SPANNE-GULİYEV VE ADAMS-GULİYEV
|
|
- Pembe Doğu
- 5 yıl önce
- İzleme sayısı:
Transkript
1 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ RİESZ POTANSİYELİNİN SINIRLILIĞI İÇİN SPANNE-GULİYEV VE ADAMS-GULİYEV TİPLİ SONUÇLAR Ramazan AKILLI YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI KIRŞEHİR 205
2 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ RİESZ POTANSİYELİNİN SINIRLILIĞI İÇİN SPANNE-GULİYEV VE ADAMS-GULİYEV TİPLİ SONUÇLAR Ramazan AKILLI YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI DANIŞMAN Doç. Dr. Ali AKBULUT KIRŞEHİR 205
3 Fen Bilimleri Enstitüsü Müdürlüğü ne Bu çalışma jürimiz tarafından MATEMATİK Anabilim Dalında YÜKSEK LİSANS TEZİ olarak kabul edilmiştir. Başkan Prof. Dr. Vagıf Sabir GULİYEV Üye Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇİ Üye Doç. Dr. Ali AKBULUT Onay Yukarıdaki imzaların, adı geçen öğretim üyelerine ait olduğunu onaylarım..../.../205 Doç. Dr. Mahmut YILMAZ Enstitü Müdürü
4 TEZ BİLDİRİMİ Yüksek Lisans tezi olarak sunduğum Riesz potansiyelinin sınırlılığı için Spanne- Guliyev ve Adams-Guliyev tipli sonuçlar başlıklı çalışmamın, akademik kurallara ve etik değerlere uygun olarak yazıldığını, yararlandığım eserlerin kaynaklarda eksiksiz olarak gösterildiğini ve çalışmamın içinde kullanıldıkları her yerde bunlara atıf yapıldığını bildiririm. Ramazan Akıllı i
5 ÖZET Riesz Potansiyelinin Sınırlılığı İçin Spanne-Guliyev ve Adams-Guliyev Tipli Sonuçlar Yüksek Lisans Tezi RAMAZAN AKILLI Ahi Evran Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Mayıs 205 Bu yüksek lisans tezinde Riesz potansiyeli ve Riesz potansiyelinin sınırlılığı için elde edilen sonuçlar hakkında bilgi verilecektir. Bu tez çalışması dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmıdır. İkinci bölümde, ilerleyen bölümlerde işimize yarayacak bazı temel kavram, notasyon ve teoremlere yer verilmiştir. Morrey uzayı, Genelleştirilmiş Morrey uzayı ve Hardy-Littlewood maksimal operatörünün tanımı ve özellikleri verilmiş olup, ayrıca Hardy-Littlewood maksimal operatörün L p (R n ), M p,λ (R n ) ve M p,ϕ (R n ) uzaylarındaki sınırlılıkları ile ilgili elde edilen neticelere yer verilmiştir. Üçüncü bölümde, klasik Lebesgue uzaylarında Riesz potansiyeli tanımlanıp, bunların varlık ve sınırlılık özellikleri incelenmiştir. Son bölümde ise, Guliyev [5,, 2, 3] tarafından elde edilen ifadeler kullanılarak Riesz potansiyel operatörünün genelleştirilmiş Morrey uzaylarındaki sınırlılıkları için elde edilen Spanne-Guliyev ve Adams Guliyev tipli sonuçlara yer verilmiştir. Anahtar Kelimeler: L p uzayları, Morrey uzayları, Genelleştirilmiş Morrey uzayı, Riesz potansiyel operatörü, laplasyan. Sayfa Adedi: 33 Danışman: Doç. Dr. Ali AKBULUT ii
6 ABSTRACT Spanne-Guliyev and Adams-Guliyev Type Results For the Boundedness of the Riesz Potential Master Thesis Ramazan AKILLI Ahi Evran University Institute of Science May 205 In this master thesis, information about the results of the Riesz potentials and boundedness of Riesz potentials will be given. This thesis consists of four chapters. The first section is devoted to the introduction. In the second section, some basic concepts, notations and theorems that will come in handy in the following sections are included. Morrey spaces, Generalized Morrey spaces and the definition and properties of the Hardy-Littlewood maximal operator are given, also the results that related to the boundedness of the Hardy-Littlewood maximal operator on the L p (R n ), M p,λ (R n ) and M p,ϕ (R n ) spaces are included. In the third section, Riesz potential in the classical Lebesgue spaces will be defined, and their existence and boundedness properties are investigated. In the last section, by using the expressions that obtained by Guliyev [5,, 2, 3], Spanne-Guliyev and Adams-Guliyev type of results for the boundedness of the Riesz potential operator in Generalized Morrey spaces are included. Keywords: L p spaces, Morrey spaces, Generalized Morrey spaces, Riesz potential operator, laplacian. Number of Pages:33 Supervisor: Doç. Dr. Ali AKBULUT iii
7 TEŞEKKÜR Yüksek lisans öğrenimim boyunca olduğu gibi tez çalışmamın da her aşamasında her türlü desteğini ve emeğini esirgemeyen; kıymetli zamanını, fikirlerini ve bilgilerini benimle paylaşan; gösterdiği sonsuz anlayış ve ilgiyle tezimin ortaya çıkmasına yardımcı olan saygıdeğer danışman hocam Doç. Dr. Ali AKBULUT a ve Prof. Dr. Vagıf S. GULİYEV e minnettarlığımı sunarım. Öğrenim hayatım boyunca olduğu gibi bu çalışma dönemimde de hep yanımda olan kıymetli anne ve babama teşekkür ederim. Ramazan AKILLI iv
8 İÇİNDEKİLER DİZİNİ TEZ BİLDİRİMİ ÖZET i ii ABSTRACT iii TEŞEKKÜR iv SİMGELER VE KISALTMALAR vi GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR, UZAYLAR VE OPERATÖRLER Temel Kavramlar L p (R n ) uzayı Hardy-Littlewood Maksimal Operatör Morrey Uzayı M p,ϕ genelleştirilmiş Morrey uzayı RİESZ POTANSİYEL OPERATÖRÜ I α Riesz Potansiyeli M p,ϕ GENELLEŞTİRİLMİŞ MORREY UZAYINDA RİESZ POTANSİYELİNİN SINIRLILIĞI İÇİN ELDE EDİLEN SONUÇLAR Spanne - Guliyev Tipli Sınırlılık Adams - Guliyev Tipli Sınırlılık KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ v
9 SİMGELER VE KISALTMALAR Simgeler R Açıklamalar Reel sayılar kümesi B(x, r) x merkezli r yarıçaplı yuvar B(x, r) B(x,r) yuvarının Lebesgue ölçüsü L p (R n ) Lebesgue uzayı Lp(R n ) Lebesgue uzayında norm M p,λ (R n ) Morrey uzayı M p,ϕ (R n ) Genelleştirilmiş Morrey uzayı M Hardy-Littlewood maksimal operatörü M α Kesirli maksimal operatörü I α Kesirli integral operatörü (Riesz potansiyeli) f f fonksiyonunun laplasyeni vi
10 GİRİŞ Morrey uzayları 938 yılında C.B. Morrey [22] tarafından eliptik kısmi diferensiyel denklemlerin çözümlerinin lokal davranışları araştırılırken ve varyasyonlar analizi teorisindeki problemlerle ilgilenilirken ortaya çıkarılmıştır. Morrey uzaylarının kısmi diferensiyel denklemlerin çözümlerinin regülerlik özelliklerinin çalışması ve kesin ön eşitsizliklerin bulunması gibi konularda önemli uygulamaları vardır. Riesz potansiyeli, Macar matematikçi Marcel Riesz tarafından ortaya koyulmuş ve matematik dünyasında önemli bir konu haline gelmiştir. Operatörlerin sınırlılıkları modern analizde bir çok problemin çözümünde kolaylık sağlamaktadır. Eliptik kısmi diferensiyel denklemler ve varyasyonlar analizi teorisindeki problemlerde, uzaylarda kısmi diferensiyel denklemlerin çözümlerinin bulunması gibi konularda ve önemli uygulama alanlarında operatörlerin sağladığı kolaylıkları kullanılmaktadır. Özellikle Riesz potansiyelleri yardımıyla eliptik ve hipoeliptik kısmi diferensiyel denklemlerin çözümleri için ön eşitsizlikler elde edilebilmektedir. Dahası, Morrey uzayı gibi birçok uzayın süreksiz katsayılı eliptik diferensiyel denklemler ve potansiyel teorisinde önemli uygulamaları ortaya çıkmıştır. Daha sonra bu uzayların Navier- Stokes ve Schrödinger denklemleri, süreksiz katsayılı eliptik diferensiyel denklemler ve potansiyel teorisinde önemli uygulamaları ortaya çıkmıştır. Morrey uzaylarının genişlemesi olan M p,ϕ genelleştirilmiş Morrey uzayları 990 yılında T. Mizuhara [2] tarafından tanımlanmış ve singüler integral operatörünün bu uzaylardaki sınırlılığı araştırılmıştır. 994 yılında E. Nakai [24] tarafından harmonik analizde önemli bir yere sahip olan maksimal integral operatörünün, Riesz potansiyelinin ve singüler integral operatörünün M p,ϕ genelleştirilmiş Morrey uzaylarınaki sınırlılığı araştırılmıştır. Aynı yıllarda ( ) V.S. Guliyev [3] tarafından Doktora Tezinde, harmonik analizin integral operatörlerinin genişletilmiş lokal Morrey uzayındaki sınırlılığı E. Nakai nin şartlarından daha geniş şartlar ile araştırılmıştır yılında V.S Guliyev, matematik literatüründe önem verilen M p,ϕ genelleştirilmiş Morrey uzayının normalleştirilmiş normunu tanımlayarak, M p,ϕ genelleştirilmiş Morrey uzayında harmonik analizin integral operatörlerinin sınırlılığını Mizuhara ve Nakai ye göre daha geniş şartlar altında araştırmıştır. Daha sonra V.S. Guliyev [4], [5] tarafından M p,ϕ genelleştirilmiş Morrey uzaylarında maksimal,
11 potansiyel ve singüler integral operatörlerin sınırlılıkları ile ilgili ispat tekniklerini geliştirerek ispatlamıştır. Biz, bu çalışmada Riesz potansiyel operatörünün tanım ve özelliklerini verdikten sonra, bu operatörün genelleştirilmiş Morrey uzaylarında sınırlılığı ile ilgili elde edilmiş olan sonuçlara yer verilmiştir. 2
12 2 TEMEL KAVRAMLAR, UZAYLAR VE OPERATÖRLER verilmiştir. Bu bölümde daha sonraki bölümlerde kullanılan tanımlara ve özelliklere yer 2. Temel Kavramlar Tanım 2.. X bir K cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. Eğer bir : X R x x dönüşümü x, y X ve a K için (N ) x 0, x = 0 x = θ (N 2 ) ax = a x (N 3 ) x + y x + y özelliklerini sağlıyorsa bu dönüşüme X üzerinde norm adı verilir. (X, ) ikilisine bir normlu vektör uzayı denir. Tanım 2..2 X bir küme olsun. X in alt kümelerinin bir A sınıfı için aşağıdaki özellikler sağlanırsa bu A sınıfı X üzerinde bir σ-cebir olarak adlandırılır. (i) X A (ii) E A, c E = X E A (iii) n =, 2,... için E n A n= E n A Bu durumda (X, A) ikilisine bir ölçülebilir uzay, A deki her bir kümeye de ölçülebilir küme adı verilir. 3
13 Tanım 2..3 (X, A) bir ölçülebilir uzay olsun. Bir µ : A [0, ] fonksiyonu (i) µ( ) = 0, (ii) Her A A için µ(a) 0, (iii) A nin her ayrık (A n ) dizisi için µ ( n= A n) = n= µ (A n) özelliklerin sağlıyorsa bu fonksiyona A üzerinde bir ölçü fonksiyonu veya ölçü adı verilir. Eğer her A A için µ (A) < ise µ ölçüsüne sonlu ölçü denir. X kümesi herbiri sonlu ölçüye sahip sayılabilir adetteki kümelerin birleşimi olarak yazılabiliyorsa µ ölçüsü σ-sonlu olarak adlandırılır. Eğer µ(x) = ise bu ölçüye olasılık ölçüsü denir. Ayrıca (X, A, µ) ölçü uzayı olarak adlandırılır. Tanım 2..4 (X, A) bir ölçülebilir uzay ve f : X R {, + } bir fonksiyon olsun. Eğer t R için {x X : f(x) > t} A oluyorsa f fonksiyonu ölçülebilirdir denir. Ölçülebilir fonksiyonların ailesi M (X, A) ile gösterilir. Tanım 2..5 T, reel değerli ölçülebilir fonksiyonların bir (X, µ) ölçü uzayı üzerinde tanımlanmış ve bir (Y, ν) ölçü uzayı üzerinde bütün kompleks değerli hemen her yerde sonlu ölçülebilir fonksiyonların kümesinde değerler alan bir operatör olsun. Bu durumda her f, g ve her λ C için ise T ye lineer operatör, T (f + g) = T (f) + T (g) ve T (λf) = λt (f) T (f + g) T (f) + T (g) ve T (λf) λ T (f) ise T ye altlineer operatör, bir K > 0 sabiti için T (f + g) K ( T (f) + T (g) ) ve T (λf) λ T (f) ise T ye quasilineer operatör denir. Altlineerlik, quasilinerliğin özel bir durumudur. Tanım 2..6 X ve Y normlu uzaylar, D(T ) X olmak üzere, T : D(T ) Y lineer operatör olsun. Eğer x D(T ) için, T x A x 4
14 olacak şekilde bir A reel sayısı varsa, T operatörüne sınırlıdır denir. Bir T operatörünün normu ile tanımlanır. T := T x sup x D(T ),x 0 x Tanım 2..7 X ve Y normlu uzaylar, D(T ) X olmak üzere, T : D(T ) Y lineer operatör ve x 0 D(T ) olsun. Eğer verilen her ɛ > 0 sayısına karşılık, x x 0 < δ koşulunu gerçekleyen her x D(T ) için, T x T x 0 < ɛ olacak şekilde bir δ > 0 sayısı varsa T operatörüne x 0 da süreklidir denir. Tanım 2..8 X ve Y normlu uzaylar, D(T ) X olmak üzere, T : D(T ) Y lineer operatör olsun. Bu durumda T operatörünün sürekli olması için gerek ve yeter koşul T operatörünün sınırlı olmasıdır. Tanım 2..9 f ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere her kompakt K X kümesi üzerinde f dµ < ise f fonksiyonuna lokal integrallenebilirdir denir. K Tanım 2..0 x R n ve f(x), g(x) ölçülebilir fonksiyonlar olsunlar. Bu durumda h = f g = f(y)g(x y)dy = f(x y)g(y)dy R n R n ile tanımlanan h fonksiyonuna f ile g nin konvolüsyonu denir. Tanım 2.. Bir f fonksiyonunun desteği suppf = {x R n : f(x) 0} ile tanımlanır. Yani f nin desteği onun sıfırdan farklı olduğu noktaların kümesinin kapanışıdır. Eğer suppf sınırlı bir küme ise f kompakt desteğe sahiptir denir. 5
15 2.2 L p (R n ) uzayı Tanım 2.2. (L p (R n ) uzayı) p < olmak üzere; f(x) p dx < R n özelligine sahip ölçülebilir f : R n R fonksiyonlar sınıfına L p (R n ) uzayı veya p. kuvvetten Lebesgue-integrallenebilir fonksiyonlar uzayı denir. L p (R n ) uzayı üzerindeki norm f L p = f p := /p f(x) p dx < ile tanımlanır. R n p = için L (R n ) uzayı, f := ess inf f(x) := inf {K : f(x) K h.h.x Rn } < x R n özelligine sahip f : R n R fonksiyonlar sınıfıdır. Tanım (Zayıf L p (R n ) uzayı) p < olmak üzere zayıf Lebesgue uzayı W L p (R n ) aşağıdaki şekilde tanımlanır. W L p (R n ) := {f ölçülebilir : f W L p < }, burada dır. f W L p := sup λ {x R n : f(x) > λ} p λ>0 Tanım (Kuvvetli ve Zayıf Tip Sınırlılık) p, q, (X, µ) ve (Y, ν) iki ölçü uzayı ve T, L p (X, µ) den tanım ve görüntü kümeleri sırasıyla Y ve C olan ölçülebilir fonksiyonların uzayına bir operatör olsun. Eğer q < olmak üzere ( ) q C f p ν ({y Y : T f(y) > λ}) λ ise T zayıf (p, q) tipinden ve eğer q = iken L p (X, µ) den L (Y, ν) ye sınırlı bir operatör ise zayıf (p, ) tipindedir denir. Eğer T, L p (X, µ) den L q (Y, ν) ya sınırlı ise kuvvetli (p, q) tiplidir denir. Yani, her f L p (X, µ) için T f q C f p 6
16 olacak şekilde bir C > 0 sabiti vardır. Buradan q = olması durumunda zayıf ve kuvvetli tip çakışmaktadır. eğer Eğer T, kuvvetli (p, q) tipli ise aynı zamanda zayıf (p, q) tiplidir. Gerçekten, E λ = {y Y : T f(y) > λ} olarak alırsak, bu durumda ν(e λ ) = dν olur. E λ E λ T f(x) λ q dν T f p q λ q ( C f p λ ) q Eğer (X, µ) = (Y, ν) ve T özdeşlik operatörü olursa zayıf (p, p) klasik Chebyshev eşitsizliği olur. Teorem [9] L loc (R n ) uzayı p için bütün L p (R n ) uzaylarının birleşimlerini içerir. Daha genel olarak 0 < p < q < için elde edilir L q (R n ) L loc q (R n ) L loc p (R n ) Tanım [25](Young Esitsizliği) < p, q <, p + q = ve a, b > 0 için ab ap p + bq q olur. Tanım [25](Hölder Esitsizliği) < p, q <, + = ve f p q Lp, g L q ise fg L olur ve fg f p g q eşitsizliği sağlanır. Tanım [25](Minkowski Esitsizliği) Eger f, g L p ve p ise f + g L p olur ve f + g p f p + g p eşitsizliği sağlanır. 7
17 Tanım (Schwarz eşitsizliği) f(x), g(x) L 2 olsun. Bu durumda b a f(x)g(x)dx b a f(x) 2 2 dx eşitsizliği sağlanır. Bu eşitsizliğe Schwarz eşitsizliği denir. b a g(x) 2 dx 2 Tanım (Fourier Dönüşümü) f L (R n ) olsun. f(x) = (2π) n R n f(y)e i(x,y) dy ile verilen f fonksiyonu f fonksiyonunun Fourier dönüşümü olarak adlandırılır. Burada (x, y) = x y + + x n y n dir. Fourier dönüşümü f(x) = (2π) n/2 f(y)e i(x,y) dy veya f(x) = R n R n f(y)e 2πi(x,y) dy olarak da alınabilir. Eğer n =, f L (R) ise bu durumda olur. f(x) = (2π) f(y)e ixy dy Teorem (Lebesgue Diferensiyelleme Teoremi) Eğer f L loc (R n ) ise bu durumda hemen her x R n için sağlanır. lim r 0 B(x, r) B(x,r) f(y)dy = f(x) Teorem 2.2. (Lebesgue Yakınsaklık Teoremi) (X, A, µ) bir ölçü uzayı, g : X [0, ] integrallenebilen bir fonksiyon ve f, f, f 2, de X üzerinde A-ölçülebilir [, ] değerli fonksiyonlar olsun. Eğer hemen hemen her x için 8
18 (i) (ii) n N için lim f n(x) = f(x) n f n (x) g(x) ise f ve f n fonksiyonları integrallenebilirdir ve lim n X f n (x)dµ(x) = X f(x)dµ(x) dir. 2.3 Hardy-Littlewood Maksimal Operatör Hardy-Littlewood maksimal fonksiyonu ilk olarak Hardy ve Littlewood [8] tarafından bir boyutlu durumda, kompleks analizin uygulamalarına yönelik olarak tanımlanmıştır. Maksimal fonksiyon analizde pek çok operatörün sınırlılığında çok önemli bir role sahiptir. Hardy-Littlewood maksimal fonksiyonunun farklı tanımları Grafakos, Hardy - Litlewood, Stein [0, 8, 28] tarafından aşağıdaki gibi verilmiştir. Tanım 2.3. f L loc (R n ) olsun. Bu durumda Mf Hardy-Littlewood maksimal fonksiyonu Mf(x) = sup B(0, r) r>0 B(0,r) ile tanımlanır. Bu fonksiyon + a eşit olabilir. f(x y) dy Hardy-Littlewood maksimal fonksiyonu yuvar yerine küp alınarak aşağıdaki gibi tanımlanabilir. Tanım f L loc (R n ) olsun. Eğer B r, [ r, r] n kübü ise M f merkezli Hardy- Littlewood maksimal fonksiyonu M f(x) = sup r>0 (2r) n B r f(x y) dy ile tanımlanır. n = iken M ve M çakışır. Eğer n > ise bu durumda c n M f(x) Mf(x) C n M f(x) 9
19 olacak şekilde sadece n ye bağlı c n ve C n sabitleri vardır. Bu eşitsizlikten dolayı M ve M operatörleri uygun koşullara göre değiştirilebilir. Tanım f L loc (R n ) olsun. M f merkezli olmayan Hardy-Littlewood maksimal fonksiyonu M f(x) = sup B(x 0,r) x B(x 0, r) B(x 0,r) f(y) dy ile tanımlanır. Burada supremum x i içeren ve kenarları eksenlere paralel olan bütün B R n yuvarları üzerinden alınmaktadır. M ve M noktasal olarak eşdeğerdir. M maksimal operatörü altlineer ve homojendir. Yani, M(f + g) Mf + Mg ve M(λf) = λ(mf), λ 0 sağlanır. Aşağıdaki teorem M Hardy-Littlewood maksimal operatörünün hemen hemen her yerde sonlu, zayıf (, ) ve < p için (p, p) tipinden bir operatör olduğunu ifade etmektedir. Teorem [9](Hardy-Littlewood-Wiener teoremi) () f L p (R n ) ve p olsun. Bu durumda hemen her x R n için Mf(x) < dır. (2) p = ise, bu durumda her λ > 0 ve f L (R n ) için {x R n : Mf(x) > λ} C λ f L (R n ) olacak şekilde bir C = C(n) > 0 sabiti vardır. (3) < p ise, her f L p (R n ) için Mf Lp(R n ) C f Lp(R n ) olacak şekilde bir C = C(n, p) > 0 sabiti vardır. 0
20 Teorem [8] (i) p < için ω ({x R n : Mf(x) > λ}) C λ p f p ω(x)dx zayıf (p, p) eşitsizliğinin sağlanması için gerek ve yeter şart ω A p olmasıdır. (ii) < p < iken M, operatörünün L p (ω) da sınırlı olması için gerek ve yeter şart ω A p olmasıdır. Teorem [7] p <, 0 λ < n olsun. Bu durumda p > için R n Mf Mp,λ C f Mp,λ ve p = için Mf W M,λ C f M,λ sağlanır. Burada C, f den bağımsızdır. Ayrıca p, 0 < λ < n ve f M p,λ için R n de Mf maksimal fonksiyonu hemen her yerde sonludur. Lemma [3] p < ve f L p loc (Rn ) olsun. Bu durumda p > için Mf Lp(B(x,t)) Ct n p r n p f Lp(B(x,r))dr (2.) t ve p = için Mf W L (B(x,t)) Ct n r n f L (B(x,r))dr (2.2) sağlanır. Burada C, f ve x R n e bağlı olmayan bir sabit ve t > 0 dır. t 2.4 Morrey Uzayı Klasik Morrey uzayları 938 yılında C.B. Morrey [22] tarafından ikinci dereceden eliptik kısmi diferensiyel denklemlerin çözümlerinin lokal davranışlarını araştırırken ve varyasyonlar analizi teorisindeki problemlerle ilgilenirken ortaya çıkarılmıştır.
21 Morrey uzaylarının önemli uygulamaları Navier-Stokes ve Schrödinger denklemlerinde, süreksiz katsayılı eliptik problemlerde ve potansiyel teoride ortaya çıkmıştır. Tanım 2.4. p <, 0 λ n, f L loc p (R n ) olmak üzere M p,λ M p,λ (R n ) Morrey uzayı şeklinde tanımlanır. M p,λ := { f : f Mp,λ < } Burada f Mp,λ normu f Mp,λ f Mp,λ (R n ) = sup x R n,r>0 r λ B(x,r) f(y) p dy p şeklinde verilir. λ = 0 için M p,0 L p (R n ) dir. Eğer λ < 0 veya λ > n ise bu durumda M p,λ = θ olur. Burada θ, R n üzerinde 0 a denk olan bütün fonksiyonların kümesini göstermektedir. W M p,λ W M p,λ (R n ) ile bütün f W L loc p Morrey uzayını göstereceğiz. Burada, fonksiyonlarının uzayı olan zayıf şeklindedir. f W Mp,λ f W Mp,λ (R n ) = sup r λ p f W Mp,λ (B(x,r)) < x R n,r>0 Lemma [20] p < olsun. Bu durumda M p,n L (R n ) ve olup, burada v n = B(0, ) dır. İspat. f L (R n ) olsun. Bu durumda (t n olur. Buradan f M p,n ve B(x,t) f Mp,n = v /p n f L (R n ) ) /p f(y) p dy vn /p f L (R n ) f Mp,n v /p n f L (R n ) 2
22 şeklindedir. f M p,n olmak üzere Lebesgue yakınsaklık teoreminden (bkz. [27]) lim B(x, t) t B(x,t) f(y) p dy = f(x) p olur. Bu durumda ( f(x) = lim B(x, t) t B(x,t) ) /p f(y) p dy vn /p f Mp,n şeklindedir. Buradan f L (R n ) dır ve olur. f L (R n ) vn /p f Mp,n Lemma [] p <, 0 λ < n olsun. Bu durumda α = n λ p için f M,n α vn /p f Mp,λ dır ve buradan M p,λ M,n p olur. Burada /p + /p = dır. İspat. eşitsizliğinden f M p,λ, p <, 0 λ < n ve αp = n λ olmak üzere Hölder ( f(y) dy ) /p ( f(y) p dy ) /p dy B(x,t) B(x,t) ( = vn /p t n/p B(x,t) f(y) p dy B(x,t) ) /p elde edilir. Ayrıca t α n B(x,t) ( f(y) dy vn /p t α n/p = v /p n (t λ B(x,t) vn /p f Mp,λ B(x,t) ) /p f(y) p dy f(y) p dy ) /p elde edilir. Buradan f M,n α ve şeklindedir. f M,n α vn /p f Mp,λ 3
23 2.5 M p,ϕ genelleştirilmiş Morrey uzayı Morrey uzaylarının genişlemesi olan M p,ϕ genelleştirilmiş Morrey uzayı 990 yılında Mizuhara [2] tarafından tanımlanmış ve singüler integral operatörünün bu uzaylardaki sınırlılığı araştırılmıştır. 994 yılında Nakai [24] tarafından harmonik analizde önemli bir yere sahip olan maksimal integral operatörünün, Riesz potansiyelinin ve singüler integral operatörünün M p,ϕ genelleştirilmiş Morrey uzaylarındaki sınırlılığı araştırılmıştır. M p,ϕ geneleştirilmiş Morrey uzayının normalleştirilmiş normlu hali ilk olarak 2009 yılında Guliyev [] tarafından tanımlanmış ve harmonik analizin integral operatörlerinin sınırlılığı Mizuhara ve Nakai ye göre daha geniş şartlar altında araştırılmıştır. Ayrıca Guliyev [4], [5] tarafından M p,ϕ genelleştirilmiş Morrey uzaylarında maksimal, potansiyel ve singüler integral operatörlerin sınırlılıkları ortaya koyduğu yeni metot ile elde edilmiştir. M p,ϕ genelleştirilmiş Morrey uzayı Mizuhara [2] tarafından aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır. Tanım 2.5. [2] ϕ(x, r), R n (0, ) üzerinde pozitif ölçülebilir bir fonksiyon olsun. M p,ϕ M p,ϕ (R n ), p < ile f Mp,ϕ f Mp,ϕ(R n ) = sup ϕ(x, r) f Lp(B(x,r)) < x R n, r>0 normuna sahip bütün f L loc p (R n ) fonksiyonlarının uzayı genelleştirilmiş Morrey uzayı olarak tanımlanır. Ayrıca W M p,ϕ W M p,ϕ (R n ) ile f W Mp,ϕ f W Mp,ϕ(R n ) = sup ϕ(x, r) f W Lp(B(x,r)) < x R n, r>0 normuna sahip bütün f W L loc p (R n ) fonksiyonlarının uzayı zayıf genelleştirilmiş Morrey uzayı olarak tanımlanır. Burada W L p (B(x, r)) uzayı ile f W Lp(B(x,r)) fχ B(x,r) W Lp(R n ) < şeklindeki bütün ölçülebilir f fonksiyonlarını içeren zayıf L p uzayı ifade edilir. Ayrıca doğal topoloji ile verilen L loc p (R n ) ve W L loc (R n ) uzayları her B R n yuvarı için fχ B L p (R n ) ve fχ B W L p (R n ) şeklindeki bütün f fonksiyonların uzayı olarak tanımlanır. 4 p
24 Bu tanıma göre ϕ(x, r) = r λ p için L p,λ = M p,ϕ ϕ(x,r)=r λ p, ϕ(x,r)=r W L p,λ = W M p,ϕ λ p olduğu görülür. M p,ϕ genelleştirilmiş Morrey uzayının normalleşmiş normlu hali Guliyev [] tarafından aşağıdaki şekilde tanımlanmıştır. Tanım [] ϕ(x, r), R n (0, ) üzerinde pozitif ölçülebilir bir fonksiyon olsun. M p,ϕ M p,ϕ (R n ), p < ile f Mp,ϕ f Mp,ϕ(R n ) = sup ϕ(x, r) B(x, r) p x R n, r>0 f Lp(B(x,r)) < normalleşmiş normuna sahip bütün f L loc p (R n ) fonksiyonlarının uzayı genelleştirilmiş Morrey uzayı olarak tanımlanır. Ayrıca ile W M p,ϕ W M p,ϕ (R n ) f W Mp,ϕ f W Mp,ϕ(R n ) = sup ϕ(x, r) B(x, r) p x R n, r>0 f W Lp(B(x,r)) < normalleşmiş normuna sahip bütün f W L loc p (R n ) fonksiyonlarının uzayı zayıf genelleştirilmiş Morrey uzayı olarak tanımlanır. Bu tanıma göre ϕ(x, r) = r λ p için L p,λ = M p,ϕ ϕ(x,r)=r λ n p, W L p,λ = W M p,ϕ ϕ(x,r)=r λ n p olduğu görülür. 5
25 3 RİESZ POTANSİYEL OPERATÖRÜ Riesz potansiyeli harmonik analizin önemli konuları arasındadır. Özellikle kısmi türevli denklemler teorisi ve matematiksel fizikte birçok uygulamaları vardır. Bu kesimde klasik Lebesgue uzaylarında Riesz potansiyeli tanımlanıp, bunların varlık ve sınırlılık özellikleri incelenecektir. 3. I α Riesz Potansiyeli Tanım 3.. (Riesz potansiyeli) f yeterince düzgün bir fonksiyon olmak üzere f fonksiyonunun Laplasyeni; biçiminde tanımlanır. f S olmak üzere f = F ( f(x)) = f(x) = n j= 2 f x 2 j (2π) n/2 R n e i(xy) f(y)dy dir. e i(xy) = e i(x y + +x ny n) olmak üzere ( )f(x) = ( e i(xy) ) (2π) f(y)dy n/2 R n 2 = ( e ix y 2 e ix 2y 2 2 e ixnyn ) (2π) n/2 x 2 x 2 2 x f(y)dy 2 n R n = y 2 e i(xy) f(y)dy (2π) n/2 olduğundan R n I α f = F y α F f, f S (3.) ( )f = F y 2 F f yazılabilir. Bilindiği gibi Laplace operatörü eliptik operatördür. P. Seeley göstermiştir ki, eğer bir eliptik L operatörü için Lf = F φ(x)f f 6
26 formülü mevcut ise o zaman onun istenilen kompleks kuvveti için L z f = F φ z (x)f y geçerlidir. Dolayısıyla bu teoreme göre Laplace operatörü için ( ) z f = F y 2z F f yazılabilir. Dolayısıyla görülür ki z = α n için ( ) α n f = F y α F f (3.2) geçerlidir. Yani (3.) ve (3.2) den görünür ki, Riesz potansiyelinin ve nın negatif kesir kuvvetinin genelleşmiş anlamda Fourier dönüşümleri aynıdır. Bu durumda I α = ( ) α n, 0 < α < n (3.3) ifadesi yazılabilir, burada 0 < α < n ve γ(α) = π n/2 2 α Γ( α 2 ) Γ( n 2 α 2 ) olmak üzere (I α f)(x) = γ(α) R n f(y) dy x y n α şeklinde tanımlanan I α operatörüne Riesz potansiyeli denir. Teorem 3..2 (Riesz Potansiyeli İçin Hardy-Littlewood-Sobolev Teoremi) 0 < α < n, p < q < ve q = p α n olsun. (i) Eğer f L p (R n ) ise (I α f) (x) = γ(α) R n f(y) x y n α dy integrali hemen her x için mutlak yakınsaktır. (ii) Eğer p > ise bu durumda I α f q A p,q f p eşitsizliği gerçeklenir. 7
27 (iii) Eğer f L (R n ) ise bu durumda her λ için ( A f m {x : I α f(x) > λ} λ ( ) dir. Yani, f I α f dönüşümü (, q) zayıf tiplidir = α q n Aşağıdaki teorem I α Riesz potansiyelinin 0 < α < n için (L p, L q ) sınırlılığını ifade etmektedir. Teorem 3..3 [0] p < q <, 0 < α < n ve f L p (R n ) olsun. Bu durumda p > için ve p = için I α f Lq(R n ) C f Lp(R n ) I α f Lq, (R n ) C f L (R n ) olacak şekilde C = C(n, α, p) < sabiti vardır ve burada p q = α n biçimindedir. Aşağıdaki teorem I α Riesz potansiyelinin 0 < α < n ve ω A p,q için (L p (ω p ), L q (ω q )) sınırlılığını ifade etmektedir. Teorem 3..4 [23] 0 < α < n, p < n/α, /p /q = α/n ve ω A p,q olsun. Bu durumda I α Riesz potansiyeli p > için ) q I α f Lq(ω q ) C f Lp(ω p ) ve p =, q = n/(n α), ω A,q ve λ > 0 için ω q ({x R n : I α f(x) > λ}) C λ q f q L (ω) olacak şekilde λ ve f fonksiyonundan bağımsız bir C sabiti vardır. Teorem 3..5 [] 0 < α < n λ, p < n/α ve /p /q = α/n λ olsun. Bu durumda 0 < λ < n için I α Riesz potansiyeli L p,λ (R n ) uzayından L q,λ (R n ) uzayına sınırlıdır. 8
28 4 M p,ϕ GENELLEŞTİRİLMİŞ MORREY UZAYINDA RİESZ POTAN- SİYELİNİN SINIRLILIĞI İÇİN ELDE EDİLEN SONUÇLAR Bu bölümde M p,ϕ genelleştirilmiş Morrey uzaylarında Riesz potansiyel operatörünün sınırlılığı ile ilgili özellik ve sonuçlara yer verilmiştir. Ayrıca bu bölümde r t 2r olmak üzere, ϕ(x, r) fonksionu c ; t ve r ye bağlı olmayan bir sabit ve x R n olmak üzere c ϕ(x, r) ϕ(x, t) cϕ(x, r) (4.) koşullarını sağladığı ve yine C > 0; r ve x R n ye bağlı olmayan bir sabit olmak üzere maksimal operatörler için ve potansiyel operatörü için r koşullarının sağladığı kabul edilmiştir. r ϕ(x, t) p dt t Cϕ(x, r)p (4.2) t αp ϕ(x, t) p dt t Crαp ϕ(x, r) p (4.3) 4. Spanne - Guliyev Tipli Sınırlılık Bu bölümde, I α Riesz potansiyel operatörünün sınırlılığı için Spanne-Guliyev tipli sonuçlarda Guliyev [2, ] tarafından yapılan ispatlara yer verilmiştir. Aşağıda ispatsız olarak verilen I α Riesz potansiyeli operatörü ile ilgili sonuç Nakai [24] tarafından verilmiştir. Teorem 4.. < p <, 0 < α < n, = α olsun. Ayrıca ϕ(x, r), (4.) ve p q p n (4.3) koşullarını sağlasın. Bu durumda I α Riesz potansiyeli operatörü M p,ϕ uzayından M q,ϕ uzayına sınırlıdır. Lokal Guliyev eşitsizliği kullanılarak ispatı verilen, Mizuhara [2] ve Nakai [24] tarafından I α Riesz potansiyeli operatörünün sınırlılığı için elde edilen sonuç aşağıda verilmiştir. (Bkz. [4]-[6], [2, 6]). 9
29 Teorem 4..2 < p <, 0 < α < n p, q = p α n ve (ϕ, ϕ 2 ) fonksiyonları t r α ϕ (x, r) dr r C ϕ 2(x, t), (4.4) koşullarını sağlasın. Burada, C,x ve t ye bağlı olmayan bir sabittir. Bu durumda p > için M α ve I α operatörleri; M p,ϕ uzayından W M q,ϕ2 uzayına ve M p,ϕ (R n ) uzayından M q,ϕ2 (R n ) uzayına ve p = için M α ve I α operatörleri M,ϕ (R n ) uzayından W M q,ϕ2 (R n ) uzayına sınırlıdır. Teoremin ispatında kullanacağımız lemma daki lokal Guliyev eşitsizliği, Guliyev [5] tarafından ispatlanmıştır. Lemma 4..3 (Lokal Guliyev Eşitsizliği) p > için < p <, 0 < α < n p, q = p α n ve f Lp loc (Rn ) alalım. Bu durumda I α f Lq(B(x,t)) Ct n q r n q f Lp(B(x,r)) dr (4.5) ve p = için t I α f Ct n q W Lq(B(x,t)) r n q f L(B(x,r)) dr (4.6) eşitsizliği gerçeklenir, burada C, f ye bağlı olmayan bir sabittir, x R n ve t > 0 dir. t İspat. < p < alalım. f fonksiyonu f = f + f 2, f (y) = f (y) χ B(x,2t) (y), f 2 (y) = f (y) χ B c (x,2t) (y), t > 0 olarak tanımlanırsa I α f (x) = I α f (x) + I α f 2 (x) elde edilir. < p <, 0 < α < n p, q = p α n özelliğinden olmak üzere Teorem 3..2 deki (ii) I α f Lq(B(x,t)) I αf Lq(R n ) C f Lp(R n ) = C f Lp(B(x,2t)) elde edilir, burada C, f den bağımsız bir sabittir. Ayrıca, I α f Lq(B(x,t)) Ct n q 2t 20 r n q f Lp(B(x,r)) dr (4.7)
30 elde edilir. x z t, z y 2t olduğunda x z t z y 2 dir. Dolayısıyla ve x y = x z + z y x z + z y t + z y 3 z y 2 z y = z x + x y z x + x y t + x y z y + x y 2 z y x y 2 dir. Sonuç olarak, elde edilir. Böylece I α f 2 Lq(B(x,t)) 2 z y x y 3 z y 2 C B c (x,2t) B c (x,2t) f (y) z y f (y) n α dy Lq(B(x,t)) x y n α dy χ(b(x,t)) Lq(R n ) elde edilir. β > n q seçilerek, Hölder eşitsizliğinden 2
31 B c (x,2t) f (y) x y n α dy = β x y α n+β f (y) s β ds dy = β B c (x,2t) s β x y x y α n+β f (y) dy ds C 2t {y R n :2t x y s} s β f Lp(B(x,s)) x y α n+β Lp ds (B(x,s)) = C 2t s β f Lp(B(x,s)) ( x y n α β) dy p p ds = C C 2t 2t s β f Lp(B(x,s)) s β f Lp(B(x,s)) 2t x y s S n s 2t ρ n ( s n (n α β)p ) p dρdx ρ (n α β)p ds p ds = C 2t s β s n p s α+β f Lp(B(x,s)) ds 2t = C elde edilir. Diğer yandan q = p α n ise n q = n p yazılırsa, 2t I α f 2 C Lq(B(x,t)) = C Ct n q s α n p f Lp(B(x,s)) ds (4.8) 2t 2t α dir. Bu değer (4.8) de yerine s α ( n q +α) f Lp(B(x,s)) ds s n q f Lp(B(x,s)) ds s n q f Lp(B(x,s)) ds (4.9) elde edilir. 2t 22
32 Sonuç olarak, (4.7) ve (4.8) dan (4.5) ispatlanır. p = ve herhangi B = B(x, r) yuvarı için I α f W L (B(x,t)) I αf W L (B(x,t)) + I αf 2 W L (B(x,t)) eşitsizliğinin gerçeklendiği açıktır. I α operatörünün L (R n ) uzayından W L q (R n ) uzayına sınırlığından I α f W L (B(x,t)) C f L q(b(x,2t)) bulunur, burada C, x ve t ye bağlı olmayan bir sabittir. Dikkat edilmelidir ki (4.9) eşitsizliği p = durumu için de doğrudur. Dolayısıyla (4.9) dan (4.6) eşitsizliği elde edilir. Şimdi Teorem 4..2 ispatını verelim. İspat. < p < ve f M p,ϕ (R n ) olsun. Lemma (4..3) den I α f Mq,ϕ2 = sup C x R n,t>0 sup x R n,t>0 C f Mp,ϕ t n/q ϕ 2 (x, t) I αf Lq(B(x,t)) ϕ 2 (x, t) sup t x R n,t>0 r n q f Lp(B(x,r)) dr ϕ 2 (x, t) (4.4) den < p < için ispat tamamlanır. Şimdi p = ve f M,ϕ (R n ) olsun. Lemma (4..3) t r α ϕ (x, r) dr r elde edilir. I α f W Mq,ϕ2 = sup ϕ 2 (x, t)t n q Iα f W Lq(B(x,t)) x R n,t>0 C sup ϕ x R n,t>0 2 (x, t) t r n q f L(B(x,r)) dr Böylece I α f W Mq,w2 C f M,ϕ (R n ) sup C f M,ϕ x R n,t>0 ϕ 2 (x, t) bulunur. Buradan p = için de (4.4) den ispat tamamlanmıştır. t r α ϕ (x, r) dr r 23
33 ϕ (x, r) = ϕ 2 (x, r) = ϕ(x, r) olması durumunda aşağıdaki sonuç elde edilir (Guliyev [3],[2]): Sonuç 4..4 p <, 0 < α < n, = α ve ϕ(x, t), (4.) ve (4.3) p q p n koşullarını sağlasın. Bu durumda M α ve I α operatörleri p > için M p,ϕ (R n ) uzayından M q,ϕ (R n ) uzayına ve p = için M,ϕ (R n ) uzayından W M q,ϕ (R n ) uzayına sınırlıdır. 4.2 Adams - Guliyev Tipli Sınırlılık Bu bölümde Riesz potansiyel operatörünün sınırlılığı için Adams-Guliyev tipli sonuçlarda Guliyev [, 2] tarafından yapılan ispatlara yer verilmiştir. verilmiştir. Aşağıdaki I α Riesz potansiyeli operatörü ile ilgili sonuç Nakai [24] tarafından Teorem 4.2. p <, 0 < α < n, ϕ(x, r) (4.) koşulunu ve p t α ϕ(x, t) + t r α ϕ(x, r) dr r Cϕ(x, t) p q (4.0) koşulunu sağlasın, burada q p ve C, x R n ve t > 0 a bağlı olmayan bir sabittir. Ayrıca kabul edelim ki, hemen her x R n için ϕ(x, r) için ϕ(x,.) : [0, ) [a, ) koşulunu sağlayacak biçimde herhangi bir a = a(x) > 0 örten fonksiyonu olsun. Bu durumda, M α ve I α operatörleri, p > için M p,ϕ (R n ) uzayından M q,w p/q(r n ) uzayına ve p = için M,ϕ (R n ) uzayından W M q,ϕ /q(r n ) uzayına sınırlıdır. Teoremin ispatında kullanacağımız Lemma Guliyev [5] tarafından ispatlanmıştır. Lemma p <, 0 < α < n p ve f Lp loc (Rn ) olsun. Bu durumda C f, x ve t den bağımsız bir sabit olmak üzere eşitsizliği gerçeklenir. I α f(x) Ct α Mf (x) + C t r α n p f Lp(B(x,r)) dr (4.) 24
34 İspat. < p < alalım. f f = f + f 2, f (y) = f (y) χ B(x,2t) (y), f 2 (y) = f (y) χ B c (x,2t) (y), t > 0 olarak tanımlanırsa I α f (x) = I α f (x) + I α f 2 (x) elde edilir. I α f (x) Ct α Mf (x) eşitsizliği Hedberg [7] tarafından ispatlanmıştır. I α f 2 için ise Hölder eşitsizliğinden, I α f 2 (x) x y α n f (y) dy B c (x,2t) C f (y) dy r α n dr C C = C C = C B c (x,2t) 2t t t t 2t< x y <r f Lp(B(x,r)) f Lp(B(x,r)) x y f (y) dy r α n dr t< x y <r S n r t dx p ρ n dρdx f Lp(B(x,r)) rn( p) r α n dr r α n p f Lp(B(x,r)) dr r α n dr p r α n dr elde edilir. t Şimdi Teorem 4.2. ispatını verelim. İspat. M α f(x) C(I α f )(x) olduğunu biliyoruz. p < ve f M p,ϕ (R n ) olsun. Lemma dir. ((4.0)) den I α f(x) Cr α Mf(x) + C f Mp,ϕ r α ϕ(x, r) Cϕ(x, r) p q 25 r t α ϕ(x, t) dt t
35 olduğunu biliyoruz. Ayrıca (4.0) şartını kullanarak I α f(x) Cϕ(x, r) p q Mf(x) + Cϕ(x, r) p q f Mp,ϕ elde edilir. ϕ(x, r) örten olduğundan r > 0 seçebiliriz ve böylece ϕ(x, r) = Mf(x) f Mp,ϕ(R n ) elde edilir. Burada f nin 0 a özdeş olmadığını varsayıyoruz. Böylece her x R n için I α f(x) C(Mf(x)) p q f p q M p,ϕ eşitsizliği gerçeklenir. Teorem 4.2. deki (4.) koşulu nedeniyle M p,ϕ (R n ) genelleştirilmiş Morrey uzayında M maksimal operatörünün sınırlılığından teorem gerçeklenir. < p < q < için I α f Mq,ϕ p/q = sup x R n,t>0ϕ(x, t) pq t nq Iα f Lq(B(x,t)) C f p q M p,ϕ sup ϕ(x, t) p q t n p/q q Mf L x R n p(b(x,t)),t>0 C f Mp,ϕ ve p = < q < için I α f W M q,ϕ q = sup x R n,t>0ϕ(x, t) q t nq Iα f W Lq(B(x,t)) C f q M p,ϕ C f Mp,ϕ sup x R n,t>0 ϕ(x, t) q t n q Mf q W L (B(x,t)) elde edilir. 26
36 KAYNAKLAR [] Adams, D. R. A note on Riesz potentials, Duke Math. J , [2] Akbulut, A.; Guliyev, V.S.; Mustafayev, R. On Boundedness of the maximal operator and singular integral operator in generalized Morrey spaces, Mathematica Bohemica, 202, 37, [3] Akbulut, A.; Kuzu, O. Marcinkiewicz integrals associated with Schrodinger operator on generalized Morrey spaces, Preprint in J. Math. Inequal., 204. [4] Burenkov, V.I.; Guliyev, H.V.; Guliyev, V.S. Necessary and sufficient conditions for the boundedness of the fractional maximal operator in the local Morrey-type spaces, Dokl. Akad. Nauk 74 () 2006, [5] Burenkov, V.I.; Guliyev, V.S. Necessary and sufficient conditions for the boundedness of the Riesz potential in local Morrey-type spaces, Potential Anal. 30 (3) 2006, [6] Burenkov, V.; Gogatishvili, A.; Guliyev, V.S. ve Mustafayev, R. Boundedness of the fractional maximal operator in local Morrey-type spaces, Potential Anal , [7] Chiarenza, F.; Frasca, M. Morrey spaces and Hardy-Littlewood maximal function, Rend. Math. Appl. 987, 7, 7, [8] Duoandikoetxea, J. Fourier Analysis, Amer. Math. Soc., Providence, Rhode. Island, 2000, 29. [9] Grafakos, L. Classical Fourier Analysis, Axler, S.; Ribet, K.A., Springer, NY USA, [0] Grafakos, L. Classical and Modern Fourier Analysis, Pearson Education, Inc. Upper Saddle River, New Jersey, [] Guliyev, V.S. Boundedness of the maximal, potential and singular operators in the generalized Morrey spaces, J. Inequal. Appl. (2009)2009, Article ID ,
37 [2] Guliyev, V.S. Function spaces, Integral Operators and Two Weighted Inequalities on Homogeneous Groups. Some Applications, Casioglu, Baku, 999, 332. [3] Guliyev, V.S. Integral operators on function spaces on the homogeneous groups and on domains in R n, Doctoral degree dissertion, Mat. Inst. Steklov, Moscow, 994, 329. [4] Guliyev, V.S.; Aliyev, S.S.; Karaman, T. Boundedness of a class of sublinear operators and their commutators on generalized Morrey spaces, Integr. Equ. Oper. Theory, 7, ID 35604, 20, [5] Guliyev, V.S.; Aliyev, S.S.; Karaman, T.; Shukurov, P.S. Boundedness of sublinear operators and commutators on generalized Morrey spaces, Integral. Equ. Oper. Theory, 20, 7, 3, [6] Guliyev, V.S.; Hasanov, J; Samko, S Boundedness of the maximal, potential and singular operators in the generalized variable exponent Morrey spaces, Math. Scand. 97 (2) 200, [7] Hedberg L.I, On certain convolution inequalies, Proc. Amer. Math. Soc. 36, 972, [8] Hardy, G. H.; Littlewood, L. E. A maximal theorem with functio theoretic applications, Acta Math., 930, 54, 8-6. [9] Krantz, S.G.; Parks, H. R. Geometric integration theory. st ed. Birkhäuser Boston, [20] Long, R.L.; The spaces generated by blocks, Sci. Sinica, Ser.A, , [2] Mizuhara, T. Boundedness of some classical operators on generalized Morrey spaces, Harmonik analysis (Sendai, 990), ICM-90 Satellite Conference Proceedings, 99, [22] Morrey, C.B. On the solution of quasi-linear elliptic partial differential equation, Trans. Amer. Math. Soc., 938, 43, [23] Muckenhoupt, B.; Wheeden, R. Weighted norm inequalities for fractional integrals, Trans. Amer. Math. Soc., 974, 92,
38 [24] Nakai, E. Hardy Littlewood maximal operator, singular integral operators and Riesz potentials on generalized Morrey spaces, Math. Nachr , [25] Neri U, Singular Integrals, Springer Verlag, New York, 97. [26] Peetre, J. On the theorey of L p,λ spaces, J. Funct. Anal., 969, 4, [27] Stein, E.M. Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton Univ. Press, Princeton, 970, 304. [28] Stein, E.M. Topics in Harmonic Analysis Related to the Littlewood-Paley Theory. Princeton, New Jersey: Princeton University Press,
39 ÖZGEÇMİŞ Adı ve Soyadı : Ramazan AKILLI Doğum Yeri : Merkez/Kırşehir Doğum Tarihi : 983 Yabancı Dili : İngilizce İletişim Bilgileri Adres : Prof. Dr. Erol Güngör Ortaokulu - Kırşehir ramazann386@hotmail.com Eğitim Durumu Lisans : Konya Selçuk Üniversitesi Eğitim Fakültesi İlköğretim Matematik Öğretmenliği 30
T.C. UZAYLARI VE İNTEGRAL OPERATÖRLERİ
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HARMONİK ANALİZDE LEBESGUE UZAYLARI VE İNTEGRAL OPERATÖRLERİ Süleyman ÇELİK YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR 206 T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ
DetaylıÖZGEÇMİŞ. 1. Adı Soyadı : Ali AKBULUT İletişim Bilgileri : Ahi Evran Üniversitesi Fen debiyat Fakültesi Adres Matematik Bölümü KIRŞEHİR
ÖZGEÇMİŞ 1. Adı Soyadı : Ali AKBULUT İletişim Bilgileri : Ahi Evran Üniversitesi Fen debiyat Fakültesi Adres Matematik Bölümü KIRŞEHİR Telefon : (0386) 280 4565 Mail : aakbulut@ahievran.edu.tr 2. Doğum
DetaylıDoç. Dr. Ali AKBULUT
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ GENELLEŞTİRİLMİŞ MORREY UZAYLARINDA HARMONİK ANALİZİN İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN SINIRLILIĞI Niha TÜYSÜZ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI KIRŞEHİR
DetaylıBANACH FONKSİYON UZAYLARI
T.C. AHİ EVAN ÜNİVESİTESİ FEN BİLİMLEİ ENSTİTÜSÜ BANACH FONKSİYON UZAYLAI Kasım Emre AKSOY YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIŞEHİ 216 T.C. AHİ EVAN ÜNİVESİTESİ FEN BİLİMLEİ ENSTİTÜSÜ BANACH
DetaylıT.C. UZAYLARINDA SINIRLILIĞI
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ HARMONİK ANALİZİN İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN ORLICZ UZAYLARINDA SINIRLILIĞI Koray ŞANTAŞ YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI KIRŞEHİR 25 T.C. AHİ
DetaylıAnkara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri. Ders izlence Formu
Ankara Üniversitesi Kütüphane ve Dokümantasyon Daire Başkanlığı Açık Ders Malzemeleri Ders izlence Formu Dersin Kodu ve İsmi Dersin Sorumlusu Dersin Düzeyi MAT407 REEL ANALİZ Prof. Dr. Ertan İBİKLİ ve
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocm.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocm.mit.edu/terms veya http://tuba.açık ders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıSORU 1: Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde. ÇÖZÜM 1: B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) = 0 gerçeklenir.
2.4 Lebesgue Dış Ölçüsü ve Lebesgue Ölçüsü SORU : Herbir A R kümesi için A G ve λ (A) = λ (G) olacak şekilde G R kümesinin varlığınıgösteriniz? ÇÖZÜM : B sayılabilir bir küme olsun. Bu durumda λ (B) =
DetaylıSORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X) kuvvet. kümesi veriliyor. P (X) üzerinde 0 ; A = 1 ; A
2.2 Ölçüler SORU 1: En az iki elemana sahip bir X kümesi ile bunun P (X kuvvet kümesi veriliyor. P (X üzerinde 0 ; A (A : 1 ; A şeklinde tanımlanan dönüşümü ölçü müdür? ÇÖZÜM 1: (i Tanımdan ( 0. (ii A
DetaylıÖZGEÇMİŞ ve YAYIN LİSTESİ
ÖZGEÇMİŞ ve YAYIN LİSTESİ Adı Soyadı: AYHAN ŞERBETÇİ Doğum Tarihi: 16 Temmuz 1959 Adres : Ev: Kalaba Mahallesi Şair Sokak No: 3/2, Keçiören-ANKARA İş: Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü,
Detaylı1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması
1.4. Tam Metrik Uzay ve Tamlaması 15 1.4 Tam Metrik Uzay ve Tamlaması Öncelikle şunu not edelim: (X, d) bir metrik uzay, (x n ), X de bir dizi ve x X ise lim n d(x n, x) = 0 = lim n,m d(x n, x m ) = 0
DetaylıGENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE
ÖZEL EGE LİSESİ GENELLEŞTİRİLMİŞ FUZZY KOMŞULUK SİSTEMİ ÜZERİNE HAZIRLAYAN ÖĞRENCİ: Berk KORKUT DANIŞMAN ÖĞRETMEN: Gizem GÜNEL İZMİR 2013 İÇİNDEKİLER 1. PROJENİN AMACI 3.33 2. GİRİŞ... 3 3. YÖNTEM 3 4.
DetaylıLeyla Bugay Doktora Nisan, 2011
ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Doktora 2010913070 Nisan, 2011 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup teorisi cebirin en temel dallarından biridir. Yarıgrup terimi ilk olarak 1904
DetaylıTopolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine
S Ü Fen Ed Fak Fen Derg Sayı 26 (2005) 43-50, KONYA Topolojik Uzaylarda Süreklilik Çeşitleri Üzerine Kemal USLU 1, Şaziye YÜKSEL Selçuk Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü Kampüs-Konya
DetaylıPAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ
PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ TOPLANABİLEN VEYA SINIRLI OLAN DİZİ UZAYLARI ARASINDAKİ DÖNÜŞÜMLERİN ÖZELLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ İnci BİRGİN Anabilim Dalı : Matematik Programı : Matematik
DetaylıTez adı: Orlicz uzaylarında polinom ve rasyonel fonksiyonlarla yaklaşımlar (2004) Tez Danışmanı:(İLKAY KARACA,DANİYAL İSRAFİLZADE)
ALİ GÜVEN PROFESÖR E-Posta Adresi guvennali@gmail.com Telefon (İş) Telefon (Cep) Faks Adres 2666121000-1211 2666121215 Balıkesir Üniversitesi Fen Edebiyat Fakültesi Matematik Bölümü 10145 Balıkesir Öğrenim
DetaylıSİNGÜLER İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN AĞIRLIKLI L p UZAYINDA SINIRLILIĞI
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SİNGÜLER İNTEGRAL OPERATÖRLERİNİN AĞIRLIKLI L p UZAYINDA SINIRLILIĞI Hayrullah ASLAN YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİKANABİLİM DALI KIRŞEHİR - 203 T.C. AHİ
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ. YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ. Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ
ZAMAN SKALASINDA LİNEER OLMAYAN İNTEGRAL EŞİTSİZLİKLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Hakan TEMİZ Danışman Doç. Dr. Mustafa Kemal YILDIZ MATEMATİK ANABİLİM DALI Haziran, 2014 AFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ
DetaylıINVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION EQUATIONS
BİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN DİFÜZYON DENKLEMLERİNİN İNCELENMESİ INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION EQUATIONS FATMA GAMZE DÜZGÜN PROF. DR. KAMAL SOLTANOV Tez Danışmanı Hacettepe Üniversitesi
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıKESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ. Münevvere Mine KARAKAYA. Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI
KESİRLİ LİNEER FARK DENKLEMLERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Münevvere Mine KARAKAYA Doç. Dr. Umut Mutlu ÖZKAN MATEMATİK ANABİLİM DALI Ocak 2015 BİLİMSEL ETİK BİLDİRİM SAYFASI Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen Bilimleri
DetaylıKesirli Türevde Son Gelişmeler
Kesirli Türevde Son Gelişmeler Kübra DEĞERLİ Yrd.Doç.Dr. Işım Genç DEMİRİZ Yıldız Teknik Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü 6-9 Eylül, 217 Kesirli Türevin Ortaya Çıkışı Gama ve Beta Fonksiyonları Bazı
DetaylıVEKTÖR UZAYLARI 1.GİRİŞ
1.GİRİŞ Bu bölüm lineer cebirin temelindeki cebirsel yapıya, sonlu boyutlu vektör uzayına giriş yapmaktadır. Bir vektör uzayının tanımı, elemanları skalar olarak adlandırılan herhangi bir cisim içerir.
DetaylıAfyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi
Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 6 (06) 0330 (576-584) AKU J Sci Eng 6 (06) 0330 (576-584) DOI:
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıBAZI FONKSİYON UZAYLARI ANKARA
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FOURIER-BESSEL (HANKEL) DÖNÜŞÜMÜNE KARŞILIK GELEN BAZI FONKSİYON UZAYLARI Fatih DERİNGÖZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 211 Her hakkı saklıdır
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıLineer Dönüşümler ÜNİTE. Amaçlar. İçindekiler. Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN
Lineer Dönüşümler Yazar Öğr. Grv.Dr. Nevin ORHUN ÜNİTE 7 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayları arasında tanımlanan belli fonksiyonları tanıyacak, özelliklerini öğrenecek, Bir dönüşümün,
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıKaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984.
Çankırı Karatekin Üniversitesi Matematik Bölümü 2015 Kaynaklar Shepley L. Ross, Differential Equations (3rd Edition), 1984. (Adi ) Bir ya da daha fazla bağımsız değişkenden oluşan bağımlı değişken ve türevlerini
Detaylı1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi
1. Metrik Uzaylar ve Topolojisi Euclidean R uzayının tabanının B = {(a, b) : a, b R} olduğunu biliyoruz. Demek ki bu uzayda belirleyiçi unsur açık aralıklar. Her açık aralık (a, b) için, olmak üzere, d
DetaylıAyşe GİR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ OCAK 2011 ANKARA
FUZZY NORMLU LİNEER UZAYLAR VE SÜREKLİLİK Ayşe GİR YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK GAZİ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ OCAK 2011 ANKARA Ayşe GİR tarafından hazırlanan FUZZY NORMLU LİNEER UZAYLAR VE
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıTez adı: Genelleştirilmiş büzülme dönüşümleri için bazı sabit nokta teoremleri (2016) Tez Danışmanı:(ARAP DURAN TÜRKOĞLU)
HÜSEYİN IŞIK YARDIMCI DOÇENT E-Posta Adresi : h.isik@alparslan.edu.tr Telefon (İş) Telefon (Cep) Faks Adres : : : : 3122021084-5071865605 MUŞ ALPARSLAN ÜNİVERSİTESİ FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ Öğrenim Durumu
DetaylıT.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI
T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI LATİSLERDE TÜREVLER YÜKSEK LİSANS TEZİ UTKU PEHLİVAN DENİZLİ, OCAK - 2015 T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DetaylıÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ Nuray GÜL İKİ TOPOLOJİLİ UZAYLARDA BAZI AYIRMA AKSİYOMLARI MATEMATİK ANABİLİM DALI ADANA, 2011 ÇUKUROVA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DetaylıLeyla Bugay Haziran, 2012
Sonlu Tekil Dönüşüm Yarıgruplarının Doğuray Kümeleri ltanguler@cu.edu.tr Çukurova Üniversitesi, Matematik Bölümü Haziran, 2012 Yarıgrup Teorisi Nedir? Yarıgrup terimi ilk olarak 1904 yılında Monsieur l
Detaylı6. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 16, 2016
6. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 16, 2016 Bu derste lineer cebirdeki bazı fikirleri gözden geçirip Lie teorisine uygulamalarını inceleyeceğiz. Bütün Lie cebirlerinin cebirsel olarak kapalı ve karakteristiği
DetaylıAKÜ FEMÜBİD 17 (2017) ( ) AKU J. Sci.Eng.17 (2017) ( ) DOI: /fmbd Araştırma Makalesi / Research Article
Afyon Kocatepe Üniversitesi Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi A 1, 2 Afyon Kocatepe University Journal of Science and Engineering AKÜ FEMÜBİD 17 (2017) 021302 (488-493) AKU J. Sci.Eng.17 (2017) 021302
DetaylıHamel Taban ve Boyut Teoremi
Hamel Taban ve Boyut Teoremi Mert ÇAĞLAR 1 VE Zafer ERCAN 2 1 Amaç Baştan söyleyelim: vektör uzay, vektör altuzay, doğrusal dönüşüm, izomorfik (eş yapılı) vektör uzaylar kavramlarına başlangıç seviyesinde
DetaylıL-BULANIK ESNEK GRUPLAR
Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:7, Sayı:, 207,98-0/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:7, No:,207,98-0 L-BULANIK ESNEK GRUPLAR Yıldıray ÇELİK *, Sevgi DEMİR Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik
Detaylı(14) (19.43) de v yi sağlayan fonksiyona karşılık gelen u = F v fonksiyonunun ikinci türevi sürekli, R de 2π periodik ve
nin her g L 2 (S için tek çözümünüm olması için gerekli ve yeterli koşulun her j için λ λ j olacak biçimde λ j ifadesini sağlayan R \ {} de bir λ j dizisinin olduğunu gösteriniz. (13) Her λ j için (19.43)
DetaylıOcak Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği. Doç.Dr. Ogün Dogru. Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi
Ocak 2012 Matematiksel Proje ve Projenin Matematiği Doç.Dr. Ogün Dogru Gazi Üniversitesi, Fen Fakültesi, Matematik Bölümü, Öğretim Üyesi Proje Herkes tarafından kabul görmüş yada ispatlanmış olan bilimsel
DetaylıDEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKTRUMLARI ÜZERİNE
Ekim 25 Cilt:3 No:2 Kastamonu Eğitim Dergisi 547-554 DEĞİŞMELİ BANACH CEBİRLERİNİN GELFAND SPEKRUMLARI ÜZERİNE Hayri AKAY, Ziya ARGÜN Gazi Üniversitesi, Gazi Eğitim Fakültesi, Matematik Eğitimi Bölümü,
Detaylı12. Ders. Mahir Bilen Can. Mayıs 24, Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon.
12. Ders Mahir Bilen Can Mayıs 24, 2016 1 Yerel Kaldırma Özellikleri Son dersten hatırlayacağınız üzere simetrikleştirme operasyonundan elde ettiğimiz fonksiyon ι : Sym(g) n 0 U n /U n+1 bize bir derecelendirilmiş
DetaylıMATEMATİK ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI DENEME. Diğer sayfaya geçiniz.
MATEMATİK. DENEME ÖĞRETMENLİK ALAN BİLGİSİ - DENEME SINAVI. f : X tanımlı y = f() fonksiyonu için lim f ( ) = L ise aşağıdaki önermelerden kaç tanesi kesinlikle doğrudur? 0 I. X dir. 0 II. f() fonksiyonu
DetaylıÇ.Ü Fen ve Mühendislik Bilimleri Dergisi Yıl:2012 Cilt:28-2
SERBEST LİE CEBİRLERİNİN ALT MERKEZİ VE POLİSENTRAL SERİLERİNİN TERİMLERİNİN KESİŞİMLERİ * Intersections of Terms of Polycentral Series and Lower Central Series of Free Lie Algebras Zeynep KÜÇÜKAKÇALI
DetaylıFONKSĠYON DĠZĠLERĠNĠN ĠDEAL Eġ YAKINSAKLIĞI. Samet BEKAR
T.C. ORDU ÜNĠVERSĠTESĠ FEN BĠLĠMLERĠ ENSTĠTÜSÜ FONKSĠYON DĠZĠLERĠNĠN ĠDEAL Eġ YAKNSAKLĞ Samet BEKAR YÜKSEK LĠSANS ORDU 2018 ÖZET FONKSİYON DİZİLERİNİN İDEAL EŞ YAKNSAKLĞ Samet BEKAR Ordu Üniversitesi
DetaylıL-BULANIK ESNEK GRUPLAR
Ordu Üniv. Bil. Tek. Derg., Cilt:7, Sayı:, 207,98-0/Ordu Univ. J. Sci. Tech., Vol:7, No:,207,98-0 L-BULANIK ESNEK RUPLAR Yıldıray ÇELİK *, Sevgi DEMİR Ordu Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik
DetaylıDoktora Tezi. Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ DOKTORA TEZİ İKİ DEĞİŞKENLİ q-bleimann, BUTZER VE HAHN OPERATÖRLERİNİN YAKLAŞIM ÖZELLİKLERİ S. SİBEL (ÇEVİK ERSAN MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 8 Her hakkı
DetaylıBir özvektörün sıfırdan farklı herhangi bri sabitle çarpımı yine bir özvektördür.
ÖZDEĞER VE ÖZVEKTÖRLER A n n tipinde bir matris olsun. AX = λx (1.1) olmak üzere n 1 tipinde bileşenleri sıfırdan farklı bir X matrisi için λ sayıları için bu denklemi sağlayan bileşenleri sıfırdan farklı
DetaylıBahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 2011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI. y = c n x n+r. (n + r) c n x n+r 1 +
DÜZCE ÜN_IVERS_ITES_I FEN-EDEB_IYAT FAKÜLTES_I MATEMAT_IK BÖLÜMÜ 010-011 Bahar Yarıyılı D_IFERANS_IYEL DENKLEMLER II ARA SINAV 6 Nisan 011 Süre: 90 dakika CEVAP ANAHTARI 1. 0p x d y + dy + xy = 0 diferansiyel
DetaylıFEN FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ YAZ OKULU DERS İÇERİGİ. Bölümü Dersin Kodu ve Adı T P K AKTS
Bir Dönemde Okutulan Ders Saati MAT101 Genel I (Mühendislik Fakültesi Bütün Bölümler, Fen Fakültesi Kimya ve Astronomi Bölümleri) 1 Kümeler, reel sayılar, bir denklem veya eşitsizliğin grafiği 2 Fonksiyonlar,
DetaylıÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER
ÖZDEĞERLER- ÖZVEKTÖRLER GİRİŞ Özdeğerler, bir matrisin orijinal yapısını görmek için kullanılan alternatif bir yoldur. Özdeğer kavramını açıklamak için öncelikle özvektör kavramı ele alınsın. Bazı vektörler
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıPOLAR ÇEKİRDEKLİ DOĞRUSAL VOLTERRA İNTEGRAL DENKLEM SİSTEMLERİ
ADNAN MENDERES ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLER ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI 2012-YL-023 POLAR ÇEKİRDEKLİ DOĞRUSAL VOLTERRA İNTEGRAL DENKLEM SİSTEMLERİ Maide ŞEN Tez Danışmanı: Yrd. Doç. Dr. Ali IŞIK AYDIN
DetaylıKPSS MATEMATÝK. SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) N tam sayılar kümesinde i N için, A = 1 i,i 1
SOYUT CEBÝR ( Genel Tekrar Testi-1) 1. A = { k k Z, < k 4 } 4. N tam sayılar kümesinde i N için, k 1 B = { k Z, 1 k < 1 } k 1 A = 1 i,i 1 i ( ] kümeleri verildiğine göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
DetaylıLineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık
Lineer Bağımlılık ve Lineer Bağımsızlık Yazar Öğr.Grv.Dr.Nevin ORHUN ÜNİTE 5 Amaçlar Bu üniteyi çalıştıktan sonra; Vektör uzayı ve alt uzay yapısını daha iyi tanıyacak, Bir vektör uzayındaki vektörlerin
DetaylıT.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
T.C. SELÇUK ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ SOFT TOPOLOJİK UZAYLAR ÜZERİNE Uğur ÇOŞKUN YÜKSEK LİSANS Matematik Anabilim Dalı HAZİRAN-2014 KONYA Her Hakkı Saklıdır TEZ BİLDİRİMİ Bu tezdeki bütün bilgilerin
DetaylıProf.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, BAHAR
MAT 114 LİNEER CEBİR ( İSTATİSTİK, ASTRONOMİ ve UZAY BİLİMLERİ) Hafta 8: İç Çarpım Prof.Dr.F.Nejat EKMEKCİ, Prof. Dr. Yusuf YAYLI, Doç.Dr.İsmail GÖK 2017-2018 BAHAR İç Çarpım Tanım 23: V bir reel vektör
DetaylıÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ
ÖZGEÇMİŞ VE ESERLER LİSTESİ 1. Adı Soyadı : Okan KUZU 2. İletişim Bilgileri Adres Telefon Mail : Ahi Evran Üniversitesi Eğitim Fakültesi Matematik ve Fen Bilimleri Eğitimi Bölümü İlköğretim Matematik Eğitimi
DetaylıT.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ
T.C. ÇANAKKALE ONSEKİZ MART ÜNİVERSİTESİ DERS: CEBİRDEN SEÇME KONULAR KONU: KARDİNAL SAYILAR ÖĞRETİM GÖREVLİLERİ: PROF.DR. NEŞET AYDIN AR.GÖR. DİDEM YEŞİL HAZIRLAYANLAR: DİRENCAN DAĞDEVİREN ELFİYE ESEN
DetaylıDers 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve
Ders 2: RP 1 ve RP 2 - Reel izdüşümsel doğru ve düzlem Geçen ders doğrusal cebir aracılığıyla izdüşümsel geometri için bir model kurduk. Şimdi bu modeli daha somut bir şekle sokalım, F = R durumunda kurduğumuz
DetaylıFİBONACCİ-HANKEL VE PELL-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR
T.C. AHİ EVRAN ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ FİBONACCİ-HANKEL VE PELL-HANKEL MATRİSLERİNİN NORMLARI İÇİN SINIRLAR Ali MERT YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI KIRŞEHİR MAYIS - 01 T.C. AHİ
Detaylı1. GRUPLAR. c (Birleşme özelliği) sağlanır. 2) a G için a e e a a olacak şekilde e G (e ye birim eleman denir) vardır.
1. GRUPLAR Tanım 1.1. G boş olmayan bir küme ve, G de bir ikili işlem olsun. (G yapısına aşağıdaki aksiyomları sağlıyorsa bir grup denir., ) cebirsel 1) a b cg,, için a( bc) ( ab) c (Birleşme özelliği)
DetaylıARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ GÜZ DÖNEMİ A A A A A A A
AKDENİZ ÜNİVERSİTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİTİRME ÖDEVİ I ARASINAV SORULARININ ÇÖZÜMLERİ - 6 GÜZ DÖNEMİ ADI SOYADI :... NO :... A A A A A A A SINAV TARİHİ VE SAATİ : Bu sınav 4 sorudan oluşmaktadır ve sınav
DetaylıT.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
T.C. İNÖNÜ ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ BAZI KÜME-DEĞERLİ FONKSİYON UZAYLARI VE BU UZAYLAR ARASINDAKİ OPERATÖRLERİN ANALİZİ ÜZERİNE Fatih TEMİZSU YÜKSEK LİSANS TEZİ MATEMATİK ANABİLİM DALI MALATYA
Detaylı14.Konu Reel sayılarının topolojisi. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir.
14.Konu Reel sayılarının topolojisi 1.Teorem: cismi tamdır. 1.Tanım:, verilsin. açık aralığına noktasının -komşuluğu denir. { } kümesine nın delinmiş -komşuluğu denir. 2.Tanım: ve verilsin. nın her komşuluğunda
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıBİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION-REACTION EQUATIONS
BİR SINIF DOĞRUSAL OLMAYAN DİFÜZYON-REAKSİYON DENKLEMLERİNİN İNCELENMESİ INVESTIGATION OF A CLASS OF NONLINEAR DIFFUSION-REACTION EQUATIONS EYLEM ÖZTÜRK PROF. DR. KAMAL SOLTANOV Tez Danışmanı Hacettepe
Detaylı1.3. Normal Uzaylar. Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak. baz temel özellikleri incelenecektir.
1.3. Normal Uzaylar Bu bölümde; regülerlikten daha kuvvetli bir ay rma aksiyomu tan mlanarak baz temel özellikleri incelenecektir. Tan m 1.3.1. (X; ) bir Hausdor uzay olsun. E¼ger, 8F; K 2 F; F \ K = ;
DetaylıŞimdi de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor. teoreminini iki kere kullanarak
10.Konu İç çarpım uzayları ve özellikleri 10.1. ve üzerinde uzunluk de [ ] vektörünün ile gösterilen boyu veya büyüklüğü Pisagor teoreminden dir. 1.Ö.: [ ] ise ( ) ( ) ve ( ) noktaları gözönüne alalım.
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıModül Teori. Modüller. Prof. Dr. Neşet AYDIN. [01/07] Mart Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart / 50
Modül Teori Modüller Prof. Dr. Neşet AYDIN ÇOMÜ - Matematik Bölümü [01/07] Mart 2012 Prof. Dr. Neşet AYDIN (ÇOMÜ - Matematik Bölümü) Modül Teori [01/07] Mart 2012 1 / 50 Giriş M bir toplamsal değişmeli
DetaylıDÜZGÜN ÖLÇÜM. Ali DÖNMEZ Doğuş Üniversitesi, Fen Bilimleri Bölümü. Halit ORHAN Atatürk Üniversitesi, Matematik Bölümü
DÜZGÜN ÖLÇÜM Ali DÖNMEZ Doğuş Ünirsitesi, Fen Bilimleri Bölümü Halit ORHAN Atatürk Ünirsitesi, Matematik Bölümü Özet: Düzgün ölçüm üzerine bazı teoremler ispatlandı. Anahtar sözcükler: Ölçüm, düzgün ölçüm,
DetaylıİRTİBATLI LIE GRUPLARININ ESAS GRUPLARININ DEMETİ ÜZERİNE M. ÇİTİL
İRTİBATLI LIE GRUPLARININ ESAS GRUPLARININ DEMETİ ÜZERİNE M. ÇİTİL Özet Çalışmamızda ilk olarak, irtibatlı bir Lie grubu üzerinde esas grupların demeti bilinen tekniklerle oluşturulmuştur. Daha sonra elde
DetaylıMATEMATİK BÖLÜMÜ BÖLÜM KODU:3201
BÖLÜM KODU:01 011-01 01.Yarıyıl Dersleri 0.Yarıyıl Dersleri MTK 101 Analiz I Analysis I 4 1 5 6 MTK 10 Analiz II Analysis II 4 1 5 6 MTK 11 Lineer Cebir I Linear Algebra I 1 4 MTK 1 Lineer Cebir II Linear
DetaylıBu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok
Gauss Yasası Bu bölümde Coulomb yasasının bir sonucu olarak ortaya çıkan Gauss yasasının kullanılmasıyla simetrili yük dağılımlarının elektrik alanlarının çok daha kullanışlı bir şekilde nasıl hesaplanabileceği
DetaylıDiferansiyel denklemler uygulama soruları
. Aşağıdaki diferansiyel denklemleri sınıflandırınız. a) d y d d + y = 0 b) 5 d dt + 4d + 9 = cos 3t dt Diferansiyel denklemler uygulama soruları 0.0.3 c) u + u [ ) ] d) y + = c d. y + 3 = 0 denkleminin,
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıKUADRATİK FORM. Tanım: Kuadratik Form. Bir q(x 1,x 2,,x n ) fonksiyonu
KUADRATİK FORMLAR KUADRATİK FORM Tanım: Kuadratik Form Bir q(x,x,,x n ) fonksiyonu q x : n şeklinde tanımlı ve x i x j bileşenlerinin doğrusal kombinasyonu olan bir fonksiyon ise bir kuadratik formdur.
DetaylıNEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK GÜLŞAH KAYA
T.C. ORDU ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ NEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK GÜLŞAH KAYA YÜKSEK LİSANS TEZİ ORDU 2017 ÖZET NEUTROSOPHIC TOPOLOJİK UZAYLARDA SÜREKLİLİK Gülşah KAYA Ordu Üniversitesi
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
DetaylıMIT Açık Ders Malzemeleri Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için
MIT Açık Ders Malzemeleri http://ocw.mit.edu Bu materyallerden alıntı yapmak veya Kullanım Koşulları hakkında bilgi almak için http://ocw.mit.edu/terms veya http://www.acikders.org.tr adresini ziyaret
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
DetaylıDers Kodu Dersin Adı Yarıyıl Teori Uygulama Lab Kredisi AKTS MATH 501 İleri Analiz
İçerik Ders Kodu Dersin Adı Yarıyıl Teori Uygulama Lab Kredisi AKTS MATH 501 İleri Analiz 1 3 0 0 3 8 Ön Koşul Derse Kabul Koşulları Dersin Dili Türü Dersin Düzeyi Dersin Amacı İçerik Kaynaklar Türkçe
Detaylıİleri Diferansiyel Denklemler
MIT AçıkDersSistemi http://ocw.mit.edu 18.034 İleri Diferansiyel Denklemler 2009 Bahar Bu bilgilere atıfta bulunmak veya kullanım koşulları hakkında bilgi için http://ocw.mit.edu/terms web sitesini ziyaret
Detaylıİndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı
İndirgenme Boyutu Üç Olan Fibonacci Simetrik Sayısal Yarıgruplarının Bir Sınıfı Meral SÜER * ve Sedat İLHAN * Batman Üniversitesi, Fen Edebiyat Fakültesi, Matematik Bölümü,7060 Batman, Türkiye Dicle Üniversitesi,
DetaylıProf.Dr.Ünal Ufuktepe
İzmir Ekonomi Üniversitesi, Matematik Bölümü 21 Ocak 2012 KLASİK ANLAMDA TÜREV Fiziğin en temel işlevlerinden biri hareketi tanımlamaktır. Newton ve Leibniz hareketi tanımlama ve tahmin etme konusunda
DetaylıAFYON KOCATEPE ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ MATEMATİK ANABİLİM DALI BAŞKANLIĞI YÜKSEK LİSANS PROGRAMI
YÜKSEK LİSANS PROGRAMI BİRİNCİ YIL BİRİNCİ YARIYIL MAT-5501 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0 8 0 9 MAT-5601 TEZ HAZIRLIK ÇALIŞMASI Z 0 1 1 0 1 20 1 21 12 30 İKİNCİ YARIYIL MAT-5502 UZMANLIK ALAN DERSİ Z 8 0 8
DetaylıGalois Teori, Örtü Uzayları ve Diferansiyel Denklemler
Hacettepe Üniversitesi Matematik Galois Bölümü Teori, Prof. Dr. ve Diferansiyel L. Michael Brown un Denklemler Anısına To Galois Teori, ve Diferansiyel Denklemler Hacettepe Üniversitesi Matematik Bölümü
DetaylıDÜZGÜN QUASI-LIPSCHITZIAN DÖNÜŞÜMLERİN SONSUZ AİLELERİNİN ORTAK SABİT NOKTALARINA YENİ YAKLAŞIM METOTLARI Süheyla ELMAS Doktora Tezi Matematik
DÜZGÜN QUASI-LIPSCHITZIAN DÖNÜŞÜMLERİN SONSUZ AİLELERİNİN ORTAK SABİT NOKTALARINA YENİ YAKLAŞIM METOTLARI Süheyla ELMAS Doktora Tezi Matematik Anabilim Dalı Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi Bilim Dalı Prof.
DetaylıINTEGRAL REPRESENTATIONS FOR SOLUTIONS OF FRETNEL DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEMS TYPE DIFFERENTIAL EQUATIONS
Cumhuriyet Ünivertsitesi Fen Fakültesi Fen Bilimleri Dergisi (CFD), Cilt 35, No. (4) ISS: 3-949 Cumhuriyet University Faculty of Sciences Science Journal (CSJ), Vol. 35, No. (4) ISS: 3-949 FRENET DİFERANSİYEL
DetaylıTez adı: Smirnov-Orlicz uzaylarında polinomlarla yaklaşım (2007) Tez Danışmanı:(PROF.DR. DANİYAL İSRAFİLOV)
RAMAZAN AKGÜN PROFESÖR 2002-2019 yılları arasında özgeçmiş E-Posta Adresi rakgun@balikesir.edu.tr Telefon (İş) Telefon (Cep) Faks Adres 2666121000-1214 2666121215 BALIKESİR ÜNİVERSİTESİ/FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ/MATEMATİK
DetaylıKişisel Bilgiler. Akademik Durum
ÖZGEC. MİŞ Kişisel Bilgiler Adı Soyadı : Emin ÖZC. AĞ Doğumyeri : Mersin Doğum Tarihi : 22 Eylül, 1961 Uyruğu : T.C. Medeni Hali : Evli Adress : Hacettepe Üniversitesi, Matematik Bölümü, Beytepe-Ankara
DetaylıKAHRAMANMARAŞ SÜTÇÜ İMAM ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM ÖĞRETİM YILI FEN-EDEBİYAT FAKÜLTESİ MATEMATİK BÖLÜMÜ BİRİNCİ VE İKİNCİ ÖĞRETİM DERSLERİ
I. YARIYIL Adı Teori Uygulama KSU MT101 Analiz I 6 4 2 5 7 MT107 Soyut Matematik I 4 4 0 4 5 MT109 Analitik Geometri I 4 4 0 4 5 FZ173 Fizik I 4 4 0 4 4 OZ101 Türk Dili I 2 2 0 2 2 OZ121 Ingilizce I 2
DetaylıÖZGEÇMİŞ. Derece Alan Üniversite Yıl Lisans Matematik Kocaeli Üniversitesi 2007 Y. Lisans Uygulamalı Matematik Analiz ve Fonksiyonlar Teorisi
ÖZGEÇMİŞ 1. Adı Soyadı: Sercan TURHAN 2. Doğum Tarihi: 03. 09. 1985 3. Unvanı: Dr. Öğr. Üyesi 4. Öğrenim Durumu: Derece Alan Üniversite Yıl Lisans Matematik Kocaeli Üniversitesi 2007 Y. Lisans Uygulamalı
Detaylı