MĐNKOWSKĐ 4-UZAYINDA EĞRĐLER ve HAREKETLERĐN GEOMETRĐSĐ

Transkript

1

2

3 MĐKOWSKĐ -UZAYIDA ĞRĐLR v HARKLRĐ GOMRĐSĐ Pamal Üvr F Blmlr üü Yü La Mama Aablm Dalı Hac OZAK 86 Yrd. Doç. Dr. CASL AYCA mm DĐZLĐ

4

5

6 ŞKKÜR Yüla daışmalığımı ülp blg v crübl d vr çalışmamı hr afhaıda ardımıı rgm aı hocam Yrd. Doç. Dr. Cal AYCA a şüra v agılarımı arım. çalışmam ıraıda baa ardımcı ola aı hocam Yrd. Doç. Dr. Şv CĐVLK d şürü borç blrm. Dğ hr ama aımda hğm vgl alm Aş OZAK v Sülma OZAK a ço şür drm. Hac OZAK

7 v ÖZ MĐKOWSKĐ -UZAYIDA ĞRĐLR v HARKLRĐ GOMRĐSĐ OZAK Hac Yü La Mama Aablm Dalı öc:yrd. Doç. Dr. CASL AYCA B çalışma bş bölümd olşmaadır..bölümd Yarı Rma aı Lor Uaı Mow aıda ç çarpım v ölllr vörl çarpım vör apıları vörlr araıda açı avramı v hprdülmlr gb Mow a ama ğrlr v harlr gomr ç ml aım v ormlr r vrlmşr.. Bölümd ğrl apılarda Rma mafoldları ürd l v alı jodlr v bları da admbl allr mmal ğrlr drm v loal mmal drmları cld.. Bölümd oolar Ül döüşümlr v ormal omşllar v ormal oordalarda bahdld.. Bölümd Mow aıda ğrlr ç Srr-Fr formüllrd ararlaara apı dlmlr olşrld. Đvolü v Brrad ğrlr cld. o bölümd ; apığımı çalışmalar ç glamalara r vrld. Çalışmalarımıı baı gomr glamalarıa da dğld. Aahar Klmlr: mr foo Lor-Mow aı Hprbol a oorda v oolar jod ül döüşüm Fr çaıı

8 v ABSRAC CURVS O H MĐKOWSKĐ -SPAC ad GOMRY OF MOIOS OZAK Hac M. Sc. h Mahmac Sprvor: Yrd. Doç. Dr. CASL AYCA h wor co of fv chapr. h fr chapr abo h bac dfo ad horm rlad o Sm-Rma pac r prodc ad propr mrc fco agl bw wo gv vcor vcor prodc hprpla crv o h -dmoal Mow pac ad gomr of moo. h cod chapr cld lgh ad dac o h Rma mafold Rma godc admbl faml ca of mmg crv ad mmg. locall I h hrd chapr poal map dfo ad bac proprormal ghborhood ad ormal Coorda ar rodcd. h forh chapr compod of h vol crv h Mow pac h godc of h Modl pac h formla of Srr-Fr Brrad crv copl h Mow pac. I h fal chapr h applcao for h d w hav do wr gv bd om gomrc applcao of h d ar mod. K word: mrc fco Lor-Mow pac Hprbolc pac ghborhood ad coco godc poal map Fr fram

9 v ĐÇĐDKĐLR Safa OAY SAYFASI... ŞKKÜR... BĐLĐMSL ĐK SAYFASI... ÖZ...v ABSRAC...v ĐÇĐDKĐLR...v SĐMGLR V KISALMALAR DĐZĐĐ... v ŞKĐLLR DĐZĐĐ... GĐRĐŞ... -BÖLÜM - LORZ-MĐKOWSKĐ UZAYI. ml Yapılar.... Mow Uaıda Açı v Har Kavramı...7. Mow Uaıda Ya Ulğ...9 -BÖLÜM - ĞRĐSL YAPILAR. Rma Mafoldları Ürd Ullar v Ualılar.... Jod Admbl Allr Mmal ğrlr..... Loal Mmal ğrlr...6 -BÖLÜM - KOKSĐYO v KOORDĐALAR. Rma Koo...5. Ül Döüşüm ormal Komşllar v ormal Koordalar...6

10 v -BÖLÜM - ĞRĐSL YAPI FORMÜLLRĐ. Modl Uaları Jodğ Srr-Fr Formüllr...7. Mow Uaıda ğr Đvolü...7. Mow Uaıda Brrad ğr Çf BÖLÜM 5- BAZI ĞRĐSL UYGULAMALAR 5. Problm Problm...86 KAYAKLAR...88 ÖZGÇMĐŞ...89

11 v SĐMGLR v KISALMALAR DĐZĐĐ : -bol Mow aı : -bol Mow aı IR : -bol Öld aı H : Hprbol a S m : Yarı-Rma ür r H m : Yarı-Rma hprbol aı r C : Yarı-Rma ml o : Dfrallblr ğr : Dfrallblr foo µ : Dfrallblr foo : ğr ğ vör alaı : ğr ormal vör alaı B : ğr bormal vör alaı : ğr rormal vör alaı g : Lor mrğ d H : Hprbol mr : orm : ğr brc ğrlğ : ğr c ğrlğ : ğr üçücü ğrlğ

12 ŞKĐLLR DĐZĐĐ Şl. Admbl allr Şl. Ivm vörüü γ dform dlm Şl.. Köş varlamaı Şl.. Ga Lmmaı paı Şl.. Rma ormal oordaları Şl.. Dügü ormal omşlğ Şl.. Smr Sl. Yvarı jodğ Şl. Yarı aı jodğ Şl 5..a Yarım ür Şl 5..b Đ mrd şl S ürd jodlr ödşlm

13 GĐRĐŞ Çalışığım o ola Lor aıı clr Mow -aıda ml apılar rld. Öld aı v hprbol ala arşılaşırmalarda blld. Öcll rlmaıda öml ola mr apıları rdld. Daha ora vör apılarıı rara açı avramı blrld. Ya llarıı hprbol aı l Lor araıda a llarıı l aldım. Ul v alı avramlarıı blrlr jodlrm rmş oldm. Döüşümlrl mmal v loallğ gördüm. Koorda apılarıı hm cbrl fad olara hm d opoloj bo cldm. Kaa aramaı Lor gomr 87 Ubr d ogaa ch-ldch Gomr maald oraa çımışır. 885 ch-ldch Rmform l Kllg arafıda glşrld. Lor -bol aıı Pocaré 96 da Sr la Damq d l lcro maald pacm ç br modl olara aııldı. Lor - aıa Mow 97 d Da Rlaväprp oda Öl Rölav ord pac m ç modl olara alıdı. Yorm 977 d aılaa Hrma Mow v ı Öl Rölav ord görülür. 98 ılıda Mow arafıda çıarıla maallrl glşrld. Lor -aıa Mow a-ama da dr. Lor döüşümlr l olara Kllg arafıda dğrldrlp oraa od. Faa döüşümlr Lor arafıda 9 ılıda lcromagc phoma a m movg wh a vloc lr ha ha of lgh maald aımladı. Rölav ord Lor gomr r almaıla lgl arışmalar ocda 978 ılıda Pro h gomr of vr oda v G. abr h gomr of Mow pacm ol çalışmaıda l alıdı. Hprbol ada hprbolod modl 878 d Kllg Ubr w Ramform m coar pvr Krümmg adlı maald oraa çımışır. ml v pacl

14 açıları Kl ı 87 ılıda Ubr d oga ch-cldch gomr maald aımladı. Hprbol a lğ lmaları Kllg 88 ılıda D rchg d ch-cldch Ramform maald görüldü. Hprbol doğr parçaıı Lor lğ Yaglom arafıda A mpl o- clda gomr ad phcal ba çalışmaıla aımladı. - bol hprbol oordalar Labachv O h prcpl of gomr maald oraa çıı. Co oordaları Homogo coorda magar gomr maald aımladı. Sacchr 7 ılıda hprbol üçg açılarıı oplamıı d açıda daha fala oldğ paladı. Koü v ü l lgl rallarıa br formüllr Lobachv arafıda çıarıldı. Hprbol v Kürl rgoomrlr araıda dallğ olara Lambr arafıda glşrld. Daha ora ıllarda omş açılı dörglrürl rgoomr formüllr d açılı hprbol alıglr ç formüllr çalışılmışır... Maral Yöm RACLIFF J. G. Fodao of Hprbolc Mafold Dparm Of Mahmac Vadrbl Uvr 99 v L J. M. Rma Mafold A Irodco o Crvar Dparm of Mahmac Uvr of Wahgo Sal 99 aplarıı ml alara dğr maal v lrd ararlaara olşrld.

15 BÖLÜM LORZ-MIKOWSKI UZAYI.. ml Yapılar B bölümd öcll Lor-Mow aıı mr apıı aımlaara ürd vörl apılarda bahdlcr. aım... mr b-lr form V ol bol rl vör aı ol. :V V IR b-lr foo vw V ç w v w v öllğ aglaa V ürd br mr b-lr form dr.[7] aım... Vvör aı ürd br mr b-lr form ol. B adrd v V v ç v v > b-lr form pof aımlı v V v ç v v < b-lr form gaf aımlı v V v ç v v b-lr form arı-pof aımlı v v V v ç v v b-lr form arı-gaf aımlı v v V v v ç v olora b-lr forma o-djra hald djr dr. [7]

16 aım... b-lr form d V ürd mr b-lr form v W da V br alaı ol. W ürd ıılaışı olma ür W : W W IR W gaf aımlı olaca şld büü bol W alaıı boa mr b-lr form d dr. gr d v v bo V dr. [7] aım...mr ör M ürvlblr C ııfıda mafold v : χ M χ M C MIR şld aımlaa mr b-lr v o-djr mr fooa M ürd br mr ör dr. B mr örü d M mafold d olara fad dlr. M br C ııfıda mafold olma ür χ M d aımlı ç çarpım foo M hr br aja aıa br ç çarpım drgr öl X Y χm v p M ç X p p Y M p dr. Bölc : p M p M p IR mr b-lr o-djr döüşüm aımlaa fooa p M p ürd br mr ör dr. aım..5. M br C ııfıda mafold v d M ürd ab dl br mr ör olma ür M l br arı-rma mafold dr. M d v olma ür v bo M ç v M br Rma mafold v v drmda M Lor mafold dr.

17 aım..6. IR bol adar rl vör aı ürd p IR v V p Wp p IR olma ür V W - p p w vw v v w vw şlğl vrl v-dl mr örl ld dl aa arı-öld a dr v IR v l görlr. Brada ıraıla blşlrdr. v v Öl olara v v drmda w lr Mr ör Lor mrğ olara adladırılır. Vp v Mow -aıda ç çarpım ölllr ağlaalım: W p aja vörlr -bol Mow aı adıı alır. : IR v v - v v v v v v v mr öllğ v - v v v v carpmaagör dğşm - v v v v çcarpım a ımıda v a b IR v v w a b v w a w b v w b v w a - a bv w a bv w a bv w a bv w a - v v v v b - v v v v a w b v w

18 aım..7. X ol. ğr X X < X ml vör X X > va X X pacl vör X X v X X ll vör olara fad dlr. [7] aım..8. Mow -aıda X Y ç X Y X v Y vörlr Lor alamıda dr orogoaldr dr. ORM... ıfır olmaa Lor orogoal vörlr ol. ml vör paclır. ĐSPA: ml - Lor orogoal dr. B drmda pacl vördür. - aım..9. Bölc τ ç Mow -aıı büü ml vörlr üm τ ol. C τ : < bçmd aımlaa C üm çr : g < ü m-o dr. [7]

19 5 τ C ışı o Spac-l m-l Şl.: Mow aıı aımlaış öllğ aım... X ç X vörüü orm Lgh-l X X X l aımlaır. [7] ORM... X v X ol. B ard X > dır. X X br ll vördür. X br ml vör X - X X dr. v X br pacl vör X X X dr. ĐSPA: X X X X X v X oldğda X > dır. X X X X X X X X X X aım.. 7 X ll vördür.

20 6 X X X X ml - X X v X X X X pacl X X dr. aım... V Mow aı ol. W V alaı gö öü alııra : W W IR pof W a pacl alaı W : W W IR gaf W a ml al aı W dr. [7] : W W IR djr W a lghl alaı W ORM... drmda Mow -aıda X v Y ml vörü ol. B X Y X Y şlğ vardır. B şl şl drm ağlamaı ç gr v r şar X v Y vörlr lr bağımlı olmaıdır. [] ĐSPA: Y ax Y Y X Y ml vör Y Y a X X Y Y < dır. B drmda X Y a X X Y Y Y Y X X Y Y X X X Y Bölc X Y X Y olr.

21 7 Y Y v X X < oldğda b orm şlğ adc v adc Y Y Y a Y ax olr. B drmda X v Y vörlr lr bağımlıdır... Mow -aıda Açı v Har Kavramı Şmd vörlr araıda açı avramıı l alacağı. Öc bölümd bahdl mlpacl v lghl vörlr ç arı arı açıal drm clcğ. Bla lşl olara Lor döüşümüü clp açıca aı ba apııı olşracağı. B ç öcll aşağıda orm vrlm. ORM... mo lmaı Mow -aıda v ml vörlr aı cohθ olaca şld br θ rl aıı vardır. [] ĐSPA: v lr bağımı m-l vörlr düşüülür X < > m-l br dülm olr. v lr bağımı lgh-l vörlr va ml vördür çüü; ± ± dr v hr vörü m-l olmaıa bağlı olara oldğa gör a v b ürd şl ş şlddr: a b a b a b ab a olr. b a dr ld dlr B dğş gör br dlmdr v çöümü vardır. Dolaııla dlm drmaı pof olmalıdır. O hald >

22 8 dr. B v lr bağımı oldğ drmda şlğ görr. B aı ıra; ğr oraılılara o ama şl aalamış olr. Bölc < > < > < >. ld dlr. v aı m-l o çdlr < olr v. fad ş görr: < > < > < > Hprbol oü foo :[ [ coh brbr oldğda brada br aı olşr olr. cohθ < > < > < > AIM... Yarıda vrl θ rl aııa v ml vörlr araıda Lor ml açı dr. [] ORM... v aı ada ıfır v pacl olmaa vörlr ol. B drmda olr v şl drm aca v aca v lr bağımlı lghl vörlr ç ağlaır ĐSPA:. v oraılıa b orogoal oldlarıı görr. Fardlm orogoal ol. < > < > arışımıda; w w v aılablr. oldğda v hr vör d lgh-l oldğda dolaı v w w w v w w w w v v w w v w olr. B üç şl brlşrlr; v v şlğ ld dlr a v. Bölc; v olr çüü v br pac-l vördür v < w>. Brada oc çıar.

23 9 ğr vörd m-l olp; < > pac-l br ala oldğda < > < > şlğ llaara aılır. Bda dolaı; dr. v olra v vörü pac-l olrd. B br çlşdr. Bda dolaı; hr vör d lgh-l olmalıdır. X X ; olr. Brada v lr bağımlıdırlar. B da; dm X X oldğ aılar. Bo am olara ; X X v bda dolaı ü hrhag br vörü lgh-l olacaır. ORM... ıfır v pacl olmaa vörlr v > b drmda vörlr gb aı bo v brlğ ahpr. v aı boa pacl olmaa vörlrdr arıca lghl vörlrdr v lr bağımlı lghl vörlrdr. ĐSPA: v da aldığımıda v aı brl v boa ahpr. B şl drm aca v aca v oldğda ağlaır. Bölc lghl v lr bağımlı lghl vörlrdr. SOUÇ... Büü pof gaf ml vörlr üm alümdr. IR ov ĐSPA: IR pof gaf ml vörlr v b drmda - pof gaf ml oldğ görülür. B drmda alümdr. IR d ov AIM... IR ç φ : IR IR foo Lor döüşümdür φ φ dr. baıa Lor oroormal dr V V - V V j IR { V V... V } IR {... } adar baı Lor oroormaldr. δ j dr.

24 ORM... φ : IR IR foo lor döüşümdür φ foo lr v { φ... φ } ĐSPA: φ φ IR Lor oroormal baıdır. [] IR Lor döüşümü ol. B drmda φ φ - v φ φ j δ j dr. B açıça φ φ... φ lr bağımı oldğ görr. Dolaııla { φ φ... φ } IR ol. B drmda olr. { φ... φ } IR Lor döüşümüdür. c c c... φ c φ IR aaılarıdır. Öl φ br Lor oroormal ba oldğda v j > ç olr. B drmda - oldğda dolaı φ lrdr. c φ φ - c j φ φ j j - j φ φ Dğr arafa φ lr v { φ... φ } oldğ abl dlm. O hald φ IR Lor oroormal baı φ φ φ φ j j j φ jφ j j j φ φ j j -

25 oldğda dolaı φ Lor döüşümdür. AIM... A pd rl mar Lor dr A: IR IR AA brlşmllr döüşüm Lordr. Büü pd Lor marlr çarpımlarıla olşa üm O- grb olşrr v ba mar Lor grb dr. [] ORM..5. A pd rl mar v Jdag- şld aımlaa pd öşg mar ol. B drmda aşağıdalr dr: A mar Lordr. A form üları A mar IR Lor oroormal baıdır. A JAJ şlğ ağlar. A mar AJ A J şlğ ağlar. 5 A form aırları IR Lor oroormal baıdır. [] A Lor mar ol. A JAJ d A olr. Bölc d A± dr. SO- O- d d algrbdr. SO- grba öl Lor grb dr. IR d büü ml vörlr üm pof v gaf ml vörlr olara bağlaılı blş ahpr. A Lor mar pofgaf olara fad dlr A pofgaf ml vörlr pofgaf ml vörlr döüşürür. Mla J mar gafr. Lor mar a pofr a da gafr. PO- O- d büü pof marlr üm ol. B drmda PO- O- d d algrbdr. PO- pof mar grba Lor pof grp dr. Aı şld PSO- SO- d pof marlr üm ol. B drmda PSO- SO- d d algrbdr. PSO- grba pof öl Lor grp dr.[] ORM..6. M hr bo ç ümd PO- doğal har gçşldr. [] ĐSPA: V; arafıda grl IR m bol ml alvör aıı IR m bol ml alvör aı ol. {... m } IR alaı m A IR V oldğ görm pa ç rldr. öl V d pof ml vörü v {... } vörlr m IR blrllm. B PO- d A ı a IR {... } baı var m V ç br ba çlm.

26 w ol. b drmda w w - dr. v w w dr. B drmda lr bağımı oldğda ıfır dğldr. Dahaı w v w w w w olr. B üd lor orogoal vörlr v ml vör oldğda v paclırorm... B şld dvam dr; w v v v w v w v w v w w - w w - w ol. B drmda { w w... } { w w... } w - - w w w IR aıı Lor oroormal baıı v w V baıı ld dr. A; w w... w üları ola pd mar ol. B drmda A mar orm..5 llaara Lor dr v m A IR V; dahaı A pofr çüü A w pof mlır. ORM..7. pofgaf ml vörlr ol. b drmda şlğl v lr bağımlıdır. [] ĐSPA: PO- d br A alalım a A olr. A Lor ç çarpımıı ormaıla v A v A r oablr. B drmda - şlğl a dr. < şlğl v lr bağımlıdır. ORM..8. pofgaf ml vörlr ol. B drmda ola br θ > rl aıı vardır.[] cohθ

27 AIM... Yarıda ormd vrl θ rl aııa ml vörlr araıda Lor ml açı dr. [] AIM..5. vörlr v araıda Lor ml açıı θ ol. B drmda θ d rl aııa v araıda alı dr. [] AIM..6. vörlr v J ol. B drmda J olara fad dl çarpıma Lor vörl çarpım dr. J J J olr. Bölc hm hm hm d Lor orogoaldr. ORM..9. w vörlr b drmda - d w w ĐSPA:

28 - d? w w w [ ] [ ] [ ] [ ] w w w w w w w w d w SOUÇ... lr bağımı pof gaf ml vörlr b drmda pacl vördür v hθ dır.

29 5 ĐSPA: coh θ coh θ h θ cohθ oldğda hθ olr. SOUÇ... pacl vörlr b drmda < ml lghl > pacl olr. ĐSPA: fadd açı olara görülür. ORM... d alı foo ürd mrr. [] ĐSPA: d foo gaf olmaamr v odjrdr. IR pof Lor döüşümü H hprbol aı ürd alığı orr. vörlr ço boa IR alvör aıı grr. arafıda grl IR alaı çddr. Dğr br dşl olara abl dlm. hθ v hθ oldğda hm hm d Lor orogoal v vörlr lr bağımlıdır. Bölc a ıfır a da mlır. B drmda şlğ ld dr. ld dllr düldğmd coh θ θ coh θ cohθ h θ hθ

30 6 - coh θ ld dr. B üd θ θ θ olr. H ürd mr opoloj d d H mrğ hprbol mr dr. d H arafıda blrl Öld mrğl aımlaa mr opolojl H H ürd aımlaa mr opoloj aıdır. B aa hprbol -a dr. d d ola omr hprbol omr dr. H ORM... omr ıılaır v IR aıı hr pof Lor döüşümü Lor raformaoa gşlr. [] H aıı hr omr ĐSPA: φ :H H döüşümü omrr Döüşüm çarpımıı orr. Bölc ıılar. Dğr arafa IR aıı pof br Lor döüşümüü :H H φ omr oldğ varaalım. φ φ düşülm. φ blşlr φ φ... ol. B drmda φ -φ - φ φ - H aıı br IR aıı br pof H ürd Lor ç H aıı omr abldğ olr. B üd dr. φ φ... φ p: H IR... bjodr. ola p l aımlaı. B drmda p φ : IR IR φ φ p... φ p şld aımlaı. B drmda H ç φ φ dr. φ φ oldğda

31 7 - φ φ - olr. Bölc φ φ dr. Bda dolaı φ br oroğoal döüşümdür. pd oroğoal A mar vadır a IR ç A φ olr. Aˆ... A mar ol. B drmda  pof Lordr v H ç  φ dr. φ H aıı f br omr oldğ fardlm. B PO a Bφ oldğda Bφ IR aıı pof döüşümü gşlr b drm φ ç d doğrdr. CD PO v φ gşlcğm far dlm. B drmda D C H aıı hr oaıı ablr. H aı IR aıı hrhag br alvör aıı çrm D C IR aıı hp abldğd çrr. Bölc DC olr. B da φ IR aıı pof Lor döüşümü gşlr. SOUÇ... Ι H hprbol omrlr grb PO pof Lor grba omorfr. [] AIM..7. alvör aıla v H aıı hprbol doğr H aıı şmdr. H aıı arı oaları ol. B drmda v bol ml alaıı grr v bölc hm hm d çr L H V IR aıı -bol ml H aıı hprbol doğrdr. [] IR aıı - AIM..8. IR vörlr Lor oroormaldr v dr. [] ORM.. :[ a b] H ğr jod adır. ğr ol. B drmda aşağıdalr dr: IR Lor oroormal vörlrdr. B üd

32 8 dr. coh -a h -a ğr dfral dlm görr. [] ĐSPA: A IR aıı br Lor döüşümü ol. O hald A A B drmda dlğ aca dür. A oldğda görr. Dolaııla Lor döüşümüü llaara görr. ı jod a oldğ far dlm. [ a b] aralığıda ol. B drmda θ a b b a a b θ a θ b olr. Bölc a b hprbol olrdr. Dolaııla ı görüüü H aıı L hprbol doğrdadır. B üd oldğ abl dblr. O hald coh h h coh form Lor döüşümü glaara a ı baıa döüşürblr. O hald. - a coh θ a coh -a olr. Bölc ± h dır. ürl ç va - şar ld dlr. Bda dolaı a coh -a h -a olr. O hald oldğ görmş olr. IR Lor oroormal vörlr ol. B drmda coh -a h -a dr. a b olaca şld coh θ - coh acoh a - h ah a coh-

33 9 ld dr. Bölc θ - dr. O hald jod adır. Dolaııla oldğ fad mş olr. IR Lor oroormal vörlr ol. B drmda coh -a h -a dr. coh -a h -a oldğda olr. Dolaııla olr. varlığıı abl dlm. B drmda coh -a a h -a a dır. - dlm dfrallmd oldğ görülür. Bölc a a olr. -coh - a h - a a oldğda a ld dr. Bölc a a Lor oroormaldr. Dolaııla olr. ORM... :IR H foo br jod doğrdr IR Lor oroormal vörlr vardır a dr. [] ĐSPA: coh h IR Lor oroormal vörlr var oldğ a coh h oldğ abl dlm. B drmda dfral dlm blrr. O hald ıılaışı jod adır. O hald jod doğrdr. a < b şld hrhag [ a b] aralğa ı Dğr arafa jod doğr oldğ abl dlm. foo dfral dlm görr. Soç olara coh h dır. Dolaııla Lor oroormal oldğ görmş olr.

34 SOUÇ..5. doğrlarıdır[] ĐSPA: H aıda ğrlr jodr aı hprbol H aıı hr jodğ hprbol doğr oldğ arıda fad mş. Dğr arafıı ; L abl dblr. B drmda L :IR H H aıı hprbol doğr ol. oldğ H dr. coh h olara aımlaır. B drmda üd L br jodr. H aı ürd jod doğr döüşümüdür. B AIM..9. ml alvör aıla H aıı m-hprbol dülm H aıı şmdr. H aıı -hprbol dülm aıı - hprbol dülm IR aıı m bol H aıı hprbol doğrdr. H aıı hprdülm dr. [] IR pacl vör ol. B drmda arafıda grl alvör H aıı Lor üml IR aıı -bol ml alvör aıdır. Bölc P L H H aıı hprdülmdr. P hprdülm Lor orogoal H aıı hprdülmdr. ORM... IR lr bağımı pacl vörlr ol. Aşağıdalr brbr dr: v vörlr dlm blrr. v arafıda grl V alvör aı paclır. Sıraıla v vörlr Lor orogoal ola hprdülmlrl şr.[] H aıı P v Q ĐSPA: dlğ ağladığıı abl dlm. B drmda v ıfır olmaa rl aılar ç >

35 ld dr. Bölc V pacl olr. Dğr ada dlğ l alıra b drmda V ürd Lor ç çarpımı pof aımlıdır. Dolaııla V d Cach şlğ ağlar v b üd dlğ ld dlr. Bölc v dr. oldğda v dr. AIM..5. Spac-l Vörlr Araıda Spac-l Açı IR pac-l alvör aıı gr pac-l vörlr ol. B drmda şlğ ld dr v lr bağımlıdır. Dolaııla v π araıda br rl aıı vardır a coθ dr. v araıda Lor pac-l açı θ olara aımlaır. θ v brbr pof alar aı oldğ ömldr. θ π / v Lor oragoaldr v θ π v brbrlr gaf alar aıdır. µ : IR H µ ola jod doğrlar ol. B drmda v µ IR aıı br pac-l alvör aıı grr. v µ araıda hprbol açı v µ araıda Lor pac-l açı olara aımlaır. P H aıı hprdülm ol v :IR H br jod doğr ol a P ol. B drmda L IR hprbol doğr P l Lor oragoaldr dr P Lor oragoal H aıı hpr dülmdr. ORM..6. IR lr bağımı pacl vörlr ol. B drmda aşağıdalr dr: v vörlr şlğ ağlar. V alvör aı v m-l vörlrl grlr. Sıraıla v vörlr Lor oragoal H aıı P v Q hprdülmlr arıır v ora br Lor oragoal hprbol doğra ahpr. []

36 ĐSPA: alar aları ç arı lra V hr lmaı baı rl aıları ç form lmalarıı alar aıdır. fad d br qadra polom oldğa da dlm. B polom gaf dğrlr alır dr. drmaı pofr. Bölc v V m-l oldğ far dlm. B drmda L V pac-lır. B drmda V L L L oldğda P v Q arı oldğ ld dr. V H br hprbol doğrdr v V L IR aıı -bol alaı oldğa da dlm. Arıca dlm / çöümü ahpr. Ül < olr. Dolaııla V L m-lır. Bölc P pof m-l olara çl arı a da şar ola l oaıdır. Aı şld Q V l br oaıdır. :IR H jod doğr a v IR ol. v V d Lor oragoal oldğda br alar aı oldğ ld dlr. Bölc P Lor oragoaldr. Aı şld Q a oragoaldr. Dğr ada dlğ ağladığıı abl dlm. ; P v Q a ora Lor oragoal hprbol doğr ol. B drmda W H ola IR aıı - bol br W m-l alvör aı vardır. P Lor oragoal W oldğ ld dr. Aı şld W dır. Dolaııla VW v b üd V mlır.

37 Uarı: orm..6. ı paı ora br Lor oragoal hprbol doğr l P v Q H aıı arı dülmlr b drmda r; arıca IR P Q a ıraıla Lor oragoal pac-l vörlr b drmda v aja vörlr oldğ görr. AIM..6. Spac-l Vörlr Araıda m-l Açı IR ml alaıı gr pacl vörlr ol. orm..6. l oldğ blor. Dolaııla cohθ ola br pof θ rl aıı vardır. v araıda Lor m-l açıı θ olara aımlaır. Aşağıda ormd θ gomr orm vrlr. ORM..7. IR ml alvör aıı gr pacl vörlr ol. P Q ıraıla Lor orogoal H aıı hprdülmlr ol. B drmda θ P v Q a Lor orogoal hprbol doğr boca P d Q a hprbol alığıdır. Arıca < v r öüd öldrlmş aja vörlrdr. [] ĐSPA: P oaı v Q oaı dır. v coh d H v - v

38 coh θ Arıca v haplamaı v v aı şar ahpr < oldğ görr. v v v a da v araıda V adraıdır v v - aaıı pofr. Bölc v r ölü öldrlmş aja vörlrdr < dır. IR pacl vörlr ol.p Q ıraıla Lor orogoal H aıı dülmlr ol. B drmda P v Q oda arşılaşır L L lghlır. P v Q oda arşılaşır P v Q arıır faa orjd baıldığıda blar L L -bol lghl alaıı pof dal o oaıda arşılaşığı görülür. ORM..8. IR lr bağımı pacl vörlr ol. B drmda aşağıdalr dr: v vörlr şlğ ağlar. V alvör aı v lghl arafıda grlr. v Lor orogoal oda arşılaşırlar. [] H aıı P v Q hprdülmlr ıraıla ORM... IR lr bağımı pacl vör a lghl arafıda grl V alvör aı ol. B drmda < ; V -bol lghl alaıı r arafıdadır.[] ĐSPA: dlm çöüm ahp adr dlm dr.

39 5 lghl vörü v araıda V adraıdır < dır. Dolaııla v V -bol lghl alaıı r arafıdadır < dır. ORM... H aıı br oaı v P ol. B drmda P Lor orogoal boca gç hprbol doğrdr. [] H aıı br hprdülm H aıı ĐSPA: P Lor orogoal brm pacl vör ol v V v arafıda grl ala ol. B drmda doğrdr. V H boca gç br hprbol dlm çöümüdür. Dolaııla w P br oaıdır. :IR H IR v w ola br jod doğr ol. w v oroormal vörlr coh w h ld dr. Dolaııla dr. B üd P Lor orogoaldr. P orogoal v boca gç br hprbol doğr oldğ abl dlm. :IR H IR v P olaca şld br jod doğr ol. B drmda P Lor orogoaldr. Dolaııla olr. W W H ola -bol ml ala ol. W WV olara ld dr. Bölc r. AIM..6. ol. B drmda IR aıda pacl vör v br pof ml vör hθ ola br θ gaf olmaa rl aı vardır. θ açııa v araıda Lor ml açı dr. [] ORM... IR br pacl vör v br pof ml vör ol. P Lor orogoal θ H aıı hprdülm ol. B drmda

40 6 boca gç hprbol doğr boca ölçül d P hprbol alıır. Arıca < v P l grl IR aıı hprdülm r arafıdadır. [] ĐSPA: v ol. P oaı oldğda coh d H v - v coh θ ld dlr. Arıca - v haplamaıda şarl oldğ görr. v arafıda grl -bol V ml alaıdır. U v araıda V adraıdır - aaıı pofr. Bölc v P arafıda grl IR aıı hprdülm r arafları ürddr < dır. ÖRK... K o alalım. P doğrlmaı orjd gç doğr d :

41 7 olr. B da d doğr doğrlmaı ola d vörü br pacl vör olara alıır. P o ürd br oa alıp d : alıara d doğrlma vörü br lghl vör olr. Dğr ada P oaı ç o doğrlmaı ola doğrlmaı olaca şld { } d : doğr l alııra brada da vörü ml vör olr. Şmd S L olma ür a S- açııı blalım; vör hθ hθ hθ θ l olr. b Dğr ada br d doğr 5 d : 5 vrl. Doğrlmaı ola d vörü pacl br vör olr. b vörl S araıda açıı blalım. S-S ç olr. coθ coθ 9 6 coθ θ π

42 8 c d : doğr l alalım. B doğr doğrlmaı d vörü olr. B br ml vör blrr. d l araıda açı ; - ç cohθ cohθ cohθ olr. θ 6± 5 ÖRK... ÖRK... Yarıda şllr örlrl fad dlm. 6 SSS 6 SS

43 9 6 [ ] [ ] [ ] ç SSL ç 86 ç 6 SL 6 L 66 S LL LLL.. Mow -aıda Ya Ulğ B bölümd öcll ğr mlpacl v lghl olmaı drmlarıı aımlaacağı. Daha ora a lğ avramıı vrcğ. B b Lor aı l hprbol a lğ ıalamaı maıı ar. AIM... Mow -aıda br ğr ol. Bölc ğr hı vörü ɺ olma ür ɺ ɺ < ml ğr ɺ ɺ > pacl ğr ɺ ɺ ll ğr dr.

44 AIM... Hprbol Ya Ulğ Hprbol a lğ l Lor lğ arşılaşıralım. Aı olp olmadığıı görlm. Öc H oaları ol. H aıı lmalarıa dğlm. - - şlğ ld dr dr. Dolaııla d L Lor alı foo üçg şlğ ağlama; ba rağm aımlar. [ a b] H H aıda mr ç l üç aom ağlar. Faa d L m [ b] γ : ğr ol v P{... } ğr P aımlı lğ m l L γ P γ γ H aıda ğr lğ a aralığıı bölümü ol. γ olara aımlaır. γ ğr Lor düllblrdr dr Q P b drmda ola [ b] l γ γ Q < ε a aralığıı ε > ç P parçaıı l γ rl aıı vardır. l γ var r çüü P v Q [ b] aralığıı br R parçaı vardır. l L a aralığıı parçaları R P Q ola [ a b] γ Lor rf a o γ ğr γ Lor lğ l γ olara fad dlr.[] ORM.. :[ a b] H γ br ğr ol. B drmda γ H rfdr γ Lor rfdr arıca γ ğr hprbol lğ γ ğr Lor lğla aıdır. [] ĐSPA: H ol. B drmda - coh θ - olr. cohθ θ oldğda

45 θ şld fad dlr. γ ğr Lor rf oldğ abl dlm. Q P γ l Q < ola [ a b] aralığıı br P ımı vardır. Dolaııla hr Q P ç L γ l γ Q l L γ Q γ H ld dlr. Bölc γ rfdr. alor orm llaara ld dlr. Dolaııla cohθ dr. γ rf v ε > ol. b drmda ola [ a b] aralığıı br P ımı vardır. cohθ cohθ θ θ γ H γ P < ε H l δ > v µ γ δ p{ θ γ γ : δ} üm ol. γ dügü ürl oldğda µ γ δ δ l ıfıra gdr. Dolaııla δ > olaca şld coh µ γ δ v γ µ γ δ H < H P δ alalım. B drmda hr Q P ç γ ε vardır. γ H ε < l H γ Q l Q L γ l H γ Q µ ld dlr. Dolaııla hr Q P ç < γ ε H γ γ Q H l L < ε dr. Bölc γ Lor rfdr v γ γ dr. H [ a b] H γ : dfrallblr ğr ol. γ γ γ γ olr. Dolaııla γ ç pacl oldğ ld dlr.

46 ORM... :[ a b] H hprbol lğ γ br C ğr ol. B drmda γ rfdr v formülüü vrr. [] ĐSPA: f: [ a b] IR b γ γ a d f γ γ... olara aımlaı. B drmda f ürldr. [ ] üm ıırlıdır. δ > v { f f : [ a b] } a b ompa oldğda { f f :... ç} µ f δ p δ üm olara alalım. P{... } m δ parçaıdır. Oralama dğr orm llaara P olaca şld [ b] γ j γ j γ j j j a aralığıı br olaca şld j v j araıda br j rl aıı vardır. B drmda j j j... ola γ j γ j f j j j ld dlr. Dolaııla γ j γ j γ j γ j γ j f γ j j j j µ f δ j j olr. m j γ P γ j j j ümdr. B drmda

47 l L γ P γ P m j γ γ γ γ γ j j j j j µ f δ j j µ f δ b a ld dr. Daha ora b a γ d γ P m j j j γ γ j d m j j j γ γ j d m j j j γ γ j d m j j j µ f δ d µ f δ b a olr. Bölc b a γ dl γ P γ d γ P γ P l γ P L b a µ f δ b a olr. [ a b] ompa oldğda f [ a b] IR µ f δ δ l ıfıra gdr. Dolaııla olr. [ a b] H : dügü ürldr. Bda dolaı lml L γ P P γ γ : br ğr ol. d d d... d v d... d b a d L d dr. B drmda d γ ld dlr. Arıca γ C ğr γ γ d b γ d dr. d dfral a H aıı hprbol lğ lmaı dr.

48 BÖLÜM ĞRĐSL YAPILAR B bölümd Rma ürd jod ğrlrl v alılar araıda lşlr blrcğ. Brada amacımı; büü mmal dlmş ğrlr jod oldğ v büü jodlr üçü loald mmal dlmş lğ oldğ görmr. M g ab Rma mrğ ahp C -mafold alacağı. Büü ovara ürvlr v jodlr g Rma ooa gör olşrlr... Rma Mafoldları Ürd Ullar v Ualılar AIM... [ a b] M γ : ğr parçaı γ ğr lğ olara aımlaır. Baı drmlarda L r da blrlblr. b. Lγ γ d. a L g aara mr ürd bağımlı oldğ Br ğr lğda paramrao bağımı olmalıdır. B ç [ c d] [ a b] ϕ : ğr paramr dlr. [8] C v r d C ola ~ γ γ ϕ ğr olara d LMMA... Hrhag dlml Lγ L γ ~ olr. [8] [ a b] M γ : ğr parçaı ç γ ı d paramr ĐSPA: I ç γ :I M ğr. C v γ ola rgülr ğrdr. Brada. γ aja vörü γ d d v γ rgülr ğr I aralığıı M ç gömmdr. Jodlr ab hılı oldğda rgülrdr.

49 5 [ a b] M γ : ürl döüşümü ç γ rgülr ğr [ a ] a a a <... < a b şld ol parçaları vara b ğr parçalı rgülr dr. Rma mafold ürd büü alılar ğr parçaları boca ölçülür. { } M Admbl ğr dğrldrr γ : a γ a p ab ğr blrlr. Admbl ğr hr arafıda a oaıa alaşır aımlı ıfır olmaa v br arafa hı vörü ahp olmalıdır. Faa arafa alaşıla hı vörlr ş olmaı grr. şld fad dlr. [ a b] M ɺ γ a lmɺ γ ; a ɺ γ a lmɺ γ a γ : admbl ğr v a a <... < a b gb al parçaları ol. γ ğr lğ aımlaır. [ d] alaralığı [ a b] M γ [ a ] a C alparçalarıı llarıı oplamı şld c aralığıı c c <... < c d albölümü ç C ıılaa :[ c d] [ a b] C r ola [ c c ] ϕ homomorfm admbl ğr γ : ğr paramr dr gşlblcğd ğr lğ paramraoda bağımı oldğ görr. [ ] M AIM... γ : a b admbl ğr a l foo : [ a b] IR L γ [ ] ɺ γ d. a şld aımlaır. γɺ hııa şr. [8] γ ğr C oldğ drmda C dr. ɺ γ ğr ğrlr araıda brm hılı olmaı olalı ağlar. Aşağıda gb hr admbl ğr br paramraoa ahpr.

50 6 [ ] M Ör.. γ : a b br admbl ğr v l Lγ üm ol. a ~ γ brm hılı olaca şld γ ğr :[ l] M oldğ gör. drmda γ ~ brm hılı ol. ld dlr. γ oldğda h ~ γ γ h d ~ γ dγ dh dγ d γ d dh d d d d d ~γ br paramrao v γ γ olara aımlaı. B γ γ d d γ d d olr. γ d b ~ γ [ l] form paramr aralığı ola hrhag brm hılı ğr γ ğr a l foo h oldğ gör. d d oldğ ç aldığımıda h döüşümü h hal alır. B bp dolaı b ğr a lğla paramr dl ğr dr. γ :[ a b] M hrhag br admbl ğr v f C [ a b] γ b ol. fd f ɺ γ d. şld γ fd l blrl a lğa gör f gral aımları. Ör.. γ :[ a b] M br admbl ğr v f C [ a b] fd paramrao bağımılığıı gör. γ a ol. b fd γ a f ɺ γ d

51 7 olara a lğa gör fad dlmş. ğr a lğ paramraoda bağımı oldğ Lmma.. paıda görld. Bölc fd paramraoda bağımı oldğ fad dlmşr. γ V [ a ~ ~ ] a var V [ a b] hr br al aralı ürd C ola a ~a < ~a < < a ~ m b ol albölümü : M ürl döüşümü a büü lr ç V γ M γ boca ım C vör alaı dr. Vrl hrhag br V γ M vörü ç V γ boca br ım boca V parall döüşümü C parall döüşümü ahp; γ a brc parçaı C c parçaı boca V parall döüşümü b şld dvam dldğd hr γ drm ç parall döüşüm C dr. C v AIM..: Ualı M br bağlaılı Rma mafold oldğ fardlm. Hrhag br pq M oa çf ç p d q a büü ld dlblr ğrlr lğ fmm olara dpq Rma alığıı aımlıor.korol m ç aımlı hrhag oaıı admbl ğr arafıda bağlaılı oldğ görm hacımı vardır. Bağlaılı mafold ol bağlaılı oldğda c: [ a b] M ürl olla bağlaılıdır. Kompalığıla hr ç c [ a a ] br haraıda çrl [ a b] ol albölümü vardır. Daha ora aı oalar araıda br γ abl dlblr ğr açığa vra oordalarda B dl p q M ç dpq oldr. C olla böl hr parçaı r dğşrblr. LMMA... Yarıda aımlaa d alı foola hrhag bağlaılı Rma mafold vrl mafold opolojl aı blrl opoloj ola mr adır.[8] ĐSPA : dpq dqp v dpp olara aımda açıır. Üçg şlğ lğ vrl ğr p d r lları oplamı p d q a v q da r admbl ğrlr brlşm doğrlğda ld dlr. p q oldğda dpq> oldğ görr v mr opoloj mafold opolojl aı oldğ görr. B üd loal oordalarda Rma alığıı Öld alığıla arşılaşırmamı grr. p M v p mrl ormal oordaları ol.

52 8 Dügü ormal omşl lmmaıı paıda Lmma... gb V M v drmda c V q V CV ola c v C pof ablr v p rafıda ε q q arıçapıı apalı jod varı vardır. cl q γ L q γ CL q γ. görüüü d çrl hrhag γ admbl ğr ç lğ aımıda glr. Şmd q p q olaca şld ε üçülblr. Daha ora p d q a hrhag γ :[ a b] M admbl ğr jod ür boca gçr. Kür üml bağlaıı oldğda v p q farlı blşlrd aır. Đl amaı l blrmş olra dpq Lq γ Lq γ cl γ cdq p γ cε >. [ a ] q [ a ] glr. Bölc d br mrr. So olara opoloj arşılaşırma ç arıda gb form açı ümd üçü Öld varıda mafold opoloj ç ba şa dblr v opoloj ç üçü mr varı arafıda ürldğ ömldr. Böl hrhag üm ç Öld alı v Rma alığı dr v b üd opolojd açı ba ümlr d d açıır. B opoloj aı oldğ görr... Jodlr Rma mafoldda γ admbl ğr aı o oaa ahp hrhag dğr γ admbl ğr ç Lγ Lγ mmal olara adladırılır. γ mmal ola alığı aımıda glr Lγ o oaları araıda alığa şr. Büü mmal ğrlr jodlr oldğ görm ç M d admbl ğrlr üm ürd fool şld L l foo düşüblr. aım üm fooları ümlr ola foolara glll fool dr. Görüşü b oaıda mmal ğrlr ç araşırma b fool mmal ç araşırılmaı şld düşüülür. Calcla mmal olara br γ ğr ç grl şar baı drmlarda L ürv γ da ıfır olmaıdır. B Calcl varaoları şld bl o grmdr. Blar Calcl llaımı ödşlm v foollr ç oalarıı aal m ç foo a da döüşümlr aları ürd aımlıdır.

53 9 amam glş drmda Calcl varao ürv grad r oalar loal ç oaları r oaı v Ha gb foo alarıı o bol grb ço dğşl Calcl glll büü araçlarıı br glamaı ağlar. Oa amacımı ç o boa grbda Calcl or formal m haç or. γ mmal ğr v ; L Γ Γ γ v farlı fooları ola Γ aı bş oalı admbl ğrlr al Γ daha ora ml Calcl da L Γ da -ürv ahp dğldr çüü orada mmm ld dlr....admbl Allr Daha arıılı br şld clr daha fala aımlarda ararlama grr. ğrlr admbl ğr -ε ε ç Γ Γ br admbl ğrd v a a < < a b baı ol albölümlr ç ε [ a ] ε form hr a ddörg ürd C ola [ a b] M Γ : ε ε ürl döüşümüdür. Γ br admbl al ; Γ boca vör alaı ç V Γ v V ε [ ˆ ˆ ] ε a a a a ˆ <... < a ˆ m b baı albölümlr ç döüşümdür. C ola [ a b] M V : ε ε ürl br Şl.. Admbl allr Γ admbl al ğr oo aımlar. Blar; Γ Γ aa ğrlr ab dülr [ a b] ürd aımlaır v Γ Γ ravr ğrlr ab dülr ε ε ürd aımlaır. ravr ğrlr aa ğrlr gld adc parçalı rgülr ç ε ε ürd C dr. Hr Γ drmda ğrlr b al ğ vörlr Γ boca vör alalarıı örlrdr; oları şld blrr. d d Γ Γ ; Γ Γ. d d C

54 Alıda arafa ε ε [ b] Γ ε ε { } a büü ddörgl ürd hr ama ürldr. Br a doğr parçaı boca dğr adc b parça ürd Γ dğr bağlıdır çüü ürv adc dğş gör alıır. Dğr br arafa hr ε ε [ a ] v ε ε a [ ] a a alddörgl ürd ürldr alıda C b üd a d ağ arafı v ol arafı lmlr ş olmalıdır. B dl Γ hr ama Γ boca br vör alaıdır. Oa Γ glll a d ürl dğldr. V Γ boca br vör alaı formları C oldğ üçü oldğ r ola ravr ğrlr boca a da aa ğrlr boca V ovara ürvlr haplaablr ; boca oçlaa vör alaları ıraıla blrlr. D V v DV şld Mmal ğrlr paıda öml oaı; Rma oo mr ola jod olmaıdır. Aşağıda Lmma palarımıda ararlaılır. LMMA... Smr Lmma Rma mafoldda Γ : ε ε a b ğrlr abl dlblr al [ ] M ol. Γ C oldğ hrhag br ε ε D Γ D Γ olr. [8] [ a ] a ddörg ürd ĐSPA: B loal br or oldğda hrhag br Γ oaı rafıda oordalarıda haplama apablr. Γ... şld Γ blşlr aara ; Γ ; Γ. ld dr. Daha ora ğr boca ovara ürvlr ç oorda formülüü llaara j D Γ Γj ; j D Γ Γj.5 olr. Yarıda c doğrda v j rolüü r çvrm v Γ Γ mr j j şarıı llaara b fad ş oldğ görürü.

55 γ :[ b] a admbl ğr γ varao büü [ b] a ç γ şld Γ admbl aldr. Ba ç Γ a γ a v b γ b Γ olaca Γ bağııı g varao va ab bş oalı varao dr. Γ γ ı br varao Γ varao alaı γ boca V Γ vör alaıdır. V a V b γ boca V vör alaı gdr. Ug varao varao alaı d g oldğ dr. LMMA...γ br admbl ğr v V γ boca br vör alaı V γ ı baı varaolarıı varao alaıdır. V g varao a g olara alıır. [8] ĐSPA : Γ pv ralım. [ b] a ompalığıda Γ ε ε [ ab] ürd aımlı ola baı ε > vardır. V aım üm amamı ürd ürl v C oldğ hr [ a a ] alaralığı ç ε ε [ a ] a ürd Γ C dr. Ül döüşümü ölllrd Γ varao alaı V dr. Dahaı a V b Γ a γ a v Γ b γ b oldğ açıır b üd Γ gdr. V... Mmal ğrlr Ug varao boca l foo ürv ç fad haplaablr. Gll olara döüşümü a ürd fool ürv brc varao dr. LMMA... Brc Varao Lmma γ :[ a b] M hrhag brm hılı admbl ğr Γ ; γ ğr g varao v V; o varao alaı ol. Daha ora γ ɺ γ a ɺ γ a a oaıda γɺ aja vör alaıda ıçrama v ɺ d d b L r < > < > V D a γ d V a ɺ γ ɺ.6 olr. [8]

56 ĐSPA: Kıalı ç olara blrlm. Γ Γ S Γ C oldğ [ a a ].7 alaralığıda L Γ d gradı C v grao aım üm ompa oldğda o doğrda mr lmmaıı lladığımıda d d L a Γ [ ] a a a / d a a / D d a a D S d.9 ld m ç gral şar alıda dfrallblr. aldığımıda SV v γɺ S V γ oaoladığımıda ɺ lğ olara d d a L Γ [ ] a a a DV γɺ d a a d d V ɺ γ V D ɺ γ d V a a ɺ γ a V a ɺ γ a a V Dɺ γ d. olr. So olara lr başa oa opladığımıda V a V a oaodr. Çüü Γ g varaodr. B drmda ld dr. d d L b Γ V Dγ d V a a ɺ ɺ γ.

57 Çüü hrhag br admbl ğr brm hılı paramraoa ahpr v lğ paramraoda bağımıdır. γ arıda örmd gr grç ıılama dğldr faa haplamaa aı çıar. Ör.. : γ br a Büü ç D γɺ C brm hılı ğr ol. γ brm hılı ğr oldğda olr. B drmda Bölc γɺ l orogoal oldğ gör. ɺ γ ɺ γ ± d ɺ γ ɺ γ ± ɺ γ ɺ γ D ɺ γ ɺ γ ɺ γ D ɺ γ d D ɺ γ ɺ γ orogoaldr. D ɺ γ ɺ γ mr b Γ büü lr ç Γ γ paramrao ola γ ı g varao L Γ brc varao ıfır oldğ gör. d d? L r görml. a ɺ γ a ɺ γ ɺ γ alıara d d L b Γ V Dɺ γ d V a a oldğ görlmş. Admbl ğr oldğda olr. Bölc orogoall ɺ γ V v bölc V γɺ b a ld dlr. γɺ var oldğda r oara V D γɺ d γɺ γ γ fad dlr. B dlmd ld mş olr. Dolaııla olr. V d d γɺ a L r

58 ORM... Hr mmal ğr brm hılı paramrao şld fad dldğd jodr. [8] ĐSPA: a a < < γ :[ a b] M mmal v brm hılı oldğ fardlm v a b γ ı [ a ] a ürd ı hrhag g varao C olaca şld al bölümü ol. Γ γ oldğda dl Γ oldğ ml calcla oçlaır. γ boca hr g vör alaı baı g varao varao alaı oldğda d d L ɺ γ ɺ γ a ɺ γ a Đ b Γ V Dγ d V a ɺ γ ; ağ arafı böl hr V alaı ç ıfır olmalıdır. Đl baama hr [ a ] a a ɺ. alaralığı ürd D γɺ oldğ görmr b üd γ ırı jodr. Böl br aralı çlm v C R ϕ ϕ > v [ a ] a ürd v ϕ hr aralıa olaca şld bmp alaa foo ol. Daha ora Vϕ D γɺ l a ϕ D ɺ γ d. a olr. Igrad gaf olmadığıda hr böl al aralı ürd görr. D γɺ oldğ Sora γ ğr öşlr ahp olmadığıı öl γɺ oldğ görmm grr. Hrhag << ç V a γɺ v V a j j ç olaca şld γ boca br V vör alaı apıladırmaa oorda haraıda bmp foo llama oladır. Daha ora fad γɺ olara alır. So olara γ ı brr araflı hı vörlr hr γ d şlşğd γ ğr [ a a ] γ ğr jodğ dvamı oldğ jodğ lğd v b dl γ ı [ a ] a C oldğ glr.

59 5 Şl.. vm vörüü γ Şl.. Köş varlamaı dform dlm Öc pa adılaıcı gomr görm ahpr. Vϕ D γɺ l brc varao vm vörlü doğrlda γ dform lğ görm gafr. Şl. Br şld γ ırı jodğ lğ V a γɺ olaca şld V vör alaıı doğrlda dform arafıda aalır. Şl. Brc varao formülü grç orm... da dda dld daha fala ş ölr. Đpalamada γ jodğ mmal ğr ablüü gşlr llaılır. Sadc da gör L Γ ürv ıfır γ hrhag Γ g varao ç L r oaı olmaı grçğ llaırı. B dl aşağıda drmda orm... ı gşlblr. SOUÇ...: γ brm hılı admbl ğr L ç br r oadır γ jodr. [8] ĐSPA : γ br r oa orm... ı paıı γ jod oldğ görm modf olmada olşrr. r l γ jod daha ora c varao formülüd l rm jod dlml ıfır olr v c rm o olr çüü γɺ ıçramaa ahp dğldr. Bölc D γɺ jod dlm l fool r oalarıı arar dr. Gld döüşümü a ürd br fool r oalarıı arar d dlm fool varao dlm va lr- Lagrag dlm dr. Dfral gomrd br ço farlı dlm varaoal dlmlrl başlar. dlm Yamab dlm v mmal ü dlm b p dlmlrdr.

60 6... Loal Mmal ğrlr orm... r döüşürürü v jodlr loal mmal oldğ görr. Đpa aşağıda ba gomr grçğ ml alır. Şl.. Ga Lmmaı paı ORM... Ga Lmma U p M mrl jod var ol. jod ürlr g-orogaaldr.[8] r brm radal vör alaı U da ĐSPA: q U v q M q boca jod ür ğ vör ol. Çüü p p U ürd dffomorfmdr q pp V olaca şld V p M vörü vardır. Arıca p p w olaca şld ω v pm pm vörü vardır Şl.. Daha ora R d p q ola V B a v V B R olr. p d q a radal jod ɺ γ R / r l γ dr. Bölc g gör γ p p V V R ɺ oldğ görm hacımı vardır. σ V v ɺ σ ω olaca şld aa σ ε ε : pm ğr çlm v da B R σ Γ p p. şld vrl γ ı Γ varao dğrldrlm. ε ε lğ br vörüdür b üd Γ R ab hılı jodr. ç σ R

61 7 S d d d d p ; p p p V V ; S d d p σ p p X ; p σ d d p p V γɺ.5 oldğ aımıda glr. B dl v oldğda γɺ ş oldğda S dır b üd orm paı ç S bağımılığıı görm ç rldr. S D S S D D σ.6 D S D mr lmmaı hr Γ jod oldğda D oldğ grçğ v büü orm palar. ç Γɺ R oldğ grçğ llaara hapları. B Sora oc formda öcll Ga Lmma ı llaırı. SOUÇ... : p M mrl br U jod varı ürd ormal oordalar ol v r radal alı foo ol. Daha ora U { p} gradr olr. [8] r ĐSPA : Hrhag g U { p} v dr Y Y M ç q ürd Y r.7

62 8 oldğ görm grr. R q boca p B arar dlr. p r jod ür r R dlml ormal oordaıda b ür ravr oldğda baı ür ğ X vörü v baı ab ç r X şld Y brlşrblr. X r v üm ğ oldğda r dr X v oordaa doğrda haplamalarıla dr olara ld dlr. B dl.7 ü ol arafı dr X dr dr X r r.8 olr. Dğr br ada orm... l dlm ağ arafı brm vördür. B dl.7 r X X r r r r.9 v X orogoal olara oçladırma ç Ga Lmmaı llaılır. r ORM... p M v q p rafıda jod varıda çrldğ fardlm. Daha ora p d q radal jod M d p d q a mmal ğrdr. [8] p p Bε ; q çr jod var olaca şld ε > çlm. ĐSPA: [ ] γ : R M a lğla paramr dl p d q a radal jod ol v baı V M brm vörü ç γ p p V aalım. Daha ora γ brm hıa p ahp oldğda L γ R dr b üd p d q a hrhag dğr abl dlblr ğr R d daha büü lğa ahpr. ür blr. S p B R arıçapıı jod R p R

63 9 [ ] Şl.5 radal jodlr mmal olma drm σ : b M aı amada a lğla paramr dlbl br ğr ol. Đclm L σ L γ [ ] σ a a b SR ola görml başları. a oraı brc ama b [ a b] v amaı blr Şl.5. Hrhag br [ ] ç X ür ğ ola a b p ola o σ boca jod ɺ σ r a X. şld σɺ blşlr aırablr. Ga lmmada b orogoal br arışımdır b üd σ X ɺ olr. Dahaı Soç... d dr ɺ ɺ σ olr. B dl r L σ L σ [ a b ] δ b a Lm ɺ σ d δ b δ a σ Lm ɺ d δ b d Lm r σ d δ a δ d σ σ r b r a. R L γ

64 5 ld dlr. B üd γ mmaldr. L σ R oldğ fardlm. B drmda. d şllrd şl ağlaır. Çüüσ brm hılı ğr abl mş l şl a v b b R oldğ görr çüü dğr br dşl l a öc v b oraı σ ı parçaı pof lğ vrr. Đc şl X > oldğ görr b üd ɺ σ r pof çarpaıdır. σ brm hılı olmaı ç ɺ σ ahp olmalıı. Bölc σ r v γ σ γ dr. R amaıda q boca lrl gral ğrlrdr b üd r SOUÇ... p M rafıda hrhag jod varla brl r radal alı foo p d Rma alığıa ş aımlaır. r l ĐSPA: p d γ radal jodğ orm... arafıda mmaldr. Hııı ormal oordalarda hm g orm hm d Öld ormda brm vör ola r ş olmaıda γ ı lğ r ola Öld lğa şr. B oç M d jod varlar v ürlr ç adlşrlmş oao R blrr. U p B p rafıda jod var Soç... U p p rafıda R arıçaplı mr varıa ş oldğ görr. Br şld R arıçaplı jod ür R d ola p d alığı ola oaları ümdr. Şmdd p ormal omşl çd dra böl mr varlar v ürlr açı v apalı jod ürlr v varlar ç p S p B oaolarıı llaacağı. R p R B p p B B p p B v R p R R p R l γ oaları hr lf araıda mmal olaca şld hrhag I U I omşlğa ahp γ : I M ğr loal mmal dblr. Ömldr mmal ğr ooma olara loal mmaldr çüü oaları hrhag araıda mmaldr.

65 5 ORM... Hr Rma jodğ loal mmaldr. [8] ĐSPA: γ : I M açı aralıa aımlaa br jod v dügü ormal omşlğ ol v U ol. I ı çr γ w I ol. ω γ ı ı bağlaılı blşlr U v g γ dügü ormal omşlğ aımı q q rafıda br jod varıda çrldğ görr. B dl orm... l q d q radal jod bları araıda br mmal ğrdr. Oa γ ı ıılaışı aı jod varda lrl q d q br jodr v bölc γ b mmal jod olmalıdır. Ga lmma v o oçları l varao formülü llamaıı mmal ğrlr jodlr oldğ dğr paa llaılır. orm... ı dğr br paıı da vrc olra γ :[ a b] mmal ğr parçaı ol. öc paa gb [ a b] ç U M br γ w dügü ormal omşlğda çrlc şld ı bağlaılı U omşlğ blablr. Daha ora U ç arıda gb aı fad γ d γ mmal ğr oları brlşr radal jodğ oldğ görr. γ ı ıılaışır böl br mmal ğr olğda b radal jodl d düşr. B dl γ omşlğda jod dlm çör f oldğda γ jodr.

66 5 BÖLÜM KOKSĐYO V KOORDĐALAR Rma gomrd jodlr v ovara ürvlr ç mr öllğ ağlaa Rma mafold ürd blrl br oo almamı grr. B şld IR aıı gömm almafoldda çrl hrhag br Rma mafold ürd br oo blr öllğ aımlaır. Blar; mrl mllğ v mrlğdr. B aıda jodlr ollf davraışları ül döüşüm Rma ormal omşlları v ormal oordaları aımlaır.. Rma Koo Rma gomrd haplamalara ölll g ola hr Rma mafoldda doğal oo vardır. IR aıı almafoldda jod; vm vör alaı M ürd ıfır aja projo doğra aı olmalıı oo dll blrldğd; M IR gömm almafold ol. M d hrhag br vör alaı ürd dügü br vör alaıa gşllblr. X v Y IR IR aıa fc gşllblr ol. p M Π : IR M orogoal döüşümü v :Öld p p oo olaca şld : M M M X Y Y Π Y döüşüm olara aımlaır. B döüşüm aşağıda aja oo dl M ürd lr oo ürr. X

67 5 LMMA... opraörü aımlıdır v M ürd br oodr. ĐSPA: p M oaıda X Y oo dğr adc X p bağlı oldğda Y X gşll vör alaıı çmd bağımıdır. Ya p d X Y dğr X p başlagıç aja vör ğr boca adc Y dğr bağlıdır. Bölc aımlıdır. Y Y d IR ürd v X d C M ürd oldğ blldr. Koo oldğ görm ç adc çarpım ralıı doğrlğ görlr. f C M IR aıda fc gşllblr ol. M boca ld dr. Bölc oodr. f Y Π fy Xf X Π Y f Π Y Xf Y f Y. aja oo r blrl mrl alımaıla gllğ dğşm. IR aıı almafoldları IR aı ürd Öld oo Y Z Y Z Y Z. X X şlddr. B şld g M mafold ürd br Rma mrğ ol. XYZ vör alaları ç lr oo X Y Z Y Z Y Z. X X şlddr v b drmda g l mldr. [6] X LMMA... Aşağıda şarlar br Rma mafold ürd lr oo ç dr: a g l mldr. b g r. cvw hrhag γ ğr boca br vör alaı olr. d d V W D V W V D W dvw br γ ğr boca parall vör alaıa b drmda V W abr.

68 5 ç P : γ o M γ Arıca aja oo τ :M M M M parall döüşümü omrdr. X Y τ XY X Y - -[ X Y] olara aımlı -ör alaı şld brlma foo çrr. ğr brlmaı oa a XY - lr ooa mr dr. [8] [ X Y] X Y X Y LMMA... M IR gömm almafold ürd aja oo mrr. [8] ORM.. Rma gomr ml lmmaı Mg br Rma mafold ol. M ürd g l ml v mr ola br lr oo vardır. B ooa g Rma oo a da Lv-Cva oo dr. ĐSPA: lğ palama ç XYZ M f vör alaları ol. XYZ ç X Y Z Y Z Y Z X Y Z X Z X Z X Y X Y Z X Y X Y X Y. dlmlr ld dr. Hrbr baamaa o rmd mr şarıı llaara Z X Y Z Y Z Y Z X Y Z X Z X Z X Y Z X Y X Y X Y Z X Z Y [ X Z] Z [ Y X] Y X [ Z Y] Z.5 şld aılablr. B dlmlr l oplaıp üçücüüü çıarığımıda X Y Z Y Z X - Z X Y ld dr. Y Z Y [ X Z] Z [ Y X] - X [ Z Y] X.6

69 55 So olara Y Z ç çöümüd X Y Z X Y Z Y Z X - X Y X Z - Y [ X Z] - Z [ Y X] X [ Z Y] blr..7 mr v g l ml ola oo oldğ varaalım..7 ağ arafı ooa bağlı olmadığıda XYZ ç Y Y X X Z oldğ çıar. Bölc büü X v Y ç Y mdaa glr; b üd X Y X olr. B drmda hrbr oorda haraıda böl br oo var oldğ görlmş olr. lğ ç apaa dğş haraları brlşmd ooları rlmş oldğ ağlaılmalıdır. U loal oorda haraı ol. L bralr ıfır ola oorda vör alaıa.7 glaara j l j j l l ld dr. Mr aaılarıı aımları v Chroffl mbollr; g j j l.8 j j j j v j Γ j l şld rar fad dlr..8 bları rlşrr j l j l j l Γ j l g Γ l j j l j l l j Γ jl g Γ j l g.9 g. j l j l l j Γ l g j Γ lj g j Γ l g Γ l j g Γ jl g - Γl j g - Γlj g

70 56 j Γ l g Γl -Γ l g j Γjl -Γ lj g Γ j l g. şlğ vrr. So olara g m l g l δ ola oaola v m g l r marl hr arafı çarpılmaıla Γ j l g jl g j l g - l j g. ld dlr. B formül hr br ala çd br oo aımlar v Γ Γ olr. Bölc j j adc mrl mllğ rdlm grr. B ç d g oldğ görlr. Koorda çaıı açııda dr. Brada l Γ j g l Γ l j l g j g g j j g - g blşlr j j g - l Γ j g g l - j l Γj g l g j g - j g g j. ocda ararlaara g j blr. Yarıda ooa gör jodlr Rma jodlr dr. B aımda öml oç aşağıda lmmadır. Ya γ br Rma mafold ürd ğr hr hag amada γ ğr hıı γɺ ğr hı vör lğdr. γɺ d bağımı ab hı ş brm hılı dr. LMMA...Büü Rma jodlr ab hılı ğrllrdr. ĐSPA: γ br Rma jodğ ol. γɺ γ boca parall oldğda γɺ ɺ γ γɺ lğ abr.

71 57 ORM... Rma oo doğallığı ~ ϕ : M g M g~ omr oldğ fardlm. ~ a ϕ Y ϕ X ϕ Y şld ϕ g Rma oo g ~ ~ Rma ooa göürür. dr. b V M d br γ ğr boca br vör alaı b drmda c ϕ jodlr jodlr göürür: ~ ϕ DV D ϕ V γ ğr M d p başlagıç oalı v V başlagıç hılı jodlr b drmda ϕ γ M ~ da ϕ p başlagıç oalı v ϕ V başlagıç hılı jodr. [8] ĐSPA: a ϕ ~ :M M M şld döüşüm aımlaır. ~ X Y ~ ϕ Y ϕ ϕ X ϕ X Y ϕ ~ M ürd mr br oodr.pll-bac g l ml oldğda Rma oo lğd ϕ ~ olr. b ϕ D ~ : γ γ şld formüll opraör aımlaır v D şr. Br Rma mafold ürd oo görm ç jod bölgl olara mmal olr. B drmda oo mr blrlcdr. Arıca IR aıı gömm almafold ürd aja oo mr v mrl ml oldğda Rma oo aja oola dr. B oo blrl mrl IR aıı M mafold ğl oo mr v mllğ ola Rma oo şld adladırılır.

72 58.. Ül Döüşüm Rma jodlr ç başlagıç oaı v\va başlagıç vörü gçrl jodlr aıl dğşblr. B o rdlcğ. Başlagıç vrd jodlr bağımlılığı ül döüşüm ola Rma gomr ml olşra aja dmlrd mafolda br döüşüml odlaır. AIM... ε : { v M : γ v [ ] çr aralıa aımlaır. } M al üm ül döüşümü aım üm ol. ül döüşümü aımlaır. p M ç p: ε M V pv γ V döüşümüü ε p ε p M üm ıılamaıdır.[8] p p ıılamış ül döüşümü p ül ORM... Ül döüşümü ölllr a ε ıfır çr M br açı alümdr v gör ıldı şlldr ar-hapd. b V M ç γ V jodğ aımlaa büü lr ç olara vrlr. c Ül döüşüm C dr. γ V pv ε p üm ç ıfıra Đpalamada öc baı ölllr vrml. [8] LMMA... Hrhag br V M v c IR ç aımladığıda olr. [8] ĐSPA : γ V aım üm Balşrm ç γ V γ cv γ V c I R açı aralığıda oldğ fardlm. γ aı v C I { : c I} d fad dl ~ γ γ c γ ~ ğr aımlaıγ ~ p başlagıç oalı v cv başlagıç hılı jod oldğ v daha ora γ cv a ş olmaı gr lğ arafıda ap ğ görcğ.

73 59 B ~ γ γ p aımıda aalamaadır. Hrhag br rl oordaa γ γ... γ aara d ralı dlm vrr. Ölll ~ γ c ɺ γ cv olara ap dr. Şmd D v D ~ ~ d γ γ c d γ c.5 araıla γ v γ ~ boca ovara dfral opraörlr mgl. rar oordalara cr ralaı glaara ~ d j Dɺ γ ɺ γ Γj ˆ γ ~ γ d j cɺ γ c c Γ γ c ɺ γ c ɺ γ c j c Dγɺ c.6 B dlγˆ br jodr v dolaııla öldğ gb ~ γ γ cv dr. orm.. ıpaı ç; p cv γ γ c oldğ ölr b da b vrr. Dahaı V ε p cv V γ V aımı a [ ] aralığıda aımlaır. B ç aldığımıda orm p V γ γ ε p ıldı-şl oldğ görr. aımlı oldğ ölr. B V U M açı üm ürd hrhag rl oordalar ol v π ürd σ j V V V Γj v vör alaıı aımlaalım. σ gral ğrlr V v X V.7 ɺ V

74 6 Γ Vɺ V V j j.8 şld blr. B V ɺ ı.8 dlmd r odğmda brc-mrbd m oldğ görr. π ürd σ gral ğrlr π : ΤM M projo alıda jodlr düşblr. X V X X... X jodğ v γ π dr; r olara hrhag br ɺ alıara σ gral ğr aşıır. σ öm o alıda jod vör alaı dl M aja dm oal aıa gşlmd aalaır. Aşağıda aılaaca ola hrhag f C M ç σ f ürd d σ f p V f γ γ d V V ɺ.9 şld rol oar. Brada v hr g oldğda V aja oldğ oaı vrglama mm bağlı olara V Τ M lmaı ç döüşümlü olara p V v X p oaolarıı llaırı. Çüü b formül oordalarda bağımıdır b da.7 d vrlr σ çşl aımlarıı farlı oorda mlrd brbr ğ görr. σ.9 arşıladığıı palama ç γ jodlr blşlr ɺ şld aıor..8 d d ralıı v jod dlm llaara.9 ağ arafı f f X V Xɺ X V ɺ ϕ X V f f Γ X V p V V p V V V j p V j σ f p V. olr.

75 Soça θ çr açı br aralıa aımlı pv başlagıçlı θ θ p p V V 6 ğr alalım. B b σ gral ğr ola θ : ϑ M { } M R M açı omşlğ oldğ görr. C döüşümü v Şmd p V ε oldğ far dlm. B γ V jodğ a [] aralığıda aımladığı alamıa glr v bölc p V ğrdr. p V M d başlaa σ gral ϕ oldğda σ aııı aımladığı RM d p V açı omşlğ vardır. B da oldğ alamıa glr. B ε açı oldğ görr. p V açı br omşlğ var Soç olara jodlr σ gral ğrlr projo oldğda ül döüşümü hr aımlı oldğ drmda p V γ V π θ p V şld fad dlr v b dl p C dr. Rma oo doğallığı v jodlr lğ aşağıda ül döüşümü öml doğallı öllğ döüşür. ORM... Ül döüşümü doğallığı m g m g ϕ : br omr oldğ varaalım. Daha ora hrhag p M ç aşağıda dagrama p arşılı glr. [8] M p p ϕ M ϕ ϕ p ~ M p ~ M ϕ p

76 6.. ormal Komşllar v ormal Koordalar Hrhag br p M oaıı alalım. B oada aımlı ül döüşüm pm aja aıı ε M açı üm göürür. p LMMA... ormal Komşl Lmmaı Hrhag br p M ç p p :ϑ U dffomorfm ola p M br U omşlğ v pm d orj br ϑ omşlğ vardır. [8] ĐSPA: p p ıfırda düşürülblr oldğ görm ç r foo ormd ararlaılır. p M br vör aı oldğda M M doğal br p p ödşl döüşümüdür. B aımlama alıda p p p : brm döüşümdür. M M M p p p p Kf br V p p pm vörüü alalım. V haplama ç başlagıç aja vörü V ola da başlaa M d τ ğr çm v p τ blş p p ğr başlagıç aja vörüü haplamaa hacımı vardır. Böl br ğr τ V oldğ açıır. Bölc d d d p V p o p V V V d d d p p τ p γ. p M hrhag U açı omşlğ p ormal omşlğ dl p M ıldı-şll açı omşlğ p p β ε p M varı ürd dffomorfm varı arıçapı g l aımlaa orma gör ölçülür daha ora β ε görüü üm M d jod var dr. Arıca ε p p β apalı varı p p dffomorfm oldğ V M açı br üm çrr β ε apalı jod var v p p βε p p p jod ür dr.

77 6 M ç { } p Şl.. Rma ormal oordaları oroormal baı : IR M p omorfmaıı vrr. U p ormal omşlğ ϕ p : U p oorda haraıı ld m ç ül döüşüml b omorfmaı brlşrblr. Böl hrhag oordalara p mrl Rma ormal oordaları dr. p M v p br U ormal omşlğ vrldğd ormal oorda haraları v oroormal balar araıda - şlm vardır. Hrhag br p mrl ormal oorda haraıda : r r l r brm radal vör alaı v r l radal alı foo aımlaır. Öld aıda r orj alıır v orj boca dü doğra ğ brm vör alaıdır. Br ora örm görr ormal oordalarda hrhag br mr ç öl gomr alama da ahpr. r

78 6 ORM... ormal Koordaları Ölllr U p mrl hrhag br ormal oorda haraı ol. a Hrhag br V V pm ç V başlagıç hılı vörü p başlagıçlı γ V jodğ U çrd aldıça V... V V γ radal doğr parçaı l ormal oordalarda ml dlr. b p oordaları dır. c p d mrğ blşlr ηj δj dr. { ε} d U da çrl hrhag br : r Hrhag br q U p oaıda vörlrdr v b dl g gör brm lğa ahpr. < Öld varı M d jod vardır. r p d g brm hılı jodğ hı f g brc ım ürvlr v Chrofl mbollr p d ıfırdır.[8] ormal oordalar Rma gomrd haplamalar ç öml br araçır. B üd öc örmd fad dl ölllr dal br şld rdlmldr. B palar p başlagıçlı jodlr ormal oordalarda ba formllr ahp oldğ grçğ apaçı oçlarıdır. B formüld dolaı p başlagıcı v p bormal omşlğda aa jodlr radal jodlr dr. faa arma grr p boca lrlm jodlr gld ormal oordalarda ba br forma ahp dğldr. Daha ora jodğ mmal ölllr çalışmada llama ç ormal omşlları çrğ aşağıda dülm hacımı vardır. w W M açı üm w oalarıı rafıda δ > arıçaplı jod var aımlaıor dügü ormal dr. LMMA... Dügü ormal Komşl Lmmaı p M v p hrhag br U omşlğ vrl U da çrl p dügü ormal omşlğ vardır. [8]

79 65 Şl.. Dügü ormal omşlğ ĐSPA: Ül döüşüm M açı br ε al üm ürd aımlaır. B ç d F : ε M M q v F q V qp p V döüşümü aımlaır. p mrl M ç ormal oorda haraı çl v v M ürd şlmş adar oordaları blrmş ol. b oordalarda p o da F Jaob mar döüşümlü ola j F p j j v p j v Id Id Id Id j j şld aılır. Bölc r foo orml F M d p oaıda aımlı omşl ürd br dfformorfmdr. Hrhag M açı üm v hrhag δ > ç Y δ { p v M : p Y } Y δ v <δ şld aımlı olp M alüm blrr. Sadar oordalarda v şlğ aara Y δ ı M opolojd açı oldğ olaca görülür. < δ p Y ϑ şld Y δ δ form baı ümlr oldğ görcğ. M ürd opoloj gör loal rvalaolar brm döüşüm alıda açı ümlr çarpımı arafıda olşrlr. Y ıılamış orm b δ

80 { v : r < ε > } χ ε üm varlığıı görr. { : ε ε} 66 K v r v δ ompa üm ürd g orm ürl v ıfır dğldr. B dl pof ablr ürd ıırlıdır. B ormlar hrhag pof ab ç V V ağlamaıla homoj oldğda; V M r ε drmda cv Şmd Y { r < ε} M drmda / g g V CV oldğ ap dr. g g : üm v δ cε ol. Sçmlrm hr υ Yδ v c v < ε oldğ gara dr. B üd Y χ olr. g F Y δ ürd dffomorfm oldğda v p da pp göürdüğüd p p W W F Y şld W W M M açı çarpım üm vardır. W δ ıılamaı grl W δ Y oldğ da abl dblr. W üm haıda dda olşr: Hrhag q W ç p β M ürd dffomorfmdr v W p B ddalarda oçlaır. q δ q δ q dr. W p gr dügü ormal omşlğ oldğ b Đdda paı ç; q W ç p q Bδ qm alüm ürd aımlı ola F q V qpq V hr V q < δ oldğda F Y δ ürd aımlı oldğa da dlm. Çüü F F q V qp V forma ahpr. r ola ϕ döüşümü ç br F q V q ϕ q ϕ ϕq q oao llaalım. Çüü daha ora brm döüşümü olp ϕ o p q W Y ç q oldğ ap dr. Br şld F Y δ ürd q q forma F F C ahpr. Y δ ürd Bδ qm ürd brm FoF Id p q p q B δ ürd brm oldğ alamıa glr b üd Đdda palaır. oϕ So olara dda baalım. q W W f ol. oldğda q F q V qp q V W W F Y δ ağlaa baı V Bδ qm vardır. B q öcll palaa p q V doğr oldğ görr.

81 67 BÖLÜM ĞRĐSL YAPI FORMÜLLRĐ.. Modl Uaları Jodğ g Öld mrl IR ürd mr aaıları adar oorda md ablrdr. B üd Chrofl mbollr b oordalarda amam ıfır oldğ aşardır. B Öld aı ürd Rma oo am olara Öld oo oldğ alamıa glr v bölc ab aaılı vör alaları paralldr Kürlr R arıçaplı SR -ür ürd ürl oordalar d doğrda Chrofl mbollr haplama v aşağıda ör gb mrdlr jod oldğ görm ço or dğldr. Şöl Rϕ co θ Rϕ θ R coϕ π < θ < π < ϕ< π { } şld ür S : alüm ürd oordaları aımlaı. R a Kürl oordalarda R arıçaplı darl mr şld olr. b Kürl oordalarda θ ϕ ürl δ R R dϕ R gr ı Chroffl mbollr haplaablr. c Kürl oordalarda jod dlm llaılara hr θ ϕ mrd jod oldğ doğrlaablr. B gb ba drmlarda bl b örğ apar jod dlm doğrda haplamaıla rc büü aıları çrdğ görblr. Mr ço armaşı va bolarıı aıı ü oldğda b alaşım or olablr. B jod aal l dğr orlr d l almalıı. üd