) ( k = 0,1,2,... ) iterasyon formülü kullanılarak sabit

Transkript

1 Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Ara Sıav Soruları Tarh: Kasım 5 Perşembe Süre: daa. f ( ( + a e fosyouu sabt otası olmadığı bldğe göre, a 'ı alableceğ e üçü değer başlagıç değer ve bast terasyo yötem ullaara mutla hatası le hesaplayıız. (5p Bast terasyo yötem: Bu yötemde f ( fosyou g( bçme döüştürülür. başlagıç değer ve + g( (,,,... terasyo formülü ullaılara sabt ota hesaplaır. Yaısa br çözüm ç g '( < olmalıdır.. Şelde gösterle eletr devrese E sabt gerlm uygulaıyor. C odasatörü dolu e uçlarıda ölçüle potasyel farıı V C E / olablmes ç X drec değer Gauss-Jorda elmasyo yötem le R csde hesaplayıız. (5p Gauss-Jorda elmasyo yötem: AX B bçmde br delem sstem çözümü M [ A B] matrsde A matrs buluduğu ısım brm matrse döüştürülere gerçeleştrlr.. f ( / fosyou [,5] aralığıda. derecede br p ( polomu le temsl edlme steyor. Bu temsl le ortaya çıaca hataı 'de üçü olablmes ç ' alableceğ e üçü tamsayı değer ve p ( polomuu hesaplayıız. (5p Taylor sers: f ( Masmum hata: f R ( ( ( (! ( + f ( c ( ( +! ( + 4. f ( m eğrse ve + otalarıda çzle eğrl çember brbrler merez otasıda geçeblmes ç m le arasıda olması geree lşy belrleyz. (5p Eğrl çember ve yarıçapı: Br f ( fosyouu p [ ] {, f ( } otası ç / ( + ( f '[ ] Eğrl yarıçapı: r[ ] Çember merez: { a [ ], b[ ]} f ''[ ] f '[ ] f '[ ] a[ ] b [ ] f [ ] + + f ''[ ] f ''[ ] f ''[ ] f '[ ] f ''[ ]

2 5-6 Sayısal Çözümleme Arasıav Cevapları ***** Cevap ***** f ( ( + a e fosyouu sabt otaya sahp olmamasıı sağlayaca a 'ı e üçü değer f ( fosyouu y doğrusua teğet olduğu durum göz öüe alıara belrlemeldr. Bu edele, aşağıda eştller ullaablrz. f ( ( + a e ( f '( ( + + a e ( ( olu delemde a çelere ( olu delemde yere yazılırsa, ( e + elde edlr. Burada, g ( /(e + fadese ulaşılr. Bu fadeye başlagıç değer le bast terasyo yötem uyguladığıda, aşağıda tabloda gösterle şlem adımları yardımıyla değer hesaplaır. + ε Bu değer ( olu eştlte türetle a ( e fadesde ullaılırsa, a.75( e a buluur. Dolayısıyla a >. olmalıdır. ***** Cevap ***** Kodasatör dolduğuda üzerde aım geçrmeyeceğe göre verle devrede çevreler aşağıda gb oluşturulablr. Bu çevreler yardımıyla gerlm delemler yazılırsa, R + R E R R R + 4R R > R 4R R * R + ( X + R E R X + R delem sstem elde edlr. Gauss-Jorda elmasyo yötem le R R M [ A B] R 4R R ( X + R / 8 E / 4 R X + R E E... eştlğ yazılır. Devre üzerde odasatör gerlm vere V C E X E / > E / X. E E / 4 / 8 X + R / 8 E / R E / 4R E / 4

3 fades ullaılırsa, ( X + R / 8 * E / X E / 4 X R buluur. ***** Cevap ***** f ( / fosyouu ( + 5 / otasıda Taylor serse açılımıda R ( t ( + f ( c ( ( +! olacatır. Bu fadede ( + + ( +! f ( ( + eştlğ ullaıldığıda R ( ( + ( + c + ( + ( elde edlr. ( otasıda alacağıda hata hesabıda c 5 değer ullaılmalıdır. Burada, R f + fades e büyü değer ( (5 5 + ( + ( + < ε + +. < > (.5 > > 5.78 eştszlğ le 5 ( ( p5 ( + 4 ( ( ( buluur. 5 ***** Cevap 4 ***** f ( m, f ( m yardımıyla, ( + ( f '[ ] r[ ] f ''[ ] a f '[ ] f ''[ ] ' ve f ''( m eştller / f '[ ] f ''[ ] ( + 4m m [ ] 4m / f '[ ] b[ ] f [ ] + + m + / m f ''[ ] f ''[ ] ve + ç / ( + 4m r[ ] r[ + ] m a[ ] 4m elde edlr. a[ + ] 4m olacatır. Eğrl çemberler brbr merez otalarıda geçtlere göre, r [ + ] a[ ] a[ + ] eştlğ yazılablr. Burada, / ( + 4m 8m m 6m ( + 4m m ( + 4m / 56m + 4m ( 56 4 m m.65 hesaplaır.

4 Karadez Te Üverstes Blgsayar Mühedslğ Bölümü 5-6 Güz Yarıyılı Sayısal Çözümleme Fal Sıavı Tarh: Oca 6 Pazar Süre: daa. Aşağıda verle otalar ç e üçü areler yötem le g( a + bs( bçmde br fosyo hesaplayıız. (5p f ( E üçü areler yötem:, y,(, y,...,(, y gb otada geçe br g ( ( c + c fosyou aşağıda delem sstem le hesaplaır. * c c y y. Aşağıda tabloda 5 otası verle f ( fosyoua göre, lm π/ (f(. ta ( değer merez farlar formülü yardımıyla hesaplayıız. (5p π/6 π/ π/ π/ 5π/6 f ( -5-8 Merez farlar formülü (cetral dfferece formula: f [ h] 8 f [ h] + 8 f [ + h] f [ + h] f ( h f [ h] + 6 f [ h] f [ ] + 6 f [ + h] f [ + h] f ''( h. dyd y hesaplayıız. (5p tegral h. 5 alara aşağıda verle urallarda e uygu olaı le Sol ve sağ yölü Rema uralları: I hf (, I hf (, a + h h Yamu uralı: I ( f [ a] + f [ a + h] + f [ a + h] f [ b h] + f [ b] Smpso uralı: h I ( f [ a] + f [ b] + ( f [ a + h] + f [ a + 4h] ( f [ a + h] + f [ a + h] Şelde gösterle E sabt gerlm uyguladığı eletr devresde, devre öğeler göz öüe alara, a Kaya aımıa (I bağlı dferasyel delem çıarıız. (p b I ( E / R ve I '( E /( R C başlagıç değerler ullaara, I (t aımıı t h ç - adımlı Ruge-Kutta yötemyle hesaplayıız.(5p -adımlı Ruge-Kutta yötem: y ' f (, y, z ve z ' g(, y, z dferasyel delemler, y y ( ve z z başlagıç değerler ullaara, ( + h + otaları ç aşağıda gb çözülür. y + y + ( + ve z + z + ( l + l h f (, y, z l h g(, y, z h f ( + h, y +, z + l h g( + h, y +, z + l l

5 5-6 Sayısal Çözümleme Fal Cevapları ***** Cevap ***** g( a + bs( fosyou G( g( + b ax + b bçme s( s( döüştürülmeldr. X ve Y değerler hesabıda ortaya çıa / belrszlğ ç L'Hosptal uralı uygulaır. y f( X Y y s( s( X X Y Tabloda verler ullaara, X b Y * X X a X Y b.56 * a 8.9 b.8 ve a. 7 buluur. Burada g(.7 +.8s( olacatır. ***** Cevap ***** f ( f( h 8f( h + 8f( + h f( + h h f (π/ f(π/6 8f(π/ + 8f(π/ f(5π/6 π/6 5 8( + 8( 8 π/6 7 π lm (f(. ta ( lm π/ f( π/ /ta ( lm f ( π/ /s ( f (π/s π 7 π 7 π 4.9 lm ( f π/ (s ( ***** Cevap ***** f(, y y Left Rema dışıda urallar f(, değere htyaç duyarlar; f(, dy g( olara seçlrse, y I dyd y g(d hg( h(g( + g(.5 + g(.5 + g(.75 g( dy y hf(, y h(f(, + f(,.5 + gf(,.5 + f(,.75 g( h(f(, + f(,.5 + gf(,.5 + f(,.75.5( g(.5 h(f(.5, + f(.5,.5 + gf(.5,.5 + f(.5,.75.5(

6 g(.5 h(f(.5, + f(.5,.5 + gf(.5,.5 + f(.5,.75.5( g(.75 h(f(.75, + f(.75,.5 + gf(.75,.5 + f(.75,.75.5( I h g( + g(.5 + g(.5 + g(.75 I.5( I.55 Aalt çözüm: dyd y 8. π ***** Cevap 4 ***** a E gerlm ayağıı çere çevre üzerde V E R I delem yazılır ve türev alııra dğer çevre yardımıyla, I ' I CV I + RCI ' ( buluur. Ayrıca, I ç I CV ' C( E R( I + I ' RC( I ' + I ' ( yazılablr. ( ve ( delemler yardımıyla, I + RCI ' RC( I ' + ( I + RCI '' I + RCI ' RC(I ' + RCI '' R C elde edlr. I '' + RCI ' + I b Bu delem öce brc mertebede deleme ayıralım; I ' Q Q ' (RCQ I R C + ve sora I ( E / R ve Q( I '( E /( R C değerler le -adımlı Ruge-Kutta yötem ullaalım. I + I + ( + Q + Q + ( l + l he h f (, I, Q hq R C h E E he l h g(, I, Q (RC( + R C R C R R C E he he h h f ( + h, I +, Q + l h( Q + l h( + ( R C R C R C RC E he he h E he h I ( h I( + ( + + ( + ( + ( R R C R C RC R R C RC