1 Φ(ε) Φ(ε) σ ile + σ /3 σ ile + σ /0 3σ ile + 3σ /400 4σ ile + 4σ /10000 Yukarıdaki alanlar incelendiğinde %99.73 olasılıkla rastgele hataların büyüklüğü mutlak değer olarak ortalama hatanın 3 katından küçük olduğu diğer bir deyişle yapılacak her 400 ölçüdeki rastgele hatalardan yalnızca bir tanesinin bu sınır dışına çıkacağı anlaşılmaktadır. Bu nedenle genellikle uygulamalarda ortalama hatanın (standart sapmanın) 3 katı rastgele ölçü hataları için hata sınırı (tecviz) olarak kabul edilmektedir. Hataların bu sınırı aşan ölçülerin kaba hatalı olduğuna karar verilerek atılırlar ve gerekiyorsa bu ölçüler yinelenir. Standart normal dağılımın f(z) fonksiyonu aşağıdaki şekilde çizilmiştir.

39 eşitlikleri geçerlidir. Standart normal dağılımın yoğunluk fonksiyonu f( z) = f(z) simetrik Φ( z) = 1 Φ(z) Buna göre olasılık hesabı için yalnız artı işaretli z değerlerine karşılık Φ(z) fonksiyon değerleri yeterli olur. Örneğin bazı z değerleri için Φ(z) fonksiyon değerleri aşağıda verilmiştir. z Φ(z) Ortalama değeri μ ve standart sapması σ olan bir normal dağılımlı rastgele değişken için x in x N(μ, σ) a ve b aralığında bulunma olasılığı için eşitliği geçerlidir. P(a x b) = Φ(b) Φ(a) = Φ(z b ) Φ(z a ) Z b = b μ σ ve Z a = a μ σ z b ve z a a ve b büyüklüklerinin standartlaştırılmış değerleridir. Çözüm : standart normal dağılımlı değişken