DIŞ SÖNÜM ETKİSİNDEKİ KADEMELİ ÇUBUKLARIN BOYUNA TİTREŞİMLERİNİN İNCELENMESİ

Transkript

1 . ULUSAL MAKİNA TEORİSİ SEMPOZYUMU Gaz Üvrss, Mühdsl-Mmarlı Faüls, -6 Eylül DIŞ SÖNÜM ETKİSİNDEKİ KADEMELİ ÇUBUKLARIN BOYUNA TİTREŞİMLERİNİN İNCELENMESİ Halu Erol İsabul T Üvrss, Maa Faüls, 89, Gümüşsuyu, İsabul. rolha@u.du.r M Gürgöz İsabul T Üvrss, Maa Faüls, 89, Gümüşsuyu, İsabul. gurgozm@u.du.r ÖZET Ço sayıda dğş s sahp, dış söüm maruz v ds sl yöd mpulsf uvvlr dğ çubu ssmlr, mühdsl uygulamalarıda sıça raslamaadır. Uygulamalara br ör olara dr uyu sodaj maapları gösrlblr. Bu çalışmada, hr br s farlı dış söüm maruz, dğş s v fzsl özlllr sahp, ucuda ül bulua las çubuları boyua srbs rşmlr, ayrı yöm ullaılara clmşr. Bu çalışmada, çubuğu özdğr v özfosyolarıı ld dlmsd dğşlr ayrılaşırılması yöm uyarlamışır. Yöm, üç adml br ör ssm uygulamış v souçlar, ssm rasfr mars yöm l clmsd ld dl souçlarla arşılaşırılmışır. Örl yöm ço y souçlar vrdğ görülmüşür. Aahar Klmlr: Çubuları boyua rşmlr, Vsoz dış söüm ON THE VIBRATIONS OF MULTI-STEP RODS SUBJECTED TO EXTERNAL VISCOUS DAMPING ABSTRACT Ths sudy s cocrd wh h sablshm of wo mhods for compug h gcharacrscs of a couous rod, carryg a p mass, cossg of svral pars havg dffr physcal paramrs ad subjcd o ral vscous dampg. Probabl applcaos of hs rod sysms clud rods composd of svral dffr cross scos wh dffr dampg subjc o mpulsv aal forcs cvl grg applcaos. Such sysms ca also b courd ol wll drllg praccs. Th frs mhod uss sparao of varabls approach a h bgg ad dffr, acually, h soluo of h corrspodg ordary dffral quao. A scod mhod s gv for h drmao of h gcharacrscs, whch also l o h sparao of h varabls approach. Th scod mhod s rfrrd o as h rasfr mar mhod h lraur. Ecll agrm of h umrcal rsuls for hr sampl sysms obad va h wo mhods jusfs h rlably of h formula sablshd. Kywords: Aal vbraos of bars, Eral vscous dampg. GİRİŞ Ço sayıda dğş s sahp, dış söüm maruz v ds sl yöd mpulsf uvvlr dğ çubu ssmlr, mühdsl uygulamalarıda sıça raslamaadır. Uygulamalara br ör olara dr uyu sodaj maapları gösrlblr. Homoj olmaya dış söümü, dğş sl çubuları ğlm rşmlr üzrd lr ousuda Frswll v Ls [] çalışmalar yapmışlardır. Söz ousu çalışmalarıda, dğş slr sahp çubuları ğlm rşmlr a özdğr v özfosyoları, homoj olmaya v hr s farlı dış söümü s alıda, Eulr-Broull bas çubu ors çrçvsd clmşr. Adı gç çalışmayı ml abul dr, Gürgöz v Erol [], homoj olmaya dış söümü s alıda fzsl v söüm özlllr hr admd farlı sl çubuları boyua rşmlr clmşlrdr. Sürl v basama şld dğş slr sahp çubuları boyua rşmlr L [,] arafıda da raflıca clmşr. L, bu çalışmalarıda muhlf sıır şarlarıı çubuları boyua rşmlr ola lr dğrldrmş, aca söümü lr göz öü almamışır. Dğr br çalışmada s, L, L v Lu [], yaylarla brbr bağlı las çubuları boyua rşmlr, söüm özlllr gözöü almada clmşlrdr.

2 Erol v Gürgöz L L L L L w (, M m, E A, c m, E A, c Şl. Dğş sl v ucuda ül bulua las çubu. Bu çalışmada, hr br admd farlı dış söüm maruz, dğş s v fzsl özlllr sahp, ucuda ül bulua las çubuları boyua srbs rşmlr clmşr. Bu amaçla, çubuğu özdğr v özfosyolarıı ld dlmsd dğşlr ayrılaşırılması yöm uyarlamışır. Yöm, üç adml br ör ssm uygulamış v souçlar, ssm rasfr mars yöm l clmsd ld dl souçlarla arşılaşırılmışır. Örl yöm ço y souçlar vrdğ görülmüşür.. TEORİK ESASLAR Çalışmada göz öü alıa ad dğş s v fzsl özlllr sahp, hr admd farlı dış söüm maruz, ucuda M üls bulua, boyua rşmlr yapa las çubu Şl d gösrldğ gbdr. Çubuğu c parçasıı boyu L, sl rjlğ E A, vsoz söüm asayısı c v brm uzuluğuu üls m olara aımlamaadır. Bu paramrlr, a olduları adm çd sab olduları abul dlmdr. Ssmd vsoz dış söümü buluması dyl boyua rşmlr clmsd ompls dğşlr ullaılması uygudur. Çubuğu hr br sd sl yr dğşrmlr, ompls z (,), (,, ) fosyou l gösrls. Bu fosyou rl ısmı olara aımlaa w (,), (,, ) s fzsl olara çubuğu boyua yr dğşrmlr vrcr. Bu çalışmada çubuğu boyua rşmlr clms dyl, sadc yr dğşrm fosyouu rl ısmı l lgllcr. ad dğş s v fzsl özlllr sahp, ucuda M üls bulua v hr br admd farlı dış söümü s alıda boyua rşmlr yapa las çubuğa a har dlmlr z (,) - m z& (,) - c z& &, (,) (,, ) () olara yazılablr. Burada, E A v çubu üzrd sl oumu gösrmdr. Noalar zamaa gör ürvlr v üslr oordaıa gör ısm ürvlr fad mdr. İlgl sıır şarları, burada z z (,), (L, ) z (L,) -, -z - (L, ) z (L, ), (,, ) z (L,) + M & z (L,) - L j j L j j olara abul dlm. Bu fadd yr ala hr Z () v D () fosyoları, gl olara, ompls fosyolardır. () dlm () dlmd yr oulursa,, () L, L, () olara aımlamışır. Kompls yr dğşrm fosyouu, dğş ayrılaşırılması amacıyla, m z (,) Z () D () c D&& () + m Z () Z () D (), (,, ) () D& () : κ () ld dlr. Burada, κ hsaplaaca ompls sablrdr. Bu fadlrd oalar zamaa gör ürvlr v üslr oordaıa gör ürvlr fad mdr. () fadlrd c v üçücü gçş

3 Dış Söüm Esd Dğş Ksl Çubuları Boyua Trşmlr İclms şarlarıı sağlaablms, aca lgl ompls zama fosyolarıı ş olması l mümüdür. Dğr br söylyşl, D () D(), (,, ) olmalıdır. Böylc, () fadlr yd düzlr, sadc Z () ompls dğş bağlı dfrasyl dlmlr ld dlblr: m Z () κ Z (), (,, ). (6) Kompls zama fosyouu fads, λ D() (7) olara abul dlblr. Burada, λ, gl olara ompls olduğu abul dl, özdğrdr. D() ç yapıla bu çözüm abulü () dlmd yr oulara, c κ λ + λ ld dlr. Burada, (,, ), (8) m m κ d A(ν,..., ν ). () () fads ssm arars dlmdr. Bu fadd lm hald uça ül M yr sosuz oulara, ucuda aasr çubuğu boyua rşmlr a arars dlm ld dlr. Bu arars dlm aya [] d ç ld dlmşr. () fadsd uça ül M yr sıfır oulara s, br ucu aasr dğr ucu srbs çubuğu boyua rşmlr a arars dlm ld dlr. (8) v (9) dlmlrd vrl fadlr brl ullaılara ν, (,, ) dğrlr, λ özdğrlr fosyou olara aşağıda gb yazılablr, m c ν (λ) ± ( ) λ + λ, m (,, ). () Böylc, çubuğu boyua rşmlr a () arars dlm, ν, (,, ) (9) d A (ν( λ ),..., ν ( λ )) d A( λ ) ısalması yapılara () dlm yd düzlrs, Z () ν Z (), (,, ), () buluur. () fadsd yr ala dfrasyl dlmlr gl çözümlr aşağıda gb yazılablr: Z () ν ν +, (,, ). () A B Burada, A v B, sıır şarlarıda blrlc ompls asayılardır. () dlmlrd fad dl sıır v gçş şarları (7) dlm ullaılara, Z () ompls fosyou csd aşağıda gb yazılablr: Z Z (), (L ) Z (L -, -Z - (L ) Z (L ), (,, ) Z (L) + Mλ Z ) (L). () () şllr () dlmlrd yr oulara blmyl homoj dlml br aım ld dlr. Burada, blmylr: A, B, (,, ) dr. Dğr sayfada () mars dlmd yr ala boyulu asayılar mars A l gösrlm. Söz ousu mars dlm sıfırda farlı çözümlr olablms ç A mars drmaı sıfır olmalıdır: (6) olur. Bu fadd, glll ompls sayı ola, λ dğrlr ld dlblr. Bu aşamada sora, () dlm ullaılara ν lr hsaplaablr. Bu durumda, bulua bu dğrlr () dlmd A asayılar marsd yrlr oulara, blmy A, B (,, ) asayıları buluablr. Burada da () şlğd aımlaa Z (), (,, ) fadlr ulaşılablr. Nhayd, () dlmlr göz öüd buludurulara () fadlr gdlr. İlgl dğşlr, rl v majr ısımlarıa ayırara: λ λ r + jλ m ν ν + jν,, B + A A r + ja r, m B r jb m, (j m ) (7) çubuğu ayrı ayrı hr br s boyua yr dğşrmlr, w (,), (,, ) aşağıda gb fad dlr, w (, ) R[ z (, ) ] λr S ()cosλ Burada, λr m - Q ()sλm. (8)

4 Erol v Gürgöz... A ν L -ν L ν - L -ν - L... B ν L ν - -ν L ν - ν L ν -ν L ν... A ν L -ν L ν - L -ν - L... B ν L ν - ν -ν L - ν ν L ν L -ν ν L... -ν L... A B ν ν L ν L ν A : : : : : : : : : : ν L - ν - - -ν - L - ν A ( ν + Mλ ) ν L -ν L - (ν - Mλ ) B ()

5 S () Dış Söüm Esd Dğş Ksl Çubuları Boyua Trşmlr İclms ν Q () r -ν ( A rcosν - A msν ) m m ( Brcosν + Bmsν ) m m ( Arsν Amcosν ) m m ( Bmcosν Brsν ) + r, ν r + + -ν r w (, ) λ () Z r C m ()cos(λ A S, () + m - ε ()) m (9) dr. Çubuğu hr br adms boyua yr dğşrm fadlr yd düzlr, yazılablr. Bu fadd, a ε C () S () + () Q (), Q () - S () B S, () (), (,, ), () gösrmdr. w (,), (,, ) lr vsoz söümlü çubuğu, br λ özdğr ç yapacağı boyua rşmlr uzuluğu boyuca yr dğşrmlr dağılımıı vrmdr. Ssm y söümü syl oluşa, oordaıa bağlı faz açısı dyl, yazarlar mod vya özfosyo rmlr mümü olduğuca az ullamaya öz gösrmşlrdr. Bu v bzr rmlr ullama grğd s ıra şarlr çd yazılmışır. Z () lr mula dğr gösr C () fadlr, çubuğu c admd rşmlr gllr dağılımıı gösrmdr. Yuarıda açılaa yöm ullaılara, boyua rşmlr yapa farlı admy sahp las çubuları λ özdğrlr, boyuuda br ompls drmaı ölr bulumasıyla hsaplaablr. Gl bu oaı dvamıda arars dlm, özlll büyü dğrlr ç sayısal uygulamalarda olaylı sağlayaca, alraf fads vrlcr. Alraf fad sas olara başlagıça, y dğşlr ayrılaşırılması yöm dayaa, rasfr mars yömdr. Bu yöm, L v çalışma aradaşları, br dz dğş sl çubuları boyua rşmlr v çubu ssmlr üzrd yapıları çalışmada başarıyla uygulamışlardır [,,]. Burada çubuğu farlı slr alalarıı a olduları adm çd sab olduları v çubuğa dışarda hr br adm ç farlı, faa sab vsoz söümü dğ abul dlmdr. () dlmlrd çubuğu c adms boyuca boyua yr dğşrmlr dağılımı, şld yazılablr. Burada,, (), T S (), Z N S,(L ) T S,(L ) T T M, ν,. T.... T, () -ν, S () olara aımlamışır. Kaya [] d suula souçları, bu çalışmada aımlaa ssm uyarlayara, çubuğu c adms sol ucuu (Şl d ds l gösrl oa) olara v sağ ucuu (Şl d ds l gösrl oa) abul dlm. Çubuğu sağ ucuda Z, (sl yrdğşrm) v N, (sl uvv) paramrlr l çubuğu sol ucuda Z, v N, paramrlr arasıda lş mars formuda aşağıda gb yazılablr. bu fadd, T M Z T N,, S, (L ) S (L ), S,() S,() λ M T T (ν( λ ),..., ν ( λ )) T ( λ ) S, () S, () (,, ), () T T olur. Burada, üslr oordaıa gör ürvlr gösrmdr. T mars, çubuğu c adms sol () ucuda paramrlr sağ () ucuda paramrlr döüşürdüğü ç, rasfr mars olara aımlaır. Kolayca gösrlblr, dğş sl çubuğu l s sol () ucuda paramrlr çubuğu ucuda ül aşıya so s sağ () ucua rasfr d rasfr mars fads aşağıda gbdr: burada,., (), (6), (7) olup böylc, uça bulua ül d göz öü alımaadır. Şl d gösrl dğş sl v ucuda ül bulua las çubu ssmd sıır şarları, sol uça sl yr dğşrm, sağ uça s sl uvv sıfır olmasıı grrmdr. Burada arars dlm aşağıda vrldğ gb ld dlmdr:. (8) Çubuğu ucuda ül bulumaması hald, T M mars l brm mars olmaadır. Bu durumda, çubuğu amamıa a T rasfr mars,

6 a admy a T rasfr marslr çarpımıda bar olacaır: T T.... T. (9) (8) şlğ l vrl ararsc dlmd T, (9) fadsd vrl T mars (,) lmaıı gösrmdr. Lm hald uça M üls yr sosuz oması hal, dğr br dyşl, ucuda aasr çubu ç sıır şarları dğş sl las çubuğu hr ucuda da sl yr dğşrmlr sıfır olmasıı grrmdr. Bu durumda arars dlm, olacaır. Erol v Gürgöz arşı gl mula gllr dağılımı Abs(Z ()) gösrlmşr. Tablo. Brc uygulama ç üçü özdğrlr. I. durum (6) dlmd (8) dlmd T ( λ ), () -.79 ± ± ± ± ± ±.86. SAYISAL UYGULAMALAR Bu bölümd, öc bölümd ld dl souçları ör br ssm üzrd sayısal uygulaması yapılacaır. Uygulama olara, farlı admd oluşa v fzsl özlllr Tablo d vrl br çubu alıacaır. Tablo. Çubuğu Fzsl Özlllr. Ks Ks Ks L [m] m [g/m] c [g/ms] E I [Nm ] Bu uygulamada üç farlı durum dğrldrlblr: İl durum, çubuğu ucuda ül bulumamasıdır. Dğr br dyşl, M (I. durum). İc durum, çubuğu ucuda ül buluması, ya M (II. durum) haldr. Üçücü v so durum, çubuğu ucuda ül, lm hald sosuza gms, dğr br fadyl üç farlı admd oluşa çubuğu sıır şarlarıı sab-sab olmasıdır (III. durum). II. durum ç uça ül M g olara sçlmşr. I. durum ç adml çubu ssm l alı özdğr Tablo d vrlmşr. Tablo da özdğrlr, aşırı söümlü v zayıf söümlü mod lar olara düzlmşr. Tablou l olouda, (6) dlmd arars dlm ölr buluması yöm ullaılara hsaplaa sayısal dğrlr gösrlmşr. İc olouda s, rasfr mars yömyl ld dl (8) dlmd bulua sayısal dğrlr vrlmşr. Tablou hr olouda yr ala sayısal dğrlr amam ayıdır. Bu düzlmlr, Tablo v Tablo ç d gçrldr. Şl üs ısmıda, I. durumda, l üç aşırı söümlü özdğr ç w (,) üç boyulu dğşm çzlmşr. Al ısmıda s adml çubuğu, hr br adm boyuca, bu fraslara Şl d s, Şl d olduğu gb, I. durumda, l üç zayıf söümlü özdğr ç w (,) üç boyulu dğşm üs ısımda çzlmşr. Al ısmıda s adml çubuğu, slr boyuca, bu fraslara arşı gl mula gllr dağılımı Abs(Z ()) gösrlmşr. Tablo d II. durum ç dğş sl çubu ssm l alı özdğr vrlmşr. Tablo da özdğrlr, bzr şld, aşırı söümlü v zayıf söümlü mod lar olara düzlmşr. Tablou hr olouda yr ala sayısal dğrlr amam ayıdır. Tablo. İc uygulama ç üçü özdğrlr. II. durum (6) dlmd (8) dlmd ± ± ± ± ± ±.86 Şl v Şl II. durumla lgl souçları, Şl v Şl d bzr olara, yasımaadır. Şl v Şl üs ısımları, II. durumda, ayrı ayrı l üç aşırı söümlü v zayıf söümlü özdğr ç w (,) üç boyulu dğşm gösrmdr. Al ısımlarıda s, adml çubuğu, hr br adm boyuca, bu fraslara arşı gl mula gllr dağılımı Abs(Z ()) yasıılmaadır. So olara, Tablo d III. durum ç adml çubu ssm l alı özdğr vrlmşr. Tablo da özdğrlr, bzr şld, aşırı söümlü v zayıf söümlü mod lar olara düzlmşr. 6

7 Dış Söüm Esd Dğş Ksl Çubuları Boyua Trşmlr İclms Tablou hr olouda yr ala sayısal dğrlr amam ayıdır. Şl 6 v Şl 7 III. durumla lgl souçları, Şl v Şl d bzr olara, yasımaadır. Şl 6 v Şl 7 üs ısımları, III. durumda, ayrı ayrı l üç aşırı söümlü v zayıf söümlü özdğr ç w (,) üç boyulu dğşm gösrmdr. Al ısımlarıda s adml çubuğu, hr br adm boyuca, bu fraslara arşı gl mula gllr dağılımı Abs(Z ()) yasıılmaadır. Tablo. Üçücü uygulama ç üçü özdğrlr. III. durum (6) dlmd () dlmd ± ± ± ± ± ±.86 Tablo v Tablo d vrl aşırı söümlü özdğrlr arşılaşırıldığıda, çubuğu ucua ül lms, mula olara özdğrlr büyüüğü v buu soucu olaraa söümü s arığı gözlmdr. Tablo d sıralaa aşırı söümlü özdğrlr Tablo dlrl arşılaşırıldığıda, mula dğr olara daha büyüürlr. Dğr br söylyşl, sab-sab çubuğu bu özdğrlr arşı gl rşm bçmlr, ucuda ül bulua çubuğa gör daha hızlı söümlmdr. Bzr şld, Tablo v Tablo d vrl zayıf söümlü özdğrlr arşılaşırıldığıda, çubuğu boyua rşmlr a (ompls) doğal frasları, bllrmz uygu olara, ucua ül lmsyl düşmdr. Tablo d sıralaa zayıf söümlü özdğrlr Tablo dlrl arşılaşırıldığıda, sab-sab çubuğu boyua rşmlr a (ompls) doğal frasları, ucuda ül bulua çubuğa gör daha aı olması dyl daha büyüür. Düğüm oalarıı sayıları, hr üç aşırı söümlü mod arşılaşırıldığıda, ayıdır. Şl, Şl v Şl 6 ı al ısmıda görülblcğ gb, c mod düğüm oasıa, üçücü mod s düğüm oasıa sahpr. Bu durumu as, hr üç zayıf söümlü mod ç, Şl, Şl v Şl 7 al ısmıda görülblcğ gb, düğüm oası your. Eld dl souçlar uyarıca, göz öü alıa adml çubuğu boyua yr dğşrmlr, zayıf söümlü üçü mod larda v çubuğu söümsüz l sd büyü dğrlr almaadır. Haırlama grrs, çubuğu bu l sd söüm bulumamaa, üçücü s s söüm sr mdr.. SONUÇLAR Bu çalışmada, hr br admd farlı dış söüm maruz, dğş s v fzsl özlllr sahp, ucuda ül bulua las çubuları boyua srbs rşmlr, yöml clmşr. Bu amaçla, çubuğu özdğr v özfosyolarıı ld dlmsd dğşlr ayrılaşırılması yöm uyarlamışır. Yöm, üç adml br ör ssm uygulamış v souçlar, ssm rasfr mars yöm l clmsd ld dl souçlarla arşılaşırılmışır. Örl yöm ço y souçlar vrdğ görülmüşür.. KAYNAKLAR [] M.I. FRISWELL ad A.W. LEES Joural of Soud ad Vbrao, -6. Th mods of o-homogous dampd bams. [] M. GÜRGÖZE ad H. EROL Joural of Soud ad Vbrao 6, O h mods of o-homogously dampd rods cossg of wo pars. [] Q.S. LI Trasacos of h ASME Joural of Vbrao ad Acouscs, Eac soluos for logudal vbrao of mul-sp bars wh varyg cross-sco. [] Q.S. LI Joural of Soud ad Vbrao, -9. Eac soluos for fr logudal vbraos of o-uform rods. [] Q.S. LI, G.Q. LI ad D.K. LIU Iraoal Joural of Mchacal Sccs, -. Eac soluos for logudal vbrao of rods coupld by raslaoal sprgs. 7

8 Erol v Gürgöz w (,) λ -. λ -.6 λ -.98 Şl. Çubuğu, I. durumda, l üç aşırı söümlü özdğr ç w (,) üç boyulu dğşm v slr boyuca bu fraslara arşı gl Abs(Z ()) mula gllr dağılımı. 8

9 Dış Söüm Esd Dğş Ksl Çubuları Boyua Trşmlr İclms w (,) λ -.79 ± 6.6 λ ± 6.78 λ ±.86 Şl. Çubuğu, I. durumda, l üç zayıf söümlü özdğr ç w (,) üç boyulu dğşm v slr boyuca bu fraslara arşı gl Abs(Z ()) mula gllr dağılımı. 9

10 Erol v Gürgöz w (,) λ -. λ -.6 λ -.87 Şl. Çubuğu, II. durumda, l üç aşırı söümlü özdğr ç w (,) üç boyulu dğşm v slr boyuca bu fraslara arşı gl Abs(Z ()) mula gllr dağılımı.

11 Dış Söüm Esd Dğş Ksl Çubuları Boyua Trşmlr İclms w (,) λ -.78 ± 6.9 λ ± 6.8 λ ±.86 Şl. Çubuğu, II. durumda, l üç zayıf söümlü özdğr ç w (,) üç boyulu dğşm v slr boyuca bu fraslara arşı gl Abs(Z ()) mula gllr dağılımı.

12 Erol v Gürgöz w (,) λ λ -.9 λ -6.9 Şl 6. Çubuğu, III. durumda, l üç aşırı söümlü özdğr ç w (,) üç boyulu dğşm v slr boyuca bu fraslara arşı gl Abs(Z ()) mula gllr dağılımı.

13 Dış Söüm Esd Dğş Ksl Çubuları Boyua Trşmlr İclms w (,) λ -.78 ± 6.76 λ ± 6.7 λ -.79 ±.86 Şl 7. Çubuğu, III. durumda, l üç zayıf söümlü özdğr ç w (,) üç boyulu dğşm v slr boyuca bu fraslara arşı gl Abs(Z ()) mula gllr dağılımı.