BAZI FONKSİYON UZAYLARI ANKARA

Transkript

1 ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ YÜKSEK LİSANS TEZİ FOURIER-BESSEL (HANKEL) DÖNÜŞÜMÜNE KARŞILIK GELEN BAZI FONKSİYON UZAYLARI Fatih DERİNGÖZ MATEMATİK ANABİLİM DALI ANKARA 211 Her hakkı saklıdır

2 ÖZET Yüksek Lisans Tezi FOURIER-BESSEL (HANKEL) DÖNÜŞÜMÜNE KARŞILIK GELEN BAZI FONKSİYON UZAYLARI Fatih DERİNGÖZ Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Matematik Anabilim Dalı Danışman: Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇİ Bu çalışmada, Hankel dönüşümü yardımı ile tanımlanan genelleştirilmiş öteleme o- peratörü ve konvolüsyon operatörünün temel özellikleri incelenmiş ve daha sonra Hankel dönüşümüne karşılık gelen Besov ve Lizorkin-Triebel uzayları tanıtılmıştır. Tez dört bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmına ayrılmıştır. İkinci bölümde, temel tanım, teorem ve lemmalar verilmiştir. Üçüncü bölümde, klasik Besov ve Lizorkin-Triebel uzayları tanıtılarak temel özellikleri verilmiştir. Dördüncü bölümde, Hankel dönüşümüne karşılık gelen Besov ve Lizorkin-Triebel uzayları tanıtılmış ve Hankel dönüşümüne karşılık gelen Besov uzaylarının genel karakterizasyonunu veren teorem ispatlanmıştır. Haziran 211, 54 sayfa Anahtar Kelimeler: Fourier-Bessel (Hankel) dönüşümü, Besov uzayları, Lizorkin- Triebel uzayları, genelleştirilmiş öteleme operatörü, konvolüsyon operatörü. i

3 ABSTRACT Master Thesis SOME FUNCTION SPACES ASSOCIATED WITH THE FOURIER-BESSEL (HANKEL) TRANSFORM Fatih DERİNGÖZ Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences Department of Mathematics Supervisor: Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇİ In this study, the fundamental properties of generalized shift and convolution operator which are defined for the help of Hankel transform are investigated and then Besov and Lizorkin-Triebel spaces associated with the Hankel transform are introduced. This thesis consists of four chapters. The first chapter is devoted to the introduction. In the second chapter, basic definitions, theorems and lemmas are given. In the third chapter, classic Besov and Lizorkin-Triebel spaces are introduced and their fundamental properties are given. In the fourth chapter, Besov and Lizorkin-Triebel spaces associated with the Hankel transform are introduced and the theorem giving the general characterization of Besov spaces associated with the Hankel transform is proved. June 211, 54 pages Key Words: Fourier-Bessel (Hankel) transforms, Besov spaces, Lizorkin-Triebel spaces, generalized shift operator, convolution operator. ii

4 TEŞEKKÜR Çalışmamın her aşamasında görüş ve önerileriyle beni yönlendiren ve bana her konuda yardımcı ve destek olan sayın hocam Prof. Dr. Ayhan ŞERBETÇİ ye (Ankara Üniversitesi Fen Fakültesi Matematik Bölümü), engin fikirleriyle gelişmeme katkıda bulunan sayın Prof. Dr. Vagıf GULİYEV e, çalışmalarım sırasında destek ve anlayışını esirgemeyen sevgili aileme en içten saygı ve teşekkürlerimi sunarım. Fatih DERİNGÖZ Ankara, Haziran 211 iii

5 İÇİNDEKİLER ÖZET i ABSTRACT ii TEŞEKKÜR iii SİMGELER DİZİNİ v 1. GİRİŞ TEMEL KAVRAMLAR Genel Bilgiler Hankel Dönüşümü, Hankel Ötelemesi, Hankel Konvolüsyonu ve Özellikleri.11 n 3. IR DE BESOV VE LIZORKIN-TRIEBEL UZAYLARI HANKEL DÖNÜŞÜMÜNE KARŞILIK GELEN BESOV VE LIZORKIN-TRIEBEL UZAYLARI KAYNAKLAR ÖZGEÇMİŞ iv

6 SİMGELER DİZİNİ R n B(x, r) S(R n ) S e (R) F F 1 B s p,q(r n ) F s p,q(r n ) L p (X, dν) h µ µ τ x f#g B s p,q,µ Fp,q,µ s BHp,q α,µ M f γ µ (A) M µ f φ af φ a,µf n-boyutlu Öklid uzayı x merkezli r yarıçaplı yuvar Schwartz uzayı Çift Schwartz fonksiyonlar uzayı Fourier dönüşümü Ters Fourier dönüşümü Besov uzayı Lizorkin-Triebel uzayı Lebesgue uzayı Fourier-Bessel (Hankel) dönüşümü Bessel diferensiyel operatörü Hankel öteleme operatörü f ve g fonksiyonlarının Hankel konvolüsyonu Besov tipi uzay Lizorkin-Triebel tipi uzay Besov-Hankel uzayı Maksimal fonksiyon A x2µ+1 dx γ µ ölçüsüne karşılık gelen maksimal fonksiyon Peetre maksimal fonksiyonu Hankel dönüşümüne karşılık gelen Peetre maksimal fonksiyonu v

7 1. GİRİŞ Harmonik analizde, fonksiyon uzayları teorisi önemli yer tutar. Fonksiyon uzayları teorisinin analizin diğer alanlarında, özellikle kısmi türevli denklemler teorisinde önemli uygulamaları vardır. < s < 1, 1 < p <, 1 q < için klasik Besov uzayları R n de ( Bp,q s = f : f L p(r n ), R n [ f( + h) f( ) Lp (R n ) h s ile; < s < 1, 1 < p <, q = durumu için ise ] q ) 1/q dh h n < { } Bp, s = f : f L p (R n ), sup h s f( + h) f( ) Lp (R n ) < h R n olarak tanımlanır. Eğer f(x + h) f(x) farkı daha yüksek farklarla veya türevlerin farklarıyla yer değiştirilirse s nin bütün pozitif değerlerine karşılık gelen tanım elde edilir yılında Peetre tarafından Besov uzaylarının Fourier analizi yardımıyla da tanımlanabileceği bulunmuştur. Bu tanım şu şekildedir: S(R n ) Schwartz uzayı, S (R n ) tempered dağılımların dual uzayı olmak üzere ve F, F 1 sırasıyla S (R n ) de Fourier dönüşümü ve tersini göstermek üzere {ϕ j (x)} j= S(R n ), (a) supp ϕ {y : y 2}; supp ϕ j {y : 2 j 1 y 2 j+1 }, j = 1, 2,... (b) Her multi-indeks γ için bir c γ pozitif sabiti var olsun öyle ki her x R n ve her j =, 1, 2,... için D γ ϕ j (x) c γ 2 j γ (c) Her x R n için j= ϕ j(x) = 1, koşullarını sağlayan bir dizi olsun. Bu durumda ( Bp,q s = f : f [ S (R n ), 2 js F 1 [ϕ j F f] ) 1/q q Lp(R )] < n j= ile verilir. Bu tanım < p, < q, < s < olacak şekildeki bütün p, q, s ler için anlamlıdır. 1

8 Günümüzde Lizorkin-Triebel uzayı olarak adlandırılan ve ( Fp,q s = f : f ) 1/q S (R n ), 2 jsq F 1 ϕ j F f( ) q j= Lp(R n ) < şeklinde tanımlanan Fp,q s fonksiyon uzayı Lizorkin (1972,1974) ve Triebel (1973) tarafından araştırılmıştır. Burada {ϕ j (x)} j= S(R n ) yukarıdaki (a), (b), (c) koşullarını sağlayan bir fonksiyon dizisidir. Bu tanım < p <, < q, < s < olacak şekildeki bütün p, q, s ler için anlamlıdır. Besov uzayı B s p,q ve Lizorkin-Triebel uzayı F s p,q birçok iyi bilinen herbirinin kendine ait ayrı ayrı tanımları olan uzayları özel halleri olarak içerirler. Bu uzaylara örnek olarak Besov-Lipschitz, Hölder, Zygmund, Sobolev, Lebesgue, Bessel potansiyel, Hardy, BMO uzayları verilebilir. Bu durumun avantajı, görünüşte oldukça çeşitlendirilmiş bu uzaylara ortak bir bakış açısı sağlamasıdır. Dezavantajı ise ilk bakışta B s p,q ve F s p,q uzaylarının tanımının biraz karmaşık olmasıdır. Hankel dönüşümüne karşılık gelen Sobolev uzayları Pathak ve Pandey (1997), Besov uzayları Altenburg (1982, 1984), Assal ve Abdallah (26), Betancor ve Rodriguez- Mesa (1998, 26) ve Cruz-Baez ve Rodriguez (21) tarafından geliştirilmiştir. Bu tezin amacı Hankel dönüşümü yardımı ile tanımlanan genelleştirilmiş öteleme operatörü ve konvolüsyon operatörünün temel özelliklerini incelemek ve daha sonra Hankel dönüşümüne karşılık gelen fonksiyon uzaylarını tanımlamak, ayrıca bu uzaylarda gömme teoremlerini araştırmaktır. Böylece harmonik analizde çok önem taşıyan Hankel dönüşümüne karşılık gelen fonksiyon uzayları hakkında daha ileri seviyede araştırmalar yapılabilmesi için temel oluşturulmuş olacaktır. Bu tez dört bölümden oluşmaktadır. İkinci bölümde daha sonraki bölümlerde gerekli olan temel tanım, teorem ve lemmalara yer verilmiştir. Üçüncü bölümde n-boyutlu R n Öklid uzayında Besov ve Lizorkin-Triebel uzaylarının tanımları ve temel özellikleri verilerek bu uzayların genel karakterizasyonunu veren önemli bir teorem ispatlanmıştır. Dördüncü bölümde Hankel dönüşümüne karşılık gelen Besov ve Lizorkin-Triebel uzayları tanımlanmış ve bu uzaylar için bir gömme teoremi verilmiş ardından üçüncü bölümde verilen n-boyutlu R n Öklid uzayında Besov uzayını karakterize eden teorem Hankel dönüşümüne karşılık gelen Besov uzayları için uyarlanarak ispat edilmiştir. 2

9 2. TEMEL KAVRAMLAR 2.1 Genel Bilgiler Bu bölümde çalışmamızda bize yardımcı olacak temel tanımlar ve teoremler verilecektir. Tanım X bir K cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. : X R x x dönüşümü x, y X ve α K için (N 1 ) x ve x = x = θ (N 2 ) αx = α x (N 3 ) x + y x + y özelliklerini sağlıyorsa bu dönüşüme X üzerinde bir norm adı verilir. (X,. ) ikilisine bir normlu vektör uzayı denir.(x,. ) normlu uzayı kısaca X ile gösterilir. Tanım (N 3 ) eşitsizliğinde x + y C( x + y ), C > 1 olması durumunda bu dönüşüme quasi-norm adı verilir. Tanım Bir T lineer operatörü aşağıdaki özellikleri gerçekleyen operatördür: (i) T nin D(T ) tanım bölgesi bir vektör uzayı olup R(T ) değer bölgesi, aynı cisim üzerinde bir vektör uzayıdır. (ii) Her x, y D(T ) ve α skaleri için, T (x + y) = T x + T y gerçeklenir. T (αx) = αt x Tanım X ve Y normlu uzaylar ve D(T ) X olmak üzere, T : D(T ) Y lineer operatör olsun. Eğer her x D(T ) için, T x A x olacak şekilde bir A reel sayısı varsa, T operatörüne sınırlıdır denir. Bir T operatörünün normu T = T x sup x D(T ) x x θ 3

10 ile tanımlanır. Tanım X ve Y normlu uzaylar ve D(T ) X olmak üzere T : D(T ) Y bir operatör ve x D(T ) olsun. Eğer verilen her ɛ > sayısına karşılık, x x < δ şartını sağlayan her x D(T ) için T x T x < ɛ olacak şekilde bir δ > sayısı varsa T ye x noktasında süreklidir denir. Tanım X ve Y normlu uzaylar ve D(T ) X olmak üzere T : D(T ) Y lineer operatör olsun. Bu durumda T nin sürekli olması için gerek ve yeter şart T nin sınırlı olmasıdır (Kreyszig 1989). Tanım X bir küme olsun. Eğer X in altkümelerinin bir Σ sınıfı için aşağıdaki özellikler sağlanıyorsa bu durumda Σ sınıfına X kümesi üzerinde bir cebirdir denir: (i) X Σ (ii) Her E Σ için E c = X \ E Σ (iii) k = 1, 2,..., n için E k Σ ise Eğer (iii) şartı yerine n k=1 E k Σ her n N için E n Σ E n Σ şartı konulursa Σ cebirine bir σ cebir adı verilir. n=1 Tanım Bir K sınıfını kapsayan σ cebirlerinin en küçüğüne K nın ürettiği σ cebiri denir. R n deki bütün açık (a, b) aralıklarının doğurduğu σ cebirine Borel cebiri denir ve B (R n ) ile gösterilir. n = 1 olması halinde B (R 1 ) Borel cebiri B (R) ile gösterilir. B (R) nin her bir elamanına Borel kümesi denir. Tanım X bir küme ve Σ, X üzerinde bir σ cebiri olsun. Bu durumda (X, Σ) ikilisine bir ölçülebilir uzay, Σ daki her bir kümeye de Σ ölçülebilir küme veya kısaca ölçülebilir küme adı verilir. Tanım (X, Σ) bir ölçülebilir uzay olsun. Σ üzerinde tanımlı genişletilmiş reel değerli bir µ fonksiyonu (i) µ( ) = (ii) Her A Σ için µ (A) 4

11 (iii) Her ayrık (A n ) dizisi için ( ) µ A n = µ (A n ) j=1 n=1 şartlarını sağlarsa bu µ fonksiyonuna ölçü fonksiyonu veya ölçü adı verilir. Tanım Bir X kümesi, X in altkümelerinin bir Σ σ-cebiri ve Σ üzerinde tanımlı bir µ ölçüsünden oluşan (X, Σ, µ) üçlüsüne bir ölçü uzayı denir. Tanım (X, Σ) bir ölçülebilir uzay ve f : X R bir fonksiyon olsun. Her α R için f 1 ((α, + )) = {x X : f(x) > α} Σ oluyorsa f ye ölçülebilir fonksiyon denir. X üzerindeki ölçülebilir fonksiyonların ailesi M(X, Σ) ile gösterilir. Tanım X bir küme ve P (X), X in kuvvet kümesi olsun. P (X) üzerinde tanımlı, genişletilmiş reel değerli bir µ fonksiyonu (i) µ ( ) = (ii) Her E P (X) için µ (E) (iii) A B X için µ (A) µ (B) ( ) (iv) Her bir n N için A n P (X) ise µ A n µ (A n ) şartlarını sağlarsa µ fonksiyonuna X üzerinde bir dış ölçüdür denir. n=1 n=1 Tanım (I k ), R nin sınırlı ve açık aralıklarının bir dizisi, { τ A = (I k ) : A } I k k olsun. P (R) üzerinde { } m (A) = inf l (I k ) : (I k ) τ A k=1 biçiminde Tanımlanan m bir dış ölçüdür. Bu dış ölçüye Lebesgue dış ölçüsü denir. Lebesgue dış ölçüsü R nin her bir alt aralığına onun uzunluğunu karşılık getirir. 5

12 n boyutlu R n uzayında Lebesgue dış öçüsünü tanımlamak için I = {x : a i x i b i, i = 1, 2,..., n} n boyutlu kapalı aralıklarını göz önüne alalım. Bu aralıkların hacimleri υ(i) = n (b i a i ) i=1 biçimindedir. Keyfi bir E R n kümesinin Lebesgue dış ölçüsü { } m (E) = inf υ(i k ) : E I k, I k bir aralık ile tanımlanır. A R n için Eğer k=1 k=1 m (A) = m (A E) + m (A (R n E)) ise E kümesine Lebesgue ölçülebilirdir denir. Tanım M (R, m ), m dış ölçüsüne göre ölçülebilen R nin alt kümelerinin sınıfı olsun. m Lebesgue dış ölçüsünün M (R, m ) sınıfına da B (R) sınıfına da olan kısıtlanmasına Lebesgue ölçüsü denir, m ile gösterilir. Tanım (X, Σ, µ) bir ölçü uzayı olsun. Eğer bir önerme, ölçüsü sıfır olan bir küme dışında doğru ise, o önerme hemen hemen her yerde doğrudur denir. Tanım (X, Σ, µ) bir ölçü uzayı olsun. < p < olmak üzere L p (X, dµ) = f M (X, Σ) : X f p dµ < kümesine p-inci kuvvetten integrallenebilen fonksiyonlar sınıfı denir. L p uzayında bir f fonksiyonunun normu ile tanımlanır. ( f p = X ess sup x X ) 1 f p p dµ, 1 p < f(x), p = 6

13 Tanım f ölçülebilir bir fonksiyon olmak üzere her kompakt K kümesi üzerinde f dµ < ise f fonksiyonuna lokal integrallenebilirdir denir. K Tanım p > 1 ve = 1 olmak üzere f L p q p, g L q olsun. Bu durumda fg L 1 ve fg 1 f p g q sağlanır. Bu eşitsizlige Hölder eşitsizliği denir. Tanım p 1 için Eğer f, g L p ise (f + g) L p ve f + g p f p + g p dir. Bu eşitsizliğe Minkowski eşitsizliği denir. Tanım (X, X, µ) ve (X, Y, ν) iki ölçü uzayı, 1 p, q ve T bir altlineer operatör olsun. Eğer herhangi f L p (X, dµ) ve α > için ( A f p ν {x X : T f(x) > α} α olacak biçimde A sabiti varsa T dönüşümüne zayıf (p, q) tipindendir denir. ) q Tanım (X, X, µ) ve (X, Y, ν) iki ölçü uzayı, 1 p, q ve T bir altlineer operatör olsun. Eğer herhangi f L p (X, dµ) için T f q A f p olacak biçimde bir A > sabiti varsa T operatörüne (p, q) tipindendir denir. Teorem (Marcinkiewicz İnterpolasyon Teoremi) (X, X, µ) ve (X, Y, ν) iki ölçü uzayı ve T altlineer operatörü 1 p < p 1 için zayıf (p, p ) ve zayıf (p 1, p 1 ) tipinden olsun. Bu durumda her p, p < p < p 1 için T operatörü (p, p) tipli operatördür. Teorem (Lebesgue Yakınsaklık Teoremi) (X, Σ, µ) bir ölçü uzayı, g : X [, ] integrallenebilen bir fonksiyon ve f, f 1, f 2... de X üzerinde Σ-ölçülebilir reel 7

14 değerli fonksiyonlar olsun. Eğer h.h.x için (i) (ii) lim f n(x) = f(x) n n N için f n (x) g(x) ise bu durumda f ve f n integrallenebilirdir ve dır. lim f n dµ = fdµ n X X Tanım Bir f fonksiyonunun desteği f(x) şartını sağlayan x noktalarının kümesinin kapanışıdır ve supp f = {x : f(x) } olarak gösterilir. Tanım ρ : X X [, ) bir fonksiyon olsun. ρ fonksiyonu (i) ρ(x, y) = x = y (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x) (iii) L > öyle ki ρ(x, z) L (ρ (x, y) + ρ (y, z)) özelliklerini sağlıyorsa ρ ya psedo metrik denir. Tanım < p ve < q olsun. {f k } k=, Rn üzerinde Borel ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi olmak üzere, l q (L p ) = l q (L p (R n )) ve L p (l q ) = L p (R n, l q ) uzayları sırasıyla ( ( ) ) q/p 1/q {f k } k= lq(lp) = f k ( ) p lq = f k (x) p dx < R n {f k } Lp (l q ) = f k ( ) lq p = k= ( ) p/q f k (x) q dx R n k= 1/p < olacak şekildeki bütün {f k } k= dizilerinin uzayıdır. l q (L p ) ve L p (l q ) uzayları quasi-banach (p 1 ve q 1 için Banach) uzaylarıdır (Triebel 1983). 8

15 Tanım S = S(R n ) Schwartz uzayı, istenilen α ve β katlı indisleri için (yani α = (α 1, α 2,..., α n ), β = (β 1, β 2,..., β n ) ve α j, β j N = N {} ise) sup x α D β f (x) x R n sonlu olacak şekildeki R n de her mertebeden sürekli türevlere sahip fonksiyonların sınıflarının cümlesidir. Burada x α = x α 1 1 x α x αn n D β = β 1 x β 1 1 β 2 x β β n x β n n eşitlikleri ile tanımlanmaktadır. Tanım L 1 (R n ) uzayındaki bir f fonksiyonunun Fourier dönüşümü f ya da F f ile gösterilir ve (F f) (x) = f (x) = (2π) n 2 R n e i(x.ξ) f (ξ) dξ şeklinde tanımlanır. Burada (x.ξ) = x 1 ξ x n ξ n şeklinde tanımlıdır. Teorem (i) Fourier dönüşümü S Schwartz uzayı üzerinde bir otomorfizmdir. (ii) S L p (R n ), 1 p (iii) S, S Schwartz uzayının dual uzayını göstermek üzere, f L p (R n ), (1 p ) fonksiyonu S nin bir elamanını tanımlar öyle ki dır (Duoandikoetxea 21). L f (ϕ) = f, ϕ = f(x)ϕ(x)dx, R n Uyarı f L 1 (R n ) ise o zaman f mevcuttur ve f (x) = (2π) n 2 R n e i(x.ξ) f (ξ) dξ ϕ S 9

16 olarak tanımlanır, f fonksiyonu L 1 (R n ) de olmayabilir. (2π) n 2 R n e i(x.ξ) f (ξ) dξ integrali genellikle ıraksaktır. Fakat ϕ S olduğunda ( F 1 ϕ ) (x) = (2π) n 2 R n e i(x.ξ) ϕ (ξ) dξ integrali her zaman yakınsaktır, çünkü ϕ S dir. Genellikle (2π) n 2 R n e i(x.ξ) g (ξ) dξ operatörüne ters Fourier dönüşümü denir ve F 1 ile gösterilir. Yani, ( F 1 g ) (x) = (2π) n 2 R n e i(x.ξ) g (ξ) dξ dir. Tanım Bir f S fonksiyoneli verilsin. Eğer (τ, ϕ) = (f, ϕ), ϕ S sağlanacak biçimde bir τ S fonksiyoneli varsa, o zaman bu fonksiyonele f in genelleştirilmiş anlamda Fourier dönüşümü denir ve τ = f ile gösterilir. Tanım (Maksimal Fonksiyon) f : R n fonksiyon olsun. f nin maksimal fonksiyonu; Mf(x) = sup r> biçiminde tanımlanır. Burada 1 m(b(x, r)) B(x,r) f(y) dy, R lokal integrallenebilir bir x R n B(x, r) = {y R n : x y < r} x merkezli r yarıçaplı açık yuvardır. Maksimal fonksiyon R n nin standart kümelerinde n = 1 için Hardy Littlewood tarafından tanımlanmış ve Wiener tarafından n boyutlu R n Öklid uzayına genişletilmiştir. 1

17 Teorem (Hardy-Littlewood-Wiener) R n üzerinde tanımlanan f fonksiyonu için (i) f L p (R n ), 1 < p ise Mf maksimal fonksiyonu hemen her yerde sonludur. (ii) Eğer f L 1 (R n ) ise α > için m {x : Mf(x) > α} A α f(x) dx R n sağlanır, burada A sadece boyuta bağlı bir sabittir ve m Lebesgue ölçüsüdür. (iii) f L p (R n ), 1 < p ise Mf L p (R n ) ve Mf p A p f p eşitsizliği gerçeklenir (Stein 197). Teorem (Fefferman-Stein) 1 < p < ve 1 < q < olsun. Bu durumda öyle bir C sabiti vardır ki her {f n } n= L p (l q ) dizisi için {Mf n } Lp (l q ) C {f n } Lp (l q ) eşitsizliği gerçeklenir (Triebel 1983). Tanım (L p,µ Lebesgue Uzayı) L p,µ ile göstereceğimiz L p ((, ), x 2µ+1 dx) Lebesgue uzayı, 1 p ve µ > 1/2 olmak üzere (, ) üzerinde tanımlı, kompleks değerli, ölçülebilir ve ( f p,µ = ) 1 f(x) p x 2µ+1 p dx <, 1 p < ess sup f(x) <, p = <x< normuna sahip fonksiyonların uzayı olarak tanımlanır. 2.2 Hankel Dönüşümü, Hankel Ötelemesi, Hankel Konvolüsyonu ve Özellikleri Tanım Bir f L 1,µ fonksiyonunun Hankel dönüşümü h µ (f)(y) = j µ (xy)f(x)dσ µ (x), y [, ) 11

18 şeklinde tanımlanır.burada j µ, ( x ) µ j µ (x) = Γ(µ + 1) Jµ (x) = Γ(µ + 1) 2 n= ( 1) n (x/2) 2n, x [, ) n!γ(n + µ + 1) ile tanımlanan birinci çeşit ve mertebesi µ olan normalleştirilmiş Bessel fonksiyonu, J µ birinci çeşit ve mertebesi µ olan Bessel fonksiyonu ve σ µ, dσ µ (x) = (2 µ Γ(µ + 1)) 1 x 2µ+1 dx ile verilen ağırlıklı Lebesgue ölçüsüdür. Ayrıca j µ, µ µ = x 2µ 1 Dx 2µ+1 D, µ > 1/2, x > biçiminde tanımlanan Bessel diferensiyel operatörü olmak üzere µ u = u, u() = 1, u () = diferensiyel denkleminin çözümüdür. Uyarı Her x [, ) için j µ (x) 1 (Hirschman 196) olduğundan Hankel dönüşümü anlamlıdır. Lemma f L 1,µ olsun. Bu durumda h µ (f)(x), [, ) üzerinde sınırlı ve süreklidir. İspat. h µ (f)(x) j µ (xt) f(t) dσ µ (t) C µ f 1,µ, C µ = (2 µ Γ(µ + 1)) 1 olduğundan sup h µ (f)(x) C µ f 1,µ x< elde edilir. Buradan h µ (f)(x) fonksiyonunun [, ) üzerinde sınırlı olduğunu görülür. Şimdi h µ (f)(x) fonksiyonunun [, ) üzerinde sürekli olduğunu gösterelim. Herhangi reel x ve h, x < için h µ (f)(x + h) j µ ((x + h)t) f(t) dσ µ (t) eşitsizliği vardır. Ayrıca j µ ((x + h)t) f(t) f(t) ve lim h j µ ((x + h)t) = j µ (xt), t < olduğundan Lebesgue yakınsaklık teoremi uygulanabilir ve istenen sonuç buradan elde edilir. 12

19 Sonuç Hankel dönüşümü L 1,µ fonksiyon uzayından L,µ fonksiyon uzayına tanımlı lineer sınırlı bir dönüşümdür. Uyarı Hankel dönüşümü 1 p 2, µ > 1/2, 1/p + 1/p = 1 olmak üzere L p,µ uzayından L p,µ uzayına tanımlı lineer sınırlı bir dönüşüm olarak L p,µ uzayına genişletilebilir (Herz 1954). Hirschman (1961), Haimo (1965) ve Cholewinski (1965) Hankel dönüşümüne karşılık gelen bir konvolüsyon işlemi araştırmışlardır.bu işlem Hankel konvolüsyonu olarak adlandırılır. Besov ve Lizorkin-Triebel tipi uzaylar hakkında çalışmalar yapılmasında Hankel konvolüsyonu önemli bir rol oynar. Hankel konvolüsyonunu tanımlamak için Hankel ötelemesi olarak adlandırılan özel bir çeşit ötelemeye ihtiyaç vardır. Tanım Her x [, ) için f L p,µ, 1 p fonksiyonunun Hankel ötelemesi τ x f, τ x (f)(y) = D µ (x, y, z)f(z)dσ µ (z), x, y (, ) ve τ (f) = f şeklinde tanımlanır. Burada D µ (x, y, z) = j µ (xt)j µ (yt)j µ (zt)dσ µ (t) = 23µ 1 Γ(µ + 1) 2 πγ(1/2 + µ) (xyz) 2µ A(x, y, z) 2µ 1, x, y, z (, ) biçiminde tanımlı fonksiyondur. A(x, y, z) kenarları x, y, z olan üçgenin alanını göstermektedir. Eğer böyle bir üçgen yoksa A(x, y, z) = dır. Özellik < x, y, z < için D µ (x, y, z) fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir (Hirschman 196): (i) D µ (x, y, z) (ii) D µ (x, y, z) = D µ (y, x, z) = D µ (x, z, y) =... (iii) j µ (zt)d µ (x, y, z)dσ µ (z) = j µ (xt)j µ (yt), t < (iv) D µ (x, y, z)dσ µ (z) = 1 13

20 Lemma Eğer f L p,µ, 1 p ise, o halde her x [, ) için τ x f L p,µ olup τ x f( ) p,µ f p,µ eşitsizliği sağlanır. İspat. Eşitsizliği önce p = 1 durumu için ispatlayalım. τ x f(y) dσ µ (y) = D µ (x, y, u)f(u)dσ µ (u) dσ µ(y) = dσ µ (y) f(u) dσ µ (u) D µ (x, y, u) f(u) dσ µ (u) D µ (x, y, u)dσ µ (y) integrasyon sırasının değişimi Fubini teoreminden faydalanılarak yapılmıştır. Böylece Özellik (iv) ten τ x f( ) 1,µ f 1,µ eşitsizliği elde edilir. Şimdi de p = için τ x f( ),µ f,µ olduğunu gösterelim. τ x f( ) operatörünün L,µ normu şeklindedir. p = 1 için τ x f(y) = ve p = için τ x f( ),µ = ess sup τ x f(y) y (, ) D µ (x, y, z)f(z)dσ µ (z) D µ (x, y, z) f(z) dσ µ (z) D µ (x, y, z) f,µ dσ µ (z) = f,µ D µ (x, y, z)dσ µ (z) = f,µ τ x f( ) 1,µ f 1,µ τ x f( ),µ f,µ 14

21 sağlandığından, Marcinkiewicz interpolasyon teoreminden 1 p için τ x f( ) p,µ f p,µ elde edilir. Tanım f, g L 1,µ olmak üzere f ve g fonksiyonlarının Hankel konvolüsyonu (f#g)(x) = şeklinde tanımlanır. f(y)τ x g(y)dσ µ (y), x (, ) Lemma p, f L 1,µ, g L p,µ ise f#g p,µ C µ f 1,µ g p,µ, C µ = (2 µ Γ(µ + 1)) 1 eşitsizliği gerçeklenir. İspat. p = 1 için f#g(x) dγ µ (x) = = = dγ µ (x) dγ µ (x) dγ µ (x) g(t) dσ µ (t) τ x (f)(t)g(t)dσ µ (t) g(t)dσ µ (t) D µ (x, t, u)f(u)dσ µ (u) g(t) dσ µ (t) f(u) dσ µ (u) D µ (x, t, u) f(u) dσ µ (u) D µ (x, t, u)dγ µ (x) Özellik (iv) ten f#g 1,µ C µ f 1,µ g 1,µ eşitsizliği sağlanır. p = için Lemma den f#g(x) (τ x (f)(y) g(y) dσ µ (y) g,µ (τ x (f)(y)) dσ µ (y) = C µ g,µ τ x f( ) 1,µ C µ g,µ f 1,µ 15

22 eşitsizlikleri sağlanır. Buradan olduğundan ess sup f#g(x) sup f#g(x) C µ g,µ f 1,µ <x< <x< eşitsizliğinin gerçeklendiği görülür. f#g,µ C µ f 1,µ g,µ 1 < p < için Hölder eşitsizliği uygulayarak f#g(x) ( ) 1/p (τ x (f)(y)) 1/p g(y) p dσ µ (y) ( ) 1/q (τ x (f)(y)) 1/q q dσ µ (y) ( ) 1/p ( τ x (f)(y) g(y) p dσ µ (y) ) 1/q τ x (f)(y) dσ µ (y) elde edilir buradan her iki tarafın p. kuvveti alınır ve Lemma kullanılırsa f#g(x) p = ( ) ( ) p/q τ x (f)(y) g(y) p dσ µ (y) τ x (f)(y) dσ µ (y) ( ) τ x (f)(y) g(y) p dσ µ (y) Cµ p/q τ x (f)( ) p/q 1,µ Cµ p/q f p/q 1,µ τ x (f)(y) g(y) p dσ µ (y) elde edilir. Şimdi her iki tarafın integralini alalım. f#g(x) p dγ µ (x) Cµ p/q f p/q 1,µ = Cµ p/q f p/q 1,µ dγ µ (x) g(y) p dσ µ (y) = Cµ p/q f p/q 1,µ τ x (f)( ) 1,µ Cµ p/q f p/q 1,µ f 1,µ τ x (f)(y) g(y) p dσ µ (y) τ x (f)(y) dγ µ (x) g(y) p dσ µ (y) g(y) p dσ µ (y) 16

23 Buradan ( elde edilir. Böylece ) 1/p f#g(x) p dγ µ (x) Cµ 1/q f 1/q 1,µ f 1/p 1,µ eşitsizliğinin gerçeklendiği görülür. ( g(y) p dσ µ (y) Cµ 1/q Cµ 1/p f 1/p+1/q 1,µ g p,µ f#g p,µ C µ f 1,µ g p,µ ) 1/p Lemma p, q, r, 1 +1 = olsun. f L q p r p,µ, g L r,µ ise f#g L q,µ olup f#g q,µ C µ g r,µ f p,µ eşitsizliği sağlanır. İspat. p, r < olmak üzere indisler üzerindeki hipotez 1 r + 1 q + 1 p = 1, p r + p q = 1 r p + r q = 1 olmasını gerektirir. r, q, p kuvvetlerine göre Hölder eşitsizliği uygulanması ile f#g(x) ( f(y) τ x (g)(y) dσ µ (y) f(y) p r ( f(y) p q τx (g)(y) r q ) 1 ( f(y) p r dσ µ (y) ( = C 1 r µ f p r p,µ ( τ x (g)(y) r dσ µ (y) ) τ x (g)(y) r p dσ µ (y) ) 1 f(y) p τ x (g)(y) r q dσ µ (y) ) 1 p ) 1 f(y) p τ x (g)(y) r q dσ µ (y) ( τ x (g)(y) r dσ µ (y) ) 1 p 17

24 elde edilir. Lemma den ( olduğundan ) 1 τ x (g)(y) r p 1 p dσ µ (y) = C µ τ x (g)( ) f#g(x) C 1 r 1 p µ C µ f p r p,µ g 1 p C µ g r p r,µ r p r,µ ( r p r,µ ) 1 f(y) p τ x (g)(y) r q dσ µ (y) eşitsizliği sağlanmış olur. Eşitsizliğin her iki yanının L q,µ normunu alırsak ( olur. Yani f#g(x) q dγ µ (x) C 1 r ) 1/q eşitsizliği sağlanmış olur. = C 1 r = C 1 r = C 1 r 1 p µ C 1 p µ C µ f p r p,µ g ( r p r,µ dγ µ (x) µ f p r p,µ g p r,µ ( f(y) p dσ µ (y) 1 p µ C 1 p µ C µ f p r p,µ g p r,µ f r r r p q p,µ ) 1 f(y) p τ x (g)(y) r q dσ µ (y) ( µ f p r p,µ g p r,µ f q p,µ τ x (g)( ) r q r,µ C µ f p,µ g r,µ f#g q,µ C µ g r,µ f p,µ p ) 1 τ x (g)(y) r q dγ µ (x) ) 1 τ x (g)(y) r q dγ µ (x) r = (p = ) için p, q üzerindeki kabullerden dolayı p = 1, q = (r = 1, q = ) olur. Bu durumda da istenilen eşitsizlik Lemma den alınır. Uyarı p, r, s [1, ) ve 1/p = 1/r + 1/s 1 olmak koşuluyla Hankel konvolüsyonu #, L r,µ L s,µ uzayından L p,µ uzayı içine bilineer sınırlı bir dönüşüm tanımlar (Hirschman 196). Lemma f, g L 1,µ olmak üzere h µ (τ x f)(y) = j µ (xy)h µ (f)(y), x, y (, ) 18

25 eşitliği sağlanır. İspat. h µ (τ x f)(y) = = = j µ (zy)(τ x f)(z)dσ µ (z) j µ (zy)dσ µ (z) j µ (zy)d µ (x, z, u)dσ µ (z) D µ (x, z, u)f(u)dσ µ (u) f(u)dσ µ (u) Özellik (iii) ten h µ (τ x f)(y) = j µ (xy) eşitliği elde edilir. = j µ (xy)h µ (f)(y) j µ (uy)f(u)dσ µ (u) Lemma f, g L 1,µ olmak üzere h µ (f#g)(x) = h µ (f)(x)h µ (g)(x), < x < dır. İspat. h µ (f#g)(x) = = = = j µ (xt)(f#g)(t)dσ µ (t) j µ (xt)dσ µ (t) j µ (xt)dσ µ (t) f(u)dσ µ (u) f(u)τ t g(u)dσ µ (u) f(u)dσ µ (u) g(v)dσ µ (v) D µ (t, u, v)g(v)dσ µ (v) j µ (xt)d µ (t, u, v)dσ µ (t) Böylece Özellik (iii) ten h µ (f#g)(x) = eşitliği elde edilir. j µ (xu)f(u)dσ µ (u) = h µ (f)(x)h µ (g)(x) j µ (xv)g(v)dσ µ (v) 19

26 Genelleştirilmiş fonksiyonlar anlamında Hankel dönüşümü çalışmaları Zemanian (1968) ile başlamıştır. Zemanian Hankel dönüşümünün bir türü olan H µ (ϕ)(x) = (xy)1/2 J µ (xy)ϕ(y)dy şeklinde tanımlanan dönüşümü ele almıştır. Daha sonra Altenburg, Zemanian ın sonuçlarını h µ dönüşümü için uyarlamıştır (Altenburg 1982). Altenburg, h µ Hankel dönüşümünün bir otomorfizma olarak davrandığı test fonksiyonları uzayını araştırmış ve { H = ϕ C (, ) : γ n,k (ϕ) = sup x n ( 1 } d x> x dx )k ϕ(x) <, n, k =, 1,... uzayını tanımlamış ve göstermiştir ki {γ n,k } n,k N yarı normlar ailesinin ürettiği topoloji ile birlikte H bir Frechet uzayıdır ve h µ, H ın bir otomorfizmasıdır. Özellik p, µ > 1/2 olmak üzere H L p,µ dır (Altenburg 1982). Özellik H, H nin dual uzayını göstermek üzere, f L p,µ, (1 p ) fonksiyonu H nin bir elamanını tanımlar öyle ki L f (ϕ) = f, ϕ = dır (Altenburg 1982). f(x)ϕ(x)x 2µ+1 dx Lemma S e (R), R üzerindeki tüm çift Schwartz fonksiyonlarının uzayını göstermek üzere, ϕ C (, ) fonksiyonun S e (R) uzayına ait olması için gerek ve yeter şart γ n,k (ϕ) = sup x> olmasıdır (Stempak 1997). xn ( 1 d x dx )k ϕ(x) <, n, k =, 1, 2,... Uyarı Lemma 2.2.5, H uzayı ile S e (R) uzayının çakıştığını göstermektedir. Lemma h µ dönüşümü (S e (R), τ) üzerinde bir otomorfizmdir. Burada τ, γ n,k (ϕ) = sup x> x n ( 1 d x dx )k ϕ(x), n, k =, 1, 2,... ve ϕ C ((, )) şeklinde tanımlı yarı normların ailesi tarafından üretilen topolojidir ve (S e (R), τ) bir Frechet uzayıdır (Stempak 1997). Tanım S e, R üzerindeki çift Schwartz fonksiyonlarının uzayı S e nin dual uzayını 2

27 göstermek üzere, genelleştirilmiş fonksiyonlar anlamında Hankel dönüşümü h µ, S e üzerinde Hankel dönüşümünün transpozu olarak tanımlanır. Yani f S e olmak üzere h µ f, φ = f, h µ φ, φ S e şeklinde tanımlanan h µ f, S e dual uzayının elemanıdır. Tanım f S e ve φ S e, olmak üzere genelleştirilmiş fonksiyonlar anlamında Hankel konvolüsyonu (f#φ)(x) = f, τ x φ, x (, ) olarak tanımlanır (Betancor ve Marrero 1992). Özellik Genelleştirilmiş fonksiyonlar anlamında Hankel konvolüsyonu istenilen f S e ve φ, ψ S e için aşağıdaki özelliklere sahiptir (Betancor ve Marrero 1992). (f#φ)#ψ = f#(φ#ψ) h µ (f#φ) = h µ (f)h µ (φ) Uyarı f S e ve φ S e olmak üzere f#φ, S e uzayının bir noktasal çarpanıdır. Yani ψ (f#φ)ψ dönüşümü S e S e tanımlı lineer sınırlı bir dönüşümdür. S e uzayının bütün noktasal çarpanlarının kümesi O e ile gösterilmek üzere Betancor ve Marrero (1992) O e nin, S Schwartz uzayının çift çarpanlarının uzayı olarak karakterize edildiğini ve bir ψ C (, ) fonksiyonun O e uzayına ait olması için gerek ve yeter şartın olduğunu göstermişlerdir. ) k 1 k N, n N, sup + x) x (, )(1 ( n d ψ(x) x dx < O e uzayı {p n,k;b : n, k N, B B} yarı normlar ailesinin ürettiği topoloji ile donatılmıştır. Burada p n,k;b (θ) = sup γ n,k (θϕ) (θ O e ) ϕ B ve B, S e nin bütün sınırlı altkümelerinin sınıfını göstermektedir. Ayrıca Betancor ve Marrero (1995), her φ S e için f#φ S e olacak şekildeki 21

28 f S e fonksiyonellerinin uzayı O # uzayını karakterize etmiş, O # = h µ(o e ) olduğunu ispatlamışlardır. O # uzayının topolojisi h µ tarafından O e uzayından tanımlanır. 22

29 3. R n DE BESOV VE LIZORKIN-TRIEBEL UZAYLARI Tanım 3.1 Φ(R n ), { supp ϕ {x : x 2} supp ϕ j {x : 2 j 1 x 2 j+1 }, j = 1, 2,... Her multi-indeks α için bir c α pozitif sabiti vardır öyle ki her x R n ve her j =, 1, 2,... için 2 j α D α ϕ j (x) c α ve her x R n için ϕ j (x) = 1 j= koşullarını sağlayan bütün ϕ = {ϕ j (x)} j= S(R n ) sistemlerinin bir koleksiyonu olarak tanımlansın ve < s <, < q, ϕ = {ϕ j (x)} j= Φ(R n ) olsun. Eğer < p ise Besov uzayları B s p,q(r n ), B s p,q(r n ) = { } f : f S (R n ), f ϕ Bp,q(R s n ) = 2sj F 1 ϕ j F f lq(lp(r n )) < (3.1) olarak; eğer < p < ise Lizorkin-Triebel uzayları F s p,q(r n ), F s p,q(r n ) = { } f : f S (R n ), f ϕ Fp,q(R s n ) = 2sj F 1 ϕ j F f (Lp (R n ),l q ) < (3.2) olarak tanımlanır. Özellik 3.1 ϕ = {ϕ j (x)} j= Φ(R n ) ve ψ = {ψ j (x)} j= Φ(R n ) olsun. (i) Eğer s R, < p ve < q ise f ϕ B s p,q(r n ) ve f ψ B s p,q(r n ) quasi-normları B s p,q(r n ) üzerinde denktir. (ii) Eğer s R, < p < ve < q ise f ϕ F s p,q(r n ) ve f ψ F s p,q(r n ) quasi-normları F s p,q(r n ) üzerinde denktir (Triebel 1983). Şimdi vereceğimiz özellikte A 1 A 2 gösterimi quasi-normlu uzay A 1, quasi-normlu 23

30 uzay A 2 içinde sürekli gömülmüştür anlamına gelmektedir. Yani öyle bir c sabiti vardır ki her a A 1 için a A2 c a A1 eşitsizliği gerçeklenir. Özellik 3.2 (i) < q q 1 ve < s < olsun. Bu durumda B s p,q (R n ) B s p,q 1 (R n ), < p (3.3) ve F s p,q (R n ) F s p,q 1 (R n ), < p < (3.4) (ii) < q, < q 1, < s < ve ɛ > olsun. Bu durumda ve B s+ɛ p,q (R n ) B s p,q 1 (R n ), < p (3.5) F s+ɛ p,q (R n ) B s p,q 1 (R n ), < p < (3.6) (iii) Eğer < q, < p < ve < s < ise B s p,min(p,q)(r n ) F s p,q(r n ) B s p,max(p,q)(r n ) (3.7) sürekli gömmeleri vardır (Triebel 1983). Teorem 3.1 (i) Eğer < p, q ve < s < ise Bp,q(R s n ) quasi-banach uzayıdır (eğer 1 p, q ise Banach uzayıdır). Bundan başka < p, q ve < s < için S(R n ) B s p,q(r n ) S (R n ) sürekli gömmeleri vardır ve eğer < p, q <, < s < ise S(R n ), B s p,q(r n ) de yoğundur. (ii) Eğer < p <, < q ve < s < ise F s p,q(r n ) quasi-banach uzayıdır (eğer 1 < p <, 1 < q ise Banach uzayıdır). Bundan başka < p <, < q ve < s < için S(R n ) F s p,q(r n ) S (R n ) 24

31 sürekli gömmeleri vardır ve eğer < p, q <, < s < ise S(R n ), F s p,q(r n ) de yoğundur (Triebel 1983). Besov ve Triebel-Lizorkin uzaylarının tanımı şu şekilde de verilebilir. Tanım 3.2 Herhangi t > ve j N için ϕ t (x) = t n ϕ(x/t), ϕ j (x) = ϕ {2 j }(x) x R n şeklinde tanımlanmış olsun. A, α S fonksiyonları {ξ R n : ξ < 2} kümesinde Â(ξ) >, supp  {ξ Rn : ξ < 4} {ξ R n : 1 2 < ξ < 2} kümesinde α(ξ) >, supp α {ξ Rn : 1 4 < ξ < 4} koşullarını sağlayan fonksiyonlar olmak üzere s R ve < p, q için Besov uzayları, B s p,q = {f S : f B s p,q = A f Lp + {2 js α j f} j=1 lq (L p ) < } s R, < p < ve < q için Lizorkin-Triebel uzayları F s p,q = {f S : f F s p,q = A f Lp + {2 js α j f} j=1 Lp (l q ) < } olarak tanımlanır (Rychkov 1999). Lemma 3.1 µ, ν S, M Z, M 1 olsun ve Her α M için D α µ() = (3.8) eşitliği gerçeklensin. Bu durumda herhangi N > için bir C N sabiti vardır öyle ki sup µ t ν(z) (1 + z ) N C N t M+1 (3.9) z R n eşitsizliği sağlanır. İspat. Fourier dönüşümünün temel özelliklerinden sup µ t ν(z) (1 + z ) N c N max z R n α N+1 Dα [(µ t ν)] L1 (3.1) 25

32 Leibniz formülünden D α ( µ(tξ) ν(ξ)) C α t β (D β µ)(tξ)d α β ν(ξ) = ( ) yazabiliriz. (3.8) den β α (D β µ)(tξ) c(t ξ ) M β +1, β M eşitsizliği gerçeklenir. Bu eşitsizlikten ve β > M için D β µ c β olmasından ( ) c αt M+1 (1 + ξ M+1 ) β α D α β ν(ξ) elde edilir. Bu elde ettiğimizi (3.1) da kullanırsak (3.9) elde edilir. Lemma 3.2 < p, q ve δ > olsun. R n üzerinde negatif olmayan ölçülebilir fonksiyonların herhangi bir {g j } j= dizisi için G j (x) = 2 k j δ g k (x), x R n (3.11) k= şeklinde tanımlansın. Bu durumda C 1 = C 1 (p, q, δ) ve C 2 = C 2 (q, δ) sabitler olmak üzere {G j } j= lq(l p) C 1 {g j } j= lq(l p) (3.12) {G j } j= Lp (l q ) C 2 {g j } j= Lp (l q ) (3.13) eşitsizlikleri gerçeklenir (Rychkov 1999). İspat. İlk önce {G j (x)} j= lq C(q, δ) {g j } j= lq, x R n (3.14) olduğunu gösterelim. q 1 için bu Minkowski eşitsizliğinden çıkar ve C = k Z 2 k δ dır. < q < 1 için (3.11) ın q. kuvvetini alıp ( u + v ) q u q + v q temel eşitizliğini kullanır ve j üzerinden toplam alıp 1/q. kuvvetini alırsak (3.14) elde edilir ve C = ( k Z 2 k δq ) 1/q olur. (3.13), (3.14) den C 2 = C yazılarak hemen alınır. Şimdi (3.12) nın doğruluğunu ispatlayalım. İlk önce p 1 olsun. Minkowski eşitsizliğin- den G j Lp = 2 k j δ g k Lp k= 26

33 eşitliği gerçeklenir. Bundan dolayı C 2 = C yazılarak (3.12), (3.14) den alınır. Şimdi p < 1 durumuna bakalım. (3.11) in p. kuvvetini alıp ( u + v ) p u p + v p eşitizliğini kullanır ve integre edersek G j p = 2 k j δp g k p R n R n eşitliğini elde ederiz. Bundan dolayı (3.14) den { G j p R n } j= C( q { p, δp) g k p R n lq/p eşitsziliği sağlanır. p. kuvvetini alınarak (3.12) elde edilir. } k= l q/p Lemma 3.3 < r 1 ve {b j } j=, {d j } j= sırasıyla (, ] ve (, ) da değerler alan iki dizi olsun. Kabul edelim ki bir N > için d j = O(2 jn ), j (3.15) ve herhangi N > için d j C N k=j 2 (j k)n b k d 1 r k, j N (C N < ) (3.16) olsun. Bu durumda herhangi N > için d r j C N k=j 2 (j k)nr b k, j N (3.17) eşitsizliği aynı C N sabitleri ile gerçeklenir. İspat. j N için D j,n = sup k j 2 (j k)n d k olarak tanımlayalım. (3.16) dan D j,n C N sup k j = C N l=j l=k 2 (j l)n b l d 1 r l 2 (j l)n b l d 1 r l = C N 2 (j l)nr b l [D j,n ] 1 r l=j 27

34 olup, buradan D j,n < olması koşuluyla d r j [D j,n ] r C N 2 (j l)nr b l (3.18) l=j elde edilir. D j,n < olma koşulu en azından N N için (3.15) den sağlanır. Böylece (3.17) eşitsizliğini N N için ispatlamış olduk ve bu nedenle C N sabiti ile N < N için de ispatlanabilir. Çünkü (3.17) eşitsizliğinin sağ tarafı N artarken azalmaktadır. Şimdi N < N olsun ve kabul edelim ki (3.17) eşitsizliğinin sağ tarafı sonlu (aksi halde ispatlayacak birşey yoktur) olsun. C N için sabiti ile (3.17) eşitsizliğinden k j 2 (j k)n d k 2 (j k)n C 1/r N = C 1/r N [ ] 1/r 2 (k l)nr b l l=k [ ] 1/r 2 (j l)nr b l l=k olup, buradan D j,n < dur. (3.18) eşitisizliği kullanılarak istenilen elde edilir. Tanım 3.3 Ψ, ψ S ve l Z, l 1 olsun. Eğer aşağıda verilen (a) ve (b) koşulları sağlanıyorsa (Ψ, ψ) ikilisi F l kümesindedir denir. (a) Belli bir ɛ > için, {ξ R n : ξ < 2ɛ} kümesi üzerinde Ψ(ξ) > ve {ξ R n : ɛ < ξ < 2ɛ} kümesi üzerinde ψ(ξ) > dır. 2 (b) Her α l için D α ψ() = dır. Tanım 3.4 (Peetre maksimal fonksiyonları) a >, f S ve φ S olsun. φ a ve φ j,a maksimal fonksiyonları φ (φ f)(y) af(x) = sup y R n (1 + x y ), x a Rn ve φ (φ j f)(y) j,af(x) = sup y R n (1 + 2 j x y ), x a Rn şeklinde tanımlanır. Bui vd. (1996, 1997), Peetre (1975) ve Triebel (1983) in daha önce elde ettiği 28

35 sonuçları tamamlayarak Besov ve Triebel-Lizorkin uzaylarının genel karakterizasyonları hakkındaki sonucu ispatlamışlardır. Bu teorem Besov ve Triebel-Lizorkin uzaylarının tanımındaki fonksiyonlardan daha genel fonksiyonlarla konvolüsyon işlemi yolu ile Besov ve Triebel-Lizorkin uzaylarının denk bir karakterizasyonunu vermektedir. Aşağıda bu teorem ifade ve ispat edilecektir. Bu teoremdeki A 1 A 2 gösterimi A 1 CA 2 eşitsizliğinin gerçeklendiği bir C sabitinin var olduğu anlamına gelmektedir. Teorem 3.2 (a) (Ψ, ψ) F l, s < l + 1, < p, q, a > n p olsun. Bu durumda her f S için Ψ af Lp + {2 js ψ j,af} j=1 lq(l p) f B s p,q (3.19) Ψ f Lp + {2 js ψ j f} j=1 lq(l p) dır. (b) (Ψ, ψ) F l, s < l + 1, < p <, < q, a > her f S için n min(p,q) olsun. Bu durumda Ψ af Lp + {2 js ψ j,af} j=1 Lp (l q ) f F s p,q (3.2) Ψ f Lp + {2 js ψ j f} j=1 Lp (l q ) dır. İspat. 1.Adım: Herhangi iki Φ, ϕ S fonksiyon çifti alalım öyle ki bir ɛ > için {ξ R n : ξ < 2ɛ } kümesi üzerinde Φ(ξ) > {ξ R n : ɛ 2 < ξ < 2ɛ } kümesi üzerinde ϕ(ξ) > (3.21) koşulları sağlansın. Herhangi a >, s < l + 1, < p, q sayılarını sabitleyelim. Bu adımda her f S için Ψ af Lp + {2 js ψ j,af} j=1 lq(l p) Φ af Lp + {2 js ϕ j,af} j=1 lq(l p) (3.22) ve Ψ af Lp + {2 js ψ j,af} j=1 Lp(l q) Φ af Lp + {2 js ϕ j,af} j=1 Lp(l q) (3.23) 29

36 eşitsizliklerinin sağlandığını göstereceğiz. (3.21) den supp Λ {ξ R n : ξ < 2ɛ } supp λ {ξ R n : ɛ < ξ < 2 2ɛ } Λ(ξ) Φ(ξ) + (3.24) λ(2 j=1 j ξ) ϕ(2 j ξ) 1, ξ R n olacak şekilde Λ, λ S fonksiyonları vardır. Özel olarak her f S için f = Λ Φ f + λ k ϕ k f (3.25) k=1 özdeşliği doğrudur. Buradan ψ j f = ψ j Λ Φ f + ψ j λ k ϕ k f (3.26) k=1 eşitliği vardır. Ayrıca ψ j λ k ϕ k f ψ j λ k (z) ϕ k f(z y) dz R n ϕ k,af(y) ψ j λ k (z) (1 + 2 k z ) a dz R n (3.27) ϕ k,af(y)i jk yazabiliriz. I jk C(λ, ϕ) { 2 (k j)(l+1), k j 2 (j k)(a+s+1), k j (3.28) olduğunu iddia ediyoruz. Gerçekten k j için 2 k z z değişken değiştirmesi yapılır ve Lemma 3.1 kullanılırsa I jk = ψ 2 k j λ(z) (1 + z ) a dz R n elde edilir. c sup z R n ψ 2 k j λ(z) (1 + z ) a+n+1 C2 (k j)(l+1) 3

37 Benzer olarak k j için I jk 2 (k j)a R n ψ λ 2 j k(z) (1 + z ) a dz c M 2 (k j)a 2 (k j)(m+1) elde edilir. Burada, (3.24) den her α için D α λ() = olduğundan M istenildiği kadar büyük alınabilir. M, 2a + s olacak şekilde herhangi bir tamsayı olarak alınırsa istenilen eşitsizlik elde edilmiş olur. Böylece (3.28) ispatlanmış oldu. Buna ilaveten her x, y R n için ϕ k,af(y) ϕ k,af(x)(1 + 2 k x y ) a ϕ k,af(x) max(1, 2 (k j)a )(1 + 2 j x y ) a olduğuna dikkat edilir ve bu (3.27) de yerine yazılır ve (3.28) kullanılırsa elde edilir. { ψ j λ k ϕ k f(y) sup ϕ y R n (1 + 2 j x y ) k,af(x) a 2 (k j)(l+1), k j 2 (j k)(s+1), k j Bu eşitsizliğin yukarıdaki ispatında k = 1 için D α λ() = özelliğinin kullanılmadığına dikkat edilmelidir. Bu yüzden λ 1 ve ϕ 1, Λ ve Φ fonksiyonları ile yer değiştirilerek ψ j Λ Φ f(y) sup Φ y R n (1 + 2 j x y ) af(x)2 j (l + 1) a benzer eşitsizliği elde edilir. Son iki eşitsizliği (3.26) de yazarak ψ j,af(x) Φ af(x)2 j(l+1) + { 2 (k j)(l+1), k j, ϕ k,af(x) 2 (j k)(s+1), k > j. k=1 olmasını elde ederiz. Elde edilen son üç eşitsizlikteki sabitler f S, x R n, j, k N den bağımsızdırlar. Buradan, δ = min{1, l + 1 s} > olmak üzere her f S, x R n, j N için 2 js ψj,af(x) Φ af(x)2 jδ + 2 ks ϕ k,af(x)2 j k δ (3.29) k=1 eşitsziliği gerçeklenir. Tekrar j = 1 için bu eşitsizliği türetirken D α ψ() = özelliğini kullanmadık, bundan dolayı ψ 1 fonksiyonu yerine Ψ fonksiyonunu yazabiliriz. Bu- 31

38 radan Ψ af(x) Φ af(x) + 2 ks ϕ k,af(x)2 kδ (3.3) k=1 eşitizliğini elde ederiz. (3.29), (3.3) ve Lemma 3.2 kullanılarak, (3.22), (3.23) eşitsizliklerinin gerçeklendiği görülür. 2.Adım Bu adımda (3.19) un koşulları altında her f S için Ψ af Lp + {2 js ψ j,af} j=1 lq (L p ) Ψ f Lp + {2 js ϕ j f } j=1 lq (L p ) (3.31) ve (3.2) koşulları altında her f S için Ψ af Lp + {2 js ψ j,af} j=1 Lp (l q ) Ψ f Lp + {2 js ϕ j f } j=1 Lp (l q ) (3.32) eşitsizliklerinin gerçeklendiği ispatlanacaktır. (3.24) ve (3.25) e benzer olarak supp λ {ξ R n : ɛ 2 < ξ < 2ɛ} ve her f S için f = Λ Ψ f + olacak şekilde Λ, λ S bulabiliriz. λ k ψ k f k=1 f fonksiyonunun yerine f(2 j ), j N yazıp, genişletirsek f = Λ j Ψ j f + λ k ψ k f (3.33) k=j+1 elde ederiz. Bundan dolayı ψ j f = (Λ j Ψ j )(ψ j f) + (ψ j λ k ) (ψ k f) (3.34) eşitliği elde edilir. k=j+1 Lemma 3.1 den ψ j λ k (z) C N 2 jn 2 (j k)n (1 + 2 j z ) a, z Rn 32

39 eşitizliği keyfi büyük N > ile k j için doğrudur. Benzer olarak eşitsizliğinin sağlandığı açıktır. 2 jn Λ j Ψ j (z) C (1 + 2 j z ), z a Rn Son iki eşitsizliği (3.34) de kullanırsak her f S ve j N için ψ j f(y) C N 2 jn 2 (j k)n eşitsizliğini elde ederiz. k=j R n ψ k f(z) dz (3.35) (1 + 2 j y z ) a Herhangi r (, 1] sayısını sabitleyelim. (3.35) eşitizliğinin her iki tarafını (1+2 j x y ) a ile bölüp, y R n üzerinden supremum alınır ve sağ tarafta (1 + 2 j x y )(1 + 2 j y z ) (1 + 2 j x z ) (3.36) ψ k f(z) ψ k f(z) r [ψ k,af(x)] 1 r (1 + 2 k x z ) a(1 r) (1 + 2 k x z ) a(1 r) (1 + 2 j x z ) a 2 (k j)a (1 + 2 k x z ) ar eşitsizlikleri kullanılırsa her f S ve j N için ψ j,af(x) C N k=j 2 (j k)n R n 2 kn ψ k f(z) r (1 + 2 k x z ) ar dz[ψ k,af(x)] 1 r (3.37) eşitsizliği elde edilir. Burada N = N a + n hala istenildiği kadar büyük alınabilir. Oldukça benzer olarak her f S için Ψ af(x) C N ( + eşitsizliği ispatlanır. R n Ψ f(z) r (1 + x z ) ar dz[ψ af(x)] 1 r (3.38) 2 kn k=1 R n ) 2 kn ψ k f(z) r (1 + 2 k x z ) ar dz[ψ k,af(x)] 1 r Şimdi herhangi x R n sabitleyelim ve d j = ψ j,af(x), j N, d = Ψ af(x) (3.39) 33

40 b j = Rn 2 kn ψ k f(z) r (1 + 2 k x z ) ar dz, j N, b = Rn Ψ f(z) r dz (3.4) (1 + x z ) ar olmak üzere Lemma 3.3 ü uygulayalım. N, f S dağılımının (distribution) mertebesine eşit olmak üzere (3.15) şartı sağlanır. N yerine N alınarak (3.37) ve (3.38) eşitsizlikleri (3.16) tipini alır. (3.17) nin doğru olduğu sonucuna vardık yani her bir N > için [ψ j,af(x)] r C N 2 (j k)nr k=j R n 2 kn ψ k f(z) r dz (3.41) (1 + 2 k x z ) ar eşitzliği gerçeklenir. Burada Ψ af(x) için karşılık gelen eşitsizlikle beraber C N = C N+a n dır. Burada (3.41) eşitsizliğindeki C N ; f S, x R n, j N ve r (, 1] den bağımsızdır çünkü C N, (3.37), (3.38) eşitsizliklerindeki C N dir. Ayrıca daha basit bir ispatla (3.41) eşitsizliğinin r > 1 için doğru olduğu ispatlanabilir. Bunun için (3.35) de a yerine a + n alınması ve k ve z de son olarak (3.16) eşitsizliğinde Hölder eşitsizliği uygulanması yeterlidir. (3.32) ve (3.31) in koşullarında r yi sırasıyla n < r < p ve n < r < min(p, q) a a olacak şekilde seçmek uygundur. İspatın geri kalanında böyle bir seçim yapıp r yi sabitleyeceğiz. 1 L (1+ z ) ar 1 olduğundan Hardy-Littlewood maksimal operatörü M in majorant özelliği (3.41) de uygulanırsa [ψ j,af(x)] r C N 2 (j k)nr M( ψ k f(z) r )(x) (3.42) k=j eşitsizliği Ψ af(x) için karşılık gelen eşitsizlikle beraber sağlanır. Şimdi N > max( s, ) seçer ve sabitleyip g j = 2 jsr [ψ j,af] r, j N g = Ψ af olmak üzere l q/r (L p/r ) ve L p/r (l q/r ) uzaylarında Lemma 3.2 uygulanırsa (3.42) den her f S için Ψ af Lp + {2 js ψ j,af} j=1 lq (L p ) M r (Ψ f) Lp + {2 js M r (ϕ j f) } j=1 lq (L p ) (3.43) 34

41 ve Ψ af Lp + {2 js ψ j,af} j=1 Lp (l q ) M r (Ψ f) Lp + {2 js M ( ϕ j f )} j=1 Lp (l q ) (3.44) eşitsizlikleri elde edilir. Burada M r (g) = (M( g r )) 1/r notasyonu kullanılmıştır. Hardy-Littlewood-Wiener ve Fefferman-Stein maksimal teoremlerinden M r : l q (L p ) l q (L p ), r < p, < q (3.45) M r : L p (l q ) L p (l q ), r < p <, r < q (3.46) olduğunu biliyoruz. r sayısını seçimimiz (3.45) ve (3.46) özelliğini sırasıyla (3.43) ve (3.44) eşitsizliklerinin sağ taraflarına uygulama imkanı vermektedir. Böylece ispatlanmak istenen (3.31) ve (3.32) eşitsizlikleri ispatlanmış oldu. Son Adım. Geriye (3.19), (3.2) eşitsizliklerinin (3.22), (3.23), (3.31), (3.32) eşitsizliklerinden alınabileceğini göstermek kaldı. Bunu (3.19) eşitsizliği için yapalım. Ψ af Lp + {2 js ψ j,af} j=1 lq (L p ) A af Lp + {2 js α j,af} j=1 lq (L p ) f B s p,q eşitszliği sağlanır. Burada ilk önce Φ = A,ϕ = α alarak (3.22) yi daha sonra Ψ = A, ψ = α alarak (3.31) i uyguladık. S fonksiyonlarının (A, α), (Ψ, ψ), (Φ, ϕ) çiftleri üzerine konulan şartların verilen sırada zayıflatıldığına dikkat edilmelidir. Devam edersek f B s p,q A af Lp + {2 js αj,af} j=1 lq (L p ) Ψ af Lp + {2 js ψj,af} j=1 lq(lp) Ψ f Lp + {2 js ψ j f} j=1 lq(lp) eşitsizliği gerçklenir. Burada ilk eşitsizlik açıktır ikinci için ise (3.22) eşitsizliği sol tarafında Ψ ve ψ nin yerine A ve α alınarak ve de Φ = Ψ, ϕ = ψ ile kullanılmıştır. Üçüncü eşitsizlik ise (3.31) kullanılarak elde edilmiştir. Buradan (3.19) un doğruluğu görülmüş olur. Benzer şekilde (3.2) nin de doğruluğu görülebilir. Böylece ispat tamamlanmış olur. 35

42 4. HANKEL DÖNÜŞÜMÜNE KARŞILIK GELEN BESOV VE LIZORKIN-TRIEBEL UZAYLARI Tanım 4.1 s R olsun. Dizi uzayı l s p, 1 p < için ( 1/p lp s = ξ : ξ = (ξ j) j, ξ j C, ξ l s p = (2 jsp ξ j )) p < j= ve p = için { } l s = ξ : ξ = (ξ j ) j, ξ j C, ξ l s = sup 2 js ξ j < j olarak tanımlanır. s = durumunda l p uzayını l p ile göstereceğiz. Tanım 4.2 Φ, aşağıdaki özelliklere sahip bütün {ϕ j (x)} j= H sistemlerinin bir koleksiyonu olsun. (i) ϕ j (x) H, h µ ϕ j (x) for, 1, 2, 3,... (ii) supp h µ ϕ j {x : 2 j 1 1 x 2 j+1 1}, j = 1, 2, 3,... ve supp h µ ϕ {x : x 1}. (iii) Pozitif bir c 1 sayısı vardır öyle ki (x 1 D) k h µ ϕ j (x) c1 x k eşitsizliği, j = 1, 2,... ; k [µ] + 2 ve x (, ) için sağlanır. (iv) Her x (, ) için j= h µϕ j (x) = 1 dır. Tanım < p <,1 q, µ 1/2 ve s R olsun. fonksiyonların herhangi bir {ϕ j } j= Φ sistemi için Besov tipi uzaylar B s p,q,µ = olarak tanımlanır. Burada dır (Altenburg 1984). { } f H : f B s p,q,µ = {ϕ j #f} l s q (L p,µ) < ( ) 1/q ( ). l s q (L p,µ) =. Lp,µ l s q = 2 sj q. Lp,µ j= Bu durumda 36

43 Tanım < p <,1 q, µ 1/2 ve s R olsun. Bu durumda fonksiyonların herhangi bir {ϕ j } j= Φ sistemi için Triebel-Lizorkin tipi uzaylar F s p,q,µ = { } f H : f F s p,q,µ = {ϕ j #f} Lp,µ (lq) s < olarak tanımlanır. Burada ( ) 1/q. Lp,µ(l q) s =. l s q Lp,µ = (2 sj (.)) q dır (Cruz-Baez ve Rodriguez 21). j= Lp,µ Teorem < p, q <, µ 1/2 ve s R olsun. Bu durumda B s p,min{p,q},µ F s p,q,µ B s p,max{p,q},µ dır. Burada sürekli gömme anlamına gelmektedir. İspat. p q için B s p,p,µ F s p,q,µ B s p,q,µ (4.1) ve q p için B s p,q,µ F s p,q,µ B s p,p,µ (4.2) olduğunu göstermeliyiz. l s q uzaylarının monotonluğunu ve aşikar eşitlik B s p,p,µ F s p,p,µ olmasını kullanacağız. İlk olarak (4.1) ifadesini ispatlayalım. f Fp,q,µ s ve {ϕ j } j= Φ olsun, ( ) 1/q ( ) f B s p,q,µ = {ϕ j #f} l s q (L p,µ ) = 2 sj q {ϕ j #f} Lp,µ = = j= ( ( ) ) q/p 1/q 2 sjq ϕ j #f p x 2µ+1 dx j= { } 1/p 2 sjp ϕ j #f(x) p x 2µ+1 dx l s q/p 37

44 Buradan Minkowski eşitsizliğini kullanarak f B s p,q,µ = ( ) 1/p {2 sjp ϕ j #f(x) p } l s q/p dγ(x) ( ) 1/q (2 sj ϕ j #f ) q j= Lp,µ = {ϕ j #f} Lp,µ (l s q) = f F s p,q,µ {ϕ j #f} Lp,µ (l s p) = {ϕ j #f} l s p (L p,µ ) = f B s p,p,µ Şimdi (4.2) ifadesini ispatlayalım. f B s p,q,µ için, f B s p,p,µ = {ϕ j #f} l s p (L p,µ) = {ϕ j #f} l s p (L p,µ) = {ϕ j #f} Lp,µ(l p) s {ϕ j #f} Lp,µ(l q) s 1/q ( ) 1/p = (2 sj ϕ j #f ) q 2 sjq ϕ j #f(x) q Lp/q,µ j= L p/q,µ = {ϕ j #f} l s q (L p,µ) = f B s p,q,µ. j= Yeni bir Besov tipi uzay olan BHp,q α,µ J.J.Betancor ve L.Rodriguez-Mesa tarafından 1998 yılında tanıtılmış ve Besov-Hankel uzayı olarak adlandırılmıştır. Bu uzaya bu ismin verilmesinin sebebi Besov uzaylarındaki klasik ötelemenin oynadığı rolü bu uzaylarda Hankel ötelemesinin oynamasıdır. Bu uzayın tanımı şu şekildedir. Tanım p, q ve α > olmak üzere Besov-Hankel uzayı BH α,µ p,q A α,µ p,q (f) = { ( τt f f p,µ t α ) q } 1/q dt < t olacak şekildeki f L p,µ fonksiyonlarınının oluşturduğu uzaydır. BH α,µ p,q uzayının Littlewood-Paley tipi karakterizasyonunu veren teoeremi ifade edelim. Teorem p, q <, < α < 1 ve f L p,µ olsun. Kabul edelimki ψ = (ψ k ) k N R üzerinde sürekli ve çift fonksiyonların (a) ψ (x) =, x 2, ve ψ k (x) =, x 2 k 1 ve x 2 k+1, k = 1, 2..., (b) sup k N h µ (ψ k ) 1,µ <, (c) Her x R için k= ψ k(x) = 1. 38

45 koşullarını sağlayan bir dizisi olsun. Bu durumda f BH α,µ p,q E α,µ,ψ p,q (f) = olması için gerek ve yeter koşul { } 1/q (2 kα h µ (ψ k )# µ f p,µ ) q < k= olmasıdır. Bundan başka A α,µ p,q (Betancor vd. 21). ve Ep,q α,µ,ψ, BHp,q α,µ uzayında aynı topolojiyi üretir Bu teorem Besov-Hankel uzayının tanımının S e de genelleşmiş fonksiyonlara genişletilebileceğini göstermektedir. Böylece aşağıdaki tanımı verebiliriz. Tanım p, q < ve α > olmak üzere Besov-Hankel uzayı BH α,µ p,q E α,µ,ψ p,q (f) = { } 1/q (2 kα h µ (ψ k )# µ f p,µ ) q < k= olacak şekildeki f S e lerin oluşturduğu uzaydır. Burada ψ = (ψ k ) k N, S e deki fonksiyonların aşağıdaki şartları sağlayan bir dizisidir. (a) ψ (x) =, x 2, ψ k (x) =, x 2 k 1 ve x 2 k+1, k = 1, 2..., (b) sup k N h µ (ψ k ) 1,µ < (c) x R için k= ψ k(x) = 1 (Betancor ve Rodriguez-Mesa 26). Uyarı 4.1 BH α,µ p,q uzayının tanımı S e deki fonksiyonların (ψ k ) k N dizisi (a), (b), (c) şartlarını sağlamak koşuluyla (ψ k ) k N dizisine bağlı değildir. Bundan başka ψ = (ψ k ) k N ve φ = (φ k ) k N, S e deki fonksiyonların (a), (b), (c) şartlarını sağlayan iki dizisi olmak üzere, öyle bir C > sabiti vardır ki dır. 1 C Eα,µ,ψ p,q (f) Ep,q α,µ,φ (f) CEp,q α,µ,ψ (f), f BH α,µ p,q Besov-Hankel uzayının tanımı aşağıdaki şekilde de verilebilir. Tanım p, q < ve α > olmak üzere φ S e, t > ve j N olsun. φ {t} (x) = t 2(µ+1) φ(x/t), x (, ) ve φ j = φ {2 j } şeklinde tanımlanmış olsun. 39

46 Kabul edelim ki h µ (φ)(x) >, 1 2 < x < 2 ve supph µ(φ) [1/4, 4] olsun. Aynı zamanda h µ (Φ)(x) >, x [, 2] ve supph µ (Φ) [ 4, 4] koşullarını sağlayan Φ S e fonksiyonları göz önüne alınsın. BH α,µ p,q uzayı f BH α,µ p,q = f#φ p,µ + {2 kα φ k #f} k=1 lq (L p,µ ) < olacak şekildeki f S e lerin oluşturduğu uzaydır. BH α,µ p,q Mesa 26). uzayının topolojisi. BH α,µ p,q tarafından tanımlanır (Betancor ve Rodriguez- Tanım 4.8 E, R üzerinde tanımlı çift ve düzgün fonksiyonların uzayıdır. Tanım 4.9 D, E uzayında kompakt desteğe sahip bütün fonksiyonların uzayıdır. Tanım 4.1 (, ) aralığının ölçülebilir her A altkümesi için γ µ (A) = A x2µ+1 dx olarak tanımlı γ µ ölçüsüne karşılık gelen maksimal fonksi- yonlar şeklinde tanımlanır. M µ (f)(x) = sup x I 1 f(y) y 2µ+1 dy, x (, ) γ µ (I) I Teorem 4.3 f, (, ) üzerinde tanımlı bir fonksiyon olsun. Eğer f L p,µ, 1 < p ise bu durumda M µ f L p,µ dür ve M µ f p,µ C f p,µ eşitszliğinin sağlandığı f den bağımsız bir C sabiti vardır (Stempak 1985). Tanım 4.11 {g j } j=1, (, ) üzerinde Lebesgue ölçülebilir fonksiyonların bir dizisi olmak üzere, l q (L p,µ ) ve L p,µ (l q ) uzayları sırasıyla ( ( ) q/p 1/q {g j } j=1 lq (L p,µ ) = g j ( ) p,µ lq = g j (x) p x dx) 2µ+1 < {g j } Lp,µ (l q ) = g j ( ) lq p,µ = j=1 ( ) p/q g j (x) q x 2µ+1 dx j=1 olacak şekildeki bütün {g j } j=1 dizilerinin uzayıdır. 1/p < 4