Hata Kuramı ve Parametre Kestirimi

Transkript

1 ve Parametre Kestirimi Lisans Ders Notları Doç. Dr. Aydın ÜSTÜN Selçuk Üniversitesi e-posta:

2 İçerik Giriş 1 Giriş Temel kavramlar Konu ve kapsam Tarihçe 2 3 Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı

3 Bilinmesi gereken gerçekler Temel kavramlar Konu ve kapsam Tarihçe Ölçme uzunluk, ağırlık, zaman vb. fiziksel bir niceliğin büyüklüğünün belirlenmesi için yapılan işlemdir. Doğada, bu niceliklerden her hangi birinin kesin ya da gerçek değerini veren ölçme tekniği yoktur. Bir ölçme işlemi sonucunda elde edilen gözlem değeri mutlaka hatalarla yüklüdür. Gözlem değerlerinin gerçek değerden ne kadar saptığı kesin olarak bilinmez.

4 Tanımlar Giriş Temel kavramlar Konu ve kapsam Tarihçe Hata kuramı Bir ya da birden fazla hata kaynağının ölçülmüş veya hesaplanmış bir büyüklük üzerindeki etkisini incelemek ve hata büyüklüğü ile meydana gelme olasılığı arasındaki ilişkiyi açıklamak için kullanılan bir kavramdır. Parametre kestirimi Deneysel yollarla elde edilmiş ve belirli bir dağılım kümesinden (örneğin normal) çıktığı varsayılan verilerden bilinmeyen parametrelerin veya fonksiyonlarının belirlenmesini ifade eder.

5 Dengeleme hesabının amacı Temel kavramlar Konu ve kapsam Tarihçe Bir ölçme işleminde, gereğinden fazla ölçü arasındaki tutarsızlıkları (ölçme sırasında ortaya çıkan hatalardan kaynaklı) gidermek Dengeleme hesabı öncesi, yapılan ölçülerin önsel (a priori) hatalarını önceden tahmin etmek Dengeleme hesabı sonrası, hataların kestirilen parametreler üzerindeki yayılma etkilerini, başka bir deyişle sonsal (a posteriori) hatalarını hesaplamak

6 Dersin amacı Giriş Temel kavramlar Konu ve kapsam Tarihçe Ölçü ve hata kavramlarını tanımlama ve aralarındaki ilişkiyi açıklama, Gereğinden fazla yapılmış ölçüleri kullanarak bilinmeyen parametrelerin en uygun değerlerini belirleme, Jeodezik uygulamalar için en küçük kareler yöntemini kullanma, Kestirilmiş parametreler için duyarlık ve güven ölçütlerini hesaplama

7 Ders notu ve diğer kaynaklar Temel kavramlar Konu ve kapsam Tarihçe Demirel, H. (2005) Dengeleme Hesabı, 2. Baskı, YTÜ Basım-Yayın Merkezi, İstanbul. Öztürk, E. (1987) Dengeleme Hesabı, Cilt I, KTÜ Basımevi, Trabzon. Öztürk, E., Şerbetçi, M. (1989) Dengeleme Hesabı, Cilt II, KTÜ Basımevi, Trabzon. Koch, K. R. (1999) Parameter Estimation and Hypothesis Testing in Linear Models, Springer-Verlag, Berlin. Ghilani, C. D. ve Wolf, P. R. (2006) Adjustment Computations: Spatial Data Analysis, John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey.

8 Temel kavramlar Konu ve kapsam Tarihçe En Küçük Kareler (EKK) yönteminin gelişimi C. F. Gauss, EKK yönteminin ilk başarılı sonucunu aldı A. M. Legendre, EKK konusunda ilk kitabını yayımladı Gauss, EKK ile ilgili bir dizi makale yayımladı L. Gerling, Uygulamalı Geometride EKK adlı kitabını yayımladı Rheiner, EKK yi I. derece nirengi ağı dengelemesinde kullandı

9 Temel kavramlar Konu ve kapsam Tarihçe En Küçük Kareler (EKK) yönteminin gelişimi (devam) yy sonu F. G. Gauss, EKK yi II. ve düşük dereceli ağlarına uygulanması konusundaki kitabını yayımladı Helmert, korelasyonlu gözlemler için EKK Yöntemine Göre Dengeleme Hesabı nı yayımladı F. R. Helmert, EKK yöntemini geliştirilmiş biçimiyle yayımladı E. Gotthard, Dengeleme Hesabı Bağıntılarının Matris Gösterimi ni yayımladı J. M. Tienstra, Normal Dağılmış Gözlemlerle Dengeleme Kuramı nı yayımladı

10 Matris Giriş Matris gösterimi: kalın, büyük harf A = A = m,n Sütun sayısı=n a 11 a 12 a a 1n a 21 a 22 a a 2n a m1 a m2 a m3... a mn Satır sayısı=m Matris elemanı: italik, küçük harf

11 Vektör Giriş Vektör gösterimi: kalın, küçük harf a = m,1 a 1 a 2. a m b = ( b 1 b 2 )... b n 1,n Sütun vektör (n = 1) Satır vektör (m = 1)

12 Matris türleri Giriş Dikdörtgen matris (m n) A = , Kare matris (m = n) B = 3, Köşegen matris (c i R) c c C = n,n c m Skaler matris (d 0) d d... 0 D = n,n d

13 Matris türleri (devam) Giriş Alt üçgen matris l l 21 l L = n,n l n1 l n2... l nn Üst üçgen matris u 11 u u 1n 0 u u 2n U = n,n u nn Birim matris E = n,n Sıfır matris = n,n

14 Matris türleri (devam) Giriş Simetrik matris (a ij = a ji ) B = 3, Ters simetrik matris (a ij = a ji,a ii = 0) B = 3, Blok matris ( ) A11 A A = 12 = A 21 A A A A 21 A

15 Özel vektörler Sıfır vektörü 0 = Bir vektörü 1 = Birim vektör: elemanlarından sadece biri bire eşit, diğerleri sıfır e 1 = , e 2 = , e 3 = , e 4 =

16 Determinant Giriş n n boyutlu kare matrisin determinantı, a 11 a a 1n a 21 a a 2n deta = A = det a n1 a m2... a nn biçiminde gösterilir ve i. satır elemanları için yazılan, deta = A = n ( 1) i+k a ik A ik = k=1 n a ik c ik k=1 eşitliği ile hesaplanır. Burada A ik, a ik elemanının minörü; c ik = ( 1) i+k A ik ise kofaktörüdür. A ik, A nın i. satır ve k. sütun elemanları çizilerek elde edilen alt matristir (n 1 boyutlu).

17 Determinant (devam) Giriş Kofaktör kuralına göre 3 boyutlu bir matrisin determinantı, a 11 a 12 a 13 A = det a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a = a 22 a a 32 a 33 a 12 a 21 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 22 a 31 a 32 = a 11 (a 22 a 33 a 23 a 32 ) a 12 (a 21 a 33 a 23 a 31 ) + a 13 (a 21 a 32 a 22 a 31 ) 2 2 boyutlu alt matrislerin determinatları yardımıyla kolayca hesaplanabilir.

18 Determinant hesabına ilişkin bazı özellikler Determinant bir kare matris için geçerli reel bir sayıdır. Kare matris doğrusal bir denklem sisteminin katsayıları olarak verilmişse, determinantın sıfır olduğu durumda denklem sisteminin çözümü yoktur: deta = 0 deta 0 A tekil (singular) A düzenli (regular) Üçgen ve köşegen matrislerin determinantı köşegen elemanlarının çarpımına eşittir: deta = a 11a 22a 33 a nn Bir matriste iki sütun (veya satır) elemanları yer değiştirirse determinant işaret değiştirir: A = `a ) 1... a i a j... a n A = `a deta = deta 1... a j a i... a n Bir matrisin devriğinin determinantı kendisinin determinantına eşittir: deta = deta T

19 Gauss eleminasyonu Giriş 0 a 11 a 12 1 a satır a 21 a 22 a 23 A 2. satır-( a 21 a 11 )*1. satır a 31 a 32 a satır-( a 31 a 11 )*1. satır 0 a 11 a 12 1 a 0 a 22 a 23 A 2. satır aynı 0 a 32 a satır-( a 32 )*2. satır a a 11 a 12 a 0 a 22 a 23 A 0 0 a satır aynı Determinant A = a 11a 22a 33 Algoritma double detg(double **A, int n) { double det=0.0; double p =0.0; int i,j,k; for(k=0;k<n-1;k++) for(i=k+1;i<n;i++) { p=a[i][k]/a[k][k]; for(j=k+1;j<n;j++) A[i][j]-=p*A[k][j]; } det=1.0; for(i=0;i<n;i++) det*=a[i][i]; return (det); }

20 Matrisin izi ve normu Giriş Kare bir matrisin izi, köşegen elemanlarının toplamıdır: iz(a) = a 11 + a a nn = Matrisin normu, skaler bir büyüklük olup değişik norm kurallarına göre hesaplanabilir. Norm denilince akla genellikle satır ve sütun vektörler için tanımlanan Öklit normu gelir: n Satır normu A i = aij a 2 = i1 2 + a2 i a2 in j=1 n i=1 Sütun normu A j = n aij a 2 = 1j 2 + a2 2j a2 nj i=1 a ii

21 Matrisin rangı Giriş Rang r(a), A nın tekil olmayan en büyük minörünün, başka deyişle, bazı satır veya sütunların kapatılmasıyla elde edilen ve determinantı sıfırdan farklı en büyük alt kare matrisin boyutudur. Kare matrislerde, rang sıfır ile matris boyutu arasındadır: A n,n r(a n,n 0 ise r(a) = n. n,n 0 r(a) n n,n ) < n ise d = n r(a) farkına rang bozukluğu denir. n,n Herhangi bir matris için r(a T ) = r(a) eşitliği geçerlidir.

22 Matrislerin eşitliği Giriş A ve B matrisleri verilsin. m,n p,q m = p ve n = q olmak üzere her iki matrisin karşılıklı tüm elemanları arasında, a 11 = b 11 a 12 = b a 1n = b 1q a 21 = b 21 a 22 = b a 2n = b 2q A = B = m,n p,q a m1 = b p1 a m2 = b p2... a mn = b pq eşitlikleri sağlanıyorsa iki matris eşittir denir:

23 Matrisin devriği (transpozesi) A matrisinin devriği denildiğinde satırları sütünlara, sütünları m,n satırlara dönüştürülmüş matris anlaşılır: a 11 a a 1n a 11 a a m1 A = m,n a 21 a a 2n a 12 a a m2 AT = n,m a m1 a m2... a mn a 1n a 2n... a mn Burada T üst indisi A nın devrik olduğunu işaret eder (bunun yerine A veya A biçimleriyle de gösterilebilir). A = (A T ) T A = A T (A simetrik ise) Algoritma for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) T[j][i]=A[i][j];

24 Matris toplamı Giriş m = p ve n = q olmak üzere iki matrisin toplamı, a 11 + b 11 a 12 + b a 1n + b 1q a 21 + b 21 a 22 + b a 2n + b 2q C = A + B = m,n m,n p,q a m1 + b p1 a m2 + b p2... a mn + b pq ile tanımlanır (fark için C = A + ( B) eşitliği yazılabilir). A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) + C Değişim öz. Birleşim öz. Algoritma if(m==p && n==q) for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<n;j++) C[i][j]=A[i][j]+B[i][j];

25 Matris çarpımı Giriş İki matrisin çarpımı, C = A m,q m,n B p,q ile gösterilir. Burada n = p olmalıdır. C matrisinin c ij elemanı A nın i. satır ve B nin j. sütun elemanlarının karşılıklı çarpımlarının toplamına eşittir: A c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j +...a in b nj = B C Algoritma n a ik b kj k=1 if(n==p) for(i=0;i<m;i++) for(j=0;j<q;j++) for(k=0;k<n;k++) C[i][j]+=A[i][k]+B[k][j];

26 Matris çarpımının özellikleri Matris çarpımı için aşağıdaki özellikler geçerlidir: A(BC) = (AB)C A(B + C) = (AB) + AC Birleşim öz. Dağılma öz. A ve B matrislerinin sağdan ve soldan çarpımları mümkün olsa bile matris çarpımının değişim özelliği genellikle yoktur: AB BA E birim matris olmak üzere A ile çarpımı aşağıdaki sonucu verir: m,n A E = E A = A m,n n,n m,m m,n m,n Bir matris çarpımının devriği, ters sırada matris devriklerinin çarpımına eşittir: (ABC) T = C T B T A T

27 Matris çarpımının özellikleri (devam) Eşit dereceli A ve B matrislerinin determinantı için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir: det(ab) = detadetb = detbdeta = det(ba) A 2 = AA = A eşitliğini sağlayan matrise eşgüçlü (idempotent) matris denir. Bir matris soldan devriği ile çarpılırsa simetrik matris elde edilir (Gauss dönüşümü): a 1 b 1 c a 1 a 2... a n A T A b 1 b 2... b n A a 2 b 2 c 2 [aa] [ab] [ac] c 1 c 2... c n.. C. A [bb] [bc] A [ac] [bc] [cc] a n b n c n Köşeli parantezler toplam anlamındadır: [aa] = a1 2 + a an. 2 a ve b sütun vektörleri tanımlansın. İki vektör arasında iki farklı çarpım söz konusudur. a T b = c = a 1b 1 + a 2b a nb n ab T = C İç çarpım (sayı) Dış çarpım (matris)

28 Bir matrisin tersi Giriş Tekil olmayan bir A matrisi, AA 1 = A 1 A = E eşitliğini sağlıyorsa A 1 matrisine A nın tersi denir. Ters matris Kramer kuralı olarak bilinen ve matrisin i. satır ve k. sütun elemanlarının kapatılmasıyla hesaplanan kofaktör elemanları ( 1) i+k A ik yardımıyla bulunabilir: A 1 = adja A = 1 A A 11 A 21 A A 12 A 22 A 32 ±... A 13 A 23 A ±.....

29 Matris tersinin özellikleri Matris tersi için aşağıdaki özellikler geçerlidir: (A 1 ) 1 = A (ka) 1 = k 1 A 1 A 1 = A 1 (ABC) 1 = C 1 B 1 A 1 A = A T A 1 = (A 1 ) T A = A 1 A 2 = E Köşegen matrisin tersi, köşegen elemanlarının terslerinden oluşan yeni bir matristir: diag(d 1,d 2,..., d n) = diag(1/d 1,1/d 2,..., 1/d n) Bir üst üçgen matrisin tersi yine üst üçgen matris, alt üçgen matrisin tersi de yine alt üçgen matristir.

30 Gauss-Jordan yöntemi ile ters matris hesabı Yöntem, tersi alınacak matrisin (A) sağına aynı boyutlu birim matrisin yazılmasına ve soldaki matrisin birim matrise indirgenmesine dayanır. İndirgeme işlemleri sonucunda sağdaki birim matris ters matrise dönüşmüş olur (B = A 1 ): a 11 a a 1n ( ) a 21 a a 2n A E = a n1 a n2... a nn b 11 b b 1n b 21 b b 2n = ( E B ) b n1 b n2... b nn

31 Gauss-Jordan eleminasyonu (örnek) satır aynı *1.satır+2.satır satır aynı *2.satır+3.satır *3.satır+1.satır *3.satır+2.satır satır aynı *1.satır *2.satır *3.satır 1

32 Pivotlama yardımıyla Gauss-Jordan eleminasyonu Pivot, tersi alınacak matrisin köşegen elemanına verilen addır. Köşegen elemanı sıfır ise sayısal olarak indirgeme işlemini yürütmek olanaksızlaşır; köşegeni sıfırdan farklı yapacak en uygun satır değişikliğine gidilir. Çözümün sayısal kararlılığı için genellikle en büyük eleman pivot olarak seçilir. Örnek: A

33 Simetrik bir matrisin tersi Simetrik bir matris için tanım daha önce A = A T eşitliğiyle yapılmıştı. En Küçük Kareler, simülasyon, Kalman filtreleme vb. uygulamalarda pozitif tanımlı simetrik matrisler ile igili hesaplamalar çoğu kez kaçınılmaz olur. Böylesi matrislerin terslerinin alınması sıradan matrislere göre daha kolaydır. Simetrik bir matrisin tersi denilince akla gelen ilk yöntem Cholesky ayrıştırmasıdır. Bunun dışında daha önce anlatılan Gauss algoritması da kullanılabilir. Aslında bu yöntem matrisin simetrik özelliğinden yararlanılarak kısaltılmış (üçgene indirgenmiş) bir çözümdür. Bu nedenle modernleştirilmiş Gauss yöntemi olarak da bilinir.

34 Cholesky ayrıştırması ve simetrik bir matrisin tersi Cholesky ayrıştırması, simetrik pozitif tanımlı bir A matrisinin alt üçgen matris ve onun devriğinin çarpımı biçiminde ayrıştırılmasıdır: 0 1 c 11 c 21 c c n1 c 22 c c n2 c c n3 = C T C.. A 0 c 11 1 c 21 c 22 C = c 31 c 32 c 33 C... A c n1 c n2 c n3... c nn c nn 0 1 a 11 a 12 a a 1n a 22 a a 2n a a 3n = A = CC B Sim. C.. A a nn

35 Cholesky ayrıştırması (köşegen elemanları) a 11 = c11 2 c 11 = a 11 a 22 = c c2 22 c 22 = a 22 c21 2 a 33 = c c c33 2 c 33 = a 33 c31 2 c2 32. a nn = c 2 n1 + c 2 n c 2 nn c nn =. a nn c 2 n1 c2 n2... c2 nn 1

36 Cholesky ayrıştırması (köşegen olmayanlar) a 12 = c 11c 21 c 21 = a 12/c 11 a 13 = c 11c 31 c 31 = a 13/c a 1n = c 11c n1 c n1 = a 1n/c 11 a 23 = c 21c 31 + c 22c 32 c 32 = (a 23 c 21c 31)/c 22 a 24 = c 21c 41 + c 22c 42 c 42 = (a 24 c 21c 41)/c a 2n = c 21c n1 + c 22c n2 c n2 = (a 2n c 21c n1)/c 22 a 34 = c 31c 41 + c 32c 42 + c 33c 43 c 43 = (a 34 c 31c 41 c 32c 42)/c 33 a 35 = c 31c 51 + c 32c 52 + c 33c 53 c 53 = (a 35 c 31c 51 c 32c 52)/c a 3n = c 31c n1 + c 32c n2 + c 33c n3 c n3 = (a 3n c 31c n1 c 32c n2)/c 33

37 Cholesky ayrıştırması Giriş i 1 c ii = aii k=1 c 2 ik ) c ji = 1 i 1 (a ij c ik c jk c ii k=1 i = j için j > i için Algoritma for(i=0;i<n;i++) for(j=i;i<n;j++) { sum=a[i][j]; for(k=0;k<i;k++) sum-=a[i][k]*a[j][k]; if(i==j) { A[j][i]=sqrt(sum); cii=a[j][i]; } else A[j][i]=sum/cii; }

38 Cholesky ayrıştırması (2. aşama) Cholesky ayrıştırması yapılmış bir matrisin tersi: A = CC T A 1 = (C T ) 1 C 1 Yukarıdaki eşitliğin her iki tarafı C T ile çarpılırsa, C T A 1 = C T (C T ) 1 C 1 C T A 1 = EC 1 = C c 11 c 21 c c n1 c 22 c c n2 C T = c c n3 C.. A c nn 0 1 q 11 q 12 q q 1n q 12 q 22 q q 2n q 13 q 23 q q 3n = Q C.. A q 1n q 2n q 3n... q 0 nn 1 1/c 11? 1/c 22?? 1/c 33 = C 1 C... A???... 1/c nn

39 Cholesky yöntemine göre matris tersi Örneğin 3 3 lük bir matris için çözüm: c 33q 33 = 1 c 33 q 33 = 1 c33 2 c 22q 23 + c 23q 33 = 0 q 23 = 1 c 23q 33 c 22 c 11q 13 + c 12q 23 + c 13q 33 = 0 q 13 = 1 c 11 (c 12q 23 + c 13q 33) c 22q 22 + c 23q 23 = 1 c 22 q 22 = 1 c 22 ( 1 c 22 c 23q 23) c 11q 12 + c 12q 22 + c 13q 23 = 0 q 12 = 1 c 11 (c 12q 22 + c 13q 23) c 11q 11 + c 12q 12 + c 13q 13 = 1 c 11 q 11 = 1 c 11 ( 1 c 11 c 12q 12 c 13q 13)

40 Blok matrisin tersi Giriş ( ) N11 N N = 12 N 21 N 22 ( ) ve Q = N 1 Q11 Q = 12 Q 21 Q 22 olsun. İki matris arasında NQ = diag(e,e) sonucu bulunması gerektiğinden Q 11 = N N 1 11 N 12Q 22 N 21 N 1 11 Q 22 = (N 22 N 21 N 1 11 N 12) 1 Q 12 = N 1 11 N 12Q 22 Q 21 = Q 22 N 21 N 1 11 matris işlemleriyle bir blok matrisin tersi oluşturulabilir.

41 Bir matrisin türevi Giriş Skaler değişkene göre türev: B = da(t) dt b ij (t) = da ij(t) dt y = f (x 1,x 2,...,x n ) = f (x) fonksiyonunun x e göre türevi, a T = y x = ( y x 1 y x 2 ) y x n dx = (dx 1,dx 2,...,dx n ) T olmak üzere y nin diferansiyeli, skaler bir sayıdır. dy = a T dx

42 Bir matrisin türevi (devam) Aynı vektör elemanlarına bağlı birden fazla fonksiyondan (y i = f i (x 1,x 2,...,x n )) oluşan y = f(x) vektörünün x e göre türevi, y 1 y 1 y x 1 x 2 1 x n y y x = 2 y 2 y x 1 x 2 2 x n = F m n y m x 2 ve diferansiyeli, y m x 1 dy = Fdx y m x n ile gösterilir. Burada F Jacobi matris olarak bilinir; dengeleme hesabında hata yayılma kuralının uygulanması ve düzeltme denklemlerinin oluşturulması aşamasında karşımıza çıkar.

43 Hata türleri Giriş Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı Kaba hatalar: Dikkatsizlik ve özensizlik sonucu oluşurlar, işaret olarak düzensiz ancak beklenen hata miktarının çok üzerindedirler, çoğu kez kolay farkedilirler ve ölçü kümesinden çıkartılmaları gerekir, standart hatanın üç ile altı katı arasındakileri belirlemek zordur, istatiksel karar testleriyle uyuşumsuz olup olmadıklarına karar verilebilir. Düzenli (sistematik) hatalar: Ölçme donanımından veya ölçme tekniğindeki eksikliklerden kaynaklanırlar, eşit çevresel koşullarda yakın büyüklüktedirler (genellikle aynı yönlü), ölçülerin ve bilinmeyen parametrelerin kestirim değerlerinde model hatalarına neden olurlar, başka ölçme donanımı veya ölçme teknikleri kullanılarak büyüklükleri kestirilebilirler ve ölçülere düzeltme olarak getirilebilirler. Düzensiz (rasgele) hatalar: Dengeleme hesabının konusudurlar, işaret ve büyüklükleri önceden kestirilemezler, ölçme donanınımlarının ve insan duyularının yetersizlikleri ile modellenemeyen çevresel koşulların toplam etkisi olarak ölçülere yansırlar.

44 Rasgele hataların (frekans) dağılımı Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı ε i = µ l i (i = 1, 2,..., n) %h h r = k r n (r = 1, 2,...) k r n r. aralıktaki hata sayısı toplam hata (ölçü) sayısı ε (mm)

45 Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı Frekans (sıklık) dağılımı ve Gauss eğrisi %h ε (mm)

46 Normal (Gauss) dağılım Giriş Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı f(ξ) ξ 2 f(ξ) = 1 σ 2π e 2σ 2 σ 0 σ ξ

47 Doğruluk ölçütleri Giriş Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı f(ξ) σ 1 Yüksek doğruluk σ 2 > σ 1 σ 2 Düşük doğruluk µ σ 2 µ σ 1 µ µ + σ 1 µ + σ 2 ξ

48 Güven aralığı ve hata türleri Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı Güven aralığı Bir x N(µ,σ 2 ) rasgele değişkeninin µ ± kσ aralığında değer alma olasılığı (k = x µ σ standartlaştırılmış normal değişken): P(µ kσ < x < µ + kσ) = Φ(k) Φ( k) = 2Φ(k) 1 k Φ(k) 2Φ(k) 1 Hata türü Olası hata (r = ±0.674σ) Mutlak hatalar ortalaması (t = ±0.798σ) Standart sapma ( ortalama hata) Kabul edilebilir en büyük hata

49 İstatistiksel büyüklükler Giriş Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı l rasgele değişken (ölçü) için ε i = µ l i hata, v i = x l i düzeltme olsun. Beklenen değer µ = E(l) n Varyans σ 2 = E((l µ) 2 ) n Ortalama değer x = [l] n [εε] Standart sapma s = n [vv] Ortalama hata m = n 1 Ölçülerde sistematik hata yoksa: m = s n (n için x µ) n (n için s σ) n Ölçülerde sistematik hata varsa: m > s, m 2 = s 2 + (sistematik hata) 2

50 Kovaryans ve korelasyon Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı Tanım Kovaryans (σ xy ), iki rasgele değişken arasında ilişkiyi gösteren büyüklük, korelasyon (ρ xy ) bu büyüklüğün standartlaştırılmış değeridir: σ xy = E((x µ x )(y µ y )) <σ xy < + ( ) (x µx ) (y µ y ) ρ xy = E 1 ρ xy < +1 σ x σ y Deneysel varyans (s 2 x,s 2 y),ve kovaryans (s xy ) değerleri için korelasyon: r xy = s xy s x s y 1 r xy < +1

51 Kovaryans matris Giriş Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı n sayıda rasgele değişken ve bunlara karaşılık gelen beklenen değerler sırasıyla x ve µ vektörleri altında toplansın. (x µ)(x µ) T çarpımının beklenen değeri, x = ( ) T } x 1 x 2... x n µ = ( ) T E((x µ)(x µ) T ) = C xx µ 1 µ 2... µ n köşegen elamanlar varyans (σi 2 ) ve köşegen olmayan elemanları kovaryans (σ ik ) değerlerinden oluşan n n boyutlu simetrik bir matristir (kovaryans matris): σ 2 1 σ 12 σ 1n σ 12 σ2 2 σ 2n σi 2 = E((x i µ xi ) 2 ) C xx = σ ik = E((x i µ xi )(x k µ xk )) σ 1n σ 2n σn 2

52 Hata yayılımı Giriş Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı Jeodezide konum parametereleri (örn. x,y ve z), genellikle yeryüzünde ölçülen doğrultu, uzunluk ve açılardan dönüştürülen büyüklüklerdir. Ölçülerdeki gözlem hataları, ölçülerin bir matematiksel bir fonksiyonu olarak ifade edilmeleri nedeniyle istenilen büyüklüklere de yayılırlar: y 1 = f 1 (l 1,l 2,...,l n ) y 2 = f 2 (l 1,l 2,...,l n ).. y m = f m (l 1,l 2,...,l n ) = y = f(l) (1)

53 Doğrusal modellerde hata yayılımı Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı Örneğin l = ( l 1 l 2 l 3 ) T ölçüleri ile bilinmeyen y 1, y 2 parametreleri arasında aşağıdaki gibi doğrusal bir ilişki tanımlı olsun: y 1 = a 0 + a 1 l 1 + a 2 l 2 + a 3 l 3 y 2 = b 0 + b 1 l 1 + b 2 l 2 + b 3 l 3 (2) Hatasız olarak bilinen a ve b katsayılarına karşılık l i ölçüleri ε i düzeltme değerleriyle birlikte (l i + ε i : beklenen değer) ele alınırsa hata yayılma etkisi, y 1 + ε y1 = a 0 + a 1 (l 1 + ε 1 ) + a 2 (l 2 + ε 2 ) + a 3 (l 3 + ε 3 ) y 2 + ε y2 = b 0 + b 1 (l 1 + ε 1 ) + b 2 (l 2 + ε 2 ) + b 3 (l 3 + ε 3 ) (3) biçiminde görülür.

54 Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı Doğrusal modellerde hata yayılımı (devam) (3) te ölçü ve hata terimleri ayrıştırılırsa (2) nedeniyle, sonucu ortaya çıkar. ε y1 = a 1 ε 1 + a 2 ε 2 + a 3 ε 3 ε y2 = b 1 ε 1 + b 2 ε 2 + b 3 ε 3 (4) (2) ve (4) eşitliklerinden, fonksiyonel modelin ölçülere göre türevleri oranında ölçü hatalarının kestirilen büyüklükler üzerine yayıldığı kolayca görülebilir: ε yi = f i l 1 ε 1 + f i l 2 ε 2 + f i l 3 ε 3 = a T ε (5)

55 Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı Doğrusal olmayan modellerde hata yayılımı Genellikle ölçüler ile aranan büyüklükler arasındaki fonksiyonel ilişki doğrusal olmaz: y i = f i (l 1,l 2,...,l n ) (6) Ölçülerin beklenen değerlerine (l i + ε i ) göre y i nin beklenen değeri, y i + ε yi = f i (l 1 + ε 1,l 2 + ε 2,...,l n + ε n ) (7) Taylor serisi kullanılarak (ε i değerlerinin küçük olması koşuluyla), y i + ε yi = f i (l 1,l 2,...,l n ) + f i l 1 ε 1 + f i l 2 ε f i l n ε n ε yi = f i l 1 ε 1 + f i l 2 ε 2 + f i l 3 ε f i l n ε n = a T ε (8) doğrusallaştırılabilir.

56 + (a 1b 3 + a 3b 1)ε T 1 ε 3 + (a 2b 3 + a 3b 2)ε T 2 ε 3 (10) Giriş Varyans-kovaryans yayılımı Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı l 1,l 2,...,l n ölçülerinin her biri γ kez yinelendiği varsayılsın. Bu durumda y 1 ve y 2 büyüklükleri için γ sayıda (8) hata denklemi yazılabilir: ε y1 = a 1 ε 1 + a 2 ε 2 + a 3 ε 3 ε y2 = b 1 ε 1 + b 2 ε 2 + b 3 ε 3 (9) ε y1 ve ε y2 vektörlerinin kendisiyle (auto) ve çapraz (cross) çarpımlarından, ε T y 1 ε y1 = a 2 1ε T 1 ε 1 + a 2 2ε T 2 ε 2 + a 2 3ε T 3 ε 3 + 2a 1a 2ε T 1 ε 2 + 2a 1a 3ε T 1 ε 3 + 2a 2a 3ε T 2 ε 3 ε T y 2 ε y2 = b 2 1ε T 1 ε 1 + b 2 2ε T 2 ε 2 + b 2 3ε T 3 ε 3 + 2b 1b 2ε T 1 ε 2 + 2b 1b 3ε T 1 ε 3 + 2b 2b 3ε T 2 ε 3 ε T y 1 ε y2 = a 1b 1ε T 1 ε 1 + a 2b 2ε T 2 ε 2 + a 3b 3ε T 3 ε 3 + (a 1b 2 + a 2b 1)ε T 1 ε 2+ çıkar.

57 Varyans-kovaryans yayılımı (devam) Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı (10) eşitliklerinin her terimi bağımsız ölçülerin sayısına (γ) bölünürse, ε T y 1 ε y1 γ = σ 2 y 1, ε T i ε i γ olduğu göz öne alınarak, ε T y 2 ε y2 γ = σ 2 i, = σ 2 y 2, ε T i ε k γ ε T y 1 ε y2 γ = σ y1 y 2 = σ ik (11) σ 2 y 1 = a 2 1σ a 2 2σ a 2 3σ a 1a 2σ a 1a 3σ a 2a 3σ 23 σ 2 y 2 = b 2 1σ b 2 2σ b 2 3σ b 1b 2σ b 1b 3σ b 2b 3σ 23 σ y1 y 2 = a 1b 1σ a 2b 2σ a 3b 3σ (a 1b 2 + a 2b 1)σ 12+ (12) + (a 1b 3 + a 3b 1)σ 13 + (a 2b 3 + a 3b 2)σ 23 bulunur.

58 Varyans-kovaryans yayılımı (devam) Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı l = ( ) T l 1 l 2 l 3 ölçü vektörünün varyans-kovaryans matrisi ve y 1, y 2 fonksiyonlarının doğrusal terimlerinin katsayıları, 0 1 T σ1 2 σ 12 σ 13 a = a 1 = y 1 C ll σ 12 σ2 2 l σ 23 A 1 a 2 = y 1 l 2 a 3 = y 1 l 3, T (13) σ 13 σ 23 σ3 2 b = b 1 = y 2 l 1 b 2 = y 2 l 2 b 3 = y 2 l 3 ise (14) varyans-kovaryans eşitlikleri, σ 2 y 1 = a T C ll a σ 2 y 2 = b T C ll b σ y1 y 2 = a T C ll b = b T C ll a (14) biçimine dönüştürülebilir.

59 Genel hata yayılma kuralı Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı Hata yayılımı (1) eşitliğinde verilen m sayıda fonksiyon için elde edilecekse bu fonksiyonların diferansiyeli dy = Fdl ve onun katsayılar matrisi, y 1 y 1 y l 1 l 2 1 l n y 2 y 2 y F = l 1 l 2 2 l n y m l 1 y m l 2 olmak üzere genel varyans-kovaryans kuralı, matris eşitliği ile özetlenebilir. y m l n (15) C yy = FC ll F T (16)

60 Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı Ağırlık katsayısı ve ağırlık yayılma kuralları (16) eşitliğininin her iki yanı birim ağılıklı varyans değerine bölünürse, 1 σ0 2 C yy = 1 σ0 2 FC ll F T Q yy = FQ ll F T (17) ağırlık katsayıları matrisi elde edilir. (17) eşitliğine ağırlık yayılma kuralı adı verilir. n sayıda ölçü için ağırlık matrisi, ağırlık katsayıları (kofaktör) ve varyans-kovaryans matrisi arasında, ilişkisi vardır. P ll = Q 1 ll = σ2 0 C 1 ll (18)

61 Hata türleri ve hata kuramı Hata yayılma kuralları Standart sapma hesabı Sonlu ölçü dizilerinden standart sapma hesabı Beklenen değer: µ = E(l), Varyans: σ 2 = E((l µ) 2 ), ölçüler korelasyonsuz Ortalama değer x = [l] n (n için x µ) n r [εε] Standart sapma s = n (n için s σ) n r [vv] Ortalama hata m = n n 1 s Ortalama değerin [vv] m x = ortalama hatası n(n 1) = m n Ölçü çiftlerinin ortalama hatası Ölçü çifti ortalamasının ortalama hatası r [dd] m = 2n m x = r [dd] 4n = m 2 d i = l i l i